（应用数学专业论文）可数meso紧空间、局部meso紧空间的性质与刻画.pdf

摘要 可数m e s o 紧、局部m e s o 紧空间的性质及刻画 作者简介：周艳红，女，1 9 8 2 年3 月生，师从成都理工大学曹会文教授，2 0 0 8 年0 7 月毕业于成都理工大学应用数学专业，获得理学硕士学位。 摘要 本文用覆盖和映射的方法对可数m e s o 紧空间，可数亚紧空间，局部m e s o 紧 空| 日j 的研究，得出如下结论： 1 ( 1 ) 下列论断等价： ( a ) x 是可数m e s o 紧空间。 ( b ) 对x 的每一可数开覆盖妙矗。v 存在紧有限的可数开覆盖形) 删使 cu ， f ( 2 ) 下列论断等价： ( a ) x 是可数m e s o 紧空间。 ( b ) x 的每一定向可数开覆盖具有可数闭包保持闭加细覆盖矿使由的所有 紧集组成的集族加细玩 ( 3 ) 可数m e s o 紧空间在准完备映射下的象是可数m e s o 紧空间。 ( 4 ) 厂：x 一】，是空间到可数m e s o 紧空间y 上的准完备映射，则x 是可数 m e s o 紧空间。 ( 5 ) 厂是空间x 到空间】，上的m e s o 紧映射，如果y 是可数m e s o 紧空间，则x 也是可数m e s o 紧空间。 2 ( 1 ) 若条件( f ) 指x 是f 一型局部m e s o 紧空间( f = 1 ，2 ，3 ) ，则 ( a ) 3 一型局部m e s o 紧空问j2 一型局部m e s o 紧空间j 卜型局部m e s o 紧空间； ( b ) 若x 是j 下则空间，则3 一型局部m e s o 紧空间营2 一型局部m e s o 紧空间卜 型局部m e s o 紧空间。 ( 2 ) ( i ) 若x 是卜型局部m e s o 紧空间，则其闭子空间也是如此； ( i i ) 若x 是f 一型局部m e s o 紧空问( f = 1 ，2 ，3 ) ，则其丌子空间和闭子空 间亦然。 ( 3 ) f 一型局部m e s o 紧空间与f 一型局部紧空间的积是f 一型局部m e s o 紧空间 ( f = 1 ，2 ，3 ) 。 3 ( 1 ) 厂：x j 厂是亚紧映射，如果j 厂是可数紧空间，则x 也是可数亚紧空间。 成都理l ：人学硕十学他论文 ( 2 ) ：xjy 是空间至0 可数紧空间y 上的准完备映射，则x 是呵数弧紧空间。 ( 3 ) 设空间x 是可数弧紧的，y 是紧空间，则积空间x y 也是可数弧紧的。 关键词：可数m e s o 紧空问可数亚紧空间局部m e s o 紧空问 a b s t r a c t p r o p e r t i e sa n d c h a r a c t e r i z a t i o no fc o u n t a b l ym e s o c o m p a c t s p a c e sa n dl o c a l l yi e s o c o m p a c ts p a c e s i n t r o d u c t i o no ft h ea u t h o r ：z h o uy a n - h o n g ，f e m a i e ，w a sb o mi nm a r c h ，l9 8 2w h o s et u t o r w a sp r o f e s s o rc a oj i n w e n s h eg r a d u a t e df o mc h e n g d uu n i v e r s i t yo ft 色c h n o l o g yi n a p p i i e d m a t h e m a t i c sm a j o ra n dw a sg r a n t e t h em a s t e rd e g r e ei nj u n e ，2 0 0 8 a b s t r a c t t h i sp a p e ru s et h ec o v e r i n ga n dm a p p i n gm e t h o d st op r e l i m i n a r ) ，r e s e a r c ht h e c o u n t a b l em e s o c o m p a c ts p a c e s 、 l o c a l l ym e s o c o m p a c ts p a c e s 、 c o u n t a b l em e t a c o m p a c t s p a c e s ，a n dh a sg a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s 1 ( 1 ) t h ef o l l o w i n g sa r ee q u i v a l e n t ： ( a ) xi sc o u n t a b l em e s o c o m p a c ts p a c e s ； ( b ) l e t矽， 删 b e a 1 1 yc o u n t a b l yo p e nc o v e ro f x t h e nt h e r ee x i s t s c o m p a c t f i n i t eo p e nc o v e r ) ，。s u c hm a t 杉cu ， f o re a c hf ( 2 ) t h ef o l l o w i n g sa r ee q u i v a l e n t ： ( a ) xi sc o u n t a b l em e s o c o m p a c ts p a c e s ； ( b ) l e t 妙矗。 b ea n yc o u n t a b l yd i r e c t e do p e nc o v e ro f t h e nm e r ee x i s t s c l o s u r e p r e s e r v i n gc l o s e dr e 6 n e m e n tc o v e rfo f 妙。 ，_ s u c ht h a te v e r y f a m i l y c o m p o s e db yc o m p a c ts u b s e t so f x ( 3 ) q u a s i - p e r f e c tm a p p i n gp r e s e n ，e sc o u n t a b l em e s o c o m p a c ts p a c e s ( 4 ) l e t 厂：x ，b ep e r f e c tm a p p i n g ，i f 】，i sc o u m a b l em e s o c o m p a c ts p a c e s ， t h e nxi sc o u n t a b l em e s o c o m p a c t s p a c e s ( 5 ) l e t厂：x 一】， b em e s o c o m p a c tm a p p i n g ，i f 】，i sc o u i n a b l em e s o c o m p a c t s p a c e s ， t h e nxi sc o u n t a b l em e s o c o m p a c ts p a c e s 2 ( 1 ) i f c o n d i t i o n ( i ) s p a c e xi s f l o c a l l ym e s o c o m p a c ts p a c e ( 净l ，2 ，3 ) ， t h e n ( i )3 - l o c a l l ym e s o c o m p a c ts p a c ei m p l i e s2 一l o c a l l ym e s o c o m p a c ts p a c ea i l d 2 一l o c a l l ym e s o c o m p a c ts p a c ei m p l i e s1 - i o c a l l ym e s o c o m p a c ts p a c e ( i i ) l e txb ear e g u l a rs p a c e t h e nt h ef o l l o w i n ga s s e n i o n sa r ee q u i v a l e m ： ( a ) s p a c exi s3 - l o c a l l ym e s o c o m p a c t i i i ( b ) s p a c e 义 i s2 - j o c a l l ym e s o c o m p a c t ( c ) s p a c exi s1 一l o c a l l ym e s o c o m p a c t ( 2 ) ( a ) l e tmb eac l o s e ds p a c e i fs p a c exi s1 1 0 c a l l ym e s o c o m p a c t ，s oi sm ( b ) l e tmb ea no p e no rc l o s e d s p a c e i fs p a c exi sj 1 0 c a l l y ( f ：2 ， 3 ) m e s o c o m p a c t ，s oi s m ( 3 ) l e t b e f - l o c a l l ym e s o c o m p a c ta n d】，b e f 1 0 c a l l yc o m a p c t t h e n x j ，i s f - l o c a l l ym e s o c o m p a c t ( f = l ，2 ，3 ) 3 ( 1 ) l e t 厂：xjyb eam e t a c o m p a c tm 印p i n g i fyi s ac o u n t a b l v m e t a c o m p a c ts p a c e ，t h e nxi sc o u n t a b l ym e t a c o m p a c t ( 2 ) l e t 厂： x yb eaq u a s i p e r f e c t m e t a c o m p a c tm a p p i n g i fj ，i sa c o u n t a b l ym e t a c o m p a c ts p a c e ，t h e nxi sc o u n t a b l ym e t a c o m p a c t ( 3 ) l e txb eac o u n t a b l ym e t a c o m p a c ts p a c e i fyi s c o m p a c t ，t h e nx yi s c o u n t a b l ym e t a c o m p a c t k e y w o r d s ： c o u m a b l ym e s o c o m p a c t c o u n t a b l y m e t a c o m p a c tl o c a l l y m e s o c o m p a c ts p a c e s i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛酆堡王太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示i 勇 意。 撇姗繇f 虱枷乙 娜q 年r 恤日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛壑堡王盍堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛壑理工丕堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： f 学位论文作者导师签名： 砒年广月上弓日 第l 章引言 1 1 国内外研究现状 第1 章引言 拓扑学发展于1 9 世纪，是研究拓扑空间与它们之问的连续映射的一个数学 分支，拓扑学的主要问题是研究图形的拓扑不变性( 量) 。度量空问和紧空间是 拓扑学单面两个最基本的应用比较广泛的空问，而仿紧空m 又是二者最成功的推 广。无论是从理论还是应用角度而言，仿紧空i 日j 都是一般拓扑学的一个基本而重 要的组成部分。 7 0 年代术到9 0 年代初，我国以蒲保明教授和刘应明教授为代表的拓扑学家 不但对仿紧空i 日j 的有关理论研究作出了贡献，而且对此类空间作了进一步地推 广。仿紧空i 、日j 深刻地影响并有力地推动着一般拓扑学的发展。广义仿紧空问是仿 紧空问的一个重要的推广，称之为覆盖性质理论，是当代点集拓扑学的一个基本 的重要组成部分。 8 0 年代初到9 0 年代初，y y a j i m a ( 日本) 、k c h i b a ( 同本) 、g g r u e n h a g e ( 美国) 、h j k j u n n i l a ( 芬兰) 以及刘应明教授的博士生藤辉等人把用覆盖刻 画的诸多空间的的一些性质研究又一次推向了高潮，他们在以仿紧、亚紧空间为 代表的一些覆盖性质的方面的研究获得了极大的成功 覆盖性质的刻画和乘积性研究成果在四年一次的“国际一般拓扑学学术会 议”得到充分展现反之，“国际一般拓扑学学术会议”等国际学术交流使人们 对用覆盖刻画的拓扑空间的研究越来越深入，新颖的刻画和乘积性结果更为令人 注目 本文主要研究了广义仿紧空问的两个空间：可数m e s o 紧空间、局部m e s o 紧空间。而可数m e s o 空间、局部的定义是基于紧有限覆盖这一概念的，可数亚 紧空间是基于点有限覆盖这一概念的。通过对这两个空间的一些性质的研究，使 得广义仿紧空间的内容更加丰富和完善。 1 2 选题依据 用映射研究空间是1 9 6 1 年前苏联伟大数学家a 1 e x a n d 在布拉格“一般拓扑 学以及它与现代分析和代数的关系”的国际学术会议上提出的，其基本思路是将 各式各样的拓扑空| 白j 类通过映射类作为纽带将他们连接于一体。通过映射与空间 的关系反映拓扑空间论的研究框架与整体结构，使映射成为揭示空问类之i 日j 的内 部规律的强有力工具。因而对映射本身性质的探索自然就受到广大拓扑学家的高 度关注，也为一般拓扑学的研究与发展提供了另一种途径。 成都理i ：人学硕卜。学位论文 m e s o 紧空m 在国内外都研究得很少，通过对这部分相关的研究町以让我们 更清楚了认识仿紧空间。 1 3 本论文的主要结论 本文的难点在于：每一个或部分x ；( i a ) 是p 性质( 代表可数m e s o 紧、 可数亚紧、局部m e s o 紧) 空间，寻找一个充分必要条件，使得x = 几。x 。是p 性质( 代表代表可数m e s o 紧、可数哑紧、局部m e s o 紧) 空间，即a 是从有限到 可数，从可数到无限，这些空自j 的p 乘积( 即x = r 。爿x 。) 能够与r 酣x 。 ( v f 1 砌) 保持同样的性质。 本文的创新点在于：根据已有的文献找出一些类似的空间在一些映射下是否 保持不变性，以及他们的一些刻画，能够用类似的方法证明这几类空i 日j 在这些映 射下也是否保持不变性；同时给出了一些新的映射、刻画定理和一些性质并加以 证明。在证明过程中，怎样开覆盖变成可数，l ：覆盖，使结果也具有可数性质呢? 本文通过对可数m e s o 紧空间，可数亚紧空间，局部m e s o 紧空间的研究得出以下 结论： 1 ( 1 ) 下列论断等价： ( a ) x 是可数m e s o 紧空间。 ( b ) 对的每一可数开覆盖妙a 。存在紧有限的可数开覆盖形 剧使 v c u i ，i n ( 2 ) 下列论断等价： ( a ) x 是可数m e s o 紧空间。 ( b ) x 的每一定向可数丌覆盖具有可数闭包保持闭加细覆盖矿使由x 的所 有紧集组成的集族加细玩 ( 3 )可数m e s o 紧空间在准完备映射下的象是可数m e s o 紧空间。 ( 4 )厂：x 专】，是空间x 到可数m e s o 紧空间】，上的准完备映射，则x 是可 数m e s o 紧空间。 ( 5 ) 厂是空间x 到空间】，上的m e s o 紧映射，如果】，是可数m e s o 紧空间， 则彳也是可数m e s o 紧空间。 ( 6 )设x 是可数m e s o 紧空间，王，是局部紧的且是可数m e s o 紧的，则x 】， 也是可数m e s o 紧的。 ( 7 ) 可数m e s o 紧空间在闭的紧覆盖映射下的象是可数m e s o 紧空间。 ( 8 ) 正规空间x 是可数m e s o 紧空间，则x 的只子空间也是正规可数m e s o 紧的。 第l 章引言 2 ( 1 )若条件( ，) 指z 是f 一型局部m e s o 紧空间( f = 1 ，2 ，3 ) ，则 ( i ) 3 一型局部m e s o 紧空l 日j j2 一型局部m e s o 紧空间j 卜型局部m e s o 紧 空间； ( i i ) 若x 是丁f 则空问，则下列条件等价： ( a ) 3 一型局部m e s o 紧空问 ( b ) 2 一型局部m e s o 紧空l 日j ( c ) l 一型局部m e s o 紧空i 日j 。 ( 2 )( i ) 若x 是卜型局部m e s o 紧空间，则其闭子空间也是如此； ( i i ) 若x 是f 一型局部m e s o 紧空间( f = 2 ，3 ) ，则其开子空间和闭子空 间亦然。 ( 3 ) f 一型局部m e s o 紧空间与f 一型局部紧空间的积是f 一型局部m e s o 紧空间 ( f = l ，2 ，3 ) 。 3 ( 1 ) 厂：xjy 是亚紧映射，如果l ，是可数亚紧空间，则x 也是可数 亚紧空间。 ( 2 ) 厂：x 寸】，是空间x 到可数亚紧空间】，上的准完备映射，则x 是可数亚 紧空间。 ( 3 ) 设空白jx 是可数亚紧的，l ，是紧空间，则积空间x 】，也是可数亚紧的。 ( 4 ) 设x 是可数亚紧空间，y 是局部紧的且是可数亚紧的，则x 】，也是可 数亚紧的。 成都理i ：人学硕十：学位论文 2 1 符号说明 第2 章预备知识 为了统一起见，本文采用了通用的记号和术语。 以r 表示直线，j v ，q 和，分别表示r 的自然数子集，有理数子集和单位区间。 缈有三种含义，一是尺的子集u 0 ) ，二是第一个无限序数，三是最小的无限 基数，它的确切含义在上下文中是不会混淆的。 两个集彳，b 的并，交及差分别表示为： 彳u 占= x ：x 彳磅h b ， 爿nb = x ：x 彳且b b ) ， 彳一日= x ：x 彳上k 叠b ) 。 这罩“”，“诺”分别表示“属于”，“不属于”。空集用表示，4nb = 表示集爿与集b 不相交；彳一b = 表示彳cb ，也就是x 么x b 。符号 “j ”表示”蕴含”。符号“营”表示“当且仅当”。彳cb 时称为彳是b 的 子集。如果么cb 且爿b 称为彳是b 的真子集，空集是任何集的子集。 以集为元素的集称为集族，或简称为族。集族 彳，) 阿，或写作 彳，：y r ) ， 这里r 是指标集。由集组成的序列 彳。，4 ：，4 为集族的特例，这时可表示为 彳。) 。，或写作 彳。：聆) ，这里指标集是自然数集，或省去指标集记为 彳。 或 彳。) ：。集族的并，交可表示为u 埘彳，n 阿彳，；在集的序列情况下则为 u 。彳。( 或u ：。么。) ，n 。彳。( 或n ：，么。) 对于空间x ，j 和r 均表示x 上的拓扑。对于集和x 的子集族沪，x x ， 4cx ，汜 ( 彭矽) ，r 、= 尸彭矽： x p ， ( 沪) 。= p 沪：尸n 彳) ， 沪l4 = 尸n 彳：尸驴) ， s t ( x ，沪) = u ( 沪) ， s t ( 彳，沪) = u p 沪：尸n 么) ， 驴“= c ：是有限的 若x 。( ，z ) 是x 中的一列点， 表示彳的子集 x 。：，z ) ，( x 。) 表示笛 卡儿积x “中的第，2 个坐标为x 。的序列。像通常一样， x 。) 表示x 中的第，z 项为 x 。的序列。对于x 中有多个下标的序列，如 x 。) ，分别记 x 。 。和 x 。) 。为固 定脚关于刀和固定门关于m 的序列。若空间x 的序列 x 。) 收敛于点x ，记 4 第2 章预备知谚 x 。 = x ) u x 。：，2 j ) v ) 。对于空间x 的子集族沙及映射f ：x 专】，分别记的 c l ( ) = c l ( 驴) ：j p 驴) 及p 在的象厂( p ) 一厂( 尸) ：尸沪 。对于积 空间兀。x 。及历j ) v ，以万。：兀。x 。弗x 。及表示兀膳x ，在第优个坐标 上的投影映射。 未定义的以文献 1 蒋继光的 为准。 2 2 拓扑空间与映射 定义2 2 1设有集x ，设少是x 的子集所成的集族满足： ( i ) m 少，x ， ( i i ) 女口u ，o 歹( f = 1 ，2 ，胛) ，贝0n 名lu ，j 歹， ( i ii ) 女口u ，矿( r ) ，贝0u u ，：r ) 芦。 这旱指标集r 是无限集，则称( x ，少) 是拓扑空间。少是这空间的拓扑， 的元素称为开集。在没有必要指出x 上的拓扑少时，通常简单地用x 表示 拓扑空间。 定义2 2 2 设空间彳是拓扑空间，x x ，如果x 的子集包含着某一丌 集，这开集包含着点x ，则称u 是x 的邻域；如果【，是开集，则称u 是点x 的开 邻域。 定理2 2 1设彩( x ) 是点x 的所有邻域所成集族，则满足： ( n 1 ) x 2 多( x ) ， ( n 2 ) 如u 雹多( x ) ，贝0 x u ， ( n 3 ) 女口u 锡多( x ) ，y3u ，贝0y 雹多( x ) ， ( n 4 ) 如u ，y 钇多( x ) ，贝0u ny 铝石( x ) ， ( n 5 ) 如【，彩( x ) ，则存在集y 使x 矿cu 及对任何x y ，y 彩( x 。) 。 定义2 2 3 设孝，7 7 是x 的子集族。 ( i ) 7 7 是孝的部分加细或7 7 部分加细f ，如果7 7 的每个元包含在f 的某个 元内，即v 召7 73 彳f ( 召c 爿) 。 ( i i ) 7 7 是孝的加细，如果7 7 是孝的部分加细且u7 7 = u 掌。 ( i i i ) 设彳c 彳，f 是爿的覆盖，如果4cu 孝，称孝是开( 闭) 的，如果善 的每个元是x 的丌( 闭) 集。 定义2 2 4 设f ，7 7 是x 的覆盖 ( i ) 7 7 是孝的点星形加细，如果族触g ，7 7 ) ：x x ) 是f 的加细。 ( 1 i ) 7 7 是善的星形加细，如果族溆，7 7 ) ：召7 7 是孝的加细。 定义2 2 5( i ) 空间义的覆盖善是正规的，如果亭是丌覆盖且x 有一 气 成都理i ：人! 学硕 j 学位论文 列丌覆盖( 掌，) ，使得彘= f 且v 胛么缈，专川是六的星形加细。 ( 1 1 ) 空间x 足完满i f 舰的，如果x 的每个丌覆盖是f 规的。 定理2 2 2拓扑空i 刈x 中的子集u 是丌集当且仅当u 是它的每一点的邻 域。 定义2 2 6拓扑空问x 的子集f 称为闭集，如果x f 是开集。 定理2 2 3拓扑空间x 的所有闭子集f 形成的集族少满足下列条件： ( f 1 ) j 矿，x 。矿， ( f 2 ) 女口f j 矿( f = 1 ，2 ，玎) ，贝uu 2 lf j 矿， ( f 3 ) 女口e j 矿( y r ) ，贝0n e ：厂r ) j 矿。 这里指标集是无限集。 定理2 2 4 设矿是集的子集族满足( f 1 ) 一( f 3 ) ，则少正好是拓扑空间 ( x ，歹) 中所有闭集形成的集族，这早少= x 一，：f 矿) 。 定义2 2 7 设( x ，少) 是拓扑空间，x 。cx ，对x 中每一开集u ， 置u 。= unx ，容易验证这些x 的子集u 所成的集族少7 满足( i ) 一( i i i ) ，所以 少7 = u ：己厂= u n x ，u 少) 形成x 上的拓扑，称为关于的相对拓 扑，拓扑空间( ，少) 称为拓扑空间( x ，少) 的子空间。 定理2 2 5设f cx ，则f 是子空间x 的闭集当且仅当存在x 中的闭集 f 使f ：fnx ，从而彳cx 关于x 的闭包彳：才nx 。 定义2 2 8爿是拓扑空间x 的子集，所有包含集彳的闭集的交称为集么的 闭包，也就是包含彳的最小的闭集，记作爿。集彳的每一点称为集彳的接触点。 由上述定义可知，拓扑空间x 的子集爿是闭集，当且仅当么= 彳；子集u 是 开集当且仅当一u = x u 。 定理2 2 6 满足如下条件： ( c 1 ) = ， ( c 2 ) 43 彳， ( c 3 ) 彳ub = 彳ub ， = 一 ( c 4 ) 4 = 彳。 ( ( c 1 ) 一( c 4 ) 称为k u r a t o w s k i 闭包公理) 定理2 2 7点x 彳当且仅当点x 的每一邻域与4 相交。 定理2 2 8 集【，是点x 的邻域当且仅当x 叠x u 。 在离散空间x 中，x 的任何子集爿的闭包就是彳，也就是么= 爿，所以离散 空间的任何子集都是闭集，也同时都是丌集。在平凡拓扑空间x ，任何非空子 集爿的闭包是空间x ，也就是彳= x ( 彳) ，彳= 中( 彳= 中) 。 定理2 2 9设是一集，对x 的每一子集么，规定一集彳使其满足 6 第2 章颅备知识 ( c 1 ) 一( c 4 ) ，定义x 的子集u 为丌集当且仪当满足条件： x u = x u 则如卜定义的开集族满足拓扑空间的定义( i ) 一( ii i ) ，从而x 成为拓扑空问 相对于闭包概念，下面引进内核概念。 定义2 2 9 没彳是拓扑空间的子集，一切包含彳内的开集的并称为集彳 的内核，也就是包含彳内的最大的开集，记作彳o ( 或砌纠) 。 由上述定理可知，拓扑空间x 的子集彳是丌集，当且仅当爿o = 彳。 设爿是拓扑空间的子集，点x 称为集彳的内点，如果爿是点x 的邻域，也 就是存在x 的一个开邻域u ( x ) c 彳；集么的一切内点所成集显然是丌集，从而就 是集么的内核。 关于内核与闭包间的关系有下面定理。 定理2 2 10 设彳是拓扑空间x 的任一子集，则有4 0 = x x 一爿。 定理2 2 1 1内核满足如下条件： ( i1 ) x o = x ， ( 1 2 ) 彳oc 彳， ( 1 3 ) ( 彳n b ) o = 彳on b o ， ( 1 4 ) ( 彳o ) o = 彳o 。 定理2 2 1 2 设4 是拓扑空间x 的任一子集，则有爿= 一( x 一彳) o 。 定义2 2 1 0 点x 称为集彳的聚点或极限点，如果x 彳一 x ) ；集彳的所有 聚点所成集称为集爿的导集，汜作彳“。 定理2 2 1 3 点x 属于彳“当且仅当点x 的每一邻域包含集4 的异于x 的一 个点。 定理2 2 1 4 集么一彳d 的点称为集彳的孤立点，点x 是空间x 的孤立点，当 且仅当 x ) 是一丌集。 定理2 2 15导集满足如下条件： ( d 1 ) 彳= 彳u 彳d ， ( d 2 ) 如彳cb ，贝归dcb d ， ( d 3 ) ( 么u b ) j = 彳du b d ， ( d 4 ) u 时彳? c ( u 阿爿。 定义2 2 1 1 拓扑空间的集族彩= 虬：口彳) 称为拓扑空间x 的覆盖， 如果x = u u 口：口彳) ；如果彩中的元素都是开集( 闭集) ，则称为歼( 闭) 覆盖； 当指标集彳是有限集( 可数集) 时，则称为有限( 可数) 覆盖；如果彩的子集族彩 仍是覆盖，则称彩是彩的子覆盖。 定义2 2 1 2 拓扑空间彳称为紧空间，如果x 的每一开覆盖具有有限子覆 7 成都理r 人学硕 j 学位论文 盖。 定义2 2 1 3 拓扑空间x 称为局部紧的，如果每一x x 具有一个紧的邻 域。 定义2 2 14 拓扑空i 日jx 称为可数紧空间，如果x 的每一可数开覆盖具有 有限子覆盖。 定理2 2 16 拓扑空间x 是可数紧空间当且仅当每一具有有限交性质的可 数闭集族的交不空。 定义2 2 15 空间x 的覆盖 形= u 。) 。称为局部有限的，如果对每一 x x ，存在x 的邻域u ( 。) 使u 。) n 虬，仅对有限个口爿成立；覆盖 驴= ) 雕劈称为是覆盖彩= u 口 。的加细覆盖，如果驴中的每一元素总包含 于彩中的某一元素u 。内。 定义2 2 16拓扑空间x 称为仿紧的，如果x 的每一开覆盖具有局部有限 的加细丌覆盖。 定理2 2 17局部紧空间的闭子空间是局部紧空间 引理2 2 3 4 正规空间的闭子空间，只子空间是f 规的。 定理2 2 18 设x 是紧空间，y 是拓扑空间，则积空间x 】，到y 上的投射 p 是闭映射。 定义2 2 17拓扑空间到拓扑空间】，内的映射厂称为连续的，如果】，中 丌集y 的逆象厂。1 ( y ) 是x 中的开集。 在给出下列定理前，复习一下集在映射，下的象和逆象的关系： - 1 ( ( 么) ) 3 么，厂( 厂- 1 ( b ) ) cb 。当是满映射时，后式厂( 一( b ) ) = b 定理2 2 19 下列论断是等价的： ( i ) 腰0 】，内的映射厂是连续的， ( i i ) y 中闭集，的逆像一( f ) 是闭集， ( i i i ) 对每一bc 只厂- 1 ( b ) 3 厂_ 1 ( b ) ， ( i v ) 对每一彳c 疋厂( 彳) c ( 彳) ， ( v ) 对每一x x 及厂) 的每一邻域y ，存在x 的邻域【，使( u ) cy 。 定义2 2 18 拓扑空问到拓扑空间j ，内的映射厂称为闭映射，如果x 中 每一闭集f 的象厂( f ) 是j ，中的闭集；称为开映射，如果x 中每一开集u 的 象厂( u ) 是】，中的开集。 定理2 2 2 0 下列论断等价： ( i ) x 到】，内的映射是闭映射， ( ii ) 对x 的每一子集么，厂( 彳) 3 厂( 彳) 。 下面的定理在论述连续闭映射保持某些拓扑性质时很有用处。注意这里的映 第2 章预备知识 射是“剑上”的，也就是满映射。 定理2 2 2 1设厂是拓扑空间x 到拓扑空间y 上的连续映射，则下列论断 等价： ( i ) 厂是闭映射， ( ii ) 对每一子集ecy 及x 中的丌集u3 厂一( e ) ，存在x 中丌集y 使 厂- 1 ( ) c 矿cu 及y = 厂1 ( ( y ) ) ，厂( 矿) 是】，中丌集。 ( ii i ) 对每一少y 及中的丌集己，3 厂。1 ( y ) ，存在x 中丌集矿使 厂- 1 ( j ，) cycu 及y = 厂。( 厂( y ) ) ，厂( y ) 是】，中开集。 定理2 2 2 2下列论断是等价的： ( i ) 艇0 】，内的映射厂是丌映射， ( i i ) 对x 的每一子集彳，厂( 彳o ) c ( 厂( 彳) ) o ， ( i i i ) 对m 每一子集b ，厂。1 ( b ) c 厂一( b ) ， ( i v ) 每一点x x 的丌邻域u 的象厂( u ) 包含着厂( x ) 的某一开邻域。 定义2 2 19空间x 到空间】，的映射厂：x l ，称为准完备的，如果厂是 连续闭映射，且对于每一y 】，叫) 是空间x 可数紧集。 定义2 2 2 0 设工x 专】， ( 1 ) 厂称为有限到一映射，若每一厂。1 ( 少) 是彳的有限子集。 ( 2 ) 称为紧映射，若每一厂。1 ( y ) 是x 的紧子集。 ( 3 ) 厂称为s 映射，若每一厂一( y ) 是x 的可分子集。 ( 4 ) 厂称为商映射，若厂。1 ( u ) 是x 的开子集，则黾】，的开子集。 ( 5 ) 厂称为伪开映射，若嘞的开子集且厂一( y ) c 矿，则厂( 矿) 是y 在j ，中的 邻域。 ( 6 ) 厂称为几乎开映射，若对于y 】，存在石厂- ( y ) 使得如果u 是x 在x 中的邻域，则厂妙) 是y 在】，中的邻域。 ( 7 ) 厂称为完备映射，若厂是闭且紧的映射。 易验证 开映射几乎开映射 u 有限到一闭映射完备映射j 闭映射j 伪开映射j 商映射 定义2 2 2 1设映射 x 寸】，则 ( 1 ) 称为紧覆盖映射，若】，的任一紧子集是x 中某紧子集在厂下的象。 ( 2 ) 称为序列商映射，若 n ) 是】，中的收敛序列，那么存在 儿) 的子序列 j ，。) 和彳中的收敛序列 使得每一x ，一( 儿，) 。 o 成都理i ：人学硕十学位论文 ( 3 ) 厂称为序列覆盖映射，若 y ，) 是y 中的收敛序列，那么存在x 中的收敛 序列 x 0 使得每一x ，厂一( y ，i ) 。 ( 4 ) 厂称为伪序列覆盖映射，若】，中的任一( 含极限点的) 收敛序列是x 中某 紧子集在厂下的象。 ( 5 ) 厂称为子序列覆盖映射，若 少。) 是】，中的收敛序列，那么存在x 中的收 敛序列，那么存在x 中的紧子集k 使得厂( k ) 是 y 。) 的子序列。 ( 6 ) 称为l 序列覆盖映射，若对于y l ，存在x 一) 满足：如果l ，中的 序列 y 。 收敛于y ，那么存在x 中收敛于点x 的序列 z ， 使得每一 x 。厂一1 ( 少。) 。 ( 7 ) 厂称为2 一序列覆盖映射，若对于y l ，存在x 。1 ) 满足：如果】，中的 序列 儿) 收敛于y ，那么存在x 中收敛于点x 的序列 x 。) 使得每一x 。厂( y 。) 。 定义2 2 2 2 设有一拓扑空间 ( x ，髟) 坩，1 1 是无限集，作直积 x = 兀时x ，设0 是艇岈，( y r ) 上的投影映射。我们要求给以使每个投 影尸，都成为连续映射的最粗拓扑，为此我们给出集族 ：肜= 万1 ( ) ，杉矿，( 7 r ) ) 作为x 上拓扑叨伯次开基，也就是这集族的元素的有限交形成彩韵开基， 因此这些丌集族： 兀，以：k 少，且除有限个y 外= x ， 满足 1 王v i i， j ( i ) 一( i ii ) ，容易验证彩r 厂是使投影映射只( y f ) 都连续的x 上的最粗拓扑，这拓 扑呸纩称为积拓扑也称为t y c h o n o f f 拓扑。空间( x ，巧纱) 称为空间族 ( 彳，形) ) 珂的积空间。 定义2 2 2 3设x ，x ，x 。是珂1 个集合，1 f 力。从笛卡儿积 x = x x ：x 彳。到它的第f 个坐标集x ，的投射( 或称第f 个投射) 以： x 专彳，定义为对于每一个x = ( x ，x 2 ，) x ，p ，g ) = x ，。 定义2 2 2 4空间x 到空间y 的映射厂：x 专y 称为准完备的，如果厂是 连续闭映射，且对于每一y 】，。) 是空间彳可数紧集。 定义2 2 2 5拓扑空间x 到拓扑空间】，的连续闭映射厂：x 专】，称为完备 映射，如果对每一y 】，一) 是空间x 紧集。 定义2 2 2 6 设厂是正则空间x 到仿紧空间】，上的闭映射，且对每一 y 】，厂。1 ) 是x 的l i n d e l o f 子空间，则x 是仿紧空间( 上述映射厂通常称 为闭l i n d e l o f 子空间。 定义2 2 2 7设拓扑空间x 到拓扑空间】，上的连续映射厂是一一对应的， l o 第2 章预备知识 且逆映射是y 到x 上的连续映射，则称厂是同胚映射或拓扑映射。在此情况， 空间x 与空问j ，称为同胚的。 在拓扑学中，同胚的空间看作是等同的，没有区别。 定理2 2 2 3 对任意空间x ，下列各条件等价： ( i ) x 是仿紧的； ( i i ) x 的每个定向丌覆盖有局部有限丌加细； ( i ii ) x 的每个定向丌覆盖有局部有限的收缩； ( i v ) x 的每个定向丌覆盖有局部有限丌加细； ( v ) x 是可数仿紧的且x 的每个丌覆盖有仃一局部有限丌加细； ( v i ) x 的每个良序，l ：覆盖有局部有限丌加细； ( v i i ) x 的每个良序丌覆盖有局部有限的收缩； ( v i ii ) x 的每个良序丌覆盖有盯一局部有限开的强加细。 定理2 2 2 4 下列论断等价： ( i ) x 是亚紧。 ( i i ) x 的每一定向丌覆盖具有闭包保持闭加细覆盖。 ( i i i ) x 的每一开覆盖髟具有点有限的加细覆盖使对每一x x ， x i n t ( s t ( x ，多9 ) 。 ( i v ) x 的每一开覆盖具有丌加细覆盖使对每一x x ，存在有限族 c ，如x y 髟则y 包含在的某些元u 内。 定理2 2 2 5 下列论断等价： ( i ) x 是m e s o 紧空间， ( i i ) x 的每一定向开覆盖具有闭包保持闭加细覆盖舅使由x 的所有紧集 组成集族加细尻 ( i i i ) x 的每一丌覆盖髟具有紧有限的加细覆盖使对每一x x ， x 工n t ( s t ( x ，多9 ) 。 ( i v ) x 的每一开覆盖具有丌加细覆盖使对每一紧集kcx ，存在有 限族c 髟，如紧集k 使kny ，y 则y 包含在影的某些元u 内。 定义2 2 2 8 下列论断等价： ( i )x 是可数亚紧空间。 ( ii ) x 的每一可数开覆盖妙，) 。存在点有限的可数开覆盖彤) 剧使 cu ，f ( i i i ) 对x 的每一递增开覆盖 彬 删，存在x 的闭覆盖亿 删使fc 形， f 。 ( i v ) 对x 的每一递减的闭集序列伊) 训满足n 删f = ，存在x 的开集序 列 删使fc 彬( f ) 且n 剧彬= 。 1 1 成都理i ：人。z 硕十。学何论文 定理2 2 2 6f 列论断等价： ( i ) x 可数亚紧空间。 ( ii ) x 可数目加细空间。 ( iii ) 对x 的每一递减的闭集序列 f 剧满足n 剧f = ，存在x 的g 艿集 的序列 g ，) 。使fcg ，且n 剧g ，= 。 第3 章t 要结果 第3 章主要结果 3 1 可数m e s o 紧空间 定义3 1 1空间x 称为可数m e s o 紧空间，如果x 的每一可数丌覆盖具有 紧有限的丌加细覆盖。 定义3 一卜2 厂称为m e s o 紧映射，如果砂j ，以及，：集族覆盖t 厂一) ， 存在j ，的邻域o ，使得覆盖厂1 ( d 。) 且八厂。1p ，) 在子空间1p ，j 中有丌加 细覆盖以彭在子空问厂。1 ( d ? ) 中是紧有限的。 引理3 1 1f 规空间的闭子空问，c 子空间是证规的。 引理3 1 2 设是正规空间的丌c 集，则彬= u ：。f ，诸f 是闭集且 满足fcf + ，。cf + l ( f = 1 ，2 ，) 。 引理3 一卜3可数m e s o 紧空间在连续映射下的象是可数m e s o 紧空间。 证明：设厂是可数m e s o 紧空问x 到空间j ，上的连续映射，妙， ，。是空l 日j j ， 的一可数开覆盖，则扩一p ，) 。是空间x 的一可数开覆盖。又因为x 是可数 m e s o 紧的，则存在紧有限的开覆盖扩。1 ( ) ，。加细扩一缈，) ，。，从而以 ，；是 空间】，的紧有限开覆盖加细妙a 。，故空间】，是可数m e s o 紧的。 下面是本文的主要结论： 定理3 1 1下列论断等价： ( 1 )x 是可数m e s o 紧空间。 ( 2 ) 对x 的每一可数开覆盖妙a 。存在紧有限的可数丌覆盖缈) 删使 杉cu ， f 证明：( 1 ) j ( 2 ) 设沪妙， ，。是可数m e s o 紧空间的可数开覆盖， 由( 1 ) 知存在紧有限开覆盖沪杪) 加细髟，对每一矿影1 选定一个自然数f 缈) 使 ycu ，( ，) 。令= u 杪：矿髟f 缈) = f 缈 剧仍然是紧有限的，显然加细 且杉cu ， f 。 ( 2 ) ( 1 ) 显然。 定理3 一卜2 下列论断等价： ( 1 ) x 是可数m e s o 紧空间。 ( 2 ) x 的每一定向可数开覆盖具有可数闭包保持闭加细覆盖罗使由x 的 成都理i ：人学硕十。 何论文 所有紧集组成的集族加细死 证明：( 1 ) j ( 2 ) 设沪 u ， 圳，是x 的定向可数丌覆盖。由( 1 ) 知，存在 紧有限的丌加细形芒