（应用数学专业论文）含权的平均曲率方程dirichlet问题解的存在性.pdf

摘要 摘要 本文主要研究了一个宙狡的平均益率方程d i r i c h l e t 问蹶非平民解释无穷多 个解的存在性，讨论”r 该方程非线性部分奇性项和非奇性项各种指数增长情况下 的结栗 当方程呈s o b o l e v 临爨指数增长或s o b o l e v - h a r d yi 斑界指数增长时，彝j 用 b r i z e s 和l i e b 对于满足一定条件的某种泛函的收敛与函数p a i n t w i s e 收敛关系 豹结暴，涯骧了泛爱在p 2 时满足局部f p s ) 。条纷。 当奇性项和非奇性项都低于临界指数增长时。主要用到了p e t e rt o l k s d o r f 文 漱孛静不等式，汪襞了泛函在p 1 对瀵是( p s ) 。条传，这爨e 为任意戆实数。 在检验山路几何条件时利用一定的技巧，诫明了1 p 1 ，w h e r eci sar e a ln u m b e rf o r a 1 1 w h e n t e s t i n gt h em o u n t a i np a s sg e o m e t r yc o n d i t i o n ，w ee x p l o i tac e r t a i n t e c h n i q u ea n dt e s t i f yt h em o u n t a i np a s sg e o m e t r yc o n d i t i o ni sa l s oc o n t e n t e da s 1 1 ，；+ 1 对于一般的二阶椭圆型e u l e r 方程的d i r i c h l e t 问题 =0z q =gz a q ( 1 5 ) ( 1 6 ) u duz c + 曲 du 如r d 2华南理工大学理学硕士学位论文 其中g w1 ，9 ( n ) ，其弱解或广义解定义为： 定义1 1 ：若f 关于。可测，关于s ，r 一阶连续可微，且满足可控制增长 条件( 1 3 ) 一( 1 4 ) ，而 “w 1 、9 ( q ) ，u ge 名9 ( n ) 且v 妒w 9 9 ( q ) ，有 厂 【b ：( 。，札，d u ) o i 妒+ f s ( z ，u ，d u ) 妒 d x = 0 j n 则称乜是问题( 1 5 ) 一( 1 6 ) 的弱解或广义解。 如果问题的弱解存在并且属于( q ) nc ( 磊) ，方程中各系数具有一定的光 滑性，那么弱解就是古典解为了获得古典解而展开的对弱解正则性的研究至今 仍是一个活跃的领域但弱解本身在物理学、力学及工程技术领域中有着具体的 实际意义，找到了弱解或证明了它的存在性就解决了实际问题，所以有时勿须再 讨论弱解的正则性 因此，讨论闯题( 1 5 一( 1 6 ) 豹弱解就可转化为讨论相应泛函 r ，( ”) = f ( z ，牡，o u ) d z ，趾w 1 。( q ) j n 的临界点，即“满足 r ( j ( 程) ，西= “毋。( g ，珏，o u ) d i q p + e ( 。，铭，d 牡) 纠如= 0 ，v 妒w 3 。) j n 泛函i ( u ) 在允许函数类 k = 牡w 1 , p ( q ) l “一g 删9 ( q ) 中的极小鳃一般是履于s o b o l e v 空间的，故当珏w 1 9 ( q ) 时，必须讨论泛函 i ( u ) 的可微性下面引进泛函微分的定义： 定义1 2 ：设e 是b a n a c h 空间，是从e _ 豫上的映射，uce 称 ，在z oeu 是g a t e a u x 可微，是指：vh e ，jd f 扛o ，h ) e 赋，使 f ( x o + t h ) 一f ( x o ) 一t d f ( z o ，h ) = o ( t ) z o + t h u ，t 0 + 时 而d f ( z o ，h ) 称为是，在z o 处沿方向h 的g a t e a u x 导数，简称g 可微或弱可 微 第一章绪论 3 根据定义1 2 可知 气掣。划c u ，纠 就是，在札处沿妒方向的g 导数， r _ 5 i ( u ，妒) = d i ( u ，妒) 若f ( x ，u ，r ) 关于“，r 一阶连续可微，且满足( 1 3 ) 一( 1 4 ) ，则j ( u ) 关于 v 妒w d 9 ( q ) 是g 可微的，且成立着 d t ( a ，妒) = 毋。( z ，e ，d u ) d 妒+ f s ( z ，h ，d u ) v d x ，i l 用泛函极小问题来证明拟线性椭圆型方程组弱解的存在性时，必须要泛函是 下有界的，而与半线性方程 一x u = 缸2 ，z q ，q c r 3 相应的泛函，( “) = 厶( 学一譬) 如在w d 2 ( n ) 中既无上界也无下界另外，在 考虑齐次d i r i c h l e t 问题的拟线性椭圆型方程的解时，用泛函的极小解的方法来 找它的弱解，不能排除极小解就是0 ，即平凡解为了克服这些缺陷，可在允许 函数类k 中加一些条件，如下列之一： 1 厶l 珏! p d z = a ； 2 1 i = 1 ，札= ( 札l ，- a n ) ； 3 n e h a r i 技巧中，在无限维流形中限制，n d 1 2 d z = 矗g ( a ) a d z 等，这些通称为求泛函限制极小的方法 现代理论属于无穷维空间上的大范围变分方法山路引理、一系列极小极大 原理、l s 理论、m o r s e 理论等等都属于变分学中的现代理论l s 理论和m o r s e 理论是为了研究测地线而提出的有限维流形中的临界点理论，p a l a i s s m a i l 把它 们推广到无限维流形中，为此提出了fp s ) 条件 定义1 3 ：设e 是b a n a c h 空间，( u ) c 1 ( e ，r ) ，称，满足p a l a i s s m a l e 条件( 简称( p s ) 条件) 是指：vf “。 ce ，使 f ( “。) 有界f 7 m 。) o 0 则 世。 必有收敛子列 ( 尸s ) 条件通常可用( p s ) 。条件替换，即 !矍堕翼三奎篓翼耋堡圭耋堡墼奎 定义1 4 ：称，( “) 满足( p s ) 。条件是指：若u 。 ce ，且 则 钍。 必有收敛子列 定义把泛函f 沁) 与空间e 和“紧住”条件结合起来，这在变分学的现代理 论申是经零要懑裂豹，选楚稠撄出臻弓| 理、壤枣极大定理、m o r s e 理论黪嚣克服 的主要困难 设e 是实的b a n a c h 空间，f ：e - 9 r 燕e 1 泛函对o r ，称集 五一 g e t f ( x ) 曼a 为，约拳乎集考察当a 变纯融矗鲍攘 结穆熬变化， 就可以建立m i n i m a x 原璎，它是临界点理论的基本定理之，由它可推出著名 静斑路弓 理( m o u n t a i np a s sl e m m a ) 出路弓f 遴是a m b r o s e t t i 稻r a b i n o w i t z 在1 9 7 3 年提出来的，见文献f 1 2 1 先介绍山路引理的一个变形，即没有( p s ) 条件的山路引理，它在讨论临界 指数祷琵懿辖努点或其它一些失去紧榷酶蒲凝菲港青角。 定理1 1 ；若曰是b a n a c h 空间，1 c ( e ，r ) ，存在一个0 元的好邻域 u 和某点u o u 使 r ( o ) ，i ( u o ) 2 ，n e ，z q 以厝的文献在引用此条件或类似的条传时都称之为( a r ) 条传。 第一章绪论 5 后来，b r e z i s 和n i r e n b e r g 将山路引理推广到了更一般的情形，见文献【2 4 1 r a b i n o w i t z 则将极小极大原理与拓扑不变量亏格相结合，证明了偶泛函的i 临界 点理论偶泛函的临界点理论主要用来证明一类偶泛函所对应的e u l e r 方程的无 穷多个解的存在性。 1 2本文的课题来源及主要内容 j v g o n c a l v e s 和o t f m i y a g a k i 在文献【3 0 】中研究了下面问题的多个正 解的存在性 一札+ o ( z ) u = ( z ) u 4 + 伊，u 0 ，u 0 ，茁 ( 1 8 ) 这里a ：n no r 上的连续非负的函数，且满足a ( x ) 2a o 0 ，z r “； h ：瓜_ _ 豫上的非负可积函数，h l q 0e l l o o ，q o = 丽彳雨2 n 瓣，并且h 比较 小即要满足文献f 3 0 】中条件( h 1 ) ，0 g 1 p ( n + 2 ) ( n 一2 ) ，3 b r e z i s 和n i r e n b e r g 曾经在有界区域q 中研究过方程( 1 8 ) ，但那里h 是 实参数，且1 q p ，a = 0 ，见文献【2 5 】a m b r o s e t t i 和b r e z i s 讨论了 0 q 1 的情况，得到了方程的多个解，见文献f 1 1 1 c o r t a z a r 则直接取 a = 0 ，h ( x ) = 一1 ，研究了无界区域r _ 中方程解的情况，见文献【1 9 定义日1 = h 1 ( r n ) 空间上的范数为 令 ，( i v u i ：+ u 2 ) d z j r o r = “h 1 f 上。( i v 札1 2 + a ( z ) “2 ) 妇 。 其上范数定义为 怿( i v u f 2 + n ( z ) u 2 ) 出 j r “ 定义e 为唏。( 蕊“) 按范数l l “孙的完备闭包空间 文献【3 0 要求a ( x ) 满足某种紧性条件，即当- - 9 , o 。时，a ( x ) _ 。，这样就 使e 在无界区域中紧嵌入于，其中2 r 3 。从而保证了与方程( 1 8 ) 相应的泛函在低于临界指数情况下满足( p s ) 条件。 如果方程中的权因子a ( x ) 不满足上述紧性条件，情况又会是怎样的呢? 这 就是本文第二章所要讨论的问题。 6 华南理工大学理学硕士学位论文 下面比较两组方程 f 也：擎 z q o 觎 c 。， a 。- ，a a 。u = ：x 。“：i 鬟沱 不难发现，两组方程的边值条件有很大的不同通常把具有形如u a n = 妒( s ) 边 界条件的问题称为d i r i c h l e t 问题，丽称具有鬈a n = 妒( s ) 边界条件的问题为 n e u m a n n 问题当然还有其它一些边界条件，这里恕不多说我们知道方程( 1 ) 的第二特征值是比较难得到的，而方程( 2 ) 的第待征值相当于( 1 ) 的第二特征 值，从这一点就可看出，研究n e u m a n n 边值问题要较d i r i c h l e t 问题困难得多 半线性椭圆型方程的n e u m a n n 边值问题在上世纪八十年代，九十年代得 到了广泛的研究。w m n i 和i t a k a g i 在次临界增长条件下研究了半线性 n e u m a n n 边值问题，得到了正解的一个先验估计汪徐家在文献f 4 8 1 中运用没 有( p s ) 条件的山路引理研究了格界半线性n e u m a n n 边值问题的正解存在性，但 没有回答相应的泛函极小问题是否可达这个问题沈尧天等在文献f 1 ( 1 2 3 1 2 7 ) 里解决了这个问题 对于临界增长的拟线性椭圆型n e u m a n n 边值问题，主要困难在于：一是由 于嵌入w 1 ，( q ) ql p 。( q ) 不紧所带来的困难；二是因为对n e u m a n n 问题所考 虑的空闻是w 场( q ) ，这对相应的最佳嵌入常数与区域q 以及范数的选取有关， 因此适用于d i r i c h l e t 问题的方法就不能直接应用于n e u m a n n 问题张桂宜等在 】，一) 上建立了一个嵌入常数不依赖于区域和范数选取的不等式，并对第二集 中紧性原理做了适当的修改，使之适用于1 ，”( q ) 中的函数，证明了具临界指数 拟线性椭圆型方程n e u m a n n 问题相对应的变分泛函满足局部的( p s ) 。条件， 最后利用对偶变分原理得到问题的多锯性结果，见文献 3 】遗憾的是该文章没 有验证( p s ) 。条件中c 的范围 本文第三章就是从这里找到契机，以文献 3 l 为参考，并借鉴文献( 4 8 和 1 ( a 2 3 1 2 7 ) 中方法，证明了一个临界拟线性椭圆型方程n e u m a n n 问题的极小 解是可达的 目前在用变分方法求方程鼯的理论研究中已然形成了一种新的研究方向，那 便是将研究不等式与研究方程结合起来最好的例子是“”算子的第一h a r d y 不等式 上。辛出( 志) 上i d u l 2 d z u 础( q ) ，n2 3 ( 1 9 ) 第一章绪论 7 以及第二h a r d y 不等式 z 爵出曼( 职芳习) 2 1 砰如“明( q ) nh 2 ( n ) ，v 芝s ( - 。) ( 1 9 ) 式适用于求调和算子“”的齐次d i r i c h l e t 问题的弱解，而( 1 1 0 ) 式适用 于求调和算子“”的d i r i c h l e t 问题的强解( 日2 中解) 至于s o b o l e v h a r d y 不等式 e ( 上舡) ；上l v 印帆u w o 邯， ( 其中，1 p 0 ) 早在1 9 8 4 年就已 经得到了证明，但直到2 0 0 0 年n g h o u s s o u b 和c y u a n 才将它完整地与含有 奇性项的拟线性椭圆型方程的d i r i c h l e t 问题 z q 9 3 a q f 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 相结合，讨论了各种临界或次临界条件下方程( 1 1 1 ) 一( 1 1 2 ) 解的情况，详细内容 可参阅文献 3 7 j 深受文献【3 7 1 的启发，本文第四章将方程( 1 1 1 ) 一( 1 1 2 ) 推广到含权拟线性 平均曲率方程中主要困难在于：1 p 0 ，茹嚣 h ：r 叶r 上的可积函数，0 q i p 0 ，当i z i r 时，有l h ( x ) 一h i 0 ； ( i i ) 了e x ，使得m i p 时，有t ，( e ) o ； 则存在一个序列 扎。) cx ，满足 其中 。2 7 i n r f 。m ! t a s x i j ( ，y ( ) ) 。 r = 7 c 1 ( o ，1 ，一) l7 ( o ) = 0 ，7 ( 1 ) = e ( i ) 和( i i ) 通常称之为山路引理的几何条件 2 2相关引理及其证明 引理2 1 ( 山路几何) ：若条件( h o ) ( h 1 ) 满足，则( i ) ，( i i ) 成立 证明： 上铀 、 如 。 妒 厂佩， 韭o i 、， 出 2 l h q 2 e ，厶k ， 0 ，有 因为t 寸+ o 。时，( ) 叶一0 0 ，所以只要t 0 足够大，当e 。垃时，就有 ，f 8 ) 故 r 巷耘 根据( 2 6 ) ，知f 有界，且 ( 热) 奇 ( 2 6 ) 沁p 上 幕删+ q 2 0 一十字卅 雄 + 11 生。 + l r蓦 | l 玉 鹾 厶耀的于 得 关 可 财 妇 + 矿 卧” 札 工 +协 咖 廿 “+ + t 础厶 脚 第二章半线性椭圆型方程非平凡解的存在性 1 3 若方程( 2 1 ) 的解“= 0 ，则在l f o 。( r ) 空间有u 。_ 0 ，vr 2 ，2 + ) 由 “n 在e 中的有界性以及条件( h o ) ，易知丘。醒 1 d x 有界，令 ，【z ，) = n 【z ) ；+ 趾；，f ( “) = 让；+ “： 再根据条件( h z ) ，便有 i ( ，( 茁，u n ) “。一7 ( u 。) u 。) 出1 j r n s i ，( z ，珥。) 一7 ( “。) j “。i d z + i ，( z ，札。) 一7 ( “。) f l 趾。f c 拓 ji z l r j l 刊 r 冬f ( z ) 一万u 。f 9 + 1 d x + f ( z ) 一无f f u 。f a + 1 d z j j oj r j j 引 r ( r ) i t 正。l 。+ 1 d x + c i u 。l q + 1 d x 二= 三二o j 忙f 三月j k f o ，使得 t ：l u 。1 1 2 = 7 ( t 。u 。) z 。u 。d x j r n 定义 ，。( 乱) = ；上，( 1 v u l 2 + 。( z ) 牡2 ) d z 一q + l _ l 上。元札1 如一矿b 上。u 1 出 那么 惭= 瓤旷一而t q + 1 如f 磁1 如一筹上。“拙 。扎研q + 触l + z 。u 拙圹籍z 。弼十l d z 一筹f r p + = ( 互1 再1 了) 上。讯“搿出+ ( 互1 1 ) z n 盯1 n 搿出 三f 垫二虫 一( p + 1 ) ( 1 一g ) 记 k = u ei j l z , 1 1 22 7 ( u ) “d z n o ，j 0 。= i n f 1jrn u e k 。( “ ， 1 4 华南理工大学理学硕士学位论文 由t n 扎。k ，得 j ”s ，。( 。) 专( 器禹) 古 警+ ( 锗) 南 + 0 ( ， 故定理得证。口 本章小结： 本章我们讨论了方程偿纠的非平凡解的存在性，在失去文献a o 中紧性条件的情况下，定义了相应问题无穷远处的能量泛函，并与需要的临界点 处的能量相比较，得到了使结论成立的严格不等式 第三章有关n e u m a n n 边值问题的拟线梅椭圆型方程 1 5 第三章有关n e u m a n n 边值问题的拟线性椭圆型方程 在这章，我们考虑一个拟线性椭圆型方程的n e u m a n n 边值问题 窖n 茹a f t ( 3 1 ) ( 3 2 ) 其中q 摄耐”中有界光滑区域，1 p 0g # j , ，使岛( 黝) cq 显然， 品= s ( e ) ss ( a ) s ( 母5 ( z o ) ) 凼此，必斋让明s ( b d x o ) j = s 对任意的e 0 ，取u 。c 铲( r ) ，使 1 u 。i 矿d x = 1 ，i v 毗1 9 d z 0 充分大，使s u p p 珏。cb n ( x 。) 设 咄垆( 害) 笋“。( 弦训) 则s u p p 酞cb , f ( 3 2 0 ) 注意到 1i ”e i j b 。( x o 矿如。上。i u e i 矿如= 11j r 乞出。)iv19如2上。iv毗ij 喇z g ( z z = ( z l ，x n - 1 ) ) 设丁是z 关于x n = g ( z ，) 的反射，即 t x = ( 一，2 9 ( z ) 一z ) 则变换t 的j a c o b i 行列式为j r = 1 ，将“。延拓到7 1 ( q nb ( o ) ) 引加 嚣， 对任意的0 p 时，u 。- u于l p 。( q ) 鼢锄 带黜 华南理工大学理学硕士学位论文 证明：记 k l = i d u 。( z ) 1 9 d x j r , v 一孚上。c 等，趟南如 = ( 等) 9 厶趟蒜出 垃= 1 让。( z ) r d x ：。爷惫，匕一如 e 告。一n ! 咛nf j r = 上，南出 d x 有 旦一a ) 参一唧 取b ( 叠，r ) ，使得qc b ( 孟，r ) ，且a b ( 牙，r ) n q a 则对x o o b ( e ，r ) n f 2 ，我们有叫r ，( 1 茎i n 一1 ) 这里q ：为与a q 在x o 点的弯曲程度有 关的系数 不失一般性，设x 0 = 0 ， q c x n 0 ) ，则在原点附近的边界0 q 可表示 成 f z ) ；枷噼甲蚓轧州啪国 这里d ( 0 ，6 ) = b ( 0 ，6 ) n x n = 0 ，d 0 设 k 1 ( ) = i d u 。1 9 d x d n 虬( e ) ： 。l 一出 j n 如 才 肚凄 j j j j 忙 一 k g 第三章有关n e u m a n n 边值问题的拟线性椭圆型方程 2 3 情况1 ：n2p 2 根据单位分解原理以及多变疑积分公式 酬一上! 酬l ，出o 扪叫”蝌学) = ；塌一上如z “一 。蚓r 如一v k ，妇“酬如舢， 这娶群= n x n 0 敌 赋 j - ( e ) = 上。一。d z 9 一i 。牡。1 ，d 髫 = ( 等) ”s 学 = ( 等) 五。一 洲l i r a e 牡( 等) l 畿将彰 球，= 产7 朦w 如一 = = ( 等) 9 s 学厶，出篡础斋出l v ( 等) 9 e 学k 印艨赢如 scf 塑学厂 p 一1 j 1 ) 伯 因为 ( 。) = 9 ( ) + o ( 矽j 9 ) ，故对v a 0 ，| g ( 口) 0 ，使得 ，( 一) 一9 ) j 玎t x l p + e ( 疗) 。，j 呜l 呈v d ( o ，6 ) 2 4 华南理工夫学理学硕士学位论文 因而 戴 所以 球，s 学z d ( o 御等筹如 j ，d )( + l f ”1 j “。 下爵来计算配瞳) 于遐有 故 蔺上有 s 州。擅p + e ( 玎) ) ( 。) 。忙学) 砒) = 扣1 荆+ 。犯学) k 。一上噻如一正。叫，如z 剐噻妇十。( 警) = ；惋一厶一，如厂出 砷如艨啦刑) 南( ) ：，如，9 一妇jr n - i j o 。 。 = s 詈z ，d 。f 0 9 一南疽z * 一l 州广熹两 高赫彬 ，3 ( ) 一0 一警) 酢) ： ! 蹦严 j d ( o 、娜j l 扣 ：o ( 。血) 第三章有差e u j 】 a 妇n 边值问题的拟线性椭圆型方程 2 5 致扛) 。：k 2 如( 。) + 。( 。坦) 甄蠢，一z 裁；妇一 。e | 荔；菇兰萋 ， 娲= 。晤宁) = ( 抟一器州甬 岛 1 胃倪2 ：p n 矿 设0 n a ，使8 i x r ( ) a z 7 | p ，d ( 0 ，跣我钠有 删= 厶例9 妇厶，耐广嘲，妇+ 。p 擎) 茎i 西一l ，妇z f 9 酬娥学) 酵k ，蔫矾学 黼棒 硒一；娲上奴彤耐z 联扪+ 如+ 。擘苦) 芝i 蟛一z 。西i i 耋器如7 斗。p 詈， ；鲍叫s 等) 一卫r ，一 堡学 塑啦 一十 联二磊煎弘 强 华南理工大学理学硕士学位论文 当充分小时 趟巴蝼塑塑 ( 矗矿d x ) 尹 ；k j c 宁i l n e i + o 忙等卫) + o ( 孚) ( ；爿。一o ( s 孚) ) 劳 ( 冰静删圆删 p 时，“。斗甜于p 。( n ) 从而限制极小问题( 3 4 ) ，( 3 5 ) 可达 定理3 3 ：设i o ，p 2 ( 9 1 ) g ( x ，u ) 关于z ，“局部h s l d e r 连续 ( 9 2 ) i g ( x ，“) i c + c l 让l m 一1 ，p p 这个条件不论n p 或n 冬p 均可减弱当n p 时，上面条件可减弱为 1 9 ( x ，让) isc + o ( 1 u ln “- 。，一1 ) ( 9 3 )u g ( z ，u ) p g ( x ，u ) c 1i u l “一c 2 其中c 1 0p i 满足 p 三1 掣i r e p + 当o o 0 时，特别当咖= o k r a 鸽时，c l = 0 ( 9 4 ) 丽掣妯 其中 4 1 o a l 筇p t - + o oi 一 “ p 这里a ，为下面p o i n c a r 6 不等式的最佳常数 上i u l 9 出如上协z v 州1 q ) 2 8 垡重翼三奎塞墨兰堡圭童堡丝圣 一 ：= = ；= = = 三= 2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 一一 弱方疆( 4 1 ) 。( 4 2 ) 簪在着簿平凡解受文麸1 5 1 ) ，葜孛( 雾3 ) 爽减弱的( a 翘条 件。 黯予含技致p 除拉簧控辩投线煌橼餐墅方程 芏q o 0 q 簿3 ) ( 4 4 ) f h 于s o b o l e v h a r d y 不等式 g ( 上群如) ； f n i w l ，旺咄c 锄 的成立，使得泛函 毋一就) = ；i 上f v “j 9 出一；互i “1 7 如一百h 厶f 耳 u l q u - 。 在唰，) 空间有定义这时候根据弱解的定义我们知，泛函既“的临界点即 秀方程( 4 ，3 ) ( 4 4 ) 鼢解。 设地。( q ) 为s o b o l e v 。h a r d y 不镣式的最佳常数，即 当牮一p ( s ) 时，设颤= 知毋o ) 记 脚；脚) = u 峨i n f ) ，“of n 矗i v 黔u i 9 出d x , p n 脚一脚) 一，、。r 。j ， 舻蹦= 耐i n f ，硼揣芬 u w ；俨( ( 醇，罅o 一h t rd z l p a 为p 酚控警拉聚算子懿第一特薤馥，定义秀 a 。( q ) 三芦。岿( q ) = 轨， 上 v 衅出iz 叫9 出= l ，托弼9 ( q ) 方程汪3 右边第一璎涛菲奇性顼，磐二硬为奇性臻n 。g h o u s s o u b 窝c , y u a n 定义了泛函的对偶粲的概念，在两个不同的对偶集里，利用极小极大原理证明了 泛函漆赛赢懿存在 咝 = 嚣 酷 让 箫 0 乒 h e q m 曩啄 e i | l j q 文 s 肛 = g sp 第疆章含权早薅藩率方程跨d i r i c h j e 翔囊 2 9 丽对于p 阶广义平筠潼率方程 一d i vf ( 1 + i d u | 2 ) 学d 珏) = f ( x ，托)z q “a n20 篁a q n 为刺。中光滑有界区域陈志辉在无奇性的情形下，应用个比( p s ) 条件稍 弱弱( p s c ) 条 孛，疑决了该方程p 2 黪次蠛界指数增长避的菲平凡鳃酾无穷 多个解的存在性问题，见文献 1 0 】 零牵我# 鞭l 器突一个鑫投戆p 除广义平均魏率方程，热下 一d i 秽( ( i + ! p 珏i 2 ) 学d 载) = a ；挫i r - 2 + 牟等等“z q 一石) 、。 t 却l u d n = 0 x 0 q ( 4 6 ) n 为瓞中光滑有界区域，1 p n ，ps rs p + = 悲，p 篓q 矿( s ) = 硒n - s p 这对，与方程( 4 + 5 ) 一( 4 6 ) 掇波熬泛艇热主摸邦分嚣旁次线性，不豫方程( 4 3 ) 一4 ，4 ) 与之栩应泛函的主鼹部分为齐次线性，故在验诞( p s ) 。条件和山路几何条件时， 逸赘了一定豹嚣臻。毽勇方嚣，薅手平逢蛰攀方程又疆容易将f a r ) 条传藏褒 到u g ( x ，u ) 一p g ( x ，“) c ，c 0 的情况本章将分别从次临界和不同的两种 结赛聚凌，逡隽l 满怒蜀部( p s ) 。条律的斑路弓| 瑾浚及偶泛麟 密界赢定理采讨论 方程( 4 5 ) 一( 4 6 ) 的j b 平凡解和无穷多个解的存在性结果见定理4 , 5 和定璎4 7 辨。2基本零| 理及定理 雩l 淫4 。1 ：￥t 0 ，成立下嚣不等式 ： 2 + p ) ( 1 + 2 ) l l 2 9 - j p 2 + p )p 2 t 一1 茎( 1 + 2 ) l 一1 t v 1 p g ( t ) ，对所有0 曼zs1 成立所以p 2 时的不等式成立易诚 l p 2 对的不等式也成立 口 注4 1 ：由于有上述不等式的存在，形如( 4 1 ) 一( 4 2 ) 方程的解的问题就可以 在嘲斧辫空惩书考露。 势了证瞬方稳耨释的存在性，我稿需要下面的死乎薤楚渡敛定理。 设q 是r 中一个有界开邻域( 边界不定光滑) ，p 和满足 1 儿p ， 慨，；+ 砉叫 考虑在w 1 ，p ( q ) 空间中有定义的算子a ( u ) = 一d i va ( x ，钍，d “) 这里，a 是 建辍xr 斗裂7 上懿c a r a t h 4 0 d o r y 函数，并满蹩吉爨l e r a y l i o n s 假设焱 件，即 | a ( z ，s ，) i c ( z ) + k 1 | s | 一1 + k 2 0 ；k l ，如瓞+ 对于菲线性椭霞鍪方程 d i va ( x ，珏。，d u 。) = 舂+ 萝。 于o ( 建)( 4 1 0 ) 彬拶罐妒，一 蓝班 一 q ；蝼 虬 一 醴口o 一 l l 砖吠 第四章含权平均曲率方程的d i r i c h l e t 问题 3 l 假设 u n 。 “n 寸 “n s 。_ 由( 4 7 ) 和( 4 1 0 ) 一( 4 1 4 ) ，必须要g 。w - 1 , p ) ，并在此空间有界，而且假设g n 在r a d o n 测度空问有界，即对任给的口( q ) ，且s u p p ( 妒) ck 有 l ( g n ，妒) f 曼( ：k | i 妒| i l f q l( 4 1 5 ) 定理4 1 ( 3 6 ) ：若条件( 4 7 ) 一( 4 1 5 ) 都成立，则 d u 。- - + d u 于( l 9 ( q ) ) ，对vq 0 ，t k ：r _ r 为在k 值的截断函数，定义如下； h k f s i2 七 取一个紧集kcq 以及盯口( q ) 使得0 l ，。y 2 ；砂耳= 1 ，z 今 = c k ( u 。一u ) 懈9 ( q ) 这里为在q 的截断函数将带入( 4l o ) ，有 f 。 咖f o ( z ，u 。，d u 。) 一n ( z ，u 。，d u ) ) d 兀( 钍。一u ) d x j n = 一( “n u ) n ( z ，u 。d u 。) d e d x r 一c u a ( z ，u 。，d u ) d 兀( u 。一u ) d x j n + ( ，妒k 瓦( u n u ) ) + ( g 。，妒l ( u 。一u ) )( 4 1 8 ) 墼 竺童堡三奎兰堡堂堑圭童兰窒垒奎：= = = = = = = 一 由( 4 1 1 ) 一( 4 1 3 ) 有 ( t z 。一“) 一0 于w ，1 p ( q ) ( u 。一“) 斗0 = f l 7 0 。( q ) 目固定，则( 4 1 9 ) 右边三项都趋于零，n _ o 。时另一方面，任给一个光滑函 数砂，由( 4 1 5 ) 有 i ( 9 。，砂) l = f & k 砂d g 。lsc k | | 妒1 1 l 。) 取砂= 矗( u 。一) ，有 i ( 鲰，咖( “。一u ) ) 1se 卵 ( 4 1 9 ) 于是，当q 固定时，就有 l i r as u p 【o ( z ，u 。，d u 。) 一a ( x ，u 。，d u ) d t , ( u 。一u ) d z c f k q ( 4 、2 0 ) 第二步定义一个非负函数如下 e n ( 。) = f o ( z ，牡。，d u 。) 一口( 。，“。，d u ) l ( d u n d u ) ( 4 2 1 ) 固定某个0 ，且0 oo e z q( 42 4 ) 第四章含权平均曲率方程的d i r i c h l e t 问题塑 根据文献f 4 1 】中引理2 2 ，就有 d u 。，( z ) 一d u ( x ) a e x q ( 4 2 5 ) 既然d u 。在( 护( q ) ) 有界，d u 与无关，根据v i t a l i 定理，有 d u 。d u于( l 4 ( q ) ) v g 0 ，则 ( ，( r 2 ) r 。一f ( r 2 ) 曩) ( r 。一吩) 0 ，r f( 4 2 8 ) 证明：由于f 一阶连续可微，则有 乃= 鬻堋r 2 ) + 5 0 f ( r 2 ) 已知矩阵( ) 的最小特征值满足 a = k m f ( r a ) v 玲。斌 ( ，( r 2 ) r l f ( f 2 ) r ) ( r 。一九) =( 丘( r ) e ( ，) ) ( r t f 。) = ，( f + 口( r f ) ) ( n f t ) ( r j f j ) a i r f f 2 广哟鞠于田 d d z z 叫 叶 华南理工大学理学硕士学位论文 故只要a