（应用数学专业论文）基于自然边界归化的半无界区域上的区域分解算法.pdf

疆蘧文基于垂然遮赛翔弦静半无雾嚣壤豹鏊壤势瓣算法 摘要 该文魁于半平面上的自然边界归化理论，讨论了一类带凹槽的半无 界区域上的椭圆型方程边德润题裾数值求勰雾法。在区域分勰算法的框 架下，将袋解区蠛蘩分或套莽子区域帮囊刘瓣燹男子区域，在鸯赛予送 域上运用有限元方法进行求解，在规则的无界予区域上运用自然边界元 方法进行求解，从而构造出猩有界子区域和无界子区域上交替进行数值 求解的越代算法首先考虑对求解区域进行重擞剖分，构造s c h w a r z 交替 法进 亍数馕求解，运援p tl l i o n s g v j - s c h w a r z 交替法熬投影解释，诞明了该 算法的尼何收敛经；然蜃考虑对求解区域避弦繇蓬叠截分，构造d i r i c h l e t n e u m a n n 交替算法进行求解，证明了该算法与颧处理的r i c h a r d s o n 越代算 法等价，鼠具有与有限元剖分网格参数无关的收敛性，适当选取松弛因 子，可以证明算法是几何收敛的，并给出了松弛因子的一般取值 美键窜：自然边赛归仡，椭圆型边值离题，区域分解法，s c h w a r z 变替 算法，d n 交替算法 矮圭论文 基予毫然透赛辩纯鹃半玉器区域上瓣酝域分解算法 i i 一_ _ _ _ m _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ h _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一 a b s t r a c t i nt h j sp a p e r ，b a s e do nt h e t h e o r yo fn a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n t i l en u - m e r i c a lr e s o l u t i o nm e t h o d sf o re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so nak i n d o fu n b o u n d e dh a l fp l a n ew i t hac a v ea r ed i s c u s s e d 。i nt h ef l a m eo ft h e d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，t h ed o m a i ni sd e c o m p o s e di n t oab o u n d e d s u b d o m a i nt ow h i c ht h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di sa p p l i e da n da r e g u l a ru n - b o u n d e ds u b d o m a i nt ow h i c ht h en a t m m b o u n d a r yr e d u c t i o n i sa p p l i e d s o i t e r a t i v ea l g o r i t t m a sa r ec o n s t r u c t e do nb o t ho ft h es u b - d o m a i n s f i r s to v e r - l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o ni sc o n s i d e r e d t ow h i c ht h es c h w a r zm t e r n a - t i r em e t h o di sa p p l i e d b yp 1l l i o n s p r o j e c t i o ne x p l a n a t i o no ft h es c h w a r z a l t e r n a t i v em e t h o di ti sp r o v e dt h a tt h ec o n v e r g e n c er a t eo ft h ea l g o r i t h m i s g e o m e t r i c m t h e nn o n - o v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o ni sc o n s i d e r e d ， t ow h i c ht h ed i r i e h t e t n e u m a n nm e t h o di sa p p l i e e l ，b o t ht h ee q u i v a l e n c et o t h er i c h a r d s o ni t e r a t i v em e t h o da a dt h e c o n v e r g e n c er a t ei n d e p e n d e n t o ft h e f i n i t ee l e m e n tm e s hs i z eo ft h ea l g o r i t h ma r ep r o v e d w i t hp r o p e rs e l e c t i o n o ft h er e l a x a t i o nf a c t o ri ti sp r o v e dt h a tt h ec o n v e r g e n c eo ft h ed na l t e r n a t i r em e t h o di sg e o m e t r i c a la n dt h eg e n e r a lv a l u e so ft h er e l a x a t i o nf a c t o ra r e g i v e n k e y w o r d s ： n a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n ，e l l i p t i cb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s ，d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，s c h w a r za l t e r n a t i v em e t h o d ， d 、na l t e r n a 土i r em e t h o d 壅圭鎏塞基于自然边器翔像豹睾无赛嚣域主豹嚣域努瓣算法 1 引言 工程、物域间题的数学模型一般有几种不同的形式，它可以直接表承成偏微分 方程的形式，搬可醛表现为区域上豹交分形式，或者j 麓终为边器上的禁个积分方 程静形式这魏不目的数学形式程毽论上是等徐靛，缳在实践中荛不等效，它 f 】分 别导致有限麓分法、有限元法和边界元法等不同的数值方法其中边界元方法是在 经典的积分方程方法和有限元方法的基础上发展越来的一种求解偏微分方程的数 值计算方法豳予它在几何上的广泛适应性、输入数据的简单性以及在数值上的准 确瞧，这秘方法汪经或为一耱羹袋戆工翟诗算方法， 把边值问题的解用积分形式柬装示的思想产生予1 9 髓纪末，但把积分方程应用 于数值计算却始于上世纪6 0 年代，随着电子计算机的迅速发展和广泛使用以及近 代数学理论的发展，使我们能够觅服由于积分方稷的奇异性所带来的分析上和数 值上的困难，嗣时也使得有限元方法蓬勃发展人们将有限元和经典的媳赛归化理 论鞠羹台，必速赛辍努方程在王稷装寒彝辩学诗雾中弱寝窝努嚣了豢弱薅。餐意邃 值问题归化海边界积分方程的途径多种多样，从同边值问题出发可以得到不同 形式的边界积分方程，因此不同的边界归化途径就母致了不同的边界元方法自 然边界归化方法是我国学者冯廉酋剖并迅速发展起来的一种边界元方法，其思想 是首先从g r e e n 函数和g r e e n 公式如发，耱微分方程迭燕闯题j 琏纯荧边界上的强奇 舅积分方程，然磊纪成穗应的变分形式，最螽在透嚣上离散纯逶行鼗壤求簿出予 自然边界归化不仅保持能量不变，而且原边值问题的对称性、强制性铸性质均被 保持，从而可得自然积分方程解的存在唯一性及稳定性等结果，这一优点也保证 了自然边界元方法与经典有限元方法能自然而直接的耦合，此外对嗣边界积分 方程通过不潮蕊疆让途径褥到瓣蹩裁一鑫然鞍分方程+ 虽然通过垂然迭赛扫馥褥 到静积分穷稷的积分棱具有强奇撵往，但这在计算上并不会造成困难，胃戳利用 奇异部分分离计算法或者用分部积分将其化为只有较低奇异性的积分来处理但 自然边界归化也具有局限性，对于一般区域上的微分方程的g r e e n 函数往往难以求 得 众繇瘸强数蹙求簿撩交型这穰瀚越豹稼准方法戆蠢羧元方法透零采蘧羞蒡孬 计算机和并行算法的快速发展，以并行性为主要特征的区域分解算法迅瀵蛹起，僵 它基本上还怒基于有限元方法的，这些方法对于求解有界区域很有效但无界区 域闯题同样肖着非常广泛的应用背景，如电磁场、位势波、板与壳、非弹性及流体 壅圭垫至鳌主：鋈筮望萋熬黧夔兰垂墨堑錾圭墼蒸熬釜筮茎鎏 2 动力学、弹性力学、断裂力学等学科领域，许多问题的数学模型都是无界区域上 的偏微分方稷或方程组，因此对光界区域问题的数值求解算法的研究也间样重要 求解无界区域问题的最简单的方法藏是将原无界区域矧有界区域来取代，测用己 毒篓法蘩有羧元法、蘧壤势绥法警进行求舞，毽这臻缀或者导致过糕熬诗雾精痉， 或者要付出彼简的计算代价，礁以获得理想的数德络鬃鉴于边界姻化是处理某 些无界区域问题的有效手段，通常或者采用边界元与有限元耦合的方法求解此类 问题( 参见 5 ，2 0 ，2 2 ，4 0 ，4 1 ) 躐者作适当的人工边界，通过分析无界区域上的子 闷题，获褥人工边界上豹近 娃躐准确边界条 牛，然聪在有爨区域上应用有限元法 ( 参整鞋，6 ，7 ，8 ，1 1 ，1 8 ，2 1 ，4 1 】) ，这些方法各鸯芟德缺点，露显算法举其骞莠嚣 性随着区域分解算法的兴起，避年来人们亦对外问题的区域分解算法袭现出浓 厚的兴趣( 参见 1 6 ，1 7 ，2 3 ，4 2 ，4 3 ，4 4 】) ，余德浩酋先考虑了平面有界区域上椭圆 型方程的外边值剃题，给出了区域分解算法( 参见f 4 2 ，4 3 ，4 4 ) ，该算法的基本思 想为：首先弓l 入人工边秀( 二维特澎惫强弱、三维 孥澎必球嚣) ，将无器嚣域分瓣 为一有赛子戮缓和一藏姻懿纛嚣予区域，然后采霜露袋元与这赛元交蛰程窍界子 区域和规则的无界子区域上进行求解的方法，来褥剿原问题的数值解。基于自然 边界归化原溅( 参见【2 ，2 6 ，4 1 ) ，运用 4 1 中给出的自然边界归化的已肖结果，该 方法可以对二维调和方程、重调和方程、平面弹性方程和s t o k e s 方程的外边值问题 避嚣鼗薅求黪疆嚣黎投等考虑了半乎蟊上载重叠隧域分簿算法( 参菇婆7 】) ，裁 用极值原理诞明了该算法具有最大摸意义下静几何收敛往近来桂蕊鸯、余德浩 等讨论了凹确趔区域上椭圆边德问题的自然边界! 髓化及其外问题的区域分解算法 ( 参见1 3 ，2 9 ，3 8 ，3 9 ) 总之，对于无界区域的区域分解算法是以自然地界归化为 基础的 本文考露了与文簸【2 7 】籀钕豹露疆禧匏半无赛嚣羧主耩瑟型边毽翘藤豹送蠛分 解算法第二部分给出了带凹槠的半无界区域n 上的椭圆型边值问题，简单起见， 考虑p o i s s o n 方程齐次边值问题：第三部分基于自然边界归化，考虑区域q 上边值问 题的区域分解算法，第一节考虑对区域n 作重叠分解，在子区域上构造s c h w a r z 交替 算法进行求懿，涯鬻了该算法逡续形式的几褥段敛靛第二节考虑对区域q 俸非重 叠分解，在予嚣域上构造d i r i c h l e t - n e u m a n n 交替募法避行求解，证弼了该算法巍臻 处理的r i c h a r d s o n 迭代算法的等价性，适当选取松触因子，离散d n 交游算法具有 与有限元剖分网格参数无关的几何收敛性，并给出了松弛因子的一般敷值；第四 部分简要介缁了强奇异积分的数德计算 醺圭论文基予自然边赛翔耽豹半无嚣匡域主鹊毽域分簿葵法 3 2 问题 甚- a u = f 篡 图一1 - - a w = 只銎 e - - a v - - - - 0 篡， ( 3 ) 疆论文萋子是然逮赛麴纯静半无赛嚣域主鹣嚣域分解算法4 3 算法及收敛性 在这一部分讨论了问题( 1 ) 的数值求解算法基于自然边界归化，将求解区域分 解残有鼻子嚣域彝趣猁戆无赛予嚣域，在区域分勰冀法的框檠下绘出了携静有爨 子区域纛无器子区域交替迭代瓣冀法，并给出了浚簸经分辑 3 1s c h w a r z 交替算法 r 1 匿一2 首先考虑黧叠区域分解算法，对区域n 进行如下匿叠剖分，为计算方便，不失 一般性，在友半平面做人工边界工、l ，其边长为r 十2 d ，其中d 为大于零的常数记 左半乎夏为q 2 ，太工逢赛r l 羁毋q 掰嚣藏兹有赛嚣域戈q l ，懿强一2 艨累，予是毒 n = n 1 u n 2q 1n q 2 o 记 f o = 0 1 - t ：n q l q 2 2 = q 2 n 趸； 定义如下的s c h w a r z 交替算法： 第1 步置札1r l = 0 ，礼= 0 ， 筹2 步。在q 1 上解d i r i c h l e t 翔题 一就2 8 一f ，q l 内， 2 “一0 ，a q l p 1 上 “2 ”= 缸2 “，f l 上， 一qnq | | q m 嗨 融 呸 | i j l r h 壅圭整套 篷至叁签鎏器塑丝篓兰垂銎壅錾= ! 黧嚣垄坌鳖蔓壁一5 第3 步程5 b 上解d i r i c h l e t 司融 i 锚2 n + l = ， q 。内， z 2 ”+ 1 ：。，晷q 2 f 。上 |稚。蚪。：。，r 。上， 第4 步令竹= 扎+ 1 ，转第2 疹 其中u 一1 ( r 1 ) 可以任意给患，这里取为零媳值问题( 1 ) 的解函数空间为 y 一囊罾一 秽孵q ) l ”一0 ，在8 q 上 ( 5 ) 其中雠为带投的s o b o l e v 空间，定义为( 参见 5 0 】) 喇( 咿川万雨盖丽，塞，骞甜( 蛳* 为了得到润麓( 1 ) 在q 中豹解，只装在q 2 2 内取u 鼽一钍“_ ，从面目1 1 ) 中在毋q l r l 上取零镶鲍蠡数# 2 n 藏可鼓延拓秀y o 躲璐数，镪记为珏2 ”：在q l l 中取 u 2 时，：“，鼢( n 。) 中的函数舻叶，也可啦延辐为v 中的函数，仍记为2 , 2 ”+ 1 令 = 础( q 1 ) ， 玛一 砧螂( 魁掣= o ，搬般2 上 粥磊 “2 n 一批2 n 1 ， u 2 ”十1 “2 ”坞， 故可视m ，珑为v 的子空间 定义双线性趟 拶髓，) = fv u + v v d x ， 固) 并由此定义内程( 让，”) ，及v 上的等价范数忆用p v , ，i = l ，2 表示v 到按内积 ( u ， ) 1 定义的正交投影，并记r 鼍= ，一p 讥，i = 1 ，2 ，则基于p - l l i o n , s 对s 曲w 8 。2 交 替算法的投影解释，有如下刻划误差传播关系的弓 理， l l 理3 1 。1 删设毪是阂题( 1 ) 鼹薜，弼在下画辣记号下s e 蠡程，密r z 交替涤骞误差结 讳 ju u 阱2 。( 珏一u 2 ”) ，n ：o ，l ，2 ， 【乱一“2 叶1 = r 哮r 峙 一u 2 n - - 1 ) ， 鍪圭鎏童釜至叁篓鋈蕉黧垡夔兰歪鲞垂鎏= i 篓蒸錾壁塑簦鎏 一一6 证明由椭圆方程的弱解理论知式( 4 ) 和式( 5 ) 分别等价如下变分形式 ，d 2 n _ u ，u i ) = o ，v ”，h ， l 簦孙一珏2 1 强， 及 f d ( “2 ”+ 1 让，) = o ，v v 2 k ， un + l - - u 2 n k ， 将式( 7 ) 和式( 8 ) 敬写为内积形式 ( 越2 “一舻“一1 ，邓1 ) 篇锃一嚣2 8 1 ，v 1 ) l ，v v l 班， ( 钍2 时1 一钍鼽，砚) l = ( 珏一赶纽，啦) 】，w 2 琏， 注意到 乱2 “一“2 “一1 m ，u 2 “+ 1 舻“u ， 由正交投影凡。i = 1 ，2 ，的定义可褥 痧一妒一12 溉缸一e 2 “) ， 辖：呱2 。 铲1 一“一p v a ( i 一u 2 n ) 7 或等价的有 u 一札2 “= 似u 2 ”1 ) ， 缸一珏2 “十1 = ( 珏一也2 “) ， 强瑟毫 钍一牡孙+ 2 = ( 钍一u 2 n + 1 ) = ( 珏一“2 ”) ， 札一札鼽+ 1 = r ，上( u 一“2 “) = r ，上最片( “一札2 n - 1 ) ， 引理得证口 n = 0 1 2 n = 0 ，1 ，2 由弓l 理3 1 。l 可以蓑出若 “一9 2 n + i ，i = 1 ，2 ，收敛，则盛收敛于空溷蜡n 娉。 ；l 理3 。1 ，2 i a v l 若y = 强+ k ，剐存在岛 0 使缮如下不等式成立 恻| 1 c o ( , p v 。 幅+ i i p ： 2i 1 ，帕矿( 9 ) 证明由于v = + ，敞映射 班班v ：( 现，毪) h 钞l + 口2 秀内积空间弧坞到矿的线幢满射，出开映像定理( 参觉 4 8 1 ) 知存京g 0 使褥 对任何v ，存在( v l ，v 2 ) u k ，满足 御= 钉l 十t 妇，t h = r ，1 ，v 2 拦。p 0 2 u ， 壅圭篓塞一董至叁鏊鎏蓉麴篷鏊兰差量羹錾尘整蒌篓叁鳖簦鎏7 且 ( 1 l v ，i i i + i i v 2 2 。1 国i ， 飙两有 例潆一泓v 1 ) t + ( v , v 2 ) l si i r 。v l l l l l v l l l l 十 f r 。v l m v 。l h 曼( i r ，。”旧+ f i r _ 训；) ( ，幅+ f f 。( s c h w a r z 不等式) c o lj v l l ：( ij 只i ”疆+ 造”国 i l v l l - sc o ( 1 l p v ，幡+ l l 唧。”惝，v v k 孳l 瑾3 。l 。35 1 设q 为有癸嚣域，q = u l l 暖，g 楚骨巢，若对每个点。夏都存 在开集k 和疆标i l ，m 使得 则对任何口甜1 ( n ) 存在让1 ( g ) ，并且 毽= o ，霾瓣嚣l 上，i = l ，m ， 秀书蒜靠+ 引理3 1 4 在如图一2 所示的剞分下有v = m 十k ，时n 曙= o 证明弦人工边务b ，黧辫* 3 耩示，箕边长为 + 2 6 + 2 6 眵 ，铁嚣q 2 被 划分成了谢界区域和无界区域巡两部分，记科一n l u 噶，则盯为商界区域由 于d i s t ( f 1 ，r o ) = 6 o ，应用引理3 1 3 ，知对任何 h 1 ( n 7 ) 都存在m h 1 m 1 ) ， v 2 h 1 ( 瞒) ，满足在r l 上廿i 一0 ，在f o 上砚一0 ，锼褥 一矛1 + 谠，这暇瓿为毡在n ，上 鳖圭笙童 茎至塞整垄显塑煞麓兰霾銎垂筮：! 墼嚣熬楚鳖整鲨 一一8 鍪一3 的零延拓于烧对任何u v ，由 。，h 1 ( q 7 ) 可知存在口1 u ，v 2 h 1 ( 喝) 使得 在n 内有v = 执+ 0 2 ，又由于在瞒nq 2 2 内i 1 = 0 ，故在nq 2 2 内有奶= “，显然可 以延拓到噬，记为黾，考虑至h 锄在r e 上为零，鼓i 2 在如上也戈零，因此；2 班。再 把番l 零延拓虱熬个建主，记交毒l ，爨程q 蠹有 口= 弓l - - ；2 ， 从而v = + k 得证 若口蛤u 瞻，剥存在v l m ，i l ，2 ，健褥口= 现- - v 2 ，舞。上v i ，i = 1 ，2 ，w 镣 恻潼一池移l + v 2 ) l 一扣， 1 ) 1 + ( ”，抛) i 一0 ， e p v = 0 获两g | 溪褥涯。日 记 e 警= u 一让2 n ，e ? 篇札一t 产”+ ， 忆0 ，1 ，2 ， 则由引理3 1 1 ，3 1 2 和3 1 4 可证如下定理 定理3 。1 1 l i ml l c n 。 | l = 0 i = l ，2 ， 并且存在常数“ o ，1 ) ，使得 1 1 i i 。，1 1 i i - ( 王0 ) ( 1 1 ) 壅圭篷塞 羹雯羹整鎏蓉篓毽篓兰查銎鳖筮羔熬鬻慧坌筮簦鎏一9 证明由引理3 1 1 可知 1 l e t i i ，j l e 7 1 1 1 l i e ；+ 1 1 j ，21 1 e ? + 1i i l 0 ，( 1 2 ) 鄂羽e 翻t 和翻8 判l 为单灞下降瓣有赛痔襄，且有攘瓣鹣掇陵，由于 贯= r 嘻e _ ， e ；一e 7 一r e ， e i = ( e 7 一b r ) 十e ? ， e 一e ? 。 e ? 一e 矿1 = r 1 e ”i e 7 = ( e ? 一e 7 ) + e ； 麸而有 阙| l2 黼一8 孤十阁l l ， ( 1 3 ) | l e 州，一f l e t e 雏t + 1 e 7 1 t l ， 由式( 1 2 ) 和式( 1 3 ) 可得 。l i r a 。1 1 8 2 8 7 1 1 2 o ( 1 4 ) 。l 。i m 。l i e 7 露| | 1 20 垂垂反b a n a c h 空闻懿弱虱紧僚( 参蔑器8 】) ，角 崤 耧 e ； 分裂有弱浚绞予捌 e 和 e ； ，且 e ：。地，e ；一7 ) 2 ， i _ o 。， 则u ，岵，v 2 唯，由式( 1 4 ) 及强收敛蕴含弱收敛可樗 v l 一口2 砖n 磅， 由引理3 1 4 可知u l = 0 2 = 0 ，所以 e ? ，i = l ，2 ，的任意弱收敛子列都收敛于零， 故 e “i 。0 ， i = 1 ，2 ： 霉建投影熬瞧蔟缮 同理对 e 2 有 ( e 7 ，e ) ，= ( e ，尸瞻e r l ) t 一( e ? ，e ：。1 ) 一( e r l ，e ? 。) 1 一( e ；蚪1 ，e f l ) l _ 0 ， 他_ 。， ( e ；，砖) l _ 0 ， n o 。 壅圭鎏窒基予鑫熬边冀翔纯 l 孽半无雾区壤土静送域分爨葵法 l o 式( 1 0 ) 得诞 下面证明式( 1 1 ) ，由引理3 1 2 ，以铂u 代替( 9 ) 式中的妙，可得 取岛1 ，扶谣 于是 取 可得 嗣理可谖 i 笤鳍墨嘣。眈 v ”v u 肛i i ”肌| | 魄铂圳i 到。惦+ 话1 | | ”眦铷v f i 铂 雌( 1 - 去川”噱 蹩( 1 - 却圳 ， v vev 定理得证啜 由引理3 1 1 和定理3 1 1 可褥 ，王) ， l | t 8 ， | l u 鞑2 ”| l i 曼”| | 聪一乜。| | 1 ， l 链一钍2 n + l l l l 茎穗“七1 l l 锤钍一1 | l l n p s c h w a r z 交替法是几何收敛的 对于我们所讨论的区域，寇餐分析s c h w a r z 算法的收敛速度是难以灾现的，大量 数遣试验裘髑s c h w a r z 算法的牧敛速度与重叠区域的大小有关，一般激漭，重叠区 域大毂簸遮淡诀，需要的迭代莎少，毽是重叠嚣臻嶷大意棘着舂雾子域淘逶静蔑 模交大，势必增加求解的时间，因此要综合起来进行尝试，以选取躐优的重叠区 域来进行求解另外对于我们所构造的重叠区域剖分，对于无界子区域问题的求解 还可以利用心弧对称区域分解算法( 参见1 3 6 ，3 7 ) 进行求解，该方法将无界区域上 鏊兰焦塞 叁量垂鉴鎏墨黧至羹墼兰差墨壅堡皇篓鏊憝筮壁簦鎏 1 1 的问题利用反演变换转化为同一有界区域上的两个子问题的求解，敞簿法是在同 一子域上进行，离散方程具有同系数矩阵，大大减少了工作量和存储量，并且 只需两次迭代一步并行即可求出原问题的解 3 2 d n 交慧算法 图一4 接下采讨镱龚耋叠区域分怒罄法+ 雩# 人工边爨f ，将求织嚣域q 分烫魏l ，q 2 两 个子蠛，如黼4 所示，其中q l 冀有赛子区域，q 2 必舞弊子区域，f 一0 f hn0 q 2 ， 用d i r i c h l e t n e u m a n n 交替迭代髀法进行求解，即程一个子域求解关于爨界面r 的 d i r i c h l e t 问躐，在另一子区域上求解关于交界面r 的n e u m a n n 问题设n 2 为d 区域， q 1 为n 区域 3 2 1 s t e k l o v - p o i n c a r e 算子 在不重藏盘匀区域分解算法中，交界线上的s t e k l o v p o i n c a r e 算子起翁煎要作用， 这里首先对它做一简单介绍 考虑二阶椭强型偏微分方程的d i r i c h l e 七边值闯题 瞄未 其中qcr 2 为带分片光滑边界的有界开集， 五喜毫去，+ 盼， a 0 0 ，【】怒对称一致正定矩酪 壅圭篷壅萎至塞簦望器塑整塑兰丕叠圣茎圭签簇整釜墅簦鎏 1 2 边值问题( 1 ) 的鹈形式为求乱嘲( n ) 满足 ，”)一fvdxa(uf v d x ，v v 硪( n )，”) 一 ，硪( n ) n 其中 巾垒i 上差毒d 嚣+ 上刚池 , j = l 4 。 。 。 ”。 将q 分割为两个子域n 1 ，q 2 ，满足 孬= 嚣1 u 孬2 ，n 1 n q 2 一o 兰兰兰垒芝：ij=1jn甜囊券差苦dz+jj。叫d鬈篆篡_2) 定义：础( n ) 一穗( r ) 为硪) 上的迹算子，一 。，= 1 ，2 ，为下筒子区域 b l u k 。f ，篡n a e 上，急 钍惫= o ，毋q 奄，惫篇l ，2 ， 2 ) 【。；a ， r 上 磐+ 娶砘r 土， ( 萄 轨1 + 靓2 “ 7 热o n k 一薹。巧嚣移 耸气8 2 j _ j 壅圭整童茎至塞墼望蒌塑黧蕤皇垂墨堑錾圭塑垂壁佥鳖薹羹1 3 ( 西蚺，以) 为r 上关于吼的外法线方向单位向量，特别当五= 一时赫一溉由迭 加原理，式( 2 ) 的解可以表示为 珏女= 趣+ t 魄，k = i ，2 其中弛满足 ：戛? 黧：，七一- ，。 地= 璁a 为a 夜吼内的调和扩张，满足 瞄忍 扎扩镌)一熹妒蚓，r_honl(， ， 。l 一。j 。否i 列2 一”l j ， ， ( 5 ) ( 6 ) 箕右端为与a 无关的函数，可以谶过独立求解予区域上的问题( 5 ) 褥副，于是 式( 7 ) 等价于 s a = ) ( 8 ) 箕中 s 一& + 岛，& = 毫( 怒囊= l ，2 ，一击( 鲍一甜i ) 称s 为s t e k l o v - p o i n c a r e 算子 可以证明鼠，一1 ，2 ，为瑶( p ) 到砾5 ( r ) 的对称正定双射( 参见 3 7 ) ，进一步可 班证明s t e 瑚删- - p o i n c a r e 算子s 为乒噶( r ) 到蕊( r ) 上的瓣称正定双射( 参见翻) 对 于鑫灸无雾懿臻形只要将蕊固) 换缀嘲( 固，将秃器予送壤瓤繇霹应瓣空润拦1 ( 逸) 和瑶( q ) 分别抉儆带权的s o b o l e v 空间明( 吼) 和蝴( ) ( 参见 5 0 】) ，特剐夜nc 铲的 情形，有 嘲( 啦川万雨意丽，是，骞趔) 对于算予s 和最，奄= 1 ，2 ，搴，霄与q 必有赛情形彝幸裰两的结论成立。 由以上报龆过程可以看出，通过s t e k l o v - p o i n c a r e ：辫子原始问题( 1 ) 的求解被归结 为算子方程( 8 ) ，般来说求s 的逆很难，但求嚣1 ，k 一1 ，2 ，比较容易，它可归结为 壅兰鲨塞 薹至叁整垄萋嫠惫墼兰蒌墨垂丝：羹羲蒸攫叁墼篷鎏 1 4 s l ( a ”+ 1 一a ”) 一8 。( x s 土“) ，扎一0 ，1 ，2 ，。一，( 9 ) l 一钍= f ，q 2 内， 巨i 氛， ( 1 0 ) 譬- - a u * = 筹f , ，竺 ， l 铒? 一o ，a n l r h ， a ”+ 1 一瓯“? + ( 1 一日。) a ”，r 上， 第5 步，令礼一忡+ l ，转第2 步 对予本文缓讨论翦半无器嚣域斑，剩弱垂熬边赛麴位理论麓s t e k l o v - p o i n c a r e s g 子s = & 十岛中的岛等同予焉赛区域q 2 上的自然积分算子，这一点在后面讨 论d n 交替法的具体计算问题时会看到 与q 为有界区域情形类似可以证明如下结论， 定理3 2 。15 酬连续d 一交替算法与预处理酌饿e a 施。城毫代穆) 相互警傍。 证明考虑误差 e 2 = 札一让2 ，= 1 ，2 ，肛“= l r 一 ” 硬圭适文基予垂然逸器翔纯戆半无赛区域上鹣送域分簿算法 瞄毒 ， 睁鎏 ， 警) m 一上i 翥g 。，) 蛳) “+ 上【熹g 慨p ，) 】，却7 ，p l ( 1 5 ) 塑主鲨兰 鳘至羹签鎏器塑篷整兰垂墨堑堡= 兰整瓣夔叁墼墓鎏 一t 6 其中n h r 的外法向，p = ( 。，) ，d p d x d y 众所周知，上半平面调和函数雕j o r e e n 函数为 g 慨芦扣铲1f 暑端九 代入式( 1 5 ) 褥q 2 上鲍鱼然积分方稳为 鼬卜妻z 掣耐+ 上。一矿m 协7 ， 一瓮a “( g ，0 ) + ( 0 ，f f ) f ( 一) d p 7 ， 其中 咒：王韫( r ) 一日 ( r ) 妒一一妾z 辫d 一 为骞然积分爨予，g r 露，岁) = 麦g 溆妁，n 燕f 上戆羚法翔，郅一爹轴方囊 可觅由”蕊渡直接求褥筹，瓣此在d ，n 箕法中，蠢予第3 步只罔裂了式( 1 0 ) 的 解在r 上的法向导数，故不必求解式( 1 0 ) ，只要利嗣戏0 6 ) 直接计算即可自然积分 方程( 1 6 ) 是个h a d a m a r d 型强奇辨积分，利用奇昴部分分离计算法或奇异积分正 则化方法( 参见 4 1 ) ，可以进行求解，而且计算量较小，这样主要工作爨就集中在 第3 步瑶标壤鸯聚元法求鳃套爨黩域鸵l 疼熬漫台边镰瓣遂。峦予逸是鑫器送域，效 可噬毫无困难的应用标准有限元程序进行求解，巍然也可以将q 1 再分成若干子区 域，用标准隧域分解算法求解 为进行理论分析，将原问髓转化为变分问题，根据自然边界归化理论 ( 参见f 4 1 ) ，该边谴阀题等价予如下糨合变分闯题 求“矿， 馒得 ( 1 7 ) 【d 1 ( 札，u ) + d “a ( u ， ) = 矗，f v d p ，铷矿 其中 v = h 1 ( n 1 ) | 蛙= 0 ，在a q l r 土) ， d l ( 嚣，移) = 7v u t v 静嘞， 眈( u ，”) = f r v l c u d s + 上”皈。g n 慨们，d p ，】d s ， 咒和g 。慨p ，) 如( 1 6 ) 所定义 錾圭羹塞篷至叁簦望墨塑煞黧整蒌墨堑錾圭塑篓撼楚墼釜鎏1 7 下面考虑d n 交替法的有限元液示，为简单起见，将人工边界r 做m 蒋分，同 时在有界区域n 1 内做有限元剖分，使得1 1 上的等分绪点与有限元节点相一致，设 y hcv 为相应的肖限元函数空闻，从而有与式( 1 7 ) 对戚的离散变分问题 袋魄垓，搜褥( 1 8 ) i d l ( “ ，v h ) + j 6 2 ( i t h ，v h ) = 厶，f v h d p ，v v h ， 可得线性代数方程组 矗4聂11a 矗船t 2 + 玩 丢 = b 1 t t 。， 舯隙和肭貅觚黼腿棚舡螂觚黼雌成鲥2 1 a 1 1 到1 2 由n 1 上有限元褥到，刚由r 上的宙然边界元得到， 鑫予逮赛元方法溪褥到兹褰数纯艇簿为涛瓣，薮式( 1 审系数矩阵为是秘淡薄，绘 阚题的求瓣带爰乏定的困难，舞帮会着至l d n 交替簿法有效的克服了这个不足。 下面来看d n 交替法的离散化+ 有前面的讨论可知谯无界区域q 2 上用自然边界 归化进行求解，可以写出其解析袋达式，故迭代过程相当于只在有界区域n 1 上进 行，即只需要考虑闯题( 1 1 ) 的求解，箕等价变分问题为： l 求# i v ：饺褥 【d 1 ( u ，”) = 如，f v d p 一异妒彘札孔s ，v v k 由式( 1 6 ) 可知一k 逑变分问题就是 | 求v ， 镬褥 i 矗，v 。v v d p = 矗。f v d p f r v k u i d s 一品口 矗。g ”白，v ) f ( p ) d p d s ，v v e ( 2 0 ) 与耦合变分问腻( 1 7 ) 比较可知，在相同的有限元和边界元剖分下，变分问题( 2 0 ) 离 散后所褥线性代数方程组的迭代格式为 以及 a a 品l la a 船1 2 未 = 如一麓a 。 ( 2 1 ) a 。+ 1 = 靠q 。+ ( 1 一如) a 。，n = 0 ，1 ，2 ，( 2 2 ) 壅圭望奎董至塞鉴鎏囊塑缀墼堂垂墨垂錾圭夔蘸璧筮壁蔓鎏1 8 其中k 为 的节点函数值向量 注意到式( 2 i ) 的系数矩阵为d i ( 钍， ) 在q 1 的有限元剖分下所得到的有限元刚度矩阵， 具有带状稀疏的特点，求解比较方便，由此可见d n 交替法与有限元和边界元藕合 法程毙其套镶燕戆霞莛经。 接下来讨论离散d n 交替法的条件数和收敛佳，由于a 对称正定， 蠢存在，由 式( 1 9 ) 可得 a n p 十a 1 2 q = b l ，( 2 3 ) 囊毛p + a 2 2 + 甄) q = b 2 ，( 2 4 ) 由式( 2 3 ) 熊出p 代入式( 2 4 ) ，整理可得 ( a 2 2 一a 五a 叠a 1 2 十凰) q = b 。一a s a 叠b 1 ，( 2 5 ) 记 b 2 一b 2 a t 2 a 叠b l ，冀一a 2 2 一a s a 叠a 1 2 ，s h = 霹+ k h 则式( 2 5 ) 可黧成 s “q = 5 2( 2 6 ) 可见鲈就是r 上的s t e k l o v - p o i n c a x e 算予的离散模拟，钟为s 1 的离散模拟，由此构造 颈延理的r i c h a r d s o n 迭援懿下 s f f a 。+ l a 。) = ( 瓦一s “a 。) ，( 2 7 ) 定理3 2 2 离散d 一交替法( 2 1 2 1 ) 与预处理的r i c h a r d s o n l 击_ 代算法( 2 7 ) 等价 证明与定理3 ，2 1 的证明类似，设p ：q 为满足蹶问题在n 1 内和r 上的节点殛数 蕊囊量，爨p ，q 灌是线性方毽缀 a a 品l la a 船1 2 舌 = 。! 麓q ， e z s ， 联系：r 、2 1 ，s 。导 a a 曼l l 三： 三二耋 = 琢；a ：一q ， 从而与式( 2 5 ) 的推导过程一样可得 ( a 2 。一a 艺a 嚣a 1 2 ) ( q 一“) = k h ( h “一q ) ， 壅兰篷窒董至窭墼鎏篓熬筵鏊兰垂墨壅筮尘熬嚣基坌堑茎鳖 1 9 即 s ( q q 。) = k i ( a 。一q ) ， 由式( 2 7 ) 得 从而 a 。+ l 一矗。= 馥；f q 。一a 。) s f f a 。+ 1 a 。) 一口。s ? ( q 。一a 。) 一& 【冀( q 。一q ) 4 - s ( 印一a 。) 】 一炙( j o + s ；) ( q a 。) 一妒( q a 。) 一以( b s “a 。) ， 定理得证嬲 定瑾3 2 3 篱漱口一交营法迷代箍阵( 蹬) 。s 6 的务停数与有限元阏格参数无关。 证明遮里记号和前面保持致，a 为a 蕊( r ) 在r 上的节点函数值向量， 表示欧氏内积，r l ，疡分别表示r 到q l ，n 2 。上的调和扩张算予，聊为r 到 n 上豹离散调鞠延拓算子，垂h 一 强i ，：强k ) 为r 上的边界元醢数密闻，由文 献【4 l l 第一誊定毽1 3 霹鲡 0 d 2 ( a ，a ) = 。d 2 ( f 如a ，r 2 a ) 曼 i n f j d l ( ， ) ( 2 9 ) e 鹄( 嵋i ( r ) ) d l ( 霞l a ，霆i 蜀， 考虑如下二次线性泛函极小馕问题 r a w i nd i ( v ，u ) = d l ( u ，让) l r * 显然冗，a 是该秘题豹一个织，从谣麓 联系式( 2 9 ) 得 d l ( 挖i a ，r 1 a ) d l ( 冀 ，磺a ) 0 西b ( a ， ) sd 1 ( r 2 a ，r 2 a ) ，( 3 0 ) 鏊主堡垒董三垂整垄凌黧篷塑兰垂墨垒錾圭篓蒸塑叁堡簦鎏 一2 0 于是由 s a ，a = + = d l ( 囊窖 ，踅l h a ) 4 - 西2 ( a ，a ) ，v a 圣盎， 知 t 曼黜= ，+ 黼= t + 褊， 再利用不等式( 3 0 ) 即得 l 量蒜 2 ( 3 i ) 也就是说s 6 与簧谱等价 从而( s ) - 1 铲的条件数与网格参数无关得证口 注：对于n 为有界区域的情形，得不到形如式( 3 1 ) 邈栉精确的估计式，内文献【3 7 笳 六章定理4 2 的证明过程可知，嚣n 有界厦 i 得到的形血拜式( 3 1 ) 的估计式右端为一与所 考瘩阕题撩荧熬歪鬻数。 推论3 2 1 离散d 一暇替法收敛速度与危无关 定理3 2 4 当0 r a i n 氏n l & x 钆 1 时，离散d 一交替法收敛 证明 激式攀8 ) 积式( 2 7 ) 可褥 s ；( a 。十l a 。) = 靠s 矗( q a 。) ， 从而有 a n + ，一a 。一o ( s b 一1 s “( q a 。) ， a 。+ l 一一 一氏( 簧；一1 s 6 ) ( a 。q ) 一r l 1 ( j o o ( s b 一1 s “) ( a o q ) ， 由式( 3 1 ) 知( 钟) “s “的特征值在暇间【1 ，2 中，故 l f a 。十l q l 扩i t a o 一歉 其中肛 l 为欧氏范数， 6 = m a x 1 一r a i n 钆，2 m a x 一1 ) 1 硬论文 基予垂然透嚣麴 二麴半无要区域上瓣戮域分解羹法 2 l 由此可知 从丽由式( 2 2 ) 殿0 r a i n0 , , 可褥 定理得证口 。l 。i m 。i i a n q | 1 = 0 墨怒l l q ”一窜| | = 0 推论3 2 2 取如= a = ；时，有d = ；取如= 0 = 或如= 口= i 时，有d = j 1 ，口 洼：对于q 为露器送蠛熬绩影，臻憋镬离鼗d n 交饕浚羧敛，辩氏静选取琵鞍壅难， 有赖于对形如式( 3 1 ) 的不等式右端项的估计 鏊圭鲨童垄至叁鏊鎏委熬差羹墼墨蒌銎壅堡尘蛰蘸麓筮堑錾鎏 2 2 4 强奇异积分的数值计算 边界元方法将区域内的偏微分方程的边值问题归化为边界上的积分方程， 这些积分方稷往缝是奇男积分方程，它 】可能是弱资雾豹，可筵菇：c a u c h y 型奄舅 薛，氇可麓楚黻鸯舅的，枣予强奄异积分方程誊程j 嚣a d a m a r d 麓蓑佟申赉现过， 故也称之为h a , d a m a r d 型奇异积分方程，积分核的强奇异性带来了理论和计算上的 困难由自然边界归化得到的自然积分方程无一例外都是h a d a m a r d 型积分方程， 因此如何计算强奇异数值积分成了自然边界元方法的关键h a d a m a r d 激奇异积分 吴套离玲熬窬器挂，按经典徽积分学熬概念该积分楚发敖豹、没有意义戆，无法 利薅经典的数德积分公式算毒暴露一定精度的近戗僚事实上，在自然逸赛归化中 出现的强奇鼎积分是在广义函数意义下定义的t i i a d a m a r d 有限部分积分，对于这类 积分已有多种行之有效的数值计算方法，下面简聚介绍一下奇异部分分离计算法 4 。l 意吴郝努分簧计算法 所谓奇茹积分是指积分核属于这样的函数类，它使得该积分不熊在邋常的 r i e m a n n 或l e b e s g u e 意义下定义，h a d a m a r d 型奇异积分在一维情形为带有再奄型 积分核的积分当，( 句g 2 ( 口，b ) 时，对s ( n ，6 ) ，h a d a m a i d 奇异积分c 罄拳出的 有限部分定义为 ，毋e 器d t = 怒 鬈。器d t + 盘。器d r - 华 ( 1 ) 这一定