（应用数学专业论文）基于对偶方法的图像去噪和图像分解算法.pdf

河南大学硕士学位论文 中文摘要 本文首先针对当前流行的g d t m a ( t h eg r a d i e n td e c e n tt i m em 盯出n g 出g o r i t h m ) 在求解l l t ( l ”a k e r 、l u n d e 州d 和，i a i ) 模型时的缺陷，提出了基于l e g e n d e 卜f e n c h e l 变 换的对偶方法，解决了l l t 模型中的不可微项在数值运算中的困难。并证明了对偶 方法的收敛性，进一步通过实验验证了该方法拥有比g d t m a 更快的收敛速度。 其次，针对r o f 模型和l l t 模型在处理噪声图像时存在的缺陷，以及纹理部分 和噪声部分之间的差异，将图像分解思想和r o f 模型与u 模型相结合，提出了一 种新的分解去噪模型：d d ( d e c o m p o s i t i o na n dd e n o i s i n g ) 模型。该模型在处理噪声图 像时，将噪声图像分解为结构、纹理和噪声三部分，从而达到既去噪又能分解的目 的。进一步，通过仿真试验，验证了d d 模型和算法的合理性及有效性。 最后，针对t v _ g 模型、恼e - o s h e r 模型和t v h 一1 模型等分解模型在进行图像分 解时，所得到的结构部分有块状效应的问题，提出了基于两步法的图像分解模型解 决了此问题。在第一步中，对结构部分的法向量构建了一个新的空间，并证明了空 间中的一些性质，且用基于l e g e n d e r f e n c h e l 变换的对偶方法来解决第一步；在第二 步中，利用当前流行的g d t m a 方法解决。 关键词：对偶方法，l e g e n d e r - f e n c h e l 变换，两步法，图像去噪，图像分解。 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t f i 硌tt h ep 印e r 撕ma tt h ed i s a d v a n t a g eo ft h eg r a d i e n td e c e n tt i m ei m r c h i n ga l l g r i t h mf o rt h em i i l i 面z a t i o no fl 【ti n o d e l ，明dp r o p o s ead u 越h l e t h o db 嬲e d0 nl e g e n d e 卜 f e n c h e lt r a n 8 f 0 眦t o0 v e r c o i n et h en u 卫口e r i c 甜d i m c u l t i e sr e l 劬e dt ot h en o n _ d i 髓r e n t i a b i l i t y o fl i tm o d e l w eh a v ep r o o e dt h ec o n v e r g e n c eo ft h ed u mm e t h o da n dd e l m o n s t r a c e dt h e s p e e d0 fc o n 、陀r g e n c e0 ft h ed u a lm e t h o di sf 缸t e rt h a nt h eg r a d i e n td e c e n tt i m em a r c b i n g a l g o r i t h mb y 加m e r i c a le 印e r i m e n t s s e c o n d ，w ea i ma ts h o r t c o n l i n g0 ft h er o f ( r n d i n ，o s h e ra n df a t e m i ) m o d e la n d u 卫m o d e li nd e n o i s i n gp r o c e 鹋i n g ，c o m b i nd e c o m p 0 8 i t i o nm o d e l ，t 讥n o 眦a n df 0 u r t h - o r d e rp d e ，t h ea r t i c l ep r o p o s e st h ed d ( d e c o m p o s i t i o na n dd e n o i s i n g ) m o d e lb a s e d o nd i 丑e r e n c eb e t w e e nt e ) ( t u 】旧a n dn o i s e i nd e n o i s i n g ，t h en e wm o d e ld e c o m p o s ea n n o i 8 yi m a i 驴i n t ot h r e ep a n s ，s t r u c t l l j 陀，t e ) ( t u r ea n dn o i s e ，s o 删e 、e st h ed e n o i s i n ga l l d d e c o m p o s i t i o ng o 甜r l r t h e rm o r e ，w et e s t 毋r a t i o n a n t ya n dv a l i d i t y0 ft h ed dm o d e l a n dt h ea 1 9 0 r i t l l mt h r o u 曲t h ee x p e r i m e n t s i nt h ee n d ，t oa v r o i d et h es t a i r c a s ee 髓c t so ft h es t m c t u r e 丘o mt h et v - gm o d e l ，v 醅e i o s h e rm o d e la n dt v - h 1m o d e la n ds o0 n ，w ep r o p o s e da t w 争s t 印sm e t h o dt o e r c o m e t l l i sp r o b l e m kt h e 矗r s ts t 印，w ep r o p o s ean e ws p a c ef o rt h en o r m a lv e c t o ra n dp r o o f s o m ep r o p e r t i e 80 fi t w bu s et h ed u mm e t h o db a u s e do nt h el e g e n d e 卜f e n c h e lt r a 珊f o r m t os o l v ei t i nt h es e c o n ds t 印，w eu s et h eo r i 西n a lg r a d ed e s c e n t 出g o r i t h mt os o l v ei t k e y w o r d s ：d u a lm e t h o d ，l e g 钮d e r - f l e n c h e lc h a n g e ，t w os t 印8m e t h o d ，i m a g ed e n o i s i n g ，i m a g pd e c o m p 0 8 i t i o n i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位中请。本人郑重声明：所呈交的学位论文是 本人在导师的指导下独立完成的，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过备勺研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 段保存、汇编学位论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学住论文作者) 釜名：懿拖姐 2 01 7 蓄年岁月叼日 学位论文指导教师釜名： 2 0 回年5 月如日 第一章绪论 数字图像处理，简称图像处理，即利用计算机对图像进行分析和处理，这一技 术是随着计算机技术的发展而逐渐发展起来的一个新的应用领域，汇集了光学、电 子学、数学、摄影技术和计算机技术等学科的众多方面 1 】。图像的多尺度表示以及 图像的重建等都产生了许多具有挑战性的数学问题。随着图像处理技术在许多领域 得到了越来越广泛的应用，传统的图像处理方法的局限性严重影响了图像处理的效 果，难以达到人们所期望的目标。于是，人们开始尝试利用更复杂的数学方法解决 图像处理中更困难的问题。 近年来，基于偏微分方程( p d e ) 的非线性图像处理方法受到人们越来越多的关 注 2 。由于自然界的物体是连续的，而且图像本身也是连续的，因此可以选择一定的 函数空间，利用一个偏微分方程来描述物体成像的过程。根据这一原理，便产生了基 于偏微分方程的图像处理方法。这方面最早的研究工作可追溯到n a g a o 3 】、r u d i n 4 】等 关于图像光滑和图像增强的研究以及k o e n d e r i n k 对图像结构 5 的探索，图像处理和 数学的其他分支例如数学形态学( m a t h e m a t i c sm o r p h o l o 目) 、图像水平线( 1 e v e ls e t ) 、 图像形状( s h a p e ) 等也为这个学科的形成注入了一定的内容。我国研究人员从2 0 世 纪9 0 年代中期就开始关注这个领域的工作，中科院自动化所、北京大学、复旦大学 中法应用研究所、北京师范大学、南京理工大学等陆续开始了这方面的研究并获得 了大量的研究成果。 偏微分方程在图像处理中的应用主要可以分为两类：一种是基本的迭代格式， 通过随时间变化的更新，使得图像向所要得到的效果逐渐逼近。这种算法的代表 为p e r o n a 和m a h k 的方程 6 】，以及对其改进的后续工作 7 】。该方法在确定扩散系数时 有很大的选择空间，在前向扩散的同时具有后向扩散的功能，所以，具有平滑图像 和将边缘尖锐化的能力。但是这种方法是病态问题，在实际应用中不稳定。 另一种方法是基于变分法的思想，也是本文主要研究的方法。首先确定图像的 能量函数，通过对能量函数的最小化工作，使得图像达到平滑状态。这类方法的关 河南大学硕士学位论文 键是找到合适的能量方程。它比第一种方法稳定，且具有明确的理论解释，是现在 普遍应用的方法。 图像在形成、传输和记录过程中，由于成像系统、传输介质和设备的不完善，使 图像的质量下降，这一过程称为图像的退化。通常情况下，退化引起两种现象。第 一种是确定的，它和图像的获取模式有关，或者与图像系统的潜在缺点( 比如由于 错误的棱镜调整，或者运动引起的模糊) 有关。第二种现象是随机的，并且与信号 传输中产生的噪声有关。在这种情况下，选取一个退化的模型是很重要的，每一个 模型用一个概率分布来表征。很多情况下，首先考虑的是g a u s s i a n 分布。但有时候需 要特殊的分布，例如雷达图像需要g a m m a 分布，x 线断层摄图像需要p o s 8 i o n 分布。 现在得到广泛应用去噪模型即r o f 模型( 8 是基于变分法的思想解决的。r o f 模 型如下 珊n 上 v 锃 如+ 害zf 呦一札1 2 如 由于r o f 模型得到的去噪图像有块状效应【9 1 1 】，这样导致图像中出现假的边缘，视 觉效果不好。人们就寻求别的方法来解决此问题，为了解决此问题文献( 9 ，1 2 17 】提 出了一些基于高阶导数的模型，c h a n 、娜i 痢m u l e t ( 1 2 提出模型 睁上( 唰一p 锚+ 扣彬) 蛐 其中，c ( 乱) 是椭圆算子“。y o u - k a v e h 【1 3 闶如下模型 n l i n 州u 1 ) 如咖 其中代表l a p l a c i 8 n 算子。文献【1 4 】中l y s a k e r 、l u n d e 州d 和t a 提出了如下l l t 模型 警v 2 u i 蛐+ 害如呦刊2 蛐 其中v 2 ( 仳) = v 1 瓦开耳下i f 习瓦开耳1 瓦矛。用当前流行g d t m a ( t h eg r a d i e n td e - c e n tt i m em a r c h i n gm g 耐t h m ) 解l l t 模型时，会遇到由i v 2 钆l 的不可微性所带来的数 值运算困难，通常情况下增加一个扰动项e ( o o ，z n 是中一序列且i | z n 恬k 则存 在z 万和z n 的子序列z n f 满凡n f _ z ( 礼_ + o o ) ( 6 ) 彤是一个自反的b 口c 空间，k o ，厶形且满足i l a l l x ，k 则存在， 影7 和厶的子序列厶，满足厶j _ ，( n 一+ o 。) ，2 1 3 凸性和下半连续性 2 3 】 影是一个b 口舭c 空间，f ：影_ 冗，考虑如下最小化问题 啦，f ) z 彤 、 首先考虑此问题解的存在性。通常证明此问题的存在性为如下几步，构成变分 法的直接方法： ( a ) 构造一个最小化子序列z n 影，即此子序列满足l i 平f ( z n ) = i 哆f ( z ) 。 n + 十z 。z ( b ) 如果f 是强制性的( 1 i mf ( z ) = + o o ) ，则可以找到一致有界的序列i l z n i | c 。如果影是自反的，由定理2 1 5 可知存在 z n ) 的子序列 z 哪】- ，满足茹唧一跏。 ( c ) 为了证明踟是f 的最小点，需要不等式堕乳。f 唧) f ( 铷) ，隐含者f ( z o ) = m i nf ( z ) 。 卫 、7 最后一个性质称为弱下半连续性。更详细的，定义如下： 定义2 1 6 ( f s c ) 如果对任意序列 z n ) c 彤凰nj z o ，有 ! i 蛩。z 。f ( z n ) f ( z o ) 则称f 是弱下半连续的。 类似的可以定义强下半连续性。 定义2 1 7 设形是一个线性空间，cc 。彩是一个凸集称f ：c r 1 是一个 凸泛函，是指f 满足 f ( 入z + ( 1 一a ) 秒) a f ( z ) + ( 1 一a ) f ( 秒) ( vz ，箩gva ( o ，1 ) ) ( 2 1 1 ) 、 5 河南大学硕士学位论文 注记2 1 8 这个定义可以等价地表达为：上方图 卿( f ) 全 ，t ) c r 1 f 扛) 亡 是c r 1 中的凸集。 如果啊( f ) 是一个闭凸集，称f 是闭的。 定理2 1 9 ( 强2 s - c 和弱2 s - c ) 如果f ：影_ r 是凸的，则f 是弱2 s c 当且仅当 是强2 s c 这个定理非常有用，因为强2 s c 在许多情况下不是非常困难证明。 得到了最小值的存在性，很自然第二步将写最优性条件。这需要计算g 孰e d u z 导 数，如下定义 定义2 1 1 0 ( g 铙e 8 锄z 导数) 设影是b 8 纰c 忍空闻，f ：彤_ r 。如果极限 f 7 ( u = 淼坐掣 存在，称f 7 ( 让；移) 为雕u 点沿方向钞的方向导数。而且，如果存在面形7 使得f 7 ( 钍；u ) = 面( u ) ，则称f 在乱点g t e 讹z 可导，记为f 协) = 在。 如果f 是g 铙e 。乱z 可导的，而且问题囊要f ( 秒) 有一个解让，则有 ( 钍) = o( 2 1 2 ) 相反的，如果f 是凸的，则f 7 ：o 的解u 是最小化问题的解。方程f 7 = o 叫做最小化 问题的五沲z e r l 口夕r o 哪e 方程。 2 2有界变差函数空间【2 3 】 2 2 1b y ( q ) 的定义 qcr 住满足l i p s 出t z 边界的开集，牡l 1 ( q ) 。定义 上i 。u i = 8 u p ( 2 2 1 ) 6 河南大学硕士学位论文 其中出口妒= 量船( z ) ，d z 是l e b 啜g u e 测度，铝( q ) 是定义在相对于q 的紧集上的连 续可微函数空间。川沪1 意味着i 忱k o o ( q ) 1 ，z = 1 ，2 。 定义2 2 1 ( b y ( q ) ) 定义b y ( q ) 即有界变差空间为 b y ( q ) = 钍巩q ) ；上胁i o 。) ( 2 2 2 ) 如果u b y ( q ) ，则d u ( 的分布梯度) 可以认为是r a d o n 向量值测度。 2 2 2b y ( q ) 的性质 q 是有界的且具有l i p s c h i t z 边界的开集。下面给出b y ( q ) 的几个主要性质： ( p 1 ) 下半连续性 若呦b y ( q ) ，呦一钍( 三1 ) ) ，则如i d u l 也乌。如i d l 。 ( 易) 迹 迹算子亡r ：钆_ 钍l a q ( b y ( q ) _ l 1 ( a q ，7 l f 一1 ) ) ，在b y ( q ) 中是线性强拓扑连续 的。咒一1 是( 一1 ) 的h a u s d 删4 度。 ( 忍) 木弱拓扑 在b y ( q ) 上，赋以范数州l b y ( q ) = i l - ( n ) + 如i d 钆j ，则b y ( q ) 是b n 扎口c 九空间。 一般不用这个拓扑，因为它没有很好地紧性。一般用b y 一叫+ 拓扑，定义如下 呦一刍y 一们。乱 嘶一乱( l 1 ( q ) ) ，d 嘶_ d 钍( 2 2 3 ) 其中d 吻_ 缸d u 意味着如妒d _ k 如妒d 乱( 妒岛( q ) ) 。在这个拓扑下，b y ( q ) 有 一些很有趣的紧性质。 ( 只) 紧性 b y ( q ) 中任意一致有界序列在口( q ) 中是相对紧的，其中1 p 始，1 。 另外，存在一个子序列和让j e i y ( q ) 满足呦。一刍y 一 乱。b y ( q ) 连续嵌入驴( q ) ， 其中当= 1 时，p = 1 ；否则有p = 格。 7 河南大学硕士学位论文 2 3对偶理论【2 4 】 对于凸泛函f ：_ 卜o 。，+ o 。 ，定义f 的有效区域为集合 d d m ( f ) = z 。形i f ( z ) 一o o ，则有 声( z ) = j ) v z 酞竹 2 4 在本文中经常用到的一些结果【2 3 在本节给出一些经典的理论、推论和不等式。这里所列出的结果不是所有的结 果，而是本文中所用的一些重要的结果。 c a u d b k s c h w a r z 不等式：l z 暑，i i z l f 耖i ( z ，耖r ) h 6 l d e r 不等式：假设1 p ，q o 。，昙+ 昙= 1 。如果札汐( q ) ，口口( q ) ，则有 上i 让u i 如川州q 灿b ( 哟 9 河南大学硕士学位论文 j e n s e n ，s 不等式：假设函数，：r _ r 是凸的，qcr 是有界开集( 1 q i = 1 ) 。u ： q r 是可积函数。则 ，( 锊) 譬 m i 炳k i 不等式：假设1 pso 。，t 正，口妒( q ) 。则 t 正+ t ，l 驴( q ) 川驴( q ) + 川p ( q ) p o i n c a 硝不等式：q 是r 中的有界开集，u 崂p ( q ) = u i 珏w 1 ，p ( q ) ；u l a q = o ) ，1 p 礼。则 l u 伽) o 是一个给定的常数。 此问题的解所满足的e u l e r - l a g r a n g e 方程可通过求u 在方向口的g t e q 懈导数得 到。问题( 2 5 4 ) 的所满足的e l l l e r l a g r a n g e 方程为 r + r 珏一r + 珏。一入t 正= o ( 2 5 5 ) 以及n e u m a j l n 边界条件 、 豢：o ( 2 5 6 ) 、 一= z t 1 n a 。 、- 吖 但是问题( 2 5 5 ) 、( 2 5 6 ) 的解并不是我们所想要的结果，因为众所周知l 印1 a u c i a n 算 子具有各向同性的光滑性质，对图像的高频部分不加区别的一律削减。由于特征和 噪声同属于高频，所以，在降噪的同时也使得图像特征发生模糊现象，严重影响后 续图像处理。如图2 2 所示。因此人们设想能否找到一种扩散方法使其自动区别特征 和噪声，在边界和同质区域采取不同的滤波策略，这正是各项异性扩散方法的由来。 等价的可知由( 2 5 4 ) 得到的钍过分光滑。梯度v u 的驴范数当p = 2 时虽然去除了噪 】3 河南大学硕士学位论文 ( n ) 原始图像( 6 ) 噪声图像( c ) 结果 图2 2 声，但同时也减小了边界的梯度。为了尽可能的保持边界，应该减小p 的值。r u d i n ，0 8 h e r 和f 砒e m i 在文献【8 ，2 9 】提出了用梯度v 让的l 1 范数代替( 2 5 4 ) 中梯度v 让的l 2 范 数，即 让离q ， 上l 咖一胤1 2 如+ a 上f v 让l 如) ( 2 s 7 ) ( 2 5 7 ) 称为r o f 模型。在图像去噪问题中，线性模糊模糊算子冗是恒等算子，由于 本文处理的问题是图像去噪问题，所以在下文中让与咖的关系为 伽= 牡+ ，7( 2 5 8 ) r o f 模型通常情况下写为 “溉q ， 上i v “i 如+ 害上i 伽一u 1 2 如 c 2 s 9 ， 由于图像可以分解为两部分：光滑部分( 缓慢的变化) 和不连续区域( 比如图 像的边缘) 。不连续的地方通常是感兴趣的细节。因此如果把一个图像看作一个函 数，需要找一个合适的空间来定义图像。这个空间为b y 空间，因此( 2 5 9 ) 变为 乜醐q ， 上j 。钍i + 害上l “。一u 1 2 如) c 2 s 1 。， 此模型能够很好的保持边界，能够解决保持边缘和抑制噪声这一对矛盾。解的 存在性和唯一性参见文献【9 ，3 m 3 2 】。但由于r o f 模型得到的的解是分段常数，因此 河南大学硕士学位论文 去噪图像有块状效应。这样导致图像中出现假的边缘，视觉效果不好。所以r o f 模 型在对块状图像( 即图像灰度值为分段常数) 去噪时能得到好的效果，如图2 3 所示； 但对于复杂的图像不能得到很好的效果，如图2 4 所示。 ( 口) 原始图像 ( 口) 原始图像 ( 6 ) 噪声图像 图2 3 ( c ) 结果 ( 6 ) 噪声图像( c ) 结果 图2 4 由于r o f 模型存在这样的一个缺陷，人们就寻求别的方法来解决此问题。为了 解决此问题人们提出了一些基于高阶导数的模型，其中l y s a k e r 、l u n d e o l d 和t a i 提 出了如下l 加? 模型： 让w 。，。掰n 磁q ， 上i v 2 u l 如咖+ 害厶咖一让) 2 如匆) ( 2 s 1 1 ) 其中l v 2 札i = 、夏j 瓦i i 蕊。( 2 5 1 1 ) 对应一个四阶的滤波器。 对于l l t 模型和r o f 模型的比较如图2 5 所示。 1 5 河南大学硕士学位论文 ( 。) 原始图像( 6 ) 噪声图像 ( c ) r o f 结果( d ) l i t 结果 图2 5 2 5 4 图像分解的方法 r o f 模型是一类经典的变分去噪算法，尽管该模型能够解决保持边缘和抑制噪 声这一对矛盾，但是当a 很小时，像纹理这样的图像小细节特征就会被毁坏。 针对这种不足，m e y e r 通过与有界变差空间( 简称b v 空间) 在一定意义上的对偶 空间，对纹理等细小特征建模，提出了基于t v 极小化框架下的振荡函数建模理论， 即图像分解理论。设给定一幅图像，：q _ r ，将其分解成两部分让+ 钉，其中让是由齐 次区域和突出边界形成的图像，即，的结构部分，u 为，的纹理或噪声部分。m e y e r 建 1 6 河南大学硕士学位论文 立了如下图像分解模型，即t v - g 模型 。u 印器i ，帅 驯刊) ( 2 舢) 其中b 砒空间g 含有大的震荡信号，而且y 、髑m e y e r 证明了t ，表示纹理和噪声部 分，钉g 。下面给出g 空间的定义。 定义2 5 1 设g 是一个由所有可以写成 钉( z ，秒) = 跣9 1 ( z ，可) 十岛仍( z ，暑) ，9 1 ，9 2 三o 。( q ) 的广义函数移( z ，秒) 组成的b 硼僦危空间，这里口的范数忙即为满足上式的所有函 数l 才i 的l 范数的下确界，其中夕= ( 9 1 ，仍) ，i 夕( z ，秒) i = 万币磊两f 玎瓦话万炉 g 空间中函数有很大的震荡但有小的范数。 但是，m e y e r 的理论模型没有直接可求解的偏微分方程与之对应，v 磅e ，o s h e r 首 先提出了用以”( 汐) 一n o r m 近似g n d r m ，即 蕊： 加上l 咖咖。妇+ p 比( 懈瑚呐( 2 5 m ) 另外，2 0 0 3 年，o s h e rs o l e v e s e 提出了一种逼近该理论模型的方法，基于t v 极 小化和h 一1 范数的图像分解模型，即t v - h - 1 模型 。u 力洲臻。l ，帅 门驯+ 扣恼一t c 2 s 1 4 ) 其中1 日一，= ，| v - 1 钉1 2 如妇。 1 7 第三章一种求解l l t 模型的新方法一一对偶方法 目前，基于p d e 的变分模型已被成功地应用于图像处理的工作中，其中全变差 ( t v ) 模型( 简称r o f 模型) 是一类经典的变分去噪算法。 在用当前流行的g d t m a 计算r o f 模型时，t v n 咖的不可微性给运算带来的 一定的数值困难，通常情况下增加一个扰动项( o e 1 ) 来解决，即用l v 钆i 。= 川瓦币干；代替l v k f 。扰动项越小，去噪图像越接近于原始图像，但收敛速度越慢， 因为i v 牡i 。与不可微项l v 钆l 越接近；扰动项越大，所得到的解与真实解相差越远。为 了解决这些数值困难，有人提出用对偶方法来解决此问题，在 3 3 】中，c h a r n b o l l e 提 出基于l e g e n d e r - f e n c h e l 变换的对偶方法。 另一方面，虽然l l t 模型解决了由r o f 模型所得到的去噪图像有块状效应的缺 点，但是用g d t m a 解l l t 模型时，仍然会遇到同r o f 模型同样的困难，即i v 2 训的 不可微性带来的在数值运算中的困难，通常情况下用一个扰动项( o 1 ) 来 解决，即用i v 2 u i ，= 、i v 2 乱1 2 + 代替i v 2 u l o 但此时同样的问题将会发生。本章引入 基于l e g e n d e r f e n c h e l 变换的对偶方法来解决此问题，其基本思想是将此方法用于算 子、( 镌z + 镌可+ 嵋z + 嘞) ，通过一个属于暖( q ，酞2 2 ) 的变量得到札。另外，本章证 明了此方法的收敛性，而且通过实验说明了收敛速度比g d t m a 快。 3 1对偶算法 如同w 1 ，2 ( q ) 由b y ( q ) 代替，在l l t 模型中用一个新的空间b y 2 ( q ) 代替2 ，1 ) ， 其中b y 2 ( q ) 是一个二阶导数的有界变差空间 3 4 ，3 5 】。b y 2 空间定义如下【3 6 】： 定义3 1 1qc 舻是满足三枷c m 碰界的开集。定义b y 2 ) ( b y 2 空间) 是乱 三1 ( q ) 的子空间，使得下述等式成立，也称为b 俨的半范数 肛f ：= 唧“喜u 撕嘲妒嘲吣州邮1 ) 。 ， 1 8 河南大学硕士学位论文 ，n 其中i 妒( z ) l = 1 ( 妒h 七) 2 v 九，七= 1 从b y 2 空间的下半连续性和紧性知b 俨( q ) 以范数i b y ：( 哟2 以i d 2 让l + i i 钍怯( 哟 形成b a n a c h 空间，且当u w 2 1 ( q ) 时，以l d 2 牡i2 以| v 2 乱l 【3 7 】。记j ( u ) 2 正l d 2 让l ，n，q ，2 在本文中称其为二阶全变差。 因此i 。i t 模犁蛮为： u b y 。础q ， ( 3 2 ) 为了书写方便，定义算子出u 2 ：出口2 妒：圭仇巩妒触，其中妒罐( q ，r 2 2 ) 。 命题3 1 2 泛函j ( u ) ( u l 1 ( q ) ) 是闭的、正常的且凸的 让明： 凼为j ( 乱) 征j e 7 y 。( s2 ) 至1 日j 冈是卜半恁j 买明，凼此卿( ，) 是刚明，即，是刚酮。 由厂( 缸) 的定义，很容易的知道至少有一个札l 1 ( q ) 使得j ( 仳) 一o 。，因此，是正常的。l 1 ( q ) 是一个凸集，v 牡，影三1 ( q ) ，v 入( o ，1 ) ， 取妒罐( q ，舻2 ) ，i 妒l 1 。贝! j m u + ( 1 叫t ，) = 8 u p 上( a 让+ ( 1 一啪) 甜妒如) = 8 u p = 础y 。龋以q ) 罢 厶u 蛐+ 害厶呦刊2 蛐) ) 河南大学硕士学位论文 凼此( 3 1 2 ) 明j 泉始对偶i 吲题为 伽y 。龋俄q ) 罢 厶u 蛐+ 害心咖刊2 蛐) ) ， 又因为式( 3 1 6 ) 对u 是凸的，所以( 3 1 6 ) 转化为下式 罢k ：龋以q ， 厶u 蛐+ 害如咖叫2 如而 ) 对固定的口考虑内部的最小化问题 u b y ：龋础q ， 厶乱如匆+ 害厶呦一扎) 2 如妇) ( 3 工7 ) u b y 2 ( q ) n l 2 ( q ) l ，q z - ，q 、。 j 对于固定的移，( 3 1 7 ) 的e u l e r - l a g r a n g e 方程是移一入( 咖一u ) = o ，即乱= 咖一妥，将此 表达式代回( 3 1 6 ) 式，有 罢b 。龋脚，治蛐+ 害露咖叫2 蛐) ) = 罢 上( 一芸) 蛐) = 一甚， 上( 芸) 如咖 b 埔， 解决( 3 1 8 ) 式的等价于解决如下问题 尝， ( 3 工9 ) 所以口= 吻，( 入咖) ，其中，是集合k 7 的正交投影。因此( 3 1 2 ) 的解乱为 仳= 咖一，a ) ( 3 1 1 0 ) 所以要想计算钆需首先计算非线性投影已f ，( 入咖) 。 下面在二维空间里计算投影算子户k ，( 入咖) 。计算非线性算子p k ，( 入仳o ) 等价于求 解如下带限制的问题 呼 l i 反口2 妒一入咖仍 ( 3 1 1 1 ) 河南大学硕士学位论文 s 亡 1 妒l 1 ，妒( z ) 暖( q ，r 2 2 ) ( 3 1 1 2 ) 在离散的情况下，( 3 1 1 1 ) 、( 3 1 1 2 ) 等价于解决如下问题 r n j n 钏出口砀一a u 。1 1 2 ：p 慨j 1 2 1 ，vt = 1 m ，j = 1 ) ( 3 1 1 3 ) 其中m 是二维图像的大小。 x 是欧几里得空间r m ，赋予空间x 内积 和范数 ( u ，口) x = 札t j 仇j 而y 定义为y = pp = ( ；：；：) ，矿知五九，七= 1 ，2 ) 。对任渤= ( ；：；：) m 书讣y 徽 和 扫，g ) y = 端+ 粥粥+ 瑞妨+ 竭彩) 勘】，则对i = 1 m ，歹= 1 i ：瓜再葡可孺 应用l a g r a n g e 乘子法解决上式，根据k a r 璐h k u h n - ，i i u d 【e r 条件知道对应每一个 控制条件，存在l a g r a j l g e 乘子q i j o ，使得下式成立 ( v 2 似 砀一入咖) ) i ，j + a t ，j 阢j = o ( 3 - 1 1 4 ) 2 2 河南大学硕士学位论文 其中算静如下舣妣醌舻钆= ( 篡芝) 。 在上式中当慨j i = 1 时，啦j o ；当慨，j i o ，p 0 = o 的零矩 阵。对任意几o 有 姑1 = 殇一t ( 码+ 忆i 瞄1 ) ( 3 1 1 7 ) 所以有 势鞫 1 1 8 ， 其中 镌= ( v 2 ( 班移砂一入让o ) ) j 稍后将要证明，当圻艮小时，反口2 p 竹收敛到吆，( a u o ) ，因此乱n = 咖一去出口2 矿_ 商，其 解。 定理3 1 4 若亡击，则当礼- o 。，出钉2 矿收敛到吆，( a 钍o ) ，且矿是( 舅j j ? ) 的 证明：固定礼 o ，令叼= 牛，则 i | 出口2 矿+ 1 一a 咖| | 2 = l i 出u 2 矿一入如1 1 2 + 2 ( 出口2 叩，出口2 矿一a 咖) + t 2i l 出口2 圳2 i l 反口2 矿一入咖1 1 2 + t ( 2 ( 7 7 ，v 2 ( 砒口2 矿一入咖) ) + k 2 圳叼1 1 2 ) 河南大学硕士学位论文 其中1 2 = ( 叩，叼) ，k 代表算子出口2 的范数，稍后