（应用数学专业论文）一类退化椭圆问题和抛物问题的均匀化.pdf

重庆大学硕士学位论文中文摘要 摘要 这篇论文深入地研究了一类退化的椭圆问题和一类退化的抛物问题的均匀化 问题。 研究均匀化问题的经典方法主要有d e g i o r g i 的变分收敛方法和l t a r t a r 的能量方法，对于周期系数的偏微分方程的均匀化，n g u e t s e n g 基于周期函数的有 关性质在1 9 8 9 年提出了一种新方法即双尺度收敛方法。 本文主要是结合l t a r t a r 的能量方法和a 权，加权s o b o l e v 空间等调和分析 的技巧得出了下列非线性椭圆问题和非线性抛物问题的均匀化： r 一、j d v a ( x ，u ，v u ) + 反兰，u ) ：“两 i nq 。1 8 u ( 曲：0 0 8 o na q iu ( 习= a q u ，一面豫( 兰，三，v u ) ：f ( x ) i n q ，：f 2 ( o ，d ss u 而= 0o n 鼬r u ( o ，柏= 0 i nq 本文主要是结合已有的一些结果从理论上解决了更为一般的问题( 一) 和 ( 二) 的均匀化问题。 关键词：均匀化，退化，非线性椭圆方程。非线性抛物方程，权s o b o l e v 空间。 重庆大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t t h eh o m o g e n i z a t i o no fac l a s so fn o n l i n e a rd e g e n e r a t ee l l i p t i cp r o b l e m sa n da c l a s so f n o n l i n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i cp r o b l e m si ss t u d i e di nt h i sd i s s e r t a t i o n t w op o w e r f u lc l a s s i c a lm e t h o d si n t h e o r yo fh o m o g e n i z a t i o na r ed eg i o r g i s v a r i a t i o n a lc o n v e r g e n c em e t h o da n dl t a r t a r se n e r g ym e t h o d f o rt h eh o m o g e n i z a t i o n o ft h e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hp e r i o d i c a lc o e f f i c i e n t s ，i n 1 9 8 9 ，n g u e t s e n g p r o p o s e d an e wm e t h o d ，i e ，t h es o - c a l l e dt w o s c a l e c o n v e r g e n c em e t h o d ，w h i c h e x p l o i t sf u l l yt h ep e r i o d i c i t yo f c o e f f i c i e n t s u s i n g l t a r t a r se n e r g ym e t h o da n ds o m e t e c h n i q u e sf r o m h a r m o n i c a n a l y s i s ，s u c h a st h em u c k e n h o u p tc l a s sa ( h of o ras u i t a b l ec o n s t a n t k 1 ( s e ed e f i n i t i o n h e l o w ) ，w e i g h t e ds o b o l e vs p a c ea n ds oo n ，w eo b t a i nt h eh o m o g e n i z e dr e s u l t so ft h e f o l l o w i n gd e g e n e r a t ee l l i p t i cp r o b l e m sa n dd e g e n e r a t ep a r a b o l i cp r o b l e m s ： ( 1 ) ， - a o v u ) + 瓿= “砷面q lu ( 曲= 0 o 1 硷 血q ，= q ( 0 ，d o n 规， 面q t h e s er e s u l t se x t e n dt h ek n o w nr e s u l t se x i s t i n gi nt h el i t e r a t u r e k e y w o r d s ：h o m o g e n i z a t i o n , d e g e n e r a t i o n , n o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，n o n l i n e a r p a r a b o l i ce q u a t i o n s ，w e i g h t e ds o b o l e vs p a c e i i 重庆大学硕士学位论文l 前言 1前言 1 1 背景 在力学、物理、化学和工程技术中，往往需要研究复合材料、晶体结构或高 分子聚合物结构的性质，而这往往归结为周期结构介质中的一个( 初) 边值问题 的研究。 当结构的周期与我们所研究的系统所在的区域的“尺度”相比显得很小时，直 接研究或计算就比较困难、烦琐( 有时甚至不可能的) ，这时渐近分析就成为很重 要的研究手段。例如，若s 表示结构的周期和整个区域的“尺度”的比率，需要将 解展开成小参数的次方项的和的形式( 见( 1 2 3 ) ) ，即从系统性质的微观描述 过度到宏观描述。均匀化理论正是为处理这类问题而产生和发展起来的。 下面以连续介质力学中的问题为例简单说明一下所谓“均匀化过程”。 在连续介质力学中，一般讨论的是某一小块材料的受力情况和其形变的关系， 即所谓张力一应变方程( s t r a i n s t r e s si a w ) 现考虑用两种( 或更多) 成份组 成的非均匀介质。可从局部和整体两个观点看这个问题。从局部上讲：把每种成 份看作一种连续介质，考虑其张力一应变关系，在它和另一种材料的接触面上给 定边界条件( 当然，还要求这部分的特征长度( c h a r a c t e r i s t i cl e n g t h ) 和分子 间距离相比很大) 。从整体上讲：寻求一种复合材料，使它具有所讨论的复合材料 的宏观样本的整体力学性质。我们要问，当局部尺度和整体尺长相比很小时，能 否从局部观点下的解的性质得到整体观点下的解的性质? 均匀化理论正是回答了 这个问题，它给出了局部行为和整体行为之间的联系，我们把这个从局部到整体 的过程称为均匀化过程。显然，均匀化与复合材料中各种成份的分布情况有关， 事实上现在均匀化理论一般也是在材料结构具有周期性( 或某种近似周期性) 的 假设下得到的。 类似的问题在其它领域还有很多( 参见 1 ， 2 6 ， 3 1 ， 3 6 等) 。 一般来说，均匀化方程( 即上述整体观点下的方程) 的系数依赖于介质的局部 结构，在周期结构假设下，它可以通过其结构的一个周期上的边值问题的解得到。 不过，在多数情况下，局部性质和整体性质是很不一样的。例如，多孔介质中流 体问题的研究中，d a r c y 定律是n a v i e r - - s t o k e s 方程的均匀化方程) ；在粘弹性力 学中，粘弹性固体和粘性流体的组合的均匀化形式。 “均匀化”( h o m o g e n i z a t i o n ) 这个术语是由e s a n c h e z p a l e n c i a 在1 9 7 0 年 首先明确提出来的。他当时用渐近展开的方法形式上得到了几个问题的均匀化结 果，d eg i o r g i 和s p a g n o l o 用g 一收敛方法第一个从数学上严格证明了他的结果。 重庆大学硕士学位论文 从此，均匀化理论引起了数学界和其相关领域的很多专家( d eg i o r g i ， l ia c a r f a r e 1 i ，l t a r t a r ，林方华等) 的重视，几十年的发展带动了其它相关 理论( 诸如补偿列紧) 的发展。均匀化的一般理论可参见 1 ， 2 6 ， 3 1 ， 3 6 等， 它在一些实际问题中的广泛应用可参见 2 6 ， 3 1 等。现在，均匀化理论已经成 为偏微分方程和数学物理的一个活跃的分支。 1 2 已有结果综述 从数学的观点，上述均匀化过程可归结为如下的数学问题：设s 是局部尺度( 即 具有周期结构的周期) 与宏观尺度之比，给定一族依赖于g 的微分算子e ( 可以 是椭圆，抛物，双曲算子等) ，其系数关于某些自变量是周期函数，其中周期为e y ， y = 【0 ，1 】。，当然也可以为其它的丑维空间中的方体。给定区域q c r 。和源项， 我们可以得到 、，墨生：。登习。，血、。巴。 ( 1 2 1 ) iu ( x ) 满足适当的( 初) 边界条件 的解u ，。当材料结构的周期和整体尺度相比很小时，即s 一0 时，我们需要研究u ， 的渐进性态。假设u ，( 在某种意义下) 收敛到某极限u ，我们要找一个“均匀化 算子”工使得u 是如下方程的解： r 一 l u = “曲 nq ( 1 2 2 ) iu ( 曲满足适当的( 初) 边界条件 从( 1 2 1 ) 到( 1 2 2 ) 即是所谓均匀化过程。 为求出王的具体表示，有一个经常用的方法，即所谓双尺度渐近展开( t w o s c a l e a s y m p t o t i ce x p a n s i o n ) ：先假设可以写成如下形式： u ；( 勾= u o ( 再三) + su l ( 五兰) + s 2 u 2 ( 五! ) + ， ( 1 2 3 ) e56 其中u i ( 墨y ) 关于，是y 周期的。然后把( 1 2 3 ) 代入( 1 2 1 ) ，按。( 七= o ，1 ，2 ，) 的系数相等得到一串关于u i ( j = o ，1 ，2 ) 的方程组。一般说来，其中第一个方程( 即 关于u n 的方程) ，对，变量求平均即得到( 1 2 2 ) ，且工的具体表达式可以借 助于周期y 上的一个辅助方程即“细胞方程”( c e l le q u a t i o n ) 的解得到。这个方 法在非数学界得到了广泛应用，即使在数学界也往往是用这种方法猜出均匀化结 果三的形式，然后再用其他方法给出严格证明。当然上述方法只是形式上给出了王 的表达式( 因为假设( 1 2 3 ) 不一定成立) ，要严格证明由上述方法得到的均匀化 结果，l t a r t a r 的“能量方法”( 基于能量估计) 是一个很有力的方法。粗略地说， 2 重庆大学硕士学位论文 能量方法就是在( 2 1 ) 的方程两端乘上些特殊的检验函数，这些检验函数由“细 胞方程”的解来构造，在n 上积分后令一0 即可得( 1 2 2 ) 。虽然这里包含了 两个弱收敛函数列( 如乓的系数和v u 。) 的乘积，但我们可以通过检验函数的特 殊选取使得其有某种“补偿紧性”，因而可以令s 寸0 可得极限，具体细节可见 i ， 2 6 ，和 3 6 等。 1 2 1 区域q 不依赖于s 的情形 这小节中我们假设q 亡r 4 固定且与8 无关。 先看如下n = l 的一个例子( 其证明可见 1 和 2 6 ) ： 例1 设u 。是如下问题 j 一旱( a ( 争粤) = “砷 i n h，bdx d x 1 cr 1 ， ( 12 4 )6l 1 z 4 j 【吒( a ) = u a 6 ) = 0 的解，其中a ( y ) 是以t 0 为周期的可测周期函数，且o a a ( 卵卢 1 ，l 1 ； 则当s 一0 时： f u 8 要u o 血1 聊，1 ( q ) ， 祥姗与b ( v u 。)面( 2 ( q 矿 ( 1 2 1 4 其中u o 是下面均匀化结果问题的解： 一鼍y ，：删n g 江川5 ) iu ”( 柚= 0o n 鼬 其中6 ( ) = l 以只 + w ) d y ，由下面的“细胞问题”( c e l lp r o b l e m ) 确定： f 一威坂另毒+ v ) = 0 妇 【d 卜周期的， m y ) = 0 对于非散度形式的方程我们参考c a f f a r e l l il a 6 定理3 设h s l d e r 连续列 u 。 是方程f ( d 2 u 。，) = 0 的解，当e 。一0 时， u 七) 致收敛到u 。，其中u o 是t ( d 2 u o ) = 0 的“枯性舻( v i s c o s i t ys o l u t i o n ) ，i 是 f 5 的均匀化极限。 从上面的过程可以看出，研究均匀化问题是首先利用双尺度展开方法在形式 上得到均匀化结果，然后在用相应的理论方法加以严格证明。 1 2 2 区域q 依赖于s 的情形 另外一方面，在研究均匀化中，我们经常碰到一些有洞的区域，即区域q 与s 有关。可以参考 7 ， 8 等我们给出由的一个经典结果! 在 7 中，他们考虑了下面有洞区域问题： 设u 是序列 的极限，其中 是下面方程的解： l 一= f由q 。， c = 0d 丑触。 开集序列q 。c q 。我们在这里给出 8 的结果。 定理3 设存在序列 乞) 匕9 ( q ) ( 1 o 如缈。 下面我们列举一些均匀化方法： ( 1 ) d e g i o r g i 于1 9 7 3 ，1 9 7 5 年提出的变分收敛方法( g a m m a - 收敛方法) ； ( 2 ) l 。t a r t a r 和f m u r a t 于1 9 7 8 ，1 9 7 9 年提出的能量方法： ( 3 ) n g u e t s e n g 基于周期函数的有关性质在1 9 8 9 年提出的双尺度收敛方 法，并由g a l l a i r e 于1 9 9 2 年进一步发展和简化。 ( 4 ) l u r i e 和c h e r k a e v 的处理非周期情况的方法。 在这里我们简单的介绍一些d eg i o r g i 于1 9 7 3 ，1 9 7 5 年提出的变分收敛方法， 即g a m m a - 收敛方法。著名的数学家d eg i o r g i 提出g a m m a - 收敛方法后带动了补偿 列紧的发展，在变分法的研究中取得了极大的成功。( 可以看 2 2 ， 3 6 ， 3 7 和 3 8 3 等) 。 g a l a 一收敛主要是在研究下面形式的积分泛函在- 0 r 的渐迓性： 聃) 2 ，伽( 曲皿 n 。 设度量空间 五d ) ，考虑列泛函 e f e ：x r u 一，+ 。 ，s r ， 6 重庆大学硕士学位论文l 前言 甜定厅夕0 毛，且当2 一0 0 日寸毛斗0 r 村v x ex 找制足义： ( r ( d ) “蝉) ( u ) ：= i n f l i m i n f f 。( u , ) ：与u ， ( r ( d ) 一1 哩严) ( u ) ：= ；n r h m s u p 矗( ) ：与u 容易知道： r ( d ) 一1 蝉r ( d ) 一1 i 竺峨+ 那么 & 被说成( 关于u ) r ( d ) 一收敛到f ( u ) 是指： p ( u ) = ( r ( d ) 一1 唧) ( u ) _ ( r ( d ) 一1 警& ) ( u ) 、 口1 目 o ， 、1 ， ( 1 2 1 8 ) ( 1 2 1 9 ) ( 1 _ 2 2 0 ) 1 3 一些泛函知识准备 1 3 1 弱收敛 定义1 ：一个b a n a c h 空间x 中序列 x a 弱收敛到x 是指： v x 。f ，( x ，五) ，+ ( x ，习”。 ( 1 3 1 记为：k 与x 面x 。( 这里x 表示x 的共轭空间) 命题1 ：强收敛可得出弱收敛，且有限维空间中，弱收敛和强收敛等价。 命题2 ：i 受 x a 在x 中弱收敛到x ，则： d 毛 在x 中有界，即，存在与目无关的常数c 使得： v 丑，l l 毛忆c ， ( 1 3 2 ) - 1 1 , 4 1 ；s 垫i 酬删；- ( 1 3 3 ) 定理1 ：( e b e r l e i n - s m u l j a n ) 假设x 是自反的( r e f l e x i v e ) 的b a n a c h 空 间，且 瓦 在x 中有界，则： j ) 存在 五 的子列 五。 和使得： k 与五a x ，( 1 3 4 ) 如果 ) 的所有子序列都弱收敛到同一个极限x ，则： 7 重庆大学硕士学位论文1 前言 五与x i nx ( 1 3 5 ) 下面我们给出一个弱强序列乘积极限的命题： 命题3 ：设 ) c x , l y o c x + 使得： f x i nx 1 咒y u x 则：嬲( 咒，矗) ”，。= ( 只习。， ( 1 3 6 ) 证明：因为： 鲤f ( 咒，k ) n ；一( m 砷，f = 憋l ( 咒一只) ，x + ( y ，气一对，。l 熙8 咒一硎，8 毛k + 鎏f ( 只再一对”，f = 0 # 。 1 3 2 弱丰收敛 定义2 ：设f 是一个b a n a e h 空阔，令x = f + 。序列线 在x 中弱术收敛 到x 是指： v x f ，( ，x ) f f _ + ( 五x ) 一f ( 1 3 7 ) 记为：五与x n x 。 命题4 ：设f 是一个b a n a c h 空间，令x = f + ，若 毛 在x 中弱收敛 到x 则 瓦，在x 中弱幸收敛到x 。 证明：设 五) cx = f + 使得： j b ) 【面x 。 由定义知道： ( x ，五) ，寸( x ：砷，v x f + + 由f c f + + 有( 1 ，3 7 ) # 。 命题5 ：设 五) 在x = f + ( 其中f 是b a n a c h 空间) 中弱 收敛到x ， 则： d 瓦) 在x 中有界，即，存在与n 无关的常数c 使得： 8 重庆大学硕士学位论文 v n e ，l i , 1 1 。c ， ，熙i n f l l - 矗l l ， 下面我们给出一个弱 强序列乘积极限的命题： 命题6 ：设 cx = f ， 咒) cx + 使得： f j x 面x 【咒斗y 如f ( 1 3 8 ) ( 1 3 9 ) 妣 熙( ，咒) n ，= ( 墨y ) p ， ( 1 3 1 0 ) 1 3 3 l p 空间的一些性质 定义3 ：对任意的泛函p ：q 呻r 我们定义它的支集： s p t = f x q ，妒o n r 2 定义4 ：对1 s p e o ，定义； f、 口( 哟2 i d - q 斗r 阿测且f ( 而f 9 出 。 ( 1 3 1 i ) p ( q ) = f if ：q 斗r 阿测且存在c ，使得：i “x ) 1 9 sc ，a e q ( 1 3 t 2 ) 瑶( q ) = f lf e l p ( o ) ，v 有界开集印且面c n ( 1 3 t 3 ) 命题7 ：对1 p ，我们定义口( q ) 在下面的范数下是一个b a n a c h 空间： k 矿酬司i p 栅， 。 【i n q c , lf 峰c a e q ) p = - 4 - 0 0 同时，当1 p m 时，p ( o ) 是可分的。 定理2 ( 表示定理) 对1 p o o ，r e a p 是其共轭指标，对f 口( q ) ( 口( q ) 的共轭空间) ，则存在g e 口( q ) 使得： ( c 妒) 廿( n ) ：矿( 锄5 烈砷妒( 两出 v 妒p ( q ) ( 1 3 1 5 ) 而且：姚2 峨阳矿 9 重庆大学硕士学位论文 i 前言 命题8 ：对1 p o o ，序列 ) c 口( q ) 然后我们有下面的等价命题： u n 马u 面口) f di l u o l l 舯) - c c 与庇关， i o出斗u 出 v j q ， “。3 - 1 6 l ， ， 定义5 ：山un 口( q ) 是指： v p p ( q ) ，妒出_ j u r p d z ( 1 3 1 7 ) 其中告+ 争l p , p 妇，且q 有界，则： u e c ( 囝且s u p lu i 1 ，存在常数c = a 丑毛力使得： d 如果u w 。( q ) ，j 1 印，p 1 则： l i i i ，。，聊；。c l i v u l l ，皿， 1 0 ( 1 3 1 8 ) ( 1 3 1 9 ) ( 1 3 2 2 ) 重庆大学硕士学位论文l 前言 如果u w 9 ( q ) ，丑 0 使得：对任意的u 喇4 ( g ，有： 删9 出茎c 1 v u l 9 出 其它的一些p 空同性质可以查阅 2 4 ， 2 6 ， 2 7 ， 2 8 等。 1 3 4 快速振荡周期函数的弱极限 定理6 ：设1 p 0 0 ，且f 口( 的是一个y 周期函数，设 = r ( - x ) ，a e o 丑础 则：若p + ，当s 一0 有： 与坞( d 2 高“y ) d y 抽p ( q ) 其中q 是r 中的任意有界集。 若p = 佃，当s _ 0 有： 与屿( 耻1 - - - ， f ( y ) d y 如f ( q ) 定理6 在研究均匀化理论起到了决定性的作用，为了方便阅读，我们给出定理6 的证明( 2 6 ) 。 证明：1 ) 先验估计， 当p ：+ ，对= r ( - x ) ，a e 0 丑掣我们有： s 0 l i p 。酽，= 0 卅l p 。n 于是存在子列 ) 和f 使得： 重庆大学硕士学位论文 与f i n f ( r “) 现在我们考虑p 0 ，存在自然数砰，霉使得：v i = i ，2 ，点有 厶= s 蹲+ 疗其中0 y ； s 五 且相应地有： r 当一0 时七j 斗兰 j 另一方面我们注意到y 的变换集严格包含在j 中，于是得到： ( 占) = 群匿 于是由( 1 3 3 2 ) 可得： 删一髑= 搔。 我们得到了( 1 3 3 1 ) i ) 。 为了估计仕) ，我们发现能选择和y 使得j 被f 个s p 的变换集覆盖 其中r = ( 彳+ 1 ) x ( 十1 ) ( + 1 ) ，则： 1 2 重庆大学硕士学位论文 n 1 ( ) k 8 一n ( e ) = 4 + e 其中4 ：窆f 兀巧1 从( 1 3 3 2 ) 我们有： ，1 4 寸喜( u 等) s 丑尊号= n 播 对任意= l ，2 ，丑我们有：i l i 。我们知道： 。一l b 0 从而得到了( 1 3 3 1 ) i i ) 。 由f 的周期性，( i 3 3 1 ) 和周期函数的积分区域变换( 2 6 引理2 3 ) 有： 即，窆1 k = - i k 1 9 出 i v ( 占) + x s ) 】 f 9 出 e y 【) + n ( s ) p j lf ( y ) l d y y = c t l - ? l ；。砷， 其中常数c 与s 无关。 于是对任意的有界开集。c r ， 在空间歇国) 中有界。 特另地，对l p ( 。存在g 口( ) 和子列 点| 使得： 旦一g血f ) 2 ) 极限的相等， ( a ) 当1 0 9 在与s 无关常数g 使得 j ( 一) 妒d 脚，l l g 一舅勖， i 明显地，由( 1 3 3 7 ) 得：任意的叶 o 存在与s 无关常数c 2 使得 ( 帆( g ) 一嗨( d ) 妒d s 锄， 最后由( a ) 知道：当s - - - 9 0 时， i ( & 一a ( g ) ) 妒及 o ， 由( 1 3 3 8 ) ，( 1 3 3 9 ) ，( t 3 4 0 ) 有： j ( ( 萄一m v ( f ) ) 妒出斗0 于是( 与晦( 。2 南f ( 刃痧 妇反q ) 。 我们完成了定理6 的证明。# 注：特别地，定理6 表明对g a n a c h 空间x ，若 k 与xi n 置只j oy i nx 7 。 形。 一般有：( ，y o 。，事( 墨y ) 。而在均匀化理论中我们往往要遇到上面的情 1 5 重庆大学硕士学位论文2 一类退化椭圆方程的解的存在洼和均匀化 2 一类退化椭圆方程的解的存在性和均匀化 2 1 介绍和主要结果 我们考虑下面退化的椭圆问题： ( 只) 一击( 吾，旷，v 旷) + g ( 孝，旷) = “均1 2 q ， ( 2 1 1 ) i。( x ) = 0 o n 勰 其中主要假设： ( h 1 )a ( y , a ，九) = ( a l ，a 2 ，a 。) ：r 。x r x r 。j r 4 是c a r a t h o d o r y 函数( 即 关于，是可测的，关于 ，九) 是连续的) ；a ( y , a ，九) 是关于，的y 周期 泛函。 ( 坞)v a r 。，岱r ，存在常数l 0 ，c 0 ，p 2 使得 a ( y , a ，a ) a 弘l ( 列刈， i a ( y , a ，a ) f s 印，( 力( 1 + 阳川+ l a r ) 其中“( 力a 权且是y 周期的。 ( h 3 )，九r “且太凡有：【( 只口， ) 一a ( y , a ，如) b 一九) 0 。 ( 日4 )存在常数0 ，s 1 , 0 卢使得对v a ，瑾2 r 有 l a ( y , a 。，x ) - a ( y , a ：，a ) i p j ，一口：1 ( 1 十l a ，1 9 ”7 + 1 口：1 9 1 一+ 1 a 1 p - i - r ) 。 ( h 5 )g ( y , a ) ：r “r _ r 是连续泛函满足： 对v a ，a l ，a 2 r 存在0 0 ，a ( x ) 驴“( q ) 。 引理1 2 ：设p i l l r ( n ) ，j = 1 , 2 ，旷1 ( p 一1 ) 有w 1 9 ( “，肛2 ；q ) 连续潜入 w 1 4 ( q )( 其中p l = p g + ，( 9 4 + 1 ) ) ；同时w 1 ，9 ( “，2 z ；q ) 紧潜入到p ( q ) ( 当 矿 口p ) 。 证明：( 我们简约证明引理1 2 ) 由h 6 1 d e r 不等式得： ( j l 叫“d x ) ”“( j 1 叫9 肛：d x ) ”( 肛r d x ) “对 ( j 1 v 叫“d x ) ”“s ( j 1 v u 娴“9 ( f p ，d x ) ” nn 从( 2 1 1 1 ) 和( 2 1 1 2 ) 得： ( j 叫“+ l v l “哟“qj 1 叫：+ i v 4 “哟”9 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 于是我们可以得到潜入w 。9 ( “，p 2 ；q ) hw “( n ) 是连续的。 由通常的s o b o l e v 潜入定理知道潜入w 。“( q ) 卜f ( q ) 是紧的。故潜入 w 1 9 ( p l ，2 ；q ) hf ( q ) 是紧的。# 引理1 3 假设( e ) 一( 甄) 成立，然后定义t ：v - - ) y + ( t u ，d = i 【a ( 五u ，v u ) v y + 烈墨u ) v l a xu ，v v = w 。9 ( p 1 ，_ u 2 ； ( 2 2 5 ) 矗 则t 是有界连续算子。 证明：因为u v = w o 。( “l ，p 2 ；q ) 我们有 重庆大学硕士学位论文2 一类退化椭圆方程的解的存在性和均匀化 v u f ( p i ；q ) ，u f ( p 2 ；q ) ， 令：x = 兀葺，x o = l f f # 2 ，q ) ，x = l p ( h ，n ) ，y 扭0 j = 1 ，2 ，丑 ( 2 2 6 ) 从引理i 1 可得，算子王：墨- - ) y i = 0 , i ，且是有界连续算子。所以 了= ( 石，e 瓦) 是有界连续算子。# 定理1 的证明： 证明：因为 ( t u ，u ) = i 【a ( 五h ，v u ) v u + g ( 五u ) u d x , 矗 ( 2 2 7 ) c i t v , , 1 9 弘：+ 盹出= 吡。) 于是当时，c 。；哟斗m 时，有丽t 石u , u ) 寸a 即丁满足强制条件，再根据l e r a y l i o n s 度定理知道( 2 1 3 ) 至少存在一个 弱解。唯一性由算子丁的单调性容易得到。# 2 2 2 均匀化结果的证明 定义2 1 设p 1 ，k 1 ，_ “是上的一个权泛涵( 即p 几乎处处有定义的可测正 定函数，且卢和p 。“，4 都属于上( 戤) ) ，我们说p 是a ( 囤权是指：对每面平行 坐标平面的任意方体q c 戤 南叫护伊1 小k ， 眩z s ， 成立。令4 = u a ( 目。 定义2 2 设f h ( r 8 ) ，x e 群，令q 是包含鼻的任一方体，称 咄x ) 2 s 野南酬咖 2 为f 的定义在r 。上的h a r d y l i t t l e w o o d 极大函数，简记为h - l 极大函数，称m 为 极大算子 引理2 1 设p 1 ，k 1 ，对任意方体q 然后存在两个正常数6 = 占( 丑，p ，目 和c = c ( 丑，p ，固使得： 重庆大学硕士学位论文2 一类退化椭圆方程的解的存在牲和均匀化 l 抄叫 船方， ( i i q 。f _ | ( 1 + s ) ( p _ 1 ) d y 1 “1 + 5 c ? i ：f 一l ，一l a s ， ( 2 2 1 1 ) 引理2 2 ( 带权p o i n c a r 类不等式) 设p 1 ，k 1 。即名( 固，对任意的有 界开集q 存在一个正常数c = c ( n ，p ，墨q ) 使得： j | 叫9 j u d x 0v ，a 2 r 。且a 】， ( 2 2 1 5 ) 引理2 5 ( 补偿紧性结果) 设p l ，k 1 ，v v ，4 ( k ) ， p ；) c 冬( 囤 考虑( u 5 ) 满足： u 。形r 9 ( 群，店；o ) ， v s 0 ，i i v u l 心+ j l u l 9 鹾出c 。， nn 存在u ，9 ( v l ，v 2 ；哟使得矿哼un ( q ) 对r 。中的矢值函数 a ) 满足： 删，( 肿) 两d x c 0 ，一d 谊+ g = f p ( q ) ， 存在a ( 口( v i l ( 1 ) ；q ) ) 。使得a 。里_ a n ( ( q ) ) 。 则 a v u 5 啦斗a v u 啦v 9 d ( 哟 用参考文献 5 定理2 3 的方法可以证明引理2 5 ( 我们省略) 。 定理2 的证明： 重庆大学硕士学位论文2 一类退化椭圆方程的解的存在性和均匀化 用u 。标乘( 2 1 1 ) 并分部积分得 a ( 善，u 8 ，v u 5 ) v u g ( x 。u ) u 出= 血出， ( 2 2 1 6 ) n 6o d 由( 日2 ) ，( 日，) 得 j 1 v u 2 m + 删9 卢id ) c j 血5 d x ， nnn 其中p ；2 p 。( = l ，2 2 2 1 7 ) 因为，r ( q ) ，所以存在常数c ( 与无关) 有 j 1 v u 8 m + 川心出c nn 由( 哦) 和h b l d e r 不等式得 艇，v 哟卜州慨 c 川v u 8 i 如 n ( 仕今x 甲一个个，寺氙甲雨觋c 代表个周朗幂毅) 。 从( 2 2 1 8 ) 我们得到存在与s 无关的常数c 使得： 艇m 卜汀一协c ， 其中三+ 1 ：1 。 pp 。 同理有：爿g 嘻，u 6 ，f ，c p ；) - i 仲- l ，出唧叫9 肛；出c ， 存在盯：0 仃 1 ，由h s l d e r 不等式和( 2 2 1 8 ) 得 ”巾叫“胚( m 舳触高矿 nn + 驴h ；吼，一焉圹 2 1 ( 2 2 1 8 ) ( 2 ，2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) ( 2 ，2 2 1 ) 出 p u 可+ p u+ q fp 吖。 一 出 p 矿 娃9+ p 矿 0 1 弘。 旷 n 重壅查兰堡圭兰垡笙奎 三二耋望丝塑堡堕望塑壁塑塑墅至竺塑! ! ! 咝 水肼一蒜，吣，一而l + a 卅 汜犹2 ) f ( 成) 4 篙出；。nf “一等( ) 西茎n ，酱( ) ( 成) 4 丙出= 。! 酊等( ) 西茎p ，酱( ) n 三n 7 p ；) 篙出= s 。宴：篙c ，西弘酱c ；，砖- ( 2 2 _ 2 4 ) 再利用( 2 2 1 1 ) 和“，p 2 冬( 固得存在与g 无关的常数c 使 类似地： f r + p 门出c 0 a 1 跏r c ， 8 9 54 竹。，曼c 从而存在u + 喇扣( q ) ，a 。( 叠”( q j ) 。，g oe 芒”( q ) 使得 u 5 塑斗u 面叼1 1 ”( q ) a f ，旷，甲扩) 墨斗a 口 如 g p ，u 6 ) 盟斗岛 面+ “( q ) ， s 同时由s o b o l e v 嵌入定理和( 2 2 2 7 ) 知道： u 5 u 4面”( q ) ， 为了证明定理2 ，我们只需要证明： d 矿e 1 嘭，( 哟， a 。= u 幸，v 矿) ， i i o g d2g ( 矿) 当( 2 2 3 1 ) 被证明了由( 2 1 4 ) 可以得到： u = z *a b 血q 下面我们证明v z * ( p ( q ) ) 。从而证明( 2 2 2 3 的j ) 。 ( 2 ，2 2 8 ) ( 2 2 2 9 ) ( 2 2 3 0 ) 坐一 i i 仃盯一+ + 一0 ，一一 一p 得使髀 氰 删 舌 x s 然 令 重庆大学硬士学位论文2 一类退化搪圆方程的解的存在性和均匀化 j | v u m d x s ( j 1 v u 5 m 岫帅( f ( 心) - u ( p - 1 ) 吖“。 nnn c ( r 心) - u - i ) i v i d 妙叫c ( j ( 心) - l f ( p - i ) d x ) “7 ， c j ( h ) - u ( m - p , ( 力酬v , i i 叭。) sc ，( 。) 。 让s - o 9 - ：v v ，日( q ) ， 1 v u + l 妒i d x sc o y l l f ( n ) n 同理可以得出： a o f 口( q ) ) 4 ， 岛l p ( n ) 对v 妒( 神e “叫( q ) ，由( 坞) 和( 2 2 3 0 ) 我们有： g 仁，u 。) g ( u ) 妒( 前d x ：i t s ( x ，u e ) 一占# ，u ) 妒( 曲d x 十“g p ，u ) 一g ( u ) 】妒