（应用数学专业论文）基本解方法求解椭圆方程边值问题.pdf

复旦大学硕士毕业论文 摘要 基本解方法( m e t h o do ff u n d a m e n t a ls o l u t i o n ) 是近些年发展起来的相对较新的一种求 解某些椭圆方程边值问题的边界方法，它在求解椭圆方程的边值问题方面有着优越于其他 数值方法的显著特征，特别是在满足某种条件的情况下，基本解方法给出了指数性递减误 差，这在求边值问题数值解方面是非常难得的 本文主要对用基本解方法确定二维区域中的l a p l a c e 方程的边值问题的边界进行研究。 把基本解方法求解椭圆方程边值问题公式化，首先应用于求解二维圆形区域的边值问题， 文献【8 1 1 1 2 已经给出圆形区域中基本解方法求解边值问题的收敛性证明，本文把圆形 区域中不同取点方式得到的不同数值结果进行了比较，然后，利用复变函数中共形映射的 相关知识把圆形区域这一特殊情况加以推广，对一般二维j o r d a n 区域中的椭圆方程边值 问题的求解进行讨论，并运用s c 公式进行数值求解，在此基础上，提出把基本解方法应 用于求解确定边界的反问题的算法，可以看出基本解方法对于求解反问题也是非常有效的。 关键词：基本解方法；椭圆方程的边值问题；非线性最小二乘法；共形映照；配置点 控制点；反问题 墓呈盔堂璺主里些鲨塞 2 a b s t r a c f i ti sw e l lk n o w i lt h a tt h em e t h o do ff u n d a m e n t a ls o l u t i o n s ( m f s ) i sar e l a t i v e l yn e wt e c h n i q u e f o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fac l a s so fe l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i tf a i l s i nt h ec l a s so f m e t h o d sg e n e r a l l yc a l l e db o u n d a r ym e t h o d s b yt h ed i s c u s s i o no fm f s w ew i l lf i n dt h a tm f sh a s s o r t i ea d v a n t a g eo v e ro t h e rn u m e r i c a lm e t h o d si ns o l v i n gb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i tg i v e sa n e x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c er a t eu n d e r s o m ec o n d i t i o n s t h i si sr a t h e ra t t r a c t i v es i n c eu s u a lm e t h o d s c a no n l yo f f e rs o l u t i o n sw i t he r r o ro fn 一，w h e r esi san o n e g a t i v ei n t e g e r i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt h el a p a l c ee q u a t i o ni nt w o d i m e n s i o n a ld o m a i n f i r s t l yw ef o r m u l a t em f s t os o l v ee l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s s e c - o n d l y ，w eu s ec o n f o r m a lm a p p i n g t og e n e r a l i z et h er e s u l t si nt h ec i r c l ed o m a i na n da p p l ym f s t o t h eb o u n d a r yp r o b l e m so fag e n e r a lt w o d i m e n s i o n a lj o r d a nd o m a i n s p e c i a l l y ，m f si sa p p l i e d t o s o l v ef r e eb o u n d a r yp r o b l e m sa n dw ec a nf i n dm f s i sa l s oa ne f f e c t i v em e t h o di ns o l v i n gi n v e r s e p r o b l e m k e y w o r d s ：m e t h o d o ff u n d a m e n t a ls o l u t i o n s ；e l l e p t i cb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m s ；n o n l i n e a r l e a s ts q u a r e s ；c o n f o r m a lm a p p i n g s ；c o l l e c t i o np o i n t s ；c h a r g ep o i n t s ；i n v e r s ep r o b l e m 第一章引言 本文讨论的基本解方法( m e t h o d o ff u n d a m e n t a ls o l u t i o n 以下简记为m f s ) 魁一种求解 菜些糖爨方程逮骧阅题数僵疑豹逸赛方法。在考察戆微分方程粒蒸本鳃已翔的。蘑捷下，m f s 是非常可行的，它不但柱区域离散化方面上有着和边界元方法样的优点，而鼠本身又有 鼹好懿羚程，这糖会在下嚣翡讨论孛逐澈漭爨。 一般溃嚣下，我翻考虑把m f s 蘑予求绥翅下彩式熬 藩嚣方秘秘逮缓糍题 l u ( p ) = 0 p q 这里，l 是一个线性椭圆微分算子，q 魁r m ( m = 2 或3 ) 中一有界区域。 徽分方程静麓本舞，是蓿瀵跫三蟊( 只q ) = 一d 隅q ) ，只奄蠢m 鲰= 2 或3 ) 酶函数 彤q ) ，其中d ( p j q ) 袭示d i r a cd e l t a 函数。函数k ( 只嘲除了在点p q 点外，处处有 建义，在这里它楚奇异懿，既霹q 称为纂本解酶鸯熹。 把萋本解方法公式纯静惹法楚k u p a r a d z e 和a l e k s i d e z 最裙撬蹬来的障 3 1 f 4 l ，帮捂稀 圆方程边值问题的近似解z t n ( p ) 寝示成撼本解函数线性组合的形式： u n ( p ) = c j k ( p , q j ) ，p q j = l 其中，奇点 岛 墼1 位于翁蕊q u 9 n 的外面奇点的位置可以预先给定，也可以和慕 本鼹系数妈 篓；嚣薅决定，基瓣是楚遮识餐u n ( p ) 尽霹戆建瀵是这雾惫 睾。不管臻穆 孳 况，都需要对边界数据的一个最小二乘拟合，若岢点的位置需要被决定，那么导致的问题 怒一令线性( 套毒熹垒檬警最，l 、二秉麓踅，露簧建菲线性最小= 象算法寒鳃决。若奇烹 的位置预先给定，这种方法是现糕比较流行的一种特殊的基本解方法，称为c h a r g es i m u l a - t i o nm e t h o d ( 蓠谗为c s m ) ， m f s 翠精纛嚣于求解嚣维蒙三维空鬻交元懿多释线健位势阕越，理程已经被广泛应麓 于更加复杂的阃题其中包括重调和问题 7 、s i g n o r i n ip r o b l e m s 1 5 、带有非线性辐射性 遍舞条 警的平西位努闻鬈【i 6 】等等。 4 复旦大学硕士毕业论文 本文主要讨论把基本解方法用于求解二维区域中l a p l a c e 方程的边值问题。其简要大纲 如下： 第一章，引言部分，了解一下基本解方法的情况； 第二章，基本解方法求解椭圆方程边值问题的公式化； 第三章，讨论基本解方法求解特殊的二维区域一圆形区域中边值问题的情况； 第四章，利用共形映射的知识把圆形区域这种特殊情况推广并进行讨论； 第五章，把基本解方法用于求解确定未知边界的反问题； 第六章，结语部分。 在文章的各个主体部分，我们都列举了相应的数值实例及数值结果，以期发现基本解 方法求解边值问题的好处。 5 第二章基本解方法求解椭圆方程边值问题的公式化 i v l a t h o n 和j o h n s o n 1 】首先提出把带有移动奇点的基本解方法应用于求解如下形式的 椭圆边值问题： a u ( p ) = 0 p q ( 1 1 ) b u ( p ) = 0 p 8 q ( 1 2 ) 其中，代表二维l a p l a c e 算子，u 是因变量，n 是平面上有界区域，边界为a q b 为边界算子，形式如下： b u ( p ) = i 搿茹 l “( p ) + 卢( p ) u ( p ) + 7 ( p ) 舞( p ) 这里q ( p ) ，卢( p ) ，7 ( p ) 都是给定的函数，a q = f 1 u r 2 u r 3 p r l p f 2 p f 3 基本鼹方法求解此边值问题，就是用如下形式的函数来近似此边值问题的真解“( p ) u n ( c ，q ；p ) = c i k l ( p ) q j ) ，p q j = l 这里，c = ( c ，c 2 c v ) 称为椭圆方程的基本解系数； 仍) 甚- 称为奇点，也称为控 制点，位于晓外面，q 是包含奇点 q ) 墨1 坐标的一个2 维向量。 函数k l ( 只q ) 为l a p a l a c e 方程的基本解，即： 蜗( p q ) = 一l l a g r ( p ，q ) = 一去! 。g l p q i 其中，r ( p ，q ) = j 尸一q l ，表示点p 和点q 之间的距离。 在边界上取一列观察点( 也称为配置点) 只) 丝，然后通过最小化如下形式泛函 rq e u 旧0 吖渊 f | q ep 复旦大学硕士毕业论文 来决定基本解系数c 和奇点 q ) 墨，的位置。此泛函的最小化一般用一个非线性最小二乘 算法来完成。这就是基本解方法求解椭圆边值问题的公式化。 在本文讨论中，我们主要考虑如下形式的l a p l a c e 方程的d i r i c h l e t 问题 u = 0 ( z ) = 妒( z ) o nf ( 2 ) 这里，是2 维l a p a l c e 算子，q 是平面上一有界区域，r 是其边界。 通常情况下，我们假设r 是一解析j o r d a n 眭日线，给定函数西( z ) 在r 上是解析的 记e ( z ，y ) 为2 维l a p l a c e 算子的基本解： e ( z ，f ) = 一去t o g l x - y l 这里z ，y 表示平面r 2 中的点。 现在把基本解方法用于求解( 1 ) 、( 2 ) 问题公式化如下： ( a 1 ) 在边界f 的外面取n 个点y - ，y 2 蛐，称为奇点，也称为控制点。 ( a 2 ) 寻找如下形式的近似解： u “( z ) = c k e ( z ，鲰) ( 3 ) = l 这里c ：s 是需要被决定的系数。 ( a 3 ) 通过使乜( z ) 更好地满足边界条件( 2 ) 来决定系数 靠) 怨l 。 显然，u 。( z ) 满足l a p l a c e 方程，所以( z ) 的精确性决定于它逼近边界条件( 2 ) 的 程度。这里，我们首先可以用配置法来解决这个问题： ( b 1 ) 在边界r 上选择n 个点z l ，x 2 x n ， ( b 2 ) 通过解决如下的n 个方程来决定 c ) ： 或等价地 ( q ) = ( 妁)j = 1 ，2 n ( 4 ) 7 复旦大学硕士毕业论文 _ c f o gi 一y ki = 一2 ”咖( q ) = 1 ，2 k = l 我们称z k 为配置点，方程( 4 ) 称为配置方程。 从基本解方法求解椭圆方程边值问题的公式化来看，我们有两种解决方案可以选择： ( 1 ) 我们可以先固定控制点 挑) n ：。，记y 为包含控制点 玑) 怎。横纵坐标的一个2 n 维向量，然后通过最小化泛函解决由此产生的线性最小二乘问题，从而获得最好的基本解 系数c + ( 2 ) 我们也可以试图通过最小化泛函同时求解到最优参数c + 、y ，这将会产生一个非 线性最小二乘问题，需要用非线性最小二乘算法来解决。在此求解过程中，基本解系数和 控制点的初值选择比较重要，通常取基本解系数为1 ，控制点围绕问题区域均匀分布。 有了解决的办法，但也产生了问题：首先，控制点和配置点如何选取才能使配置方程 ( 4 ) 能唯一取得 c k ) 呢? 换句话说，在什么条件下矩阵( 1 0 9 l x k 一训) k ，t 是非奇异的呢? 而 且，即使这个矩阵是非奇异的，那么解决这个线性方程的难度有多大呢? 其次，控制点和 配置点如何选取才能获得最小的误差呢? 这些问题都吸引着我们去仔细地研究一下基本解 方法。 8 第三章基本解方法求解二维圆形区域椭圆边值问题 3 1 稳定性分析 首先我们先解释一下指数性递减误差。设u ( z ) 是真解n ( 。) 的逼近解，如果存在两个 不依赖于n 的正常数c 、7 - 且r p ，我们取控制点和配置点分别为： 协r 2 ( r ，掣) j ：1 ，2 叫r 2 ( p ，掣) j _ 1 ) 2 也就是说，在两个同心圆上均匀分布控制点和配置点 我们把n 个方程 ( x j ) = ，( q ) j = 1 ，2 n ) 写成矩阵的形式： g 才：7 其中， c ；= ( e - ，c 2 ，c n ) ，7 = ( ，丘，) 。g 是一个n 矩阵，元素为 肼，= e ( 戤，协) ( 1 i ，j n ) 。 m a s a s h ik a t s u r a d aa n dh i s a s h i o k a m o t o 证明了如下的定理 1i ： 定理3 1 1 若r 一p 1 ，控制方程i t n ( ) = ，( 码) j = 1 ，2 n 唯一决定u ，换句 话说，矩阵g 是非奇异的。 定理3 1 2 除了定理中的假设外，再假设r 1 ，边界数据，实解析，这时精确解u 容 许在q 的某个邻域有一个调和开拓，因此我们可以假定 在区域仁；jzj 茎珊) ( 托 力上 是调和的，则存在不依赖于n ，让的常数a 0 ，0 o 0 ，剃上述映照函数逐是难一的。 黎照映照原理说明，c 上有别于复平面本身的任一单连区城都可以共形映照成为单位 疆域。凝撂r i m a a n 获照簸理；我织有蹴较著名熬s c h w a r z c h r i s t o f f e l 公式，它嶷褒了绘定 的多角形域与典型区域之间的戴形映照，给出了将单位圆或上毕平面内部共形映照到多边 彩走黎瓣黎辑滋数。 ( 3 ) s c h w a r z c h r i s t o f f e l 公忒( 以下简称s e 公式) 【2 5 】：若p 为w 平面的多边形，顶点 为，舻= 1 ，2 佛，毛豹凑角鸯霄，弱w = ( z ) 褥单筏鬻或上警乎嚣浚残p 静癌帮懿公式 为： ，( z ) = c o i i ( 一o 。“一1 d c + c “z m 。珊“= l 其中札= ，( 钆) ，c ，c ，为依赖于p 的位置和大小的常数 这章，我们将利用共形映照的相荧知识讨论一般二维j o r d a n 区域上的基本解方法求 解稀函逑僵闯黧鲸情况 我们还是考虑如下的l a p l a c e 方程的d i r i c h l e t 问题： c ，= 0i nn ( 1 ) u=fd ff 2 、 这毽，爨二维l a p a l c e 葵予，q 是二终j o r d a n 疆域，r 是荬遮券。 1 7 复旦大学硕士毕业论文 r i e m a n n 映照原理是指，存在从圆形区域到区域n 的共形映射曲 西： 。c ； p 。在复变函数中，这种共形 扩张等同于边界r = a q 的解析性，扩张后的映照仍记做西 当f 2 是圆形区域时，在某种对称性条件的假设下，即在同心圆上均匀分布控制点和配 置点以及边界数据是实解析的情况下，我们得出c s m 指数性递减的收敛误差。现在，我们 来看一下r 2 中一般的j o r d a n 区域的情况。 设，p ，r 1 如上定义，再取r 【p ，r 1 】，如下定义z j ，聊： q = 舢卜1 ( j = 1 ，2 n ) 协= r w 1 = 1 ，2 n ) 这里， w ：泖( 等) 江v - ：- 7 w 2 8 卯( 万) ” 设 b 拦， 砀) 拦- 分别是 y 一。n = t ， z ) 甚- 在的作用下的象我们现在考虑如下形式 的近似解u 【) ： v ( x ) = q j e ( x ，y j ) j = l 通过满足如下需要来决定近似解u ( v ) ： 矿( n ( 玛) = f ( 玛)0 = 1 ，2 n ) 以上面的形式取得控制点和配置点， m a s a s h i k a t s u r a d a 得出和圆形区域中相似的 收敛性和误差分析 8 ： 1 8 复旦大学硕士毕业论文 定理4 1 1 如上取逼近函数、控制点和配置点，则存在正常数c l ，b 且0 1 ) 的大正六边形a t b l c l d l e lf l 技裁点驭为a t 嚣t q 甄露l 曩各边鳃等分点，其镶懿记号魏镄1 。下嚣是郄分豹数嬗结果 扎m五5 u 53 020 0 1 1 3 53 02 55 。3 0 5 6 e 0 0 4 53 032 2 1 5 0 e 一0 0 5 53 046 1 9 1 9 e 0 0 6 1 06 01 9l ，7 9 2 6 e 一0 0 5 1 06 027 0 9 4 4 e - 0 0 5 1 06 02 24 6 0 4 0 e 0 0 7 1 06 02 ，56 6 9 6 8 e 0 0 9 1 06 031 。4 6 9 8 e 0 0 8 表5 ( 1 1 其中r = 2 ，5 ，n = l o ，m = 6 0 时，我们也求出对应的相对误差，如下表所示 ! z 钍( z )u ( 。)5 u ( 1 0 。) f ( 0 3 0 9 6 ，- 0 。4 3 3 4 ) o 5 7 2 4一o 5 7 2 40 0 0 2 0 ( - 0 2 3 2 4 ，o 3 9 4 8 ) 0 ，3 0 4 90 3 0 4 90 0 3 0 8 ( - 0 4 4 7 6 ，o 6 1 7 6 ) 0 3 7 0 1o 3 7 0 l0 2 1 9 5 ( - 0 ：1 2 9 2 ，o 4 2 0 1 ) 0 。3 5 8 40 3 5 8 40 0 1 2 3 ( - 0 0 6 4 6 ，o 4 6 3 1 ) 0 4 1 8 80 4 1 8 80 0 4 1 2 ( o 4 3 5 8 ，0 。5 6 5 6 ) o 8 2 8 60 8 2 8 60 0 0 7 7 ( o2 6 9 9 ，o 4 4 5 7 ) 0 5 6 4 60 5 6 4 60 0 4 0 8 i ( 0 0 0 1 8 ，一0 4 5 5 4 ) 一0 4 4 0 60 4 4 0 60 0 0 1 7 l ( o 1 2 9 4 ，一06 9 1 2 ) 一0 7 2 5 50 7 2 5 50 0 0 0 6 i | ( - 0 。2 4 4 8 ，o 6 2 1 8 ) 0 4 5 6 00 4 5 6 00 0 8 5 9 表5 ( 2 ) 复旦大学硕士毕业论文 对于边界是x 2 一y 2 的情况，我们也进行了数值计算，结果和上面列出的结果类似的 这里就不给出了。 在m a t l a b 的s c 软件包中，通过计算，我们可以得到共形映射的一些信息，把单位圆 内部( 包括圆周) 映射到多边形这边来，但是，它不能把正确地映射单位圆周外面的点，而 在m f s 中，控制点都位于单位圆外，这给计算带来了很大的麻烦，我们也试图通过软件包 中提供的共形映射的信息近似写出共形映射的表达式来计算，但结果却不尽人意，所以这 里就不采用同时把单位圆这边的控制点和配置点映射过来求解的这种作法了。 2 3 第五章基本勰方法月予求解确定未知边界的反问题 考虑如下问题 边界条 孛怒 5 1 求孵问题的公式他 多( 翻= 0 p 翁( 1 ) b e 哆；一0p i 、l 君t = 。 爹f 。， ib 2 ( 西= o f r 2( 3 ) 这驻毋n f 。u 如，其串r l 是边弊的困定郝努，如为采船边羿部分，它楚待定的。 对于f 2 为空集的固定边界问题，用m f s 求躲时，就是寻找如下形式的近似解： c n ( c ，t ，p 。) = q ( 屯，砘) ，= l 其中，c = c 1 ，c 2 。c n r 为熬本解系数； = 冀l l ，t 1 2 ，t 2 l ，t 2 2 t n l ，t n 2 为奇煮垒耩； k ( t j ，p 。) = l o g r 出= 1 0 9 ( t m 一飙1 ) 2 + ( t j 2 一p i 2 ) 2 p 为2 维l a p l a c e 算予的基本解。 瑷在我 j 弱蔫基本簿方法求解包含( 1 ) 、2 ) 、( 3 ) 式酶确定未辩逾界反闻繇。实辩 上，还是要最小化如下形式的泛函： 鲥i耐2 f ( c ，t ，回= i b c n ( c ，t ，p 1 ) 1 2 + i b t 咖_ ( a ，t ，磊) 1 2 十i 疡曲( e ，t ，磊) 1 2 ) ( 4 ) t 茹li = 1 其中，m 1 和尬分别是位予边界的固定部分和未知边界部分上的配置点数，磊一 甑i ，菇) ，i = 1 ，2 立是凳寒絮逡器上熹瓣坐标。夭多数躯实蠡黢篷孛，哭要菠窭由迷雾 点的一个分坐标变化就足够了，例如，我们可以选择未知边界部分点的y - 坐标变化而使 z 一垒标蘸定不变，反之一样。 复旦大学硕士毕业论文 在实际计算中，有一种很重要的情况，就是未知边界条件中包括近似解函数w 的外 方向导数嘉，为此我们需要知道在每一个未知边界点磊，i = 1 ，2 如上的外单位法向 量的信息。 我们知道，对于一条2 维曲线y = 9 ( z ) ，它的外单位法向量如下给出： 拈舞鞯 对每一列未知边界点我们可以采用中心差分逼近来得到肯 扒剐= 黯扛2 1 3 尬_ 1 g l ( 磊。) 和g l ( 互如) 可用单向的有限差分逼近获得。 况 5 2 数值实例 我们先通过一个简单的数值实例，了解一下基本解方法求解确定未知边界反问题的情 例1 ) 求解如下的确定未知边界反问题( 设未知边界为 ( 。) ) 西= 0 问题的求解区域为一0 5 茎z 0 5 ，一0 5 y ( z ) 边界条件如下给出 和 o n 。= 一0 5 ，一0 5 y sh ( - o ，5 ) o 亿z = 0 5 ，一o 5s h ( o 5 ) ； d 礼y = - 0 5 ，一0 5s zs0 5 c ， 舞= ：0 。5 ，+ + c 。- - 。z a 。x ，2 一, ；，。n ：丘。， 其中，( i ) ，( i i ) 分别是固定边界条件和未知边界条件，c ，a 为常数。 2 5 触篙 ，、 、) f ，【 复旦大学硕士毕业论文 这里，我们预先知道了此问题的解：( z ，y ) = o5 + y ，以及未知边界 ( z ) = c a z 2 我们试着比较一下基本解方法的求解误差。 设 “( c ，y ，翰) = c j k ( x i ，y j ) 其中，c = c l ，c 2 c 】t 为基本解系数； ( 茁；，乳) = l o g r ) = i o g ( x i l y j l ) 2 + ( z ，2 一乳2 ) 2 】 为基本解函数； y = 【y l l ，y 1 2 ，可2 l ，y 2 2 y n l ，y n 2 了1 为奇点坐标 在求解过程中，我们还用到了： 曲= 鲁f 。9 怖一蜥1 ) 2 + ( 如一y j 2 ) 2 0 咖n 一亡 鱼! 兰! 二丝12 a 就l 鲁( 。t 1 一协1 ) 2 + ( 。，2 一蜥2 ) 2 甏= 砉再器 在未知边界上的每个配置点上，方向导数如下来求： 坠=(两0n，ocn)on 才 、a 2 t 1 ( 7 z t 2 。 其中，单位法向量育就用前面提到的差分法来求，表示点乘。 用m f s 求解时，在固定边界上，取各边的等分点为配置点，未知边界上，配置点的横 坐标取为区间 一o 5 ，o 5 】的等分点，把基本解系数e 、奇点( 控制点) 及未知边界点的纵坐 标作为优化参数，通过最小化形如( 4 ) 式的泛函得到 记n 表示奇点的个数，n 表示未知边界点的个数，m 表示在边界( 即固定部分和未知 边界部分) 上取的总配置点数。 对于5 , c 取不同值的情况，我们进行了数值实验，给出了如下的一些实验结果及其图 像( 图中+ 表示优化边界，一表示真实边界) 2 6 复旦大学硕士毕业论文 1 ) a = 1 ，c = 0 7 5 ，n = 4 ，n = 1 0 ，m = 5 0 ( 图4 1 ) 初始值精确值近似值相对误差 o 5 l0 5 9 0 00 6 1 4 20 0 4 1 0 0 5 1 0 6 6 0 00 6 8 5 80 0 3 9 1 o 5 10 7 1 0 00 7 2 3 80 0 1 9 4 0 5 l0 7 4 0 00 7 5 6 10 0 2 1 8 o 5 1 0 7 5 0 00 7 6 4 70 0 1 9 7 0 5 10 7 4 0 00 7 5 1 40 0 1 5 5 o 5 10 7 1 0 00 7 2 4 30 0 2 0 1 0 5 10 6 6 0 00 。6 6 9 20 0 1 3 9 0 5 l0 5 9 0 00 6 0 8 20 0 3 0 9 o 5 10 5 0 0 00 5 1 3 90 0 2 7 8 此时泛函的最小值为6 1 1 0 0 e - 0 0 4 。 表1 2 ) a = 0 5 ，c = 0 6 2 5 ，n = 1 0 ，m = 5 0 ( 图4 2 ) 初始值精确值近似值相对误差 o 505 4 5 00 ，5 5 0 50 0 1 0 1 0 50 5 8 0 00 5 8 6 8 o 0 1 1 7 o 50 6 0 5 00 6 0 6 40 0 0 2 3 0 50 6 2 0 00 6 2 3 10 0 0 4 9 o 50 6 2 5 00 6 2 8 70 0 0 5 9 0 50 6 2 0 00 6 2 2 0 0 0 0 3 2 0 50 6 0 5 00 6 0 7 30 0 0 3 9 0 50 5 8 0 00 ，5 8 2 40 0 0 4 1 0 50 5 4 5 00 5 5 2 30 0 1 3 4 0 50 。5 0 0 00 5 0 7 60 0 1 5 1 表2 2 7 复旦大学硕士毕业论文 此时泛函的最小值为4 5 5 9 1 e - 0 0 4 。 图5 1 3 ) a = 0 2 ，c = o ，5 5 ，n = 4 ，n = 1 0 ，m = 5 0 ( 图4 3 ) 图5 2 初始值精确值近似值相对误差 o 50 5 1 8 00 5 2 4 40 0 1 2 3 0 50 5 3 2 00 5 3 2 00 0 0 0 1 0 50 5 4 2 00 5 4 0 90 0 0 2 0 0 50 5 4 8 00 5 4 8 50 0 0 0 9 0 50 5 5 0 00 5 5 0 70 0 0 1 4 0 50 5 4 8 00 5 4 7 90 0 0 0 1 0 50 5 4 2 00 5 4 0 80 0 0 2 1 o 50 5 3 2 00 5 3 0 00 0 0 3 8 0 50 5 1 8 00 5 1 7 30 0 0 1 3 0 50 5 0 0 00 5 0