（计算数学专业论文）单位圆和球上非线性椭圆型方程边值问题对称正解的计算.pdf

摘要 本文运用l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法和对称破缺分歧的理论，首先给出计算圆上 c h a n d r a s e k h a r 方程边值问题0 ( 2 ) 对称正解的两种算法，数值结果表明上述方法是成功和 有效的然后给出球上c h a n d r a s e l ( 1 l a r 方程边值问题0 ( 3 ) 对称正解的计算；与其它方法相 比较，分歧方法克服了迭代时初值选取的困难，并且利用对称性大大减少了计算的工作量 最后，考虑单位球上h e n 彻方程边值问题0 ( 3 ) 对称正解的计算以及其它对称正解的计算和 转接，应用对称破缺分歧理论，可以尽可能多的计算出非线性椭圆型方程边值问题的各种 不同对称性质的多解 本文的柜架如下： 第一章介绍研究背景： 第二章圆上c h a n d r a s e l 【1 1 a f 方程边值问题o ( 2 ) 对称正解的分析和计算； 第三章球上c h a n d r a s e k h a r 方程边值问题o ( 3 ) 对称正解的分析和计算； 第四章球上h e n o n 方程边值问题o ( 3 ) 对称正解的分析和计算以及其他对称解枝的计 算和转接； 第五章小结 关键词：c h a n d m s e l d l a r 方程；h e n o n 方程；对称正解；l i a p u n o v s c h m i d t 约化；分歧方 法 第1 页 ；二海嘶范父学硕上惫文 ab s t r a c t u s i n gt h el y a p u n o v s c i d tr e d u c t i o na n ds y m m e n y b f e a “n gb i 如r c a t i o nm e o r y ，w ec o m p u t ea n dv i s u a l i z e 吐l es y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o n so ft t l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h ec h a n d m s e k h a re q u a t i o no nd l eu n i td i s ko ft l ep l a n e ，t 量i eu n i t b a l lo ft 1 1 es p a c e 1 1 1 e y p l a ya ni m p o n a n t r 0 1 ei ns t e l l a rs t n 】c t u r ea n de v o l u t i o nm e o r y t h eb i f u r c a t i o nm e m o d ，c o m p a r e dw i t t lm eo m e r h l e t l l o d s ，c a nc o m p u t et l l ep o s i t i v es o l u t i o no ft h ea l a i i d r a s e l d l a re q u a t i o nw i t h o u tt l l ed i 衔c u l t o fc h o o s i n g 也ei n i t i a lg u e s sf o rt l l ei b e r a t i o n a l s o ，m eb i 如r c a t i o nm e 山o dc a nr e ( 1 u c e 也ec o m p u t a t i o na c c o r d i n g 出es y m m e 时f i n a l l y w ec o m p u t em ep o s i t i v ed ( 3 ) s y m m e t r i cs o l u t i o na n d o m e fs y m m e t r i cs o l u t i o nt 0m eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fh e n o n e q u a t i o no nt h eu n i tb a l l a p p l y i n g 山es y m m e t 巧_ b r e a h n gb i f u l a t i o nt h e o r yc a nc o m p u t ea sm a n ya sp o s s i b l es o l u t i o n sw i t h d i f 绝r e n ts y m m e t | 了t om eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft 量1 en o n l i n e a re 1 1 i p t i ce q u a t i o n s c h a p “盯1b a c k g m u n d c h a p t e r2c o m p u t a t i o no ft h ep o s i t i v e0 ( 2 ) s y m m e t r i cs 0 1 u t i o n st ot h eb o u n d a r ) ，v a l u ep r o b 一 1 e mo fc h a n d r a s e k h a r e q u a t i o no nm eu n i td i s k c h a p t e r3c o m p u t a t i o no ft l l ep o s i t i v e0 ( 3 ) s y m m e t r i cs 0 1 u t i o n st ot h eb 伽n d a 巧v a l u ep r o b 一 1 e mo fc h a n d r a s e l d l a re q u a t i o no nt t l eu n i tb a c h a p t e r4c o m p u t a t i o no ft 1 1 ep o s i t i v e0 ( 3 ) s y m m e t r i cs o l u t i o n sa n do 吐l e rs y m m e t r i cs 0 1 u t i o n st 0t t l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fh e n o n e q u a t i o no nt h eu n i tb a l l c h a p t e r5s u m m a r y k e yw 打d s ： c h a n d r a s e k h a re q u a t i o n ；h e n o ne q u a t i o n ；p o s i t i o ns 0 1 u t i o n ；l i a p u n o v s c h m i d t r i 甜u c t i o n ：b i n l r c a t i o nm e t i l o d 第1 i 页 论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。 签名： 蒜姚菱 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日期： 丝畔 导师签名： 日期： 第一章绪论弟一旱三百了匕 1 1 研究背景 考虑非线性椭圆方程的d i r i c h l e t 问题： ：， ，乱) - 0 艇q ， ( 1 - 1 ) l 乱i 2 = o 这里q 是平面上的单位圆或者空间的单位球，a q 是其边界，此种非线性方程，向非线 性数学提出了严峻的问题：这些方程可能有一个解，也可能有多个解，它们的结构相当 复杂。这些解具有何种性质和结构，如何数值上求解它们，尤其是用数值方法求解非平 凡解，这是具有挑战性的课题。它不仅帮助我们了解解的多重性问题，且有助于我们对 其稳定性作出某些推测 对于方程( 1 1 ) ，采用现代变分学方法：临界点理论方法2 】，即山路定理或最大最小定 理。对函数， ，让) 的正则性和增长性，典型的假设是： a 1 ) ， ，乱) 在l 维区间碾= ( 一。o ，+ o 。) 中连续且分段光滑( 即l i p s c h i t z 连续) a 2 ) ，。r ，乱) 是超线性的，即存在正常数c 1 和q ，使得 i ，仁，u ) i g + 岛 ，1 0 的不稳定解失败 了事实上不稳定解在实践中很重要( 实际上它可能也是相对稳定的) 在最近的1 0 年中，仿照山路定理和最大最小定理的思想，在国外还发展了3 种新的计 算方法 1 山路算法【5 1 【6 】，m p a ，它由c h o i m c k e n 舳提出，一般地说，此算法只能找到m o r s e 指 标为0 或l 的两个解，当区域q 关于空间r d 中的某平面对称，且厂伍，) 关于“是奇的( 称为奇 非线性) ，m p a 通过区域的对称性也可找到某些变号解从那时起，m p a 广泛用于解其他 偏微分方程，如半线性弦振动方程，u 托一乱z 。+ g ( u ) = ，( z ，z ) 【6 】的周期解；有名的吊桥方 程u 托+ u 。z 船+ 乩+ = w ( z ) + e ( z ，t ) 的大振幅解和行波解【7 但m p a 不能用山路定理证明 其是正确的 2 高环绕算法【8 】，h l a 由d i n g ，c o s t a ，c h e n 所建立，以便得到某些变号解。此法在 第1 水平上使用了代约束的最大化，和第2 水平上用局部最小化数值实验表明，h l a 最多 得到两个节点解。如果不假定厂( 工，u ) 是奇的和区域的对称性，能计算得到多于三个解，对 数学家证明有更多的解是有希望的，这无疑是原创性的工作 3 最大最小算法10 】【1 1 l ，m n a 为寻找一般的m o r s e 指标的临界点，l i 和z h 伽设计了这 种新算法首先他们提出了一个最大最小定理【1 2 1 ，它只要求在第l 水平上的一个无约束最 大化和第2 水平上的局部最小化，于是它比传统的最大最小定理在数值算法上更具构造 性，并能计算某些高指标的m o f s e 指标的解 山路定理或最大最小定理在一般框架中给出了多解的存在性证明若按照此定理的思 想，入们不得不在一般的无穷维集合中寻找山路解，这如同大海捞针，而且数值计算上 来说也是比较困难的 由于高m o r s e 指标的临界点具有多重性和不稳定性，m p a 和h l a 及m n a 在收敛性分析 都遇到了内在的困难 4 搜索延拓法【1 3 】，s e m 此方法与山路定理及最大最小算法无关。它用若干个特征基 的线性组合搜索所有解的初值，然后利用一种谨慎而有效的延拓法和有限元法迭代完成 精密化计算此法能计算高m o r s e 指标的多重解。但是对于区域的选择要求较高 以上介绍的四种方法都存在对于初值的选取的困难，这在某种程度上限制了其成为更 为有效的算法 1 2 我们的研究方法 本文主要考虑如下非线性椭圆型方程边值问题 ( 1 2 ) c ： x0 = 让 页 u 2 第 丌0 钳 f u s 叫 ，、【 i i p 通过引进分歧参数入，将问题( 1 2 ) 嵌入到如下非线性问题 酬= 三竺“2 舻婷_ 0 艇q ， m 3 ， 根据分歧理论【1 4 一划，从问题( 1 3 ) 关于零解的线性化问题 瓮善划曲 m 4 ， 的特征值出发，问题( 1 3 ) 出现与相应特征函数对称性相同的非平凡解枝，沿着这条非平 凡解枝将a 延拓到o 就得到问题( 1 3 ) 的一个非平凡解 l i a p u n o v s c h i m d t 约化方法的基本思想式把一个( 可能是) 无穷维空间中的参数方程： f ，口) = 0 ，z 墨( 1 5 ) 化之与之等价的两个方程，其中一个通常是有穷维空间中的方程，另一个可以通过隐函 数定理求解出来，将求解得的解带入第一个方程可以得到保持原方程( 1 2 ) 分岔特性不变 的较低维的分歧方程 l i 印u n o v s c h i m d t 约化方法的过程大体上可以分为以下几个步骤： 1 空间分解设f ：xhy ，其对应的线性算子为l ，则将空间分解为： 其中 那么有 x = 南e r 乙a f ，y = r a 住g e 己o z = ( 庇e 7 - l ) j 。nx ，= ( r n 觎9 e l ) 上 z = e + v x x e r ，西忍e r l ，硼m 2 、方程约化定义投影算子p ：yhr 鲫哆e l ，则原方程( 1 3 ) 等价于 p f ( e + 伽，q ) = o ， ( j p ) f 毋十t u ，0 1 ) = o ( 1 6 ) ( 1 - 7 ) 由l i a p u n o v s c h m i d t 约化和隐函数定理，可得彬和分歧方程( 1 7 ) 的近似表达式，以其 为n e w t o n 迭代的初始值可以直接求解问题( 1 2 ) 本文第二章通过极坐标变换，把方程( 1 2 ) 化为极坐标形式 p 【o ，2 霄 ( 1 8 ) l l + 小 页 3 霄 窘 妨 第 + 加 + 挑矽 煎撕m ， = + ，执矿啦 i if i 二癣师范天学硕上沦文 根据解的d ( 2 ) 对称性性质，将方程( 1 8 ) 转化为一维问题，然后应用上述“a p u n o v s c h m i d t 约 化方法，给出两种算法，从而计算出圆形区域c h a n d m s e k h a r 方程( 1 2 ) 0 ( 2 ) 对称的正解 第三章对于单位球上的方程( 1 2 ) ，利用球面坐标变换，求出其球面坐标形式 i 护“i2 钆i1 护uic o s 口抛i 1铲“ i 碚1 - ；丽- r 万中吾而丽十丽帮 f ( 扎，a ) = + a 钍+ 4 7 r ( 2 让+ 他2 ) i = o ， o r 1 ，p 【o ，2 7 r ，妒【o ，7 r ( 1 9 ) 【u k ，= o 然后利用分歧方法计算其0 ( 3 ) 对称的正解根据解的0 ( 3 ) 对称性，问题( 1 9 ) 化为一维问题， 然后应用l s 约化方法求解 第四章考虑单位球上的h e n o n 方程边值问题 f 貉+ ；骞+ 嘉貉+ 黠赛+ 矗券 f ( 毽，天， ) = + 久铭十一护= o ， o 墨r 1 ，移【o ，2 丌】，汐l o ，碉 ( 1 1 0 ) 【乱l 一= o 应用l s 约化和对称破缺分歧理论，计算了上述问题0 ( 3 ) 对称正解以及其它对称正解 第五章是研究工作小节 第4 页 c h a n d r a s e k h a ro ( 2 ) 第二章单位圆上c h a n d r a s e k h a r 方程o ( 2 ) 对称正 解的计算 本章主要讨论一类在天体物理中有重要应用的c h a n d m s e k h a r 方程的边值问题 m = 矗嘉铲诤= 0 一g 仁- ， 正解的计算，这里是l a p l a c e 算子，z = ( z 1 ，z 2 ) ，q 是平面上的单位圆，a q 是q 的边界 2 1“a p u n o v s c h m i d t 约化 通过引进分歧参数a ，把( 2 1 ) 嵌入到如下的分歧问题 脚= 三嘉 时铲诤_ 0 一q 仁2 ， 根据分岐理论 1 4 】【1 5 】，分岐问题( 2 2 ) 从它的分歧点出发可沿着( 2 2 ) 的非平凡解枝延拓到 a = 0 ，可以求出( 2 1 ) 的非平凡解，其中有物理学家感兴趣的正解 利用极坐标变换，问题( 2 2 ) 可化为 脚= 罄第垛仙仙( 2 2 婷- 0 0 k l ，畦【0 伽】p 3 ， 显然，v 入酞，问题( 2 2 ) 是0 ( 2 ) 等变的 2 1 】，即满足 f ( 7 u ，a ) = ，y f ( “，a ) ，v 7 d ( 2 ) 磊， 这罩 0 ( 2 ) = ，s ，r ( q 【o ，2 7 r 】) ) ， r 。u p ，口) = 钆p ，口+ q ) ， 历= ，一，) ， ，钍( r ，p ) = 让( r ，口) ， s 钆( r ，p ) = 钍( r ，一口) ， v a r ，钆兰。是问题( 2 2 ) 的r 对称平凡解我们首先考虑问题( 2 2 ) 的0 ( 2 ) 对称的非平 凡解，此时解u ( ? ，p ) 与p 无关，它们满足如下的二点边值问题： 悖十；等+ 地+ 4 雄u 彬) 2 扎r ， ( 2 - 4 ) 【札( 1 ) = o ，乱7 ( o ) = o 第5 页 竺竺! 竺竺= = 竺! ! 竺! 竺= ：= = = 墨竺竺! 竺! ! 竺! ! 竺! ! 竺= ! 竺竺竺! ! ! ! ! 竺竺竺! ! 竺：! ：! ，：i 当a 从分歧点出发沿着( 2 2 ) 的非平凡解延拓到a = o 时，就可以得到问题( 2 1 ) 的d ( 2 ) 对 称解，即满足： 艨_ 豢一l ： ：2 7 铲肛o ，住【o 1 ) ， ( 2 - 5 ) l 让( 1 ) = o ，让，( 0 ) = o 边值问题( 2 2 ) 关于平凡解钍三0 的线性化问题为： 嚣善荸刍篙嚣吲0 ，1 l 陋6 ， 【( 1 ) = o ，( o ) = o 、。 它们的第礼个特征值和特征函数分别为：k = ( p i ) ，九= 如( r ) ，其中是如( r ) 的第佗个 正零点，如( r ) 是第一类零阶的b e s s e l 函数 2 2 】： 嘶) _ ( 赫2 勺 ( 2 - 7 ) 注意到问题( 2 - 1 ) 和( 2 2 ) 中的非线性项，我们感兴趣的是它们的正解，于是考虑问 题( 2 2 ) 从分歧点入1 = p ；出发的非平凡正解枝，它的d ( 2 ) 对称性由相应的特征函数 庐1 = 如( p l r ) 决定 令 x = 乱j 让c 2 f o ，l 】，钍( 1 ) = o ，u ，( 0 ) = o ) ， y = 【札i 缸伊【o ，1 】 于是 址象+ 昙昙“ 是x _ y 的一个零指标的f r e d h o l m 算子 2 3 】，且l 1 的零空间 ( l 1 ) = q 1q r ，1 = 如( 上1 r ) ) 空间x ，可分解为 x = ( 三1 ) om ， y = ( 三；) o 冗( l 1 ) ， 这里m = ( ( l 1 ) ) 上nx ，r ( l 1 ) 是l 1 的值域，q = 岳一；番+ a 1 令( 三：) = 口矽1 ( r ) 口瓞) ，用幂级数解法可容易求得 州忙薹蒜叫2 泔 第6 页 c h a n d r a s e l 出a r o ( 2 ) 令p 为从空间y 到r ( l 1 ) 的一个正交投影，由y 的空间分解可知： 这里e + = 斋，定义内积 这里 p 名= z 一( z ，e + ) e + ，z y = z 1 札胁 由l i a p u n o v s c h m i d t 约化，边值问题( 2 2 ) 等价于 p f ( 7 - e + 叫，上+ 入1 ) = 0 ，7 ，p r ，伽m ， = 0 ， e = 1 ， ，上= 入一入1 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 由于p r ( 0 ，入1 ) = p l l = l l ，它限制在m 上是正则的，用隐函数定理【1 5 】从方程 ( 2 8 ) 中可解出唯一的砌= ( 丁 p ) ，满足叫( o ，o ) = o 将伽( l 卢) 代入( 2 9 ) ，可得分歧方程 其中 这里 9 ( 丁，p ) = = 0 ，( 2 - 1 0 ) 砷e + w “) = 裳+ 昙警“州w 川扎 ( 2 - 1 1 ) 危( 丁，p ，彬) = p ( 7 - e + 叫) + 4 7 r 2 ( 丁e 十硼) + ( 7 - e + 叫) 2 由于 = = 0 ，从而分歧方程( 2 1 0 ) 可简化为 9 ( 丁，p ) = = 0 下面将求出训7 ，) 和分歧方程( 2 1 2 ) 的近似表达式将方程( 2 8 ) 关于丁求导得到 p ( 兄( 7 - e + 伽，弘+ a 1 ) ( e + 砌，) ) = o ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 上述方程在( 7 - ，) 一( o o ) 处求值，考虑到凡( o ，a 1 ) = l 1 ，e ( l 1 ) ，p 三1 = 三1 ，可得 厶1 训7 ( 0 ，0 ) = 0 因为，( o ，0 ) m 三1 限制在m 上是正则的，由此推出 伽下( 0 ，0 ) = 0 ，叫( 丁，p ) = o ( 7 ) 第7 页 ；二海师范欠学顿士埝文 另外 于是 姗盯，肛) = e + ，p ( e + 埘f ) + 1 2 7 r 【2 ( 丁e + 伽) + ( 丁e + 硼) 2 ( e + 嘶) + ( 丁e + 叫) ( e + 训1 ) 类似地可求得 姗( o ，0 ) = o 册弘( 0 ，0 ) = 1 ， 乳k ( o ，o ) = o v 后= 1 ，2 于是可得式( 2 1 2 ) 的近似表达式为 这里 丁p + q 7 - ；：0 ， 口= 2 2 数值方法 算法1 ： 第一步：将【o ，1 】等分，用二阶中心差分来离散化问题( 2 4 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) f 墨丝二净+ 堡铲十a 钆 + 4 7 r ( 2 锄+ 钆；) g = o ， i = 1 ，2 ，一1 ， 似n = o ， ( 2 1 6 ) 【3 u o 一4 乱1 + 乱2 = o 这里钍产钆( ) =乱( z 危) 第二步：令托。：7 - 妒l ( 7 i ) 十毗，p = a a 1 ，丁是小参数，式( 2 1 1 ) 的离散化形式为 ( 1 + 壶) f 矗+ 1 2 伽i + ( 1 一去) 毗一1 + ( 肛+ a 1 ) 桃 2 + 7 - p 1 ( n ) 庇2 十4 7 r 2 7 _ 1 ( n ) + 2 毗+ ( 7 _ 1 ( n ) + 训t ) 2 g 2 = o ，i = 1 ，一1 ， 礼：0 ， 3 o l + 钉，2 = 0 ， 一1 1 ( 亿) 妣= o i = 1 将7 - 延拓到足够大，例如7 _ = 0 1 ，可以得到远离平凡解的礼和a 第8 页 ( 2 一1 7 ) c h a n d r a s e k h a ro ( 2 ) 第三步：用上述方法得到的乱和入作为初始出发点，以a 为参数，直接求解方程 ( 2 1 6 ) ，将a 延拓到0 就得到了边值问题( 2 - 1 ) 的d ( 2 ) 对称正解 算法2 ： 在近似分歧方程( 2 1 4 ) 中令弘= 一入1 可解出 丁：丁o ：( 蟹) z ， q 这里q 由式( 2 1 5 ) 给出将钍o = e 作为迭代初值，直接用n e w t o n 方法迭代求解边值问 题( 2 5 ) 的离散化形式( 2 1 6 ) 同样可以成功地计算出边值问题( 2 1 ) 的0 ( 2 ) 对称正解 2 3 数值结果 用算法l 和算法2 均成功地计算出了边值问题( 2 1 ) 的0 ( 2 ) 对称正解，数值结果由 图2 一l 所示 图2 一l 边值问题( 2 - 1 ) 的0 ( 2 ) 对称正解 第9 页 ；二海搦弛天学硕1 硷交 第三章单位球上c h a n d r a s e k h a r 方程o ( 3 ) 对称正 角翠的计算 本章主要讨论单位球上c h a n d r a s e l d l a r 方程边值问题 m = 芝舻婷_ 0 一g p l ， 正解的计算，这里是l a p l a c e 算子，z = ( z 1 ，z 2 ，z 3 ) ，q 是空间中的单位球，a q 是q 的 边界 m ，= 麓等4 以2 蚪舻诤_ 0 联g p 2 ， f 貉+ ；家+ 嘉貉+ 黠器+ 高而器 f ( 乱，入) = + 入乱+ 4 7 r ( 2 u + 礼2 ) = o ， o r 1 ，p 【o ，2 7 r ，妒 o ，7 r 】 ( 3 3 ) i 札l ，：1 = o c h a n d r a s e k h a l ro ( 3 ) 饽+ ；譬+ a 牡+ 4 水缸埘) k o ，r 【0 1 ) ， ( 3 - 4 ) i l 札( 1 ) 5o ，( o ) 。o 当久从分歧点出发沿着( 3 4 ) 的非平凡解延拓到久= o 时，就可以得到问题( 3 一1 ) 的o ( 3 ) 对 称解，即满足： i 貉+ ；等+ 4 丌( 2 扎w ) 3 - 0 r ， ( 3 5 ) 【u ( 1 ) 2o ，( 0 ) 2o 边值问题( 3 4 ) 关于平凡解n 兰0 的线性化问题为： 垮+ ；等+ 入_ 0 r 【0 ，1 ) ， ( 3 - 6 ) 3 2 数值方法 算法： 第一步：将【o ，1 等分，用二阶中心差分来离散化问题( 3 6 ) 可得 f 等+ 譬虻0 待1 ，2 _ 1 p 7 ， 【。如一4 1 + 屯= o 这里忱= 妒( n ) = 妒( i 危) 求得其特征值以及对应的特征函数，我们取第一个特征值a 1 及其 对应的特征函数e 第二步：令乱= 7 e + 叫，p = a a 1 ，丁是小参数，代入( 3 4 ) ，用中心差分离散后得其离 散化形式为 ( 3 8 ) 这里“矗= 彬( ) = 铷0 危) ，e = ( ) = e ( i 是) 将丁延拓到足够大，例如丁= o 1 ，可以得到远 离平凡解的似和a 第三步：用上述方法得到的札和a 作为初始出发点，以a 为参数，直接求解方程 ( 3 4 ) 的离散化形式，将a 延拓到0 ，就得到了边值问题( 3 4 ) 的正解以圆的半径为轴，旋转一 周就得问题( 3 一1 ) d ( 3 ) 对称正解在大圆上的表示 第1 1 页 枷p 铲 ，t 3 2 一 艮 l篡剐扭柏姚 - r1 l r、，一= ” 甜 二海掷菇，又学硕士埝文 3 3 数值结果 用算法成功地汁算出了边值问题( 3 1 ) 的o ( 3 ) 对称正解，数值结果由图3 1 所示 0 2 0 1 5 01 o0 5 图3 1 边值问题( 3 一1 ) 的0 ( 3 ) 对称正解在大圆上的表示 第1 2 页 第四章单位球上h e n o n 方程多个对称正解的计算 本章主要讨论单位球上h e n o n 方程边值问题 m = 矗篇_ p ”拈吣咄 ( 4 1 ) 正解的计算，这里是l a p l a c e 算子，z = ( z 1 ，z 2 ，z 3 ) ，q 是空间中的单位球，z 0 ，z o ： ( 0 ，0 ，o ) ，a q 是q 的边界 通过引进分歧参数a ，把( 4 1 ) 嵌入到如下的分歧问题 m 一= 畲羔”护。0 印 件2 ， 根据分岐理论f 1 4 j f l 5 l ，分岐问题( 4 2 ) 从它的分歧点出发可沿着( 4 2 ) 的非平凡解枝延拓到 入= 0 ，可以求出( 4 1 ) 的非平凡解，其中有物理学家感兴趣的正解 利用极坐标变换，问题( 4 2 ) 可化为 f 貉十；骞+ 专貉+ i 詈南翥+ 志貉 f ( 让，久，f ) = 十a 让十r 。仳3 = o ， o r l ，p 【o ，2 7 r ，妒 o ，州 ( 4 3 ) i 札【一= o 4 1 o ( 3 ) 对称正解的计算 4 1 1 方程的o ( 3 ) 等变性 对于v a 皿，问题( 3 3 ) 是0 ( 3 ) 等变的，即满足 f ( ，y 让，a ) = 7 f ( 札，a ) ，v 7 0 ( 3 ) 乞 这里三维正交变换群d ( 3 ) 如第三章所述，易= ，一，) v a r ，铭三0 是问题( 3 3 ) 的r 对称平凡解我们首先考虑问题( 3 3 ) 的o ( 3 ) 对称的非平 凡解，此时解乱( r ，口，妒) 与口，妒无关，它们满足如下的二点边值问题： 搴_ 攀l 竺+ ：3 - o 一【0 ，1 ) ， ( 4 - 4 ) 【u ( 1 ) = o ，乱，( 0 ) = o 、 当a 从分歧点出发沿着( 3 4 ) 的非平凡解延拓到a = o 时，就可以得到问题( 3 1 ) 的0 ( 3 ) 对 称解，即满足： 悖_ 攀l ! - 3i o ，蚝， ( 4 5 ) 【让( 1 ) = o ，札，( 0 ) = o 、 第1 3 页 t 海卿范天学硕上沦芟 边值问题( 3 4 ) 关于平凡解u 三0 的线性化问题为： 4 1 2 数值方法 算法： j ，豢+ ；等十a 咖= o ， r 【o ，1 ) ， _ l 妒( 1 ) = o ，( o ) ：o 第一步：将【o ，：。、。0 分，用二阶中心差分来离散化问题( 4 6 ) ( 4 6 ) 巨蒙二篡九_ 0 ，诘1 2 - l 件7 ， 求得其特征值以及对应的特征函数，我们取第一个特征值a 1 及其对应的特征函数e 第二步：令乱= 丁e + 伽，肛= a 一入1 ，丁是小参数，代入( 4 4 ) ，用中心差分离散后得其离 散化形式为 - 一j ! j _ j 一2 枷l + ( 1 一) 妣一1 + ( p + a 1 ) 毗 2 十7 - 弘e i 危2 十( z 允) ( 7 - e i + 姚) 3 ，1 2 = 0 ，i = l ，一1 ， 2 i v20 ， ( 4 8 ) 3 一4 肌十= 0 ， n l 勖伽 = o 将7 - 延拓到足够人，例如7 - = 0 1 ，可以得到远离平凡解的让和入 第三步：用i o7 ，j 。? ：! ；到的u 和a 作为初始出发点，以a 为参数，直接求解方程 ( 4 4 ) 的离散化形式，将a 延拓到0 ，就得到了边值问题( 4 5 ) 的正解以圆的半径为轴，旋转一 周就得问题( 4 1 ) 的o ( 3 j 对称止解在大圆上的表示 4 1 3 数值结果 用本文算法成功地汁算出了边值问题( 4 一1 ) 的d ( 3 ) 对称正解，图4 一l 给出l - 0 时问题 ( 4 一1 ) 的0 ( 3 ) 对称j f ：解，图4 2 给出f _ l 时问题( 4 一1 ) 的0 ( 3 ) 对称正解，图4 3 给出f _ 5 时问题 ( 4 一1 ) 的0 ( 3 ) 对称萨解，图4 4 给出f - 1 0 时问题( 4 - 1 ) 的0 ( 3 ) 对称正解 第1 4 页 h c n ( n 矧4 1 8 4 2 弘 一11 一 0 5 f _ 0 时问题( 4 1 ) 的o ( 3 ) 埘称正解拒人圆 j 的表示 一11 图4 2 f - l 时问题( 4 一1 ) 的d ( 3 ) 埘称一解存人蚓l ：的表示 4 2 其他对称正解的计算 4 2 1 o ( 0 ) 对称正解的对称破缺 考虑问题( 4 3 ) 的与妒无关的解，即它们在( 7 、p ) j f 面上满足下列o ( 2 ) 历等变问题： 9 ( 扎，f ) = 第】5 页 0 7 - 1 ，扫f 0 ，2 丌 一 。 ( 4 9 ) k 5、o 叭 n n 钆 兀 钆， 0 = 3 r 斗 卜 丝硼丌 一p 2 慧 。| 一 札 + = 煎舻 一| 产小 斗仉 丝加= 2 卜0 坠产n 0 一臼 ，jll 圭二海师范丈学硕士沦文 1 5 5 0 1 o 5 11 图4 - 3 ，= 5 时问题( 4 1 ) 的o ( 3 ) 对称正解存人圆上的表示 1。1 矧4 4 f - l o 时问题f 4 1 ) 的0 ( 3 ) 对称正解在火圆上的表示 将【o ，1 等分， o ，2 7 r m 等分，本文取= 4 0 ，肘= 9 0 ，用中心差分来离散卜述问题可得 f 坠等笋一+ 警+ 业等瓣一 北f ) ： + 箍挈+ r _ 0 i _ 1 ，- 1 歹卅，m ( 4 - 1 0 ) l 钆，j = o ，歹= 1 ，m ， i 讹， ，钾= 地，j ，i = 1 ，一1 ，歹= 1 ，m 巧 加 1 2 5 0 ， 这里阶= 专，巧口= 器t 。= i 阶，巳= j 6 1 9 “巧= 礼( ，：，巳) ，卜述问题是r = d ，z 2 等变的即 满足 9 ( 7 札，f ) = 7 夕 ( t ，2 ) ，v y r ， 这里 d ，= ，r 1 ，r ，一1 ，s 1 ，岛，瓯，) ， r k = 兄七， & = r 恐一1 s 1 = ，j 5 r 1 ， r = u i ，j + 1 ， s u 巧= u t ， ，一j ， 面= ，一，) d = ，兄a ，2 ，s 】，s ，2 ， 将? 作为延拓参数，从f - 0 时问题( 4 9 ) 的0 ( 2 ) 对称正解( 即问题( 4 一1 ) 的( = ) ( 3 ) 对称正解) 出 发，用延拓方法同样可以得到上一节已经算出的o ( 3 ) 对称的正解( 见图4 1 至图4 4 ) 在延拓的：司时，通过嘛视相应的j a c o b i 矩阵r ( 札，f ) 的特征值，发现 在b 0 1 6 6 9 3 、2 3 1 2 9 1 、4 6 7 8 2 5 、7 3 5 7 4 3 附近出现绝对值很小的特征值，而相应的 特征向量在( ，f 9 ) 平面上分别具有i 、小队、d 4 对称性，这是潜在的对称破缺分歧 点【1 4 其对称件由相应的零特征向量的对称性决定通过解枝转接的方法 2 5 _ 3 驯，我们计 算了在f _ 0 1 6 6 9 3 分歧出米的在平面上】对称的正解，如图4 5 拿4 7 4 2 2 数值结果 一，1 0 5 图4 5 f - 1 时问题( 4 一1 ) 的d ( 2 ) 0 l 砖称正孵往( r ，p ) f f 自i 蔓的表示 第1 7 页 i 二海蛳范穴学硕士硷文 图4 - 6 扛5 时问题( 4 一1 ) 的o ( 2 ) o 1 对称正解往( np ) 平面上的表示 图4 7 f - l o 叫。问题( 4 一1 ) 的o ( 2 ) o 1 对称正解在( r ，p ) 平面二的表示 第1 8 页 为 1 2 0 o ， 柏 加 仲 o ， 第五章小结 非线性椭圆型方程边值问题 ：乱+ ， ，让) = o ， z q ， ( 5 1 ) 、j j 【u l 鲫= o 可能有多个解，它们的结构相当复杂这些解具有何种性质，如何数值上求解它们，这些都 是具有挑战性的课题 在本文中，方程( 5 1 ) 当， ，o ) = o 时，通过引进参数a ，将其嵌入到如下非线性问题： ：乱+ a 乱+ ， ，) = o ， 工q ， ( 5 2 ) 【札k = o 方程( 5 2 ) 关于札= 0 的线性化方程为 十入= o ， x q ， ( 5 3 ) i 痧l o q = 0 我们通过确定( 5 3 ) 的特征值和特征函数，应用“a p u n o v s c h m i d t 约化进行数值求解， 得到( 5 。1 ) 的非平凡解，再将入延拓到0 ，就得到了问题( 5 1 ) 的非平凡解 此外，我们在 本文的第四部分刘单位球l h e n o n 方程的的齐次d i r i c h l e t 边界条件的边值问题，以f 为分 歧参数进行延拓，在分歧点附近进行解枝转接，得到其具有其它对称性质的正解 由于方程( 5 1 ) 大量出现在物理、工程、生物学、生态学等领域，例如l a n e e m d e n 方 程、h e n o n 方程、c h a n d r a s e k h a r 方程、非线性反应扩散方程等，因此本文介绍的此类方 法，尽管是针对c h a n d r a s e l ( l a r 方程正方形区域上及立方体区域上正解计算，但对于其它 方程和不同区域也是行之有效的 第1 9 页 i 二海卿范天学硕上篼交 参考文献 【1 】c h a n g kc h l f i n i t ed i m e n s i 傩a lm o r s et h e o 巧 a i l d 咖l t i p l e s o l u t i o np r o b l e 腿 【m 】b o s t o n ：b i r l d l a u s e r 1 9 9 3 【2 】r a b i n o w i t zph m i n i m a xm e t h o d si nc r i t i c a lp o i n tt i l e o r yw i 山a p p l i c a t i o n st od i f f 宅r e n t i a l e q u a t i o i l s c b m sr e g i o n a lc o i l f 【c 】s e r i e si nm a t i l6 5 ，a m e rm a ms o c ，p r o v i d e n c e 1 9 8 6 【3 】p a oc v b 1 0 c km o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o d sf o rn u m e r i c a ls o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n s n u m e fm a 山【j 】1 9 9 5 ，7 2 ：2 3 9 2 6 2 【4 】d e n gy ，c h e ng ，n iw m ，e ta 1 。b o u n ( 1 a r ye l e m e n tm o n o t o n ei t e r a t i o ns c h e m ef 研s e m i l i n e a r e 1 1 i p t i cp a i t i a ld i f f 色r e n t i a le q u a t i o n s m a t hc o m p u t 【j 】1 9 9 6 ，6 5 ：9 4 3 9 8 2 【5 】c h o iys ，m c k e n n apj am o u n t a i np a s sm e 吐1 0 df o r t h en u m e r i c a ls 0 1 u t i o n so fs e m i l i n e a r e l l i p t i cp r o b l e m s n o n l i n e a ra n a l 【j 】1 9 9 3 ，2 0 ：4 1 7 4 3 7 【6 】c h o iys ，m c k e n n apj ，r o m a n om a am o u n t a i np a s sm e t l l o df b r 1 en u m e f i c a ls o l u t i o n s o fs e m i l i n e a rw a v ee q u a t