（应用数学专业论文）区间小波多小波及其在图像处理中的应用研究.pdf

摘要 随着小波分析研究的不断深入和应用范围的日 益扩大， 人们对小波基的构造提 出了 新的要求。 在图 像处理中， l = ( r ) 上的小波基因截断误差会在边界处产生失真， 为了消除这种边界效应人们需要对其进行改进，这就产生了区间小波的理论。同 时人们也希望所用的小波基会同时拥有正交性，对称性，紧支性和高阶消失矩， 这又导致了多小波理论的诞生。 本文对这两类小 波的构造及其在图 像去噪方面的 应用作了深入的研究，主要内容包括: 讨论了 周期小 波的一 般理 论。 用样条小 波和折叠函 数构 造了风1 上的 半正 交小 波基，给出了相应的分解和重构算法。分析了d a u b e c h i e s 区间正交小波的构造. 用类似的方法构造了 0 , 1 上的双正交小 波基. 并分别将消失矩为2的 d a u b e c h i e s 区间正交小波和消失矩为 3的区间双正交小波用软阐值去噪方法对含有加性噪声 的图像进行了去噪处理，实验结果表明它们不仅有较好的去噪效果，而且在图像 边界无需延拓处理。 研究了尺度向量逼近阶的改进问题。利用双尺度相似变换增加其掩模分解中 的因子个数以 提高尺度向量的 逼近阶， 同时保持尺度向 量的紧支性和对称性。给出 了: = 2时，能够保持尺度向 量上述特性的变换矩阵的一个简单选取方法，并且利 用分形插值函数的伸缩特性， 给出了一个尺度向 量并推导了其满足的加细方程。 选取适当的参数， 使其具有对称性并且至少有逼近阶 1 。 选择适当的变换矩阵， 对 尺度向量进行双尺度相似变换，可以 使其具有满意的逼近阶。 利用双尺度相似变换构造了高逼近阶的双正交尺度向量。虽然双尺度相似变 换提高了尺度向量的逼近阶，保留了它的对称性和紧支性，同时也改善了它的正 则性， 但唯独破坏了正交性。 在双正交多小波中， 对偶尺度向量有多大的逼近阶， 多小波函数就有多大的消失矩。我们先对己知的尺度向量进行双尺度相似变换， 以 提高其逼近阶，再求出变换后的尺度向 量的对偶，对这个对偶再进行特定的双 尺度相似变换，就可得到原尺度向量的有高逼近阶的对偶，从而可能得到具有高 阶消失矩的多小波函数。 讨论了多小波的预滤波器的设计问题。 针对于x i a 等基于g h m多小波的插值 特性而设计的预滤波器，我们给出了一个改进的插值预滤波器.在预滤波器的设 计中，能够保持中心滤波器组的正交性和逼近阶是非常重要的. h a r d i n和 r o a c h 设计的具有逼近阶的正交拟插值预滤波器保持了中心滤波器组的正交性和逼近 阶，为预滤波器的设计指出了 一条正确的方向. 研究了 多小 波的 平衡处理， 对低 通滤波器p ( w ) 一般选择平 衡器为正 交矩阵r , 使得常数信号 成为 平衡后的 低通滤波 器r t p ( (o ) r 的 特征信号， 若要保持 矩阵滤波 器的 正交性 和对称性， 可选择 平衡后的 高 通滤波器为q ( o) ) r ; 若只 保持多 小波的 正 交 性， 可选择高 通滤波器为r t q ( c e ) r ， _作为 应用 我们对j i a n g 构造的o p t f r 一 多 1 1 一呻 ， 一几 . . . . . . . 目 . ， 口 叫 户 月 . 叫 ，网 . . . . . 目 . . . . 口 州 -， ，. . 小波进行了 平衡处理。 用此平衡的矩阵滤波器对图像进行了阐 值去噪和融合， 其 结果是非常令人满意的。 讨论了 具有g mp 阶的双正交矩阵涟波器的构造， 并利用双正交单小波b s o r l 1 构造了具有g m p 阶 ( 1 , 1 ) 的对称反对称的 双正交矩阵滤波器组， 对该双正交的 矩阵滤 波 器组 进行了 平衡处理， 并将平 衡后的 双正交矩阵滤波器 组用于图 像的分 解和重构，其效果还是令人满意的。 讨论了 全插值的双正交多小波的构造， 因其分解滤波器和重构滤波器都具有插 值性质，使得 我们在应用时无需预滤波处理， 这也是全插值多小波的一个突出的 优点。其不足之处是由于设计上的原因，使得低频系数 矩阵和高频系数矩阵非常 接近，因而不能对高低频信息进行有效的分离。 关键词: i ib i 小 波， 多 小 波， 尺 度向 量 的 a 近阶， 双尺 度相 似 变 换， 预 滤波， 平 衡多小波，图像去噪。 i i i ab s tr act a s t h e r e s e a r c h o f w a v e l e t i s d e e p e n e d a n d t h e r a n g e o f i t s a p p l i c a t i o n i s e x t e n d e d e x t e n s i v e l y , m o r e d e m a n d s a r e a d d e d o n t h e c o n s t r u c t i o n o f w a v e ie t b a s e . i n i m a g e p r o c e s s in g , t h e w a v e i e t o f 1 . ( r ) w i ll c a u s e d is to rt io n o n t h e b o u n d a r y b y tr u n c a t io n e r r o r . i n o r d e r t o e x t e r m i n a t e t h i s p h e n o m e n o n , o n e m u s t m o d i 行t h e w a v e l e t o n t h e b o u n d a r y . t h i s g i v e s r i s e t o t h e w a v e l e t o n t h e i n t e r v a l . a t t h e s a m e t i m e , i t i s d e s i r a b l e f o r w a v e l e t p o s s e s s o r t h o g o n a l i t y , s y m m e t r y , s h o r t s u p p o r t a n d h i g h e r v a n i s h i n g m o m e n t s s i m u l t a n e o u s l y , t h i s l e a d s t o t h e a d v e n t o f th e m u l t i w a v e l e t s . t h e d i s s e r t a t i o n d i s c u s s e d t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e s e t w o k i n d s o f w a v e l e t a n d t h e i r a p p l i c a t i o n s i n t h e i m a g e d e n o i s i n g a n d m a i n ly i n c l u d e d f o ll o w i n g a s p e c t s : t h e g e n e r a l t h e o r y a b o u t p e r i o d i c w a v e l e t w a s d i s c u s s e d . t h e p r e - w a v e l e t o n 0 . 1 j w a s c o n s t r u c t e d w i t h t h e s p li n e s w a v e le t a n d f o l d f u n c t i o n . : e n d t h e c o r r e s p o n d i n g m a l l a t s a l g o r i t h m w a s p r e s e n t e d . t h e c o n s t r u c t i o n o f d a u b e c h i e s o r th o g o n a l w a v e le t o n th e in t e r v a l l a ,月 w a s a n a l y z e d . a n d t h e b i o rt h o g o n a l w a v e l e t o n t h e i n t e r v a l q , 1 ) w a s c o n s t r u c t e d s i m i l a r l y . a s a n a p p l i c a t i o n , t h e o r t h o g o n a l a n d b io r t h o g o n a l w a v e l e t o n t h e i n t e rv a l 0 ,l l w i 小v a n i s h i n g m o m e n t s z a n d 3 r e s p e c t iv e l y w a s u s e d t o r e m o v e l t h e n o i s e o f i m a g e . e x p e r i m e n ts s h o w t h a t t h e s e w a v e l e t s o n t h e i n t e r v a l n o t o n l y h a v e a g o o d d e n o i s i n g r e s u l t , b u t a l s o n e e d n o e x te n s i o n o n t h e b o u n d a r y t h e a p p r o x i m a t i o n o r d e r o f m u l t i - s c a l i n g v e c t o r w a s s t u d i e d . t h e a p p r o x i m a t i o n o r d e r i s i n c r e a s e d b y a d d i n g t h e f a c t o r n u m b e r i n t h e f a c t o r i z a t i o n o f m a s k o f m u l t i - s c a l i n g v e c t o r w i t h t s t , a n d s y m m e t r y , s h o r t s u p p o r t o f m u l t i - s c a l i n g v e c t o r a r e m a i n t a i n e d s i m u l t a n e o u s l y . a s i m p l e m e t h o d f o r s e l e c t i n g t h e t r a n s f o r m m a t r i x w h i c h p r e s e r v e t h e a b o v e p r o p e r t y o f m u l t i - s c a l i n g v e c t o r w a s p r e s e n t e d . w i t h t h e d i l a t io n p r o p e r t y o f t h e f r a c t a l i n t e rp o l a t i o n f u n c t i o n , o n e m u l t i - s c a l i n g v e c t o r a n d i t s r e f i n e m e n t e q u a t i o n二 p r e s e n t e d . t h e m u l t i - s c a t 吨 v e c t o r p o s s e s s s y m m e t r y a n d a p p r o x i m a t i o n o r d e r i a t l e a s t b y s e l e c t i n g a s u i t a b l e p a r a m e t e r . t h e n c h o o s in g s u it a b l e t r a n s f o r m m a t r ix , a n d a p p l y i n g t s t t o it , t h e s a t i s f a c t o r y a p p r o x i m a t i o n o r d e r o f t h e m u l t i - s c a l i n g v e c t o r w a s a c h i e v e d . t h e b io r th o g o n a l m u lt i- s c a li n g v e c to r w it h h i g h e r a p p r o x i m a t io n o r d e r w a s c o n s t r u c t e d u s i n g t s t . a l t h o u g h t h e t s t i n c r e a s e s t h e m u l t i - s c a l i n g v e c t o r s a p p r o x i m a t i o n o r d e r , m a i n t a i n s t h e s y m m e t r y a n d s h o r t s u p p o r t , b u t d e s t r o y t h e o r t h o g o n a l i t y . i t i s k n o w n t h a t t h e d u a l m u lt i - s c a l in g v e c t o r h a s s o m e a p p r o x i m a t i o n o r d e r , 叔 m u l t i - w a v e l e t f u n c t i o n s h a v e s a m e v a n i s h i n g m o m e n t . t h e t s t w a s a p p l i e d r v to m u lt i - s c a l i n g v e c t o r t o i n c r e a s e i t s a p p r o x i m a t i o n o r d e r , a n d w i t h p r c o n d i t i o n , t h e d u a l o f t r a n s f o r m e d m u l t i - s c a l i n g v e c t o r w a s o b t a i n e d . t h e n t h e s p e c i a l t s t w as t a k e n f o r t h i s d u a l , t h e d u a l o f o r i g i n a l m u l t i - s c a l i n g v e c t o r w i t h h i g h e r a p p r o x i m a t i o n o r d e r o b t a i n e d , f i n a l l y t h e m u l t i - w a v e l e t f u n c t i o n w i t h h i g h e r v a n i s h i n g m o m e n t m a y b e c o n s t r u c t e d d e s i g n o f p r e f i l t e r o f m u l t i w a v e l e t s w a s d i s c u s s e d . f o r t h e p r e f i l t e r d e s i g n e d b y x i a w it h i n t e r p o l a t i n g p r o p e r t y o f g h m m u l t i w a v e l e t , a m o d i f i e d i n t e r p o l a t in g p r e f i l t e r w a s p r e s e n t e d . i t i s i m p o t e n t t o d e s i g n t h e p r e f i l t e r w h i c h m a i n t a i n t h e o r t h o g o n a l i t y a n d a p p r o x i m a t i o n o r d e r o f c e n t r a l f i l t e r b a n k . t h e o r t h o g o n a l q u a s i - in t e r p o l a t i o n f i l t e r p r e s e r v i n g a p p r o x i m a t i o n o r d e r d e s i g n e d b y h a r d i n a n d r o a c h m a i n t a i n t h e o rt h o g o n a l it y a n d a p p r o x i m a t i o n o r d e r o f c e n t r a l f i lt e r b a n k a n d g i v e a p r o p e r d i r e c t i o n i n t h e d e s i g n o f p r e f i l t e r , t h e b a l a n c e d m u lt i w a v e l e t w a s s t u d i e d . f o r lo w - p a s s m a tr ix f i l t e r p(or)， t h e o r t h o g o n a l ma t r i x r wa s s e l e c t e d t o o f b a l a n c e d l o w - p a s s m a t r i x m a t r i x f i lt e r i s o ( c o ) r o r r f i l t e r 0 ( c o ) r e n s u r e t h e c o n s t a n t s i g n a l a s a c h a r a c t e r i s t i c s i g n a l r p ( ra ) r . t h e c o r r e s p o n d i n g b a l a n c e d h i g h - p a s s w h i c h m a i n t a i n t h e o r t h o a o n a l i t y a n ds vnu r n e t r x o r o rt h o g o n a l i t y o n l y r e s p e c t i v e l y . a s a n a p p l i c a t i o n , t h e d p t f r - m u l t i w a v e l e t c o n s t r u c t e d b y j i a n g w a s b a la n c e d a n d a p p l i e d t o im a g e d e n o i s i n g a n d f u s i o n . f x p e r i m e n t s s h o w t h a t t h e r e s u l t i s s a t i s f a c t o ry . c o n s t r u c t i o n o f b i o rt h o g o n a l m a t r i x f i l t e r w i t h g m p o r d e r w a s s t u d i e d . a n d s r n m e t r i c o r a n t i - s y m m e t r i c b i o rt h o g o n a l m a t r i x f i lt e r w i t h g mp ( l . l ) w a s c o n s t r u c t e d u s in g b i o r t h o g o n a l s c a l e f i l t e r b i o r 3 . l . t h e n t h e b a la n c e d m a t r i x f i l t e r w a s a p p l i e d t o t h e i m a g e d e c o m p o s i t i o n a n d r e c o n s t ru c t i o n . t h e r e s u l t i s s a t i s f a c t o r y . c o n s t r u c t i o n o f t o t a l ly i n t e r p o l a t in g b i o r t h o g o n a l m u l t i w a v e le t w a s d i s c u s s e d . 丁 h e a d v a n t a g e o f t h i s b i o rt h o g o n a l m u l t i w a v e l e t i s t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g m a t r i x f i l t e r b a n k : i n t e r p o l a t i n g p r o p e rt y a n d t h e p r e f i lt e r i s n o t n e e d . b u t u n f o r tu n a t e l y f o r t h e s a k e o f d e s i g n . t h e l o w - p a s s c o e f f i c i e n t m a t r i x a n d h i g h - p a s s c o e f f i c i e n t m a t r ix a r e v e r y n e a r in n u m e r i c a l v a l u e , s o i t i s d i ff i c u l t t o p i c k - u p h i g h fr e q u e n c y in f o r m a t i o n f r o m l a w f r e q u e n c y i n f o r m a t i o n k e y w o r d w a v e l e t o n th e i n t e r v a l , m u l t i w a v e l e t , a p p r o x i m a t i o n o r d e r o f m u l t i- s c a l i n g v e c t o r , t h e t w o - s c a l e s i m i l a r i t y t r a n s f o r m , p r e f i l t e r , b a l a n c e d m u lt i w a v e le t , i m a g e d e n o i s i n g 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果;也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作过的同志对本研究工 作所作的任何贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 本 人 签 “ : 2 fn t 日 期 : 之 心 、 ; 、 ， 2 - -c 关于论文使用授权的声明 本人完全了 解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定， 即: 学校有 权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文;学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论交.( 保密的论文在解密 筱遵守此规定) 本 人 签 “ : k o 导 师 a19 : 4 i a 日 期 :、 ; 、 、 日 期 :d 3 ， 、 第一章绪论 第一章绪论 作为一个新的数学理论， 小波分析包含了丰富的数学理论，同时又具有广泛的 应用价值。它既保留了傅里叶分析的优点，又弥补了其在应用上的不足。众所周 知，在信号处理中，傅里叶变换能将信号的时域特性变换为频域特性，一些在时 域中看不大清楚的问题，通过频域里的谱一下子就变清楚了，并且这种变换不仅 在理论和形式上非常方便，而且在计算上可用快速算法进行数值实现。然而人们 有时 一特别关心局部时域信号在局部频域中的对应特性， 而用傅里叶变换要得到某个 固 定 频 率。 处 的 频 谱 信 息 少 ( w ) ， 则 必 须 利 用 全 部 的 时 域 信 息 f ( r ) , r e x ， 同 样 若已 知 局 部的 频 谱信息， 由 此并 不能 获 得 信号 在 局部时 域中 的 特性。 信号 在局 部时 域 上的改变会影响它的全部频域特性，信号在局部频域上的改变也会影响它在全部 时域中的特性。这也就是说傅里叶变换没有任何时频局部化的作用，它不能获得 信号的 局部特性，不能 用于局部分 析 _ . 1 2 6 1 。 为了 克 服傅里叶变换的不 足， 人们引 入了加窗傅里叶变换，也就是利月一个所谓的窗函数作用于信号函数，然后再巡 行傅里叶变换。一般地这个窗函数和它的傅里叶变换都具有快速衰减性质，) 、 而 可分别对 时 域信号和频域信号 起到 一个 局部 化的作 用阴 。 在实际信号分析中， 若要 观察分析局部时域的高频信号特性，应该选取较窄的时间窗，并希望相应的频率 窗较宽，以便包含更多的频率信息。同样地，若要分析局部时域的低频信号，应 亥 选取较宽 门时间窗，并希望柏应的抓立窗窄些。值得注意的是，加窗搏f _ 叶交 挨的 t - 频窗的形状和大小是固定的，对变化着的不同时间段的信号只能用相同的 窗，所以它不能适应信号频率高低的不同要求，这也就限制了它在精细分析方面 的应用。为了保留其优点，克服其不足，人们试图寻找一种理想的正交函数系， 用它们来作变换时能够保留傅里叶变换及其反演的性质，并要求变换的基函数及 其傅里叶变换具有快速衰减的性质，还希望相应的时频窗是可调的这个理想的 变换函数就是小波函数。在小波变换中，小波函数的伸缩和平移表现了它对信号 不同频率和不同时间位置的限制。 它提供了一种时一 频局部化分析， 而月 . 时一 频窗在 整个时一 频平面上移动时，对于高频信号，窗会目 动变窄;对于低频信号，窗会自 动变宽2 1 。 这种自 适应“ 变焦” 功能决定了小 波变换在突变信号处理上的特殊地位， 因此被誉为“ 数学显微镜” 。 小波变换由于具有这些优异特性， 因此从1 9 8 0 年mo r l e t 和g r o s s m a n 在分析地震信号时提出了小波变换的概念后， 迅即引起数学界和工程 界的关注， 在短短几年之内出现了大量的研究成果，到 1 9 8 5 年就已形成了小波研 究的热潮。数学家论证了小波函数的存在性，研究了它的生成和特性以及与奇异 积分算子理论之间的内在联系，形成了小波分析理论这一新的数学分枝。物理学 家指出了它在理论物理，量子场论中的物理意义。工程界则将它迅速应用到信号 区间小波多小波及其在图像处理中的应用研究 和图象处理，模式识别等方面，并取得了许多成功的例子。 小波分析是正在迅速发展的新兴技术， 有人称它是信号分析的新阶段， 是重大 的突破。经过数学家和工程师们的共同努力，它的理论日益完善成熟，应用范围 也在不断扩大，我们相信它必将在各相关领域取得更大的成功。 1 . 1小波理论及应用发展概况 小波分析的思想来源于伸缩与平移方法， 第一个正交小波基是h a a r 在1 9 1 0 年 构造的，它就是人们熟知的h a a r 系，1 9 3 6 年l i tt l e w o o d 和p a l a y 对傅里叶级数建 立了二进制频率分量分组理论，对频率按2 进行划分，其傅里叶变换的相位变化 并不影响函数的大小，这是多尺度分析思想的最早来源，其后，c a ld e r o n于 1 9 7 5 用他早年提出的再生公式给出了 抛物型空间上h 的原子分解， 这个公式后来成了 许多函数分解的出发点，它的离散形式已接近小波展开。7 0年代末，mo r l e t 试图 改良 加窗傅1 k 叶变换依赖于窗位置和频率分量的分析方法，而用一种窗函数的收 缩与 平移构造基函数变换， 用于油气勘探的非稳定性地震信号分析。 从8 0 年代开 始， 小 波理论 研究 才真正 有了巨 大 进步。 1 9 8 1 年， s t r o m b e r g 对h a a r 系 进行了 改 进，证明了小波函数的存在性。1 9 8 4年，m o r l e t 在分析地震波的局部性质时，发 现用傅里叶变换难以达到要求，因此引入小波概念于信号分析中，并用一种无限 支集的非正交小波分析地震数据，这为我们将信号分解为独立的时移和尺度作出 了贡献。随后， g r o s s m a n 和m o r l e t 一起提出了确定小波函数伸缩平移系的展开理 论 。与 此i司 时， d a u b e c h i e s , g r o s s m a n 和m e y e r 对完全 重构的 非正交小 波 基作了 详 细研究，构造了连续小波变换理论中的容许条件，并证明了一维小波函数的存在 性， 之后， l e m a r i e 和b a tt l e 又分别给出了高维小波函数和具有指数衰减的小波函 数 1 9 8 7 年， m e y e r 和m a l l a t 合作， 将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引 入主 j 小波分析中小波函数的构造，提出了多分辨分析的概念，统一了在此之前提 出的各种具体小波基的构造方法，同时给出了信号和图像分解为不同频率通道的 分 解算 法 和重构 算法，即m a l l a t 算法 p z . i a . 1 6 1 . m a l l a t 算法在小 波分析中 的地 位就 相当于快速傅里叶算法在经典傅里叶分析傅里叶分析中的地位。用 ma l l a t 算法可 构造一种可分的二维正交小波基来对图像进行分解和重构。1 9 8 8年，d a u b e c h i e s 创立了支持离散小波的二进小波理论，得出了二进小波的正则性与多项式表示的 条 件， 并 构 造了 具 有有限 支 集的 正 交 小 波 基 i 1 2 1 1 . d a u b e c h i e s 的 工作 将 信号 处 理 的概念与泛函分析理论有机的联系起来，成为目 前小波理论研究的最重要文献之 9 0 年代初，小波理论具有成就的进展是k o v a c e v i 。 和v e tt e r l i 提出的双正交小 波的 概 念， 即 对同 一信号f e l z ( r ) ， 用于 分 解和重构的 滤波器是 两组不同 的 滤波 器，这两组不同的滤波器对应于两组相互对偶的尺度函数和小波函数。从函数空 第一章绪论 i li i 的 分 解来 看， 双正 交小 波基 给出了l ( r ) 的 两组 对偶的r i e z s 基。 随 着小 波理论 和实际应用的结合，人们逐渐认识到小波各种性能的重要性。小波的主要性能指 标包括: 对称性/ 线性相位， 紧支撑 / 有限冲激响应( f i r ) ， 消失矩， 正则性等。 除h a a r 小波外，二进正交小 波无法同时满足这些性质(23 1 , c o h e n , d a u b e c h i e s , f e a u v e a u 放宽正交性要求， 构造了二进双正交小波(6 ) ， 其中分析与 综合滤波器不同 但满足 精 确重构条 件( 或称为 双正交 条 件) 。 c h u i 等 将其推广为 有限 冲激响 应 ( f i r ) 和无限 冲激响 应( i i r ) 互为对偶的 非 正交滤波器库形式， 构造了 最小 支撑的 线性相 位的 样 条 小 波 系 ， 3 1 。 小 波 理 论 的 另 一 重 大 发 展 是w ic k e r h a u s e r , c o if m a n 提出 的 小 波 包 5 5 1 它对信号频带的划分突破了小 波分析等q划分的局限性， 不仅对低通分量作分解, 而且可以对高通分量作分解，从而f p 焦到感兴趣的任意频段，对信号的分析更灵 活方便。 1 9 9 3年，一份专门刊载小波理论和应用发展的国际刊物 “ a p p l e d a n d c o m p u t a t io n a l h a r m o n i c a n a l y s is 在美 国 正 式 创刊， 标志 着小 波理 论 研究 进 入新 的 阶段。 d o n o h o 提出的内 插小 波， 将s a t i o 和b e y l k i n 利用正交小波的自 相关函数多 尺 度 分 解和d u b u c 提出 的 二 进l a g r a n g e 对 称 迭 代内 插泛函 联 系 起来 6 0 在该 类小 波系数中， 低通分量完全依赖抽采算子得到， 细节分量则依赖多 项式内 + fli 沽计t -: 采样值的差分运算， 因 此计算过程及其简单， 为大量的并行计算提供了 可能。 1 9 9 5 年， s w e l d e n s 提出 构 造 第二 代 小波 ( t h e s e c o n d g e n e r a t i o n w a v e l e t ) 的 提升方 法， 利用 这种方法可以构造非欧空间中不允许伸缩和平移，从而f o u r i e : 变换不再适用的情 形下 的小波 基， 同 时也 成为 构 造第一 代小 波的 有力工具 1 1 3 - 1 i 5 1 . 2区间小波理论的概述 为了 分 解定 义 在区 间队1 上 的 信 号f ， 有 必 要 构 造l 0 ,1 上的 小 波基. 最 早的 周 期 小 波 和 折 叠 小 波 通 过 将l ( r ) 上 的 小 波 函 数 w , , ( x ) 周 期 化 或 者 将 iv .、 ( 劝 进 行 折 叠 而得l 0 ,1 1 的 一 组小 波 基 (2 3 . 2 6 1 ， 它 们的 缺 点 是 在 两 个 端点 处 的 边界 小 波函 数 分别有 0 阶和 1 阶消失矩，因此在信号分解时，在边界处会产生大的小波系数， 结果就好像信号不连续或信号的导数不连续一样。为了消除这种边界不连续而引 起的边界效应，充分利用信号的正则性，必须构造和原来小波有相同消失矩的边 界小 波。 1 9 9 3 年， m e y e r , c o h e n , d a u b e c h i e s 和v i a l 等分别在边界处修正d a u b e c h i e s 小 波 ， 得 到 0 , 1 丁 区 间 上 的 一 组 区 间 小 波 正 交 基 . 这 些 基 函 数 除 了 存 在 特 殊 的 边 界 函 数外， 内 部的 基函 数与 修正 前的 小 波基函 数完全一 样， 并且它 们形成了 0 , 1 区间 上 的 多 分 辨 分 析 z 5 , 4 5 1 . m e y e : 区 间 小 波 的 构 造 思 想 是 这 样的 ， 设p ( x ) 是 有n阶 消 失 矩的d a u b e c h i e s 小波， 其支 集为队2 n - i ， 对于 任意次 数不 超过n一 工 的多 项式 p 1 _ , ，均有p a ,_ , s 气，因而对于 0 , 1 上的小波应当满足这一性质。令 甲 ， ，、 = 2 ) l 2 (p ( 2 j 二 一 k ) 。 考 虑 与 区 间 0 ,1 ) 有 非 空 交 集 的 y j ,k ， 当 ,l 充 分 大 时 ， 则 有 如 区间小波多小波及其在图像处理中的应用研究 下的三种情况: 如 果 。 l .、 的 支 集 盖 住 二 = 。 ， 则 在 端 点 。 处 附 近 截 取 的 (p i .k i o.)， k e 凡 ，: ; 如 果 t l .* 的 支 集 在 0 ,1 的 内 部 ， 保 持 (p i .* 不 变 ， k e s , ; 如 果 lp l.* 的 支 集 盖 住 二 一 1 ， 则 在 端 点 1 处 附 近 截 取 的 ， i,k i 0,i ， k e s i .r 、jl廿 1争-，j 厂、/.、厂戈 其 中 s , = k : 一 ( 2 n 一 2 ) - k - s l - 1 , s , , = k : s l _ k 2 j 一 ( 2 n - 1 ) 一 s r ， ， 一 ( k : 2 一 ( 2 n 一 2 ) 一 s r _ k _ 2 一 1 ， s l ， s * 是 两 个 非 负 整 数 ， 使 得 s ;., v s， v 凡、 二 卜 2 n十 2 ,2 ， 一 1 在: 一 。 处 ， 取p 0 ( x ) 一 2 j 2 ( 2 j x ) ， 记 x ( k ) = ， k “ s i .l ， 令n i.: 一 艺 x , (k )(p ,.k .,.i ， a 一 n 一 ， . .,0 。 k e s , . 在二 一 1 处 ， 取p a ( x ) = 2 1 1 2 ( 2 1 ( l 一 x ) ) 0 ， 记( 1 一 x 片 ( k ) = ， k “ s j ,r 。 令w a .r =i * e j ( i 一 x )( k ) (p i k 1 0 ,11 ， a = n 一 1 . . . ,0 。 这 样 就 得 到 了 两 个 端 点 处 的 边 界 尺 度 函 数 耐 ，: 和 aj , r ， 由 cp ( x ) 的 正 交 性 可 知 砒: 和 w 0 、 正 交 ， 且 它 们 都 与 t ) ,k ， k e 5 j ,， 正 交 ， 对 边 界 尺 度 函 数 砒: 和 衬* 经 过 正 交 化 和 归 一 化 处 理 ， 可 以 得 到 砚 0 ,1 上 的 一 组 正 交 基 此 时 的 基 函 数 虱 ，* 为 : n 一 1 , - - - ,i ,0 , k = 气 * 一 a 一 i (p ; ,k , k s l,r n一 1 , . . . , i , 0 , k = k j ,r + a + i -一 以a a尽。朋 甲甲 rll必.1 -一 一叭 0 , 1 上 的 小 波 函 数 的 构 造 类 似 于 尺 度 函 数 的 构 造 ， 设w j 0 ,1 是v j 0 ,1 在v ., 1 0 ,1 中 的 正 交 补 空 ih 7 ， 那么 容 易 得出 d i m v , 0 ,1 = 2 j + 2 - s l - s r ， 从 而d im w j 0 ,1 = 2 1 , 考 虑l 2 ( r ) 上 的m r a ， 当n 一 1 + 5 l / 2 - k - 2 ， 一 n 一 8 , / 2 时 ， w j ,k 。 砚 , , ),1 ， 从 而y i k e li , w m， 用 这 些4 1 .1,、 作 为 内 部 小 波 函 数 ， 并 在 两 个 端 点 补 充 边 界 小 波 函 数 ， 然 后 对 其 进 行 正 交 化 和 归 一 化 处 理， 可以 得 到矶 0 ,1 上的 一 组 正 交 基。 此时 的 基 函 数q l ,* 为 : 平 ay j . a = 1 , 二 ， n 一 1 + t l , k = k ; ,: 一 a w j ,k , 气 ，: k 气 ,r y 争 r , a = 1 ， ， n 一 1 + t , , k = k ,r + a 一一 -叭 其中r , 和1 分 别由 s : 和s * 确定。 从以 上的 构 造可以 看出 ， m e y e r 区 间 小 波 存 在如 下的 缺 点: 除sl-8r=1外， f 节 空 间 w ; 0 ,1 和 尺 度 空 间 称 0 ,1 的 维 数 不 相 等 ， 从 而 修 正 后 的 滤 波 器 不 能 用 于 0 . 1 上的 小 波包构造: 其次由 于 边界 尺度函 数本身的 构造， 导致构 造的 小 波函 数具 第一章绪论 有 较 大 的 振 荡 性， 在 数 值 上 表 现 为 不 稳 定. 为 此， d a u b e c h i e s 等 对m e y e r 区 间 小 波 进 行了 改 进 7 1 ， 她对 尺 度函 数q ( x ) 作了 平 移， 使 其 支 集为卜 n+