（应用数学专业论文）双曲型方程的混合元方法.pdf

独创声明 y 5 9 8 4 2 3 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声明的， 本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签名：乏丢弗文导师签字： 签字日期：2 0 0 4 年q - 月汐日 签字日期：2 0 0 4 年牛月2 胡 i 隧群：笋、导细猿 镯垒文冀謦 3 妥 双曲型方程的混合元方法 王瑞文 山东师范大学数学科学学院，济南，山东2 5 0 0 1 4 摘要 本文讨论了双曲型和双曲型积分微分方程的标准混合有限元和h i g a l e r k i n 混 合有限元方法的五2 模和日1 模的误差估计 第一章讨论了混合问题 ，r ju “( 。，t ) 一v o 扛，t ) v u + b l ( 茹，t ，r ) v u 0 ，) d r = ，( z ，t ) q ( 0 ，t 】， l ” 1 “( 茁，0 ) = 钍o ( 茁) ，u t ( x ，0 ) = 珏1 ( 。) ， z q ， l lu ( z ，t ) = 0 ，( 。，t ) a q ( o ，t j ， 的混合元方法给出了函数u ，u 在l o 。( o ，t ；l 2 ( n ) ) 中，关于伴随速度p 在二”( 0 ，t ；工2 ( n ) 2 ) 中关于散度d i v p 在l ”( o ，正l 2 ( q ) ) 中最优阶误差估计，还得到 了关于u 在l o 。( o ，t ；l o 。( q ) ) 中及p 在l o 。( o ，t ；l ”m ) 2 ) 中的拟最优阶误差估计 第二章讨论了问题 r ip u v ( 凸( z ) 冶) + 6 扛) v p + c ( 士涫= ，扛，) ，( z ，z ) n 以 l p = 0 ，( z ，t ) a n j ， j ip ( z ，o ) = 芦o ( z ) ，p t ( x ，0 ) = p l ( z ) ，z n ， 的h 1 _ g a l e r k i n 混合元方法与修正的日l g a l e r k i n 混合元方法，得到了关于未知函 数和梯度的最优模和日1 模误差估计 第三章讨论了问题 f “。，t ) + a “+ t b ( ，s ) u 。) d j = f ( x , t ) ，z o ，t ( o ，t ) 1t ( z ，0 ) = t 幻( ) ，u t ( x ，0 ) = ：t l ( $ ) ，z q ， i 【t ( z ，) = 0 ，( z ，t ) a q ，t ( o ，卅 的h 1 g a l e r k i n 混合元方法，在一维情况下得到了关于未知函数和伴随速度的最优 2 l 2 模和h 1 模误差估计。在二维和三维情况下得到了关于未知函数的最优工2 模和 日1 模误差估计。 关键词：误差估计，混合有限元法，积分微分方程，双曲型，日1 - g a l e r k i n 混 合元，l b b 条件，椭圆投影，双曲型方程初边值问题 分类号t0 2 4 1 8 3 t h em i x e df i n i te l e m n t m e t h o do fh y p e r b o l i c t y p e e q u a t i o n s r u i w e nw a n g d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c ，s h a n g d o n g n o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n g d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t t h e p u r p o s e o f t h e p a p e r i st oi n v e s t i g a t et h ec o n v e r g e n c eo ft h em i x e d f i n i t ee l e m e n t m e t h o df o rt h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f o rt h eh y p e r b o l i ct y p ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o na n dh y p e r b o l i ct y p ee q u a t i o n i nc h a p t e ro n e ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e m ： z 札1 b l ( x ，t ，t ) v u ( x ，t ) d r = ，( 。，t ) n ( 0 ，t 】 z ) ， z q ( 2 ，t ) a q ( 0 ，卅 b a s e d o n t h e r a v i a r t t h o m a ss p a c e v h w hc h ( d i v ；n ) 三2 ( n ) o p t i m a l o r d e r e s t i m a t e s a r eo b t a i n e df o rt h e a p p r o x i m a t i o no f u ，“，t h ea s s o c i a t e dv e l o c i t yp a n dd i v p r e s p e c t i v e l y i n l ( o ，t ；l 2 ( n ) ) ，工( o ，r ；三2 ( n ) ) ，l o o ( o ，t ；三2 ( n ) 2 ) ，a n d 五( o ，t ；工2 ( n ) ) q u a s i o p t i m a l o r d e re s t i m a t e s a r eo b t a i n e d f o r t h ea p p r o x i m a t i o n s o f u ，n t i n 工o 。( o ，t ；l = ( n ) ) a n d p i n 五o 。( 0 ，t ；l ”( n ) 2 ) i n c h a p t e rt w o ，w ec o n s i d e rh 1 一g a l e r k i n m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rh y p e r b o l i c p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n i a t v ( d ( z ) v ) + b ( 茁) v + c ( 岳) p = ，l 卫， ) ，( z ，t ) nxj ， p = o ，( z ，t ) a n 【p ( 盅，0 ) = p o ( z ) ，p t ( x ，0 ) = p l ( z ) ，卫q w eo b t a i nl 2 - o p t i m a la n d 口l - o p t i m a le s t i m a t e sa b o u tt h ef u n c t i o no fpa n dg r a d i e n t u n d e rt h ec e r t a i nc o n d i t i o n 4 吼 埘 ” 旦 毗 2 地 叫 朋m 毗 叫呱 i nc h a p t e rt h r e e ，w ec o n s i d e rh l g a l e r k i nm i x e df i n i t ed e m e n tm e t h o df o rt h e i n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f o rt h eh y p e r b o l i ct y p ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n - 卜( 州) + a u + z 即一u ( s ) 幽= m 一， 蚝n 外( 啦) 皂( z ，o ) = 钍o ( 2 ) ，n t ( x ，0 ) = u ( 窖) ， 茁n ， 【u ( z ，t ) = o ， ( 嚣，t ) 勰，t ( o ，列 w eo b t a i nl 2 - o p t i m a la n dh l o p t i m a le s t i m a t e sa b o u tt h eu n k n o w n f u n c t i o no fuu n d e r t h ec e r t a i nc o n d i t i o n k e y w o r d s ：h y p e r b o l i ci n i t i a la n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，g r o n w a l l sl e m m a ， m i x e df i n i t ee l e m e n t ，h y p e r b o l i cp a r t i a li n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，日1 g a l e r k i n ，e l l i p t i c p r o j e c t i o n ，s e m i d i s c r e t es c h e m e ，o p t i o n a le r r o re s t i m a t e s s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：0 2 4 1 8 第一章双曲型积分微分方程混合元法的误差估计 1 1 引言 令q 为r 2 中具有l i p s h i t z 连续边界a n 的有界区域，其中对固定的满足 0 t o ，满足0 c 0 。 c l o 。 并且函数a , b l 及它们的导数光滑有界以后对任何函数，如不特别说明，都指具有 相互独立的自变量x , t ，r 为了叙述方便，我们先作如下的准备工作，对于满足条件 l s 0 0 的整数s 和任意非负整数k ，令 矸坤，。( q ) = ，l 5 ( n ) l d 4 ，工。( n ) ，k l 七) 表示装配了模 i i f l l k ，s n = ( 0 d 9 州( n ) ) j q l _ k 的s o b o l e v 空间( 在不产生误解的情况下，下标n 经常被省略) 空间日( n ) = w k , 2 ( n ) 6 的模记为”= 川b ，记号l 表示i l 。( n ) 或i 之，( n ) 用( ，。) 表示空间l 2 ( n ) 或上2 ( n ) 2 的内积，即g ) = 上加如或( p ，q ) = 厶p ，q 幽 定义空间v = h ( d i v ，n ) = v ( l 2 ( n ) ) ”；v v l 2 ( n ) ) ， w = l 2 ( q ) ，其中 空间v 的模为l 吝= 户+ f i d i v v l l 2 令模空间x 的模为t 1 协l q ( o , t ；x ) 表示由f o ，幻到x 的所有映射组成的定义 了如下模的空间： 对1 蔓8 o 。和适当的函数 ：f o ，卅- x 其模为 她r ；x ) 5 ( 上忡) 炒 c ( o ，t ；x ) 表示由 o ，列到x 的所有k 阶连续可导映射组成的空间，其装配的 模为”i l l 。( o ，t ；x ) ( 1ss 。) 对于q = 。作一般的改变为了提出与混合元方法相 适应的( 1 1 1 ) 的弱形式，令 p = 一。v u z 6 l ( 砒r ) v u ( 州) 札 并设 n ( z ，t ) = a - i ( z ，t ) ，6 ( z ，t ，r ) = 口( z ，t ) 6 l ( z ，t ，r ) ，口( ，t ，r ) = - v b ( 。，f ，f ) 则问题( 1 1 1 ) 可写为如下的混合一阶系统 、 u “+ 出移p = ，( z ，) n ( 0 ，纠， a p + v u 十上v ( 阮) d r + 上。卢“打= 。，( z ，的n ( 0 司， ( 1 1 2 ) t | ( 。，t ) = 0 ，( z ，t ) a n ( 0 ，卅， t 上( o ) = u o ，a d o ) = “1 ，z q ( i i 2 ) ( 或( 1 1 1 ) ) 的弱形式为：求解 只钍 ： o t i v w 使得 l ( u ) + ( d i v p i ) = ( ，埘) ，v t ，眠0 t 正 ( a 尸 ”) 一m + z 阮打，枷a ) + ( z 。触打，”) = 。，v ”k 。 t t ( 1 1 3 j 【u ( o ) = 如沌( o ) = u 1 为了给出f 只“) 恰当的混合有限元逼近，我们考虑与将q 剖分成三角形单元的拟一 致剖分靠( 其单元直径不大于h ( 0 h 1 ) ) 相联系的有限维子空间k - ，其中 7 h w h cv w ，n 的边界单元允许有一条曲边我们选择矸么为p 沮v i a r t t h o m a s ，空间 6 , 1 2 , 1 3 】，其指标k 0 ，引进二2 投影r ：+ 和r a v i a r t t h o m a s 投影 ：甘1 ( n ) 2 叶垓，他们具有如下的性质： 出口。 = 磊。d i v ：日1 ( q ) 2 - w ；， ( 1 1 - 4 ) i 叫一p h 叫l l 一。sg h a i l w l l , ，0 f ，s 茎托+ 1 ， ( 1 1 5 ) i 【叫一r 叫j i o ，口墨c h 。i l m 1 町 0s l k + 1 ，l q + o o ， ( 1 l 6 ) | | ”一r h 口l l o 口sc h 。i l v l l l ，q ，石1 fs k + 1 ，1 q + o o ， ( 1 1 7 ) l i d i v ( v 一 v ) lj c h 。i i d _ i v v l l , ，0sj k + 1 ( 1 1 8 ) ( 1 1 3 ) 的关于时间连续的混合有限元逼近问题为：求 r ，i t h ) ：【0 ，卅- 十w h 使得 f ( “ m ) + ( 也u p h ，t 7 ) = ( ， ) ，v w w h ，o t ， ( n p 胁) 一( u 一+ o b u h d t , 战咖) + ( z 胁d t ， o h ) m k ，。 t 茎t ，( 1 1 9 ) iu h ( o ) = 诹( o ) ，u h t ( o ) = 也埘( o ) ，p h ( o ) = p h ( o ) ， 其中，a ( o ) 和鲰( o ) 及西 ( o ) 的定义见( 1 3 1 ) 中t = 0 的情况 本章大体安排如下；在第2 节将证明( 1 1 9 ) 的存在唯一性在第4 节将展示 本章的主要结果即u 一“ 和p p 在空间l o 。( o ，t ；l 2 ( q ) ) 和三”( o ，t 工2 ( n ) 2 ) 中 的最优阶估计，以及在空间二”( o ，t 江。m ) ) 和工”( o ，叠二。( n ) 2 ) 中的拟最优阶估 计为获得上述误差估计，我们将在第3 节中定义与本章讨论方程相联系的广义混 合椭圆投影并且给出这个椭圆投影的误差估计另外，在第4 节中我们还将给出 d i v ( p r ) ，( 一u h ) t ，一 l l h ) t t 在空间l ”( o ，r ；三2 ( n ) ) 中的最优阶误差估计本文 中，若无其它说明，将用c 表示不依赖与h 和t 的任意正常数及其组合，r 是一个 固定整数 1 2 存在唯一性 8 令 本节中，我们讨论离散格式解的存在唯一性问题事实上，如果 = s p a n 皿l ，皿2 ，皿m ) ，w h = s p a n 妒l ，i p 2 ，妒n ) m r ( 文t ) = q ( t ) ( ) ，= 1 n u h ( x ，t ) = m t ) 妒d x ) ， i = 1 由第3 节中( 1 3 1 ) 的唯一可解性知 n u ，t ( ，t ) = e 岛t ( t ) 忱扛) i = 1 ( o ) ，j = i ，2 ，m ，晟( o ) ，i = i ，2 ，n ，觑( 0 ) ，i = 1 ，2 ，n 是已知的令 。一= ( 6 忱，d i v i ) ，6 村= ( 讯，d i v 雪1 ) q j ( t ) = ( 霍f ，d 町) ，d u ( t ，r ) = ( 6 巩，d i v 雪1 ) 一( ，协，皿f ) f 0 ) = ( ( ，0 ) ，妒1 ) ，i f ( t ) ，q ，。) ) t ，口0 ) = ( a 1 0 ) ，n 。( t ) ) t 卢o ) = ( 卢l ( t ) ，屁( ) ，岛0 ) ) t ，a = ( 口“) 。 b = ( k i ) n m ，c ( t ) = ( c l j ( ) ) 。m ，d ( t ，r ) = ( d u ( t ，r ) ) 。 则对0 t t ，( 1 1 9 ) 可写作： i4 卢“( t ) + b a ( t ) = ，0 ) ， ，t ( 1 2 1 ) ig ( ) a ( t ) 一日t 卢( t ) 一d ( t ，r ) 卢( r ) d r = 0 ， 7 其中， 和c ( t ) ，0 0 使得 i l ( p p h ) m l i 兰c h l l p d l ，+ i i p t t l l r + | i p , i i ，+ i l u t t l l ，+ i l u t i i ，+ | | u i l ，+ i i p i i ， + 上( 1 i p i | 一十r ) 打) ， j j ( 一诹) 托c h j j 魄j l r + j 最t l j ，+ jj b ，+ f j t 上纵l j ，+ n u l l ，+ i l u f ，+ 1 1 1 1 ，+ i i p i i ， + 上( 1 i p + r ) 打一 1 0 证明；对( 1 3 1 ) 第一式关于时间求导3 次得 ( d i v ( p a ) c c t ，叫) = 0 ，v 删w 么，0s t 取 = d i v ( i i h p r ) 由于d i v 。 = p ho d i v 。所以 i l d i , ( i i p r ) 2 = ( 戚 ( p a ) ，d i v ( i i a p 一磊) ) = ( d i v ( i i h p r ) ，d i v ( i i h p p ) t t t ) + ( d i v ( p 一磊) t t td i v ( h p 一赢) 蚍) ) = 0 从而有 d i v ( h h p r ) = 0 因此 i i d i v ( p r ) i i = i d i v ( p n h p ) t t t l i s c h 7 j 只“j j ，4 - 1 ，0 sr s k - 4 - l 对( 1 3 1 ) 第2 式关于时间求导3 次得 ( a t t t ( p 一昂i ) + 3 a t t ( p p ) t + 3 a t ( p r ) ”+ a ( p 一晶) ， ) = ( ( u 豇a ) t t t + 3 b t t ( u 一面 ) + 3 b t ( u f i h ) t + 6 ( t 一f i a ) t t +t b u t ( u f i b ) d r , d i v v ) 一( a 岛( u - u h ) + 3 觑( u 一面 ) t + 声( t 上一f i b ) i t + 觑“( u f i b ) d r ，u ) r c j o 在( 1 3 5 ) 中取 = ( i i h p a ) ，由( 1 3 3 ) 式得 ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) ( a ( i i a p p ) t t t ，( i i h p r ) ) = - ( a ( p i i p ) t t t + a t t t ( p b ) + 3 a t t ( p 一尸 ) ( 1 3 6 ) + 3 a t ( p r ) t t + 3 岛t ( “一豇 ) + 3 岛( u 一豇 k + 卢“一诹) “+ z 觑“( u - f i h ) d r ，( r i b p 一磊) t “) ， c i li i n p a f f 2 ( o ( p a ) c 钟，( 1 1 p 一户 ) 抒) c ( 1 i ( v - n h e ) ( p 一磊) i i 州p 一瓤f ( 1 删 + l i p a 1 i 十i i u 一豇 l l + l l ( “一五h ) t l i + 1 l ( u 一面 ) “i f +t l | u 一面 i d r ) l l ( n p a ) i i ， 1 1 ( n p r ) l “i i c 7 ( i i p t “i i r + l l e , i i r + i i u l l r + i f p “r + o ( i i p i i r 一1 + 1 1 f f r ) d r + l l p f f r + i f u t r + | | u “r ) j j ( p 一r ) mj lsi l ( p r h p ) dj + l i ( 1 1 a p r ) t t * l l so b ( i 忍玎f r + 忍cj k + j 只j j r + j j “f 引j r + j j 撕j r + j “l j r + jj p jj ，( 1 3 - 9 ) p t + ( i i p i i ，一1 + u 打) j o 下面估计 f ( u 一饥) f f 对妒e 铲( q ) ，令咖日2 ( q ) n 础( q )是辅助问题 牌三一， 1 1 咖1 1 2sc 1 1 妒1 1 ，( 1 3 1 0 ) ( ( u r * h ) u t ，币) = ( ( t 一矗 ) 卅，d i v ( a v 4 6 ) ) 4 - ( ( “一i i a “) t t t ，妒) = ( ( “一矗j , ) t t t ，d 如( ( o v ) ) ) 4 - ( ( 一1 - f h , u ) t “，妒) 1 2 在( 1 3 5 ) 中取 = ( d v ) 则有 ( ( u 一琥) 眦，d i ”( ( 。v 奶) ) = ( 3 口“( 尸一磊) t + 3 口t ( p a ) “+ a ( p 一磊) + 口眦( p 一磊) + 3 成t ( u 一矗 ) + 3 胁( u 诹) + 卢( “一讹) “+ 上觑t t ( u 蛳) 打，r i b ( a v e ) ) 一( 3 b t t ( u 一豇 ) + 3 b t ( u 一心 ) t + b ( u 一豆h ) t t + b t t ( u a h ) d f + ( u i i h u ) t u ，d i v n h ( a v e ) ) ， j o ( 1 3 1 2 1 从而由( 1 3 1 0 ) 和( 1 3 1 2 ) 可得 ( ( n “一面 ) ，d w ( n v ) ) ) sc ( 1 l p 一磊 i + i f ( p 一磊) + j l ( p a ) ”i i + j l ( e 一声 ) c “i | + “一心 f f + f i ( “一面 ) f f + i i ( “一矗 ) “i f + 1 1 u 一面h l i d r + i l ( u n h u h 1 1 ) l l 妒1 1 。o 1 3 ) 由( 1 3 1 1 ) ，( 1 3 1 3 ) 和引理l 3 1 ，( 1 3 9 ) 可得 i i ( u - 诹) i i 0 ，使得 i i p r s 饥r j l p j | r + o 。( 肛j | r + p | j r ) 打+ 4 0 ( 麦( ”谚p j j ；+ jj d i 叫国 + ( f d ；尸( 0 ) 孵+ d ；u ( o ) 肥) ) 出) ) ， i 沁一t 机i lsc h 7 l l p i j r + 1 1 u 1 1 r + ( 1 l - j l ，) d r + ( ( ( i i d p i i i + i i d n i i i ) j0j 0 = + ( jj d i p ( 0 ) i i ；+ 恻“( o ) ) d s ) 味 证明 令“一u = ( u 一讯) + ( “u ) = p + 0 ，p r = ( p 一磊) + ( 魂一r ) = q + f 由( 1 1 3 ) ，( 1 1 9 ) 和( 1 3 1 ) 得到误差方程 f ( o r t ，叫) + ( 威”彬) = 一( p m w ) ，v 甜w h ， k 旷( 口+ 上。b o d r 删+ ( z 触籼嘶 o 4 d 对( 1 4 1 ) 中第2 式求导且取t l j = o t ，”= f 得 ( o n , o r ) + ( 。l e + 。屯) 一( + 上b t o d l , 出口) + ( f 3 0 + o 岛口打，) = 一( p 批仇) ， 袅l i 吼1 1 2 + 击1 l o f i l 。 = 一她“) + ( 的+ o 。巩o d r , d i v ( ) 一( 卵+ z 2 即札f ) 一( 触，吼) c ( j l 引j 2 + 酬i 2 + o i l o l l 2 d 十+ | f 巩f f 2 + f f a f 2 + f | d 铀f f 2 ) 上式两端对时间同时积分，并且由日( o ) = 0 ，巩( 0 ) = 0 及g r o n w a l l 引理，( 】4 ，】) 第 1 式得 | i 吼f | 2 + 1 1 f 1 2s cf ( i i 口| f 2 + p 托2 十f f 戒u f 2 ) 打 n 。 (142)*t、o ， c 上( 1 1 口1 1 2 + 1 2 + 1 1 0 t t 晌打 又因护( o ) = o ，所以，口= z 最打，从雨由g r o n v c a l l 引理，( 1 4 2 ) 有 i i ojj 2 c 胸2 + j 2 溉 ( 1 删 1 4 1 1 1 1 2s 。，( | | 2 + i l o t 。1 1 2 ) d r ( 1 t 4 4 ) 对j i o t t lj 的估计 对( 1 4 1 ) 第1 式关于时间求导1 次，第2 式关于时间求导2 次得 f ( o u t , w ) + ( 以 f t ， ) ：一( p u t , w ) ，w h ， ( a “+ 2 啦矗+ 吨t ，”) 一( o t t + 2 b t o + 6 仇+ o 也t 口打，威 ”) + ( 2 风p + 卢巩( 1 4 5 ) 【+ z 岛。口打，u ) = 。，h 在( 1 4 ，5 ) 中取 u = o t ，”= 仇t + 2 1 l h ( b t o ) + l i b ( h o t ) + f i h ( b t t o ) d r ， ，l ，0 ( o r 钆+ 2 i i h ( b t 8 ) + ( 碱) + 上( b t 口) 打) + ( 啦f f + 2 a 矗+ 0 f l t ，矗 + ( 2 反目十卢巩+ o d r ，o t )( 1 4 6 ) j 0 = 一( n m 巩t + 2 i i h ( b t o ) + r t h ( b o t ) + i i h ( b t 口) 打) ， 岳c 日m 2 6 护+ 6 吼+ f o t b t t o d t ) = c 巩t t , 2 b t o + h o t + z ：；“一a r ，。，。， + ( o t t ，3 b t t o + 3 b t o t + b t t t o d r + h o t t ) ， ，u 吾l 五d f f 吼t f f 2 + j l 。d 。一 矗f f 2 = 一鑫( 口吣2 b t o + b d t + ，b u o d r ) + ( o t t ，3 b t t o + 3 b t o t + 6 巩+ b t t t o d t ) - ( a t d + 点h 2 岛口0 巩t o d e t ) 。删 t o 一( 凤批o t + 2 h h ( b t 。) + 1 h ( 6 ) + i o 1 - 1 h ( b t 口) 打) ；鑫t l l o t t l l 2 + 渤吲t 1 2 一瓤+ 溉+ t + c ( 1 i 圳2 堋i r ( 1 4 - 9 ) + l l o l l 2 + 1 1 0 1 1 2 d r + 1 1 6 1 1 2 + j 】引j 2 + jj p i j 2 ) 。 4d o 一1+ 7 1 5 上式两端对时间从0 到t 积分，注意到l l o “( o ) 1 1 1 l 阮( o ) 1 1 ，缸( 0 ) = o ，o r ( o ) = o 得 划钆| | ：+ 。 6 2 一( 如，2 玩口+ 6 岛+ z b l p d r ) + c j ( ( 钆1 1 2 + l l o t l l 2 删1 2 + 和2 删2 堋酬n 蚺“m 。) 由g r o n w a l l 引理及f 不等式得 i l 巩。1 1 2 + i i 已1 1 2 。( 1 l o l l 2 + i i 巩1 1 2 + i i 肌。( 。) 2 ) + c 上。( 1 l o l l 2 + i i 巩酽+ i k 1 1 2 + i i 见t 1 1 2 ) d s ( 1 4 1 1 ) 由( 1 4 2 ) 、( 1 4 3 ) 、( 1 , 4 4 ) 及( 1 4 1 1 ) 碍 2 兰c t ( 1 l p t t l l 2 + 慨1 1 2 ) 打 ( 1 4 1 2 ) c ，2 ( 1 i m t t i l 2 + i 所t | 1 2 + f i 以t ( o ) 1 1 2 ) d s ， j 0 恻2 s 。o ( 1 l v t “1 1 2 + i i p t 1 1 2 + i i 肌( o ) 1 1 2 ) 幽 ( 1 4 1 3 ) 所以得到以下估计 u t 1 isi i p i 【+ l i o l i 妯咿州| r + f o 删曲+ ( z 。( 犁3 。剐 ( 1 4 1 4 ) + | i d i 。i i ；) + 壹( i i d 尸( o ) j i ；+ l l d i 。( o ) | i ；) ) d 。) ) ， p 一晶i | s 淅i | 4 - 睢i c 郴r + 尉叫u 州卅甜4 0 ( 到3 。洲圳咖i ) + ( j 恻p ( o ) 孵+ 叫“( o ) ) 埘5 s c 删f p l i r + 翩p r + l ) 打+ ( 上( 参咖1 1 2 + f f 研“f f ；) + ( i l d p ( 0 ) l l ；+ 磁u ( o ) ；) ) d 8 ) ) - 忙o ( 1 4 1 5 ) 证毕 由定理1 4 1 的证明和三角不等式我们得到下面的定理 1 6 定理1 4 2令 p “) 和 r ，u ) 分别是( 1 i 3 ) 和( 1 i 9 ) 的解假设1s rs k + l ， p ，u ) ， p ，“ l 。( o ，t ；日( n ) 2 ) l 。( o ，t ；日7 ( n ) ) ，( 最“u u ， 最讹t l , t t t 三2 ( 0 ，t ；h r ( q ) 2 ) 工2 ( o ，t ；h 7c a ) ) 和n 是2 正则的，则对0 曼t t 存在不依赖于 h 和t 的常数c 0 使得 一 j j ( u 一 ) 圳sc h 1 1 p t fj ，+ j l p i i ，+ l i u t l l ，+ lj u lj r + ( i i p i i r + j j 训i r ) d r ，t 32 j 0 + ( f ( ( i d ；p i i ；+ f f q “旧+ ( f f d l e ( o ) l l ；+ d 知( o ) ) d s ) ) ， p r + 肛| | r ) d r d ；p ( 0 ) i i ；+ l i 功u ( o ) ) 幽) ；) 并且若d i v p l o 。( o ，r ；伊( n ) ) ，p l * ( 0 ，t ；日r ( n ) 2 ) ，则 现考虑l o o 。) 的误差估计。引入对于z n 如下定义的两对正则g r e e n ，s 函 数( 1 1 6 1 ) 和 ( 1 4 1 6 ) 口g 2 + v a 2 = 砖，。n ， d i v g 2 = 0 ，。0 ，( 1 4 1 7 ) 2 = 0 ，o n 其中讣和磅是对于= n 的正则d i r a c 函数满足 ，砰) = 叼( g ) ，v w w h ( ，砖) = ”( z ) ，讹 1 7 吖睦! l 匀 啦 嘲 附 州 卤铲卿 蛳吨 凼 打 j f u 詹 + h p 引 研 尔：b渤 + 卜 羚 陬 驯 斗 卜 缈 喇 卤铲掣 矾，厶 一 + r p “ d c ： 吐 茁 ， o n 0 f f z 姒 卜 仉 汁 蝎 = g 出 h ，iii_-j(-iii【 分别选择适当的点z 可以得到( f 1 6 的( 3 4 ) 式) i i i i o 。2 1 ( w ，砖) 川o ，。s2 f ( 裙) ( 1 4 1 8 ) ( 1 4 1 9 ) 令 g ，廿) x w h 是 g i ，a 1 ) 的混合有限元逼近，( g 2 ，世) w h 是 g 2 ，a 2 ) 的混合有限元逼近，则由【1 6 】有 由( 1 4 2 2 ) 和( 1 4 2 3 ) 有 j g c j l n 纠 ， g 2 1sc i i n h a 2 f f c ( i + fz h 1 ) ( 1 4 2 0 ) ( 1 4 2 1 ) ( 1 4 2 2 ) ( 1 4 2 3 ) 定理1 4 3令 p t 和f r ，“ 分别是( 1 1 3 ) 和( 1 1 9 ) 的解假设对ls r 尤+ 1 ，fp i t 上) 工( o ，t ；日7 ( q ) 2 ) 厶( o ，? ；w 7 ，。) ， 最，t t ， b t ，u u ， 毋幽) l 2 ( o ，t ；日7 ( q ) 2 ) x 工2 ( o ，e h 7 ( q ) ) 并且n 是2 正则的，则对0 tst 和0 0 ，使得 ，r t，t j l t 正一u i j o ，。sc 矿il n h j 1 1 钍l l r ，。+ 上j j t 上i l r o 。d r + j j p r + 上( | | t + i i p i j r ) d r + ( ( ( 1 i d ：p f f ；+ i i d n i ；) + ( i i d i p ( o ) i i ；+ l l d 扣( 0 ) f l ；) ) d j ) ， 。”i = oi = 0 ，t 2 j i p p h i l o ，o 。sc h ll n h l ； l l p l l 。+ jj ujj ，。d r + ( i j 历p r + j j d ；u r ) 2 + 。” i = 0 + ( i i d ；p ( o ) i i ，+ i i d ；u ( 0 ) l l ，) + | i p ，+ f ( i j 训i ，+ | | p i i ，) d r 宅3 2 ” + ( ( ( f 删引擘+ i i d n i ；) + ( i i d ；p ( o ) i i ；+ i 科“( o ) 旧) 出) 札 1 8 证明由( 1 4 1 ) 和( 1 4 1 6 ) 得 ( 目+ ti h ( 阳) d r ，6 ) = ( 口+ t l - i h ( 阳) d r , d i v g l 00 ) = ( 口+ i i h ( b o ) d r , d i v g h l ) o ! 。( 1 4 2 5 ) = ( 口+ zb o d r ，d g ) , 1 1 + c 上l o l l o , o o 打| i g 2 i f 0 ，1 由( 1 4 1 9 ) 、( 1 4 2 8 ) 和( 1 4 2 7 ) 得 i i f i i o , 一曼。洲u 一) 洲嘲+ 上( + 俐) 酬g j j | j g 1 ) s e h ( 1 + f1 n f ) ( i i d ；p i ，+ | f d ；u f ，+ f f d ；p ( o ) i i ，+ i i z ) b , ( o ) l l ，) 一 1 - o ( 1 - 4 2 9 ) ， 1 - ，j + 上0 1 p i i r + i l u ) d r + ( 上( ( 磷p 孵+ i i d b , , l l ；) + ( j f 磷p ( o ) 孵+ | | 废“( o ) 孵) ) d s ) ；) ”1 = 0= 0 1 9 由【1 】 l i p j l 。，。c r ( 恻。+ o