（应用数学专业论文）几类非线性三阶微分方程三点边值问题的正解.pdf

硕士学位论文 暑量曼曼鼍量皇曼曼i _ i i 一i i i h 曼皇曼舅曼舅 摘要 三阶微分方程起源于应用数学和物理学的许多不同领域例如，带有固定 或变化横截面的屈曲梁的挠度、三层梁、电磁波、地球引力吹积的涨潮等近年 来，三阶微分方程三点边值问题受到了人们的广泛关注因此，对三阶微分方 程三点边值问题正解的研究具有重要的现实意义 本硕士论文首先利用单调迭代法研究了一类非线性三阶三点边值问题，不 仅获得了其正解的存在性，还给出了正解的两个迭代序列其次，讨论了非线 性项含有未知函数一阶导数的三阶三点边值问题，不仅获得了其单调正解的存 在性，而且给出了单调正解的两个迭代序列值得一提的是，迭代序列的初值 是很简单的零函数或一次函数，这从计算的角度来说是非常有用和可行的最 后，运用g u o k r a s n o s e l s k i i 不动点定理考虑了一类带参数的非线性奇异三阶三 点边值问题在适当的条件下，研究了参数对其正解存在性的影响 关键词：三阶三点边值问题；正解；存在性；单调迭代法；不动点定理 a b s t r a c t t h i r d o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s ei nal o to fd i f f e r e n ta r e a so fa p p l i e d m a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ，e g ，i nt h ed e f e c t i o no fac u r v e db e a mh a v i n gac o n s t a n t o r v a r y i n gc r o s ss e c t i o n ，at h r e e l a y e rb e a m ，e l e c t r o m a g n e t i cw a v e so rg r a v i t y d r i v e nf l o w sa n ds oo n r e c e n t l y ，t h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( b v p sf o r s h o r t ) f o rt h i r d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v er e c e i v e dm u c ha t t e n t i o n t h e r e f o r e 。 i ti s s i g n i f i c a n tt os t u d yp o s i t i v es o l u t i o n so ft h r e e p o i n tb v p so ft h i r d o r d e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i st h e s i s ，w ef i r s ti n v e s t i g a t ep o s i t i v es o l u t i o nf o rac l a s so fn o n l i n e a r t h i r d - o r d e rt h r e e p o i n tb v p b yu s i n gm o n o t o n ei t e r a t i o nm e t h o d t h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n si so b t a i n e da n dt w oi t e r a t i v es e q u e n c e so fp o s i t i v es o l u t i o n sa r e g i v e n s e c o n d ，w ea r ec o n c e r n e dw i t hac l a s so fn o n l i n e a rt h i r d o r d o rt h r e e p o i n t b v p , w h e r en o n l i n e a rt e r mc o n t a i n sf i r s td e r i v a t i v eo fu n k n o w nf u n c t i o n b y a p p l y i n gi t e r a t i v et e c h n i q u e s ，w en o to n l yo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fm o n o t o n ep o s i t i v e s o l u t i o n s ，b u ta l s ot w oi t e r a t i v es e q u e n c e so fm o n o t o n ep o s i t i v es o l u t i o n sa r eg i v e n i ti sw o r t hm e n t i o n i n gt h a tt h e s ei t e r a t i v es c h e m e ss t a r t o f fw i t hz e r oo rl i n e a r f u n c t i o n s ，w h i c hi sv e r yu s e f u la n df e a s i b l ef o rc o m p u t a t i o n a lp u r p o s e f i n a l y , w e c o n s i d e rac l a s so fn o n l i n e a rs i n g u l a rt h i r d o r d e rt h r e e p o i n tb v pw i t hap a r a m e t e r b yu s i n gg u o - k r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m u n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s ，w e i n v e s t i g a t et h ee f f e c to fp a r a m e t e ro nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s k e yw o r d s ：t h i r d - o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p o s i t i v es o l u t i o n ； e x i s t e n c e ；m o n o t o n ei t e r a t i o nm e t h o d ；f i x e dp o i n tt h e o r e m 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：智z 翟 日期：幻o 年岁月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：李 导师签名：0 士 e t 期：7 , o 年5 月彳e 1 日期：p 1 年月以日 五千f 翻走 硕士学位论文 曼量曼曼量皇皇量曼曼皇量鼍皇皇蔓皇曼皇曼曼曼曼量暑量詈曼吕量曼曼量鲁曼曼曼皇量皇皇舅曼皇曼尝曼曼曼曼曼曼曼皇量昌曼曼曼曼1j , 一 i 鼍皇量_ 第1 章引言 1 1 课题研究背景及本文主要工作 随着科学技术的进步与发展，常微分方程在自然科学、社会科学和技术科学 等领域的应用日趋广泛比如，在非线性扩散、气体动力学、流体力学、物理学、 种群动力学、自动控制、生物学、化学、医学和经济学等领域都提出了大量由微 分方程描述的具体的数学模型 在微分方程理论的定解问题中，边值问题同数学物理问题密切相关微分 方程边值问题是数学家们用“分离变量法 求解二阶线性数学物理方程时提出来 的直到二十世纪初，由h i l b e r t 和b o c h e r 奠定微分方程边值问题的理论基础 正解理论作为微分方程边值问题研究领域的一个重要分支，近年来有了迅速的 发展国内外文献中关于这一课题的论文已有数百篇，一九九四年以来连续出 版的有关边值问题正解理论的专著达3 本b - 3 微分方程多点边值问题在应用数学，物理学等领域都有广泛的应用具体 的有工程学上均匀杆轴向受力问题、曲n 部分不同密度构成的均匀截面的悬链线 的振动问题、两定点的悬链受力问题、弹性稳定性问题等【4 1 对线性二阶微分方 程多点边值问题的研究由文献 5 ，6 开始，而非线性二阶微分方程多点边值问题 的研究源于g u p t a t 7 1 自此出现了许多研究非线性二阶多点边值问题的工作，见 文献 8 一i s 随着对二阶多点边值问题更广泛的研究，三阶多点边值问题也逐 渐成为人们热衷研究的对象，但迄今为止，对三阶多点边值问题的研究工作相 对较少，这就为我们研究三阶多点边值问题提供了广阔的空间 三阶微分方程起源于应用数学和物理学的各个不同领域例如，带有固定 或变化横截面的屈曲梁的挠度、三层梁、电磁波、地球引力吹积的涨潮等 1 6 1 近 年来，由于三阶微分方程在不同学科领域有着重要的应用价值，所以对非线性 三阶微分方程边值问题的研究引起了数学工作者的极大兴趣，并取得了一些成 果如文献 1 7 - 2 5 研究了一些三阶两点边值问题，其中y a o 和f e n g t 2 0 l 研究了 三阶两点边值问题 i “_ ( f ) + ( f ，”( f ) ) = 0 ，t 0 ，l 】， 1 “( o ) = “( o ) = ”( 1 ) = o 解的存在性，所用主要工具是上下解方法而文献 2 6 - 3 9 研究了一些三阶多点 边值问题尽管对三阶多点边值问题已经有很多的工作，但现有文献大多是以 各种不动点定理为工具的譬如，a n d e r s o n t 拍1 通过运用著名的g u o k r a s n o s e l s k i i 几类非线性三阶微分方程三点边值问题的正解 不动点定理和l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理得到了边值问题 i ，o ) = f ( t ，工o ) ) ，f l f 5 f 3 ， 0 毗) = z ( 如) = o ；厂毛) + 蹦( 毛) = 0 正解的若干存在性和多重性结果在2 0 0 8 年，g u o ，s u n 和z h a o t 2 7 1 考虑了下述 三阶三点边值问题 i “_ 0 ) + 4 0 ) 厂( “o ) ) = 0 ，t ( o ，1 ) ， 【“( o ) = “( o ) = o ，“( 1 ) = 口“( ，7 ) 其中0 r 1 且1 口 二通过运用g u o k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，在非线性项 刁 满足超线性或次线性的条件下得到了上述边值问题至少一个正解的存在性结果 然而，我们以上所提及的有关三阶多点边值问题的研究工作中，大多数文 献所关注的仅仅是相应边值问题正解的存在性，而很少有文献考虑到正解的计 算近来，迭代法已被成功的运用于证明非线性微分方程边值问题正解的存在 性，见文献 1 0 ，1 3 ，1 5 ，2 1 本文第二章运用单调迭代法研究边值问题 i 铭_ o ) + 口( f ) 厂( “( 嘞= 0 ，t ( o ，1 ) ， 【“( o ) = “( o ) = 0 ，“( 1 ) = 口“( ，7 ) ， 其中0 ，7 1 且1 口 一1 值得一提的是，我们不仅获得了上述边值问题正解 ，7 ， ( 非平凡的非负解) 的存在性，还给出了正解的两个迭代序列，并且迭代序列的 初值是很简单的零函数或一次函数，这从计算的角度来说是非常有用和可行的 当非线性项含有未知函数的导数时，对边值问题正解的研究就会面临很多 困难，因此大多数针对边值问题正解的研究工作都假定非线性项不含有未知函 数的导数本文第三章将在第二章的基础之上研究非线性项含有未知函数一阶 导数的三阶三点边值问题 f “一o ) + 厂o ，铭( f ) ，”( f ) ) = 0 ，t ( o ，1 ) ， 【“( 0 ) = “( o ) = 0 ，“( 1 ) = 口“( ，7 ) ， 1 其中0 ，7 l 且l 0 ，使当i l 五l l = i k 4 = 1 ，为ek ，而k 时，恒有8 + x ：i i - 6 ，则称锥足是正规的 定义1 2 3 4 1 1 设彳是度量空间x 的子集，如果对彳的任何一族开覆盖，都有有 限的子覆盖，则称彳是紧的；如果彳的闭包彳是紧的，则称彳是相对紧的或致密 的 定义1 2 4 【机1 设x ，y 是赋范线性空间，r ：x _ y ，如果r 将x 中的有界集映成y 中的相对紧集，则称r 是全连续的 3 几类非线性三阶微分方程三点边值问题的正解 皇暑鼍鼍置皇曼曼曼皇量曼量曼曼曼置鲁量量曼曼皇曼鼍曼舅量寰鼍曼曼曼曼曼鼍皇曼曼曼曼曼i i 鼍曼鼍寰鼍曼皇曼曼皇曼曼量曼舅舅曼量皇罾皇曼皇曼皇詈量量曼曼量量鼍舅皇冒 定理1 2 5( a r z c l a a s e o l i ) 定理4 2 】集合ace t a ，b 】是列紧的充要条件为下列两 个条件均成立： ( 1 ) 彳是一致有界的，即存在常数m ，使对一切的x a ，均有 l x ( t ) l m ，t e a ，6 】； ( 2 ) a 是等度连续的，即对任意的g 0 ，存在艿( 占) 0 ，使得对任意的 x ( f ) a 及任意的 ，乞 口，胡，只要i - t ：i 8 ，就有 i 工( 矗) 一工( 乞) i 占 定理1 2 6 ( 勒贝格控制收敛定理) 嘲设m e 0 0 ， 五( 对 是e 上的可测函数列， 并且l i m 五( 曲= 厂( 曲( 口力，若存在一个e 上的勒贝格可积函数g ( 功，使得在e 上 i z ( 功isg ( 功( 口- d ，n = l ，2 ，n ， 则f ( x ) 在e 上勒贝格可积，并且 i e f ( x ) d m = 舰正( 力拥 定理1 2 7 ( 锥拉伸与压缩不动点定理) 【柏，删设嚣是b a n a e h 空间，kce 是一个锥， q i ，q 2 都是e 中的有界开子集，使得0 q t ，q lcq 2 ，又设a ：k k 是全连续算 子，如果下列条件之一满足： ( 1 jl i a u l l l l u l l ，“k r 、孢：；或者 ( 2 ) l i a 1 i l i u i l ，“足r 、施。且l i a u l l l l u l l ，u e k n c a q ：， 则彳在kr 、( 孬：q 。) 中至少有一个不动点 4 硕士学位论文 第2 章一类非线性三阶三点边值问题的正解 2 1 引言 三阶微分方程起源于应用数学和物理学的各种不同领域中，例如，带有固 定或变化横截面的屈曲梁的挠度、三层梁、电磁波、地球引力吹积的涨潮等【l 们 最近，三阶三点边值问题正解的存在性受到了人们的高度重视 2 6 - 3 卵，但现有文 献大多是以各种不动点定理为工具的譬如，文 2 7 考虑了如下三阶三点边值 问题 ：茹黎揣墨竺嚣 亿- ， 【“( o ) = “( o ) = o ，“( 1 ) = 口“( ，7 ) ， 、7 其中0 刁 1 且1 口 一1 通过运用g u o k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，在非线性项 r 满足超线性或次线性的条件下得到了边值问题( 2 1 ) 至少一个正解的存在性结果 近来，迭代法已被成功的运用于证明非线性微分方程边值问题正解的存在性， 见文献 1 0 ，1 3 ，1 5 ，2 1 本章将运用单调迭代法来研究边值问题( 2 1 ) 值得一提的是，我们不仅获 得了边值问题( 2 1 ) 正解( 非平凡的非负解) 的存在性，还给出了正解的两个迭代 序列，并且迭代序列的初值是很简单的零函数或一次函数，这从计算的角度来 说是非常有用和可行的本文的工具是下面的定理： 定理2 1 1 4 q 设k 是b a n a c h 空间e 的一个正规锥且v o w o 假定下述条件满足： ( 1 ) t ：，w o 】j e 是全连续的： ( 2 ) z 在 ，】上是单调递增的： ( 3 ) 是z 的下解： ( 4 ) 是? 的上解 若构造= 砜- l ，= 玑- i ，靠= 1 ，2 ，3 ，则有 m s 屹w 一m w o ， 且 v 。) 二与“ 二分别收敛于r 的不动点v , w e v o ，嘞】 本章假设下述条件成立： ( 4 ) f c ( 【0 ，o o ) ，【0 ) ) ； ( 4 ) a c ( 【o l 】，【0 o o ) ) r 恒为零 5 几类非线性三阶微分方程三点边值问题的芷解 2 2 预备知识 引理2 2 1 【2 7 】设口刁1 ，则对于任意给定的h q o ，l 】边值问题 f “_ ( f ) + j i l ( f ) = 0 ，te ( 0 ，1 ) ， 【“( o ) = “( 0 ) - 0 ，”( 1 ) - - o f _ u ( ，7 ) 有唯一解 “( f ) = f g o ，s ) h ( s ) d s ，f 【0 l 】， 其中 g o ，s ) = 2 ( 1 j - 【- a t 一) ( 2 t s s 2 x 1 一口巧) + f 2 s ( a 一1 ) ， t 2 ( 1 一a t ) + t 2 s ( a - 1 ) ， ( 2 t s s 2 ) ( 1 一a q ) + t 2 ( a r t j ) ， t 2 ( 1 一s ) ， ssm i n 切，t ) t j 叩， ，7 j t ， m a x r l ，f ) s 以下总是假定1 口 一1 令 r g ( s ) ：! ! 生s ( 1 一j ) ，s o ，1 】 1 一a t 引理2 2 2 【2 7 1 对于任意的( f ，j ) 0 ，l 】又【0 ，1 ，o g ( t ，s ) 留( j ) 引理2 2 3 1 2 7 1 对于任意的( f ，s ) 【翌，巧】【o ，l 】，o ( t ，s ) zr g ( s ) ，其中 o or 存在常数r 0 使得 f ( u 1 ) 0 ， o t v o ( t ) t v ( t ) = v o ) w ( f ) ，f 【旦，7 】 硕上学位论文 第3 章一类非线性三阶三点边值问题的单调正解 3 1 引言 当非线性项含有未知函数的导数时，对边值问题正解的研究就会带来很多 困难因此，大多数针对边值问题正解的研究工作都假定非线性项不含有未知 函数的导数本章将在边值问题( 2 1 ) 的基础之上研究非线性项含有未知函数一 阶导数三阶三点边值问题 ：黼盘0 絮翥x n ， i “( o ) = “( o ) = ，“( 1 ) = c z “( ，7 ) ， 、7 其中0 刁 1 且1 口 一1 通过利用单调迭代法，我们不仅得到了边值问题( 3 1 ) 巧 单调正解的存在性，而且给出了单调正解的两个迭代序列值得一提的是，迭 代序列的初值依然是很简单的零函数或一次函数 3 2 主要结果 在本章的剩余部分，我们总是假设o ，7 lgl 0 使得 f ( t ，h ) f ( t ，“2 ，v 2 ) a r ，0 t 1 ，0 “l u 2 r ，0 h v 2 r ， ( 3 2 ) 则边值问题( 3 1 ) 存在单调正解 证明：记e = c 1 o ，1 】，定义其中的范数为= m a x m f 【。a ，x 。】l “( f ) i ，黝p ( f ) i ) 令 k - u e ：”( f ) o ，“( f ) 0 ，t o ，1 ) ， 易知k 为e 中的正规锥，而( e ，k ) 为半序b a n a c h 空间 若定义算子t ：k e ： m ) ( f ) = r g ( f ，s ) 厂( 删( s ) ，“( j ) 灿，f 【o ，l 】， 9 几类非线性三阶微分方程三点边值问题的t f 解 则 ( r u ) ( f ) = 【g f ( f ，s ) f ( s ，“( s ) ，甜( s ) 涉，t 0 ，1 】， 再由引理2 2 2 可知t ：k 专k 显然，r 的不动点即为边值问题( 3 1 ) 的单调正解 令v o ( t ) = o w o ( t ) = r t ，t 【o ，1 】，我们分如下四步来证明 第一步：t ：【v 0 ，w o 卜k 是全连续的 首先，我们证明r 为紧算子设dc 【v 。，w o 有界，只需证明f ( d ) 是k 中的相 对紧集考虑任意点列 w 。一。o r ( d ) ，则存在扣。) ：。cd 使得r ( u 。) = 雌显然 o ( f ) r ，0 0 ，使得 对任意的，乞 o ，1 ri t , 一乞i 万，有i g f ( ，s ) 一g r ( 乞，j ) i 志，s 【o ，l 】因此， i 以( ) 一以( 岛) | - l ( 死。) ( f ) 一( 死。) ( 乞) = i f ( g f ( 秘) 一g t ( t 2 ，呦，纵n 姒劝凼i f lg f ( os ) 一q ( 乞，s ) 矿( 删t ( s ) ，“) 凼 = g ， 这意味着 以( t ；。是等度连续的由a r z e l a - a s c o l i 定理可知， 嵋) 毛。在c o ，l 】中 有收敛子列因此 ) ：。在k 中存在收敛子列 其次，证明t ： v o ，w o 】j k 是连续的 i o 硕士学位论文 假设u r a ，“，w o 且l l u 辨一“l f o ( m _ ) 由引理2 2 2 和式( 3 2 ) 可知，对于 所有的m ，有 g ( t ，s ) f ( s ，( s ) ，吒( s ) ) t g ( s ) f ( s ，u 肿( s ) ，“：lo ” 川增( s ) ，( f ，s ) 0 ，l l x 0 ，1 】 且 g f ( f ，s ) f ( s ，o ) ，吒o ) ) g ( s ) f ( s ，o ) ，“：( s ) ) 刖融( s ) ，( f ，j ) 【0 ，1 】【0 ，1 】 由定理1 2 6 可得 l i m ( t u 。) ( f ) = l i m g ( t ，s ) f ( s ，o ) ，o ) ) 凼 m - - a om 州 = f ：l i mg ( t ，s ) f ( s ，。o ) ，。( s l s ) f ( s u u ) 出 = 【l i m ，。( j ) ，。 ) 凼 = rg ( f ，s ) 邝，。l i mu , 。( s ) ，熙“。7 ( s ) ) 幽 = c g o ，s ) 厂( j ，“( j ) ，“7o ) ) 凼 = ( z k ) ( f ) ，t f o ，1 1 且 l i m ( t u 。) ( f ) = 熙f g f ( f ，s ) ( s , u m ( s ) ，( j ) ) 西 = f 。l i r a 。g t ( t ，j ) ( 删。( s ) ，“。( s ) ) 幽 = fg f o ，s ) 厂( s ，熙“。o ) 。l i r au ( s ) ) 凼 = f g t ( t ，s ) 厂( s ，材( j ) ，“( s ) ) 出 = ( 死) ) ，t 0 ，1 1 ， 这表明r ： v o ，w o 专k 是连续的 综上所述，r ： v o ，w o 一k 是全连续的 第二步：我们断言r 在 v o ，】上是单调递增的 假设“，ve v o ，w o lru o 从而， o 0 ，0 0 是参数且口( f ) 在t = o 和( 或) t = 1 处具有奇性当厂和a 满足适当条件时， 对一定取值范围内的旯，获得了上述边值问题正解的存在性或不存在性 本章首先给出以下条件： ( q ) 口，y ，p 是非负常数且满足p + r 0 ，0 0 ； 4 2 预备知识 引理4 2 1 3 0 1 设对任意给定的y c o ，1 】，边值问题 1 4 硕：l 二学位论文 有唯一解 其中 g ( t ，s ) = i “_ ( f ) + y ( f ) = 0 ，t ( o ，1 ) ， i u ( o ) - a u ( o ) = “( p ) = p u ( o ) + 朋。( 1 ) = 0 一 “( f ) = j ：g ( f ，s ) y ( s ) d s ，te o ，1 】， s 2 船+ 了， 丢( 2 骝+ 抽， 被称为g r e e n 函数 j m i n p ，f ) ， 0 t s p s l ， 丽p + r - p s ( 2 p o t + 2 p t - t 2 ) + 华，哟螂矧， 等睾(2pa+2pt-t2)2 ， h m s ( 3 u a ；x , x l a u + y z p ) 、 q 。4 引理4 2 2 若( q ) 一( 皿) 成立，则对任意的( t ，j ) 0 ，1 x o ，l 】，0 g ( t ，s ) g ( p ，s ) 证明：由文献【3 0 可知g ( t ，s ) 0 下面只需证明对任意的( t ，s ) 【0 ，1 】【o ，l 】， g ( t ，s ) g ( p ，s ) 如果t p ，我们分如下三种情形来证明 情形1 ：当s t 时，显然成立； 情形2 ：当0 t s p i 时， g ( t ，s ) 一g ( p ，s ) = 专t 2 - s + 2 t s - t 2 ) - ( 2 a j + 2 p s - p 2 ) 】 = ( 2 绍一2 芦一广+ p 2 ) 、 i， = 专o p ) ( 2 s o + p ) ) 寺o p ) ( 2 s 一2 t ) 0 ； 情形3 ：当p s 时， 洮s ) 一鼬j ) = 夏p + + r ，- 一p s p ) ( 2 p a t + 2 p t - t 2 ) 一( ( 2 p a + 2 p 2 - p 2 ) 】 一p + r - s )= 一 - j 7 几类非线性三阶微分方程三点边值问题的正解 =一iti业+y-tip)“-2(tit i p p ) 2 = = 一一i z 一，- ， 0 如果t p ，我们只需证明当0 p s f l 时的情形，此时， 讹沪g ( ”) = 万f l + + y r 一- t i p s ( 2 p t _ f l _ p 2 ) + 扣叫2 。叫2 】 = l ( t + p - 2 s ) ( 户+ r 一p ) 一( t iirtis)(t4-一p ) 】 = 一 sh ，】+ 一， 刀- 一一一刀l l 2 ( t i + r - p p ) 7 、7。7。 ：上里一 ( p s ) ( 2 t i i 2 r 一肛一t i p ) - i - 2 = 一乃一s 一， f 一 ( t i + r - t i p ) 、1 。 = _ l ( p s ) ( 2 一f p ) i2r4- = 一i 乃一s ，i 三一f 一刀- 2 ( t i + r - t i p ) 、1 7 、17 0 综上所述，g ( t ，s ) g ( p ，j ) ，( t ，s ) e o ，1 x o ，l 】 为方便起见，令 北) = 哿小 o ，l 】， 则易证 m i n t ，l - t q ( t ) l ，t 0 ，1 】 引理4 2 3m 1 设“c 3 【o ，l 】满足( 4 1 ) 中的边界条件且“胛( f ) 0 ，t 【0 ，1 】，则 ( 1 ) “( f ) 0 ，t 【0 ，l 】； ( 2 ) “o ) 0 ，t 0 ，p 】且“) 0 ，t p ，1 】； ( 3 ) u ( p ) = l l p l l ； ( 4 ) u ( t ) g ( f ) 砧( p ) ，t 【0 ，1 】 记e = c l o ，l 】，定义其中的范数为i = t , l a 焉l “( f ) 卜令 k = ”e ：“( p ) 0 ，g o ( p ) “( f ) “( p ) ，f o ，1 】 在k 上定义算子五如下： ( 珈) ( f ) = 五上g ( f ，s ) 口( j ) 厂( “( s ) ) 幽，f 【o ，l 】 由引理4 2 1 及引理4 2 2 可知，对于任意的u k ，( 五“) ( f ) 0 ，t 【0 ，1 】再根据引 理4 2 3 可知五岱) c k 在本章的剩余部分，我们需要下述条件： 1 6 硕 学位论文 ( 凰) 口c ( ( o ，1 ) ， o ，) ) ，o 上g ( p ，j ) 口( s ) 出 ，o oku & ，由引理4 2 2 可知 l ( 乙“) ( f ) 一( 乃“) ( f ) l = l 允fg ( f ，s ) l 口( s ) 一吒( j ) l 厂似( j ) ) 凼i 兄f g ( p ，s ) - - a n ( s ) l 厂( “( s ) ) 凼 + 五三g ( p ，s ) ) 一( s ) l 厂( “( s ) ) 出 一0 0 专) ， 这表明l0 2 ) 在b 月中一致收敛于五，这样我们就证明了五：k 。k 是全连续算 子 4 3 主要结果 为方便起见，记 爿= f g ( p ，j ) 口( j ) g ( s ) 凼， b = f g ( p ，s ) 口o ) d s ， 耻掣l i m 印华， 肛磐l i mn f 掣， 只：l i ms u p 丛尘，无：l i mi n ff ( u ) “” u u - - + 4 - o o u 1 7 几类北线性三阶微分方程三点边值问题的正解 定理4 3 1 假设( 马) 一( 吼) 成立且。 a v o o ，使得 ( “) ( 磊+ s ) ，”“o ，足】对“尺且i l u l l = e 、，我们有 i i 五u l l = ( 疋“) ( p ) = a f g ( p ，s ) 口( s ) 厂( 甜( s ) ) 凼 力fg ( p ，s ) 口o ) ( r + s o ) a s 五( 磊+ s ) f g ( p ，s ) 口o ) a s = 1 ( f o + 占) b l l u i l - i l u l l ， 这样，若令q = 缸e ：i l u l l o ，使得厂( “) ( 兀一8 ) u ，“ 厶) 令r = m a x 2 p 、，詈) ， 若“k 且i l u l i = r ，则对于c c r 2 工 因此，当”k 且= r ：时，有 i i t a i = ( t 。u ) - i l u l l ， 故，若令q ：= 伽e ：i l u l l - i l u l l ，“k r 、视： ( 4 3 ) 因此，由式( 4 2 ) ，( 4 3 ) 及定理1 2 7 ( 1 ) 可知，算子l 有一个不动点 坝t 字位论义 , i 一一, i ii-=ii-ii l l = , 皇皇曼皇曼皇曼曼曼鼍 “k n ( f 2 ：f 2 。) ，该不动点即为边值问题( 4 1 ) 的一个正解 定理4 - 3 2 假设( 马) 一( 只) 成立且。 b f 。 0 ， 厂 ) ( 五一p ) u ，“ o ，玛】对于材k 且l l u i i - - 忍，有 慨“8 = 仍“) ( p ) = 允上g ( p ，s ) 4 ( s ) ，( 材( s ) ) 凼 旯( 石一p ) f g ( p ，j ) 口o o ) 出 旯( 兀一p ) l b i ifg ( p ，s ) 口( j ) g ( j ) d s = 五( 五- p ) a u u i i ， 这样，若令q ，= 伽e ：m l ，则有 i i 五u l l - l l u l ，u e k n o q ， ( 4 4 ) 接下来，我们构造q 。，由瓦的定义可知，存在 0 ， 使得 f ( u ) ( c + c r ) u ，”【n ，佃) 我们考虑以下两种情形： 情形1 ：如果厂是有界的，即就是f ( u ) m ，u 0 ，佃) 取 冠= m a x 2 r ，a m b ，则对于任意的“k 且l l u l l _ 心，有 恢“i l = ( 五“) ( p ) = 旯f g ( p ，j ) 口( j ) ( “( s ) ) 凼 s 旯j ：g ( p ，s ) 口( s ) m d s s 丸b m = 删， 故，慨“排 情形2 ：如果厂是无界的，取墨m a x 2 r 3 ，册，使得 f ( u ) ( 心) ，材 o ，r 】， 那么对于任意的甜k 且删= 凡，有 忆“忙( 五“) ( p ) = a 上g ( p ，s ) 口( s ) 厂 ( j ) ) 凼 五fg ( p ，s ) 口( s ) f ( r 4 ) d s 五j ：g ( p ，s ) 口( j ) ( 只+ 盯) r 幽 1 9 几类非线性三阶微分方程三点边值问题的正解 五( 兄+ 盯) i 卜i irg ( p ，s ) 口( s ) a s 旯( e + 盯) b l l u l i - l l u l l ， 故，0 五“i l | 因此，若设q 。= 和e ：m i 蜀) ，则 i i r a l - o