（应用数学专业论文）一类随机泛函微分系统的h∞分析与综合.pdf

摘要 摘要 日。控制的主要思想就是对最大干扰情况下的最坏外部输 入设计一个控制器，从而使闭环系统的性能最优化，使得从干 扰输入到输出的传递函数的范数最小。 本文考虑了一类ito 型随机泛函微分系统及非线性时滞随 机微分系统的矾分析、综合和滤波问题。第二章，研究了该系 统的风分析问题，运用了r a z u m i k h i n t y p e 定理，得到了随机，一 稳定的一个充分条件( 如定理2 3 1 所示) ，结合耗散性方法得 到了基于t t j b 不等式的系统随机，一稳定的一个充分条件( 即推 论2 3 3 ) ，推论2 3 4 是保证系统内部稳定和外部稳定同时成 立的一个充分性判据。进而将得到的随机泛函微分系统的结论 应用到非线性时滞随机微分系统的研究，并获得了几个易于验 证的随机y 一稳定性判据。末章节，例证分析了所得结论的有效 性。第三章运用r a z u m i k h i n t y p e 定理和状态反馈的方法研究 了此系统的巩综合问题，即根据hjb 不等式为此系统设计了一 个日。控制器，使系统达到期望的性能指标( 如定理3 3 1 所示) 。 在第3 4 和3 5 节中将得到的结论对非线性时滞随机微分系统 和半线性系统加以应用，得到了几个更为一般性的控制器设计 方法( 见定理3 4 1 、推论3 5 1 ) 。第四章利用状态估计的方 法，考虑了非线性时滞随机微分系统的也滤波问题，其中系统 的参数设置相似于w a ng 12 。建立了一个矾滤波器，使得对所 有允许的不确定性参数，动态系统的估计误差稳定且保留期望 的滤波性能。在4 5 节应用m a t 1a b 列举了一个数值例子来说 明结论的正确性。 关键词：比分析，风综合，。滤波，r a z u m i k h i n - t y p e 定理， 厶增益，随机泛函微分系统。 摘要2 h 。a n a l y s i s a n d s y n t h e s i s o fac l a s so fs t o c h a s t i c f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m s a b s t r a c t t h ee s s e n t i a li d e ao fh 。一c o n t r o li st od e s i g nac o n t r o l l e rs u c h t h a tt h ep e r f o r m a n c eo ft h ee l o s e dl o o ps y s t e m si so p t i m i z a t i o n a n dt h eh t n o r mo ft h et r a n s f e rf u n c t i o nf r o mt h ed i s t u r b a n c e i n p u tt ot h ec o n t r o l l e do u t p u ti sm i n i m i z e d i n t h i s p a p e r ，t h eh 。a n a l y s i s ，s y n t h e s i s a n d f i l t e r i n g p r o b l e m o fac l a s so fi t os t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l s y s t e m sa n dn o n l i n e a rs t o c h a s t i cs y s t e m sw i t hd e l a ya r es t u d i e d t h e 风a n a l y s i sp r o b l e m a r ec o n s i d e r e di n c h a p t e r 2 a s u f f i c i e n tc o n d i t i o ni se s t a b l i s h e df o rt h es t o c h a s t i c 厂- s t a b i l i t y o fs t o c h a s t i cs y s t e m sb yu s i n gt h er a z u m i k h i n - t y p et h e o r y ( s e e t h 2 3 1 ) c o m b i n i n g w i t h t h e d i s s i p a t i v em e t h o d ，a n o t h e r s u f f i c i e n tc o n d i t i o ni so b t a i n e do nt h eb a s i so ft h eh j b i n e q u a l i t y ( i e c o r 2 3 3 ) t h ec o r 2 3 4i sas u f f i c i e n tc r i t e r i o n t h a tg u a r a n t e e st h es y s t e m st ob ei n t e r n a ls t a b ili t ya n de x t e r n ，a l s t a b i l i t y t h e nt h er e s u l t sa r em a d ea p p l i c a t i o nf o rt h en o n l i n e a r s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l s y s t e m w i t hd e l a y ，s e v e r a ls t o c h a s t i c 7 - s t a b i l i t yc r i t e r i o n st h a ta r ee a s i e rt ob et e s t e da r ea c h i e v e d i n t h el a s ts e c t i o no ft h i s c h a p t e r ，s e v e r a le x a m p l e si n t e r p r e tt h e v a l i d i t yo ft h ec o n c l u s i o n s i nt h ec h a p t e r3 ，t h eh 。s y n t h e s i s p r o b l e ma r es o l v e db yv i r t u eo ft h er a z u m i k h i n t y p et h e o r ya n d n o n l i n e a rs t a t ef e e d b a c kt e c h n i q u e ，t h a t i s ，w ed e s i g nah 。 c o n t r o l l e ri nt e r m so f s o l v i n gh j be q u a t i o n ss u c ht h a tb o t h s t o c h a s t i cs t a b i l i t ya n da n t i c i p a n t h 。p e r f o r m a n c ea r es a t i s f i e d ( s e et h 3 3 1 ) m o r e o v e r ，i nt h es e c t i o n3 4a n d3 5 ，w e a p p l ie d t h ec o n c l u s i o n st ot h en o n l i n e a rs t o c h a s t i cs y s t e m sa n dq u a s i 1 i n e a rs y s t e mw i t hd e l a y ，s e v e r a lm o r eg e n e r a ld e s i g nm e t h o d so f 摘要3 c o n t r o l l e ra r ea c q u i r e d ( s e et h 3 4 1a n dc o r 3 5 i ) f i n a l l y ，i n t h e4 伯c h a p t e r ，o u ra t t e n t i o ni sf o c u s e do nt h e 矾f i l t e r i n g p r o b l e mo ft h en o n l i n e a rs t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t h d e l a y h mf i l t e r i n gp e r f o r m a n c eo ft h es y s t e ma r ea n a l y z e da s t h ep a r a m e t e r so ft h es y s t e ma r es i m i l a ra sw a n g z 【12 】，a n da h 。f i l t e r i n gi sd e s i g n e ds u c ht h a t ，f o ra l la l l o w a b l eu n c e r t a i n t y ， t h ed y n a m i c so ft h ee s t i m a t i o ne r r o rr e m a i n ss t a b l ew h i l ec e r t a i n d e s i r e df i l t e r i n g p e r f o r m a n c e a r eg u a r a n t e e d m o r e o v e r ，t h e i l l u s t r a t i n ge x a m p l ei sg i v e nt os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h e p r o p o s e dm e t h o db yu s i n go fm a t l a b g u o l i a n gw e i ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) s u p e r v i s e db yh u i s h e n gs h u k e y w o r d s ：h 。a n a l y s i s ，h 。s y n t h e s i s ，h 。f i l t e r i n g ，r a z u m i k h i n - t y p e t h e o r y ，厶g a i n ，s t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l s y s t e m 附件一： 东华大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风。所呈交的学位论文，是本人在导师 的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已明确注明和引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品及成果的内容。论文为本人亲自撰写， 我对所写的内容负责，并完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期：山嗲年 荔眈 l 其1 蠢b 附件二： 东华大学学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅或借阅。本人授权东华大学 可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文a 保密凹，在l 年解密后适用本版权书。 本学位论文属于 不保密口。 学位论文作者签名： 施酩 b 强：浒 其 筘 指导教师签名： 日期：贫啤厂月炉 一类随机泛函微分系统的h 分析与综合 第一章绪 论 1 1 课题的缘起、研究背景及研究现状 稳定性问题是控制系统、最优估计的基本问题，是系统首要必 须保证的性质。对系统运动稳定性的分析是系统与控制理论的一个 重要组成部分。在稳定性理论发展进程中最伟大的事件是俄国数学 力学家l i a p u n o v 在18 9 2 年完成的博士论文运动稳定性的一般问 题，从而奠定了运动稳定性的坚实基础。随机系统稳定性的研究 近年来发展十分迅速。f r i e d m a n 1 】，h a s m i n s k i i 2 】，m o h a m m e d 3 】 等著作都比较详细地讨论了随机系统的一系列稳定性。文献 m a o 4 币l j 用l i a p u n o v 方法研究了非线性随机微分方程 d x ( t ) = f ( t ，x o ) ) 出+ g ( t ，x o ) ) 矗以f ) ，t 0 x ( t o ) = x o 的指数稳定性。 m a o 5 利用r a z u m i k h i n 方法研究了滞后型随机泛函微分方程 d x ( t ) = f ( t ，x ，) d t + g ( t ，_ ) 咖( f ) ，t 0 x o = 亏，t = x 0 + o ) ：一t 0 0 ) 的p 阶矩指数稳定和几乎必然指数稳定，在一定的条件下得到如下 结果：对所有的亏c 兰( 卜厂，o 】；尺“) ，t 0 e i x ( t ；亏) l ，- 0 ，c ( 卜，o 】；尺”) 表示连续函数q ：卜，i ，0 卜r ”的 族，定义函数的范数为l i ( i , l l = s u p 一压眩。i r a ( o ) ! ，这里1 1 是f 中的欧基里德 范数用嚷( 【一r ，o 】；r “) 表示所有的c ( - r ，o 】；r ”) 中取值五可测的有 界随机变量。对，0 ，用最( 【一广，o 】；r ”) 表示c ( - r ，o 】；) 中取值巧可 测的随机变量巾= 巾( o ) - r e o ) 的族，并且有s u p 一，蚋如e l 巾( o ) 1 2 面。 让r ( q ，r ) ( k 1 ) 表示从( q ，只尸) 到r 平方可积的函数空间。对任 意0 t o ，e ( s u p o i ，g 扛( j ，善) l b 0 使得对任何亏嚷( 【一，o 】；r ”) 有 五f 研d ec e h 2 ，o 这里x ( ) = x ( ；o ，亏) 是系统( 2 2 1 ) 从亏( i 。e ，v ( t ) = 0 时) 出发的自由 轨道。 定义2 2 ：系统( 2 2 1 ) 称为是外部稳定的，或者丫稳定，或者 有厶增益小于等于丫，如果它的零状态响应( x ( 0 ) = 0 ，v ( 0 ) = 0 ， 一，0 0 ) 满足： l i z ( s ) l l k 丫) 忆 对所有的v ( ) e ( r ；r ( q ，r ，) ) 和t 0 。 首先，我们应用m a o 【5 】的方法建立一个r a z u m i k h i n 型引理 引理2 2 1 设入，c l ，乞都是正数并且q 1 。假设存在一个函数： v ( t ，x ) c 2 1 ( 【一，) r ”；r ) 使得： c li x 2 v ( t ，x ) 乞l x l 2 ( f ，x ) 卜，o o ) xr “( 2 2 2 ) 对所有的，0 ，当巾= 巾( o ) ：一，0 0 最( 【一，o 】；r ”) 满足 e v ( t + 0 ，巾( 0 ) ) q e v ( t ，巾( 0 ) ) 一，0 0 ， 有 e c v ( t ，巾) - l e v ( t ，巾( 0 ) ) 。 ( 2 2 3 ) 一类随机泛函微分系统的h 分析与综合 则对所有的亏c 五b ( 【一，0 】；r “) ，0 e n ( 蚓2 西s c e h 2 ( 2 2 4 ) 证明：固定号c 羔( 【一，o 】；尺”) 且简记x ( f ，亏) = x ( f ) 。设y = 面n 九，l o g ( q ) r 和任意的( o ，y ) ，并且让丫= y 一。 定义： u ( f ) = “m a 唧x p 7 e v ( t + 0 ，z ( f + 。) ) 】，对t o 由于e ( s u p 。盘gl x ( s ) | 2 ) 0 0 ，x ( f ) ，y ( ，x ) 和e v ( t ，x ) 都是连续的。因此， u ( f ) 的定义是成立的并且也是连续的。 我们可以知道： d + u ( f ) - _ l i m s u p 巡掣o ，o 。 ( 2 2 5 2 ) o +刀 为了证明该结论，对每一个t o ( 暂时固定) ，定义 石= m a x 0 卜，o 】：p i ( f 州) e v ( t + 0 ，x o + 0 ) ) = u ( f ) 显然，0 是容易定义的，且0 卜，0 】，u ( f ) = e 7 “o e v ( t + 0 ，x ( t + 0 ) ) 。 如果0 0 ，则有： p 7 “+ e 1 e v ( t + 0 ，x ( t + 0 ) ) 0 因此， 就有u ( t + 办) = 0 和d u ( t ) = 0 成立。 而当e v ( t ，x ( f ) ) 0 成立时，从( 2 2 6 ) 式有结论 e v ( t + 0 ，x ( t + 0 ) ) 0 一定成立，因此有d u ( t ) = 0 。 不等式( 2 2 5 ) 得到证明。 从不等式( 2 2 5 ) 立即有： u ( t ) u ( o )对所有的t 0 根据u ( t ) 的定义和条件( 2 2 2 ) ，我们可以看到： e i x ( ) 1 2 詈e 2p 七叶 对上式两边在区间 o ，t 】上积分并对t 取极限有： ， i mpe l x ( j ) rd s l i m gf 0 2 e _ ( y _ o s d s 因为是任意的，通过计算我们就可以得到需要的结论。 在下面的定理中，我们用r a z u m i k h i n 方法讨论系统( 2 2 1 ) 的厶增益问题。 2 3 系统的厶增益分析 定理2 3 1 假设有函数v ( t ，x ) c z l ( 卜，) r ”；疋) ( v ( t ，0 ) = o ) ，y 0 ，一 九 0 和q l 使得下面的条件对系统g 的每一个轨道x ( f ) 都成立。 ( i ) 对t 0 ，如果e v ( t + 0 ，x ( t + 0 ) ) q e v ( t ，x ( f ) ) ，0 【一，0 】， 则有e e v ( t ，五) 丫2 圳v ( f ) 1 1 2 - e i i z ( o i l 2 ( 2 3 1 ) 一类随机泛函微分系统的h 分析与综合 ( i i ) 对f o ，e i l z ( f ) 0 2 九e y o ，x ) + y 2 e i i v , ) 1 1 2 ( 2 3 2 ) ( i i i ) 时滞界满足： 口一1 ， l q l ( 2 3 3 ) 则系统( 2 2 1 ) 有厶增益小于等于丫。 证明：让x ( t ) 表示系统( 2 2 1 ) 的轨道，其初始条件满足 x ( 0 ) = o 和v ( o ) = 0 对所有的一，0 0 。 然后定义： z ( f ) = f 丫2 e ) 1 1 2 一e ) 1 1 2d s - e v ( t ，砷 ( 2 3 4 ) 和 t = f iz o ) o ，f - r ，佃) ( 2 3 5 ) 下面我们要用反证法证明t = 由。 假设t 巾，因为对所有的t 卜，0 】，有，( ，) = 0 ，所以我们有【一厂，0 】旺t 因此有结论t = i n f ( r ) 0 可以看到对所有的r 卜，f 】，l ( t ) = 0 和 f ( f ) 0 成立。 因此，对0 【一厂，0 】， 一十e，x(7+oev(t i ) 垮n 2 e ) 1 1 2 - e i i z 一u 2d s + e ， i ) ) 【丫2 e l i ，o ) i l 一 e v ( 一t ，x ( _ ) ) 一f + 。y 2 e ) | 1 2 - e ) 1 1 2 d s e v ( 一t ，x ( - ) ) + 九f ，e v ( 蹦( s ) ) 凼 se g ( t ，x ( t ) ) + l r s u p 一，o s oi e v ( t + o ，x ( t + o ) i 因此，对所有的一，0 0 有： e v ( t + 0 ，x ( t + e ) ) 0 ，如果存在光滑的函数 v ( t ，功c 2 ：( 一，) r ”；疋) ( v ( t ，o ) = o ) 使得下面哈密尔顿不等式成立 五【圪+ 护( 群吃岛) + 专k 9 2 t 匕t 】+ 圭研磊r 磊】o ( 2 3 8 ) 则我们有e e v ( t ，t ) 丫2 e l l v ( o l l 2 - e l l z ( , ) 1 1 2 。 证明：通过完全平方技巧，从引理的条件我们容易得到： e e v ( ，t ) = 一吉y 2 e 卜7 i 纠_ r , , - ，r 8 1 1 2 + 吉y 2 刚1 2 + e v , f + 号t r ( g r v = 9 1 ) + 专吒9 2 t y ，t 】 因此，e e v ( ) 丫2 刚1 2 一矧z l l 2 _ 丫2 e 卜7 i 纠t 。t l l 2 丫2 e 2 一e 2 证明完成。 推论2 3 3 假设存在光滑的函数v ( t ，x ) c 2 1 ( 卜，0 0 ) r ”；r ) ( v ( t ，o ) = 0 ) 丫 o ，九 0 和g 1 使得下面的条件对系统g 的每一个轨道x ( f ) 都成 立。 ( i ) 对，o ，如果e v ( t + 0 ，x ( t + 0 ) ) s q e v ( t ，工0 ) ) ，0 卜，0 】 那么 e k 厂+ 吉，( g j 吃g i ) + 专屹9 2 9 2 t r ，t j 卞i 1e 【办7 j 1 2 】o ( 2 3 9 ) ( i i ) 对t o ，e l l z ( ，) 1 1 2 九e 矿( ，x ) + y 2 eu v 0 ，q o ，c 2 0 和q 1 使得下面的条件对系统g 的每一个轨 道砸) 都成立。 ( i ) q 盯v ( t ，功c 21 x 1 2 ( i i ) 对t 0 ，如果e v ( t + 0 ，工o + e ) ) q e v ( t ，工( r ) ) ，0 卜，0 】 那么 e f l v ( t ，) + l e v ( t ，x ) 0( 2 3 1 0 ) ( i i i ) 对t o ，e l l z ( t ) 1 2 l 。假设存在一个光 滑函数v ( t ，工) c 2 。( 卜，) r ”；r ) ( v ( t ，0 ) = 0 ) 使得下面的条件对系统 ( 2 4 1 ) 的每一个轨道x ( f ) 都成立。 ( i ) q l x 2 v ( t ，x ) - c ：l x l 2 o ，x ) 卜，o o ) x r ”， k ( i i ) 对，o ，e y o ，x , ) 0 ，互2 0 ) 8 2 _ 1 3 e v ( t ，力+ y 2 e | | v ( ，2 ，夕= 2 一g 名 ( 2 。4 3 ) ( i v ) 时滞界满足： 则系统( 2 4 1 ) 内部稳定且有厶增益小于等于丫。 证明：定义：对| r o 和矽c ( 卜，0 】；尺”) ， f ( t ，妒) = f ( t ，伊( o ) ，妒( 一4 0 ) ) ，垆( 一皖( f ) ) ) ， 蜀( f ，秒) = g ；( f ，缈( 0 ) ，尹( 一点( ，) ) ，缈( 一坑0 ) ) ) ， 一l 扒 ， l ， o ，假设有非负数q ，岛，q ，0 f k ，使得下 面的条件对系统( 2 4 1 ) 的每一个轨道x o ) 都成立。 ( i ) x r f ( t ，x ，m ，儿) - - 兄l x l 2 对所有的( f ，x ) 卜，o o ) 尺“( 2 4 5 ) ( i i ) i f ( f 册一，o ) 一f ( f ，；，耻一，训卜x l + 喜q l y , i ( 2 4 6 ) t r a r ( f ，工，m ，儿) g ( f ，x ，m ，儿) 1 2 6 0i x l 2 + 圭2 6 i1 只f 2( 2 ，4 7 ) 一类随机泛函微分系统的h 分析与综合 x r g 2 ( f ，x ，m ，儿) v ( f ) c oi x l 2 + kc ，i 1 2 对所有的t 0 ，x ，x ，m ，y k r ” ( i i i ) 对，o ，e l l z ( t ) 1 1 2 - p l x l 2 ， ( 2 4 8 ) k = 名一( 6 0 + c o + ( ( 1 + g ) q + g 勿+ g q ) ) ( 2 4 9 ) ( i v ) 时滞界满足： ， 6 0 + c j + ( ( 1 + g ) q + 9 2 j i + g q ) 则系统( 2 4 1 ) 内部稳定且有厶增益小于等于丫。 证明：让v ( t ，x ) = 盯，则 e e v ( t ，五) = x r f ( t ，x ，o ，o ) + 2 x 1 f o ，z ，m ，y k ) - f ( t ，x ，o ，o ) 】 + 吉护( 口0 ，x ，m ，y k ) v 。g l ( t ，x ，m ，耽) ) + 圪g 2 ( t ，x ，乃，y k ) v ( t ) 一名i x l 2 + 2 kq i x l | 咒i + 6 0 i x l 2 + 壹岛l m l 2 + 【c 0 i x l 2 + kq i 乃1 2 】 i = li = li = 1 注意基本不等式“告v “+ 专1 ， 对“，1 ，0 这样 i x l l y , l = ( i x l 2 ) 圭( 坩) - o ， ( 2 5 2 ) 则( 2 5 1 ) 的零解内部稳定并有岛增益小于等于丫。 例子2 5 2 ：考虑下面半线性随机时滞微分系统： 篡叫酬二支_ 删舢g l ( 誓渺o ) + g 2 ( 砂( f 渺 ( 2 5 3 ) 【z ( f ) = h ( t ，x ( f ) ) 、7 这里 彳= ( 三三) ，f c 9 ，= ( q 乞，) ，q c 伊? = ( 吒：矽， ， 嘶，= c 一，) ，脚，= ( 2 0 纠)g 2 ) 2 l 吒( 妒) c _ j 日劬) 2 l 2 吼( 伊) j q ，吼，吒，吼：c ( - x ，0 】；r 2 ) 寸r 都是局部l i p s c h i t z 连续，而且： l q ( 缈) i v i 吼( 缈) l v l 乃( 伊) l v l 吼( 矽) l i 伊( 秒) p 乡，( p c ( 一百，o 】；月2 ) 如果 f o 因此，对任意的巾喙( 【一t ，o 】；尺2 ) 满足 e y ( 巾( e ) ) 归矿( 巾( 0 ) ) ，0 一下，0 】，可以得至0 ： e e v ( t ，五) 一丫2 e i i v 1 1 2 + ei z ( t 1 1 2 o 另外，通过选择合适的兄我们总能得到条件( 2 j 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 由帝王单2 3 1 结论成立。 一类随机泛函微分系统的分析与综合 第三章一类随机泛函微分系统的玩综合 3 1 引言 非线性矾控制是近年来十分热门的一个研究方向，并涉及到 工程控制中的扰动衰减等问题。v a nd e rs c h a f t 8 ，19 】等人对非线 性系统风控制理论的发展做出了重要贡献。给出了一种解决非线 性风状态反馈控制的方法，即把问题归结为h j b 不等式的可解 性，这类似于线性系统风理论中的r i c c a t i 方程。 近年来，随机日。控制理论发展十分迅速，但其主要成果集 中在线性随机系统。如m a r i t o n 16 】、j i 和c h i z e c k 18 】等在也空 间上对i t o 型线性s d e 做了很多工作。非线性随机系统的控制理 论研究成果则较少见。 本章我们将要利用r a z u m i k h i n t y p e 定理讨论一般的随机范 函微分系统 d x ( t ) = f ( t ，x , ) d t + g l ( f ，五) 咖( f ) + 9 2 ( f ，x t ) v ( t ) d t + 9 3 ( t ，x t ) u ( t ) d t 薯= x ( t + o ) ：- - 1 ；0 o ) ，t 0 z o ) = ( x ( ，) ) + 七( j c ( f ) ) v ( f ) 的玩控制问题找到理想的控制器，并将其结果对非线性多时滞随 机微分系统和半线性随机系统加以应用。 3 2 问题的描述 在这一章中我们考虑如下系统的也综合问题： jd x ( t ) 2 f ( j i 鼍，粤? ，? l 咖( ) + g ：( f ，薯) v o ) 衍+ 9 3 ( t , 薯) 甜( f ) 衍 ( 3 2 1 ) iz ( f ) = 厅( x ( f ) ) + j | ( x ( f ) ) 1 ，( f ) 在这里v ( t ) ，u ( t ) 分别表示外部干扰输入、控制输入，。z ( ，) 表示控 制输出。 定义3 1 状态反馈控制u ( t ) = 三 ( f ) ) 是一个以控制，如果闭环系统 即当输入v ( t ) = 0 时是渐近稳定的，并且厶增益小于等于l ，也就 是： ) 忆) 忆 一类随机泛函微分系统的以分析与综合 对所有的1 ，( ) e ( r ；r ( q ，r ，) ) 和t 0 。 3 3 以控制存在的充分条件 定理3 3 i 假设存在一个光滑的能量函数v ( t ，x ) c 2 1 ( 一厂，o o ) xr ”；皿) ( v ( t ，0 ) = 0 ) 使得下面的条件对系统( 3 2 1 ) 的每一个轨道x ( f ) 都成 立。 ( i ) 对每一个轨道x q ) ，j 一2 k r ) 七( x ) 0( 3 3 1 ) ( i i ) 对每一个轨道x ( ，) ，h r ( x ) 办( x ) o 5 p v ( x )( 3 3 2 ) ( i i i ) 对t 0 ，如果e v ( t + 0 ，x ( t + e ) ) q e v ( t ，x p ) ) ，0 卜r ，0 】， 则有，e i - i ( v , ，v ，x ) = e ( v , f d t + 6 v ( t ，x ( f ) ) + 三t r t g f v 搿g , 一三圪岛爵哆柑办 + 百1l t y 工t + 2 k r 办) r 【，一k r 计1 ( 9 2 t y 。7 + 2 k 7 办) 】 0( 3 3 3 ) ( i v ) 时滞界满足： 厂 盟( 3 3 4 ) g 系统有一个玩控制器： 砸) = - 丢咖) 警( 删 ( 3 3 5 ) 证明：由条件( 3 3 1 ) 、( 3 3 2 ) 有： 0 z ( f ) 0 2 = 0 办( x o ) ) + 七( x ( f ) ) 1 ，( ，) 1 1 2 2 h r ( x ( ，) ) 办( x ( f ) ) + 2 v 7 ( f ) 后7 ( x ( f ) ) 七( x ( f ) ) 1 ，( f ) p v ( x ) + v r ( f ) 1 ，( r ) v 1 1 2 再由条件( 3 3 1 ) 、( 3 3 3 ) 、( 3 。3 5 ) ，通过完全平方技巧可知： e c 矿( 誓) = e ( v ，f d t + i if 厂l g l t 比9 1 + v x 9 3 材( f ) + 圪9 2 v o ) 一类随机泛函微分系统的以分析与综合 e 【圪9 2 v ( f ) - c v ( t ，x o ) 一h 7 ( x o ) ) 厅( x o ) ) 一百i l , 9 2 t t y r 工t + 2 j | r 办) 7 【，一k r k - 1x ( 9 2 t y ，t + 2 七r 办) 】 一占e v ( t , x ( ，) + e 【0 1 ，( f ) 0 2 - - o z ( ，) 0 2 一i | ，一k r 七】必【“( f ) 一毒【，一k 丁尼】- 1 ( 纠t ，t + 2 矿( x ( ，) ) ( x ( f ) ) 】1 1 2 】 (