（应用数学专业论文）辫子交叉张量范畴的构造.pdf

摘要 本文主要通过弱h o p f 代数，h o p fm o n a d s 及余环上的余模范畴来构造了一类新的辫子 张量范畴及交叉辫子张量范畴( 即t u r a e v 范畴意义下的辫子张量范畴，简称为辫子f 范畴) ， 本文由以下六章组成： 第一章简要介绍了辫子张量( 弘) 范畴及h o p f 代数的历史背景，研究现状和本文的主要 研究结果 第二章假设a u t 。a k h 印，( 日) 表示所有带有双射反对极的弱h o p f 代数日的自同态( 见 f 5 】等) 并且g 表示固定的交叉积群a u t 仰。a k h 印s ( h ) a u t 伽e a k h 印，( 日) 根据p a n a i t e 和s t a i c ( 2 0 0 7 ) 3 9 】的思想我们引进了一类新的范畴h w y ：d 月( 乜，p ) ，由所有弱( q ，卢) 一y e t t e r - d r i n f e l d 模组成，这里o t ，p a u t 。o 七日吖( 日) 我们得到w y v ( h ) = w y v 月( q ，p ) ) ( a ，卢) g 是群g 上的辫子l 范畴最后，当h 是有限维时，我们在一簇弱s m a s h 积代数 h 。c o p 挣q a ，p ) ) ( 口，卢) g 基础上构造了个拟三角弘余代数w d ( h ) = w d ( 日) ( 口，卢) ) ( 口，卢) g 推广了p a n a i t e 和s t a i e ( 2 0 0 7 ) 3 9 】等人的主要结果 第三章首先研究了弱口代数的基本定义及一些相关性质，其次给出了弱t 代数上弱 d o i - h o p f 模范畴和弱y e t t e r - d r i n f e l d 群模范畴的定义，得到弱y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴是一 类特殊的弱d o i h o p f 群模范畴的结论，称之为c a e n e p e e l - m i l i t a r u - z h u s 定理( 1 3 1 ) ，简称为 c m z 一定理 第四章我们研究了群e n t w i n e d 模范畴并构造了一类辫子张量范畴首先我们研究了群 e n t w i n e d 模范畴何时成为张量范畴，然后我们在此张量范畴上构造了一簇辫子，得到形成一 个辫子张量范畴的充分必要条件我们将得到的结论应用到一般的e n t w i n e d 模范畴和( q ，p ) 一 y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴上作为例子 第五章主要是在h o p fm o n a d s ( 【3 3 】) 及余环上构造一类新的辫子张量范畴首先我们研 究了e o m o n a d 上的余模范畴，我们给出此范畴成为张量范畴的充分必要条件，即要求问题中 的m o n a d 和e o m o n a d 均为b i m o n a d 并满足一些相容条件然后我们构造了一簇辫子，得到 一个辫子张量范畴余环是一类特殊的c o m o n a d ，所以作为应用，我们研究了严格对称范畴 中的余环上的余模范畴和向量空间中的余环上的余模范畴，分别给出了这两类范畴构成辫子 张量范畴的充分必要条件 第六章讨论弱h o p f 代数上的交换对首先我们给出了弱d r i n f e l d 量子偶d ( 日) 然后我 们得到如果日是半单的弱h o p f 代数且有鼠= 瓦，那么量子偶d ( h ) 在日上的作用和特征 函数c ( h ) 在h 上的作用形成一个交换对最后我们证明了每个单d ( 日) - 子模的维数是h 的维数的因子 关键词，弱h o p f 代数；弱弘代数；( o l ，p ) 一y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴；弱h o p f 开余代数； 弱d o i - h o p f 群模；辫子t - 范畴；辫子张量范畴；h o p fm o n a d ；余环； ( 群) e n t w i n e d 模范 畴 a b s t r a c t 。i h em a i na i mo ft h i st h e s i si st oc o n s t r u c tan e wc l a s so fb r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r i e s a n dc r o s s e db r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r i e s ( ab a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r yi nt h et u r a e vc a t e g o r y , d e n o t e db yb r a i d e dt - c a t e g o r yi ns h o r t ) o v e rw e a kh o p fa l g e b r a s ，t h ec a t e g o r i e so fc o m o d u l e s o ft h eb i m o n a d sa n dt h ec o r i n g s t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gs i xm a i np a r t s i nc h a p t e r1 ，w eg i v eac o m p r e h e n s i v es u r v e yo ft h eb a c k g r o u n d sa n dm o d e md e v e l o p - m e n t so fb r i a d e dm o n o i d a l ( t ) c a t e g o r ya n dh o p fa l g e b r a s a tl a s t ，w es h o wt h em a i nr e s u l t s o ft h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，l e ta u t 加e 础日硝( 日) d e n o t et h es e to fa l la u t o m o r p h i s m so faw e a kh o p f a l g e b r ah w i t hb i j e c t i v ea n t i p o d ei nt h e8 e i l s eo fb s h me ta 1 【1 】a n dl e tgb eac e r t a i nc r o s s e d p r o d u c tg r o u pa u t e 硪h 哪，( h ) a u t 伽e 口七日叩，( 日) a c c o r d i n gt ot h ei d e a so fp a n a i t ea n d s t a i c ( 2 0 0 7 ) 3 9 1 ，w ei n t r o d u c eac l a s so fn e wc a t e g o r i e sh w y i ) 月( q ，p ) o fw e a k ( q ，p ) 一y e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e sw i t h 口，p a u t 加e 。七日o p ，( 日) a n dw es h o wt h a tt h ec a t e g o r yw y l g ( h ) = w y v 月( q ，p ) ) ( 口，卢) gb e c o m e sab r a i d e dt - c a t e g o r yo v e rg f i n a l l y , w h e nh i sf i n i t e - d i m e n s i o n a lw ec o n s t r u c taq u a s i t r i a n g u l a rw e a kt - c o a l g e b r aw d ( h ) = d ( 日) ( a ，卢) ) ( 口，卢) g o v e raf a m i l yo fw e a ks m a s hp r o d u c ta l g e b r a s h 唧移甄口，卢) ) ( a 。卢) g w eg e n e r a l i z et h em a i n r e s u l t so fp a n a i t ea n ds t a i c ( 2 0 0 7 ) 3 9 i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c et h eb a s i cd e f i n i t i o na n ds o m er e l a t i v ep r o p e r t i e so fw e a k t - a l g e b r a t h e nw es t u d yt h ec a t e g o r i e so fw e a kg r o u pd o i - h o p fm o d u l e sa n dw e a ky e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e s ，a n dg e tt h er e s u l tt h a tt h ec a t e g o r yo fw e a ky e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e si sa s e p e c i a lc a s eo ft h ec a t e g o r yo fw e a kg r o u pd o i - h o p fm o d u l e s ，c a l l e di tc a e n e p e e l - m i l i t a r u - z h u st h e o r e m ，i e c m z 一t h e o r e m i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h ec a t e g o r yo fg r o u pe n t w i n e dm o d u l e sa n dc o n s t r u c tan e w c l a s so fb r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r y w ef i r s ti n v e s t i g a t eh o wt h ec a t e g o r yo fg r o u pe n t w i n e d m o d u l e sc a nb em a d ei n t oam o n o i d a lc a t e g o r y t h e nw ec o n s t r u c tb r a i d i n g so nam o n o i d a l c a t e g o r yo f7 r e n t w i n e dm o d u l e sa n dg e tt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sm a k i n g i ti n t o ab r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r y a tl a s tw ea p p l yo u rr e s u l t st ot h eg e n e r a lc a t e g o r yo fe n t w i n e d m o d u l e sa n dt h e ( a ，p ) 一y e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e sa se x a m p l e s i nc h a p t e r5 ，w ei n v e s t i g a t ea n o t h e rb r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r yo v e rb i m o n a d s ( 3 3 】) a n dc o r i n g s w es t u d yh o wt h ec a t e g o r yo fc o m o d u l e so ft h eb i m o n a d sc a nb em a d ei n t oa l u m o n o i d a lc a t e g o r y i ts u f f i c e st h a tt h em o n a da n dc o m o n a di nq u e s t i o na r eb i m o n a d s ，w i t h s o m ee x t r ac o m p a t i b i l i t yr e l a t i o n o nam o n o i d a lc a t e g o r yo ft h ec o m o d u l e so ft h eb i m o n a d s ， w ec o n s t r u c taf a m i l yo fb r a i d i n g sa n d m a k ei ti n t oab r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r y s i n c et h e c o r i n g sb e l o n gt ot h ec o m o n a d s ，a sa na p p l i c a t i o n ，w ec o n s i d e rt h ec a t e g o r yo fc o m o d u l e so f t h ec o r i n g si nt h es t r i c ts y m m e t r i cc a t e g o r ya n di nt h ev e c t o rs p a c e ，a n dg e tt h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n sr e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r6 ，w ed i s c u s st h ec o m m u t i n gp a i ri nw e a kh o p fa l g e b r a l e thb aaw e a k h o p fa l g e b r a ( q u a n t u mg r o u p o i d s ) t h e nw ef i r s tc o n s t r u c tan e ww e a kd r i n f e l dd o u b l ed ( 日) n e x tw ep r o v et h a ti fhi sas e m i s i m p l ew e a kh o p fa l g e b r aw i t hg t = 邑，t h e nt h ea c t i o no f d ( h ) o nha n dt h ea c t i o no ft h ec h a r a c t e ra l g e b r ac ( h ) o nh f o r mac o m m u t i n gp a i r f i n a l l yw eg e tt h ed i m e n s i o no fe v e r ys i m p l ed ( h ) - s u b m o d u l ei nh i sad i v i s o ro fd i m ( h ) k e y w o r d s ：w e a kh o p fa l g e b r a ；w e a kt - a l g e b r a ；t h ec a t e g o r yo f ( a ，) 一y e t t e r - d r i n f e l d m o d u l e s ；w e a kh o p f7 r - c o a l g e b r a ；w e a kg r o u pd o i - h o p fm o d u l e s ；b r a i d e dt - c a t e g o r y ；b r a i d e d t e n s o rc a t e g o r y ；h o p fm o n a d ；c o r i n g ；t h ec a t e g o r yo f ( g r o u p ) e n t w i n e dm o d u l e s 1 v 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 研究生签名：日期： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括 刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 研究生签名s导师签名： 日期： 第一章绪论 1 1 课题背景及发展状况 f i e l d s 奖获得者d r i n f e l d 的贡献是发现了量子群在数学中的应用，从那以后，量子群成 为物理学家与数学家十分感兴趣的研究领域这类量子群又与非交换几何密切相关( 见【1 8 】) 即研究非交换代数，因为某类空间上的算子构成了一类非交换的代数这种非交换几何的一 个有趣的例子可由量子群( 非交换非余交换h o p f 代数) 给出( 见【4 3 】) d r i n f e l d 的观点是，量 子群是拟三角h o p f 代数而且，对任意有限维h o p f 代数，d r i n f e l d 构建了著名的d r i n f e l d 量子偶，这是一类特殊的拟三角h o p f 代数拟三角h o p f 代数的拟三角结构为诺贝尔物理学 奖获得者杨振宁先生提出的量子y a n g - b a x t e r 方程提供了解拟三角h o p f 代数其有限维表 示范畴在j o y a l 和s t r e e t 2 7 意义下为辫子张量范畴，辫子张量范畴中的辫子”结构恰好 就是量子y a n g - b a x t e r 方程的解 2 0 0 0 年，t u r a e v 4 6 】引入了辫子交叉范畴( 简称为辫子弘范畴) 的概念，这个范畴是 定义在一个群g 上，而且可以认为是n e y d y e t t e r 交叉g - 集合范畴( 【2 0 】) 中的辫子张量范 畴这类范畴可以产生带有目标空间k ( g ，1 ) 的三维同伦量子域理论并在构造同伦不变量中 有重要的作用辫子交叉张量范畴在量子群，低维拓扑，三维流形，辫理论，扭结理论等都 有许多重要的应用特别是，这类辫子交叉张量范畴可以从h o p f 交叉群余代数的模范畴得 到在这篇博士学位论文中，我们的主题就是构造新的辫子交叉范畴和辫子张量范畴，提供 更多的同伦不变量和量子y a n g - b a x t e r 方程的解 上世纪4 0 年代初，h o p f 在研究拓扑群的上链时构造了一类较为复杂的代数结构一h o p f 代数1 9 6 5 年，m i l n o r 与m o o r e 的开拓性文章【3 4 】的发表奠定了h o p f 代数的基础自此 以后，h o p f 代数引起数学家的广泛关注，特别是近二十年来，前苏联数学物理学家d r i n f e l d 有关量子群的引入，伴随着k a p l a n s k y 某些猜想的部分解决，h o p f 代数的结构日臻完善， 其理论亦获得发展，逐渐发展成为成熟的个代数分支广泛应用于表示论，流形，李代数， 组合数学，拓扑量子场论以及算子代数等 h o p f 代数的发展，即比h o p f 代数结构弱，但又与h o p f 代数紧密相关的代数结构，至 今有很多方向的推广，丰富了h o p f 代数的理论 第一，量子群胚是h o p f 代数很重要的一种推广弱h o p f 代数或量子群胚( 见【3 6 ) 是 h o p f 代数、群胚代数的推广，它的具体定义可见【5 】弱h o p f 代数与h o p f 代数相同的是，它 同时具有代数与余代数结构相比h o p f 代数弱的条件是余乘、余单位的乘法及对级的性质， 】 第一章绪论 所以在具体计算中计算量及计算难度都比h o p f 代数情形增加许多 第二，t u r a e v 【4 6 首先引进了h o p f 丌一余代数的概念2 0 0 2 年，v i r e l i z i e r 在文献【5 1 】 中首先从代数的角度对h o p f7 r 一余代数作了系统的研究由h o p f 丌- 余代数的不对称性，我 们可以得到它的对偶概念，h o p f7 r 代数 z u n i n o 5 7 和w a n g 【5 4 】则是从代数角度最早 对h o p f 丌_ 代数做出全面的研究2 0 0 6 年，c a e n e p e e l 等f l l 】对h o p f 丌- ( 余) 代数给出了一 种新的解释他们通过构造两类特殊的范畴t u r e a v 范畴和z u n i n o 范畴，证明了h o p f 丌- ( 余) 代数正是z u n i n o 范畴中的h o p f 代数这使得h o p f7 r 一( 余) 代数的结构有更清楚的描述 第三，s w e e d l e r ( 1 9 7 5 ) 给出余环的概念，它是余代数的推广余环可以用来作为著名的 j a c o b s o n - b o u r b a k i 定理的对偶的解释余环还为下面一些理论的研究提供了一个统一且简单 的框架，如g a l o i s 理论，d e s c e n t 理论，f r o b e n i u s 函子，对偶定理和m a s c h k e 型定理等( 见 【1 2 】) 1 9 9 8 年，b r z e z i n s k i 和m a j i d 提出了e n t w i n i n g 结构和e n t w i n e d 模的概念( 见文献 2 】) e n t w i n e d 模指的是一个向量空间同时是一个代数上的模与余代数上的余模使得这个模 与余模满足一些相容条件，e n t w i n e d 模包括了l o n g 模，y e t t e r - d r i n f e l d 模和d o i - h o p f 模 等e n t w i n e d 模不需要d o i - h o p f 模的定义中必不可少的双代数，同时有例子表明，e n t w i n e d 模是d o i - h o p f 模的真推广而e n t w i n e d 模是一类特殊的余环上的余模，所以研究很广的余 环上的余模的性质是十分有意义的 h o p f 代数最近比较前沿的研究方向是m o n a d 和c o m o n a d 以及乘子h o p f 代数等等( 见 文献 7 】，【4 8 】和【4 9 】) ，这是本博士学位论文后续研究方向 1 2 本文的主要结论 本文主要是通过弱h o p f 代数，群e n t w i n e d 模范畴，h o p fm o n a d 及余环上的余模范畴 来构造辫子张量范畴及交叉辫子张量范畴 1 2 1 构造弱h o p f 代数上的一类新的辫子n 范畴 文献【3 3 】中定义了( q ，p ) 一y e t t e r - d r i n f e l d 模的概念并构造了h o p f 代数上的一类辫子弘 范畴，进一步地，他们还考虑了个新的h o p f 丌- 余代数 这一章的想法是考虑上面这些概念与结论在弱h o p f 代数上是否存在与成立结合文献 【1 6 】的思想，给出了弱( 0 f ，p ) 一y e t t e r - d r i n f e l d 模的定义再利用文献 3 9 】的思想建立了弱h o p f 代数上的一类辫子弘范畴最后研究了如何由一个弱h o p f 代数构造一个弱h o p f 丌- 余代 数 这一章主要有如下结果。 2 第一章绪论 ( 见命题2 3 3 ) 设m h w y d h ( q ，p ) 和n h w y 矽h ( ，y ，6 ) 定义m n = ( 。，口) 是 范畴h w y 口h ( ( a ，p ) 宰( 7 ，6 ) 宰( 口，f 1 ) 一1 ) 中的对象并定义映射 c m ，n ：mo n _ m nom ， c m ，n ( m n ) = n ( o ) f l - 1 ( n ( 1 ) ) m ( 1 1 ) 3 那么c m , 既是h 模映射又是h 余模映射，并且满足下面的条件( 对p 日w y d 日( p ，) ) ： c m n , p = ( c m , n p 圆i d l y ) o ( i d moc n 。p ) ， c m ，n 。p = ( i d m n 圆c m ，p ) o ( c m ，noi d e ) 而且，如果m 日w y d 日( q ，p ) 和n 日w y 口h ( ，y ，6 ) ，那么有c - 4 ”) m ( m ) = c m ，n 对 任意( p ，) g 对任意带有双射反对极的弱h o p f 代数日，我们现在来构造一个辫子弘范畴w y v ( h ) 定义w y ：d ( h ) 是所有日w y 刃日( 口，p ) 的不交并，其中( q ，p ) g 如果范畴w y ：d ( h ) 带有命题2 3 1 中所定义的张量积圆t ，那么由文献【1 6 】知风是范畴w y ：d ( h ) 的张量单位 群同态妒：g _ a u t ( w y ：d ( h ) ) ，( o t ，p ) h 妒( a ，p ) 定义在分量上为 妒( 口，p ) ：h w y 口日( 7 ，6 ) 一h w y z ) 日( ( q ，p ) 木( 7 ，6 ) 木( a ，p ) 一1 ) ， h ( n ，卢) 且函子妒( a ，卢) 作用在态射上为恒等映射范畴w y ：d ( h ) 上的辫子由一簇映射c m ，n ( 见等式 ( 1 1 ) ) 给出因此我们可得t ( 见定理2 3 5 ) 由上定义，范畴w y ：d ( h ) 是群g 上的辫子弘范畴 ( 见命题2 3 6 ) 设m 日w y d 日( a ，卢) 而且假设m 是有限维的那么m = h o m ( m ，k ) 是范畴日w y d 日( 口，o , f l 一1 0 t 一1 ) 中的个对象，模结构为 ( h ，) ( m ) = f ( ( f l 一1 0 l 一1 s ( ) ) 仇) ， 余模结构为 j d ( ，) ( m ) = o ) ( m ) q ，( 1 ) = ，( m ( o ) ) os - 1 ( m ( 1 ) ) ， 对任意h h ，m + 和m m 并且映射b m ：风_ mom + ，b m ( 名) = z ( le ioe ) ( 这 里e i 和e 是m 和m + 的对偶基) 和d m ：m + 圆m _ h t ，如( ，om ) = f ( 1 1 m ) f l ( 1 2 ) 是左 日- 模映射( y e 于h z = 鼠( z ) ) 和右h 一余模映射且满足下面等式- ( i d mod m ) ( b m 圆i d m ) = i d m ，( d moi d m ) ( i d m ob m ) = i d m 第一章绪论 记w d ( 日) ( 口，卢) = h + 。叩囟q 口，卢) = 万面研砺= h + 唧移圾q p ) k e r ( j ( 口，卢) ) ，这里 圾口，卢) ：日+ 泖p 域a ，口) 日4 泖p 域口，卢) ， poh 卜斗( o1 ) ( poh ) = q ) ( 1 ) 令囟因明表示p # h 在w d ( 日) ( a ，所中的等价类对任意( 口，p ) g ，w d ( h ) ( n ，励中的 乘法定义为 囟园纠【g 园f 】= p ( o l ( h 1 ) 一g 上_ s 一1 ( p ( 3 ) ) ) 囟h 2 1 ，( 1 2 ) 这里j 和厶一表示日在h + 唧上的正则左和右作用，定义为( h p ) ( z ) = p ( 1 h ) 和0 一 ) ( z ) = p ( h 0 ( 见定理2 4 3 ) 在上述记法下，w d ( h ) = 【渺d ( h ) ( a 。卢) ) ( 口，卢) g 是弱h o p fg - 余代数 带有如下结构一 对任意( o l ，p ) g ，d ( 日) ( a ，3 ) 的乘法由等式( 1 2 ) 给出， w d ( h ) 的余乘定义为 ( 口，卢) ，( ，y ，6 ) ：w 7 d ( 日) ( 口，卢) 。( 1 ，6 ) _ + w d ( h ) ( 口，p ) ow d ( 日) ( 1 ，6 ) ， ( 口，卢) ，( 7 ，6 ) ( 由囟h i ) = p l 囟- y ( h 1 ) 】 p 2 囟，y 一1 升( ，也) 】， 余单位形式如下 s ( 眵因h i ) = ，s 一1 s t ( ) ) = 佃，1 1 ) ( 1 2 ) ， 对任意( n ，p ) g ，w d ( h ) 的第( o l ，p ) 一分支的反对极为 鼠口，p ) ：w d ( 日) ( 口，卢) 哼d ( 日) ( a ，卢) 一，= d ( 日) ( n ，卵- - 1 口- - i ) ， & a ，p ) ( 囟囟h i ) = 【囟a p ( s ( ) ) 】【s + 一1 ) 囟1 】， 对( 口，p ) ，n ，5 ) g ，共轭同构映射定义成 妒 篇：d ( 日) ( 7 ，一w d ( h ) ( 叩) 嘶棚小，矿， 妒 篇加园 4 = po 卢q 一1 囟州一1 p 。1 ，y ( ) 】， 拟三角结构为 冗( 碱( 7 ，刃= 【囟p 。1 ( e i ) 】。【e 囟1 】， 4 第一章绪论 这里e i 和e 是h 和h 的对偶基 1 2 2 构造群e n t w i n e d 模范畴成为辫子张量范畴 众所周知，y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴是辫子张量范畴，文献f 1 5 】研究了d o i - h o p f 模范畴形 成辫子张量范畴的充分必要条件，在文献【2 3 】中e n t w i n e d 模范畴也已经得到研究群e n t w i n e d 模范畴是e n t w i n e d 模范畴的一种推广，所以自然的问题是研究群e n t w i n e d 模范畴何时形成 辫子张量范畴 本章有下面这些主要结论 ( 见定义4 2 2 ) 我们称( a ，c ) 霄一妒为个张量r - e n t w i n i n g 数据如果( a ，c ) 霄一妒是右一 右 r - e n t w i n i n g 结构且a 是双代数c 是半h o p f 丌- 余代数，并满足相容条件， a 1 币 aoa 2 毋。o ac ，“= ( 娜。) o ( c c ，) 惦，( 1 3 ) e a ( a ) l c 。= e ( 唧。) 1 惦，( 1 4 ) 对任意口7 r ，a a 和c ，c ，g ( 见命题4 2 3 ) 设似，d ) 霄一妒是域k 上的张量i t - e n t w i n i n g 结构那么两个r - e n t w i n e d 模m = ( 【忱) a 丌) 和n = ( 帆 a 霄) 的张量积还是一个r - e n t w i n e d 模张量积定义为 m n = ( 【( mo ) 口：= 尥圆心) q 丌) ，结构映射由下面等式给出 p a ，卢( mon ) = m ( o ，q ) on ( o ，a ) om 0 ，a ) n 0 ，卢) ，v m z 妇，n 妇， ( mon ) a = m a lon a 2 ， v m a 瓦，n 么 所以范畴c = m r g ( 矽) 是个张量范畴 考虑映射q ：qoc 1 - aoa ，带有卷积可逆冗这表明 q 2 ( q 2 ，1 ) od ( 2 ，1 ) ) 妒冗1 ( d ( 1 ，1 ) 圆c ( 1 ，1 ) 妒) oq 1 ( c ( 2 ，1 ) od ( 2 ，1 ) ) 冗2 ( d ( 1 ，1 ) oc ( 1 , 1 ) i b ) = 讹 c ( c ) ) 圆弧0 g ( d ) ) ， 对任意c ，d c 1 ( 1 5 ) ( 见定理4 3 5 ) 设( a ，c ) 霄一妒是张量 r - e n t w i n i n g 数据，且q ：c 1oa _ aoa 是扭 曲卷积可逆映射那么下面定义的一簇映射 t m , n ：mon 一om ，“ n ) = ( n ( o ，n ) om ( o ，n ) ) q ( n ( 1 ，1 ) om o ，1 ) ) ，v m 耽，竹心 5 第一章绪论 是r - e n t w i n e d 模范畴朋”ag ( 妒) 上的辫子当且仅当q 满足等式( 4 1 3 ) ，( 4 1 4 ) ，( 4 1 5 ) 和( 4 1 6 ) 1 2 3 构造b i m o n a d s 和余环上的余模范畴成为辫子张量范畴 目前为止，b i m o n a d s 上的余模范畴是我们研究的最广的范畴，它包括了余环上的余模范 畴，e n t w i n e d 模范畴，d o i - h o p f 模范畴，y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴等等所以研究b i m o n a d s 上的余模范畴是十分有意义的我们给出b i m o n a d s 上的余模范畴成为辫子张量范畴的条件， 丰富了辫子张量范畴的例子而且我们将得到的结论应用到最近在国际上被广泛研究的余环 上的余模上作为例子 本章的主要结果如下： ( 见命题5 2 2 ) 设h 和t 都是b i m o n a d 其中旦还是t 上的双模，且设f g m 罗 定义 p f g ：f g 磐f h g h 攀f g h h 笆挈f g h ， 和 嘎f g ：f g t 娶警f g t t 坠f t g t 攀f g 这里入表示交换的自然变换在上述记法下，我们得到朋笋是张量范畴当且仅当下面等式 成立t q h m h t = m h o l h o l h h a t hh 6 t ， o t h e h t = e 日s t 现在我们考虑自然变换q ：日日一砑和冗：h 日一t t 使得 r - d h q h h 耀入q h 入h 6 h 6 h = e t e t - e h e h l q - o t h o l h h 撬h 入h 6 h 6 h = e ，r 叼e h e h ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 成立 我们定义t m , n ：m n _ n m 为下面变换的合成 t m n = o t n o t m n a t n m q n a h p l v p m 入 ( 1 1 0 ) ( 见定理5 3 5 ) 设h 和t 是b i m o n a d q ：日日_ 刀和t m , n ：m _ n m 都是上 面定义的自然变换t m ，是范畴朋罗上的辫子当且仅当q 满足等式( 5 7 ) - ( 5 1 0 ) 6 第一章绪论 ( 见定理5 4 7 ) 设在m 中a 是双代数且c 为双环范畴朋c 是张量范畴当且仅当下 面的相容条件 脚( v cqi a ) = v c ( 比。眦) ( 尼 下o “) ( 龙圆i co a ) ，( 1 1 1 ) 这里 是双代数a 在范畴朋中的余乘和 彪( 厶圆啦) = 比( 啦o , 4 ) ( 1 1 2 ) 成立如果这些条件成立，我们称c 为范畴m 中的张量双环张量积m 其中 m ，n m c 是范畴朋c 中的对象带有对角线的模作用和余对角线的余模结构 ( 见命题5 4 8 ) 设7 r ( m ，n ) ：w ( m ) 固w ( n ) _ w ( n ) q w ( m ) 是自然的朋2 - 变换带有 相应的态射q = ( 7 r ) ：c 圆 c _ ao a ( a ) 7 r 是a 模同态当且仅当 cc a ( b ) 7 r 是c - 余模同态当且仅当 c c c ca c c aa c 7 第二章构造弱h o p f 代数上的一类新的辫子p 范畴8 ( 见定理5 4 1 1 ) 设a 和c 分别为范畴朋中的双代数和双环那么范畴m c 是辫子 张量范畴当且仅当等式( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 以及图( 3 ) 一( 7 ) 成立，这里范畴m c 中的辫子在命题 5 4 8 中给出 ( 见定理5 4 1 5 ) 设月是双代数且c 是张量双环并有朋c 是张量范畴那么m c 是辫 子张量范畴，辫子定义为 7 r ( a 以n ) ：m 圆n _ nom ，仇。礼h ( 礼( o ) o 仇( o ) ) q ( n ( 1 ) a 7 2 ( 1 ) ) 当且仅当结合映射q ：c 圆ac _ aoa 满足 ( 1 ) q ( dq ac ) ( n ) = q ( ( dq ac ) 。叩( o ) ) ， ( 2 ) q ( d lo ac 1 ) oc 2 d 2 = 1 ao1 ao ( d l q 1 ( 如o ac 2 ) ) ( c 1 q 2 ( d 2o ac 2 ) ) ， ( 3 ) ( aoi a ) q ( d eo ac ) = q 1 ( do ac 2 ) o 口( eo a ( c 1 q 2 ( do ac 2 ) ) ) ， ( 4 ) ( i aoa ) q ( ep ac d ) = 口( ( e 1 q 1 ( e 2o ad ) ) o ac ) oq 2 ( e 2o ad ) ， ( 5 ) 存在态射冗：c a c a o a 使得 7 已( ( d 1 q 2c 2o d 2 ) ) a ( e l q 1 ( c 2 圆 d 2 ) ) ) = e c ( c ) 圆e c ( d ) = q ( ( d l 冗2c 2o a 也) ) q a ( c 1 冗1 ( c 2q ad 2 ) ) ) 如果个a 余环使得等式( 5 1 7 ) 和( 5 1 8 ) 及定理5 4 1 4 中的条件( 1 ) 一( 5 ) 成立，那么称余环 c 为辫子张量a 余环 第二章构造弱h o p f 代数上的一类新的辫子丁一范畴 2 1预备知识 本节我们将回顾跟本章相关的一些定义和结果 在全文中，k 表示一个固定的域，所有的代数系统都在k 上讨论对任意的舡向量空 间m 和，我们用t m , n ：mo n nqm ，mp nh n 圆m 表示扭曲映射有关弱h o p f 代数的文献读者可参考【5 】和【1 6 】等h o p f 代数和辫子张量范畴的文献分别见【4 5 】和【2 7 】 如果c 是余代数，对任意c c ，我们运用s w e e d l e r - 型记号来表示余乘t( c ) = c loc 2 2 1 1 辫子n 范畴 设g 是一个带有单位元1 的群我们回顾个张量范畴c 称为群g 上的交叉范畴的定 义如果c 满足下面的条件 c 是一簇子范畴 c 口 q g 的不交并且满足如果u c a 和v 0 ，那么uov c 口卢， 对任意口，卢g 子范畴厶被称为c 的第口个分量 存在群同态妒：g a u t ( c ) ，ph 即，( 这里a u t ( c ) 表示c 到自身的严格可逆函子构 成的群) 满足即( c a ) = 0 a 卢一对任意q ，p g 函子即称为共轭同构 我们利用文献【4 6 】中的左指标集记号：给定p g 和对象v 0 ，函子仰用y ( ) 或 卢( ) 来表示我们还用符号矿( ) 来表示卢- 1 ( ) 由此可得y t 如= i 咖u 和y 0o ，) = y g oy ， 成立这里注意因为共轭映射妒：g 啼a u k c ) 是个群同态，所以对任意的vw c 我们 有y 。( ) = y ( ( ) ) 和1 ( ) = y ( y ( ) ) = y ( y ( ) ) = z 出而且，对任意的v c ，函子y ( ) 是 严格的，从而有y ( ，og ) = y