（计算数学专业论文）九参广义协调元的误差估计.pdf

摘要 众所周知，双参数方法是构造高阶问题有限元( 例如薄板弯曲问题单元) 的 有效方法。对于薄板弯蓝问题，已提出了很多适用的三角形元和矩形元。但在实 际工程计算中，三角形元更受欢迎，因为其适应边界性更强。由于三角形协调板 元要求形函数具有c 1 连续性，难于构造，于是主要发展了非协调元。尤其是双 参数非协调板元以其自由度小，便于计算而著称。 以往文献中只证明了它的收敛性，本文以九参广义协调元为例，给出它的 误差估计式，并分析了节点参数的扰动量。 关键词：双参数法，非协调板元，误差估计，九参广义协调元 a b s t r a c t a si ti sk n o w nt h a tt h ed o u b l es e tp a r a m e t e rm e t h o d i sa ne f f e c t i v e m e t h o df o rc o n s t r u c t i n gf i n i t ee l e m e n t so fh i g h e r o r d e rp r o b l e m ( s u c ha sp l a t b e n d i n gp r o b l e m f i n i t ee l e m e n t ) m a n ya p p l i c a b l et r i a n g u l a ra n dr e c t a n g u l a r e l e m e n t sh a v e b e e n d e v e l o p e d f o rt h e p l a t eb e n d i n g d ro _ b l e m s h o w e v e r ，m a k i n ga l l o w a n c ef o r t h e a d a p t y f o rt h eb o u n d a r i e s ，t h e t i i a n g u l a re l e m e n t sa r em o r ea d v i s a b l ei np r a c t i c a lc o m p u t a t i o n s - s i n c e t h e s h a p es p a c e o f c o n f o r m i n gt r i a n g u l a r p l a t e e l e m e n t s n e e dt ob e c 1 c o n t i n h ea n di ti sh a r dt oc o n s t r u c t m u c hi n t e r e s ti sp a i dt on o n c o n f o r m i n g d l a t ee l e m e n t s ，e s p e c i a l l y t h en o n c o n f o r m i n g d o u b l es e t p a r a m e t e rp l a t e e l e m e n ti sn o t a l ef o ri t ss m a l ld e g r e e o ff r e e d o m sa n de a s yc o m p u t a t i o n s o n l yt h ec o n v e r g e n c e f o rt h e s ed o u b l es e tp a r a m e t e re l e m e n t sa r ep r o v e n i np r e v i o u sp a p e r s ，i nt h i sp a p e r , t h ee r r o re s t i m a t e sf o r m u l a rl sg w e n f o ra d o u b l es e tp a r a m e t e rp l a t ee l e m e n tr n i n ep a r a m e t e r sg e n e r a l i z e dc o n f o 。r u i n g e l e m e n t ) a n d t h ep e r t u r b a t i o no fn o d ep a r a m e t e r s i sa n a l y z e d k e y w o r d s ： d o u b l e s e t p a r a m e t e r e l e m e n t ，n o n c o n f o r m i n gp l a t e e l e m e n t ，e r r o re s t i m a t e ，n i n ep a r a m e t e r sg e n e r a l i z e d c o n f o r m i n g e l e m e n t 2 九参广义协调元的误差估计 第一章概述 1 1 引言 5 0 6 0 年代发展起来的有限元方法在结构力学等众多的领域获得了极大的成功。 它的实质是根据变分原理用有限维空间的离散解去逼近无穷维空间的连续解。 常规构造有限元的方法为： ( 1 ) 将区域。剖分成若干个小区域k ( 单元) ； ( 2 ) 在k 上选定一个1 1 1 维多项式空间p ( k ) 及m 个节点参数。( 如，单元顶点的 函数值和导数值等，由它们唯一确定p ( k ) 中的元素；) ( 3 ) 以这些节点参数为纽带将各个单元的多项式空间编织成q 上的一个分片多 项式空间k ，( 即有限元空间) 。 ( 4 ) 在k 上求解离散变分问题。 当有限元空间k 是真解空间v 的一个子空间时，有限元解u h 逼近真解u 的程度， 取决于k 逼近v 的程度。 上述构造的有限元为协调元，对于协调元，它对高阶问题( 如4 阶问题) kc v 要求k c c 1 ( f 2 ) ，要求形函数具有c 1 连续性，但这种单元构造复杂，早在二十世纪六 十年代，在实际工程计算中就发现，一些不满足此条件的有限元 1 】称为非协调元。实 际计算中也有很好的收敛效果。后来人们又发现有些非协调元并不收敛，或对某些单 元剖分收敛，对另外的单元剖分却不收敛。这引起了对非协调元收敛性的研究。 非协调性收敛元分析需要分析逼近误差和相容误差，直接进行分析并不容易。 1 9 7 2 年b m i r o n s 在b a l t i m o r e 有限元会议上提出了关于非协调元收敛性的分片检验 ( p a t c h t e s t ) 2 】，因为其使用简单有效而受到工程界欢迎。1 9 8 0 年，e s t u m e l 在【3 中证明这种分片检验对非协调元收敛性既不充分也不必要。在 4 】中给出并证明了一个 非协调元收敛的充分必要条件，即广义分片检验，( g e n e r a l i z e dp a t c h t e s t ) ，但因其太 抽象复杂且使用不便，而不被工程界所接受。 石钟慈院士分析了非协调元收敛的实质，把e s t u m e l 的收敛性条件简化成比较容 易验证的准则，提出了f - e m - t e s t 5 。根据这一准则，只需检验有限元空间中的函数 跨越单元边界是否具有某种积分意义下的连续性，就可判定非协调元的收敛性。 对四阶问题非协调元，从构造简单，总体自由度少，计算量少出发般节点参数 总取单元顶点函数值和导数值，但这样难于保证函数值及一阶导数值在单元边界上的 平均连续性，而为了保证收敛性，取边上外法向导数平均值及中点函数值作为节点参 数，又使自由度大大增加。选择单元自由度使其同时具有以上两种性质，常常难以实 现。例如z i e n k i e w i e z 元自由度简单，但不能保证在所有剖分形式下都收敛【6 1 ，v e u b e k e 元【7 ，8 对任意剖分均收敛，但自由度复杂，总体未知量多。 构造有限元的双参数法【9 】给出了解决这一矛盾的一种有效办法，基本思想是：构 造有限元时独立地选取两组自由度，为了区分，一组仍叫单元自由度，另一组称为单 元节点参数。单元节点参数可按形式简单，总体未知量少的原则来选取。按通过广义 分片检验或f e m t e s t 的原则选取单元自由度。通过近似方法将前一套节点参数过渡 到后一套，这样即保证收敛，又计算简便。实践证明双参数法是行之有效的，双参数 元有很好的收敛性，但由于它是一种非标准元，在以往的关于双参数元的文章中，只 给出了收敛性证明。本文针对双参数板元给出具体的误差估计式，并分析节点参数扰 动量。 4 1 1 2 双参数有限元的构造方法 ( 1 ) 已知单元k ，初始形函数空间为：i f ( k ) - s p a n 1 虬( 1 ，2 。1 ) ( n 1 n 。为线性无关的多项式) ； ( 2 ) 设插值函数为w = 后1 + 膨：+ + 成虬( 1 2 2 ) ( 3 ) 选一套参数，称之为自由度。 设其为d ( w ) = ( d 1 ( w ) d i n ( w ) ) t( 1 2 3 ) d l ( w ) ，d i n ( w ) 是潜上的线性泛函。 将( 1 2 2 ) 代入( 1 2 3 ) ，得： d ( w ) = c bb 一( 崩，以) 1( 1 2 4 ) ( d l ( n 1 卜 d c t ( c ) 。( 1 2 5 ) i d 。( 1 ) d 。( 虬) j 另取一套节点参数 q ( v ) 一( q 1 ( v ) ，q ，( v ”tm z ，( 1 2 6 ) 其中q l ( v ) ，q ，( v ) 是h k ) 上的线性泛函，k = 1 ； 若m = l ，贝j j ( 1 2 6 ) 唯一确定( 1 2 2 ) 中的系数b 1 ，1 3 。另外再将自由度离散化为节 点参数的线性组合 d j ( 。4 荟a ；，g ，( w ) + s ， i d ；( w ) = 0( 1 2 7 ) 1 s fess m f = s + 1 ，一，m d 。( 叻，d 。( w ) 是约束条件，e i ，i = 1 s 是离散余项 ( 1 2 7 ) 即为d ( w ) = g 臼( w ) + ( 1 2 8 ) g ( ；( 9 1 ( w ) ，一，吼( ) 7= ( e l ，r 一，e ，0 ，o ) 7 g = a l l a 1 口j 1 口j f o o 0 0 ( 1 2 9 ) 令d ( w ) = g q ( v )( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 0 ) 为( 1 - 2 8 ) 式去掉余项，并令q ( w ) = q ( v ) 得到的 由于离散有余项，作为有限元方程未知量的节点参数值q ( v ) 与插值函数w 对应的 值q ( w ) 一般不一致，而是有一个小的扰动。 约去自由度( 作为中间参数) d ( w ) 由( 1 2 4 ) ( 1 2 1 0 ) 式 得c b = g q ( v ) c b = g q ( v ) 即为由节点参数( 1 2 6 ) 确定插值函数( 1 2 2 ) 的插值方程。 6 1 _ 3 有限元方法基本理论 有限元方法建立在传统变分法基础之上，设v 是h i l b e r t 空间，定义在v 上的变分问 题为： 求u v 使得a ( u ，v ) - - ( f , v ) v v e v ( 1 3 1 ) 其中a ( ，- ) 为定义在v x v 上的连续双线性泛函 f 为定义在v 上的线性泛涵 定义( l 3 2 ) 1 3 设h 是h i l b e r t 空间，若双线性泛函a ( - ，) 满足 3 c 0 ，使得 i n ( v ，v ) la l l v 矿 则称a ( - ，) 在v c h 上强制 盘称为a ( - ，) 在v 上的强制常数 大量的数学物理问题都可以表示成形如( 1 3 1 ) 的变分问题，关于变分问题( 1 3 1 ) 的解的存在唯一性，我们有 l a x - m i l g r a m 定理【1 3 】： 若v 是h i l b e r t 空间，a ( - ，) 为v x v 上的连续，强制的双线性型， f 为v 上的连续线性泛函，则变分问题( 1 3 1 ) 在v 上存在唯一解u v ，即唯一存在u v 使得a ( u ，v ) - - ( r , v ) ，v v y 。 l a x m i l g r a m 定理对变分问题( 1 3 1 ) 的解的存在唯一性给出了明确的回答。但是如 何实际计算出这一精确解，直接从这个定理中找不到答案。是否能求出近似解? g a l e r k i n 方法就是求解变分问题近似解的最有效方法之一。 g a l e r l d n 方法的基本思想： ( 1 3 1 ) 中的无限维空间v 用一个有限维的空间v h 代替， 7 即用有限准空间v h 逼近无限维空间v ，( 1 3 1 ) 化为离散变分问题。 求u h v h ，使得 a ( u h ，v h ) = ( f ，v h ) ，v v b 圪( 1 _ 3 3 ) 关于离散变分问题( 1 3 1 ) 解的存在唯一性，只需有限维空间v h 是h i l b e r t 空间， 双线性泛函a ( ，) 于v h x v h 上有定义，线性泛函f fv h 上有定义，并满足l a x m i l g r a m 定理的条件，根据l a x m i l g r a m 定理即可知离散变分问题( 1 3 3 ) 的解在v h 删- - 的。 就( 1 3 3 ) 中的有限维空间v h 与( 1 3 1 ) 中的无限维空间v 的关系而言，有两种情况 分：v h c v 称为协调元。v h c v 称为非协调元。 s t r a n g 引理对非协调元的误差给出了解答。 s t r a n g 引理【1 3 】 设h 为h i l b e r t 空间，v 和v h 为h 的子空间。 a ( - ，- ) 是h 上的连续双线性泛函，且在v h 上强制，f h ，u 是( 1 3 1 ) 的解，u h 是 ( 1 3 3 ) 的解。则 ”蚓b c 陋砒+ s u p 哗户) s 其中c 0 为常数 对于协调元v h c v ，u h 收敛于u 的一个充分条件为：存在v 的子空间序列 v h ) 使 。i n 戳f 一h 忆_ o 当i l - + 0 ( 1 3 - 5 ) 对于非协调元v b 芷v ，u h 要收敛于“，不仅需要( 1 3 5 ) 成立，而且还需要 点 ；0 户讪 ( 1 3 6 ) i n f l l u 一忆是“与“。的距离，表明v h 逼近v 的程度，称为空间逼近误差。 点p 0 ，户是由州懒恻龇删蝴误差或相容髓 上述的h i l b e r t 空间，h 、v 及v h 均为定义在有界区域q c 彤上的函数空间，实际 计算中比较麻烦，有限元方法就是当时为了解决这一难题应运而生。 有限元方法不是在整个区域o 上构造v h 的基，而是避开这一难点，首先把o 剖 8 分为一些小的形状简单的子区域，即 t h = k 1 k n ) ，o = uk ，k 称为单元。 r , e r 然后在每个单元k 上构造适当的基函数，好一蛩 ，由此张成的空间， = s p a n 好一0 称为形函数空间，最后对单元基函数进行拼接形成v h 的基，这种 基是由分片函数对接构成的。函数u 的整体插值定义为 定义( 1 3 7 ) 设o 为区域，t h 是其中一个剖分，在每个单元区域k c 瓦上装配了某 种形函数p 和节点变量n ，使得( k ，p ，n ) 为有限元，设m 是节点变量所包含的最 高阶偏导数的阶数，v c “( 西) 的整体插值定义为： i t h v l k ，i k i v ，v k i 瓦 定义( 1 3 8 ) 若对v v c ( - 0 ) ，i rv e c 7 ( 西) ，则称整体插值k 是r 阶连续的，空间 = k v ：v c c ”。 称为c 有限元空间。 这样构造的有限元空间k 可用作g a l e r k i n 的方法中的有限维空间v h ，余下的问 题是估计整体插值误差，这需要局部插值算子i k 的模一致有界。 函数v 在有限元空间上的局部插值定义为 定义( 1 3 9 ) 已知有限元( k 、p 、n ) 及p 的与n 对偶的基 f l f k ，v 是对n i n ， i = l k 有意义的函数，函数v 的局部插值为 i k v ：= m 彤) 谚a 局部插值的误差有如下估计： 定理( 1 3 1 0 ) 【1 3 】： 设有限元( k 、p 、n ) 满足 ( i ) k 是星形区域 ( i i ) p m 1 c p c w 。- k ) ( 1 1 1 ) n c ( c j ( k ) ) 9 且m - 2 - n o ，则对d j 硼和v v e h ”噼) ，存在与m ，h ，h k p k 有关常数c 使得 旷一i x v h 怄) sc 磙。旷h 脚 ( 1 3 1 1 ) 其中p m 】为次数不超过m - 1 的n 元多项式集合，h k 是k 的直径，p k 是含于k 内 的最大球的直径。 整体插值的误差估计有； 定理( 1 3 1 2 ) 1 3 】 设死= 内j 豺，h = m a x i d i a m ( k i ) ， t h 是多面体区域o c r “的非 退化割分族。 ( 霞、户、) 为参考元，则存在常数c 0 ，使得对o = s = m 和v v e h m ( q ) 有 曙卜吼邯，) i s 旷能， 此定理给出了有限元空间h ( h 4 ( o ) ) 对s o b l e v 空间h “( o ) 的逼近性。 1 0 第二章九参数广义协调元的误差估计 板弯曲问题的z i e n k i e w i c z 不协调三次元只对特殊的单元剖分才收敛，但由于这 种元采用单元顶点的函数值及二个一阶导数值作为节点参数，计算简单，总体自由度 少，所以相继出现些对z i e n k i e w i c z 的改进形式，使之对任意剖分均收敛，如拟协 调元，t r u n g 元，s p e c h t 元，双参数元等。龙驭球等在 1 0 】中提出另一种所谓广义协 调板元，节点参数仍取为单元顶点函数值及一阶导数值，但采用另一组参数作为自由 度或过渡参数。广义协调元有较好的数值精度，本文用双参数法分析九参数三角形广 义协调元的误差，主要目的是降低了对u 的光滑度的要求，仅要求ue h 3 ( q ) ，而原 来需要3 。( q ) 。 2 1 基本理论 ( 2 1 1 ) 定理 9 】：如果双参数元满足 ( 1 ) 适定条件d e t c * 0 成立 ( 2 ) p 2 ( k ) cp ( k ) ，且对v v b ( k ) 有( 1 2 8 ) 中的e ( v ) 为0 ( 3 ) 协k ，形】；正【i d v 蛉一0 ，其中v i = v ( a i ) a i 是t b 的节点，f 是单元k 的边，【w 表示w 跨过单元的跳跃。当a i 在边界a q 时， v i = v i ， 当，ca q 时，坐 | ：竺l 。 【a n 儿a n l ( 4 ) h 2 。= ( z 眶点) j 是有限元空间上的模。 则对于板问题双参数元是收敛的。 ( 2 1 2 ) 设k 是三角形单元或矩形单元，直径是h ，f 是k 上的一条边，u h 2 ( k ) ，在f 上引进数值积分的梯形公式： 正“。胁一粤忡m ( a b ) 是f 的两个端点。 ( 2 1 2 1 ) 余项r ( u ) = 正“ ) 出一粤 ( 口) + “( 呦 ( 2 1 2 2 ) 设霞是参考元，在仿射变换x = b + b 下，k 一霞，f 一户，a a b 一占，记 “( 工) ；弹( 6 注+ 6 ) = 五( j ) 则在仿射变换下： 荆= 鼬五辑冲一譬椰w 柏】) 由迹定理和空间嵌入定理f 1 2 ： 1 h ( a js 坤) + l l a l l 以l ，) s o 。 其中忆- i t 。，丽，矗是日2 ( 霞) 上的连续线性泛函。 且v d 墨( 霞) ，五 ) = 0 。 因而由b r a m b l e h i l b e n 1 3 】引理和仿射变换下导数的转换关系式，有 j 盖( 刮s 虬。s 砷k 陋0 ) 旧拙2 乩。 ( 2 1 2 3 ) 2 ) 设k 是三角形单元，r 是k 的顶点a j 的对边，( 1 = i = 3 ) ，九1 地b 是k 的面积坐 标，则f i 上3 次h e r m i t e 插值多项式为 h j ( 珊) 。l + 1 ( 1 + 2 1 ) q “+ 矗( 1 + 2 + 1 ) q 一。 + 砭。凡一，v o j ( a 。) a i + l a i _ l + 鼍。 + ，v w ( a 。) 瓦瓦 ( 下标按模3 求余) q = ( q ) 在仿射交换z = 磺+ b 下， v m = ( 罢) 讹 1 2 吐 m )l 儿! 乙鼬 俐一h咀h ；b 一1 ( 审c a ) n “l a 一1 2 a i 一1 一a i + 1 = b ( a f 一1 一d f + 1 ) 。b 瓦石 。v c o ( a 。) a i + l a i _ l 一审击( 盈+ 。) - a 7 i + 7 l a i - 1 ，形式不变 又在仿射变换下， 一五，1 = i = 3 凰( ) = 曹( 击) = 寇。( 1 + 2 工一。) 啦+ 。+ 砭，( 1 + 2 工。) 唾一。 + 磁，毒一夕o + 。) 五：瓦+ 定，五+ ，审西 一。) 荟：i 聂 。插值在一点a 的余项为 r ( 曲( n ) ；嘶) 一h ( 叫趣) t 击( a ) 一疗( 面) ( a ) = 蠢( d ) ) 又h ”( 霞) 卜c 1 喀) ，m = 3 。 陋( 西) ( a ) lse 0 西i i 。：( 甸se l l 舀l l 。t ，m = 3 。 ( 2 1 2 4 ) r ( ) ( a ) 是日”瞳) 上的有界线性泛函。 又击露一，( 霞) ，盖( 甸( 二) = o ，f 。3 或4 。 由b r a m b l e h i l b e r t 引理及仿射变换下导数的转换关系得 i 甜0 ) 一日( 珊) 0 ) i s e l 击i ，t 舌曲。1 i 1 ，。，口豆，ze 3 或4 2 2 九参广义协调元的构造 设= 角彤k 日习= 个坝点依惩时针万同分别为a l ( x l ，y 1 ) ，a 2 ( x 2 ，y 2 ) a 3 ( x 3 ，y 3 ) 令a l = x 2 - x 3 ，a 2 = x 3 - x 1 ，a 3 - - x l - x 2 ； b l = y 2 - y 3 ，b 2 = y j - y l ，b 3 = y l - y 2 e 毪= a ；+ 霹，吃= 以；+ 砰，z 三= 口；+ 6 ； f 。= l ( a z a 3 + b e ) ，f ：= l ( a 3 a + b 3 岛) ，f ，= l ( a l a z + 岛6 ：) i 1 哗。2 + 砰) r 吒= 去。；+ 蟹) ，3 = i l t 2 + 鹭 勺2 詈 1 虬闰 a = k 的面积，h = k 的直径。0 ) 1 = x 2 y 2 x 3 y 2 ， 三角形k 的面积坐标 ；五1 z n ，y + 皑) ，f = 1 、2 、3 。 取九参广义协调元的形函数 “5 q 0 + 岔：恐j 如+ 篡五疋+ 0 如如+ 乃五+ 8 ，( 麓屯一 墨 ( 2 2 1 ) + 口。( 雹 一九驾) + 口，( 麓 一九石) 足：印n n 饥，t ，九， 九，九 ， ，石九一- 置，麓如一九l ，l 一九蟹 = s p a n p 1 ，最，最 第一套节点参数为： ( 1 ) 令d 1 = j f 0 孤u d s d 2 = 洲2 3 0 曲_ u d s 咖6 。融2 蜗一争+ 教“他一扣+ 批姒一争】 d 4 毛旺u d s 1 4 ( 2 ) d ；：土，3 “出 3 k j “z 咖扛础 妒2 砌o u a s d 8 = 詈出 d 9 = ，堕o n 凼 ( 2 2 2 ) g g ( 2 2 2 ) 代入( 2 。2 1 ) 可得矗一c 各或o ( v ) = c b ( 2 2 3 ) 其中d = ( d 1 d 9 ) 7b = 0 l ，口：，一，a ，) 而讨溏钜阵 c 一 一1100000 00 0110000 00 0 1 2 o 1 2 1 2 o t l 2 一t 3 2 一r 2 2 ( 2 2 4 ) d e t c 9 0 ，c 非奇异。 可以用d 来表示形函数u 。 - v v e p ( k ) ，v ：p ，c 一1 d ( v ) ) 相应的插值算子为 矗；值) 一p ( k ) g y nv v e p ( k ) ，i k v = ( p ，c d d ( v ) ) 。 第二套节点参数选取为：k 的三个顶点上的函数值和两个一阶偏导数值。 将d 离散成形函数u 在三角形单元顶点上的函数值u i 及“h ，“廿( 1 i = 3 ) 的线性组 合：d j5 “2 一u ld 2 = u 3 - u 2 对d 3 d 6 采用h e l - m i t e 积分公式， 1 s 。o o o 岛一。叶一。o 。o o o _ 一。o 屹一。 。o 。 o o 1一。吨一。 。o o。一。勺一4 14七一4 o o。一。o七一。i 4吨一4 o ，一。o o 矗一4叶一4叱一4 。o，：。一：啊2一：_一： o，一：一2 1一：叱一： 小i - 1 吼一! b u l _ i 掣：，一1 u2y-61 b 2 扣。一b a u ， “3 2 i “一h 一- 2 4 2 “2 x i 口水h 一 3 7 d 4 = i 1 。+ “：) 一西a 3 ，一“：。) 一惫。，一“：，) d 5 j 1 ：+ ) 一是( “。一“，。) 一皂 ：，一“却) d 6 = j 1 。，+ “。) 一卺 。：一“：) 一怠 却一“，) 对参数d 7 、d 8 、d 9 ，采用梯形公式进行数值积分 d ，= 一i b 3 ( h “+ “z ；) + 詈 ，+ “z ，) + 0 0 2 扛b ) d 。；一半( “。，坞，) + 告( “：，屿，) + o ( h 2 ) 盔- 丁b 2 3 x + $ l l x ) + 鲁 ，m ，) + o ( h 2 ) 写成矩阵形式 dt g u + c e ( 2 2 5 ) d ( v ) = g ( q ) ) + e ( y )( 2 2 5 ) i 其中“= 0 。，地，“。，“：，“：，“。心， e = ( o ，0 0 , 1 ，1 ，1 )s o 2 ( 乩。) ) g = 一100100000 o0 0 a l 1 a 1 21 2 00 1a ， 21 2 o一蔓 0o o一10 一一b l o 一生 22 生 oo 1 2 a 3 0 oo 如 2 岛 2 o 一生垒o0 22 d e t g 9 0 ，矩阵g 非奇异。 引入新的参数组q - - g d 。 0 b 2 2 蔓 1 2 岛 1 2 0 1 0 0o 玩 2 o0o 1 a 1岛 21 21 2 1 a 2b 2 21 21 2 1 6 ( 2 2 7 ) ( 2 2 6 ) 生心q 一心1212 垒屹。 一 o q一2叱一2o岛一2魄一2 一 一 o o o 堕2 旦2 o q = ( q l ，f 一，吼) 1 。 略去参数d t , d s ，d 9 中由于数值积分引起的误差项， 于是形函数u 可以写成参数q 的表达式u = q t ( c 一1 g ) t f ( 2 2 8 ) f = ( ，也，如，屯九， ， 九，譬如一 置，如一九l ，l 一石a ，) 7 。 将q 取作新的节点参数，并使q 1 q 2 ，q 3 对应顶点a 1 ，q 4 q s q 6 对应顶点a 2 ，q 7 q s q 9 对应顶点a 3 。 d p ) = g ( q p ) ) + e ， 其中e ( v ) = ( s 。( v ) ，p ) ) 7 为余项。 显然e i o ) = o ，i = i = 3 。略去余项e ( v ) 代入( 2 2 3 ) 可得矿p ) ，伊一( p ，c 。g q p ) ) 。 由q ( v ) 的值按上式确定的p ( k ) 中的元素矿的节点参数q ( 伊) 对q ( v ) 有扰动。 但：v ；，1 s i9 3 。广义协调元的插值算子 n 。：h 3 ( k ) 一p ( k ) 定义为v y 日3 ( 七) ，h 。v 一( p ，c - 1 g q ( v ) ) 。 1 7 2 _ 3 九参数广义协调元的基函数与节点参数 九爹毅j 义协调兀明点爹毅q - ：s t g 函裂u 征早兀坝息日习幽瓤值发具一断r 导数值 所构成的节点参数组u 是不一样的，二者之间有一个酊。1 e 的扰动。 q - u = e g e 。( 2 3 1 ) 经过一系列复杂的运算，我们可以写出新的节点参数吼( f t l 2 ，9 ) ，用形函数u 及其 在单元顶点处的函数值和一阶导数值表达的显示公式 q l = r 1 q 4 = 1 1 2 q 7 = u 3 g ：= 圭+ 去 2 。池d 丝砌a s a f & i o u 出) + ( 6 2 u 3 x - - a 2 u 3 y ) 叫z p 3 u 2 x - - a 3 u 2 y ) ) 舻1 ，+ 去卜e 挚也c 罢蛐2 u 3 x - a 2 u 3 y m z 。3 u z x - - a 3 u 2 ，, ， a s ；i 1 1 2 c 。，r 挚一a s e 詈+ n p 3 u l x - - a 3 u l y ，一n ，p l u 3 x - - a l u 3 y ，) 舻弘1 ，+ 去 2 p 赁挚也e 詈咖啪3 u l x - a 3 u l y mc a l u 3 x - a l 3 y ， ”扣+ 去卜j 产a ：o n1 c 罢蛳哟! u 2 x - - b l u 2 - ，, 一- p 2 u l x - - a 2 u l y ) ) 旷弘1 + 4 1 五似j a 2 o n 一氓1 磊0 u 妫+ b z 2 x - - a l u 2 y mp 2 u l x - - a 2 u l y ) ) 对q 2q 3q 5q 6q 8q 9 各项中的法向导数积分采用梯形公式离散如： 虑出= 掣( 罢) + 詈c 4 伪+ 。g 2 k i ，点 o u，乩o u 。 一o n 。【i 万严 n , 1 1 i a 4 f 为三角形的量。 可得到： q ：= “。+ o ( 2 l u l 。) q 。= “。，+ o 2 恤e ，。) q s ；“。+ o ( 2 乩) q 6 = “：，+ o ( h 2 虹j ，。) ( 2 3 2 ) 日s = h 。+ o ( 2 。) q 。= “甜+ o ( 2 卜l ，。) 可见，新的参数组q 中，q l 、q 4 ，q 7 分别相等于形函数在单元顶点的函数值外，q 2q 3 q 5q 6q sq 9 与相应的一阶导数值均有一个o 2 b k ) 的扰动。由于这些扰动项的引入， 使得形函数的整体连续性得到改善，保证了收敛性。 由“；矿( c 。g ) 7 庐，对于新的节点参数q ，有限元空间的基函数为( c 。1 g ) 7 妒中， 令( c - 1 g ) 7 庐= ( 噍，丸，办) 7 ，则 “= 岛缟+ + 吗癌 经过一系列计算可得到 办= 丢( 1 + e 。+ e 。：) 1 6 ( 屯+ a ：a ，+ a ， ) + + ( 1 一e 3 2 ) ( 葺a ：一毛镌) + e ，：一e 2 3 ) ( 甓九一九a i ) + e 。一1 ) ( 鬈 一九箐) 庐z 。； 一；一；+ l ( a2 - a 3 ) ) ( 1 一s c i z + 1 2 - , 3 + ，一警- a z + a ， +(蔓t+j。：一i吼)(石屯一麓)2 11 + ( 一；+ ；+ 詈。，) ( a ； 一a ：麓) + ( _ 鲁7 1 。7 1 3 ) ( m 一如置) 1 9 一，2 ； ；i + ；i + 丢p z 一也，) 。一s c a ：+ a ：九+ a 。 的一鲁丑a ：+ 鲁a 。a ， + 譬+ j l b 。_ 也炳卜 a d + ( 詈一詈+ 扣如一椭 + ( 一1 6 ”弘1 ) ( 吼呐砰) 妒。= ；( 1 + e 3 1 + e l a ) ( 1 6 ( - a ：+ a ：九+ 九厶) ) + a ： + p 。一】，珥也一 z ， + f 1 p 。，j 取；也一 ：霹) + 忙，。一e 3 1 ) ( 驾 一九砰) 丸3 ； 一；一暑+ 丢c 。s n - ，) o s c a ：+ 如t + t 厶” + - 如一号馅 + ( 孚+ j 1 ”l a 3 ) ( 2 ：小厶雹) + 净t 3 + - 口3 1 一训1 ：a 3 - a 2 a ：) +(一生+堕+兰。：)o魏一五，确t 。3t 1 3 驴浆+ 詈+ 扣叫鸭川， + 粤m ：一导m ， 上z + 牟一i lb 。+ j l b ，) a ：h 丸；) + ( 一i a 3 + j 1b - l b l ) ( 铂一 ：睁 + ( 詈一a ，_ 。l 1 + ；坝取一纠) 2 0 ，2 ；( 1 + e ：+ e ：。) ( 1 6 ( 厶a ：+ a ：a ，+ 九 ) ) + a 3 + 0 2 ，一e 1 2 ) ( 砰a ：一 a i ) + 忙”一1 ) ( 墨九一a 2 麓) + ( 1 一e 2 1 ) ( 砖一 ， ：) 一s 2 ； 一； - 一；j + l 。( 、a - a ； ，、 c ，一s c 九+ a 2 a a + 九 + 号彬。一号m +芦+丝+三。，)(砰a：一猫)tt 3 l2 1 + ( - 等一；”j l a ：删如哇劫 + 譬b + j 1 盱；嘞( 驾 一九) ，。吾 ；j + ；i + 三( 魄一。：) ( 1 一s ( a ：+ 九九+ 九 ) ) + 鲁t 一鲁九厶 + 噜一詈+ 知砰a 2 - 州) + e 一昙岛+ ；也m 2 ”仙2 ) + ( 一詈+ j l b _ i 1 6 ：) ( 走 如碍) 2 4 九参数广义协调元的收敛性 2 4 1 考虑板弯曲问题： 求u 彤( q ) ，使得 a “v ) = f ( v ) ，v v e l l 2 0 ( q )( 2 4 1 1 ) a 力= 正k r + ( 1 一y ) ( 孙，一“。一“，) 呐 ，( v ) z 正声出咖， j r 为泊松比o 丫 o 与t h 无夫， 使丝c o ，三c o ，v k t h ， p xn k p 。是含于k 内的最大圆的直径。 在每个单元k 上构造九参数广义协调元，由此得区域q 上的有限元空间x 。 令：九参数广义协调元的有限元空间为 = v he x h ，h 在a q 上的节点参数为耐，则 ( 2 4 1 ) 的离散问题为： 求圪，使 a h ( 如，心) = f o d ，( 2 4 1 2 ) 其中吼 ，v ) 2 善r x a u a v + ( 1 一y ) ( 扎，一h y y - - u 3 0 , ) k 咖。 定义能量模：2 ( 磊峨r ) j ， 验证川。是有限元空间v h 上f 糕，只需验证： 若v h v h ， v h l 2 ；0 ，则v h r - 0 事实上，若k j ：。= 0 ，则k k = o 对一切单元k 成立。 由此可知，堕，旦堕在每个单元上均为常数。 d z 州 设有界边单元为k ，k n a q = f ， 由于v k 的节点参数在f 上为o ， 7 1f 慧虹lf 孥s 吨 挪口正等出= 正鲁凼- o o 又盟，盟在k o 上是常数， o x 删 监。盟：0 在上 批d v 又由盟，掣在单元内边界上平均值的连续性， 船d v 即得丝。鉴；0 ，在一切单元上， d rd v 因此，v 。在每个单元上均为常数。 由于v h 的平均值在外边界f 上为0 ，并在内边界上连续， v 。0 。 2 4 2 误差估计： 条件1 ：| 1 ：，。是上的模， 条件2 ：单元是拟仿射等价的，形函数空间包含完整的二次多项式空间。 条件3 ：v v 。k ，k 的函数值在单元顶点连续，在位于a q 的顶点上为0 。 条件4 ：v v 。圪，k 的法向导数平均值在单元边界上连续，在外边界为0 。 条件5 ：v v 。k ，k 的函数值在单元边界的一个内点连续，在外边界的相应内点为 0 。或者圪的函数平均值在单元边界上连续，在外边界上为0 。 假设“，u h 是( 2 4 1 1 ) 和( 2 4 1 2 ) 的解，现估计有限元解和真解“的误差。 定理：假定q 是凸边形，设“e h 3 ( q ) n 日：( q ) ，2 ( q ) ，有限元空问k 满足条件 1 4 ，则有误差估计 卜一“。l 。sc h o u i 。+ h l m i 。) 证： 由s t r a n g 引理知 岫“2 , h ：c i n f 。卜划甜+ 。s u 戥p 剖) f e 。 ，) f = f a h ，c o b ) - 厂( ) 第一项为逼近误差，第二项为非协调误差( 即相容误差) 由条件1 ，离散问题有唯一解。 设i k 是一般有限元的插值算子，则由【4 】知 卜- i kc h h ：。，v “日3 ( k ) 由v v 目3 ( k ) ，t k v = ( p ，c 。d o ) ) 。 d p ) = q p ) + e ( y ) 。 v v 日3 ( k ) ，1 7 k v = ( p c - 1 g q ( v ) ) 。 可得： 1 ，。v 一。v ia ( p ，c “h ( v ) 一c 一1 g q ( y ) ) 一( p c e p ) ) _ k v 一兀。v lsc 1 乩。i i e v ) 1 1 其中l h l 是r 9 上的欧氏模 由仿射变换性质知：h ：。s c h f 。1 由b p ) is 锄2 i v l ，。，4 = i = 9 ， 知 i i e ( 0 i lc h 2 i v l 。 定义整体插值算子： i h ，i i ，i h l k = i k ， l k = f i x 。 结合扛- i k u ：，。s 吐k k ，v “目3 ( k ) 可得 。i n 嘶f b 一v h l s b i i i s 卜一i h u 。+ i i 。u - h i 。 2 ( 豺却j + 到k 也也严 s 曲虬。 相容误差：s u p 掣 嘶陬b 由广义协调元的构造，在单元内边界f = 七。n 素：上，正西，正警出，鲁出连 续。在单元外边界f = 瓦n a q 上，上述三项积分为o , f 是任一单元的一条边。 取h 为v h 上的以单元顶点为插值节点的分片线性插值。 显然 l n w n e ( _ ) = p c 。( 硒；vb o 又 a ( u ，v ) = ，( v ) ，v v h 2 ( u ) ，“c h 2 ( f 2 ) 其对应的微分方程是 h ：a u f o n r i n ；a q 。 f =q l砌 口 以一“ ，o ) h ) = 也，) 一n 【h 魄j = a h ( u ，) 一，h ) = 正b a 魄+ ( 1 一y 物，一“。一“，) ；善恤卜等+ ( 1 一r 卜警飞警肛一正v 血恤出卜上鲰 一正( v 血v c o h + ，瓴域毋+ e - 0 ，) + 易0 ，) 利用g r e e n 公式可得 善正v 血= 善伊“也一善丘尝b 魄出 2 善俨“乙 2 善正弘一出 = ，皈) ( 魄) 2 荟，x v 幽v + e 1 ) + 邑以 卜墨正勺血v 灯( 吨1 = 卜善，。v 血。v 一厶，吖眠，+ ，c 魄) i = l 一善j 丘v 幽。v ( 魄一厶岘，( 一厶魄 ；善口血v ( 一h 卜善正，- - l h c o h ) 口l ，d ， s 善pk h 一厶魄k + 墨i 。肖0 一厶1 i 。五 s c 驯，点虬