（概率论与数理统计专业论文）连续型单参数指数族参数的经验bayes统计推断问题：na样本情形.pdf

摘要 本文利用同分布n a 样本，对连续型单参数指数族参数的经验b a y e s 估计和检 验问题做了讨论第一章引言部分，对本文的研究背景做了介绍，第二章在乎方损 失下，导出了参数的b a y e s 估计，用非参数方法对同分布n a 样本构造了参数的经 验b a y e s ( e b ) 估计，研究了其渐近最优性和收敛速度问题，并给出一个例子第三 章讨论了单参数指数族中参数的单边和双边假设检验问题，利用同分布n a 样本构 造了e b 检验函数，并在适当条件下证明了所构造的e b 检验函数的渐近最优性， 并获得了其收敛速度。最后，还给出了一个满足定理条件的例子 关键词：单参数指数族；经验b a y e s 估计；经验b a y e s 检验；n a 样本 渐近最优性；收敛速度 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ee m p i r i c a lb a y e se s t i m a t i o na n dt e s t p r o b l e m sf o rt h ec o n t i n u o u s o n e p a r a m e t e re x p o n e n t i a lf a m i l yh a v eb e e nd i s c u s s e d t h er e s e a r c hb a c k g r o u n do ft h e i s s u e si si n t r o d u c e di nt h ef i r s tc h a p t e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w eg e tb a y e se s t i m a t i o no f p a r a m e t e ru n d e rs q u a r el o s sf u n c t i o n ，t h ee m p i r i c a lb a y e s ( e b ) e s t i m a t i o no fp a r a m e t e r i sc o n s t r u c t e db yu s i n gt h ei d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e da n dn e g a t i v e l ya s s o e i a t e d ( n a ) s a m p l e s i nt e r m so fn o n p a r a m e t r i cm e t h o d s t h ea s y m p t o t i co p t i m a lp r o p e r t ya n dc o n v e r g e n c e r a t e sf o rt h ep r o p o s e de be s t i m a t i o na r eo b t a i n e d f i n a l l y , a ne x a m p l ec o n c e r n i n gc o t r e s p o n d i n gr e s u l t s i s g i v e na tt h ee n d o ft h es e c o n dc h a p t e r i nt h et h i r dc h a p t e r ，w e d i s c u s so n e s i d e da n dt w o s i d e dt e s tp r o b l e m sf o rt h ep a r a m e t e rr e s p e c t i v e l yt h ee m - p i r i c a lb a y e s ( e b ) t e s tr u l e s o fp a r a m e t e ri sa l s oc o n s t r u c t e db y u s i n gt h ei d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e da n dn e g a t i v e l ya z s o c i a t e d ( n a ) s a m p l e s ，a n dt h ea s y m p t o t i co p t i m a lp r o p e r t y a n dc o n v e r g e n c er a t e sf o rt h ep r o p o s e de bt e s t sa r eo b t a i n e d w ea l s og i v ea ne x a m p l e c o n c e r n i n gm a i nr e s u l t sa tt h ee n do ft h el a s tc h a p t e r k e yw o r d s ：c o n t i n u o u so n e p a r a m e t e re x p o n e n t i a lf a m i l y ；n as a m p l e s e m p i r i c a l ) a y e se s t i m a t i o n ；e m p i r i c mr a y e st e s t a s y m p t o t i co p t i m a l i t y ；c o n v e r g e n c er a t e s 2 第一章引言 连续型单参数指数族是一类范围广泛的分布族，许多常见的分布如：指数分布， 正态分布，g a m m a 分布等都属于这一分布族 经验贝叶斯( e b ) 方法最初是由r o b b i n s 1 1 ，f 瑚首先提出来的自r o b b i n s 提出 e b 方法以来，e b 估计和检验问题在文献中已研究的相当多了，尤其是对指数分 布族。如l i n 吼s i n g h 4 】讨论了连续型单参数指数族e b 估计问题。陈希孺1 5 ) 研究 了一维离散型单参数指数族e b 估计的渐近最优性，赵林城【6 】讨论了一类离散分布 参数的e b 估计的收敛速度问题；s i n g h a n dw e i 7 1 讨论了刻度指数族的e b 估计问 题。韦来生吼【9 】研究了连续型多参数指数族的e b 估计问题；y a n g a n dw e i 【1 0 】，【1 1 1 讨论了离散型多参数指数族的e b 估计问题z h a n g ( 1 2 j ，【1 3 】讨论了连续型单参数指 数族中变量带误差( e v ) 情形时的e b 估计问题 e b 检验方法最早是由j o h n s ，v a nr y z i n 1 4 】，【1 5 】分别对离散型和连续型单参数指 数族独立同分布( i i d ) 样本情形的单边检验提出来的。v a nh o w e l i n g e n 1 6 】，l i a n g 【l f 】， k a r u n a m u n la n dy a n g 【l 8 】研究了上述分布族中单调的e b 检验问题韦来生【l 蹦2 0 1 研究了离散型和连续型单参数指数族双边的e b 检验问题。胡太忠、潘国华【l 】在样 本为i i d 情形时，讨论了刻度指数族在线性损失下单边的e b 检验问题s i n g ha n d w e i 2 2 讨论了刻度指数族参数的双边的e b 检验问题。k a v u n a m u n i a n dz h a n g 2 3 1 讨论了同一分布族的e v 情形下的e b 检验问题 现有文献中关于e b 估计和e b 检验的结果几乎都是针对i i d 样本而考虑的。 然而，在可靠性理论，渗透理论和某些多元统计分析问题中，随机样本常常不是i i d 的，而是具有一定的相关性，如负相协( n a ) 和正相协( p a ) 样本就是常见的两种。 关于n a 序列极限理论的研究见m a t u l a 2 4 1 ，苏淳等 2 5 】，f 26 1 韦来生f 27 】，f 2 8 j 研究了 n a 样本概率密度函数核估计的相合性和n a 样本情形刻度指数族参数的e b 检验 问题。本文将在同分布n a 样本情形下，讨论连续型单参数指数族参数的e b 估计 和检验问题 n a 随机变量序列的定义是由j o a g - d e v 和p r o s c h a n 刚】最先提出来的。 定义1 1r v x 1 ，弛，j 0 称为n a 的，如果对于集合 1 ，2 ，n ) 的任何 两个不交的非空子集a l 与如，都有 c o v ( a ( x i ，i a 1 ) ，2 ( 玛，j a 2 ) ) 0 ( 1 1 ) 3 其中 ，2 是任何两个使得协方差存在且对每个变元均非降( 或同时对每个变元非 升) 的函数。称r v 列 玛，j n ) 是n a 的，如果对任何自然数n 2 ，x 1 ，x 2 ，一， 都是n a 的。 本文第二章将讨论连续型单参数指数族参数e b 估计的构造方法，并研究其渐 近最优( a o ) 性和收敛速度问题。第三章将讨论连续型单参数指数族参数的单边和 双边e b 检验的构造，并研究其a 0 性和收敛速度问题。同时在第二、三章末各给 出一个例子，说明适合定理条件的先验分布是存在的 4 2 1引言 第二章参数的经验b a y e s 估计问题 考虑如下的连续型单参数指数族：设给定0 时随机变量x 的条件密度匾数为 f ( x l o ) = c ( 日) “( z ) e l 啦( 日z ) ，( 2 1 ) 此处爿= ( o ，6 ) ，0 0 o 0 ，0 = p ：c ( 印- 1 = 厶u ( z ) e x p ( o x ) d x 2 为正整数 对n a 序列的协方差做如下的假定： ( b ) i c o v ( x 1 ，玛) | c l 为任意确定的自然数， 心( z ) “= 0 ，1 ，2 ) 是b o r e l 可测的有界函数，在( o ，1 ) 区间之外为零，且满足下述条 件( c ) ： ( c 1 ) 对i = 0 ，1 ，2 有 。 ；p 脚肛r 墓，b _ 乩 ( c 2 ) 托( z ) 在r 1 上是可微分的，且5 u p l ( z ) i c l 则可定义目的e b 估计为： 瓦翻叫垆 觜l 刊z ， 埘 记e 表示对( x l ，矗，( x ，8 ) ) 的联合分布求均值，b 表示对( x ，x 。) 之联合分布求均值。那么，瓦( 。1 的全面b a y 。风险为 r 。= r 。( 瓦扛) ，g ) = 日( 瓦( z ) 一p ) 2 按定义，若。l i r a + 。r n = r g ，这时称磊为渐近最优( a o ) 的e b 估计。 的，若有r 。一r a = o ( 钆一9 ) ，q 0 ，则称瓦的e b 估计的收敛速度为q 。 f 2 1 6 ) 进一步 本章中c ，c l ，c 2 ，表示常数，它们在不同的地方可以取不同的值，即使是在同 一个表达式里也是如此。 7 2 4主要引理 为了证明参数8 的e b 估计的渐近最优性，进而得到它的收敛速度，我舸需要 以下一些引理。 引理2 1 令x 和y 是n a 变量，皆有有限方差，则对任何两个可微函数9 1 和 9 2 ，有 l c o y ( 9 1 ( x ) ，9 2 ( 1 ，) ) lss u p l 9 i 0 ) is u p l 9 ；白) i 一c o v ( x ，y ) 1 ( 21 7 ) ， 证明：见p a n ( 3 1 】弓f 理1 的证明 引理2 2 设省( z ) 由( 2 1 2 ) 式定义，i = 0 ，1 ，2 ，s 1 ，s 2 为正整数， 噩，x 2 ，一为同分布弱平稳n a 样本序列，假定条件( b ) 、( c ) 成立， ( 1 ) 当连续，且当k _ 0 ，n 碟+ 2 - 。斗) 时，对v 。z 和 0 r 2 ， 恕晶 硝( z ) 一产( 。) r = o ( 2 ) 若，( i ( z ) 满足l i p s c h i t z 条件，0 r 2 ，则当取h n = n 一，0 p 采b 时，有 易j 硝( 。) 一( 。) l 墨c k ， ( 3 ) 若条件( a ) 成立，当取h 。= n 一南，对0 as1 ， e 。i 硝( 。) 一，( 。( 。) 1 2 1 m 一帮 证明：( 1 ) 由c r 不等式可知，对i = 0 ，1 ，2 晶i 踏( z ) 一产( z ) 曼c f 玩矗( z ) 垒c 。兄+ c 2 蝮 由( 21 2 ) 式可知 螂训= 晶 丽i 蚤n 匮c 等) = 驴1z 1k ( ) ，( 们匆= 去z 1 匮( u ) ，扛+ u ) d u ( 2 舯) 8 8 0 茁 有 互 曼 y r 2 c 0 + 1 ) 一 扛 s q ， 椅一z + n “) 在z 处作t a y l o r 展开到第i + l 项，有 弛沪施) 十掣锄卜+ 盟掣妒 其中0 矗 1 由假定( e 1 ) 可知， l 晶庸k ) k ) f = l 去z 1 墨( u ) ，扛+ n u ) 砒一产k ) f = ；上1 训( “) i ( z 鹄啪) 气。) 卜 如果( 。) 连续，则 。si 上1 u 2 f 甄f 溉 ，( i 沁十矗 。“j 一产7 ( z ) f 孔：。 故有 撬珏= 热i 风硝( z ) 产( z ) 1 7 = 0 其珩 ( 2 2 i ) ( 2 ，2 2 ) 惭 赤耋尬c 等， _ 去p ( 等) j + 赤蕊( k c 等c 等，) 噬+ 拶 r 2 2 3 掣s 去z 1 霹( 刈( 。+ m ) 机 c ( n 一1 ( 2 2 4 ) 记慨t ( z ，p ) = 甄( 孚) ，由条件f c 2 ) 及引理2 1 ，有 卜( kc 等c 等，) f 去( s u pi 苗啪“z ，训) 2 一g w ( 蜀，五) 番i g ( 玛，托m 故由条件( b ) 和 x 。，n 1 ) 的弱平稳性可知 拶赤善篆蠢fg w c 玛，五，f 轰舞委f 。c 礼盈 g 将( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 代入( 2 2 3 j 得， 咳= 哳( ) ；= ( 掣+ 删5 c ( n h 一； ( 2 2 6 ) 因此，当h 。- 0 ，n h l 妒2 2 _ 0 0 ( n - + 0 0 ) 时有 一l i m 。i i 7 = 熙卜r ( ( 圳 5 = 撬( 掣+ 刎5 - o ( 2 - 2 7 ) 故由( 21 8 ) ，( 2 2 2 ) 及( 2 2 7 ) 知， 。l 。i r a 。b 憎( z ) 一产1 = 0 引理结论( 1 ) 证毕 ( 2 ) 如果，( i ) ( 。) 满足l i p s c h i t z 条件，由( 2 2 0 ) 可知 晶臂) ( z ) ) ( 刮= ；f o i t t i i 硒( 蚓 c a m l 矗 n 1 c 4 h 。 因此， 珏= i b 硝( z ) 一，( ( 。) l c 。r ( 22 8 ) 当取h n = n ，0 p 贸j b 时，将( 2 2 6 ) ，( 2 2 8 ) 代入( 2 1 8 ) 知 e 。i 硝( 茁) 一，( 0 ) 1 7 墨c l 二+ c 2 ( 礼 i + 2 。) 一i c h ： 引理结论( 2 ) 得证 ( 3 ) 由g 不等式可知对i = 0 ，1 ，2 ，s l ，有 玩i 踏( z ) 一( z ) l 。曼2 岛臂( z ) 一，( f ( z ) i n + 2i v n r ( 硝( z ) ) 1 垒2 ( 詹+ j ：i ：f ) 将，04 - h ) 在z 处作t a y l o r 展开到第5 + 1 项，有 他) + ，1 ) 扛) h n u - b 掣“) 2 + 十黜妒。1 + 掣妒 1 0 ( 2 2 9 ) 这里0 f 1 由( 2 1 9 ) 和假定( a ) 及( c 1 ) ，我们有 j 玩搿沁，一产沁，i5 n z 1p 学f u l 甄c u ，f 孔s c n 乒。 因此，当取h 。= n - - 南时有 。嚣= 忙矗；( z ) 一，( z ( z ) f 2 sc h i a ( s i c n 一型* 2 - t - z 丑 由于如。= 如，故由( 2 2 3 ) 一( 2 2 5 ) 可知，当h 。= n - - 南时有 也：sc l ( n 凡2 。) 一1 + c 2 2 。) 一1 c n 一2 a + = 三2 故有 最旷觜 将( 2 3 0 ) ，( 2 3 2 ) 代入( 2 2 9 ) 可得引理结论( 3 ) ，引理证毕 引理2 3 若r g o 。，则对任何e b 估计瓦的风险r 。有 r 一兄g = e + ( 瓦一醅( 。) ) 2 证明：见s i n g h 4 】引理2 1 引理2 4 如果对t l ，e l o i 0 0 ，则 ( 1 ) 对由( 2 1 0 ) 式定义的酩( z ) 有 ( 2 ) 对由( 21 0 ) 式给出的c e ( x ) ，若b ( ”0 ) ) 。 o o ，则 e i c b ( z ) i 0 0 证明：由j e n s e n 不等式知，对下凸函数厂，f ( e x ) e f ( x ) ，因此 b i o e ( z ) l = e 曼l i 二 曼e l 瓦( 。) 1 ，( z ) 出= i 臣引。) ( p ) l 。f ( x ) d x j o o r + o 。r + 0 0 ( e ( o i 。) l o l t ) f ( x ) d x = | | 1 0 1 t f ( w i o ) d g ( o ) d x ( 2 3 0 ) ( 2 ，3 1 ) ( 23 2 ) o l 。d g ( o ) = e l o l o o ，( 2 3 3 ) 根据( 2 1 0 ) 式，有如( z ) = 岛( 。) + ”( z ) 成立，再利用g 不等式 e ；j 曲8 ( z ) j 。s2 一1 【e + j 舀j ( z ) 1 。+ e 。i ( z ) j 0 ，对0 r 2 有 e l 等一等 。1 7 墨。l ”i 一7 e l y - y l r + ( f 苦i + 工) e i y 一。1 7 ) ， 证明：见赵林城【6 引理3 2 5e b 估计的渐近最优性和收敛速度 我们先讨论由( 2 1 4 ) 式定义的0 的e b 估计瓦( z ) 的渐近最优性 定理2 1 设- r g 、r 。分别由( 2 1 1 ) 和( 2 1 6 ) 式定义，酲( z ) 由( 2 1 4 ) 式定义，其 中h 。= n ，0 ”茎；，x 1 ，x 2 ，为同分布弱平稳n a 样本序列若假定( b ) ，( c ) 成立，且 ( 2 ) ，等阡d o ( o ) 。，e + ( u ( z ) ) 2 0 0 ， ( i i ) ，( 1 ) ( z ) 满足l i p s c h i t z 条件， 则当k = o ( “) 时，如为0 的渐近最优e b 估计，即 恕凰。r g 证明：由引理2 4 ，r g = e ( x ，a ) ( b 一日) 2 茎2 ( b ( 岛) + b ( 口2 ) ) 。，故引理2 3 的条件成立，于是有 r 。一r g = e + l 瓦( x ) 一如( x ) 1 2 = e + i 磊( x ) 一曲b ( x ) 1 2 ( 2 3 5 ) 由控制收敛定理，只要证明以下两条 ( 。) 晶( 磊( z ) 一咖b ( 。) ) 2 i ( x ，日) 对充分大n 成立，且置x ，日) m ( x ，口) o o ( 6 ) 撬取( 五( z ) 一加( z ) ) 2 = 0 对固定的耳0 成立 则有l i m 硫= r a 】2 先证明( n ) 。由( 2 1 3 ) 知，五( z ) 三如，因此 蠊归晶 觜一觜 2 = 蜀f 学一帮鸣拶 sz 簖2 晶c ， 1 沁，一产沁炉+ z 旌c z ，取p 号轰笋 2 垒 + 屯 ( 2 3 6 ) 由弓f 理2 2 ( 2 ) ，当h n = n 一”，0 1 时，有 j l 2 c 2 i c o 再考虑如，由于 风( ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) = 玩( 毪笋) 2 一m 脚。， 12 ，c ，c 。， 2 时，由( 2a g ) - ( 2 4 1 ) 式可知 易 掣斧卜- 他s s 陇a z ， 又从( 2 ，3 6 ) ，( 2 ，a 8 ) ，( 2 4 2 ) 可知，jn = m a x ( n i ，2 j ，当n n ，0 p 5 时，有 r ( 蠢( 。) 一( 。) ) 2 c o + 1 0 癌 再根据引理2 4 ， e ( x ，目) ( c o + 1 0 毋刍( x ) ) c o + i o e ( x ，口) ( x ) o 。， 这即证明了( n ) 从( 2 3 6 ) 一( 24 1 j 式可以看出，对任意固定的。，0 0 s 0 窑譬反( 瓦( z j c b ( z ) ) 2 0 9 警f + 2 如( z ) ( 如，+ 如2 ) 熙h ：+ c 2 如( z ) ( 铲碡+ p ( m ) l 为任意确定的自然数，； r l ，x i ，x 2 ，为同分布弱平稳n a 样本序 列。若假定( a ) ，( b ) ，( c ) 成立，且 ( z )，茗l o l ”。d g ( o ) 。o ，b l u ( z ) p 。 ( i i ) b ( ，( 。) ) ” ， 贝0 当 。= n 一南时，有 r 。一r g ；o f 。一止蔷等产1 1 4 证明：由引理2 4 ，r g = e ( 即) ( 酩一日) 2 2 ( 风( 酩) + b ( 日2 ) ) o 。，故引理 2 3 的条件成立，因此知， 一r g ：e + l 瓦( x ) 一如伍) 1 2 ：鼠1 磊( x ) 一如( x ) 1 2 ( 2 4 3 ) 令a 。= z r 1 ：【庐且( 。) f o ，6 o ，日 o( 2 4 7 ) 这里卢和6 为已知参数，因此 m ) = m 卵胭= 蔫，巾) = 鬻= i c 2 4 8 ) 这里，c l = 。r t m + 6 ) r + ( 1 b 渺+ l “) ，。2 = m l _ 1 ) 矧卵= 也揣( 一目) 啪e 8 8 = 鬻器( 鸭 z 1 当m i + 2 r s 时 ；i 畚茹d x c 2 + c 3e 南妇 l 3 ) 当( m 1 ) ( 1 一r ) 0 ，即； rs l 且m l 肘， e c ，陋，r = c 。z 0 。( 石斋) 卜7 如 1 ， 伊舀而如 o ，放当m 21 ，； r 等时，有及( ，( z ) ) 。 0 0 此时，定理2 1 和定理2 2 条件均成立故 有下述结论： 定理2 3 对g a m m a 分布族( 2 4 6 ) ，先验分布由( 2 4 7 ) 给出，当m 3 ，0 r 2 时，定理2 i 结论成立；如果； 巩t ( ，)珥：0 l 0 如hh i ：0 0 2 ( 3 1 ) 这里0 0 ，0 。和0 2 为已知常数。这里用到的所有表达式如末指明，均与第二章相同 我们首先考虑检验问题( i j ，检验问蹈( i i ) 将在本章第三节讨论对假设检验问 题( i ) ，取损失函数为： l 。c e ，a 。，= ：9 一。若若8 0 0 0 ，工tc a ，a ，= ：。如一。，喜：圣2 ，c 。z ， 此处。为给定的常数，d = ( d o ，d 】) 是行动空间，d o 表示接受h o ，d 1 表示否定凰 设 6 扛) = 尸( 接受三七j x = z ) ( 3 , 3 ) 为随机化判决函数，则在先验分布g ( 日) 下，6 ( z ) 的b a y e s 风险为 r ( 6 ( 乩g ( = 厶五卜羽淌) d ( 叫+ l ，( 目，d 1 ) ( 1 6 ( 圳 ，( z 如船( 口) = o f6 ( z ) a ( ) d z + c a ， ( 3 4 ) 其中 由( 2 5 ) 可知 五圳口，d 1 ) _ ，( 卵) 如d g = 上州p ，d 1 ) d g ( 既 ( 35 ) 雌) = 上( 口吨) m d g ( 目) = 厶州邓) d g ( 町( 。) = f c l ) 0 ) 一0 ( 。) + 8 0 ) ，( z ) ( 36 ) 1 7 故由( 3 4 ) 式可知，b a y e s 判决函数为 狮，2 。1粥嚣 c s ， 其b a y e s 风险为 r ( g ) = 1 萨r ) = r ( 6 g ，g ) = n 上a ( 茁) 6 g ( z ) 如+ ( 3 8 ) 在( 3 8 ) 中，当先验分布c ( o ) 是已知且6 ( z ) 等于6 g ( z ) 时，n ( c ) 是完全可以 达到的。但由于此处先验分布a ( o ) 是未知的，因此如( z ) 也是未知的，因而如( z j 不可用这就导致引入e b 方法来解决这个问题 本章第二节研究了检验问题i 的e b 检验的渐近最优性和收敛速度，第三节对 双边的e b 检验问题i i 讨论了同样的问题在第四节我们给出一个满足定理条件的 例子。 3 2 单边e b 检验函数的构造 本节利用第二章已得到的n a 样本概率密度函数及其导数的核估计，i 1 1 ( z ) ，n ( z ) 来构造e b 检验函数。 定义。( z ) 的估计量如下； a 。( z ) = ，( ) 一( u ( z ) 十舶) k ( z )( 39 ) 因此，e b 检验函数定义为 蹦牡r删；： 令e 。表示对r v x l ，x 2 ，一，x 。的联合分布求均值，则靠( z ) 的全面b a y e s 风 险为 r 。= r 。( 矗，g ) = n d ( z ) e 。( “( z ) ) d z 十c b( 3 1 1 ) 按定义，若舰r n = r ( g ) ，则称 “) 为渐近最优( a n ) 的e b 检验函数一若r n r ( a ) = 0 一9 ) ，口 0 ，则称e b 检验函数限 的收敛速度的阶为。咖一。) 。 1 8 3 3 单边e b 检验函数的渐近最优性和收敛速度 为导出本章的主要结果，我们需要以下引理我们用c ，cz ，c 2 ，表示不依赖于 n 的正的常数，它们在不同的地方可以表示不同的值，即使在同一表达式中也是如 此 引理3 1 令r ( g ) ，分别由( 3 8 ) 和( 3 1 1 ) 定义，则 0 r 。一r ( g ) o i o ( z ) 1p “o 。( 。) 一o ) l i a ( z ) i ) d x 证明：参见j o h n s 【1 5 】引理1 的证明 下面的两个定理分别给出船检验函数 如) 的a o 性和收敛速度。 定理3 1 设r ( g ) 和分别由( 3 8 ) 和( 3 1 1 ) 式给出，x l ，x 2 ，为同分布弱 平稳n a 样本序列。若假定( b ) ，( c ) 成立，且 ( i ) e 蚓 o 。， ( i i ) ，( 1 ) ( z ) 连续， 则当l i r ah 。= 0 ，l i mn 碍= 。o 时，有 l i m 局。( 如，c ) = r ( g ) 证明：由引理3 1 可知 0s 冗。一r ( c ) s 。i o 扛) p ( f n 。( z ) 一。( z ) i o 扛) i ) 如 设风= f n ( z ) p ( f o 。( z ) 一o ) f f 。( 。) f ) ，易见玩( z ) s 陋( z ) f 由( 3 6 ) 可知， 上姒列出sl 岛 五，( 。) 出+ 工五剧，扫d e ( 口) 如 i 臼0 1 + e 蚓 o 。 由控制收敛定理 0 。l i m ( r 一n ( c ) ) s 。六! 溉& ( z ) ) 如 ( 3 1 1 2 ) 因此，为证定理只须证明l i r a 巩( z ) = 0 对任意固定的z 爿a s 成立即可由 m a r k o v 不等式及( 3 6 ) ，( 3 9 ) 可知 b 。( z )= f o ( z ) lp ( f a 。( ) 一d ( ) f2l o ( z ) f ) 磊f 口n ( ) 一口( 士) f e 。l 矗1 ( z ) 一，( 1 0 ) i + i v ( x ) + o o le 。i 0 ) f ( x ) l ( 3 ，1 3 ) 1 9 由引理22 f 1 ) ，当i = o ，r = l 时， 1 i mb l ( z ) 一，( 刮= 0 ( 3 1 4 ) 当i = l ，r = 1 时， l i r ab j ， 1 ( z ) 一，( 1 ( z ) 1 = 0 ( 3 1 5 ) 因此将( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 代入( 3 1 3 ) 可知，对任意固定的。z ，熙b n ( z ) = 0 ；再由 ( 3 1 2 ) 可知，定理3 1 得证 定理3 2 设r ( c ) 和如分别由( 3 8 ) 及( 3 1 1 ) 式给出，x 1 ，恐， 平稳n a 样本序列。若假定( a ) ，( b ) ，( c ) 都成立，且对0 a 1 有 ( i ) 厶l d ( 圳1 - 1 如 。 ( i i ) & 0 _ ( z ) 1 1 - a j ”( z ) + 岛i d x o o 则当h n = n - - 南日寸 。“ r 。一r ( c ) = 0 ( n i 莉) 证明：由引理3 1 和m a r k o v 不等式可知 尺。一r ( c ) 。i 。( 。) fp ( i a n ( x ) 一。( 。) f 陋( z ) f ) 如 j 爿 。 ( z ) 1 一 e 。j a 。( z ) 一d ( 。) j d z j 疋 c 1 l 口( z ) 1 1 1e 。1 ，1 1 ( 。) 一，( 1 ( 。) 1 1 d x j z + c 2 忸扣) 1 1 1 m 扛) 十0 0 1 1 k i ，n 扛) 一，扛) 1 1 d x jx 垒n + t o 由引理2 2 ( 3 ) ，当i = i ，h 。= n 一南时，对o a 1 ，有 取( z ) 一，( 1 ( 。) 1 1s 。一嬲 为同分布弱 ( 3 1 6 ) 再由定理条件( i ) 可知， 乃郇一爵端 i 。( 。) p d x 兰c n 一箐黯 ( 31 7 ) 乃c l 耳一i f 两j ( z ) | 1 1兰c n 一司丽 ( 31 7 ) j 爿 由引理2 , 2 ( 3 ) ，当i = 0 ，h 。= n 一赢时，对0 瑚 ( 3 船7 关于检验问题( 32 0 ) ，取如下的损失函数； ( 口，d o ) = 上：( 9 ，d 1 ) = 若 若 若 若 这里的。为一个正常数此时设随机化判决函数为 6 + ( z ) = p ( 接受塌j x = z ) ， 则在先验分布g ( 口) 下，类似文献 2 0 】可得扩( z ) 的b a y e s 风险为 r ( j ( 。) ，g ( 日) ) = 。o r * ( z ) 扩( x ) d x + c a j g g 由( 35 ) 给出。类似a ( z ) 的求法，结合( 25 ) 和( 2 6 ) 可知： d + ( z 屯【( 9 一) l 碉m i o ) d g ( o ) 2 厶即( 邓) 嘏( 目) 一2 钆正州卵) d g ( 日) + ( 略商上m d g ( 日) = ，2 ( z ) 一，1 ( 。) ( 2 ( ? ) 十2 0 0 ) + ，( z ) ( 2 v 2 ( z ) + 2 0 0 ( 。) 一 ( 2 ) + 簖 = - ，( 2 ) ( 。) 一 ( 。) ，( 1 ) ( 。) + 妒( 。) ，( 。) 这里， 出) = 等，) = 等，吣旧卅蛾 p ( z ) = 2 v 2 ( z ) 4 - 2 0 0 r ( z ) 一 ( ) + ( 铅一p 3 ) 2 1 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) p ；) ( 32 4 ) ( 32 5 ) ( 3 2 6 ) l23 伽肋 邶脚 一 卧踟踟踟 一 一 一 一 p 8 p 疗 确 蝴 2 一 p 摇 o 0 o o ，l，、【 由( 3 2 3 ) 易见，b a y e s 判决函数为 ，= ：鞫揣 其b a y e s 风险为 彤( g ) 2 簪r ( 扩，g ) = r ( 略( 。) ，g ) 2 。上。+ ( 。) 略( 。) 出+ 于是( 。) 的估计定义为： a ：( z ) = ，乎( 。) 一叫( z ) ，( 。) + 妒( 。) 厶( z ) 其中篮( z ) ( i = o ，1 ，2 ) 由第二章给出因此，定义e b 判决函数如下t 驰，= 。1骝描 其全面b a y e s 风险为 磷= r 。( 醛( 。) ，g ) = 口0 4 ( z ) 晶( 酩( 2 ) ) 出+ 蚀 ( 3 3 1 ) 下面的定理给出 髭) 的a l o 性和收敛速度，其证明方法与定理3 i 和定理3 2 类似 定理3 3 设r + ( g ) 和聪分别由( 3 ，2 s ) 、( 3 3 i ) 式给出，x l ，恐，为同分布 弱平稳n a 样本序列 ( 1 )若假定( b ) ，( c ) 成立，且，( 2 ) ( z ) 为连续函数， e ( 0 2 ) o 。，则当h n _ 0 ，n ：_ 。m _ o 。) 时， 有县恶r n ( 螃，g ) 2 r + ( g ) ( 2 ) 若假定( a ) ，( b ) ，( c ) 皆成立，且对0 l ，有下列条件成立： ( i ) 凡p ( z ) 1 。1 1 u ( z ) 1 帕d x 。o ， m = o ，1 ，2 ( i i ) 厶州z ) p 吣) 1 1 出 。 则当h 。= n 一赤，s 3 为正整数时，磁一r + ( g ) = o ( n 一市两) 证明：( 1 ) 的证明与定理3 1 类似，不同之处是要证明当e ( e 2 ) o 。时，有 厶 o + ( z ) 如 o 。具体证明如下： 厶l 。俐如= 上心钟卅州口) d g ( 卟如 口2 d a ( o ) + 2 1 0 0 i l o l d a ( o ) + 1 0 5 一肛3 l o o 盯 鹳 妁 3 3 3 3 宙引理3 ，1 可知 o 磁一r ( g ) 。六m z ) 口一a ( 圳m ) 设点瓷( 。) = i a 4 ( z ) i | p ( j n ：( z ) 一矿( z ) l 三i ( 。) i ) ，易见磁( z ) 墨l 矿( 。) 1 故由控制收敛定 理 o s 。1 i m 。( r * 一r ( g ) ) c j z | i m b n * ( z ) 如 ( 3 3 2 ) 因此，为证定理只须证明。l 。i r a 。联( ) = 0 对任意固定的z za s 成立即可由 m a r k o v 不等式及( 3 2 4 ) ，( 3 2 9 ) 可知 日嘉( z ) = i q ( 。) fp ( f a ：( 士) 一a 4 ( 。) f 三f o ( z ) f ) e 矗f 三( z ) 一q ( z ) ? 取i 胛( z ) 一，c 2 ( 圳+ i ”( 。) i 圾l 船( z ) 一，( 1 ( z ) l + i 妒( z ) ie n 【，n ( z ) 一f ( x ) l ( 3 3 3 ) 由引理2 2 ( i ) ，当i = o ，r = i 时， 。1 i r a 。昧f 厶扛) 一，括) f = o 当i = l ，r = l 时， 。l i r a 风坩( z ) 一产l = o 当i = 2 ，r = l 时， 恕b j 臂( 。) 一，( 2 ( z ) j = 0 因此由( 33 3 ) 可知，对任意固定的z 以。l - + i r a o 。取( z ) = o ；再由( 3 3 2 ) 可知，定理3 1 得证。 ( 2 ) 的证明；由引理3 1 和m a r k o v 不等式可知，