（应用数学专业论文）helmholtz方程混合边值问题解的存在性和唯一性.pdf

硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 摘要 我们考虑部分边界被覆盖的散射体上的散射问题主要利用第一类边界积分方 程和变分方法来解决在散射体d 的l i p s c 址t z 边界上满足n e 衄a n n r o b i l l 混合边 界条件的h e l m h 0 1 t z 方程的散射问题考虑如下： 混合边值内问题 i u + 七2 让= o 饥 d ， i 考= g 帆r ， ( 奉) i 骞+ z 后a t = 危帆h 显然，如果我们能知道解在整个边界r 上的d i r i c h l e tc a u c h y 数据或n c u m 锄 c 岫数据，解的存在性问题便可由【1 】得到基于此，参考【8 】，我们利用如下方法 证明： 利用单双层位势理论以及格林公式，先将混合边值内问题( 幸) 转化为2 2 的 第一类边界积分方程组在某种意义下，所得积分方程组等价于最开始的混合边值 内问题( 木) ( 参见文献【6 】) 一旦未知的c a u c h y 数据由此边界积分方程组确定，则( 木) 有唯一的弱解 我们的证明可分为两部分第一部分利用边界积分方程理论证明内问题( 木) 解 的存在性第二部分介绍第一部分中用到的引理并对该引理进行证明 关键词：散射理论h e l m h o l t z 方程混合边界条件第一类边界积分方程存 在性唯一性 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t w bc o n s i d e rt h ed i r e c ta n di n 、r e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m sf o rp a r t i a l l yc o a t e do b s t 扣 c l e s 1 0t h i se n d ，r e 丘r s tu s et h em e t h o do fi n t e g r a l le q u a t i o 璐o ft h e 缶s tb n d t o g e t h e r 丽t hv 盯i a t i o n a lm e t h o d st os o l v eas c a t t e r i n gp r o b l e mf o rt h eh e l m h o l t ze q u a t i o n w h e r et h es c a t t c r e d6 e l ds a t i s 丘e sm 没e dn c l l i n a m 卜r o b i nb o u n d a r y n d i t i o n s w b c o 璐i d e ri tl i l 她t h i s ： i n t e r i o rm i ) ( e db o u d a 珂v 甜u ep r o b l e m ( 宰) o 晰o u s l y ，i fw ec a n l 【n o wt h ew h o l ed i r i 砌e tc a u c h yd a t ao rn e 眦锄ca u i c h y d a t ao ft h es 0 1 u t i o no nt h ew h o l eb o u n d a ur ，t h ee x i s t e n 6 eo ft h es o l u t i o nc a nb e g o t t e n 丘o m 【1 】f o rt h i 8 ，w eu s et h ef o u o 丽n gm e t h o d w 1 1 i c hr e f e r r e dt o 【8 】： b ys i n g l e - a n dd o u b l e 1 缈e rp o t e n t i a lt h e o r i 晒a n dg r e e n sf o r m l d a ，w e 丘r s t 睁 f o 唧u l a t et h ei n t e r i o rm 帔e db o u n d a r yp r o b l e m ( 木) 舾a2 2s y s t e mo fb o u n d a 巧 i n t e g r a l le q u a t i o no ft h e 丑r s tl 【i n dw h i c hi se 叫、赳e n tt o0 1 1 ro r i g i i l a li n t e r i o rm 溉d b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi ns o m es e 璐e s ( s e e 【6 】) o n c et h eu m 【n mc a u c h yd a t aa r e d e 七e 衄i n e d 丘o mt h e2 2s y s t e mo f b o u n d a 珂砒e g r a l le q u a t i o no ft h e 丘r s tl 【i n d ，t h e r e p r e s e n t a t i o no ff 6 m n d a ( 8 ) d e t e r m i n e st h eu n i q u ew e a k s o l u t i o n o u rp r o o fc a nb e 击讥d e di n t oh ，op a r t s i nt h e 缶s tp a r tw eu s et h eb o u n d 龇y i n t e g r a le q u a t i o nt h e 0 珂t op r o 、，et h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nf b rp r o b l e m ( 木) i n t h es e c o n dp a r tw ei n t r o d u c ea n dp r a v et h el e m m a 讹c hw 嬲u s e di i lt h e 缶s tp a r t k e yw o r d s ：s c a t t e r i n gt h e o 叮 h e h h o l t ze q u a t i o nr n j x e db o 皿d a 巧c 0 出t i o i l s b o u d a l r yi n t e g r a le q u a t i o n so f 址l e 缶s tk i n d e ) 【i s t e n c e i q u e n e s s i i 阢 队 “ 汛 帆 m o 忍 = = 气 地 名 g 识 r = 卜 h = + 舭 丝升丝升 ，-i-_ii-_，、-i-_-_-_、 硕士擎住论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 储签名：以虹易 日期：妒年f 月右日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：久暖杉 日期：梯年 月b 日 l ， 一 名：多扯 日期：沙子年歹月凸日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。园童途塞理銮厦澄蜃! 旦兰生i 旦= 生；旦三生发查- 作者签名：压屯多 日期：矿易年，月泸日 抑虢乡7 抄 日期：彦驴子年岁月如日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 绪论 散射理论在2 0 世纪数学物理中扮演着重要的角色从自然现象，原子核的发 现到现代医学x 光探测的应用，散射现象已经吸引，迷惑而又鼓舞着科学家和数 学家将近百年的时间简要地讲，散射理论同非均匀介质在入射波或微粒上的作 用效果有关尤其，如果将整体场看做入射场让和散射场矿的叠加，那么正问题 便是通过已知的u 以及波动微分方程来确定u 5 迸一步地便是对相关的反问题 的研究以上简单的描述涉及到大量物理概念和数学方法，具体可参见c h a d a n 和 s a b a t i e r 【1 4 】，c 0 1 t o n 和k r c s s 【9 】，j o n e s 【1 5 】，l a x 和p l l i l l i p s 【1 6 】，l e i s 【17 】，m 试l e r 【1 8 】，e d 和s 血o n f l 9 1 以及w i l c 似【2 0 】 对于h e h n h o l t z 方程让+ 七2 u = o ，m 尼0 的边值问题的研究引起了很多人 的关注位势理论，边界积分方程理论等在这类问题中得到了相当广泛的应用文章 【9 1 对应用位势理论解决光滑区域上h c l 1 h o l t z 方程的边值问题有很完备的阐述在 文章【1 】，【1 0 】中也有涉及应该说对光滑区域上h e l 1 h o l t z 方程边值问题的研究是很 深入的得到的结果也比较充分例如d i r i c 址e t 外问题至多有一个解其解连续依 赖于所给的边值数据等等但对于一般边界上特别是l i p s c l l i t z 区域上h e h n h o l t z 方 程解的存在性和唯一性还有许多问题值得进一步探讨这也是当前对这类问题研究 的热点在该问题的研究上已经取得了很大的进展，也得到了很多不错的结果如 b d a l l l b e r g 和k e i g 在【1 1 】中对l 印l a c e 方程在l i p s c m t z 区域上的口n e u m 锄 问题的研究得到了很多好的结果还有文章 1 2 】和 1 3 】中m m i t r e a 和r h ，r o r r e s 也得到了一些不错的结果文章【8 】便是对二维情形下l i p s c l l i t z 区域上h e h h o l t z 方程混合边值问题解的存在性和唯一性的探讨对于这类问题，一般都是应用边界 积分方程和f r e d h o l m 选择定理来解决构造方程具有位势形式的解，然后再利用位 势在边界的跳跃条件以及方程的边界条件得到与原方程对应的边界积分方程最后 利用n e d h o l m 选择性定理得到相应边界积分方程解的唯一性从而得到原方程解的 存在性 本文讨论的同样是l i p s c l l i t z 区域上h e h n h 0 1 t z 方程混合边值问题解的存在性 和唯一性问题只是所给出的混合边界条件与【8 】中有所不同【8 】中所求的解在一部 分l i p s c m t z 边界上必须满足d i r i c m e t 边界条件，在另一部分l i p s c l l i t z 边界上必须 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 满足r d b i i l 边界条件而本文所讨论问题的混合边界条件由n c 啪a n n 边界条件和 r o b i n 边界条件组成 外问题形式如下： 令夕日一( r ) ， 日一( r a 试找出一个函数t 砚( r 2 面) 使得 让+ 七2 缸= 0 器= 夕 赛+ i 从u = l i 珥。( 赛一i 尼u ) ) = o t 孔r 2 万， d nr ， mr j ， 相应的内问题具体如下： 令夕日一( r ) ， h 一；( r j ) 试找出一个函数让日1 ( d ) 使得 u + 后2 z 工= 0讥 d ， 赘= 夕 叽r ， 鲁+ i 七a u = 危d n r j ， 本文主要分为两个部分： 第一部分提出具体问题先介绍文章【8 】所探讨的混合边值问题其中涉及到 s o b o l e v 空间的定义然后具体给出本文所讨论的混合边值问题该混合问题又分为 内问题和外问题，对此分别予以提出此部分还分别给出了内外混合边值问题所求 弱解的定义 第二部分则是给出所提外问题和内问题解的存在性和唯一性结论并分别予以证 明对此内外混合问题解唯一性的证明，主要利用格林公式和n e d h o l m 选择定理来 解决对外问题唯一性进行证明过程中还用到了鼬u i c h 引理而存在性的证明，除 了n e d h o l m 理论，还用到了边界积分方程理论从弱解的格林表达公式入手将原来 的问题转化为2 2 的第一类边界积分方程组在某种意义下，所得积分方程组等价 于最开始的混合边值问题利用引理证明积分方程组可解从而原问题可解在证明 过程中同样用到位势在边界的跳跃条件以及己知的混合边界条件证明中涉及到的 引理由于证明篇幅较长，故放在最后进行证明 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2问题的描述 令dcr 2 是具有l i p s c m t z 边界r 的有界区域且r 2 万是连通的假定边界 r 有l i p s c 场t z 划分r = r u ur j ，其中r 和r j 是r 的相对开子集且不交是 它们在r 上的公共边界更进一步，r 上的n e u m a n n 边界条件和r ，上的r o b i n 边 界条件是给定的记7 为r ur ，上几乎处处有定义的单位法向量，在本文中取指 向区域d 外面的法线方向为正方向考虑整场 u 0 ) = 乱p ) + e b 。d 瞄二 讥r 2 万， 帆r ， 帆r ， ( 1 7 ) 其中七 0 是波数，a 是正常数，z r 2 ，d 表示入射方向的单位向量且散射场u 在 圣= 白，7 = 上一致满足s o 皿e r f e l d 辐射条件( 见【2 】) 恕( 等砘垆o ( 2 ) 如果把u 作为未知函数，那么问题( 1 ) 就变为 t + 七2 t 正= 0 u ( z ) = 一e 池d 赘+ i 七入u = o l i m r ( 磬一i 七u ) = o 讯r 2 面， mr | ， 帆n 由此考虑更一般的情形，即缸在r 上满足d i r i d l l e t 边界条件，并将( 1 7 ) 中第 三式的齐次条件改为非齐次条件，就得到文章【8 】中所提外问题：令，日；( r ) ， 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 日一；( r j ) ，试找出一个函数u 砚( r 2 万) 使得 u + 七2 t = o 让( z ) = ， 爱+ i 七a u = 危 饥r 2 西， 叽r ， 叽r j 当然s o m m e r f e l d 辐射条件( 2 ) 也要满足因此问题( 1 7 ) 可看做是文章【8 】所提混合 边值外问题的特殊情形 如果我们将文章【8 】问题中的d i r i c h l e t 边界条件换成n e u m a n 妇边界条件，又将 得到怎样的结论呢? 由此我们考虑下面的混合边值外问题和内问题 2 1 外问题 令9 日一( r ) ， 日一口j ) 试找出一个函数让观( r 2 万) 使得 u + 后2 u = 0 鲁= 夕 爱+ t 尼入u = 危 l i m r 。、彳( 券一i 南札) ) = o 讥r 2 西， 帆h ( 2 ，) 饥r ， 以上混合边值外问题的解定义在相应的变分空间为更精确地用公式表不散射l 司题 ( 2 ) 的解，我们介绍如下s o b 0 1 e v 空间： 令r o r 是边界r 的一部分若日1 ( d ) ，岛1 ( r 2 西) 指通常的s o b 0 1 e v 空 间，日 ( r ) 是通常的迹空间，定义 日；( r 0 ) ：r o ：t 日；( r ) _ ； 厅( r 0 ) ：= 缸日( r ) ：s u 聊成) ； 日一；( r o ) ：= ( 豆 ( r o ) ) 7 ，即豆( r o ) 的对偶空间； 豆一( r 0 ) ：= ( 日( r 0 ) ) 7 ，即日；( r o ) 的对偶空间 记外问题的解空间c t ：= 且之( r 2 面) ： + 忌2 口= o ，l i 珥。( 警一i 尼u ) = o ) 因此，外问题的变分表达公式理解如下，也即外问题的弱解定义如下：找出 4 u 砚( r 2 万) ，雳l r = 夕使得对所有试探函数u 日1 ( r 2 西) ，u 在r 2 内有紧支 集且赛i r n = o ，我们有 一尼2 呖如+ v 2 上v 西出= 一( ，可i n ) + z 七a ( 让， ) r ， ，r 2 石，r 2 西 其中( ，) 指对偶系日一 ( r j ) i 膏( r j ) ，( ，) 是通常的l z ( r j ) 中的内积，且让要满足 ( 2 7 ) 中第四个等式的条件，也可写成1 i 珥- + i ( 赛一i 七u ) 1 2 d s = o 在求解如上外问题的时候，如果采用位势理论和n e d h o l m 理论，不可避免的会 涉及到相应的内问题具体来讲，相应的混合边值内问题如下 眨 ， 记内问题的解空间c 砌：= u 日1 ( d ) ：u + 尼2 = o ) 类似的，对内问题的弱解有 如下定义：找出缸日1 ( d ) ，赘l r = 夕使得对所有试探函数 日1 ( d ) ，骞l r = o ， 我们有 rr 一后2 础+ v t 正v - c 红= ( ，可| r ，) 一i 七a ( t 正，u ) r ， ( 4 ) jd3d 在本文中，我们主要研究内外混合边值问题即问题( 2 ) 和( 3 7 ) 解的存在性和唯 一性我们先证明解的唯一性然后由位势理论和n e d h o l m 理论，将问题( 2 ，) 和 ( 3 ) 转化为相应的2 2 的第一类边界积分方程组当该边界积分方程组有唯一解 存在的时候，原问题( 2 ) 和( 3 7 ) 解的存在性便得到了 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 3存在性与唯一性 对混合边值问题( 2 ) 和( 3 ，) ，如上一章所说，由于唯一性较容易得到，因此先予 以介绍 3 1 混合边值问题解的唯一性 我们先考虑混合边值内问题( 3 ，) 有如下唯一性结论： 定理3 1 1 混合边值内问题( 3 7 ) 在厶n t 内至多有一个解 证明：设u 是( 3 7 ) 的一个解且9 三o ， 兰0 则在d 上应用格林公式有： 上i v 让1 2 出+ 上u 缸出= z 骞- d s c 5 ， 由( 3 7 ) 第一式有u = 一忌2 u ，代入上式有： 上i v u l 2 如一忌2 上川2 出= z 考瓦d s = z 考瓦幽+ 二考瓦d s = z ，考- d s c 6 ， 由( 3 7 ) 第三式有：甓= 一t 七a 扎o nr j ，代入( 6 ) 式有： _ 二l v u l 2 如一七2 二l u l 2 d z = 上，一i 尼a “瓦d s = 一t 七az ，l 让1 2 d s 由于k ，a 均为实数，( 7 ) 式左侧为实数，故( 7 ) 式右端必为零因此作为日( r j ) 上的 泛函让i r ，三o 故作为日一( r ，) 上的泛函舞h 三o 今在r ，上取一点b ，以b 为圆 心，p 为半径作圆使得巧nr = o ，并令在dnb 上有u = u ，在r 2 面n 日上 u = o 则对每个试探函数妒霄( 岛) ，将g r e e n 第二恒等式分别应用在d n b 和 r 2 西n b 上，可看出 是h e l m h o l t z 方程在屏上的一个弱解则 是经典解( 见 【6 1 ) 从而在b 上实解析，从而断定在b 上t 三o 因此在d 上u 三o 由n e d h o h n 选择定理知内问题( 3 ) 在i 砒内至多有一个解 同样，对于相应的混合边值外问题( 2 7 ) ，我们有如下唯一性结论： 定理3 1 2 混合边值外问题( 2 7 ) 在喇内至多有一个解 证明：类似定理3 1 1 ，设u 是( 2 ，) 的一个解且夕三o ， 三o 今以r 为半径作 圆b r 使得dcb r 在b r d 上应用格林公式有： 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 厶r dl v u l 2 出+ 厶小d t 正缸出 = 一( 厶b r 赛瓦d s + 丘篝- d s ) = 一( 厶b r 舞瓦d s + 正考诎+ 正，寿瓦d s ) 由( 2 7 ) 第二式有骞= o o nr ，由( 2 7 ) 第三式有骞= 一i 七a uo nr ，代入上式有： 厶冗dl v u l 2 出+ 厶小d t u 出 = 一( 厶且矗骞谢s + 丘，寿瓦d s ) = 一( 厶b r 劈面d s t 七a 正，川2 d s ) 故 z 且r 考瓦d s = 一c 上r 、。l v 让1 2 如+ 上凡、。u u 如，+ i 后入z ，i 乱1 2 d 5 因此 j 仇z b 且考础堋小2 出。 由u i c h 引理知在r 2 b r 上u 三o 由解析性知在r 2 万上u 兰o 最后由 f r e d h o l m 选择定理知外问题( 2 7 ) 在础内至多有一个解 唯一性已经证明，下面就剩下解的存在性问题了 3 2 混合边值问题解的存在性 考虑混合边值内问题( 3 ，) ，显然，如果我们能知道解在整个边界r 上的d i r i c h l e t c a u c h y 数据或n e 皿锄c 岫数据，问题( 3 7 ) 解的存在性便可由【l 】得到基于 此，参考【8 】，先将混合边值内问题( 3 7 ) 重新转化为2 2 的第一类边界积分方程系 统然后，由引理3 2 3 可得到该系统解的存在唯一性从而得到( 3 7 ) 解的存在性 具体结论如下： 定理3 2 1 混合边值内问题( 3 7 ) 在跳内有一个弱解 证明：先从弱解的格林表达公式 u = s 害一口u ， ( 8 ) 着手其中的有界算子s ：日一；( r ) _ 日1 ( d ) ，d ：日吉( r ) _ 日1 ( d ) 分别是定义如下 的单双层位势： 7 s 妒( z ) ：= 正咖( y ) ( z ，夕) d s ， z r 2 r d 妒( z ) ：= 正妒( y ) 掣d s 可，z r 2 r 应用已知单双层位势的跳跃关系，并由迹定理的意义，我们得到解在边界r 上 c a u c h y 数据的如下表示： u ：一k u + s 尝， ( 9 ) 考一t 缸埘筹， ( 1 0 ) 其中s ，k ，t 表示四个基本的边界积分算子，它们的定义如下： s 妒( z ) ：= 2 正妒( 可) ( z ，y ) d s v ， k 妒( z ) ：= 2 丘妒( 可) 掣d s 可， k 妒( z ) ：= 2 片妒( ) 笋d s y ， 嘶( z ) ：= 2 寿丘妒( 可) 掣电 地可) ：= 羞威1 ( 后i z y 1 ) ， ( 1 1 ) 是h e l i n h o l t z 方程的基本解毹1 是零阶的第一类h a n k l 函数对l s i ，s ，k ， 和t 是有界算子且有如下映射性质： s ：日一柚( r ) _ 日 + s ( r ) ， k ：日桕( r ) _ 日 + s ( r ) ， k ，：日一 + s ( f ) _ 日一+ 5 ( r ) ， t ：日；+ a ( r ) _ 日一+ 8 ( r ) ( 9 ) t 七入+ ( 1 0 ) 有： 考+ i 七入让= 一几+ k 7 考一i 七入k u + i 从s 考， ( 1 2 ) d ya ，y u y f 夕。nr ， 9 - 1 o帆n 元= 三 ： 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 是夕，危在整个边界r 上的有界零延拓则歹，元日一i ( r ) 设 仳i r = 妒 训r ，= 仇 万= ： ：= ： 西= ：， ：二 显然妒厅；( r ) ，妒j 厅( r a 因为在r 上妒j 兰o ， 和妒j 是解的未知c a u d l y 数据 由( 1 3 ) ，( 1 4 ) 得： 让i r = 磊+ 面， 祟+ 枞u ： 。nr j d y 赛h 栅撕砘 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 在r ，上如三o 函数妒 务，乱一从忆 a ，y ”。 ”7 因此 争：歹+ 元二枞再a 1 j 1 把( 1 5 ) 式和( 1 9 ) 式代入( 1 0 ) 式有： 襄= 一t ( 磊+ 面) + 侮+ 元一i 七a 石) 上式两边限定在r 上得： 歹l r n = 一t ( 五十再) i r n + k 7 ( 歹+ 元一i 七a 石) i r ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 一码妇+ ( 一码，一z 尼a 尺新) 砂，= ( 歹一k 7 ( + 劲) l r ( 2 2 ) ( 1 5 ) ，( 1 9 ) 式代入( 1 2 ) 式右侧，然后将( 1 2 ) 式两边限定在r ，上有： ( 害+ i 从仳) f r ，= 一丁( 磊+ 石) + 7 ( 抖元一f 七a 石) 一i 忌a ( 磊+ 石) 扣七a s ( 抖无一i 从石) ( 2 3 ) 结合( 1 7 ) 整理得： ( 一乃一 尼入所) 妇+ ( 一乃广删。( 所j + 研，) + 七2 入2 研j ) 咖= ( 一一( + i 七a s ) ( 弭元) ) h ( 2 4 ) 上面所得的两方程可写为未知c a u c h y 数据币，矽，的2 2 积分算子矩阵： a 唱 ， 其中算子a 表示如下： a = ( 一乃品研意i 絮枞d ( 2 5 ) 式右端的g 表示如下： ( 2 6 ) g 。( g 一篙篙h ) ，g = i 二 i ( 2 7 ) ( 一( + i 后入s ) ( 歹+ ) ) l r ， 、 这里算子所是作用在矽上，其支集巧上，映射到r ，上的算子西，甄j ，礤f ， 乃，毋j ，乃，j b j ，郦j 有类似定义由s ，k ，t 的映射性质有： 乃啊：日( h ) 一日一( r ) ， 霸，：日( r j ) _ 日一；( r ) ， 确j ：百一( r j ) _ 日一 ( r ) ，乃：厅( r j 、r ) 叶日一( r j ) ， 函j ：日一壹( r j ) _ 日 ( r ，) ， 乃| r ：日( r r ) _ 日一 ( r j ) ， 局j ：日 ( r j ) 一日 ( r j ) ，弼j ：日一( r ，) 一日一( r ，) ， 所：青 ( r ) _ 日( r j ) 因此算子a ：膏( r ) 膏 ( r j ) 一日一( r ) 日一( r ，) 是连续映射在某种 意义上积分方程组( 2 5 ) 等价于最开始的混合边值内问题( 3 ，) ( 参见文献【6 】) 一旦未 知的c a u c h y 数据由( 2 6 ) ，( 2 7 ) 确定，表达式( 8 ) 便确定了内问题( 3 7 ) 的弱解 1 0 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 应用引理3 2 3 ，可知积分方程组( 2 5 ) 可解从而混合边值内问题( 3 7 ) 可解 定理3 2 1 证毕 此证明所用到的方法最先由h s i a 0 ，w b n d l a n d 【3 ，4 】，n 6 d 6 l e c 5 】在研究l 印l a c e 方 程时用到更多内容可参考m c l e a n 【6 】 同定理3 2 1 类似，对于外问题( 2 ，) 我们有如下结论： 定理3 2 2 混合边值外问题( 2 ) 在c 碰内有一个弱解 证明：类似定理3 2 1 中证明，定义有界算子s ，d ，边界积分算子s ，k ，犁，t ，只 是解在边界r 上c a u c h y 数据的表示不同，所得如下： 忙肌+ s 考， ( 2 8 ) 考一t 一考， ( 2 9 ) 由( 2 8 ) ，( 2 9 ) 有： 考+ i 后a 让= 一t u 一考+ i 七a k t + z 从s 筹 ( 3 0 ) o弋010 弋 、 同样在边界上设妒，妒j 并作零延拓，利用所设和( 2 8 ) 一( 3 0 ) 得到外问题未知c a u c h y 数据妒，咖的2 2 积分算子矩阵如下： a f ，伽、锯 妒， ( 3 1 ) 其中算子a 表示如下： 肚( 一乃盎所山+ i 意誓裟枞) ， 一乃+ i 尼a j 订一乃，+ i 七a ( j 0 j + j q f ) + 尼2 a 2 函j ( 3 1 ) 式右端的g 表示如下： g = k 譬兰点高h ) ，g 2 k ( 元+ ( k ，一i 尼入s ) ( 歹+ 元) ) i r ， ( 3 3 ) 积分方程组( 3 1 ) 等价于最开始的混合边值内问题( 2 ，) 同样算子a 是n e d h o l m 算 子，有零指标且核a = 【o ) 由核a = o ) 和定理3 1 2 ，可知积分方程组( 3 1 ) 可解 意即混合边值外问题( 2 7 ) 可解一旦未知的c a u c h y 数据妒，妒，确定，表达式( 8 ) 便 也确定了外问题( 2 7 ) 的弱解应用引理3 2 3 ，问题( 2 7 ) 有解存在 定理3 2 2 证毕 1 1 下面我们详细介绍在定理3 2 。l 和定理3 2 2 中用到的的引理3 2 。3 引理3 2 3 令日= 詹( r ) x 露( n ) ，其对偶日= 日一( r ) 日一( r j ) ， 剡( 2 5 ) 式中的算子鼻：日一嚣+ 是e 涵l m 算予，具有零指标，且a 有平凡核 证明：由【7 】知，算子s 和一t 是正的且对紧扰动是有下界的换句话讲，存在 繁算子如：嚣一 霉) 一嚣( f ) ，幻：露( r ) 一量一爷) 使得 月e ( ( s + 如) 妒，万) c ( | | 砂1 1 ) 一姜) ) 对妒日一( r ) ， ( 3 4 ) r e ( 一( t + 二r ) 妒，万) c ( 1 | 妒l i ) 备( r ) 对妒日 ( r ) ， ( 3 5 ) ， 表示露一主霉) 和嚣留) 之间的对偶。定义岛= s 逸，马一一( ? 匆) ，则 岛，死下有界且非负，s = 岛一l s ，t 一一( 死+ 如) 记妒= ( 妒，饥) 日，西，访 一 口) 。定义 伽( 概罐a 恐嚣裂善二黧啪酬) 蜀多拦h i 是a 恐移霹弱咖b + 酽岛妇b i 酸( 群j + 硷f ) 夕 。( 3 6 ) 以及 ， 、 w = ( 嘲裂笼需i n 卜 ， 使得a 一氐+ 由此穗方法得到的玩：墨_ 露是紧算子显禹：露_ 铲定义了 如下双线性形式： 如多，万飘舻= 隅氟，矗洁编五，氟k i 融( 麟；如，妇k 隅霸，五江一 i 七a ( 所n 妇，仇) n 十忌2 a 2 ( 岛而，西) r 十( 蜀西，而) r i 从( ( 坼j + 。砰j ) 咖，咖) n ，( 3 8 ) 记( 缸，”) r 。，r osr 是l 2 ( r o ) 上的内积取( 3 8 ) 式的实部由( 3 4 ) ，( 3 5 ) 以及 8 啪t kgf ，s t t 笋g 矽j r z ，我们有： r e 【( 蜀妇，妒) r + ( 咖，妒) r + ( 弱妒，妒j ) r + ( 妒j ，妒，) r 】 黑r e 【( 妒+ 协) ，妇) f + ( 矽f + 妇) ，妇) 一 一觑【( 蜀( 妒n + ) ，妒) r 一( 弱( 1 妇+ 妒，) ，协) r j 一血( ( 蜀( 灿+ 砂，) ，( 移n + ) ) r c 1 | | 妒+ 办| | 磊( r ) 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s = c 1 ( i i 灿( r n ) + l i 矽川詹h ) ) ， 由于k 与k 7 互为伴随算子，我们有 r e 一z 尼a ( ( 所，+ 研j ) 1 加，妒，) r ，】= 七入，仇【( - 岛j 砂j ，妒，) r ，+ ( 所j 妒j ，妒，) r ，】= o ，( 3 9 ) 以及 r e 【一i 后a ( 略，咖，妒) r 一l 后a ( - r ，妒j ) r ，】= 七入，m 【( 礤，咖， h ) r + ( 臼妒，扔) r ，】 = 克入，m ，【( 熙，妒，妒) r + ( 妒，j 碍j 妒j ) r 】= 七入j 仇 ( k k j 妒j ，妒) r + ( j 硷j 妒，矽) r 】 = o 又岛下有界且非负，故 r e ( 七2 a 2 ( 岛霸，霸) r ) 七2 a 2 c 2 | l 访哆墨( r j ) c 2 是正常数 由( 3 7 ) 一( 4 0 ) 式以及“是紧算子可断定： 觑( ( 山+ l a ) 妒，万) 日日ci l 妒i f 备， 妒百；( r ) 豆 ( r ，) ( 4 0 ) ( 4 1 ) 即 觑( a 矽，西) 日日。c0 妒| | 备，。妒膏 ( r ) 豆( r j ) ( 4 2 ) 因此由【6 】我们可断定定理3 2 1 中算子a 是n e d h o l m 算子且具有零指标同样的 方法可证明定理3 2 2 中算子a 也是n e d h o l m 算子且有零指标 下面我们将证明k e r a = ( o ) 为此记妒= ( 妒，妒f ) 日是齐次方程( 2 5 ) 的一 个解，矽日 ( r ) ，咖日 ( r ) 是妒，仇在整个边界r 上的有界零延拓，其延拓 同前面一样定义位势 v = 一i 七a s 协一d ( 妒+ 咖) ，( 4 3 ) 则v 是h e l m h o l t z 方程的一个解亦即v 砌，v c 耐记外问题中的解为 v 一，内问题的解为v + 对式( 4 3 ) 从区域d 内逼近边界可得到： v + i r = 一i 后入s 石一d ( 五+ 瓦) 一三( 磊+ 西) 即 2 v + i r = 一i 七入s 妒j k ( 妒+ 妒j ) 一妒n 一妒j 1 3 ( 4 4 ) ( 4 5 ) 硕士学位论文 m a s t e r 。st h e s i s 再对( 4 3 ) 式取法向导数并从区域d 内逼近边界可得到： 等l r = 一t 尼a ( 三西一三石) 一丢t ( 五+ 石) ( 4 6 ) 即 2 筹i r = 一t 磊一t 西一i 后入k 7 五+ i 七a 石 ( 4 7 ) ( 4 7 ) + ( 4 5 ) i 七a 有： 2 ( 警+ z 后a v + ) | r = 一t 磊一t 再一i 从k 7 瓦+ t 七入面+ 七2 入2 s 西一i 七a k ( 磊+ 再) 一i 尼入( 矽n + 妒j ) = ( 一t i 忌a k ) 妒+ ( 尼2 入2 s i 尼a ( k + k 7 ) 一t ) 妒，一i 尼a 妒， 将上式限定在r ，上有： 2 ( 号筝+ i 七a v + ) l r j = ( ( 一t t 后入k ) 磊+ ( 七2 入2 s i 七a ( k + 刀) 一t ) 再一i 尼a 磊) i r ， = ( 一乃一z 七入所) 妒+ ( 一乃，一i 七a ( 硒，+ 研j ) + 尼2 入2 毋j ) 咖 将( 4 7 ) 式限定在r n 上有： 2 等i r = ( 一嗝一t 石一i 尼a k 石+ i 尼a 石) i r = 一甄面一氏，再一i 尼入硝，瓦 ( 4 8 ) 由( 2 5 ) 式齐次形式，即a 妒= o 得到： 和 一丁k 妒n + ( 一7 ，一i 尼入j 舀j ) 妒j = o( 4 9 ) ( 一乃一i 七a 坼) 磊+ ( 一乃，一i 七入( 所j + 研j ) + 七2 入2 研j ) 石= o ( 5 0 ) 将( 4 9 ) ，( 5 0 ) 式代入之前所得两式有： 警h 三o ( 5 1 ) 百阶2 u l 。1 j ( 等似胪) i r 卢。 ( 5 2 ) 由v + c 讹以及式( 5 1 ) ，( 5 2 ) 知，v + 是齐次内问题( 3 7 ) 的一个弱解再由定理 3 1 1 及其证明知v + 在d 上恒等于零同样可得v 一是齐次外问题( 2 7 ) 的一个弱 解再由定理3 1 2 及其证明知v 一在r 2 西上恒等于零因此 讥r = y 十一y 一= o ，o nr ( 5 3 ) 1 4 由( 5 3 ) ，( 5 4 ) 式得到 引理3 2 3 证毕 珠入石= 等一婺_ 0 ，。n r 一一= i - n t l a 1 1 妒= ( 妒，妒j ) 三0 ，a 5 妒日 ( 5 4 ) ( 5 5 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】d 新dc o l t o na n dr a i n e rk r e 龉i n v c r s ea c o u s t i ca n de l e c t r o m a g n c t i cs c a t t e r i i 堰 t h e 0 吼4 5 - 5 3 ，1 9 9 2 2 】c 0 1 t o nda n dk r e s sr i 嗍s ea c o u s t i ca j l de 1 e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gt h e o 珂 2 n de d n ( b e r l i n ：s p r i n g e r ) ，1 9 9 2 【3 】h s i a 0g a n dw e n m a n dw a 丘i l i t ee l e m e n tm e t h o df o rs o m ei n t e g r a l le q h a t i o n s o ft h ef i r s tk i n d m a t h a n 出a p p l5 8 4 4 9 _ 8 1 ，1 9 7 7 【4 】h s i a og a n d ，e n m a n dw o ni n t e g r a le q u a t i o nm e t h o df o rt h ep l a n em i x e d b o 皿d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h el a p l a u c i a nm a t h m e t h o d sa p p l s c i 1 2 6 5 - 3 2 1 1 9 7 9 【5 】n 6 d 6 1 e cjc c 1 】r v e d6 t ee l e m c n tm e t h o d sf o rt h es 0 1 u t i o no fs i n g u l a ri n t e g r a l e q u a t i o 璐o ns 1 】r f a c ei nr 3c o m p u t m e t h o d sa p p l m e c h e n g 8 6 1 8 0 ，1 9 7 6 【6 】m c l e a nw s t r o n g l ye u i p t i cs y s t e i n sa n db o u n d a 巧i n t e g r a le q u a t i o n s c a 皿一 b r i d g eu i l i v e r s i t yp r e 鼹，2 0 0 0 【7 】c o s t a b e lm b o u n d a 巧i n t e g r a lo p e r a t o ro l i p s c l l i t zd o m 斫n s ：e l e m e n t a r ) r r e s u l t s s 队mj m a t h a n a l 1 96 1 3 2 6 1 9 8 8 【8 】f i o r 甜b ac a k o i l i ，d 撕dc o l t o na n dp e t e rm