（信号与信息处理专业论文）纯二维提升小波构造及其在图像压缩中的应用.pdf

摘要 本文以基于提升格式的纯二维小波滤波器组的构造为中心，研究了不同类 型的二维不可分离内插滤波器，实现了图像的纯二维小波分解，并改进了s p i h t 编码算法，使其适合纯二维小波的分解特点，实验证明在低比特压缩下，纯二 维小波分解的二叉树s p i h t 在主观和客观质量上要好于著名的9 7 小波。 在全相位理论的基础上，充分考虑了周围邻域对中心样本的影响，以包含 该中心样本的所有邻域正交变换滤波的均值作为其正交变换滤波值，构造了全 相位离散反余弦列率滤波器组( a l lp h a s ei n v e r s ed i s c r e t ec o s i n es e q u e n c yf i l t e r , a p i d c s f ) ，其内插性能好于高阶消失矩的环形n e v i l l e 滤波器。 二维内插的质量是以预测值与真值之间的误差来衡量的，按照最小均方误 差的准则，利用二维自相关函数模型和环形内插滤波器的系数分布特点构造了 最小均方误差意义上的环形最优内插器，实验证明了全相位离散反余弦内插器 近似于最优内插器。 消失矩高的滤波器内插性能好于消失矩低的滤波器，或者说支撑大的滤波 器内插性能好于支撑小的滤波器，对于支撑相同但消失矩不同的不同类滤波器， 提出了准消失矩曲线，可以检测二维不可分离的内插滤波器的内插性能以及在 相同支撑下低阶消失矩与高阶消失矩滤波器的相似度。 基于预测更新的提升格式，设计了预测和更新滤波器的选取规则，构造了 基于全相位内插滤波器和最小均方误差的最优内插器的纯二维小波滤波器组， 从能量熵的观点出发，将这两种具有两阶消失矩滤波器组( 但具有高阶准消失 矩) 与具有高阶消失矩的相同支撑的n e v i l l e 小波滤波器组进行各子带能量的比 较，实验结果说明基于全相位反余弦内插和环形最优内插的纯二维提升小波与 n e v i l l e 提升小波具有可比性。 纯二维小波的子带分解不同于可分离的二维小波，借鉴了可分离小波的四 叉树s p i h t 编码，提出了两种二叉树编码方法一空间方向二叉树s p i h t 和结点 二叉树s p i h t ，在图像低比特压缩中，两种二叉树的s p i h t 编码方法获得了与 9 7 小波的四叉树s p i h t 编码相当或者比其更好的压缩效果，尤其是结点二叉树， 在低比特压缩时p s n r 平均提高约l d b 。实验证实了二叉树的编码更适合纯二维 小波分解，同时也证实了在纯二维小波分解中内插性能好的低阶消失矩的小波 滤波器能够产生与高阶消失矩的小波滤波器相同或更好的压缩效果。 关键词：二维不可分离内插器；n e v i l l e 滤波器；m c c l e l l a n 转换；全相位内插器； 最优内插器；准消失矩曲线；纯二维提升小波滤波器组；二叉树s p i h t 编码 a b s t r a c t t h i sp a p e rf o c u s e so nt h ec o n s t r u c t i o no ft r u eb i d i m e n s i o n a lw a v e l e t sb yl i f t i n g s c h e m ea n dt h er e l e v a n ti l n a g ec o d i n g w er e s e a r c ht h en o n s e p a r a b l eb i d i m e u s i o n a l i n t e r p o l a t o rd e s i g n e db yd i f f e r e n ts t a n d a r d s ，c a r r yo u tt h et r u eb i d i m e n s i o n a lw a v e l e t d e c o m p o s i t i o na n di m p r o v et h es p r i tc o d i n gi no r d e rt oa d a p t t ot h ec h a r a c t e r i s t i c o ft r u eb i d i m e n s i o n a lw a v e l e td e c o m p o s i t i o n i ti sp r o v e db ye x p e r i m e n t st h a tt h e s u b j e c t i v ea n do b j e c t i v eq u a l i t yo fb i n a r yt r e es p r i to nt r u eb i d i m e n s i o n a lw a v e l e t d e c o m p o s i t i o ni sb e t t e rt h a nf a m o u s9 7 w a v e l e tu n d e rt h ec o n d i t i o no fl o wb i t s c o m p r e s s i o n 一 ” t h i sp a p e rp r o p o s e san o v e li n t e r p o l a t o rt h a ti st h ea l lp h a s ei n v e r s ed i s c r e t e c o s i n es e q u e n c yf i l t e r ( a p i d c s f ) b a s e do nt h et h e o r yo ft h ea l lp h a s e ，t h e a p i d c s fc o n s i d e r st h es u r r o u n d i n gs a m p l e s i n f l u e n c eo nt h ec e n t e ro n et h r o u g h l y ， a n dt a k e st h ea v e r a g eo fi d c to r t h o g o n a lf i l t e r i n go fs u r r o u n d i n gs a m p l i n gb l o c k s w h i c hi n c l u d et h ec e n t e rs a m p l ea si t so r t h o g o n a lt r a n s f o r m e dv a l u e c o e f f i c i e n t d i s t r i b u t i o no f t h ea p i d c s fi ss i m i l a rt ot h a to f c i r c u l a rq u i n c u n xn e v i l l ef i l t e ra n d i t s i n t e r p o l a t i n gp e r f o r m a n c eo u t p e r f o r m st h e n e v i l l ef i l t e r sw i t hh i g ho r d e r s v a n i s h i n gm o m e n t s ( v m s ) t h ea i mo fb i d i m e u s i o n a li n t e r p o l a t i n gi st od i m i n i s ht h ee r r o rb e t w e e nt h et r u e v a l u ea n dt h ee s t i m a t e do n e f o rt h i so b j e c t i o n , w ep r o p o s eak i n do fo p t i m a l i n t e r p o l a t o ri nt h es e r i e so f t h em i n i m i z i n gm e a ns q u a r eg l t o r ( m s e ) ，w h i c hu s i n gt h e i m a g en o n s e p a r a b l ea u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o nm o d e la n dc h a r a c t e r i s t i co fc i r c u l a r q u i n c u n xi n t e r p o l a t o r sc o e f f i c i e n td i s t r i b u t i o n ， a q u a s i - v a n i s h i n gm o m e n tc r r v ei sp r o p o s e dh e r e t h ei n t e r p o l a t i n gc a p a b i l i t y o ff i l t e rw i t l lh i g h e ro r d e rv m si sb e t t e rt h a nt h eo n ew i t hl o w e ro r d e rv m s a n dt h e i n t e r p o l a t i n gc a p a b i l i t yo f f i l t e rw i t hb i g g e rs u p p o r ti sb e t t e rt h a nt h eo n ew i t hs m a l l e r s u p p o r t u n d e rt h es a l n es u p p o r t , t h eq u a s i v m sc a nc h e c kt h es e m b l a n c eb e t 、e e n f i l t e r sw i t hh i g h e ro r d e rv m sa n dt h eo n e sw i t hl o w e ro r d e rv m s o nl i f t i n gs c h e m e ，t h i sp a p e rc o n s t r u c t st h e1 r u eb i d i m e n s i o n a lf b ，w h i c ht a k e s t h ea p i d c s fa n do p t i m a lc i r c u l a r i n t e r p o l a t o r 嬲p r e d i c ta n du p d a t eo p e r a t o r s a l t h o u g ht h et w ot r u eb i d i m e n s i o n a lw a v e l e tf b sh a v et w oo r d e rv i v s ，w ec o m p a r e t h e mw i t ht h en e v i l l ef b sw i t ht h es a m es u p p o r tb u th i g ho r d e rv i v s t h e e x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ee n e r g yo fs u b b a n dd e c o m p o s e db yt h et w ok i n do ft r u e b i d i m e n s i o n a lw a v e l e tf b si ss i m i l a rt ot h a to f t h en e v i l l ew a v e l e tf bw i t ht h es a m e s u p p o r tb u th i 曲o r d e rv m s b e c a u s et h ed e c o m p o s i t i o no ft r u eb i d i m e n s i o n a lw a v e l e ti sd i f f e r e n tf r o mt h e s e p a r a b l eb i d i m e n s i o n a lw a v e l e t , t h i sp a p e rp r o p o s e st w ok i n do fb i n a r yt r e ec o d i n g b yi m p r o v e ds p i h tc o d i n g ：t h es p a c eo r i e n t a t i o nb i n a r ya e cs p i h ta n dt h ek n o t b i n a r yt r e es p i h t i nl o wb i tc o m p r e s s i o n , t h ep s n ro fi m a g ec o d i n gb yt w ok i n d b i n a r yt r e es p i h t i sh i g h e rt h a nt h eq u a d t r e es p i h tw i t h9 7w a v e l e td e c o m p o s i t i o n , e s p e c i a l l yt h ep s n ro b t a i n e db yt h ek n o tb i n a r yt r e es p i h ti sh i g h e rt h a nt h e q u a d t r e es p i h t a b o u t1 曲e x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a tb i n a r yt r e es p i h ts u i t st o t r u eb i d i m e m i o n a lw a v e l e td e c o m p o s i t i o na n di ti st e s t i f i e dt h a ti nt r u eb i d i m e n s i o n a l w a v e l e td e c o m p o s i t i o n ，t h ec o m p r e s s i o ne f f e c ti s c o m p a r a b l e b e t w e e ni m a g e d e c o m p o s e db yw a v e l e tf bw i t hl o wo r d e rv m s b u tg o o di n t e r p o l a t i n gc h a r a c t e r i s t i c a n dt h a tw i t hh i g h e ro r d e rv m s k e y w o r d ：b i d i m e n s i o n a ln o n s e p a r a b l ei n t e r p o l a t o r ；n e v i l l ef i l t e r ；m c c l d l a n t r a n s f o r m ；a p i d c s f ；o p t i m a li n t e r p o l a t o r ；q u a s i - v a n i s h i n gm o m e n tc u r v e ，t r u e b i d i m e n s i o n a lf b so nl i f t i n gs c h e m e ；b i n a r yt r e es p i h tc o d i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫鲞盘堂或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：斋主色羞 签字日期：2 0 0 厂年2 月2 2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 靴做储鹳：毒珏 签字日期：2 柝2月z2 目 导师签名：1 丕汐1 乏 签字日期：纠厶年月协目 第一章绪论 第一章概论 1 1小波发展历史背景和现状 小波分析的思想来源于伸缩与平移方法。小波分析方法的提出，可以追溯 到1 9 1 0 年h a a r 提出的小“波”规范正交基n 】及1 9 3 6 年l i t t l e w o o d 和p a l e y 按照频 率二进方式对傅立叶分解系数进行分组所建立的l i t t l e w o o d - p a l e y 分解理论1 2 】， 这是多尺度分析思想的雏形。1 9 4 6 年g a b o r 为了弥补傅立叶分析缺乏时域分辨 能力的不足提出了加窗傅立叶变换【3 】。其后c a l d e r 6 n 于1 9 7 5 年用其早年发现的 再生公式给出抛物形空问上h 1 的原子分解 4 1 ，这个公式后来成了许多函数分解 的出发点，它的离散形式已接近小波展开，只是还无法得到组成正交系的结论。 1 9 8 2 年s t r o m b e r g 对h a a r 系进行了改进，证明了小波函数的存在性【5 j 。值 得注意的是，1 9 8 3 年法国地球物理学家m o r l e t 在分析地震波的局部性质时，发 现传统的傅里叶变换难以达到要求，因此他将小波概念引入信号分析中，利用 小波思想对信号进行分解【6 i 。随后，理论物理学家g - r o s s m a n 对m o r l e t 的这种把 信号按确定函数进行伸缩平移展开的可行性进行了研究【7 ，羽，这无疑为小波分析 的形成开了先河。 真正的“小波热”始于1 9 8 6 年，当时m e y e r 、l e m a r i e 和b a t t l e 先后创造性地 构造出了具有定衰减性的小波函数 9 , 1 0 , 1 1 。1 9 8 7 年，m a l l a t 巧妙地将计算机视 觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中，实现了小波函数的构造以及 信号按小波变换的分解和重构，从而成功地统一了在此之前的s t r o m b e r g 、m e y e r 、 l e r n a r i e 和b a g e l 提出的具体小波函数的构造，并且在金字塔算法的启发下，以 多尺度分析的小波构造框架为基础提出了著名的快速小波变换算法m a l l a t 算法( f w t ) 【l2 1 3 1 ，从而引出了离散小波变换的概念并将其有效地应用于图像分解 与重构。与此同时，d a u b e e h i e s 给出了具有任意充分正则性的紧支集正交小波 基的构造方法，从而第一个证明了具有任意阶正则性的紧支集正交小波基的存 在【1 4 1 ，1 9 9 1 年崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的所谓单正交小波函数，并 讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析的生成函数及相应的小波函数【1 ”，这 些成果使得小波分析从理论研究走向宽广的应用研究。尤其是离散小波变换， 已经成为工程应用研究的重点。 与9 0 年代初期的快速发展相比，现在小波理论的研究进入了相对平缓的阶 段。这个阶段小波的主要研究课题包括小波滤波器组的构造【1 6 】、多进小波理论 1 7 - 2 0 1 及非线性小波变换【2 卜2 7 1 和自适应小波变换理论 2 8 - 3 2 】等。其中最重要的成果 第一章绪论 之一就是s w e l d e n s 等人提出的第二代小波即基于提升格式的小波构造框架 3 3 。6 】，在此基础上提出的基于提升格式的小波变换为非线性小波变换和自适应 小波变换的实现提供了新的方法【3 ”9 1 。同时小波与其他学科理论相互融合，如 分形几何学、神经网络等，产生了新的理论分析 4 0 a q 。 1 2第二代小波的研究一提升格式 通常第一代小波是通过对一个固定的母小波进行二进伸缩和平移来构造小 波和尺度函数的，提升格式的出现为小波和尺度构造的研究提供了一个崭新的 角度，可以摒弃第一代小波构造主要依靠频域f o u r i e r 变换的特点，直接从空间 的结构上来构造时变的精确重构小波滤波器组。基于提升格式的小波变换称为 第二代小波变换，它容许我们用一种极其简单的方法去解释小波的基本理论， 而且第一代小波变换都可以找到等效的提升方案1 4 “。 第二代小波拓展了小波分析的研究领域，使得构造小波不再是数学家的专 利，工程技术人员可以按照自己的实际情况来构造不同的小波( 用s w e l d e n s 的话 来讲，y o uc a nb u i l dy o u rw a v e l e ta th o m e ! 川) ，另一方面，利用提升格式还可以 构造出整数小波变换 2 9 3 0 ，这对图像处理特别是图像的无损压缩而言是十分有利 的。基于提升格式的小波变换可以加快运算速度，不需要额外的内存，有利于 小波变换的硬件实现。提升格式一般分为三个步骤：分裂，预测和更新。分裂 是将原始信号按不同的采样格式分为奇偶两个序列；预测是利用偶数序列预测 奇数序列，得到原奇数序列与预测值之间的残差，如果是性能良好的预测滤波 器则相应的残差绝对值会很小，对于图像而言，这个残差值对应着图像的细节 部分，如果细节部分的数值很小而且稀疏，无疑这对于图像压缩有利。更新是 利用预测的残差值去更新原始的偶数序列，这一步可以保留原数据集的部分特 性同时消除分裂时产生的频带混迭，保持了图像的低频分量。用提升方法来实 现小波变换的一个最大优点是将小波滤波过程分解成简单的基本步骤，且分解 的每一步都是可逆的。提升方法的重构过程是分解过程的逆过程。 一维提升方法的分解和重构过程如图1 - 1 所示。 图1 1 提升方法的分解和重构 第一章绪论 1 。3二维小波的研究 小波变换用于图像处理和数据压缩编码，是小坡燹抉应用效果比较廷出明 领域之一。由于图像是二维信号，因此首先需要把小波变换由一维推广到二维。 由一维连续小波的定义可以简单推广到二维连续小波： 定义1 1 一维连续小波变换：信号，( f ) 在尺度口、位置6 的小波变换定义为m 1 町( 口，6 ) = ( 巾) 帕( f ) ) = 去e 厂( r 杪( 字) 西a 0 , b e r ( 1 - ，) 上式中“，表示共轭，其中 嘣沪忑1y ( c ，之， 定义1 2 二维连续小波变换：令，( x ，y ) 表示一个二维信号，x ，y 分别表示其 横坐标与纵坐标；p ( x ，y ) 代表二维的基小波，f a ( 石，y ) 表示吵( 易j ，) 的尺度伸 缩与二维位移， 一训) = ：1 ( 孚，学 m ， 则二维连续小波变换定义为 町( 口；6 1 ，6 2 ) = ( s ( x ，y ) ，虬 a ( x ，) ，) ) = 吉e e m ( 孚，孚卜 c 4 ， 相应的小波反变换是 ，( 墨y ) = 吉f 亨ee 町( 口；岛，砂( 孚，学 奶鸡m s ， 式中 勺= 嘉e 亡钳州呸 6 ， 二维小波变换较一维小波变换更复杂，其原因在于尺度伸缩的同时还可以 进行坐标旋转，也就是说尺度因子a 可以用矩阵表示： a = ( 1 7 ) 式中 第一章绪论 - 璐溯 s ， 是旋转因子且有a = d e t a 。 二维信号厂( z ，y ) 经变换后变成四个变量口、口、b l a b 2 的函数，因此信息必 有冗余。为了减少信息冗余，必须将( a ，口，6 l ，6 2 ) 构成的多维空间离散化， 首先将具有旋转能力的尺度矩阵a 记作： a - - 喙口2 a 1 2 2 j “。9 ) 再把a 和6 1 、6 ，加以离散化后，得到二维离散小波变换 w i ( ，q ，惕) = i a r i ：亡厂( x ，y ) 矿( q 。x + q ：y 一啊，a 2 1 x + a 2 ：y 一他) 蚴 ( 1 - 1 0 ) 对于一维信号，时间轴上的离散采样一般总是按二进制方式逐级减半进行 的，可是对于二维信号，在( x ，j ，) 二维平面坐标上，离散采样方式却多种多样， 取决于尺度矩阵a 的具体取值。根据a 的取值不同可分为：可分离的情况和不 可分离的情况。 1 3 1 可分离的二维小波变换 在可分离情况下，二维信号的小波分解可分两步进行，先沿着x 方向分别用 尺度函数妒( x ) 和小波函数( x ) 作分析，把厂( x ，y ) 分解成平滑逼近和细节两部 分，然后再对这两部分沿y 轴方向分别用伊( y ) 和( y ) 作类似分析。这样就得到 四路输出，经v ( x ) 伊( y ) 处理的一路是( x ，y ) 的第一级平滑逼近；其余三路输 出都是细节函数。而基本尺度函数是v ( x ，y ) = 伊( x ) 伊( y ) ，三个基小波分别是： ( 1 ( x ，y ) = 矿( x ) 妒( y ) ，( ”x ，y ) = y ( x ) 妒( y ) ，( 3 ( x ，y ) = ( x ) ( y ) 。四路输 出中第一级平滑信号表示的是信号的低频部分，而以1 1 ( x ，y ) 处理的是水平为 高频垂直为低频的细节部分，经【2 j ( x ，y 1 分析的信号得到的是水平低频垂直高 频的细节，最后用y 仰( x ，y ) 分解信号得到水平和垂直都是高频的信号细节。由 此可以看出可分离小波具有方向选择性。可分离的二维小波变换优点是算法简 单，而且可以直接引用一维情况下的滤波器组，是目前应用最广的一类二维小 波变换。 1 3 2 不可分离的二维小波变换 可分离的二维小波具有方向选择性，突出的是x ，y 两个方向，对其他方向 不敏感。更具一般性的小波分析是采用不可分离的二维小波。不可分离的二维 第一章绪论 小波也称为纯二维小波变换，大多采用“五株排列”的采样方式。自然界许多自然 生成的景象其图像信息多集中在二维频谱的所谓“钻石形”区域中，而采用五株排 列栅格能较好地提取这一区域内的信息。一般构造不可分离的二维小波有三种 方法：层叠结构、m c c l e l l a n 转换以及提升结构。 1 层叠结构( c a s c a d es t r u c t u r e s ) 层叠结构m ，4 5 1 能够产生所希望得到的小波滤波器形式( 小波与滤波器组的关 系在下一章中详细介绍) ，它有几个优点：i ) 通常复杂度很低；i i ) 通过低阶的 滤波器很容易导出高阶的滤波器；i i i ) 滤波器的系数可以被量化而不影响所期望 的滤波器形式。虽然用层叠结构很容易构造正交或双正交多维滤波器组，但是 不能保证小波的消失矩，而消失矩对小波基的光滑和稳定性是非常重要的，因 此限制了这种结构构造出的滤波器组的应用范围。 2 m c c l o l l 8 n 转换( m c c i e i i a nt r a n s f o r m a t i o n ) m c c l e l l a n 转换1 4 6 - 5 2 能够保证滤波器组的精确重构，同时保持了一维小波在 频率混迭处的零点个数，它是把一维双正交滤波器变换成二维钻石形滤波器的 有力工具。双正交且零相位的滤波器必定可展开成c o s n o ) 的傅立叶级数，而 c o s n 国又可展开成c o s o ) 的t c h e b y s h e v 多项式。例如一维双正交低通滤波器可表 示为 1t 日( ) = 去+ 吃。瓦( c o s ( o ) ( 1 - 1 1 ) 二 n = o 式中t 是珂阶t c h e b y s h e v 多项式。m c c l e l l a n 变换是把式中的c 0 $ 0 ) 换成 v 2 ( c o s o 】l + c o s r o ：) ，从而得到二维的日( q ，吐) 。也就是把日( z ) 中的( z + z 。) 换 成1 2 _ + 一+ 乃+ 刁) ，从而得到二维的日( 毛，z 2 ) 变换后也能把频率特性大 致旋转4 5 。，满足钻石形频谱要求。m c c l e l l a n 变换的基本关系式是： x 2 ( c o s 国, + c o s ( 0 2 1 = c o s ( 0 ( i - 1 2 ) 当m = 0 时，即c o s 国= l ，有 c o s q + c o s o 。2 = 2 ( 1 - 1 3 ) 只有吼= ( - 0 2 = o 上式才成立，也就是图1 2 中的原点。 当= 妥时，c o s ( o = 0 ，有 z c o s q + c o s r 0 2 = 0 ( 1 - 1 4 ) 即c o s q = - - c o s o ) 2 ，q 、吨关系满足吨= ( 万一q ) ，即图l - 2 种四条直线构成 第一章绪论 的钻石形。 当国= 詈( 或国= 等) 时，g o s ( o o 5 有 c o s q + c o s 呸= l 可得到图1 - 2 上参数为0 5 的曲线。 屿 彩淤 涂彩 图1 - 2m c c l e l l a n 变换的频域特性 m c c l e l l a n 变换不仅可以实现不可分离的滤波器组构造，而且能够把滤波器 在彩= 刀处的零点传递到二维滤波器的q = 吼= 石处，因为如果一维滤波器 ( ) 在国= 7 处有零点，则它必然包含形式为( 1 + c o s o ) ) 的因子，经m c c l e l l a n 变换后此因子变成 1 + 1 2 ( c o s q + c o s 吐) 】，它在q = 锡= 7 处具有零点，所以 只要在设计一维的日( ) 时考虑一定的正则性要求，就可以将其传递到二维的 日( q ，哆) 上。 3 提升结构( l i f t i n gs c h e m e ) 提升格式为第二代小波的构造提供了新的工具，对于一维的情况可以参见 文献【3 4 】，同时也为二维以及多维的不可分离小波的构造提供了新的格式。很多 学者都采用提升格式来构造不可分离的小波滤波器组 3 7 - 3 9 】，其中k o v a 6 e v i 6 基于 提升格式构造了任意维中阶次递增的小波族【3 7 】；u t y e r h h o e v e n 由著名的 r e d b l a c kg a u s s - s e i d e l 方法得到灵感，提出了一种r e d b l a c k 小波转换，类似于 c d f ( 2 ，2 ) ，将r e d b l a c k 小波用于图像降噪，对于那些非水平、垂直或对角 线的图像效果要比可分离的利用张量积构造的小波效果好；另外h e i j m a n s 将形 态学引入提升小波中构造了形态小波，由于形态小波具有非线性特性，信号或 图像中重要的信息( 如边缘等) 在低分辨率下也能很好保持，因而对于基于小 波的模式识别非常有用，另外也有些文章提到了利用不可分离的提升小波实现 图像的压缩【“硼。这些方法共同的特点是设计提升格式中的内插滤波器，根据 不同的内插滤波器可以得到不同的提升小波。本文根据全相位理论【睢“3 i 和最小 第一章绪论 均方误差准则，构造了两组内插滤波器，将其用于提升格式的预测和更新算子 中，获得了很好的小波分解特性。关于纯二维提升小波的设计我们将在第四章 作详细介绍。 多维小波的理论还不很成熟，关于二维及多维小波的正则性、消失矩等问 题还在讨论中岱s - 6 5 1 ，需要更多理论和应用的支持。 1 4 小波在图像和视频压缩编码中的应用 图像压缩作为最早应用小波变换的一个领域，它的发展起源于子带编码。 子带编码( s u b b a n dc o d i n g ，s b c ) 是把信号的频率分为几个子带，然后对每个子 带分别进行编码，并根据每个子带的重要性分配不同位数来表示数据。早在1 9 8 6 年，w o o d sj w 等人曾经使用一维正交镜像滤波器组( q u a d r a t u r em i r r o r f i l t c r b a n k s ，q m f ) ，对二维信号分别进行行与列的变换，把信号的频带分解成4 个相等的子带嗍，图1 3 表示分解方法，这种分解方式类似于现在意义上的小波 图像编码器。再递归进行这样一次分解，可以得到1 6 个子带，这个过程可以像 小波分解一样重复，直到符合应用要求为止。 ，帆帕 ，i 如田 儿l ( 巩帕 0 尊畸 图l - 3 于带分解 1 9 8 9 年m a l l a t 在构造正交小波基时提出了多分辨分析( m u l f i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) 的概念，根据m a l l a t 和m e y e r 等科学家的理论，使用一级小波分解方 法得到的图像如图l - 4 所示。对一级分解之后的低频予带图像继续进行分解，则 这个过程就是多分辨分析。经过多级小波分解可以得到多个不同的分辨率的图 像，这些图像叫做多分辨图像( m u l t i r e s o l u t i o ni m a g e s ) 。图1 5 表示 b a r b a r a 二级分解的多分辨图像。其中低频图像l 的分辨率是原始图像的1 4 ，低频图像 2 的分辨率是低频图像1 的1 4 。 第一章绪论 ( a ) 原始图像( b ) 利用可分离滤波器一层分解得到的图像 图1 - 4b a r b a r a 的一级小波分解 图1 - 5 可分离滤波器二级小波分解得到的多分辨分解图像 子带和小波分解具有完全相同的实现结构，区别只在于小波分解滤波器的 设计需要正则性的约束，就编码而言，基于子带的图像编码实质上是小波图像 的非线性逼近，因此对“子带编码”和“小波编码”两个词就不再加以区别。随着数 学领域小波理论的发展和非线性逼近论研究的深入，尤其是c o h e n 、d a u b e c h i e s 和f e a u v e a u 所发现的双正交小波滤波器组 6 7 1 被应用到图像分解中，使得小波在图 像压缩方面取得了极大的进展。自从小波理论引入图像处理领域，图像处理工 程师们就开始逐渐从非线性逼近论和泛函分析的角度出发，分析、设计和改进 图像压缩应用算法。 第一章绪论 1 4 1 基于小波的静止图像压缩编码 小波变换编码方法是近十几年才提出的新方法，它吸收了变换编码和子带编 码的优点，克服了传统d c t 编码在低比特率时会产生方块效应的弊端，能更好 的适应人的视觉特性。图像的小波变换具有内在的多尺度结构，因此基于小波 的图像压缩无需对图像进行分块，可以消除基于块变换而所导致的方块效应。 最初小波变换编码主要采用矢量量化编码【6 8 1 。由于小波变换具有空间频率 的特性和很好的能量集中特性，信号的能量主要集中在少数的小波系数中，因 而对小波系数进行量化编码可以达到压缩的目的。多级小波分解后对应于同一 位置的各子带之间具有很强的相关性，于是，在1 9 9 2 年l e w i sa s 和k n o w l e sg 提出了零树结构的概念例，其思想是根据小波系数在同方向子带中的相似性， 即若一个小波系数较小，则很可能高一级( 频率更高) 同方向子带中相应位置的小 波系数也较小，利用一种称为小波树的树形结构来组织小波系数，使其能方便 地去除频率和空间中的相关性。此后s h a p i r oj m u 0 1 结合嵌入式比特平面编码方 法设计了更好的零树编码方法e z w ，这种方法是按比特平面进行孤立系数和零 树的判决和熵编码，而判决阈值逐层折半递减，采用这种方法的小波变换编码 的性能得到很大的提高，还可实现图像的累进传输。正是由于s h a p i r o 的i 作， 使得零树编码成为基于小波的图像压缩的一个有意义的突破。此后，小波零树 编码受到越来越多的重视，涌现出了一批基于小波零树编码的改进算法，其中 性能改进最为明显的方法是1 9 9 6 年s a i da 和p e a r l m a nw a 提出的分层树集合分 裂( s e tp a r t i t i o n i n go l lh i e r a r c h i c a lt r e e s ，s p i h t ) 编码方法【7 “，它继承了e z w 算 法的零树思想，但采用了多级分裂集合树结构改进了e z w 对重要图的表示方法， 减少了编码冗余，提高了编码效率，率失真性能更好，具有多率特性。 不同于零树编码思想的是基于上下文关系的编码方法i _ 珊，它利用基于上下 文关系的算术编码方法对d w t 比特平面的一个个像素进行编码，借助于上下文 关系的模型，子带内和子带间的相关性能被有效地利用，通过精细地设计上下 文关系模型，有些算法的p s n r 性能可超出最佳的零树编码器。 e z w 和s p i h t 编码主要是利用小波树的结构来表示小波变换后的不重要系 数，充分考虑了不同子带间系数的相关性，但对同一子带中系数的相关性没有 加以利用。i s l a ma 和p e a r l m a nw a 提出了集合分裂嵌入块编码( s e tp a r t i t i o n e d e m b e d d e ds u b - b l o c kc o d e r ，s p e c k ) 1 7 3 7 4 1 ，对此进行了改进，取得了更好的 性能。s p e c k 算法采用块结构表示不重要系数信息，易于计算和并行处理，提 高了编码速度，需要的动态存储相对较小；另外，块间独立编码，在传输发生 误码时，只有误码所在块受到影响，容错性强，而在e z w 算法和s p i h t 算法中的 第一章绪论 误码将影响到整个树，容错性差。 在j p e g 2 0 0 0 1 7 5 中采用的编码算法e b c o t | 7 6 是将每个子带分成相对独立的 码块，再把码块按每次四分的方法逐次分成更小的子块，用四叉树编码方法给 出子块的重要性的表示，对每个块独立地进行量化并用基于上下文关系的比特 平面算术编码法进行编码。为了使编码图像达到目标比特率，对每个块计算率 失真曲线上的几个分点，并由此实现对每个块的比特数最优分配。编码时，首 先对每个块用较高的比特率编码，然后再根据最优比特率分配计算确定的分点 来截断每个块的比特流。对应于一个目标比特率集合，可以确定其对应的最优 分点集。块的比特流一旦被截断并达到目标比特率，就按通常的比特平面顺序 重新组织形成嵌入式复合比特流。e b c o t 编码器得到的比特流不仅具有s n r 可 分级性，而且具有分辨率的可分级性，与e z w 和s p i h t 相比，复杂度商，但性 能有所提高。 提升格式( l i f t i n gs c h e m e ) 提供了比第一代小波变换更简单和灵活的小波构 造方法，以此为基础构造的二维不可分离小波变换将有希望产生更有效的图像 编码器。图像编码算法丰富而精彩，迸一步提高压缩质量和压缩比是一个永无 止境的、既有理论意义又有很大实际意义的研究课题。 1 4 2 基于小波的视频压缩编码 与静止图像的编码方法相比，视频图像序列编码有其自身的特点不仅有空 间冗余而且时间上也存在冗余，因而能够使序列图像编码压缩比远远超过静止 图像的编码压缩比。传统的视频编码方法是运动补偿加帧p q d c t 变换编码，这 种结构已被现有的各神编码标准所采用，如h 2 6 1 1 - i 2 6 3 h 2 6 4 ，m p e g 系列等。 由于小波压缩技术在消除d c t 变换所特有的方块化效应和飞蚊噪声方面有良好 的率失真品质，基于小波的视频压缩研究一直在不断进行。小波的视频编码技 术可以分为三类f7 7 8 】： ( 1 ) 空间域运动补偿的小波变换( m o t i o n c o m p e n s a t e d d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m , m c d w t ) ：( 2 ) 小波域运动补偿( d w t m q ：( 3 ) 具有或者不具有运动估计的三维小波变换。不同的运动估计算法、量化方案和 熵编码方法应用于这三类编码技术中。 1 ，空问域运动补偿的小波变换渺d w t ) m c d w t 视频编码方案是在空间域进行运动估计和运动补偿来消除时间冗 余，对误差图像以及帧内图像采用小波变换进行编码消除空间冗余。与传统的 基于d c t 的混合编码的主要差别在于对补偿帧差的处理，它是用整域小波变换 代替分块d c t 变换。块运动补偿技术影响视频编码性能，与其它运动补偿技术 第一章绪论 相比，采用重叠块运动补偿技术( 0 b m c ) 可以有效地消除方块效应同时能够降 低补偿帧差的能量，提高运动补偿效率，改善视频编码器的性能，因此近年来 基于空域运动补偿的混合小波视频编码广泛采用o b m c 技术。 由于运动补偿的帧差图像不同于自然图像，若采用一般图像的小波变换编 码方法，不能提高压缩效率，m a r t u e e i 等在e z w 算法的基础上，提出了一个基于 小波域空间分块的自适应系数量化编码和优化算术熵编码的“零树熵编码” ( z e r o h e ee n t r o p y ，z t e ) 7 9 1 视频图像压缩算法。虽然z t e 失去了嵌入特性，但它 的压缩效率比e z w 有了很大的提高，同时具有空阃的可分级性；后来m a r p ed 和c y e o nl i s 0 1 在迸一步优化信源分离、改进零树映射和使用局部自适应熵编码 等预编码处理基础上提出了一个p a c c ( p a r t i t i o n i n