（计算数学专业论文）kdv方程的混和解及mkdv、mkdvsinegordon方程的backlund变换.pdf

搞要 奉文主要考虑了如下问题：j 提出k d v 方程的混和解，证萌其满足双线径导 数形式的k d v 方程及其b i c k h m d 变换 i i 给出修正k d v 方程的两种b & - k l u n d 变换等价性的证鹾证明n i m m o 与a n 给出的w r o n s k i a n 解满足其双线性形 式i i i 得到m k d v s i n e g o r d o n 方程达布形式与双线十主形式的b i i c k i u n d 变换。并 给出达布形式化为双线性形式的证明i v 给出了由k a u p - n e w e l l 谱问题推广的一 类依赖于谱参数的规范变抉 关键词；k d v 方程；穆正k d v 方程；m k d v - s i n e g o r d o n 方程；y n s k j a n ；孤 子；b i c k l u n d 变换；h i r o t a 方法；规范变换 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n s ：i t h e m i x e ds o l u t i o n so ft h ek d ve q u a t i o narep r o p o s e da n dp r o v e dt os a t i s f y t h eb i l i n e a rf o r e a so ft h ek d ve q u a t i o na n di t sb i c k l u n dt r a n s f o r m a - t i o n i i w ep r o v et h ee q u i v a l e n c eo ft w ok i n d so fb i c k l u n dt r a n s f o r m a - t i o nf o rt h em o d i f i e dk d ve q u a t i o n f u r t h e r ，t h ew r o n s k i a ns o l u t i o n so f t h em o d i f i e dk d ve q u a t i o na r ep r o v e dt os a t i s f yi t sb f l i n e a rf o r mw h i c h areg i v e nb yn i m m oa df r e e m a n i h t h eb 她k l u n dt r a n s f o r m a t i o n s o fd a r b o t l xf o r ma n db i l i n e a rf o r mf o rt h em k d v s i n e g o r d o ne q u a t i o n areg i v e n a p a r tf r o mt h a t ，t h a tt h ep r o o ft h ed a r b o u xf o r mi sc o n v e r t e d t ot h eb i l i n e a rf o r mb ea l s og i v e n i v ak i n do fg a u g et r a n s f o r m a t i o n d e p e n d i n go nt h es p e c t r a lp a r a m e t e ri sg i v e nw h i c hi sg e n e r a l i z e df r o m k a u p - n e w e l ls p e c t r a lp r o b l e m k e yw o r d s ：k d ve q u a t i o n ；m o d i f i e dk d ve q u a t i o n ；m k d v - s i n e g o r d o n e q u a t i o n ；w r o n s k i a n ；s o l i t o n ；b s c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ；h i r o t am e t h o d ； g a u g et r a n s f o r m a t i o n 第一章引言 随着近代物理学与数学的发展，1 8 3 4 年由英国科学家r u s s e l l 发现的孤立波 现象近三十年来引起了人们极大的关注对这一现象的兴趣与日俱增这是因为， 方面孤立子具有非常独特的性质，它们在相互作甩中保持稳定的波形，这种具有 粒子与渡的许多性能的孤立子，在自然弄中有一定的普遍性，并在理论分析与物理 试验中得到了证实另一方面，利用孤立子的特殊性质，可以甩来改进信号传输系 统，提高传输效率，具有广阔的发展前景 孤子理论琨已形成比较完整的体系其中求解非线性孤子方程的精确解一直 是孤子理论中的重要内容之一目前已经有许多成功的方法，如b i c k t t m d 变换方 法，散射反演 击、h i r o t a 方法w r o u s k i a n 技巧等1 3 i c k l u u d 变换f l ，2 1 最初是几何 学家b i i c k l u n d ( 1 8 8 3 年) 在研究负常曲率曲面时发现的，并得剜了s i n e - g o r d o n 方 程的b i c k l u n d 变换这一方法的思想是将求解高阶的微分方程转化为求解包含解 之间关系的较低阶的微分方程组已知方程的一个解，利用i 弘c k l u n d 变抉，可以得 封方程的另个解予是再次利用b i c k l u n d 变换，得多防程的又一个新毹如此继 续下去，可以得到方程的系列解但该方法涉及到求解微分方程组，往往在求多 孤予解时会遇到困难直到1 9 7 4 年，f l i r o t a 3 给出了一种b f c l d m l d 变换的双线性 导数形式，使得求多孤- t - j w 变得简单起来b i c k l u n d 变换的双线性导数形式可以 从双线性方程得到【3 】，并以s i n e g o r d o n 方程、m k d v 方程、k d v 方程为协进行 了说明散射反演法把求解非线性偏微分方程精确地化为求解若干个线性方程，邵 一定程度e 的非线性问题的傅立叶方法，堪称孤子理论中的精髓但由于时间的关 系，我对此知之甚少，深感遗憾 在求解某些菲线性发展方程的n 个孤立子的方法中，除了b a 踟u 丑d 变换法、 散射反淡法外，还有一种重要而直接的方法，这就是科甩函数变换求特解的h i r o t a 方法h i r o t a 方法f 4 】是一种应用广、效率高的直接方法其般步骤为：引入位 势u 的一个变换，使原方程改写成双线性导数方程；将扰动展开式代入到双线性 导数方程中，在一定的条件下该展开式可以被截断；由此构造出n 孤子解的表达 式这种方法已从求k d v 方程、m k d v 方程、s i n e - g o r d o n 方程、t o 血品格方程 和b o u s s i n e s q 方程的n1 、孤立子解而发展成为一种求解大拖非线性发展方程孤 立子解的相当普遍的方法用这种方法还可以求得这些非线性发展方程的b i c k l u n d 变换可见h i r o t a 方法为求解孤予方程提供了一种强有力的工具最近，陈登运教 授、邓淑芳和张大军【5 锄还利用h i r o t s 方法构造出了孤子方程的新解，并给出了 n _ 孤子解一般表达式的猜测该方法的缺点是对于给出的n 孤子解不能给出严格 盼致学证孵 讳 r o n s k i a n 技巧也是一种求孤子解的直接方法 、h - r o n s k i m a 技巧是由f r e e m m _ 1 和n i m m o 9 】提出并建立起来的该方法以h i r o t a 方法为基础，即首先要得到孤子 方程的双线性形式或双线性b i c k h m d 变换；然后适当选择办构成w r o n s k i m a 行列 式油l ，也，如) ；再将w r o n s k i a n 行列式直接代入双线性方程或双线性蒯k i u u d 变换( 尽管是方程组) 来进行验证往往比较简单，选恰恰是w r o n s k i m l 技巧的优势所 在卧e e e f i a 3 2 等人应用该方法获得了一系列方程的w r o a s k i a n 形式的解，这些例子 包拓：k d v 方程r 9 ，i 0 、k p 方程 9 ，i 0 、b o u s s i n e s q 方程f n 、菲线性s c h r & i l n g e r 方程：1 2 1 3 】、m k d v 方程 14 】、s i n e g o r d o n 方程 1 4 、t o d d 链 1 5 1 m k d v s i n e g o r d o n 方程【1 6 】等等还有一个有趣的事实是k d v 方程的有理解 1 7 也可以写 成w r o n s k i a n 行列式形式f i s ，但其f 电方程的有理解却很琏肓j ：表示叠8 1 ， w r o n s k i a n 技巧是一种应用广泛且高效的方法，这得益于w r o n s k i a z a 行列式本身良好的性质 在本论文中我们首先应用w r o n s k i a n 技巧得到k d v 方程的湿和解。并给出得到其 w r o n s k i a n 形式的有理解的另一种取法其次，我钌将证明m k d v 方程两种b i i c k l u n d 变换的一致性及由f r e e m a n 与n i m m o 给出的w r o n s k i a n 解的证明而后我们得到 m k d v s i n e g o r d o n 方程达布形式与双线性形式的b i i c l d u n d 变换，并给出了达布形 式化为双线性形式的证明最后给出由k a u p - n e w e n 谱问题：1 9 引出的一类依赖于 谱参数的规范变换，但有待进一步深入探讨 第二章k d v 方程的混和解 2 1 预备知识 2 1 1w r o n s k i a n 行列式 一组可微函数( 也，赴，如) t 的n 阶w 如n s b a n 行列式定义为 矸7 ( 曲1 ，如，- ，) = 妇毋 也毋 铲q ) 。1 ) 如嘏拶_ ( 2 1 ) 其中，锣= 磐它常可以写为一种紧凑格式 w = i 妒，庐( ，妒( n - 1 ) l = 1 0 ，1 ，- 一，n l = i r = l i ( 2 2 ) 更般地，我们用j ，1 2 ，知| 表示l 庐，妒( ，( “，( 埘，舻) j ，用l 石，_ 1 1 2 ，k 表示i 妒( ，( h ) ，“”，( b ) | w r o n s k i a n 行列式具有这样的特点：后一列是前 一列的导数这使w m 抛k i a n 行列式在按列求导时，无论是过程还是结果都很方便简 洁例如 若记，= i n 一- 1 1 ，则有厶= i 庐2 ，n i ，k = i 庐3 ，一1 ，n i + i 庐2 ，+ l l ，事实上，依照行列式按歹求导的法则，阶行列式的一阶导数是逐列求导 的个行列式的和而对于个w r o n s k i a n 行列式而言，其前n 一1 列中任一列的 导数均与下一列元素裙同因此，在w r o n s k i a n 行列式的一阶导数的和式中，只有 一项不为零这实际上说明，一个w r o n s k i a n 行列式的导数所包含的项数与行列式 的阶数无关，而只依赖于导数的阶数 2 1 2w r o n s k l a n 行列式的性质 将线性代数中关于行列式的一些恒等式应用于w r o n s k i a n 行列式上，可以得到w r o n s k i a l l 技巧中常用的一些恒等关系 性质1 设矩阵a = ( 叼) = 陋l ，舰，口 ，q 为a 的列向量，向量a = ( a 1 ，沁，h ) t 则成立 nn 1 0 1 ，q 一1 ，a q ，q + l ，q l = ( b ) l 口1 ，a 2 ，a i ， ( 2 3 ) j = lj = l 其中k j 表示( l n u ，沁。巧，入a j ) r 利用性质l ，不难得到下述性质 性质2 设w r o n g d a n 行列式( 2 1 ) 中奶满足 南。= 碍由， ( 2 4 ) 则有 ( 磅) r 二lj = 一i ：3 ，n 一1 ，n i + l ：2 ，+ 1 1 ， ( 2 5 ) 3 ( 碍) 庐2 ，n i = 一i 庐4 ，n - 2 ，n 1 + f 庐2 ，n + 2 1 j = i ( 碍) 2 i 庐i i = j 庐。5 ，n - 3 ，n 一2 ，n l ，n i + 2 1 v 一- 3 ，n , n 十1 i ，= l l n 一3 ，n 一1 ，n + 2 i l n 一4 ，n 一2 ，n 一1 ，+ 1 l + i 一2 ，n 十3 1 ( 2 7 ) 为了证明后面的问题，需要给出一个常用的等式，它可以用l a p l a c e 定理加以证明 性质3 若记甜为( n 一2 ) 矩阵，a ，b ，c ，d 都是维列向量，则成立 j 。，。，i i m , 。6 | i i ，c d | 十i 鸩m d f 1 尬6 ，c l _ i i ，。，小l m ，b ，卅：； _ “一“l ：o 。i 0mobcd ( 2 8 ) 2 2k d v 方程的混和解的提出与证明 2 2 1k d v 的混和解的提出 日本数学家h i r o t a 得到了k d v 方程的指数函数形式的孤子解的表达式 4 】 面英国的f r e e m a n 与n i m m o 在1 9 8 3 年得出了k d v 方程的w r o n t 6 f i a n 有理解的觳 表达式 1 8 本文将提出k d v 方程的w r o n s k i a n 形式的有理函数与指数函数的混和 解的一般表达式，不失一般性，我们只考虑原来的w r o n s k i a n 行列式的前若干行傈 持不变，而其余彳予井别为有理函数及其相关导数代替的情形，我们籽证萌这个新的 w r o n s k i a n 行列式满足双线性导数形式的k d v 方程与其b a c k t u r t d 变换k d v 方程 它的孤子解可以写为 ( 2 1 0 a ) 这时，取w r o n s k i a n 形式：9 ，i o f = ( 呐。如，如) ，( 2 1 0 b ) 滚阶行列式各列分别为( l ，纯，c n ) 2 ，( 曲，毋1 ，拶尸，一直到( 科。、，。 ，铲。) 丁，这里 = 等( 江”，咖= 0 ，l ，一，- 1 ) 我船取 幽= ：( 毋一e 咱) ，6 = 缸z 一磷t ， ( 2 1 1 ) 其中岛被重新排序，使得l k 2 k n 在零点的邻域展开函数也，可得 也= a j ( z ，t ) 舻+ 1 ，q ( 扎) = j = o + 1 3 x 2 + 1 - - 3 p ( - 4 t ) p ! ( 2 j + 1 一劬) ! ， ( 2 1 2 ) p = 0 显然唧( 曩t ) 与i 无关令：1 f n 一1 ，对行列式( 2 1 0 b ) 的前j 行运用l a p l a c e 定理，则有 f = 咖+ 1 a + 2 0 堑l 培 i l 一l 嘏i 啦 硝1 癣) 毋，舻 毋 谬) 稿n 程如) 硝o u + 略+ 1 ) ( 一1 ) 卢1 嘏f 1 啦产”啦i 1 啦 毋野1 ) 曲( i 1 - - ”嚣”啦i 1 辩；”蝴( + n 。- 1 c n 咖妒- 西妒。1 西簿+ 庐静一1 曲静+ “彤一1 ) 将( 2 1 2 ) ( 1 + 1 i n ) 代入( 2 1 3 ) ，给出 ，= 0 兰i l i 2 面一1 毋) 孝1 ) 硝2 ) 毋2 ) 拷z ) 西n 毋”妒 o o o 。 鹾d ；： 为= 0 j r = 0 l l = o j i l + 1 = 0 抽一l - - - - o 群2 j o l + 1 q 2 + j 0 2 + 1 t 甜1 材1 碳2 j l l i 1 + 1 q 2 + j 1 2 i 一1 + 1 氍2 i l i + 1 + 1 k + i 。2 + 1 + i e ( j + 幻+ 1 ) ( 一1 ) j = 1 n a ( i ，l + + ，1 g ，( n - i 诒。+ 1 群2 + i n 2 1 + 1 咿+ 1 茅1 “k - “带t “+ 1 砖十1 ( 2 1 3 ) 这里母= 鲁，p = o ，l ， l l ，i l + 1 ，i f 一1 ，由+ 1 ，n 一1 很显然，只有当 j o ，j i ，矗。“五。+ 1 ，抽一1 两两不同时，上面和中的行列式才不为零因此当 如，j 1 ，一，五。一1 ，五。+ l ，如一1 = o ，1 ，2 ，- 一，n f 一1 5 时，出现最低阶非零项也就是，当岛+ o ( i = 1 + 1 ，f + 2 ，) 时 ，一 毋# 1 曲# ”群) 毋1 咎“毋 硝训西嘲秘们 0 + i j + 1 ) ( 一1 ) j = 1 - l - 1n - l - 1n - - l - - 1n - l - - 1n - - i - 1 弓卜( i ，1 - - 一。1 a 托o t + + 。1 如= oj 1 = 0 i i - - - o j l + 1 = 0一1 = 0 小札一1 沁 珏一l k ， 10 若靠= 矗，p q ， l t ”峨+ 1 w ，1 二。裟薯：篡薯：茎二篡翥筹 k l + l k l + 2 礴+ 。- 硪。- 1 k 2 + ( n 1 一 g 一) - 1 七 r 后备 七嚣一) 一1 因为当，o ，时( 这儿( m a ) 。= o ) ，“= 2 ( 1 丑，k 是一个不变量，我们最终得出 ，= 血舻妒( 2 ) 庐i 。) 咖 西1 谬西- 1 n o 毋n 乎a 5 。 n 1d ( 1 n 2 口( - 1 ) n 斗。n 她h 毋l h 嚣三 ( 2 1 4 ) 这就是我们要寻求的k d v 方程的混和解的般表达式对于其它的孤子方程，由 于难以寻求到w r o u s l d a u 形式的有理解的一般表迭式，因而难以找到他们的混和解 的般表达式至于它们是否有有理解及混和解的般表达式，如果有，如何寻求 仍将是个值得探讨的课题 2 2 2 证明混和解( 2 1 4 ) 满足k d v 方程的双线性导数形式 6 式 4 在这一节，我们先证明由( 2 1 4 ) 给出的混和解满足k d v 方程的双线径导数彤 ( d c 仉+ d j ) f = 0 为此，我们把w r o n s k i a n 行列式( 2 i o b ) 表示为 ，= ( n 1 ) 这儿( = 1 ) 表示n 个连续的列t 、, 4 赴 式性质l ( 2 1 5 ) t t ，枯) 。r ，它的导数直到n l 除由行蔚j 一 ( m ) ( a i a 2 ，o ) = ( l ；= li = 2 这里7 = ( 钆，恤，似尸我们有等式 d 2 - ，- ，7 啦一a n ) ( 碍) ( 庐1 ) = 一( 庐3 n i ，棚十( 正2 ，n + i ) l = l 如果我们取极限缸- 十o ( i = i 一- i i 十2 ，) ，可以看出下列关系式成立 l k ? ) ( n - ：- - i ) 一( 十砖+ 。碍) - i 。( ，a “，- 一，。 o i ， t = i ( n 一- 3 ，n l ，) ，l i n j 。a , v - a 】，a n - i j ，0 一f “ f a c2 n + 1 ) 一l 。( “。( 1 ) ac n - 2 】，。( “。陋 这里“= ( 籼也，a ，a o ，0 1 ，a n - _ c - i ) t 因而成立 ( 1 v 一) = 一n ( 0 1 一a ( n - 3 ) ，n ( 一o ( 。v + ) ：n ( f l ( 一2 1 ；n ( 脾1 j 或者我们对。u ) 使用更紧凑的记号， 女； ：1 i = 一i n - ：- 3 ，v 1 l + i n ：- 2 n - _ 1 1 ( 2 1 6 ) ；= i 类似的我们得到 = i = 5 ，n 一3 n 一2 n l ! + 21 n 一- 3 。n n + l n - 、3 ，n l ，n + 2 i i n 一- 4 ，一2 ，一l ，+ l j + ：t ? - j - - 一9 ，n + 3 ( 2 1 7 ) 我们注意到7 也是个w r o n s k i a n 行列式a j r = 一4 a j z z ：，0 = 0 。1 ，n f 一1 ) ；惋= 一4 机= 1 2 z ) 我们得到 9 l0 j l = l 矿：2 ，n i ，( 2 1 乩) o 0 o 砰 ；f 善 庐 2 碍 。f】：亘 k = i j v 一- 3 ，n l ，n i + i n 一- 2 ，+ 1 1 ，( 2 1 8 6 ) 7 一= i v 0 4 ，n 一2 ，n l ，i + 2 i n - 、3 ，n l ，n + l i + i n - 2 ，n + 2 i ， ( 2 1 8 c ) 7 础。= f = 5 ，n 一3 ，n 一2 ，n l ，f + 3 1 - 2 _ 4 ，n 一2 ，一1 ，+ 1 1 + 2 1 z 叮- 3 ，+ 1 1 + 3 1 n 一- 3 ，一l ，n + 2 l + i n 一- - 2 ，n + 3 i ( 2 ，t s d ) 7 t = 4 【一i l v - 4 ，n 一2 ，n 一1 ，j + i a r - 3 ，n l ，+ l i 1 1 v - 2 ，+ 2 1 ， ( 2 1 9 a ) l = 4 【一i n 一- 5 ，_ l v 一3 ，n 一2 ，n 一1 ，- 】vj i n - 4 , n 一2 ，一1 ，+ 1 1 + l ：4 ，n 一2 ，一l ，n + 1 1 + l ：3 ，n , n + 1 1 + l i v - 3 ，n l ，n + 2 i 1 1 v - 、3 ，n 一1 ，n + 2 一i n a - - 2 ，n + 3 1 = 4 n a - - 3 ，n , n + t l i l v - 5 ，n 一3 ，n 一2 ，n 一1 ，j v l i 厂二2 ，+ 3 口( 2 1 9 b ) 将( 2 1 8 ) 及( 21 9 ) 代入到( 2 1 5 ) 的左边，并利用( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 得 2 4 1 a 1 1 i 二3 ，n ，+ 1 卜_ 2 a l a _ 2 ，| _ i a _ a ，n 一1 ，+ 1 + 2 4j 扩二3 ，一l ，n i i a _ 2 ，n + i = 2 4 1 a - 3 ，n 一2 ，n 一1 1 f n 一- 3 ，n + 1 i 一2 4 1 1 v - 3 ，n 一2 ，t v l i j v - 、3 ，一1 ，+ 1 1 + 2 4 1 n 一- - 3 ，一l ，u 1 i n 一- 3 ，n 一2 十l i 若记m = ( n 一- - 3 ) ，n = n 一2 ，6 = n 一1 ，c = n ，d = n + 1 ，上式可写为 2 4 l m 皿b | 1 蝎c d | _ 2 4 m n ，c l - i m 砖卅+ 2 4 眦b ，c h m ，d ，酬 = 1 2 m0bcd om 口6cd = 0 这样证明了，满足k d v 方程的双线性形式( 2 1 5 ) 于是，k d v 方程的混和解如。f 7 ( ”= ；( e 毛一e n ) 一；k t z ( e 6 + e - e t ) ， 7 ( 3 ) = ；( 毋一e 吨) 一等扩( 一+ e f 1 】+ i 。百1 l ：3 + 啦) ( 扣一e f 1 ) ， 露= ；i ( 一磋) ( e f l e 一t ) ( 毋一e 一钮) + k 1 瑶z ( 毋+ e - 1 ) ( 毋一e 一扫) 一知 2 ( 毋一e n ) ( 扣+ e 一缸) 】，e t , c 我们已经验证产，7 ( 3 与露清足双线性形式的k d v 方程( 2 1 5 ) 2 2 3 证明7 满足k d v 方程的双线性形式的b a d d u n d 强商) 加m t i o ( b t ) k d v 方程的双线世e 形式的b a d d l dn 面m m i ( b t ) 的推导 8 k d v 方程的双线性形式为( 玩厩十磁) ，= 0 若g 也是此方程的解，尉有 ( d 。皿+ 珑) g g = 0 于是 ( _ d 。d t + d d ：- ， 9 9 一，【( d z d + d ：) 9 翊= 0 定义的g 显然是k d v 方程的解因此，上面这个方程实际上给出了k d v 方程双线 性导数形式的b t 但这样给出的b t 在方程求解时没有价值为了给出其便于应用 的形式，需要厢到以下公式 3 ( d 。d t u - “) 的一一( 玩鲫= 2 玩( 西“i ，) k ( d 知n ) 油一n n ( z “2 x o = 2 d 。( 谚。6 ) b a - 6 玩( 堰n 妒玩d ) 则 ! ( d 。觑+ d ：) ，i g g f f ( o x d f 十d ：冶g 】 ：2 d = i ( d t 十磋j ，胡一，9 + 6 d x ( d x f 曲( 磋，- 圳 令理，g = ，9 牡为参数) ，赠 【d 。d t + d 三) ，一， 妇一，【往b 马+ 噬碡嗣 一2 d ； ( 鼠+ d ：+ 3 a d 。) ，翻，g 再令( ，) 一，) ! + 3 a d ：) ，g = 0 则有 ( d 。d 。上d ：) ，f l a g i fe ( _ d ；d 上d ! 垮- 西= 0 由前面的分析过程，方程组 d ! ，g = a f g ( d 十谚+ 3 a d 。) ，g = 0 构成了k d v 方程的b t 证明7 满足k d v 方程的b t 我们已知南= 咖( t ，z ) ( = i ，2 ，) 满足方程 q 4 i z t 2 妫吼t t = 一婶忸t z 同时 7 k i 庐l l ， 0 ( 2 2 ) ( 2 2 0 0 f 2 2 1 a ) ( 2 2 l 厶) ( 2 2 2 ) 在i n a _ 1 1 中至少有两行为指数函数及它们相应的导数我们设1 - 表示列向量( 1 ，0 ，0 ，o ) t ，_ ( = 2 ，r ) ，尹= n 一- 2 ，r | 当h = 瑶时，我们证明行列式7 与7 满足k d v 方 程的b f i c k l u n d 变换 珑7 7 = 7 只 ( d t + 磋+ 3 h d = ) 一f - 7 = 0 我们可以得到 ( 2 2 3 a ) ( 2 2 3 b ) 五= i n 一- 2 ，l ，7 。= i n 一2 - 3 ，n 一1 ，i + = 2 ，+ 1 1 ，( 2 2 如) ，。：= l n 一4 ，n 一2 ，n 一1 ，i + 2 i n 一- 一3 ，n 一1 ，n + 1 l + i - 、2 ，n + 2 1 ，( 2 2 4 b ) - = 4 一i n - 、4 ，n 一2 ，n l ，+ ：3 ，n 一1 ，n + 1 1 一 f = 2 ，n + 2 1j ，( 2 2 4 c ) 只= i n 一- 3 ，n 一1 ，rj ，7 乙。= i n 一- 4 ，n 一2 ，n l ，r f + i n 一- 3 ，札r i ，( 2 2 5 a ) 7 乙。= i n 一- 5 ，n 一3 ，n 一2 ，n 一1 ，r l + 2 i ：4 ，n 一2 ，n , r l + i n 一- 3 ，+ 1 ，r l ，( 2 2 5 b ) 7 l = 4 一i n - 、5 ，n 一3 ，n 一2 ，n 一1 ，r l + p 厂= 4 ，n 一2 ，n , 1 - i i n 一- 3 ，n + i ，t ij ，( 2 2 5 c ) 同时 n k ，= ( 磅，) ，7 - f ( 碍，) ， ( 2 2 6 a ) j = lj = 2 n 厶，= ( 碍厶) ，一厶( 碍， ， ( 2 2 6 b ) i = t= 2 n 墙，= ( 蟛2 j l t 一，( 碍丘) ， ( 2 2 6 c ) j = lj = 2 由性质1 并取极限岛_ o ( i = f + 1 ，z + 2 ，) ，得到 7 7 7 = 【一i n - 2 - 3 ，n l ，n i + i n 一- 2 ，n + 1 1 】i n 一- 2 ，r 1 + l ：1 f 【l ：4 ，n 一2 ，n 一1 ，r l i n - 、3 ，r 】，( 2 2 7 a ) 砖瓦7 = 【一i n 一- 4 , n 一2 ，n 一1 ，i + i n 一2 - 2 ，+ 2 l 】- i n 一- 2 _ 2 ，f l + i n - 2 ，n i 1 ：4 ，n 一2 ，n l ，r f i n 一2 - 3 ，n , 1 - i 】，( 2 2 7 b ) t 7 7 0 = 一i n 一2 - 3 ，n 一1 ，l + i ：2 ，n + 1 1 _ j ：3 ，n 一1 ，r f + n 一- - 1 1 i n 一2 - 5 ，n 一3 ，n 一2 ，n 一1 ，r i i ：3 ，+ 1 ，r i1 ( 2 2 7 c ) 将( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 与( 2 2 7 ) 代入b t ( 2 2 3 ) ，则有 2 p r = 2 ，r i i n - - 2 - 3 ，n 一1 ，i 一2 1 - 2 3 ，n 一1 ，r i l 庐2 ，n i 】0 + 2 i a 3 ，n ，叫l cl = 0【2 2 8 a j 6 厉3 ，a r i ，a r + l j ；庐2 ，r 删庐3 ，+ l ，f j j 旷l 一61 ：2 n + i ! n - 3 一1 r j 一6 l ：4 ，n 一2 n 一1 j c2 r + 6 i n 一- 2 ，n i l n 一- 4 ，n 一2 n 一1 ，r 卜6 i n 一- 4 ，n 一2 ，n ，r l l n 一- l i = 0 ( 2 2 8 b ) 而( 2 2 8 a ) 的左边恰是行列式 一3 0 ，n 一2 ，n l ， r 0 ， n 一3 ，n 一2 n 一1 n ，t ( 2 2 8 b ) 的左边可以写成两个行列式的和 ! ：3 0 n 一2 ，一i ，a r + l ， r 3i - 0 ，n - 3 ，n 一2 n l ，+ 1 r n 一- 4 n 一2 ，0 ，0 一3 ，n l ， r 0 0 ，n - 4 n 一2 一3 ，n l hr,r ( 2 2 0 1 ( 2 3 0 ) 根据行列式的性质所有这些行列式都为零因茈7 与7 满足k d v 方程的b t ( 2 2 3 ) 证毕 2 2 4 得到k d v 方程有理解的另一种取法 t k ( 1 y 方程具有w r o n s k i a n 解 j=wl 掣一w 2 ，一一甲 r ， j i “j 取 班= ；( e 矗十e 一5 ) ，= 血。一4 霹f ，( 2 3 1 b ) 这里乜被重新排序，使得k l 2 h ，在零点的邻域展开函数伽我们得到 班= 曼昭州) = 善蔷错， 滔32)-j 班= b ( 州) 矽，吩( 圳= 鼍；器， ( 2 f = 0f = o 、 显然b j ( z ，f ) 与 无关于是当如_ 0 时， 这里 从而 i = 蟛女絮。 j o = o b 一( v - 。1 1 p “1 j n i - - - 0 b ( n - 。”乎“1 ，一1 = 0 b * ( n - j 1 挈“ = 雾，。，- o ，”- ，_ j = 0 , 1 , 2 , - - - ) 6 舢h ，( 。1 b m ( n - 、t j 一1 = 0 p p 1 舻。静- 自p “ 擘“ 妒k 矽k 荨“一 注意上面和中的行到式当且仅当知t - 如“两鼹不同时，枢应的行列式才不为。 当j l j n - t ： o ，l ，2 ，一1 时出现最低阶非零项也就是矗_ o 时， n 一1 甥 往1 ) - b 。i n - 。t ”一。 j 一1 = o l 1 砖 ；“ “1 妒。1 这里 0 著j p = j q , p m f ”j 。，；= 1若如j l ，一i 是一个偶排列时， l 一1 若山，l j ：v - i 是一个奇排列时， 进一步，因为( 1 0 9 a ) x x = 0 时，将，换为a f ， = 2 ( 1 0 9 y ) 。是一个不变量我们得 出k d v 方程的有理解 l r = 6 铲砘1 b p6 1 1 旺，啦， 6 r - 1 b r l = w ( b o ，b l ，b n 一1 ) ( 2 3 3 ) 容易得出罐= wc b o ) = l ，詹= ( 6 0 ，b 1 ) = 文馏= w ( b o ，b l ，如) = 譬+ 4 t ，詹= ( 6 0 ，b 1 ，6 2 ，6 3 ) = 蒜一1 6 t 2 + 竽，我们已验证摇，铲，蠼，攒满足k d v 方 碍磅 6 b 。暮8删 砖砖 6 b 。紫删 。一 磅 6 例 删脚 = ， 删删 ， 程的双线性导数形式( 2 1 5 ) 我们注意到k d v 方程的这些w r o n s k i a x i 形式的有 理解与文献 4 8 1 中给出的有理解有如下关系：缈( b 1 ) = w ( a o ) ，w ( b o ，h ，6 2 ) = w ( a o n 1 ) ，w ( b o ，b 1 ，6 2 ，b 3 ) = w ( a o ，a l , a 2 ) ，这不是偶然的实际上对n 1 ， ( b o ，b l ，b n ) ；w ( a o ，a n 1 ) 也就是说，这两种取法得到的有理解是完全相同的( w ( 6 0 ) ；1 对应于k d v ：y f i i 的 零解“= o ) 下面证明之， 也= ；( e 矗+ e 吨) = 如江。) 舻， 。 j = o 显然他。= k i 币i ，于是有 血= ；( e 6 一e 一6 ) = 唧( 毛t ) y + j - - o ( b 一a j i ) f 一0 j = 1 由k ，的任意性，耳得b ，= a j 1 0 = l ，2 ，) 从而 ( b o ，b 1 ，b x ) = ：掣 一。窝 b i 畦m b 6 8 b ；1 b 四嚣 。字毋1 。( 0 )o u 盟i 。盟i 6 1 6 i 蟛 硝0 ， 鼎西 秽。 n i “1 o 蚪 = w ( a o ，0 1 ，- 一，n 1 ) 七#z q 趟 = ， 砖 z 吁 舢 i z b 脚 第三章修正k d v 疗程的两种b i i c k i u a d 变换的等价性 3 ，1 预备知识 为了证明修正k d v 方程的两种d i i c k l u n d 变换的等价性，需要用到h i r o t a 算 子的有关性质，现将有关的知识总结如下 3 1 ： h i r o m 算子的定义：d y d p a ( x j f ) - b ( x f ) = ( o z 一劫) ” 一国) “a ( x t ) b ( z 7 f ) l 。一。， ：r h i r o t a 箅子的性质： ( - i ) d 宇d ? o ( 。，c ) - 6 ( z 旬= ( 一1 ) m + n d y d t b ( x ，) 一d ( z ，) ( i - 2 ) d ? d ? n 缸0 - a ( x ，t ) = 0 m + n = o d d ( i - 3 ) d r a b 。d = ( d t a - d ) c b a d ( d t c 6 ) ( 0 4 ) ( d 6 ) “一u b u t c 回= ( l “c t ( t c ) k z a c ( d , b ， f i - 5 ) d ! f d 。n - b 1 - c d + 0 6 ( d ，c d ) 1 = ( d f d 。a d ) c b a d ( d t d 。c - b ) 4 - ( d t a - d ) ( d 。c b ) ( d 。一d ) ( d f c b ) ， ( i - 6 ) ( 觑d 。n n ) 拍一d n ( o f d 。b - = 2 d d d 椰6 ) 犯显然( i 一6 ) 是( i - 5 ) 的挣殊请形 ( i - 7 ) ( 珑b ) c d a b ( 噬c - 棚= d = ( d ：a 一曲_ 曲+ d ( d ：c - f j l 。 j - s ) ( d ：。a ) c c 一( d i c c ) = 2 d z ( d ；a c ) c a + 6 d x ( d ! 。c ) ( d 。c 。n ) ， i - v ) f i - 1 0 ( i - i i d 。u 。d + a b ( d 。c d ) = ( d 。d ) c b 十“d 。c ( d ；b i c d 。6 f d ! c 们= f d ! n d ) c b ，- a d ( d 一；c 一2 ( d ，n c l f d t b - ( i 1 ( d ! 。- b ) c d _ 一口6 ( d 知( f ) = ( d ! o - d ) c b + a d ( o ；c 6 ) 一3 d z ( d ，c ) 一( d 。b “) 令l a n b = g f ，那么我们得到 1 1 1 。1 j 焉= 群 ( i i - 2 ) 丽0 2 0 = 璧趔乌离笫幽， ( i f 一3 ) 豁= 群一3 照吲器咎剑一8 群 3 3 2 修正k d v 方程的两种b t i e l d u u d 变换的一致性的证明 3 2 1 修正k d v 方程的b s c k l u n d 变换的导出 修正k d v 方程 砚4 - 2 4 t ，2 毗十 一= 0 ， ( 3 1 ) 1 4 令”= 九，则有“+ 8 ( 九) 3 k + 如。= 0 ，两边对z 积分，并取积分常数为零，则有 也+ 8 ( 如) 3 + 丸。= 0 ( 3 2 ) t 壮2 ；， ( 3 3 ) 或咖= a r c ? ；a a 口，、利用( i i d ) 与( u - 3 ) ，方程( 3 2 ) 转化为 ( d c + d 3 z ) g ，】3 ( d 。g ，)