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基于原子系综相干特性的动力学敏感性 摘要 在许多多体量子系统中，随着系统某些外部参数达到它的临界 值，在零温情况下量子系统会发生量子相变。一般说来，量子相变 的发生伴随着处于临界点时量子系统基态的能级交叉或者是某种对 称性的破缺最近，人们发现对于一个量子相变系统，在它的临界 点附近，量子相变系统的动力学具有极高的敏感性。这个理论预言 已经在核磁共振实验中得到了验证 在本文中，我们研究了处于一个单模电磁场中的原子系综的动 力学敏感性。我们把这个系统称为光场缀饰的原子系综，它能够用 d i c k e 模型来描述。我们假设这个原子系综中的所有原子都与该单模 光场共振耦合。当一个与光场频率大失谐的外部二能级原子穿过这 个腔，由于s t a r k 效应，腔场的共振频率将被移动。因此，处在量 子相变附近的光场缀饰原子系综将被推过它的临界点。在这种情况 下，d i c k e 模型的动力学对于这个外部原子的穿过将非常敏感。 我们采用l o s c h m i d t 回波来刻画这种动力学敏感性。l o s c h m i d t 回 波能内在地由光场缀饰原子系综的特性所定义出来。在短时近似下， 我们证明，l o s c h m i d t 回波恰好是光场缀饰原子系综中光子数涨落的 指数函数。这意味着我们可以通过测量光子关联来得知l o s c h m i d t 回 波。l o s c h m i d t 回波的突然改变意味着这个外部原子穿过这个腔。我 们也指出了d i c k e 模型中量子敏感性与云室中探测粒子飞过的经典 敏感性存在相似性，粒子飞过云室中诱导出的经典相变会加强粒子 的运动轨迹。 关键词：原子系综；d i c k e 模型；量子相变；动力学敏感性 基于原子系综相干特性的动力学敏感性i i i a b s t r a c t t h eq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n ( q p t ) o c c u r s a tz e r ot e m p e r a t u r ew h e n t h ee x t e r n a lp a r a m e t e r so fs o m ei n t e r a c t i n gm a n y - b o d ys y s t e m sc h a n g et o r e a c ht h ec r i t i c a lv a l u e s g e n e r a l l y , i ti sa s s o c i a t e dw i t ht h eg r o u n ds t a t ew i t h e n e r g yl e v e lc r o s s i n ga n ds y m m e t r yb r e a k i n ga tt h ec r i t i c a lp o i n t s r e c e n t l y , i t w a sd i s c o v e r e dt h a t ，n e a rt h eq u a n t u mc r i t i c a lp o i n tt h eq p t s y s t e mp o s s e s s e s t h eu l t r a - s e n s i t i v i t yi ni t sd y n a m i c a le v o l u t i o n t h i st h e o r e t i c a lp r e d i c t i o nh a s b e e nd e m o n s t r a t e db ya nn m r e x p e r i m e n t i nt h i sp a p e r w es t u d yt h ed y n a m i cs e n s i t i v i t yo fa na t o m i ce n s e m b l e i nac a v i t yw i t has i n g l e - m o d ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d ( c a l l e dap h o t o n - d r e s s e d a t o m i ce n s e m b l e ) ，w h i c hi sd e s c r i b e db yt h ed i c k em o d e l w ea s s u m et h e a t o m si nt h ed i c k em o d e la r er e s o n a n tw i t ht h ec a v i t yf i e l d w h e na ne x t r a t w o - l e v e la t o mi nl a r g ed e t u n i n gg o e st h r o u g ht h ec a v i t yf i e l d ，t h ef r e q u e n c yo f c a v i t yf i e l dw i l lb es h i f t e de f f e c t i v e l ya c c o r d i n gt ot h es t a r ke f f e c ts ot h a tt h e p h o t o n - d r e s s e da t o m i ce n s e m b l en e a rt h eq p tw i l lb ef o r c e di n t oi t sc r i t i c a l p o i n t i nt h i ss i t u a t i o nt h ed y n a m i ce v o l u t i o no ft h ed i c k em o d e lb e c o m e st o o s e n s i t i v ei nr e s p o n s et ot h ep a s s a g eo ft h ee x t r aa t o m t h i sd y n a m i cs e n s i t i v i t yi sc h a r a c t e r i z e db yt h el o s c h m i d te c h o ，w h i c hi s i n t r i n s i c a l l yd e f i n e db yt h es t r u c t u r eo ft h ep h o t o n - d r e s s e da t o m i ce n s e m b l e f o ras h o r tt i m ea p p r o x i m a t i o n ，w ep r o v et h a tt h el ei sj u s ta ne x p o n e n t i a l f u n c t i o no ft h ep h o t o nn u m b e rv a r i a n c ei nt h ep h o t o n d r e s s e da t o m i ce n s e m b l e t h i sf i n d i n gm e a n st h a tt h el ec a nb ee x p e r i m e n t a l l ym e a s u r e db yd e t e c t i n gt h ep h o t o nc o r r e l a t i o n i t ss u d d e nc h a n g em a yi m p l yt h ep a s s a g eo fa n e x t r aa t o mt h r o u g ht h ec a v i t y w i t ht h i sr e o r g a n i z a t i o nw ew i l ld e m o n s t r a t e t h a ts u c hq u a n t u ms e n s i t i v i t yi nt h ed i c k em o d e li sv e r ys i m i l a rt ot h ec l a s - s i c a ls e n s i t i v i t yo ft h ec l o u dc h a m b e rf o rd e t e c t i n gaf l y i n gp a r t i c l e ，w h i c hi s c h a r a c t e r i z e db y t h em a c r o s c o p i c a l l y - o b s e r v a b l et r a j e c t o r i e se n h a n c e db yt h e c l a s s i c a lp h a s et r a n s i t i o n s k e yw o r d s ：a t o m i ce n s e m b l e ；d i c k em o d e l ；q u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n ； d y n a m i cs e n s i t i v i t y 基于原子系综相干特性的动力学敏感性 5 5 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：专金风 z ol o 年6 月6 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文 的全部或部分内容编入有关数据进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密嘭 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：壹金凤月期：勿晖易月易日 导师签名：滞期：嘶 6 月 7 日 基于原子系综相干特性的动力学敏感性 第一章绪论 1 1 研究背景与现状 在过去的三十年中，由于受到在铜基超导、重费米子材料、有 机导体等相关领域中所取得的实验进展的驱动，量子相变1 1 】吸引了 越来越多的人的研究兴趣，相关方面的研究也取得了实质性的进步 从上个世纪六七十年代开始，人们开始研究简单的自旋系统中的量 子相变，如横场i s i n g 模型【2 】。随后，强关联电子系统中的量子相变 的研究得到极大的发展，如金属绝缘相变【3 1 近年来，随着原子、 分子和光学物理方面的实验技术水平的提高，人们开始寻求一些基 于原子、分子和光学物理的实验平台来研究量子相变例如，人们 利用光子晶格中的玻色爱因斯坦凝聚体来研究超流一m o t t 绝缘相 变【4 ，5 】量子相变的研究不仅有助于理解物理学的基本概念，还能 对材料学等相关应用领域的研究有指导作用 从实验的角度，如何见证一个量子相变系统的临界过程是一个 非常重要的问题。也就是说，我们需要从一些物理上可测的量( 直接 可测或间接可测) 来体现系统的量子相变的发生近年来，随着量子 信息科学的发展，人们开始借用量子信息科学中的一些观念和方法 来研究量子相变。例如，量子纠缠被用来刻画量子相变的发生f 6 ，7 】 这是因为，量子相变多发生于多体相互作用量子系统中，而多体量 子系统的基态很大程度上是纠缠态由于在量子临界点附近，系统 的量子态经历急剧的变化，系统基态的纠缠度可能用来见证量子相 变。最近，人们提出了用“辅助系统的退相干”( 或者是洛克斯密 特回波( l o s c h m i d te c h o ) ) ( 如文献 8 - 1 4 ) 和“量子保真度”( 如文 献【1 5 17 】) 来研究量子相变。通过引进这些物理可观测量，我们不仅 可以得到量子相变系统原来的相图，还可以进而发现量子相变的动 力学细节，特别是当相变的序参量没有事先确定的情况，这种办法 更为有效 近年来，由于固态量子信息处理的发展，人们希望能够实现对量 子系统的相干操纵例如，基于约瑟夫森结量子比特的量子信息传 硕士学位论文 输和存贮利用约瑟夫森结量子比特构成固体量子存贮和用其它量 子系统( 如纳米器件) 作为约瑟夫森结量子比特的通用量子存贮器 超导电子对与电磁场相互作用导致准自旋的多粒子集体激发，这种 集体激发可以尝试用来存贮单光子的量子信息j 约瑟夫森结量子比 特中的配对的量子隧穿是一种保持集体相干的量子输运利用一个 约瑟夫森结可实现一个三能级a 型和型的人工原子，从而利用暗 态机制进行吸收单光子和存贮光子量子态的操纵。此外，最近在利 用超导量子比特制备和探测纳米机械共振器( n a m r ) 的量子状态以 及用n a m r 耦合多个超导量子比特的理论和实验研究方面也取得了 一系列进展，形成了基于电路q e d 与机械q e d 等新的固态量子体 系的分支研究领域。 具有稳定量子相干性的固态系统是构建实用化可集成的量子计 算机的基础。利用固态量子数据总线可以把两个固态量子比特连接 起来，为了使处于基态的数据总线只能传递信息而不破坏量子比特 系统的能量，就必须要求它有能隙的存在。只有当这个能隙远远超 过量子比特的能级差时，才可以诱导出没有能量衰减的固态量子比 特之间的有效耦合然而，对一个固态系统而言，存在能隙意味着 量子关联的长度是有限的，这表明量子信息传输要求数据总线存在 能隙和要求实现量子信息的长距离传输之间存在矛盾。因此，固态 量子系统中的量子纠缠和量子关联之间的关系是实现对固态量子系 统的相干操纵过程中需要深入探讨的一个关键问题 关于对量子系统的相干操纵，一方面，我们需要加强对量子系 统的直接操纵。所谓量子操纵是通过改变系统的动力学或非动力学 参数控制量子系统时间演化，如在量子计算中，这种可控演化可实 现单比特或多比特的逻辑门。但是，如对固态系统进行这样的操纵， 参数的改变有可能扫过量子多体系统的相变点，引起量子相变发生， 从而改变系统的基本物理。另二方面，由于任何系统都不可避免地 与外界环境相互作用，因此，我们希望能了解量子系统的环境所处 的状态将对量子系统动力学产生什么影响比如，最近人们研究了， 某些处在临界点的量子环境对量子信息处理过程的影响 1 8 _ 2 4 】。充 分了解环境对量子系统的影响能够为我们制备人工环境来改善量子 系统的工作结果有指导作用本文在传统d i c k e 模型的基础上，利用 基于原子系综相干特性的动力学敏感性 一个外部的辅助原子作为微扰，研究光场缀饰的原子系综的量子相 变特征，揭示量子系统在量子临界点附近表现出来的新量子现象。 1 2 本文的主要内容 本文主要内容包括四个部分，第一部分为基本理论背景，为本 文的第二章。因为本文的主要内容是研究基于原子系综相干特性的 动力学敏感性，因此一方面我们介绍光和原子相互作用的背景知识 【2 5 】，我们从第一原理出发，推导出描述单模光场与单个二能级原子 相互作用的哈密顿量：j a y n e s - c u m m i n g s 模型【2 6 】，并且推广到单模场 与多个二能级原子相互作用的哈密顿量：d i c k e 模型【2 7 】另一方面， 我们对经典系统和量子系统中的动力学敏感性作以简单的介绍 本文的第二部分是我们的工作【2 8 】，为文章的第三章。我们讨论 了具有量子临界现象的光场缀饰的原子系综的动力学敏感性利用 一个外部的辅助原子作为微扰，诱导出光场缀饰的原子系综的量子 相变，并且考察辅助原子的量子消相干和原子系综的l o s c h m i d t 回 波主要研究该系统在量子临界点附近的动力学敏感性 本文的第三部分为总结和展望部分我们对全文作以总结并对 接下来的研究内容作以展望 本文的第四部分为附录部分，给出了处于正常相和超辐射相的 光场缀饰的原子系综的哈密顿量的对角化 基于原子系综相干特性的动力学敏感性 第二章光与原子相互作用和经典与量子系统的动力学敏 感性 本章是全文的理论背景部分，在这一章中，我们将给出两个方面 的背景知识介绍：( 一) 光和原子相互作用；( 二) 经典系统与量子系 统的动力学敏感性。 2 1 光与原子相互作用 在这一节中，我们将从第一原理出发，推导光和原子相互作用的 哈密顿量【2 5 。特别地，我们推导出单个二能级原子和单模光场相互 作用的哈密顿量，即, i a y n e s - c u m m i n g s ( j c ) 模型【2 6 】的哈密顿量。并 且，我们推广到单模光场和多个二能级原子相互作用的情况，即得 到d i c l e 模型【2 7 】的哈密顿量我们以下的讨论主要参考文献 2 5 1 ，但 我们将提供详细的推导细节 我们考虑一个原子处于一个电磁场中，设原子核坐标为豆，质量 为m ，核外电子坐标为t 质量为m ( m m ) ，电磁矢势为彳，标势 为u 。根据最小耦合原理，只需将没有电磁相互作用的原子哈密顿 量中核和核外电子的正则动量只( s = 豆而作规范平移 p r _ 绦一a ( r ) ，b _ 辟+ a ( r - ) ， 其中已取自然单位制。则处于电磁场中原子的哈密顿量为 ( 2 1 ) 日：【曼! 毛掣+ 【皇二乏掣+ y 。瓦一力， 。2 2 ， 引入质心坐标百和相对坐标考 百= 等= 篇型直，z = 应一露 ( 2 3 ) 硕士学位论文 以及质心质量腹和约化质量p 耽= m + m2m ，p ；名= r 丽r l l 掣m ， ( 2 4 ) 这里我们已利用( m m ) 竺0 我们也引入了质心正则动量户和相对 正则动量或 户= 尥瓦o o = 露+ 霹，雹= 筹= m p rr - m p r ( 2 5 ) 将哈密顿量( 2 2 ) 展开，我们得到如下表达式 日型南唪一或彳( 五) 一彳( 兵) 剐 + 刍 砰+ 霹盈而+ 盈力霹 + y ( 瓦一而， ( 2 6 ) 上式中我们忽略了癣( 矗) 和癣( 力项，并且选取库仑规范条件 v a = 0 u = 0 由于 ( 2 7 ) 磊盈矗) + 瓜瓦) 最= 一i 无 v r 盈厨+ 盈厕v r - i l i a ( r ) v r ，( 2 8 ) 利用库仑规范条件v r 盈厦) = 0 ，v ，彳( 力= 0 ，我们可以得到 只a ( 回= a ( 司只，8 = r ，只 磊盈五) + 盈五) 忍= 一2 l 讯瓦) v r ， 戽承而+ 盈而耳= 一2 i h x ( 力v ，( 2 9 ) 上式表明在库仑规范条件下，正则动量曩与电磁矢式彳( 回对易，即 ，基于原子系综相干特性的动力学敏感性 【霞，彳( 司1 = o ，s = 豆t 所以哈密顿量( 2 6 ) 变为 日型是+ 里2 m 一击彳( 豆) 戌+ 去彳( 力霹+ v ( rq 型曼2 m + 关一裥( 鲁一票) 州豆一力 = 舄+ 关一裥( 去恿) + v ( g 一力 2 嘉+ 里2 m 一燮m 州n 力 ：爰+ 荔一挲州习 型嘉+ 曼2 m 一学州习， ( 2 1 0 ) 上式推导中用了偶极近似盈两2x ( 0 和近似条件百竺瓦，即盈瓦) 竺 盈百) 类似于b o r n - o p p e n h e i m e r 近似 2 9 】，固定百，求解关于z 的本征 值问题： ( 熹州习) i n ) = 帅) ，晶= ( 2 1 1 ) 由h e i s e n b e r g 运动方程，我们可计算得到相对坐标的运动方程如下： 刍z = 三i h 耻】：景一警， 经整理，我们得到以相对速度为函数的正则动量表达式： 甓= m 妄z + 瓜百) 在右边第一式左右两边用完备性关系，可以得到 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 最= 爰l , n ( 鼠一易) ( ：l z l n ) 1 2 ) ( n l + 月( 百) ( 2 1 4 ) 代入到哈密顿量( 2 1 0 ) 中，我们得到 日2 嘉+ 鼬荆i 叫 + t 盈百) ( 一坎) ! l z i 礼) i i ) ( n 1 1 ， ( 2 1 5 ) l , n 这里，我们丢掉了癣( 百) 项 对于二能级原子，设l e ) 和l g ) 分别为其激发态和基态，岛= 0 ， 而z 为奇宇称，( n 俐n ) = 0 ，记( 悯n ) = d 为电偶极矩矩阵元，则( 2 1 5 ) 约化为 日竺旦 。l e ) ( e i + i u 。尔百) d 【1 9 ) ( e i l e ) ( 9 1 1 ( 2 1 6 ) 日竺二2 m 一+ h w e l e ) ( e i + i u e a ( q ) 。 【1 9 ) ( e i l e ) ( 9 l l ( 2 1 6 ) 在f a b r y - p e r o t ( f p ) 腔中，光场为驻波场，经量子化可知横向电磁场 为 e 忍( 三，t ) 岛 = 忍( z ，t ) 色， = 目- - e 日( a l e - 幻z t + 口t e “l ) s i n ( h z ) ， ；孥，日：1 挈， ( 2 1 7 ) 2 i 日2v 瓦 u 这里，波矢h 是由驻波边界条件e x ( o ，t ) = e x ( l ，t ) = 0 得出，v 是f - p 腔体积下面考虑单模光场，并去掉下标l 可知q = z 根据 e = 坐堕，邑= o ，e = o ， ( 2 曲) 可得到 a ( q ，幻2 o 及( ) d t2 考( a e 妣一旷训) s l n ( 凳q ) a ”( q ，t ) = a 。( q ，t ) = 0 ( 2 1 9 ) 哈密顿量( 2 1 6 ) 变为 日：姜：+ 鼬。i i e ) e l + 9 ( q ) ( n t e 曲t 一。e 一曲t ) 【b ) e l l e ) ( 9 i 】，( 2 2 0 ) 日= 南+ 鼬e e ) + 9 ( q ) ( n e 训一。e 却) 一9 i 】，( 2 2 0 基于原予系综相干特性的动力学敏感性 其中 们) ? 吣寺毗妒魄d 压s i n ( ( 2 2 1 ) 对h 作旋转变换仉= e x p 一i w a t a t 】 u l a t u j = a t e 枷。，以n 讲= a e 钆吐 哈密顿量( 2 2 0 ) 变为 ( 2 2 2 ) 研o t = 阢日叫+ t u a t a ( 2 2 3 ) p 2 2 靠+ 鼬e l e ) ( e l + 9 ( q ) ( o 一。) ( i g ) ( e l l e ) ( 9 i ) + 鼬口 当驻波场光子动量七远远地小于原子质心动量p 时，我们可以近似 认为 p , s i n ( k q ) = 0 ，【p g ( q ) 】- 0 ，质心动能与相互作用部分9 ( q ) ( 二 口) ( 1 9 ) ( e i _ l e ) ( 9 1 ) 对易，从而可以不考虑质心运动与原子内部运动的 耦合，可以忽略p 2 ( 2 m ) 得到 日二t = 氘如i e ) ( e l + t u a t a + 9 ( q ) ( a t 一口) ( 盯一一叽) ( 2 2 4 ) 把哈密顿量( 2 2 4 ) 分为两部分； 凰= 乩。i e ) ( e i + t i w a 仉研= g ( q ) ( a t n ) ( 盯一一q ) ( 2 2 5 ) 由于对h ：。作互作用变换：e ( w a t a + u c i e ) ( e i ) t = 盯一e 一妇p ， 盯+ 啦= 盯+ e 讥， = a t e 谢，口啦= a e 山 ( 2 2 6 ) 互作用表象下的哈密顿量为 硌= 9 ( q ) ( a t a e i 一c 弦一盯+ e p 慨弦 - a o e 一p + c 。+ a 盯+ e 一p 一魄) 。) ( 2 2 7 ) 1 0 硕士学位论文 近共振条件下，a t a e i ( 加u e ) t 与n q e 一如一u c ) t 是低频震荡项，对应两个 实过程；a t a + e 批) t 与a o 一e 一p e m 都是高频震荡项，对应两个虚过 程，可以忽略不计，此即旋转波近似( r o t a t i n gw a v ea p p r o x i m a t i o n ) h j e = 氘如l e ) ( e i + h w a t a + g ( q ) ( a t a 一+ a o + ) ( 2 2 8 ) 引入p a u l i 算符来描述这个两能级系统，我们可以把这个哈密顿量 ( 2 2 8 ) 表示为 h j c = 等叶砒a t a + g ( a t a _ + a a + ) ( 2 2 9 ) 这个哈密顿量描述一个单模场耦合一个二能级原子故得j c 模型哈 密顿量 如果把这个问题推广到一个单模场与多个二能级原子相互作用， 那个描述该相互作用的哈密顿量应该表示为 h d i e k e - - - - 学砖，+ 鼬n + 9 。，( n t 盯竺，+ 口碑) ) ( 2 3 0 ) 这个模型就是著名的d i c k e 模型当所有的二能级原子的能级间隔都 相同，并且所有的原子与光场相互作用的耦合常数都相同，上述哈 密顿量( 2 3 0 ) 变为 幽= t h ( - j e 砖) + 鼬n t 口+ 9 ( a t a o _ ) + n 碑) ， ( 2 j 3 1 ) 这个哈密顿量将在本文的第三章中用到。 2 2 经典与量子系统的动力学敏感性 在本小节中，我们将介绍经典系统与量子系统的动力学敏感性， 这种动力学敏感性通常标志着经典或量子混沌的发生。在经典力学 中，一个物理系统，受运动方程支配，如果这个系统分别从初始只 有很小差别的两个状态出发，随后的时间演化中这个系统对应两个 基于原子系综相干特性的动力学敏感性 1 1 不同初态的轨迹之间的差别是指数发散的，如图2 1 ( a ) 中所示。这 个现象就是著名的蝴蝶效应。蝴蝶效应的出现标志着经典混沌的发 生【3 0 】在蝴蝶效应中，初始条件有很小的差别，而运动方程是相同 的与经典力学中的蝴蝶效应相对应，在量子力学中，如果我们考 虑一个量子系统，它的哈密顿量标记为日，对应的幺正演化算符为 u ( ) 。如果这个系统初始处于两个差别很小的量子态，即慨( o ) ) 和 l 妒。( o ) ) ，那么在以后的演化当中，量子系统的量子态之间的差别将与 初始两个量子态之间的差别是一样的，如图2 1 ( b ) 所示。证明如下： ( 妒，( ) i 妒。( ) ) = ( 妒擘( o ) i v + 0 ) u 0 ) l 妒。( o ) ) = ( 妒9 ( o ) i 妒。( o ) ) ，( 2 3 2 ) 这里我们利用两个量子态之间的内积来表示两个态之间的差别，当 内积为l 时，两个量子态是完全一样的，当内积为0 时，两个量子态 之间相互正交。因此，对量子混沌地描述不能简单地类比经典混沌。 基于上述考虑，我们需要寻求其他的物理量来描述量子混沌的 发生。p e r e s 等人【3 l 】引入了相关量子混沌的概念为了描述量子混 沌的发生，接下来我们考虑量子力学中的另一种情况，即初始条件 完全一样，而演化过程有很小的差别。对于一个量子系统，如果初始 处于相同的量子态i 妒( o ) ) ，而系统的哈密顿量受到两个不同扰动，分 别为域和h 。这两个哈密顿量嵋和仇之间有很小的区别。与这两 个哈密顿量相对应的演化算符分别标记为和眈。在这种情况下， 后面的两个量子态之间的内积为 ( ( ) i 妒。( ) ) = ( 妒( o ) l 嵋( ) 以( ) l 妒( o ) ) ， ( 2 3 3 ) 当该内积趋于零，如图2 1 ( c ) 所示，表明哈密顿量的一点微扰差别导 致出t 时刻后量子态之间的巨大的差别。这说明该量子系统的量子 态对系统哈密顿量的微扰改变非常敏感，同时也标志着量子混沌的 发生 通常，在量子混沌的研究中，人们引入l o s c h m i d t 回波，即上述 内积的模方 l = i ( 妒，( ) i 妒。( ) ) 1 2 ( 2 3 4 ) 硕士肇位论文 来描述两个末态l p ，( ) ) 和( f 。( ) 之间的差别，它可以用来反映系统 的动力学敏感性我们将借助这个物理量一l o s c h m i d t 回波来描述 量子临界系统在量子相变点附近的动力学敏感性 毫 _ 瑟要哥：- = 峰唾兰 。 高；盘藤曩霸萨豁 ( o i b o ) 2 ( 吗( ( j 】【o ) ，) r f 哟。( b m j 【# ( 刚 m 1 ，审麟： ( p 一( 川n 】) 2 ( p o ) p ；c ， “，( ) 【p ( o ) ) jo f d 图2l 经典系统和量子系统的动力学敏感性的示意图( a ) 经典蝴蝶救应，叶 物理系统，如果这个物理系统从初始只有银小的差别的两个状态出发，随后的 时间演化中这个系统对应两个不同仞态的轨迹之间的差别是指数发散的，l b ) 量子系统生正演化不改变系统的两个量子态之间的内积一个量子系统， 从相同的初态出发，如果经历相差很小的两个哈密顿的演化+ 两个末态接近正 交。图取自孙昌璞院士的p p t 陈北师大2 0 0 s ) 基于原于系埭相干特性的动力学敏感性 1 3 第三章光场缀饰的原子系综的动力学敏感性 在这一章中，我们将研究光场缀饰的二能级原子系综在量子临 界点附近的动力学敏感性。本章是我们自己的研究工作。最近研究 发现，当光与原子系综的耦合常数达到某一l 瞄界值时，与单模光场 相耦合的二能级原子系综会经历量子相变基于此，我们考虑将一 个与光场大失谐的外部探测原子穿过光场，由于s t a a k 效应，光场的 频率会发生移动，因此，原先处于相变点附近的光场缀饰的原子系 综会跨过其相变点，发生量子相变我口】通过计算系统的l o s c h m l d t 回波，来研究系统在发生量子相变对l o s c h m i d t 回波对光与原子系练 的耦合的敏感性 3 1 光场缀饰的原子系综模型 我们考虑一圃由_ 个二能级原予组成的原子系综，如图3 1 所 示，该原子系综被放置在一个共振频率为u 的单模电磁腔中，产 生算符一和消灭算符n 用来描述该单模腔场我们采用泡利算符 图31 ：物理系统示意图t 一团由_ 个原子组成的原子系综处于一个单模腔 中，并与诙单模腔场相互作用一个标记为s 的二能级原子穿过该腔，用来探 测该腔的动力学 1 4 硕士学位论文 毋) = i e ) 力( e i i 夕) ( 9 1 ，盯辛= i e ) j j ( g l ，和盯! = 1 9 ) 竹( e i 来描述第j 个原子 的跃迁这里，f e ) j 和f 夕) j 分别标记第歹个原子的激发态和基态，这 两个态之间能级间隔记为蛳这个包括原子系综和单模腔场的总系 统由d i c k e 模型来描述，它的哈密顿量为 1 t o = w a t a + 孰1 删+ 9 0 ( a t 刊( 拶瑚，) ( 3 1 ) l 万蛐硝)+ 口) ( 盯! + 盯圳 ( 3 1 ) j = l l 。 、7 j 这里，我们记普朗克常数危= 1 d i c k e 模型的量子相变已经得到了研究 3 2 - 3 4 我们假设该原子 系综的尺寸远远小于单模腔场的波长，因此所有的原子所处的位置 的电磁场是相等的，从而所有的原子与该单模腔场的耦合常数是相 等的，我们记这个耦合常数为g o 3 5 ，3 6 】。方程( 3 1 ) 中的第一项是单 模腔场的自由哈密顿；第二项是原子系综的自由哈密顿，这里我们 假设原子系综足够稀薄以至于原子和原子之间的相互作用可以忽略 不记；第三项是原子系综与单模腔场之间的相互作用项，需要指出 的是这里我们没有作旋波近似 已有文献证明【3 5 ，3 6 】由于方程( 3 1 ) 给出的哈密顿量只在耦合常 数g o 较小的情况下才保持厄米性，因此d i c k e 模型所描述的系统存 在量子相变。然而，在量子光学系统中，d i c k e 模型只是作为一个模型 来展示量子相变。实际上，在原子、分子、与光学系统中，如果把被 不合理地忽略了的双光子项癣包含进来，这种相变并不会发生 3 7 】。 在这个工作中，为了集中于我们主要的思想，我们只是将d i c k e 系统 作为一个简化的模型我们要指出的是，尽管很多作者已经认识到 这个问题，但目前依然存在许多利用这个简化模型的研究f 3 s - 4 3 为了探测d i c k e 模型在量子临界点附近的动力学特性，我们引进 一个辅助的探测原子。我们把这个辅助的二能级原子记为s ，它进 入该单模腔并与腔场相互作用由以下的哈密顿量描述： 研= 扣几+ g s ( a t a _ + 。， ( 3 2 ) 这里，我们引进了跃迁算符吒= l e ) ( e l - l g ) ( g l 、盯+ = i e ) ( 夕i 和盯一= i g ) e 1 是该探测原子s 基态| g ) 和激发态i e ) 之间的能级间隔。吼 基于原子系综相干特性的动力学敏感性 1 5 探测原子与腔场之间的耦合常数需要指出的是方程( 3 2 ) 中我们作 了旋波近似。 综上所述，系统的总哈密顿量可表达为 h = t o + 所 ( 3 3 ) 在下一节中，我们将推导系统的有效哈密顿量 3 2 系统有效哈密顿量的推导 如果探测原子s 与腔场的耦合处于色散区( 大失谐) ，即l 一 吼，这里。兰u 。一u 定义为原子能级间隔与腔场频率u 之间的 失谐量。我们可以通过采用弗留里希一中岛( f r 6 h l i c h - n a k a j i m a ) 变 换【4 4 4 8 】方法得到一个描述色散j - c 模型的有效哈密顿量来描述该 探测原子的作用弗留里希一中岛变换方法是一种正则变换方法， 历史上曾经利用这种方法来解释b c s 超导理论中，为什么两个电子 可以配对成为一个c o o p e r 对本来电子和电子之间是库仑排斥相互 作用，但是当两个电子与声子相互作用，消除一阶过程，得到电子 电子之间的有效相互作用。在某些条件下，这个有效的相互作用是 吸引相互作用。 接下来我们将先给出一个基本的变换理论【4 8 1 ，然后再利用这个 理论来研究在大失谐条件下单模光场与二能级原子相互作用的有效 哈密顿量。对于一个物理系统，它的哈密顿量由两部分构成： h = h o + a h i ( 3 4 ) 这里凰为自由部分，研为微扰的相互作用部分。参数a 是一个小 量，称之为微扰参数，用来标记微扰的阶数，在计算的最后，我们取 a = 1 弗留里希一中岛变换的关键是选取一个合适的幺正变化y ( 入) = e x p ( a s ) ，这里s 是一个待定的反厄米算符接下来我们对系统的哈 密顿量作如下变换 h 、。e - x s h e 、s ( 3 5 ) 1 6 硕士学位论文 得到一个新的哈密顿量巩这里s 的选取应该与所是同阶的相 应的量子态的变换为 西) = v ( - a ) i 皿) = 唧( 一a s ) l 皿) ( 3 6 ) 我们知道幺正变换不会改变物理系统的能谱，因此它们能描述相同 的物理过程物理上，研对最后的结果的影响是可以忽略的。利用 b a k e r - c a m p b e l l - h a u s d o r f f 变换，我们可以把风表示为a 的一系列级 数的形式 风= 凰+ 三篱唑哪 7 ， 保存到参数a 的二阶，上面哈密顿量( 3 7 ) 变为 、2 风风+ a ( h x + 【h o ，翻) 十争( 研+ 【h o ，翻) ，s 】 + 萼【毋阎， ( 3 8 ) 为了消除掉一阶相互作用，我们选取一个合适的s 使得 胁+ 【凰，s 】= 0( 3 9 ) 成立。从方程( 3 9 ) 我们可以得到s 的具体表示形式。为了简单起见， 我们假设凰的本征态是非简并的。标记i n ) 是凰的本征态，对应的 本征值为玩对方程( 3 9 ) 在i 礼) 表象中取矩阵元，我们得到 ( m i h x l 礼) + ( 一玩) ( m l s l n ) = 0 ， 我们得到算符s 在l n ) 表象中的矩阵元具体表达式 却= 裂。d n d m 因此，s 在i n ) 表象中的表达形式为 s = 。n ( 。m 。l h d 。n m ) ，i m ) ( n i ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 基于原子系综相干特性的动力学敏感性 1 7 从方程( 3 8 ) 和( 3 9 ) 出发，我们可以得到有效哈密顿量 风丘凰+ 去【胁，翻 ( 3 1 3 ) 对于单模腔场和二能级原子相互作用，它由如下j c 模型哈密顿 量描述： 肌o = 等吒4 - w a f a + g s ( a a + + 盯一n ) ， ( 3 1 4 ) 二能级原子的能级间隔是，腔场的共振频率是u ，耦合常数是舶。 当二能级原子与腔场之间的失谐远远大于耦合常数舶时，我们对哈 密顿量做正则变换，选取 凰：等以+ w a t a ，所= 舶( a q + 矿一a t ) ， ( 3 1 5 ) 和 s = x ( a a + 一口一a t ) ， ( 3 1 6 ) 代入到方程( 3 9 ) 中， 蜘( 叮+ + 盯一n ) + 警观+ w a t a , x ( 峨一盯一。) = o ， ( 3 1 7 ) 我们可以求出这个参数x z ：一一g s ， (318)a z 2 一s t j l 石) 这里我们引入了失谐量a 。= u 。一u 因此变换算符为 s = 一老( n ? + - - a _ a t ) ， ( 3 1 9 ) 把方程( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 代入到方程( 3 1 3 ) ，我们可以得到色散j - c 模 型的有效哈密顿量 风w 2 s 一+ w 口t n + 壶b ( 口叽+ 盯一n t ) 一是( a 叽- o - a * ) = + 砒+ 爰( 8 既 4 - g + f f _ ) = 警吒+ w a t a + t a a z + 基差 2 。， 1 8 硕士学位论文 基于上面所推导的色散j - c 模型的哈密顿量( 3 2 0 ) ，我们可以写 出总系统的有效哈密顿量为 如= p + 否吒) 口t n + 丢( + 否) 吒+ 害毋) - 一j = l + 赤善( a t - 4 - a ) ( 伊! h ( 3 2 1 ) 这里，我们引进了5 三g ；t , 。和g 兰9 0 、- 丽这个有效的哈密顿量本质 上由一个d i c k e 模型的哈密顿量加上一个色散j - c 模型的有效哈密 顿量组成。 由个两能级原子组成的原子系综所对应的希尔伯特空间是2 维的，具有2 个基矢对于我们目前的情况，所有的原子具有相同 的能级间隔以及与腔场的耦合常数。那么我们可以认为这些原子是 全同的，也就是说我们不能区分这些原子，对原子进行标号是没有 意义的。这时，系统约化为一个有效的n 2 能级系统，希尔伯特空 间退化到一个维数为+ 1 的子空间在这个子空间中，哈密顿量能 够被简化通过引进如下集体算符 n 1n 如= 盯虹以= 专砖， ( 3 2 2 ) j=lj=l 它们遵守如下角动量对易关系： 【以，止】= 士厶，【 ，l 】= 2 以( 3 2 3 ) 集体算符以代表原子系综的集体布居，而如代表集体激发 利用这些角动量算符，哈密顿量( 3 2 1 ) 可以被写为 玩厅= ( u + 6 盯：) o t n + 妄( u 。- 4 - 8 ) a z + u 。以+ 赤( 。+ 。) ( 几+ 上) ( 3 2 4 ) 通过利用h o l s t e i n - p r i m a k o f f 【4 9 】变换，它可以进一步被简化为 h e 丘= ( u + 否a z ) a t a + w o b t b + 去( u 。+ 否) 吒 + g ( a t - 4 - n ) ( b t v 1 - b t b n + h c ) 。 ( 3 2 5 ) 基于原子系综相干特性的动力学敏感性 1 9 这里h o l s t e i n - p r i m a k o f f 【4 9 】变换定义为： = b t 忻瓦丽， 正：v 面- b * b b ， 以= 6 t 6 一扣 ( 3 2 6 ) 它利用一组单模玻色算符来表示角动量算符。 为了更明显地看出光场缀饰的原子系综对探测原子的动力学敏 感性，从哈密顿量( 3 2 5 ) 出发，对应探测原子处于不同的状态，光场 缀饰的原子系综的动力学由不同的有效哈密顿量描述 凰庄= l g ) ( g lo 坞+ i e ) ( e io 皿，( 3 2 7 ) 这里 凰= o o + w o b t b + 9 ( d t + o ) ( b _ x 1 - b t b n + h c ) ， 矾= w e a t a + 0 3 0 b i b + 夕( + a ) 订习丽札c ) ， ( 3 2 8 ) ( 3