（应用数学专业论文）拟共形映照及其在调和映照中的应用.pdf

中文摘要 拟共形映照及其在调和映照中的应用 摘要 拟共形映照理论是复分析领域中一个非常重要的分支，而且交叉渗透 到微分几何、偏微分方程、拓扑学等其它数学学科中，同时广泛应用于弹 性理论、流体动力学、自动化工程学，动力系统和生物学等应用学科因此 研究拟共形映照理论及其应用具有重要的意义本文旨在研究拟共形映照 的极值理论和拟共形映照在调和映照中的应用 首先，对唯一极值的b e l t r a m i 系数，我们给出了判别截尾所诱导的t e - i c h m f i l l e r 等价类为s t r e b e l 点的一个充要条件，并利用它提供了h a m i l t o n 序 列的一种构造方法；而且通过截尾型的b e l t r a m i 系数给出了一个充分条件 用于判别由l s w n e r 方程决定的拟共形映照和拟共形形变两者的极值性是等 价的其次，通过研究俨t e i c h m f i l l e r 映照的调和性，证明了在俨t e i c h m i i u e r 映照类中不存在s c h o e n 猜想的解然后，针对调和拟共形映照的具体问题分 别建立了相应的微分方程。证明了奇的俨类拟对称同胚的b e u r l i n g - a h l f o r s 延拓不是s c h o e n 猜想的解；以及上半平面到自身上的万调和拟共形映照的 逆只有共形映照是s c h o e n 猜想的解等结果全文共分五章 第一章是本文的绪论从拟共形映照的起源，定义，性质、和应用四个 方面简要地介绍了拟共形映照的历史背景和研究意义，并阐述了本文研究 问题的由来和现状以及主要结果 第二章研究拟共形映照的一些极值问题我们给出了一个充要条件用 于判别由唯一极值b e l t r a m i 系数诱导的截尾口的t e i c h m f i u e r 等价类【q 】是否 是t 中的一个s t r e b e l 点；同时也得到了判别q 的唯一极值性的充要条件 利用截尾的这些性质我们提供h a m i l t o n 序列的一种构造方法；给出了拟共 上海交通大学博士学位论文 形形交f ( w ，t ) 的极值性等价于由l s w n e r 方程确定的拟共形映照解( z ，) 的 极值性的一个充分条件另外，无限小极值情形下的一些对应结果也被给 出 第三章研究t e i c h m i i l l e r 映照与调和映照的关系我们给出了一个弧 t e i c h m i i l l e r 映照为p 调和的充要条件利用这个结果我们证明了在俨t e i c h m i i n e r 映照类中不存在s c h o 明猜想的解；另外我们还获得丌调和映照的两个特征 第四章研究b e u r l i n g - a h l f o r s 延拓和调和映照的关系首先，给出了b e u r l i n g - a h l f o r 8 延拓是关于双曲度量调和的一个必要条件特别地，若边界对应i l 是俨和奇的，则其b e u r l i n g - a h l f o r s 延拓不是关于双曲度量调和的其次， 证明了若 是分段俨的则其b e u r l i n g - a h l f o r s 延拓不是霄调和的除非h ( x ) = 凹+ 6 ，z r 第五章研究可逆调和拟共形映照首先，我们利用a 和5 能量密度建立 了( p ，口) 可逆调和微分同胚满足的偏微分方程作为这个结果的一个应用， 证明了上半平面到自身上的霄调和拟共形映照，的逆是关于双曲度量调和 的当且仅当它是共形的作为这个结果的另一个应用，我们获得了由调和 映照提升的最小曲面是一张平面的一个新的充要条件 关键词t 拟共形映照，t e i c h m i l l e r 映照，拟共形延拓，极值，唯一极值， 截尾，无限小极值，s t r e b e l 点，h a m i l t o n 序列，调和映照，调和延拓，可逆 调和映照，调和拟共形映照，调和t e i c h m i i n e r 映照，最小曲面，偏微分方程 q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g sa n d t h e i r a p p l i c a t i o i n st oh a r m o n i cm a p p i n g s a b s t r a c t t h et h e o r yo fq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tb r a n c h e s i nt h ed o m a i no fc o m p l e xa n a l y s i s i ta f f e c t st h ed e v e l o p m e n t so fo t h e rm t h e m a t i e a l s u b j e c t ss u c ha sd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt o p o l o g y i t a l s oh a se x t e n s i v ea p p l i c a t i o n st om a n ya p p h e ds u b j e c t ss u c ha se l a s t i c i t yt h e o r y , b y - d r o d y n a m i c s ，r o b o t i c s ，d y n a m i c a ls y s t e m sa n db i o l o g y s oi t i 8m e a n i n g f u lt os t u d y t h et h e o r yo fq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g sa n di t sa p p f i c a t i o o n s i nt h i sd i s s e r t a t i o nw e a i mt os t u d yt h ee x t r m a lt h e o r yo fq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g sa n dt h ea p p l i c a t i o n so f q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g st oh a r m o n i cm a p p i n g s 。 f i r s t ，f o rau n i q u e l ye x t r e m a lb d t r a m ic o e f f i c i e n t ，w eg i v ean e c e s s a r ya n ds u f 】融 c i e n tc o n d i t i o nt od e t e r m i n et h et e i c h m f i l l e re q u i v a l e n tc a l s si n d u c e db yat r u n c a t i o n i sas t r e b e lp o i n t ，a n du s ei tt op r o v i d eam e t h o dt oc o n s t r u c tah a m i l t o ns e q u e n c e b yt h eb e l t r a m ic o e f f i c e n t so ft h ef o r mo ft r u n c a t i o n s ，w eg e tas u f f i c i e n tc o n d i t i o n t oj u d g et h ee x t r e m a l i t yo ft h eq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g sa n dq u a s i c o n f o r m a ld e f o r - m a t i o n sd e t e r m i n e db yt h el 6 w n e re q u a t i o ni se q u i v a l e n t n e x t ，a f t e rs t u d y i n gt h e h a r m o n i c i t yo f 俨t e i c h m i i l l e rm a p p i n g s ，w ep r o v et h a tt h e r ea r en os o l u t i o n st ot h e s c h o e nc o n j e c t u r ea m o n gt h ec l a s so fc 2 - t e i c h m i i l l e rm a p p i n g s l a s t ，w eb u i l de o l t e - s p o n d i n gd i f f e r e n t i me q u a t i o n sf o rd i f f e r e n tp r o b l e m sa b o u th a r m o n i cq u a s i c o n f o r m a l m a p p i n g s ，a n dp r o v et h a tt h eb e u r l i n g - a h l f o r se x t e n s i o no faq u a s i s y m m e t r i ch o m e o - m o r p h i s m ，w h i c hi so d da n di nc 2 ，i sn o tt h es o l u t i o nt ot h es c h o e nc o n j e c t u r e ，a n d t h ei n v e r s eo fai t - h a r m o n i cq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n go ft h eu p p e rh a l fp l a n eo n t oi t s e l f i sas o l u t i o nt ot h es c h o e nc o n j e c t u r ei fa n do n l yi fi ti sc o n f o r m a l t h i sd i s s e r t a t i o n i so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1w ef i r s tg i v ea ni n t r o d u c t i o no ft h eb a c k g r o u n do fq u a s i e o n f o r m a l m a p p i n g s ，a n dt h e nn a r r a t et h eo r i g i na n dd e v e l o p m e n t so ft h ep r o b l e m sw h a tw e n l d o c t , o r a ld i s s e r t a t i o no f s b a n 鲥j i a ot o n gu n i v e r s i t y s t u d yi nt h i sd i s s e r t a t i o n w ec o n c i s e l ye n u m e r a t et h em a i nr e s u l t so ft h ed i s s e r t a t i o n ， t o o i nc h a p t e r1 1w es t u d ys o m ee x t r e m a lp r o b l e m so fq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s w e g i v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nt od e c i d ew h e t h e rt h et e i c h m i i l l e re q u i v a l e n t c l a s s 【口】o fat r u n c a t i o nqi n d u c e db yau n i q u e l ye x t r e m a lb e l t r a m ic o e f f i c i e n ti sa s t r e b e lp o i n ti nt w ea l s oo b t a i na n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h eu n i q u e e x t r e m a l i t yo fq u s i n gt h ep r o p e r t i e so ft r u n c a t i o n sw ep r o v i d eam e t h o dt oc o n s t r u c t h a m i l t o ns e q u e n c e s w ea l s og e tas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x t r e m a l i t yo ff ( 哪，t ) t o b ee q u i v a l e n tt ot h a to ff ( z ，t ) w h i c hi sas o l u t i o nd e t e r m i n e db yt h el s w n e re q u a t i o n s o m ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t si nt h ei n f i n i t e s i m a lc a s ea r eo b t a i n e d ，t o o i nc h a p t e r1 1 1w es t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e nt e i c h m i i l l e rm a p p i n g sa n dh a r m o n i c m a p p i n g s w ep r e s e n tan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rac a - t e i c h m f i l l e rm a p - p i n gt ob ep - h a r m o n i c b yt h i sr e s u l tw es h o wt h a tt h e r ei sn os o l u t i o nt ot h es c h o e n c o n j e c t u r ei nt h ec l a s so fc t e i c h m i i l l e rm a p p i n g s w ea l s oo b t a i nt w oc h a r a c t e r i z a - t i o n sf o ri t - h a r m o n i ct e i c h m i l l l e rm a p p i n g s i nc h a p t e ri vw es t u d yt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nb e u r l i n g - a h l f o r se x t e n s i o n sa n d h a r m o n i cm a p p i n g s w eo b t a i nan e c 矮邺c o n d i t i o nf o rab e u r l i n g - a h l f o r se x t e n s i o n t qb eh y p e r b o l i ch a r m o n i c p a r t i c u l a r l y , i fab o u n d a r yc o r r e s p o n d e n c eh i si nc 2a n d o d d ，t h e nt h eb e u r l i n g - a h l f o r se x t e n s i o no fhi sn o th y p e r b o l i ch a r m o n i c w ea l s o s h o wt h a ti fhi si nc ap i e c e w i s e l y , t h e nt h eb e u r l i n g - a h l f o r se x t e n s i o no fhi sn o t 7 r - h a r m o n i cu n l e s sh ( z ) = 口z + b ，茁r i nc h a p t e rvw e s t u d yi n v e r s i b l eh a r m o n i cq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s u s i n gt h ea a n da e n e r g yd e n s i t i e s ，w eb u i l dap a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rar e v e r s i b l eh a r m o n i c d i f f e o m o r p h i s mw i t hr e s p e c tt o ( p ，矿) a s 衄a p p l i c a t i o no ft h i sr e s u l tw es h o wt h a t i ffi sa7 r - h a r m o n i cm a p p i n go ft h eu p p e rh a l fp l a n eo n t oi t s e l ft h e ni t si n v e r s ei s h a r m o n i cw i t hr e s p e c tt ot h ep o i n c a r 6m e t r i ci fa n do n l yi fi ti sac o n f o r m a lm a p p i n g a sa n o t h e r a p p l i c a t i o no ft h i sr e s u l tw eo b t a i nan e wn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n f o rt h em i n i m a ls u r f a c el i f t e db yau n i v a l e n th a r m o n i cf u n c t i o nt ob eap l a n e k e yw o r d s l q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s ，t e i c h m i i l l e rm a p p i n g s ，q u a s i c o n f o r - a b s t r a ( 珂 r e a le x t e n s i o n s ，e x t r e m a l i l t y , u n i q u e l ye x t r e m a l ，t r u n c a t i o n s ，i n f i n i t e s i m a l l ye x t r e m a l ， s t r e b e lp o i n t s ，h a m i l t o ns e q u e n c e s ，q u a s i c o n f o r m a ld e f o r m a t i o n s ，h a r m o n i cm a p - p i n g s ，h a r m o n i ce x t e n s i o n s ，r e v e r s i b l eh a r m o n i cm a p p i n g s ，h a r m o n i cq u a s i c o n f o r - m a lm a p p i n g s ，h a r m o n i ct e i c h m i i l l e rm a p p i n g s ，m i n i m a ls u r f a c e s ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s v 上海交通大学博士学位论文 常用记号 ”l l 表示一个复值函数的本性上界； a ( 2 c ) 表示中满足条件l i 妒i l = 儿j 妒l o o 的全纯函数妒全体； a 1 ( ) 表示a ( z ) 的单位球； 6 ( ，) 表示无限小等价类的边界半范； c 表示复平面； c 2 表示具有二阶连续偏导数的全体； d 表示单位圆盘； c o d 表示单位圆周； 日( ) 表示t e i c h m f i l l e r 等价类的边界伸缩商； g 表示虚部； 上尸( ) 表示本性上界有限的函数全体； 驴( ) 表示l e b e s g u e 平方可积函数的全体； m ( ) 表示三( ) 的单位球； q d ( ) 表示具有同一边界值的拟共形形变全体； q s ( o r ，o r ) 表示从实轴到实轴上的拟对称同胚全体； q ( ) 表示具有同边界值的拟共形映照全体； 卯表示双曲度量密度； r = ( 一o o ，+ o o ) 表示实数集； e 表示一个r i e m a n n 曲面； 跄表示实部； 、r i j i 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明；所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究作出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本 声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名t 陈行堤 日期：2 0 0 7 年3 月1 5 日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论文被查 阅和借阅本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文 保密回在一年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密阢 ( 请在以上方框内打“，) 学位论文作者签名。陈行堤指导教师签名：方爱农 日期：2 0 0 7 年3 月1 5 日日期s2 0 0 7 年3 月1 5 日 第一章绪论 1 1拟共形映照理论的研究背景和意义 拟共形映照起源于上个世纪三十年代在这个期间，人们从不同角度和不同问题 出发引入了拟共形映照1 9 2 8 年g r s t z s c h 【2 7 】引入一类正则的拟共形映照用于解决 一类非共形映照的极值问题，给出了度量非共形映照对共形映照的偏差的正确方法 a h l f o r s 利用拟共形映照从几何的观点来研究n e v a n l i n n a 值分布理论t e i c h m i i u e r 利 用拟共形映照研究解析函数与r i e m a n n 曲面的关系，并发展了现在所称的t e i c h m i i u e r 理论l a v r e n t i e f f 和m o r r e y 6 0 1 在探索传统的c a u c y - r i e m a r m 方程推广到非线性 b e l t r a m i 方程的几何意义时，也开始对拟共形映照进行深入的研究 拟共形映照的定义有多种，一般归纳为几何定义【3 1 ，【6 2 】和解析定义【5 4 】两种 g e h r i n g ，l e h t o ，m o r i ，y 硒6 b 6 和b e m 等证明了几何定义是等价于解析定义的( 比如 见f 2 4 】) ，从而统一了拟共形映照的定义此后，人们对拟共形映照理论还在不同方向 上进行了拓广首先，g e h r i n g 和v 弛m 五等人把这理论推广到高维空间( 见【1 0 2 ) r e 誊e t n j a k 【7 9 卜i s 2 ，方【1 7 】一【2 l 】，d a v i d 【1 1 】，1 w a n i e c 和m a r t i n 3 6 】等人对拟共形映照 的定义进行各种推广( 推广成拟正则映照，少同胚，有限偏差映照等) ，这些都进一 步拓广了拟共形映照的研究和应用在过去的十几年中，拟共形映照与空间结构的关 系也开始被研究，人们探索如何在更一般的度量测度空间上建立拟共形映照理论比 如，h e i n o n e n 和k o s k e l a 引入拟共形映照的度量定义，并在l s w n e r 空间和满足一 个p o i n c a r 6 不等式的空间上建立了拟共形映照理论( 见【3 1 】，【3 2 1 ，【3 3 】) b o n l 【6 】和 k l e i n e r 3 9 】还考虑在低维分形集( 比如s i e r p i n s k i 地毯) 上建立拟共形几何这样拟共 形映照不仅可作用于r e i m a n n 曲面上而且还可作用于任意维的r e i m a n n 流形上，甚 至可作用于任意的度量空间上至此，拟共形映照理论就不再仅仅属于复分析领域， 丽更多部分是属于实分析领域，其理论基础也从幂级数、积分表示或代数技术转移到 奇异积分、几何测度理论和s o b o l e v 空间上【3 4 】，从而拟共形映照的研究和应用范围又 第一章绪论 被更大地拓广了 同时拟共形映照的各种性质也被深入研究例如，b e u r l i n g 和a b h o r s 5 对给定的 边界映照首先构造了一类拟共形映照，建立了拟共形映照与拟对称同胚的对应关系 此后，人们不仅对一个拟对称同胚给出许多拟共形映照的延拓方法，而且各种延拓的 最大伸缩商的偏差估计也被研究具有相同边界值的拟共形映照有很多，因此寻找一 个最接近于共形映照的拟共形映照成为重要问题( 即拟共形映照的极值问题) 二十世 纪七十年代，h a m i l t o n 2 8 j ，k r u s h k a l 4 1 ，r e i c h 和s t r e b e l 7 8 等开始对这个问题进 行深入的研究，之后各种拟共形映照的极值和唯一极值的判别法则先后被给出，形成 了丰富的拟共形映照极值理论，同时也留下了许多有待研究的极值问题 随着拟共形映照的不断发展，它的应用也越来越广泛首先，拟共形映照理论不 仅是单复变量的函数论中个十分重要和活跃的分支，而且己安营扎寨于当代复分析 的许多领域中比如r i e m a a n 曲面、t e i c h m i l l e r 和模空间理论以及近期发展的全纯动 力系统和三维双曲几何等等，成为这些领域一个强有力的研究工具同时随着拟共形 映照理论不断成熟和发展它还推动和影响函数论其它许多分支的发展，而且广泛应用 于微分几何、偏微分方程、拓扑学等其它学科其中它在微分几何方面的许多应用中 包括下述两项1 、复分析中的经典单值化定理告诉我们任何个二维流形都具有一 个共形结构虽然对于高维流形这个结论不一定成立，但s u l l i v a n 证明了除了四维情 形外任何拓扑流形都允许有个拟共形结构，c o n n e s ，t e l e m a n ，d o n a l s o n 和1 w a n i e c 等对此做了进步研究2 、在九十年代，s c h o e n 提出了个猜想对任意的一个拟 共形映照( 当n = l 时，称为拟对称同胚) ，都可延拓成高一维关于双曲度量调和的拟 共形映照这是一个著名的猜想，现在称为s c h o e n 猜想针对这个问题，l i & t a m ， m c m u l l e n ，h a r d t & w o l f , 李忠，m a t e l j e v i c ，m a r k o v i c 和p a v l o v i c 等做了大量的研究 在一定条件下。他们部分解决了s c h o e n 猜想，但s c h o e n 猜想仍是个公开的同题， 另外。在实际应用方面，拟共形映照理论已经成为一种重要和标准的工具，并交 叉渗透到其它应用学科中，比如应用来研究弹性理论、控制论、动力系统、流体动力 2 上海交通大学博士学位论文 学、自动化工程学、地震学、生物学( 如脑科学铜和图形学等因此，对拟共形映照 的研究具有重要的理论和现实意义 1 2 基本概念与记号 本文采用拟共形映照的解析定义【6 0 】令后为一个正常数假设q 是复平面c 上 的个子区域以及p 是q 上的个可测函数且满足队l l 七 0 ， 啦+ ( i ( 1 + r ) ) p x d 、穹】是t 中的一个s t r e b d 点，则卢是唯一极值的 ( 2 ) 若p m ( d ) 是唯一极值的，则对d 中的每个紧子集e 和每个r 0 ，或者 阻x e + ( 1 1 ( 1 + r ) ) p x d 、e 】是t 中的一个s t r e b e l 点，或者p x e + ( 1 ( 1 + r ) ) p x d e 是 唯一极值的 从定理a 的第二部分可以看出给定一个唯一极值的b e l t r a m i 系数，其截尾何时 是某个s t r e b e l 点的代表元，或何时是唯一极值的这个问题并未解决另外，给定一个 非唯一的极值b e l t r a m i 系数，何时其截尾是某个s t r e b e l 点的代表元或是极值的，甚 至是唯一极值的，这个问题也没研究因此，我们提出 问题1 ：给定一个极值的b e l t r a m i 系数的截尾，如何判别它是极值的，或是唯一 极值的，或是某个s t r e b e l 点的极值代表元? 2 、h a m i l t o n 序列的构造问题 用a ( 岛) 表示在岛上满足条件l l = - k 川 0 的可微函数，则对每个固定的t 0 ，f ( z ，) 是极值的当且仅当f ( w ，t ) 也是桩值的 从定理b 可以看出沈所研究的这类b e l t r a a m i 系数要求关于变量t 和名是可分离 的且k ( t ) 是可微的因此我们要问 问题3 ：能否给出满足忌( t ) 是非可微的a ( z ，t ) 使得其对应的拟共形映照f ( z ，t ) 和拟共形形变f ( w ，t ) 的极值性是等价的? 1 3 2 调和拟共形映照问题 若边界映照 是个拟共形映照( 当n = 1 时，称为拟对称同胚) ，则它都可延拓 成高一维的拟共形映照【5 】，f 1 0 2 记q ( h ) 为以h 为边界值的拟共形映照全体除了 极值拟共形映照外，在q ( h ) 中寻找具有较好性质的代表元始终是拟共形映照理论的 个重要问题9 0 年代，s c h o e n 8 3 】在研究r i e m a n n 曲面上的调和映照时，提出了 s c h o e n 猜想t 对任意的一个拟共形映照( 当n = 1 时，称为拟对称同胚) ，都可 8 上海交通大学博士学位论文 延拓成高一维关于双曲度量调和的拟共形映照 从9 0 年代开始，人们针对这个猜想进行了大量的研究其中主要有，( 1 ) 通过研 究由p 调和映照，所诱导的h o p f 分p ( f ) f ：l d z 2 = 妒d z 2 ，w h 和t a m 【l o o ，【1 0 6 】 证明了如果妒的b e r s 范数是有界的那么一定存在r 个关于双曲度量调和的拟共形映 照与之对应，并研究了关于双曲度量调和的拟共形映照的全体与万有t e i c h m i i l l e r 空间 之间的联系( 2 ) 从研究边界值的特征出发，l i 和t a m 【4 7 】， 4 9 1 证明了任意c 1 且具 有非退化的能量密度的拟对称边界同胚都存在一个关于双曲度量调和的拟共形映照延 拓此后，l i 5 2 】，s h i & t a m & w a n 8 5 】和m a r k o v i c 【5 9 】等许多作者对此作了适当的推 广但是这个猜想至今仍然是个公开的问题( 3 ) 调和映照在指定的映照类中不存在 性的研究也有很多，比如h e i n z 3 0 ，s e h o e n 8 3 ，a k u t a g a w a & t a c h i k a w a 4 ，u e n o 1 0 1 ， m o & s h i 5 8 】等 研究调和拟共形映照( 或s c h o e n 猜想) 在某些映照类中的不存在 性近几年才开始，比如p a r t y k a & s a k a n & ：z a j a c 6 3 ，s h e n 9 3 ，l e i 阻l ，l i u & y a o 5 0 ，和 s u n 0 7 等本文还将从三个方面出发，继续研究s c h o e n 猜想及相关问题 1 、调和t e i c h m i i l l e r 映照问题 个p 调和拟共形映照，的b e l t r a m i 系数p ，总具有形式 。万 p ，。川而 这里妒= p ( f ) a l ( 见【6 8 】) 当个p 调和拟共形映照厂的b e l t r a m i 系数的模i p ，i 是个常数k 且k 满足0 七 k ( t + r ) ，口是唯一极值的当且仅当l i q l e i l k ( 1 + r ) 当p 是唯一极值的时，这个定理给出了其截尾何时为某个s t r e b e l 点的代表元的 作为定理2 2 5 的个应用我们利用r e i c h - s t r e b e l 主要不等式f 2 踟证明了下述的 定理2 3 2 假设p m ( r ) 是唯一极值的若由一列具有正测度的紧子集序列 【磊) 所确定的p 的截尾序列 = ：) ( 川m ，三茎急 满足l f kij 露( 1 + l 加) ，则由s t r e b e l 点序列 f 锄】) ct 诱导的s t r e b e l 微分序 列 ) 是p 的一个h a m i l t o n 序列 利用极值等价定理( 见f 2 8 】，f 4 l l ，f 7 翻) 和唯极值的等价定理( 见【7 】) ，我们可得 定理2 5 4 假设芦m ( r ) 是无限小唯一极值的若口为由r 的紧子集e 和 ， 0 所确定的p 的截尾，则无限小等价类【乜】b 是b 申的一个无限小s t r e b e l 点当且 仅当| | q f 层| l 奄( 1 + r ) ，q 是无限小唯一极值的当且仅当l h e | f k o + 7 ) 定理2 5 5 假设p m ( r ) 是无限，1 、唯一极值的若由一列具有正测度的紧子集 序列 七( 1 + l n ) ，则由无限小s t r e b e l 点序列 ( 】b cb 诱导的无限小 s t r e b e l 微分