（应用数学专业论文）离散hamilton系统的极小周期问题.pdf

博士学位论文 摘要 本篇博士学位论文主要应用临界点理论( 包括直接变分法、对偶变分法、扰动技 巧、对偶最小作用原理、极小极大方法和几何指标理论) 研究非线性离散h a m i l t o n 系统的具有固定极小周期的次调和解的存在性与多重性全文由如下四部分组成 第一章简述问题的产生和研究的意义周期现象普遍存在于自然科学的各个 研究领域周期解问题一直是广大学者和专家关注的问题，其中具有极小周期的 周期解问题更是吸引着国内外许多著名学者的注意力我们对离散h a m i l t o n 系 统与二阶差分方程的周期解的研究现状进行回顾，同时归纳总结关于研究微分方 程极小周期解的几种方法然后，对本文的主要工作做简要介绍 对遵从“变分”原理的系统采用变分法，将原系统的极小周期解问题转化为 相应变分泛函临界点的相关问题进行研究是解决离散h a m i l t o n 系统极小周期解 的存在性问题的一种基本方法第二章采用直接变分法研究离散单摆方程及其推 广形式的具有固定极小周期的次调和解的存在性，得到一系列全新的结果 第三章利用对偶方法、扰动技巧与对偶最小作用原理研究二阶次二次离散 h a m i l t o n 系统当二阶离散h a m i l t o n 系统在无穷远处满足次二次增长条件时， 得到了系统具有任意大极小周期的次调和解的充分条件，并且考虑了所得次调和 解的一些性质当二阶离散h a m i l t o n 系统在原点及无穷远处满足次二次增长条 件时，通过考虑其对偶变分泛函，得到具有极小周期的次调和解的存在性结果 极大极小方法与几何指标理论是研究泛函临界点存在性与多重性的强有力的 工具第四章考虑了一阶和二阶次二次离散h a m i l t o n 系统首先采用对偶变分 法，将原系统的周期解问题转化为对偶变分泛函的临界点问题，然后利用极大极 小方法与几何指标理论得到一系列具有极小周期的次调和解的存在性与多重性研 究结果为研究离散系统的具有极小周期的周期解问题作出了新的尝试，所得的 结果填补了离散h a m i l t o n 系统研究领域的空白，丰富和发展了离散变分理论 由于本文成功地运用临界点理论研究了一些离散h a m i l t o n 系统的极小周期 解问题，获得了一些新的研究结果，对临界点理论在离散h a m i l t o n 系统极小周期 解中的应用作出了新的尝试所以，本博士学位论文对差分方程定性理论的发展 有一定的价值 关键词：离散h a m i l t o n 系统；变分结构；临界点理论；几何指标；对偶变分； 周期解；次调和解；极小周期 i i 离散h a m i l t o n 系统的极小周期问题 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l yd e a l sw i t ht h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs u b h a r - m o n i cs o l u t i o n sw i t hp r e s c r i b e dm i n i m a lp e r i o d st od i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m s b ya p p l y i n gt h ec r i t i c a lp o i n tt h e o r yi n c l u d i n gv a r i a t i o n a lm e t h o d s ，d u a l i t yv a r i a - t i o n a lm e t h o d s ，p e r t u r b a t i o na r g u m e n t ，d u a ll e a s ta c t i o np r i n c i p l e ，m i n i m a xt h e - o r ya n dg e o m e t r i c a li n d e xt h e o r y i ti so r g a n i z e d8 , 8f o l l o w sb yf o u rp a r t s i nc h a p t e r1 ，t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do fp r o b l e m st ob es t u d i e da n dt h e s i g n i f i c a n c eo ft h i sd i s s e r t a t i o na r ei n t r o d u c e d p e r i o d i cp h e n o m e n ao c c u ri nv a r i - 0 1 1 8f i e l d so fn a t u r a ls c i e n c e t h ep r o b l e mo np e r i o d i cs o l u t i o n sa t t r a c t si m p o r t a n t a t t e n t i o n so fm a n yf a m o u sm a t h e m a t i c i a n sa l la r o u n dt h ew o r l d ，e s p e c i a l l yo n p e r i o d i cs o l u t i o n sw i t hp r e s c r i b e dm i n i m a lp e r i o d s i nt h i sc h a p t e r ，r e c e n td e - v e l o p m e n to fp e r i o d i cs o l u t i o n st od i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m sa n ds e c o n d - o r d e r d i f f e r e n c ee q u a t i o n si sa l s ov i e w e d s e v e r a lk i n d so fm e t h o d sf o rs t u d y i n gt h em i n - i m a lp e r i o dp r o b l e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 眦o u t l i n e d a n dm a i nr e s u l t so f t h i sd i s s e r t a t i o na r ea l s os u m m a r i z e d r e d u c i n gt h ep r o b l e mo np e r i o d i cs o l u t i o n st od i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m s w h i c hc o n f o r mt h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l et ot h ep r o b l e mo nc r i t i c a lp o i n t so ft h e c o r r e s p o n d i n gv a r i a t i o n a lf u n c t i o n a l si so n eo fm a i na p p r o a c h e st os t u d yt h ep e r i - o d i cs o l u t i o np r o b l e m i nc h a p t e r2 ，t h ee x i s t e n c eo fs u b h a r m o n i cs o l u t i o n sw i t h p r e s c r i b e dm i n i m a lp e r i o do fad i s c r e t ef o r c e dp e n d u l u me q u a t i o na n dac l a s so f s e c o n do r d e rd i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m s 嬲es t u d i e d s o m en e wr e s u l t so nt h e e x i s t e n c eo fs u b h a r m o n i cs o l u t i o n sw i t hp r e s c r i b e dm i n i m a lp e r i o d sa r eo b t a i n e d b ym a k i n gu s eo fc l a r kd u a l i t y , p e r t u r b a t i o nt e c h n i q u ea n dd u a ll e a s ta c t i o n p r i n c i p l e ，t h ee x i s t e n c eo fs u b h a r m o n i es o l u t i o n st os e c o n do r d e rs u b q u a d r a t i c d i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m si ss t u d i e di nc h a p t e r3 w h e nt h eh a m i l t o n i a n f u n c t i o ns a t i s f i e ss u b q u a d r a t i cg r o w t hc o n d i t i o n sa ti n f i n i t y , s o m er e s u l t so nt h e e x i s t e n c eo fs u b h a r m o n i e sw h i c hh a v ea n yl a r g em i n i m a lp e r i o da r eo b t a i n e d a t t h es a m et i m e js o m ep r o p e r t i e so ft h es u b h a r m o n i c sa r ea l s os t u d i e d 纾西e nt h e h a m i l t o n i a nf u n c t i o ng r o w ss u b q u a d r a t i c a l l yb o t ha t0a n da ti n f i n i t y , s o m en e w r e s u l t so nt h ee x i s t e n c eo fs u b h a r m o n i cs o l u t i o n sw i t hm i n i m a lp e r i o da r eg i v e n c h a p t e r4m a i n l yd e a l sw i t ht h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs u b h a r m o n i c s o l u t i o n sw i t hm i n i m a lp e r i o d st of i r s to r d e ra n ds e c o n do r d e rs u b q u a d r a t i cd i s - c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m s i ti sw e l l - k n o w nt h a tt h ep r o b l e mc o n c e r n i n gp e r i o d i c s o l u t i o n sw i t hp r e s c r i b e dm i n i m a lp e r i o d si sv e r yd i f f i c u l tb yu s i n gt h ed i r e c tv a r i - i i i 博士学位论文 a t i o n a lm e t h o d i no r d e rt oo v e r c o m et h ed i f f i c u l t yt os t u d yt h ep e r i o d i cs o l u t i o n s w i t hm i n i m a lp e r i o dt os u b q u a d r a t i cd i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，d u a l i t yv a r i a ， t i o n a lm e t h o di se m p l o y e d b yc o m b i n i n gm i n i m a xm e t h o di nc r i t i c a lp o i n tt h e o r y w i t hg e o m e t r i c a li n d e xt h e o r y , as e r i e so fn e wr e s u l t so nt h ee x i s t e n c ea n dt h em u l - t i p h e i t yo fm i n i m a lp e r i o ds o l u t i o n sa r ea c h i e v e d t h eo b t a i n e dr e s u l t sf i l lg a p si n t h ef i e l do fd i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，e n r i c ha n dd e v e l o pt h et h e o r yo fd i s c r e t e v a r i a t i o n a lt h e o r y d u et os u c c e s s f u la p p l i c a t i o n so fc r i t i c a lp o i n tt h e o r yt ot h em i n i m a lp e r i o d p r o b l e m st os o m ed i s c r e t eh a m i l t o n i a l ls y s t e m s ，s o m en e wr e s u l t sa r eo b t a i n e d i to f f e r sa na t t e m p tt om a k eu s eo fc r i t i c a lp o i n tt h e o r yt od e a lw i t ht h em i n i - m a lp e r i o dp r o b l e mo fd i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m s s ot h et h e s i sm a yp l a ya l l i m p o r t a n tr o l ei nt h ed e v e l o p m e n to fq u a l i t a t i v et h e o r yo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s k e yw o r d s ：d i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m s ；s u b h a r m o n i cs o l u t i o n ；c r i t i c a lp o i n t t h e o r y ；g e o m e t r i c a li n d e xt h e o r y ；d u a l i t yv a r i a t i o n a l ；s u b h a r m o n i cs o l u t i o n ； p e r i o d i cs o l u t i o n ；m i n i m a lp e r i o d i v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：撂玉缉 日期：抛f 年f f 月1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权湖南大学可以将学位论文的全部或部分内容编人有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密固 ( 请在以上相应方框内打“、”) 作者签名； 导师签名： 日期：2 够彳r 年月f 日 日期：硼年f 月日 盯j 、 以1专酗m 柱厶r 博士学位论文 第1 章绪论 1 1 问题的产生与意义 离散与连续是现实世界中物质运动对立统一的两个方面离散数学与连续数 学是描述，刻划和表达现实世界物质运动的两种有力的工具描述离散时间系统 的差分方程已成为一个重要且有用的离散数学模型早在公元前2 0 0 0 年巴比伦人 就开始用递归数列求根值，大约公元前4 5 0 年毕达哥拉斯人开始用差分方程组来 生成p e l l 方程的解，在1 5 6 0 1 6 2 1 年间，s i rt h o m a sh a r r i e t 发明差分演算 1 8 世纪初期差分方程理论得到了较大发展【1 1 到上世纪3 0 年代，差分方程的系统理 论已开始形成，见文献【2 】 差分方法是数值求解微分方程的一个经典方法，这种思想的起源可追溯到 1 7 6 9 年在1 8 4 0 年左右，c a u c h y 对e u l e r 的折线法的收敛性给出了证明 1 9 1 0 年，r i c h a r d s o n 构造了一个抛物型方程的差分格式，并且在当时没有高速电 子计算机的条件下进行了一些人工计算随着计算技术的迅速发展，差分方法在 数值计算中的作用日益显著差分方程理论也进一步发展，大量优秀的科研成果 问世，d a h l q u i s t 开创了多步法收敛性的现代理论【3 4 1 差分方程已经成为计算机 科学，信息系统、生态平衡、工程控制和经济管理科学的重要理论基础之一随 着科学技术，特别是计算机科学的突飞猛进，以及医学，生物数学、化学科学，现 代物理，现代生命科学等自然科学和边缘科学的进一步发展和相互渗透，也提出 了许多由差分方程所描述的数学模型因此，自二十世纪七十年代以来，差分方 程一直是一个活跃的研究领域，其系统理论不断地得到发展与完善特别是在过 去十年中，差分方程理论的研究得到了长足的发展，研究内容已涉及到稳定性、 振动隆、吸引性、边值问题、周期解，正解问题、非共轭性以及非焦性等方面，具 体可参阅文献【5 4 3 1 以及其中的参考文献许多著名的数学家，如h b r u n n e r ， i g y o r y , a c p e r t e r s o n ，g r s e l l ，f d i e n e r 以及陈绍著、张炳根、庾建设教授等在 此领域均作出了贡献 h a m i l t o n 原理是3 0 岁的h a m i l t o n 在1 8 3 5 年提出的，已经成为现代物理的 基石不论是经典的，还是量子的或是相对的一切真实的耗散效应可以忽略不计 的物理过程均可表示为适当的h a m i l t o n 体系，见成果【4 4 4 6 ，它是动力系统的 一个重要体系，其应用范围很广，包括结构生物学、药理学、超导体、半导体、等 离子体，天体力学、材料等因此，它是普适的，且能将不同的自然规律纳为统一 的数学形式h a m i l t o n 系统理论是既经典而又现代化的研究领域，可以从不同 的角度来进行研究对于连续的h a m i l t o n 系统，可用微分方程组来表达，对它的 离散h a m i l t o n 系统的极小周期问题 研究已有一百多年的历史，取得了丰硕的成果，这些研究成果涵盖了微分方程的 许多分支，如稳定性、吸引性、边值问题与周期解等，而且经久不衰例如，对于 经典的h a m i l t o n 系统的周期解与次调和解的存在性与多重性方面，国内外著名学 者如，p h r a b i n o w i t z ，j m a w h i n ，g t a r a n t e l l o ，张恭庆以及龙以明等都对它进行 了深入的研究，得到了许多优秀的成果，如成果【4 7 5 3 而对于离散h a m i l t o n 系统理论研究还是近三十年的事1 9 7 8 年h a r t m a n 发表的论文酬可以说是离 散h a m i l t o n 系统理论研究的起点国内外在离散h a m i l t o n 系统方面较成熟的工 具主要是利用变分原理和r i c c a t i 技巧研究非共轭、s t u r m 比较原理、振动性及 渐近性等 众所周知，周期现象普遍存在于自然界与人们的社会实践活动中，因而各种模 型的周期解问题是众多著名的数学家一直关注的问题，而且许多著名学者和专家 都在这方面取得了杰出的成绩如开创动力系统理论研究的著名数学家b i r k h o f f 就是最早研究非线性系统微分方程周期解的数学家之一1 9 3 3 年，g d b i r k h o f f 与d c l e w i s 在研究h a m i l t o n 系统时，建立了著名的b i r k h o f f - l e w i s 定理，并给 出该h a m i l t o n 系统次调和解存在性的第一个结果【5 5 】： 如果0 是h a m i l t o n 系统的奇点，在适当的假设条件下，对任意大的整数t 0 ， 在零点附近存在以t 为极小周期的周期解 此后，a r n o l d ，c o n l e y , m o r s e r ，a m b r o s e t t i ，r a b i n o w i t z ，e k e l a n d ，b e n c i ， m i c h a l e k 以及张恭庆、李继彬、龙以明等都在这方面取得了深刻的结果，如文献 【4 7 ，4 8 ，5 1 ，5 2 ，5 5 6 2 】等目前已有多种非线性分析的工具与方法被用来研究微 分方程周期解的问题，其中k a p l a n - y o r k e 耦合系统法，上下解与单调迭代方法， 拓扑同伦方法、临界点理论( 包括极小极大理论，几何指标理论与m o r s e 理论) 与 重合度理论，以及锥映射的k r a s n o s e s k i i 方法等是研究微分方程的主要工具，具 体可见文献f 4 7 ，4 8 ，5 4 ，6 3 6 7 等然而，由于缺少处理差分方程的必要技巧与 方法，关于差分方程周期解的研究成果相对要少一些( 如文献 2 3 ，3 7 】) 直到2 0 0 3 年，郭志明，庾建设成功地将临界点理论应用于差分方程周期解、次调和解以及 边值问题的存在性与多重性的研究，为研究离散系统提供了新的理论与方法，关 于差分方程周期解问题的研究结果才陆续出现他们所得的结论填补了离散系统 研究领域的空白，对差分方程定性理论的发展起着重要的促进作用【5 ，6 ，7 ，2 5 , 吲 周期解问题是一个历史悠久却又总是充满生机的研究领域极小周期解虽然 有着广泛的应用背景和很强的理论与现实意义，但由于缺少处理的方法与技巧， 研究起来比较困难，相对而言起步较晚且研究成果相当有限关于微分方程极小 周期解，b i r k h o f f 虽在1 9 3 3 年就提出了这个概念【5 5 】，并且文 6 9 】给出了不同的 证明，但直到1 9 7 8 年自p h r a b i n o w i t z 在其用变分法研究h a m i l t o n 系统周期 博士学位论文 解的开拓性工作中提出，非线性自治h a m i l t o n 系统 一= j v h ( x ) z r 2 m 在下述条件： ( r 1 ) h c ( r 2 m ，r ) ； ( r 2 ) 存在常数p 2 以及r o 使得 o 0 ，h a m i l t o n 系统 雄) 一筹t ) i 删，p ( t ) = 一筹巩础) ) 具有以t 为极小周期的解 1 9 8 1 年，a m b r o s e t t i 与m a n c i n i 用约束共轭原理证明了关于极小周期解存 在性的以下结果 7 0 1 ： 定理1 1 2 设h c 2 ( b p m ，r ) 且存在c 1 ，c 2 ，c 3 0 ，q 2 使得 ( i ) 对一切u r 2 m ，c i l u l 9 h ( u ) c 2 l u l 。，并且对一切r 2 ，= 1 ， ( h ”( 乱) f ，f ) c 3 1 ue q - - 2 ( i i ) 对一切乱r ，q h ( u ) ( h 7 ( 札) ，趾) ； ( 胁) 存在p ( 0 ，1 ) 使得对一切r 2 m ，p 0 有 ( v 2 h + ( ) ，扩) p ( v 日+ ( ) ，王，) 则对任意t 0 ，系统( 1 1 ) 有一个以t 为极小周期的非常数周期解 3 离散h a m i l t o n 系统的极小周期问题 在文献 7 3 中，作者用类似于对偶变分的方法，对定理1 1 2 以及文 7 0 】中 的另外一个定理做了很好的改进和发展，得到了 定理1 1 3 设h ( u ) 满足以下条件： ( ，) h ( o ) = 0 ，h ( u ) 0 ，h c 1 ( r 删，r ) 是严格凸函数； ( ，) 对一切u r 删，存在q 2 满足q h ( u ) ( h 7 ( 让) ，u ) ； ( i i i ) 对每个r 删，= l ，( v 胪( 入) ，) 在a ( o ，o 。) 是非增函数 则对每个t 0 ，系统( 1 1 ) 有一个以t 为极小周期的周期解 1 9 8 5 年，i e k e l a n d 和h h o f e r 通过对山路型临界点的邻近拓扑结构的精确 分析，并利用h a m i l t o n 系统的周期解的e k e l a n d 指标验证了p h r a b i n o w i t z 猜 想对超二次严格凸h a m i l t o n 系统而言也是成立的【5 引 总结起来，目前对于微分方程极小周期解的研究所用的方法可归纳为以下几 种； 第一、先验估计法：这种方法通常要求能量函数具有类似于齐次函数的性质， 通过估计极小周期解的临界值与非极小周期解的临界值的差异得到一般而言临 界值随着迭代式的增长而增长，因此就一定存在这样一个特殊的解，使临界值充 分小时而具有极小周期文【7 0 ，7 2 7 6 ，8 1 就用这种方法得到了相应方程的极小 周期解的存在性结果 第二、凸方法与直接变分法；凸方法是1 9 8 5 年i e k e l a n d 和h h o f e r 引入的，它 要求h a m i l t o n 系统的能量函数日具有凸性侧利用凸h a m i l t o n 系统对偶作用原 理、b o t t 一型迭代公式，e k e l a n d 指标迭代不等式以及山路类型临界点的h o f e r 拓 扑结构等进行考虑采用对偶的方法，将原系统所对应的周期解问题转化为对应泛 函的临界点问题进行处理，然后对临界值进行适当的控制，使其所对应的周期解具 有极小周期这种方法对能量函数具有凸性的h a m i l t o n 系统而言，是一种行之有效 的且在1 9 9 3 年以前被很多学者普遍采用的方法i e k e l a n d ，h h o f e r ，m g i r a r d i ， m m a t z e u ，张世清等著名学者在这方面取得杰出成果阻，7 1 , 7 4 , 7 7 ，7 8 , 8 2 , 删直接变 分法要求所研究的系统具有变分结构，在适当的变分框架下，建立原系统的对应 变分泛函，将寻求原系统的周期解问题转化为寻求对应变分泛函的临界点问题， 再对能量函数进行适当的估计与控制，使其达到下界，从而此时临界点的周期对 应着原系统的极小周期，其中文献 8 5 中就成功地运用了这种方法，考虑了经典 单摆方程： + a s i n z = ，( t ) 及一类二阶h a m i l t o n 系统 翥搿，麓阳悯 一4 一 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 博士学位论文 得到如下结果； 定理1 1 4 假设 ( f ) ，为关于t 以t 为极小周期的奇函数，且对整数p 1 满足 o 譬 矿 a 0 使得 ( k 。( ，茹) 叩，町) 罢2 ，v ( ，。) r ，叩r m 以及 。 ( 1 ，k 0 ，z ) 叩，叩) 芸i 叩1 2 ，v t r ，i z i b ，”r m ； ( v 2 ) l i m i 。i 。vt , x = o ，关于t 一致成立； ( v 3 ) 若z = x ( t ) 是以g t 为极小周期的周期函数，q 是有理数，且k ( t ，z ( ) ) 是以q t 为极小周期的周期函数，则q 必是整数； ( v 4 ) 对整数p 1 有 百0 2 2 p 2 2 ，r o 0 使得 0 0 ，a 2 0 及1 p 2 使得 融4 日( 印) 1 9 ， 对任意的2 r 2 吖成立； ( h 3 ) 若z = z ( t ) 是以a t 为极小周期的周期函数，q 是有理数，且也( z ( ) ，t ) 是以q t 为极小周期的周期函数，则q 必是整数； 对固定的q ，1 q p ，q q ，g q 分别如文【8 9 】中所定义，如果存在t 7 ，l ，y s ， 使得对某整数k 1 有 丝a l ( 鼎) 州2 ， ， 博士学位论文 以及 七“ 0 ，( 1 1 ) 有一个非常数t 周期解，且极小周期不小于t 2 m 定理1 1 1 l 设h c 2 ( r 蜥，r ) ，存在半正定矩阵h o ( r 2 m ) 使得 h ( x ) = 妄 o z 茹+ 打( z ) ，v z r 2 n ， h ( x ) 满足定理1 1 9 中的条件( r 1 ) 一( r - ) ，则对任意t 0 ，( 1 1 ) 有一个非常数t 周期解，且极小周期不小于叫( i n d t ( h 0 ) + d i m k e rh o + 1 ) 一7 离敞h a r n i l c , r j 系统的极小周期同题 显然，下述离散h a m i l t o n 系统 xl(rt)地=-hx2(n,x(州l(rt+ax2(nx 1 ) 譬 ( 1 9 ) i ) = 巩，( n ，( n + 1 ) ，z 2 ( n ) ) 。7 其中岱1 ，2 2 r 掰，h c 1 ( r x r 掰r m ，i t ) ，k x , ( n ) = z ；( 仃+ 1 ) 一( n ) ，i = 1 ，2 可视为经典的h a m i l t o n 系统 翥2 曼o ，黧掣 ( 1 1 0 ) 【警= 凰( ，z ( t ) ，可( ) ) 、7 的离散类似从前面所述可见，h a m i l t o n 系统极小周期解的研究与近2 0 年来飞 速发展的临界点理论相结合，取得了许多引人入胜的结果，比如，对于( 1 1 0 ) ，当 h a m i l t o n 函数h 为不同情况时，关于它的极小周期解许多学者运用多种不同的 方法取得了许多研究成果然而对于其离散化系统( 1 9 ) ，在极小周期解方面还未 见有文献涉及 从数学的角度来说，连续的结果与离散的结果是可以相互通达的微分方程 与差分方程是对现实世界两种不同的描述，差分方程可以看作是微分方程的离散 类似但是，离散数学的基本原理却不能完全由连续数学取代，它有自己的理论 基础离散h a m i l t o n 系统不仅来自于连续h a m i l t o n 系统的离散化【9 3 ，一4 1 ，还来 自于遵循h a m i l t o n 原理的一切离散过程，如离散的物理问题，离散的控制问题等 9 5 i 0 0 1 另外，在微分方程数值解的研究中也出现了许多差分方程微分方程与差 分方程，它蜘既有着许多类似的性质，也有着本质的区别例如简单的人口模型 l o g i s t i c 方程 巾“、 z 他) = r x ( t ) ( 1 一= ) 疗 的每个解都是单调的，详细讨论见文献【1 0 1 1 而它的离散类似 z ( n + 1 ) = a x ( n ) ( 1 一z ( 挖) ) 当a = 4 时出现了。混沌”现象正是这种现象的出现，激发着人们的兴趣致力 于差分方程理论的研究，从而使得差分方程理论得到了迅猛发展著名的数学家 冯康、秦孟兆经过详尽的分析后，在其专著【4 6 】中指出，正确的离散算法就是辛 变换，辛变换不仅使离散后的方程保持原有系统的辛结构，具有计算的长期稳定 性，而且它还保留了某些首次积分，为原有系统提供所需要的数字特征i ，”目，因 而离散h a m i l t o n 系统的研究有着重要的意义，一方面为数值计算与计算机模拟 提供有力的理论依据；另一方面，离散h a m i l t o n 系统能高精度的反映客观真实的 运动规律 博士学位论文 在不断完善差分方程理论的过程中，不动点理论、临界点理论、重合度理论 以及锥理论逐渐发展成为研究差分方程的有力工具特别是最近几年来，文献 【5 7 ，2 5 ，2 6 】中采用变分法，成功地应用临界点理论解决了离散h a m i l t o n 系统 的周期解的存在性、多重性的问题在对差分方程定性理论进行研究的大量文献 中，这些研究的结果与方法大多受到微分方程中有关问题的启发有鉴于此，再 加上前面所陈述的对离散h a m i l t o n 系统研究的重要性，本文的目的是利用变分 法及临界点理论中的有关知识，着力解决差分方程及离散h a m i l t o n 系统的极小 周期解问题，并取得了相关的结果这些结果将有利于解决一些实际问题，同时 也为临界点理论在新的领域的应用作出了新的尝试，丰富和发展了临界点理论在 离散系统中的应用，进一步完善了离散变分理论 1 2 本文的主要工作 本文的主要目的是利用临界点理论( 包括直接变分法、对偶变分法、扰动技 巧、对偶最小作用原理、极大极小理论、几何指标理论等) 来研究一些离散h a m i l t o n 系统的周期解问题，并得到具有极小周期解的次调和解的存在性与多重性结果 本文中我们用n ，z ，r ，c 分别表示自然数集、整数集、实数集以及复数集， o 表示空集是向前差分算子，定义为z ( 礼) = x ( n + 1 ) 一z ( n ) ，( n ) = ( z ( 礼) ) ， z 对任意的a ，b z ，且a 1 ，记s 。为p 的最小 素因子给定正整数p ，我们将研究方程的以p t 为极小周期次调和解的存在性 通常t 周期系统的p t 周期解称为次调和解 在第二章，我们考虑了离散单摆方程 2 z ( n 一1 ) + a s i n x ( n ) = ，( n ) ， n z 其中a 为常数，：z r 是以t 为极小周期的奇函数 的推广，即一类二阶离散h a m i l t o n 系统 ( 1 1 1 ) 我们还研究了( 1 1 1 ) a 2 z ( 佗一1 ) + 9 ( n ，z ( 礼) ) = 0 ， 几z ， ( 1 1 2 ) 其中g = ( 9 1 ，9 2 ，g m ) 7 c ( n r m ，r ) ，且对任意给定的整数t 0 ，以及任 意的( n ，z ) n r m 有，9 + t ，z ) = 9 ( n ，z ) ，g ( 一扎，一z ) = g ( n ，z ) 我们首先 建立基本的变分框架，采用直接变分法，在有限维h i l b e r t 空间上分别建立( 1 1 1 ) 与( 1 1 2 ) 的对应变分泛函 p r i ( x ) = ；l a x ( n ) 1 2 一a ( 1 一c o s z ( n ) ) + ，( 几) z ( n ) ) 1 ( 1 1 3 ) 9 一 离散h a m i l t o n 系统的极小周期舟题 与 p t1 j ( z ) = 由z ( 咒) 2 一g ( 叩( n ) ) 】， ( 1 “) t l = j 其中g ( n ，z ) = 詹g ( n ，z ) d z 将寻求( 1 1 1 ) 与( 1 1 2 ) 的周期解问题转化为寻求变 分泛函( 1 1 3 ) 与( 1 1 4 ) 的临界点问题，并且对临界点进行适当的控制，使其所对 应的原方程的解具有极小周期，从而得到( 1 1 1 ) 与( 1 1 2 ) 具有极小周期解的次调 和解的存在性结果 在第三章中，利用扰动技巧、对偶最小作用原理，对二阶次二次离散h a m i l t o n 系统的对应对偶变分泛函进行研究，得到了二阶次二次离散h a m i l t o n 系统具有 任意大极小周期的次调和解的存在性，并且考虑了次调和解的一些性质：如最大 范数以及极小周期等进一步，我们还得到了当位势函数满足一定的次二次增长 条件时，其具有固定极小周期的次调和解的存在性结果 第四章讨论如下一阶和二阶离散h a m i l t o n 系统的极小周期解存在性与多重 性的问题对任意给定的整数p 1 ，