含参数不等式的解法.doc

高中数学知识专项系列讲座含参数不等式的解法一、含参数不等式存在解的问题如果不等式（或）的解集是D，的某个取值范围是E，且DE，则称不等式在E内存在解（或称有解，有意义）.例1.（1）不等式的解集非空，求的取值范围；（2）不等式的解集为空集，求的取值范围.（分析：解集非空即指有解，有意义，解集为即指无解（恒不成立），否定之后为恒成立，本题实质上是成立与恒成立问题）解：（1）设，易求得，有解，为所求（2）设，易求得，无解恒成立为所求（注：可理解为数轴上点到两定点和3的距离之和（或差），由几何意义，易得与的值域；不等式有解（有意义或成立）；不等式成立（有解或有意义）；）例2.关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围.解：易知不等式的解集，设不等式的解集为，要使如图，易知，又，得x为所求例3.已知不等式的整数解有且只有一个，求的取值范围.解：记结合图象知，有且只有一个整数解x，得满足为所求另解：易求得两根为（，）则只有一个整数解有，解得此时有符合条件，例4.若不等式总存在解，求实数的取值范围.解：易知，故（）即不等式在内有解1当时，不等式显然成立；2当时，不等式得，3若，则不等式得，综上所述，为所求二、含参数不等式的求解问题探求含参数不等式的解集，要以分类讨论的思想为主线，以不等式的基本性质为基础，进行综合演算，有时还需用到换元法、图象法等基本方法.例5.解关于的不等式解：原不等式1若，则，故原不等式恒成立，R2若，则，原不等式的解为或综上所述，若时，原不等式的解集为R；若时，原不等式的解集为或.例6.如果不等式（）的解集为，且，求的值.解法一：不等式或解得：或，即即有，解得解法二：设，则且原不等式化为， yO x以下同解法一解法三：分别作出（）与的图象如下由，得（负值舍去）易知欲使，只须： ，以下同解法一（注：无理不等式常见的类型有 1或； 2；对根式进行换元转化成有理不等式是处理根式的常见方法；数形结合解不等式简洁明了.）类似地可解不等式：（），答案：例7.解不等式解：当时， 解得或 当时，易证得当，有 或综上所述，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或（注：有理不等式通常使用“标根法”（或称穿线法），原则是“奇穿偶切”）例8.解关于的不等式（）.解：原不等式可化为故原不等式由可将上述不等式组化为易知，1若，则，不等式组的解为2若，则不等式组解为3若，则，不等式组解为综上所述，当时，原不等式的解为；当时，原不等式的解为.（注：解不等式要注意等价性，对数不等式特别注意真数大于零，本题充分体现了分类讨论思想.）三、含参数不等式恒成立的问题近年来在各地的模拟试题以及高考试题中屡屡出现含参数的不等式恒成立的问题，解决这类问题的基本方法是分离法、二次函数法、导数法、数形结合法，有时还运用单调性、判别式、均值定理等辅助手段进行综合解题.例9.若不等式对任意都成立，求的取值范围.解：分别作出与的图象如下1yAO 1 x当时，要使，易知有即得为所求例10.是定义在上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围.解：依题可得恒成立即恒成立令，易知再令，故有，解得所求的取值范围是例11.设函数其中为参数，求恒成立时，的取值范围.解法一：易知在定义域内连续，且由，得O xmy当时，递减；当时，递增在定义域内有最小值恒成立，即为所求解法二：若，则易知定义域为，如图作出与的图象，易知截距时，恒有故所求的取值范围是（注：处理恒成立问题时，首先想到将变量与常数分离，将不等式变形为：恒成立或恒成立；若无法分离变量与常数，可采用最值法或图象法：最值法：将不等变为恒成立或恒成立；图象法：将不等式化为，作出与的图象，结合参数的几何意义，找出使在定义域内成立的条件.）例12.设，若，问是否存在，使得不等式对一切实数都成立，证明你的结论.解：由，得再令，可得在中，令，得由知，由恒成立，得恒成立，得，易验证对恒成立存在实数，满足条件例13.设函数满足条件：当时，；当