（应用数学专业论文）中立时滞系统的鲁棒控制.pdf

摘要 时滞现象在实际工程问题中是普遍存在的，如通讯系统、生物系统、化工过程以及 电力系统中均存在时滞。时滞的存在使得系统的分析与综合变得更加复杂和困难，同时 时滞的存在也往往是导致系统不稳定和系统性能变差的根源。因此，时滞系统的研究引 起了人们的极大关注。 近年来诸多学者开始致力于中立时滞系统的研究。作为时滞系统的个特例，中立 型微分系统理论具有理论和实践上的重要性。例如。中立型泛函微分方程是输电线中电 压与电流波动的自然模型，同时中立系统也经常出现在自动控制，人口动态中。许多学 者利用各种分析技术，如l y a p u n o v 方法，特征方程法及状态方程解的方法，建立了许多 中立时滞系统的稳定性准则。然而，关于中立酵滞系统的分析与综合方面的文献却很少 见到，有许多问题亟待解决。 本文主要研究了中立时滞系统的鲁棒镇定与鲁棒王，- 控制问题首先，对于线性系 统和非线性系统，依据n f d e 的两个基本稳定性定理，充分利用不确定性的结构形式和u 方法，给出了中立时滞系统的鲁棒镇定与鲁棒j e 乙控制问题可解的条件及相应的控制器 的设计方案所得结果从反馈形式上看均采用状态反馈和输出反馈两种方式其次，研 究了两类输出反馈z 乙控制问题，给出7 相应的观测器设计与镇定问题的解。 文中大部分结果是基于l m i 方法的，这种方法的关键在于把控制目标如渐近稳定性、 矗r - 性能用线性矩阵不等式表示，把控制器参数用线性矩阵不等式的解表示。在具体处 理线性矩阵不等式矩阵的过程中，矩阵变换和s c h u r 补引理是经常用到且行之有效的方 法 文中3 - 4 章后面都有仿真实例，以说明文中方法的正确性和有效性 关键词t 中立时滞系统；l y a 脚n o v 稳定性：鲁棒控制；点乙控制 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立 进行研究工作所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究 成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：乏垒日期：z 婴丛 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东 北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、 汇编本学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学位论文全文数据库 ( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全文数据库( 中国科学技 术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版发行和提供信息服务 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：薹兰三 日期：2 2 垡! ：王广 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：醴 日 期： 2 业墨：哥 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 时滞系统的研究背景 1 1 1 常微分方程与时滞微分方程 在大量的自然与社会现象中有一类确定性的运动规律，它们可以用含有一个自变量 的未知函数及其微分或微商的方程来描述，这类方程即为常微分方程。在很多场合，这 个自变量表示时间。例如： 弹簧的振动规律可表示为 韵+ 彩2 雄) = 0 行星运动中二体问题的运动规律表示为 一南 聊卜南， 在经济发展中出现的描述国民总收入分为积累基金g 和消费基金尸的秦元勋方程 为 p o ) = g ( p 一忍) + 五g 一_ ， g = 五p 一五g 诸如此类的现象都可以统一地用微分方程组 毫( d = 彳【五似吒( 嘎，毛( f ) 】，f = l ，2 ，力 ( 1 1 1 ) 及其初始条件 而( 0 = ，f = l ，2 ，刀 ( 1 1 2 ) 来描述。这里，方程( 1 1 1 ) 的左右两边都只是同一时间f 的函数也就是说我们假定事 物的发展趋势只由其当前的状态( 1 1 1 ) 右边的毛似而似，毛( f ) 来决定，而不明显地 依赖于其过去的状态例如在二体运动中，当前两个星球间的吸引力【朋膏o ) ，膨1 3 f ) 】只与 当前两个星球间的位置【x 鼢州】有关，而与两星球间过去的位置无关可以简单地说， 这些现象都是瞬时起作用的。在这种假设下的数学模型，对大量事物的运动规律的描述 东北师范大学硕士学位论文 是合适韵。 然而，在研究自然和社会现象中，客观事物的运动规律是复杂的和多样的。一般地 说，在动力系统中总是不可避免地存在滞后现象，亦即事物的发展趋势不仅依赖于当前 的状态，而且还依赖于事物过去的历史。为了阐明这类现象，下面给出几个例子以表达 问题的应用背景。 倒1 1 如图1 1 所示，弹簧的一端固定，另一端系一质量为掰的物体。理想化后 的简谐振动方程为 雄) + 缈2 垧= 0 ( 1 1 3 ) 在( 1 1 3 ) 中假定略去弹簧质量，摩擦力，空气阻力以及弹簧内部的能量消耗。此外， 还必须视物体朋为一质点。式中矿= 纠研，七为弹簧的弹性系数。 图l - l 广义简谐振动 甄割i 1 她寥豫叫如出蛔皿彻i c 删姐 现在设肼不是质点，它具有b 一丑长度，那末当弹簧力在一瞬间f 作用于物体时并 不使物体立即移动。因为应力波从丑到忍通常以声速传播，到达界面最后再反射回来， 若干次的来回反射才能使物体各点的加速度比较均匀，此时物体才真正开始移动。若记 从时刻f 到物体开始移动的时间间隔为f ，则( 1 1 3 ) 应修正为 鼬) + 彩一力；0 ( 1 1 4 ) 这就在系统中引入了滞量f 。以后可以看到( 1 1 4 ) 的解与( 1 1 3 ) 的解的性态是迥然不 同的。 例1 2 考虑两种生物种群之间的相互作用，它们可以是捕食与被捕食，资源竞争或 者互惠。设捕食者个体总数为y 1 0 f ) ，被捕食者个体总数为瑚，则二者的消长关系在不 考虑滞后时可用如下的v 0 1 t e m 方程组描述： 意( 0 = q 【l x ) p 】x ( f ) 一岛y ) e 1 1 5 夕o ) = 吒j ，( d + 也x 0 ) y ( 哆 n 1 6 ) 其中p 为工之最大数目。实际上捕食者的生殖周期是比较长的，设其为f ，于是 2 东北师范大学硕士学位论文 胃锄g e r s k y 和c u i l n i n g l 锄把( 1 1 6 ) 调整为n 棚 爿= - | 砂o ) + 6 2 砸一力m 一力 ( 1 1 7 ) 例1 3 在火箭燃烧的控制理论中，得到方程 面( d + 1 0 i 一咖o ) + 船1 0 f 一力= o ( 1 1 8 ) 例1 4 考察信息网络中的无损传输线路，导出如下的方程嘲 五( 力一觑o 一班) = 厂 “( 力，“o 一矾) ( 1 1 9 ) 从以上几个例子可以大致看到我们所要讨论的对象的广泛性。同时注意到这些例子 的共同特点之一是：诸方程的右方不仅依赖于未知函数( 例如工) ，而且依赖于未知函 数的过去的值( 例如雄一吐f o ) 。亦即当前发展的趋势明显地依赖于过去的历史的状 况。一言以蔽之，我们需要考虑时间滞后的现象一简称为“时滞一现象。此时方程组( 1 1 1 ) 应换为泛函微分方程组 毫9 ) = z k ( f ) ，毛鼢而一龟) ，毛( f 一) l ( 1 1 1 0 ) 毛 o 毛，= l 2 ，接 这里，般来说又可以是f 的函数。至于初始条件，也不象( 1 1 2 ) 那样简单，这在后 面论述 。 当所有的巧= 0 ( j f = l ，2 ，功时，( 1 1 1 0 ) 是( 1 1 1 ) 型的常微分方程。所以应当 说在大多数场合应用常微分方程作为动力系统的模型只是一种近似，而且这种近似必然 是有条件的，只有符合一定条件的系统才可以略去滞量，否则将失去必需的精确度，甚 至导致错误的数学描述 1 1 2 泛函微分方程 对于泛函微分方程，我们可以按照它的特点给出一个分类，从而指出各类的理论及 其应用上的特点。先看一个简单的例子 例1 5 常系数线性方程 伪吣) + 面啦一1 ) + 仅0 ) + c i 5 呼一1 ) = 0 ( 1 l1 1 ) 这里滞量为l 。我们按其系数的不同取值把它划分为以下几种情况 ( 1 ) 当口o ，6 = o ，d 0 时方程( 1 1 1 1 ) 称之为滞后型的，其特点是：方程中未 知函数的最高阶导数不出现滞量。 ( 2 ) 当口o ，6 0 时( 1 1 1 1 ) 称为中立型的，其特点是：方程中除了未知函数的 最高阶导数以外还出现有滞量的最高阶导数。 3 东北师范大学硕士学位论文 ( 3 ) 口= 0 6 0 ，c 0 时，作一变量代换r = f i + l ，则( 1 1 1 1 ) 化为 妊( ) + a 毗+ 1 ) + 出( ) = 0 ( 1 1 1 2 ) ( 1 1 1 2 ) 称为超前型的，其特点是：方程中出现未知函数或者其低阶导数的变元大于 最高阶导数变元的情形，此时f l + l 叫做超前变元，l 为“超前量一。 考虑比( 1 1 1 1 ) 更一般的方程 一町= ，l 蝴，一，工。一吐，一( f 一叫， ( 1 1 1 3 ) 其中毛s 刀一l ，五为非负整数，表示x 的第f 阶导数。我们定义： ( 1 ) 当 o 时方程( 1 1 1 3 ) 为滞后型 ( 2 ) 当五= 甩，f 0 时方程( 1 1 1 3 ) 为中立型。 ( 3 ) 当 刀，f 为( 1 1 1 7 ) 根的序列，当j 专时l 乃卜，则j f _ 时 r e 乃一咱。因而存在一个实数历，使( 1 1 1 7 ) 的一切根满足k 名 夕，并且在复平面的任何 竖条中只有有限个根。 定理1 1 3 若c 0 ，则存在常数九，儿，使( 1 1 1 9 ) 的一切根都落在竖条 似i 办 0 ，使得砸，以) 是( 1 1 2 0 ) 的一个解，且毛( 奶= 成立刀 例1 6 取厂9 ，劝= 删+ 6 砸一，) ，( 1 1 2 0 ) 可化为 宕( d = 戤( d + h 一，) ，之o 若取厂( f ，咖= 巾，烈0 ) ，砷一，) ) ，( 1 1 2 0 ) 可化为 钟) = 厂( 毛x ( d ，m 一，”，o 6 东北，币范大掌硕士字位论文 设，o ，取几力= 么( ，矽) 烈口) 始，则有 j = 二彳( ， 跏+ 回抬 取厂i c f ，咖= 烈毋积( f ，回，则有 戈( o = j 二加+ 伽o + d 凡此等等，算子厂中的元9 e c 以上都是滞后型泛函微分方程，对中立型泛函微分方程，仍记 葺= 邢+ 啾诣卜 0 d ，毫号詈雄+ 毋， 算子：灭c c 哼f ，则 童= 厂1 0 f ，薯，毫) ( 1 - 1 2 2 ) 是一个n f 施 例1 7 选取，以仍谚= p ，畎0 ) ，烈- ，) ，烈- ，) 】，则方程( 1 1 2 2 ) 为 妁= 【f ，m 雄一，) 踯一，) 】 若选取厂= 【彳( f 嘶力+ 讹办肿) ，则为 埘= m ( f f 挪一力+ 讹f ) 砷一凇+ 另一种形式的n 眦( 1 9 7 0 年由 i a l e 与c r u z 提出) 是右端无导数的中立型方程，即 丢珧毛) = m 而) ( 1 1 2 3 ) 以后我们要对d ( f ，力做非奇异性假设。 倒1 8 取钟，咖= 唰o ) + ) 加，力= ，( ，删，则( 1 1 2 3 ) 化为 要+ 而咿一，) 】= 厂伍工( 力，王。一，” 珊 注意刭并不是所有的( 1 1 2 2 ) 都可以写成( 1 1 2 3 ) 的形式 1 2 以控制的发展状况 二十世纪五十年代，随着人类在宇宙探索方面取得的辉煌成绩和计算机的广泛使 用，动态系统优化控制理论发展成为现代控制理论的一个重要分支一最优控制理论。最 优控制理论在系统工程、人口控制理论、经济管理和决策、以及航空航天等领域都发挥 了重要的作用具有广泛工程背景的线性二次型最优控制问题l q g ( l i n e 8 rq u a d r a t i c 7 东北师范大学硕士学位论文 g 触s s i 卸) 问题或甄控制河题，就是将最优控制理论应用于工业过程控裁的产物。虽然 使用日：范数作为系统的性能指标往往能使系统获得较好的动态和稳态性能，但系统的 鲁棒性有时却较差。所谓鲁棒性，是指在不确定存在的情况下，系统仍然保留预期的设 计品质的属性。 在实际系统中。被控对象往往会受到各种各样不确定性因素的影响，譬如：作用于 被控过程的各种干扰信号、传感器量测噪声等等。并且由于一些限制的影噙，使得在一 些具体问题中对系统的不确定性难以实现干扰解耦，或用匹配条件来消除干扰。在这种 情况下，用日，方法设计的控制器因其鲁棒性较差，闭环系统的稳定性就难以得到保证。 除此之外，有许多情况，干扰信号 ，不是具有已知特征( 统计特性或能量谱) 的信号， 我们仅知道干扰信号w 属于某个已知的信号集合，如w 为能量有限的信号，邓 w e 厶【o ，哟，这时就不能应用皿方法。皿方法自身的弱点使得它在实际应用中受到缀 大的限制，应用效果也不尽如人意。 针对上述问题，进入八十年代后，随着鲁棒控制理论的兴起，使系统具有较强鲁棒 性的e 。优化控制理论应运而生。日二控制就是在保证系统稳定的同时能将干扰对系统 性能的影响抑制在一定的水平之下换句话说，就是控制对象关于干扰具有鲁棒性。在 控制能量相回的情况下，王乙控制要比古典的最优控制策略l q g 和皿控制拥有更好的 性能。建立在频域方法上的刀二优化控制理论是在1 9 8 1 年由加拿大学者z 嫩髓首先提 出的啪之后，它经历了从频域到时域两个发展阶段。1 9 8 8 年，g l o v 盱和d d y l e 建立 了王乙控制的状态空间方法汹。大约同一时间，他们又与k h 艘9 0 n e k 瑟和f r 锄c i s 进一 步发展了这一方法，这就是著名的d g 肛论文硒。文中将标准王乙控制闯题归结为两个代 数慰c c 硝方程的求解阊题，这一成果的取得表明点乙控制理论的发展己进入成熟阶段。 之后，曰二控制的状态空间方法获得了蓬勃的发展。先后经历了从定常系统到时交系统、 从线性系统到非线性系统、从连续系统到离散系统、从确定系统蔓l 不确定系统、从无时 滞系统到时滞系统以及从单目标控制到多目标控制的发展历程。目前，线性系统的曰二控 制理论的状态空间法发展己基本完普，研究主要利用砌c c 蕊方程或r j ! c c a l i 不等式，以 及线性矩阵不等式( 嘎i ) 。非线性系统的日。控制的状态空f 司法是近年来一个热门的研 宽方向，研究主要利用l u i ( 毪哑i h 呱j a c c o b ii s s a 伪) 方程或h j i 不等式 曰：控制器设计是一种依赖于模型的设计方法。进行月二控制器的设计时，首先必须 s 东北师范大学硕士学位论文 建立被控对象的数学模型，然后，将该模型化为z 乙标准控制问题所对应的增广被控对 象的模型，最后，按照z 乙标准控制闯题的求解方法进行控制器的设计在工程实际中， 许多控制问题都可以转化为z 乙标准控制问题，如鲁棒稳定性、跟踪、鲁棒镇定、干扰 抑制、加权敏感性、双灵敏度设计等。下面给出z l 标准控制问题的框图。 图1 5 也标准控制问题的框图 f i g u r e1 5t h eb l o c kd i a 卿mr e p r e s 钮t a t i o f 皿。s t 锄d a r dc o n t r o l 图1 5 中的各信号均为向量值信号。其中，w 为外部输入信号，包括干扰和传感器噪声。 z 为被控输出信号，通常包括跟踪误差、调节误差。搿为控制信号，y 为测量输出信号， 如传感器的输出信号。从图中我们可以看到，日二控制处理的是具有多输入和多输出的 多变量被控对象的鲁棒和最优控制问题。古典的最优控制策略所研究的单输入单输出情 况可以视为多输入多输出情况的一种特例，这正是z 乙优化控制器设计方法的优势所在。 另外，该方法还有如下的几个优点：首先，鲁棒控制器的设计被赋予了一个清晰的理论； 其次，尽管它回到了输入输出模型，但仍保留了状态空间方法中某些计算上的优点；三 是设计者可以在很大程度上控制由系统产生的频率域响应性状，从而使该方法易于被工 程师们所接受z 乙控制理论的研究正处在不断发展和完善之中 3 鲁棒也控制的发展与研究概况 在控制系统的分析研究过程中，首先要建立被控对象的模型，即给出一种数学描述， 由于实际控制对象的复杂性，加上周围环境的不稳定性，这使得用数学模型来完全真实 反映一个实际的被控对象几乎不可能。因此，我们所研究的数学模型都是实际被控对象 的一种近似描述，这种近似通常来源几个方面：对高阶系统的降阶处理、非线性系统的 线性化、测量误差、各种干扰信号、环境的变化对系统参数和动态的影响这些近似来 东北师范大学硕士学位论文 源一般归结为不确定因素，即不确定性。这种不确定性很明显会给我们带来不利影响， 因此，我们要考虑这种影响的程度及对这些影响程度的估量方法，最好在对控制系统的 分析设计时，通过考虑这些不确定因素，使得我们设计的控制器能够减少这种不利影响。 鲁棒控制的方法正是基于这种思想提出。 所谓的鲁棒控制是通过利用系统模型的一些不确定信息( 一定范围内的参数不确定 性或一定限度的未建模动态) ，来设计一个控制器，使得闭环系统对所有的不确定性是 稳定的，且具有一定的动态性能。鲁棒控制主要研究具有未知有界不确定性的系统模型， 通过鲁棒控制的手段使系统具有鲁棒性，即系统在不确定因素作用下维持其稳定性的能 力。这种模型对不确定性的描述是相对宽松的，它不需要对不确定性因素的随机特性作 任何假设，通常只是认为它属于某个已知集合。对于系统模型的未知有界不确定性，又 可以分为结构不确定性和非结构不确定性两类：结构不确定性是指那些模型与不确定性 之间相互关系的结构非常明确的不确定性；非结构不确定性是指那些结构不明确的不确 定性。在鲁棒控制问题的研究中，非结构化的不确定性模型更重要，其原因是由于所采 用的控制模型只有包括某些非结构化的不确定性才能覆盖未建模动态。 鲁棒控制的思想最早可追溯到p 啪o 、b 锄d i 】【s 和d a r b 弧等人对微分方程解对 初值和参数具有连续依赖性的工作。这是一种无穷小分析的思想，其要求解在给定区间 内的任意小变化可以由参数的充分小来保证。这种控制方法局限于微小的不确定性，是 一种敏感性分析方法。然而，实际中系统的参数是不能视为不变或仅具有无穷小变化， 被控对象工作环境的变化，模型的不精确，降阶近似、非线性的线性化等均可化为一种 参数扰动，这种参数的变化只能视为有界摄动而不是无穷小摄动，现代鲁棒性控制的重 要特点就是要讨论系统性能在非微小有界不确定性摄动下保持性能的能力。 在经典控制理论的研究中，通过利用b o d e 图和，q u i s t 曲线等分析工具使系统具 有一定的增益裕度和相位裕度，这样的系统在增益和相位发生变化的情况下仍能保持稳 定性，这本质上也是一鲁棒性控制思想的体现。但是这些处理方法多局限于单输入单输 出系统，不适合现代的多变量的被控对象。 现代鲁棒控制理论主要起始于二十世纪的五六十年代。经过几十年的发展，已成为 一个比较完整的理论体系，一般认为现代鲁棒控制理论的发展得益于如下几个方面的工 作啊：z 黜s 于1 9 6 3 年提出的小增益原理，这一原理为鲁棒稳定性分析奠定了基础： l ( a l l i l 距于1 9 6 4 年证明了单输入单输出系统最有l q 状态反馈控制律，它具有很好的 鲁棒性，即无穷大增益稳定裕量和6 0o 相位裕量。为时域的鲁棒控制分析提供了理论基 础；r d 涮妇d c k 等于1 9 6 9 年提出了i n a 方法，将经典的n y q u i s t 判定定理推广到多 输入多输出系统；b e l l e 叽l t t i 等于1 9 7 1 年提出了多变量系统的完整性问题；脚量咖l o v 于1 9 7 8 提出由四个区间端点作为系数的多项式的稳定性来判别区间多项式族的哈氏 定理；2 知潞于1 9 8 1 年提出以控制系统内某些信号问的传递函数的日。范数为优化性 能控制目标的设计方法脚。d o y l e 于1 9 8 2 年创立了结构奇异值理论圆，即l i 理论。其 方法是将系统的不确定部分和摄动部分分别进行关联重构，进而转化为处理块对角有界 l o 东北师范大学硕士学位论文 摄动问题等等。 在鲁棒控制理论的研究中，基于研究对象的不同模型，系统鲁棒性的研究方法主要 有两类：若我们所考虑的研究对象是以系统的传递函数或传递函数矩阵的形式给出的， 则常采用频域方法；若研究对象是以系统的状态矩阵或特征多项式的形式给出时，多在 时域中采用l y a p u n o v 第二方法来研究。二十世纪六十年代，为了改善系统的稳定性， 在控制系统的分析设计中，提出了基于l y a p 岫0 v 稳定性理论第二方法的控制器设计思 想，即通过对闭环系统构造一个适当的l y a p u n o v 函数来确定系统的稳定化控制律。早 期对系统不确定性的描述多要求系统满足一定的匹配条件，进而设计相应的控制律。 对一个闭环系统，构造一个单一的对所有不确定性都适用的b - 印明o v 函数，这样 的处理方法显然具有很大的保守性，但是对时变不确定性，还没一种比它更有效的处理 方法。因此这种对所有不确定性，构造一个统一的l y a p u n 0 、r 函数的方法仍然是目前处 理时变参数不确定性系统鲁律控制问题的一种比较流行并且行之有效的方法 在鲁棒控制理论的发展中形成了一些理论分支，如日| _ 控制理论、结构奇异值理论和 融a r i t o v 区间理论等。在这些鲁棒控制理论中我们主要采用鼠。控制理论。现在鲁棒 z 乙控制理论己成为一个相对比较完整的理论体系。随着计算机技术的发展，已出现专 门求解鲁棒z 乙控制问题的m a t l 曲工具包，可以很方便的给出求解结果。在时滞系统 控制研究中鲁棒z 乙控制理论也得到广泛应用 1 4 时滞系统鲁棒矾控制的研究概况 时滞现象广泛存在于各种工业系统之中，例如：轧钢过程，管道传输，各种化工生 产过程，网络系统中信号的传输过程等。有时为了处理方便，会将高阶复杂或大时滞常 数的对象近似为适当低阶或者小时间加存滞后环节的系统，由于时滞问题的存在，往往 造成系统震荡，引起系统的不稳定，在实际的工业系统之中时滞往往成为系统不稳定的 主要原因之一又由于时滞系统其固有的复杂性，给控制系统分析与设计问题带来很大 的困难，尤其在系统存在时变不确定性的条件下控制问题更加复杂。从二十世纪5 0 年 代末以来在时滞系统控制领域先后出现了基于模型的控制方法和无模型控制两大类，基 于模型的方法有s m i t h 预估补偿控制、最优控制、自适应控制、有限谱配置、预测控制、 滑模变结构控制、鲁棒控制等。无模型控制方法有模糊s m i t h 控制、自适应模糊控豺、 模糊p i d 控制、模糊自整定、神经网络预估控制、专家控制等。其控制方法也由传统控 制转向智能控制，或者两者相结合 现代数学，控制理论和计算机技术的迅速发展为不确定时滞系统的研究提供了强有 力的工具。近几十年来，许多专家、学者作了很多努力，对具有参数不确定摄动和具有 时滞的鲁棒控制问题进行了广泛的研究，获得了相当一批成果。由于他们研究的模型不 东北师范大学硕士学位论文 尽相同，研究的方法和途径更是多种多样，想要全面而准确地描述不确定时滞系统的鲁 棒控制的研究概况几乎是不可能的。同时，由于模型上的差异以及考虑问题的出发点不 同，因而很难对各种不同的方法做出孰优孰劣的判断。 对时变不确定时滞系统的研究大体可分为鲁棒控制与自适应控制两个主要方向。简 而言之，鲁棒控制是指设计确定的控制器以保证系统时变不确定条件下的闭环控制是针 对对象的变化通过修正模型与控制律以达到控制要求不论是鲁棒控制还是自适应控 制，若采用频域分析法，则一般是限于处理慢时变或不确知对象，因为频域研究借助谱 分析、n y q u i s t 图等来进行，而过程即使是很简单的时变系统在频域描述也非常复杂。 相对而言，时域设计方法的适用性较广，是处理一般变时滞特性的较佳手段。 目前时滞系统现有的自适应控箭多为间接自适应，它离不开模型的在线辨识。时滞 对象的在线辨识不仅有一般系统的闭环可辨识性问题，而且由于时滞参数的存在导致与 其它非结构参数一同通过r l s 等线性拟合辨识算法得到模型十分困难，从而会造成在线 辨识模型计算量的大大增加。鲁棒控制则不需要在线闭环辨识，且在控制器设计过程中 只需知道时滞大小及其变化率的上下限和各非结构参数的摄动范围即可。因而不确定时 滞系统的鲁棒控制己受到很多学者的重视并显示出较高的研究价值与广泛的工程应用 前景。 另一方面，近十几年发展起来的z 乙控制理论是目前解决鲁棒控制问题比较成功且 比较完善的理论体系。自从1 9 9 4 年韩国学者l e ej i l 【l 妇在时域中基于状态空间模型，利 用砒c c a t i 不等式方法提出时滞系统无记忆z 乙控制器设计问题以来，时滞系统的日二控 制问题的研究取得了长足的发展，成为近年来日二控制领域的热点研究课题之一，并取 得了丰硕的研究成果。 纵观时滞系统的研究和发展，有两条主要研究途径，即时域方法和频域方法两大类。 由于时域分析方法在处理时滞系统，尤其是不确定时滞系统方面具有很大优势，因此下 面从时域分析途径回顾一下时滞系统鲁棒控制的发展概况。 时滞系统的时域分析方法越来越成为时滞系统尤其是不确定时滞系统( 包括系统矩 阵的参数不确定性以及时滞本身的不确定性) 稳定性分析以及控制器综合的主要方法。 时域分析方法克服了频域分析不能处理时变和参数摄动的不中，而且具有方法简单、易 于计算等优点，使其在实际工程应用中更加具有优势。近年来有关不确定时滞系统的结 论基本上都是用时域的分析方法取得的。 当前，在时域内对时滞系统进行分析与控制已成为研究时滞及不确定时滞系统的主 要方法，时域内的研究较多的是采用l y a p u n o v 第二方法来研究，通过构造适当的 l y a p u n o v 函数来求解时滞系统的无记忆反馈控制律，主要有两种方法：b r a p u n o v 一 融a s o v s k ii 泛函方法和l y 印皿0 v 一匝u 出n 泛函方法，前一种方法大多数用来研究 定常时滞的不确定系统，而后一种方法可以用来研究具有时变时滞的不确定系统。目前 最为普遍使用的是一种特殊的b r a p 埘o v 函数其形式为： 1 2 东北师范大学硕士学位论文 矿( x o ) ) = x 2 ( d 踟) + i 工1 ( 栖( 凼 其中p ，r 为对称矩阵。由于该l y a p u n o v 函数是从一个特定的l y a p u n o v 函数中去求 得关于时滞系统稳定的条件，所获得条件只能充分的，而不是必要的，具有很大的保守 性，这是这种方法本身无法克服的缺陷。但是由于l y a p u n o v 函数方法对各类时滞系统 的适用范围非常之广，所以对于各种类型的时滞系统稳定性的研宄，l y a p u n o v 函数方 法仍然是一种非常有用的方法 时滞问题的研究从频域的角度主要是通过研究系统特征根的分布来了解系统的稳 定性和动态性能，学者很早就已利用经典控制理论的分析方法判断纯滞后控制对象的 稳定性和响应性能，由于方法过于复杂而难以实用化。s m n h o ，存在= ( 力 0 ，当万 时，有盹，毛) o ，使得 m 。sc 挑m e 柳 命题2 1 2 ( 等价范数定理) 设线性空间x 上有两个范数嗍。和5 1 1 2 如果z 关于 这两个范数都构成b 孤犹h 空间，而且0 1 1 2 比m 。强，则l 1 1 2 与删。必等价 2 2 几种常见的函数空间 2 2 1 时域函数空间 1 ) 毛( - q + 呦悯：由所有的实或复的平方和序列善= 魄 的集合构成，即 艺衍之 且对所有的而y e ，2 ( - 鸭呦，定义其内积为 蚀力= 孤 2 ) 上2 ( - 鸭+ 哪：所有平方可积函数善：太一c 一所构成的函数空间，即对于 啪e p f 佃) ，有 j 二和， 栖 其中h 为e u c l i d e 锄范数，积分为l e b e s g u e 积分 在乞( _ 鸭+ 呦上定义内积：设础) ，删量厶( _ q + 呦 体力= 仁，加) d ， l o 东北师范大学硕士学位论文 由内积导出的范数为 ) i | = 似妒= ( r 删矿 这样上z ( _ q + 嘞按此范数成为一个b 8 n a c h 空间 厶【o + 时：所有对于f o 除在测度为o 集合上( 即对所有f o ( 2 3 1 ) 扣i i 其中工= “，气，。) r f 是未知变量，巧= 矸暑胪，f = o ，1 ，埘是给定矩阵。 f o 表示用是正定的，即对于任意的非零向量e 掣有不等式“r 血 o 成立若 下式成立 蹦宣e + 薯巧o “ 则称为非严格线性矩阵不等式 显然，多个线性矩阵不等式可用一个l m i 表示，印 五o 。 仉e o ，五 o 等价于 最 e 兀 0 线性矩阵不等式( 2 3 1 ) 是关于变量嚣的一个凸约束t 所以集合 卅f 0 ) 是十 凸集，从而线性矩阵不等式( 2 3 1 ) 的求解可转化为凸优化问题的求解。内点法、椭圆 法等是求解线性矩阵不等式的有效方法。控制理论的研究中经常遇到二次矩阵不等式， 通过下面的s c h u r 引理可以转化为线性矩阵不等式，这是线性矩阵不等式能够在控制理 论中得到广泛应用的原因之一 引理2 3 1 ( s c h 盯c 呷1 哪n t )对于分块对称阵盖， 小陵乏 以下命题成立 ( 1 ) z o 成立的充分必要条件是下列条件之一成立： a ) 五l o ，且如一删如 o ： b ) 如 o 且五，一嗣最 o 一 东北师范大学硕士学位论文 ( 2 ) 当如o 时，x 0 的充分必要条件是( k ) c 伐：) ，且 五。一五：列矗o ( 3 ) 当五l 0 时，x 0 的充分必要条件是( 墨1 ) c 忑2 ) ，且 一稚砭五：o 其中，( ) 表示矩阵的核空间。 在一些控制问题中，经常遇到二次矩阵不等式： 誓p 七p a + p b r - 1 b r p + q o 其中4 马q = q r o 灭= 舻 o 是给定的适当维数的常数矩阵，p 是对称矩阵变量，则 应用引理2 3 1 上述矩阵不等式的可行性问题可转化为一个等价的矩阵不等式 p n ! + q 他i o ，矿( 柳 0 成立，且对x = 五时，才有 悯= 矿= o 、 l y a p 吼o v 第二方法的关键在于：在不直接求解的前提下，通过函数矿力及其对 时间的一次导数矿f ) 的定号性，给出系统的平衡状态稳定性信息 随着现代工业的发展，控制系统结构日益复杂，用l y a p u n o v 稳定性对系统进行分 析越来越受到人们的重视，特别是在非线性系统的控制器的设计方面，而用l y a p u l l o v 第二方法解题的关键在于，找到恰当的l y a p 吼0 v 函数。但到目前为止，还没有一个简 单而有效的寻求l y a p u n o v 函数的一般方法。 研究系统的稳定性问题，实质上是研究系统的平衡状态的情况。一般来说，系统可 描述为： j = ，d ( 2 4 2 ) 式中的x 是力维状态向量 对于时间，都有 厂，d = 0 ( 2 4 3 ) 时，称五为系统的平衡状态。凡满足式( 2 4 3 ) 的一切x 值均是系统的平衡点， 对于线性定常系统j = ，d = 肛，彳为非奇异时，石= 0 是其唯一的平衡状态： 如果a 是奇异的，则式( 2 4 3 ) 有无穷多解，系统有无穷多个平衡状态对于非线性系 统，有一个或多个平衡点 2 4 2l y a 科i n o v 稳定性定理 ( 1 ) 考虑连续时间非线性时交时滞系统 絮i 厂譬( ! ! ) = ?， ( 2 4 4 ) l ( 0 ，) = 0 ，f 【而，叫 其中x 为刀维状态。 引理2 4 1 系统( 2 4 4 ) 若可构造x 和f 具有连续一阶偏导数的一个标量函数 矿伍d ，矿( o ，) = 0 ，且对状态空间r 一中所有非零状态点x 满足如下条件，则称其在为 工= 0 大范围一致渐近稳定： 东北师范大学硕士学位论文 ( i ) y 伍f ) 正定有界； ( ) 矿似f ) 负定有界。 ( ) 删专，y 似d 哼 引理2 4 2 设系统的状态方程为( 2 4 4 ) ，式中厂( o ，d = o f 气。如果有连续一阶 偏导数的标量函数矿c z ，力存在，并且满足以下条件： ( i ) 珀力是正定的； ( ) 矿陇f ) 是负定的 则在原点处的平衡点是渐近稳定的。 ( 2 ) 考虑连续时间非线性时不变时滞系统 鼢2 嚣叫 亿4 田 i - 厂( o f ) = 0 ，e 【0 ，叫 。 一。 引理2 4 3系统( 2 4 5 ) 若可构造工和，具有连续一阶偏导数的一个标量函数 瞰) ，哪) = o ，且对状态空问科中所有非零状态点x 满足如下条件，则称其在为x = o 大 范围一致渐近稳定： ( i ) y ( 力正定； ( ) 矿( 功负定。 ( ) 删专，y 一 ( 3 ) 考虑连续时间线性时不变系统 i = 彳而x ( 0 暑而，0 2 4 6 ) 其中茹为疗维状态，状态空间原点x = 0 为系统的一个平衡状态。 引理2 4 4 系统( 2 4 6 ) ，称原点平衡状态x = 0 是渐近稳定的充分必要条件是矩 阵么的特征值均具有负实部。 2 4 3l y 印吼o v 函数构造 并没有构造函数的一般规律，很多成功构造出来的函数往往有它的背景，例如，某 些力学物理模型推演出来的方程，相应的矿函数有明确的物理意义，如力学保守系统， 它的相应的动能和势能的总和变为合适的y 函数。可以用线性类似方法，即对非线性微 分方程组，首先找出它相应的微分方程组的二次型正定y 函数，然后考虑非线性特性而 构造出类似的函数来。 东北师范大学硕士学位论文 有三种构造l y a p u n o v 函数的原则性的方法，然而都是试探性的，并不一定保证成 功： ( 1 ) 原则性的方法是先试探构造出一个正定的l y a p 岫o v 函数，然后寻求沿方程组 解的导数华，看方程组的右端已给定的条件能否保证华负定，或半负定 讲 讲 1 l r 如能保证，则可断定渐近稳定性、稳定性。如不能保证等负定，半负定，则任意 甜 稳定性给的结论也无法获得，只得重新寻找别的方法。这种方法是几乎所有稳定性专著 中普遍采用的方法，成功的例子很多，例如1 ) 二次型；2 ) 平方和；3 ) 线性加权型；4 ) 绝对值加权型5 ) 二次型加非线性积分项型等等。 n ， ( 2 ) 先令竺；满足负定( 半负定) 条件，然后积分而求得y ，看是否能由方程组右 讲 端的条件而保证y 是正定的，如能，则可以断定系统渐近稳定性、稳定性，否则，任何 结论也得不到，只得另找方法，沿第二种方法的方向有所谓梯度方法，以及构造梯度的 选取不同而派生出来的所谓便梯度法，积分法，能量度量法等等 n r ( 3 ) 所谓的微分矩阵法，即同时构造矿及车。 2 毛4l y 印曲o v 稳定性与线性矩阵不等式 在状态空间下针对形如枷= 庙电) 的线性时不变系统，选l y 印吼0 v 能量函数， 三瓴力= ，乃哟，则系统稳定当且仅当存在正定对称矩阵尸满足么r 尸+ 以 o ；对形 如j ) 畜“+ 谢o 糖) 的线性时变不确定系统，由二次稳定概念，如果存在正定对称矩 阵p 满足 ( 彳+ 耐o ) ) r p + p 似+ 叫( f ) ) o 则系统稳定；针对形如删= 出+ 彳，川一力的线性时滞系统，一般也可以选择 l y a p u n o v 能量函数上伍，) = ，1 0 f 删+ j 已工r ( 力烈d 凼，如果存在正定对称矩阵p 和q 满足r ? 帼竺 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息； ( 3 ) 修改现有的线性矩阵不等式系统； ( 4 ) 求解线性矩阵不等式组问题； ( 5 ) 验证结果 下面将介绍几个与本文有关的函数和命令： s e t l m i s 和g e t l i s 一个线性矩阵不等式系统的描述以s e t l m i s 开始，以g e t l 皿i s 结束当要确定一个 新的系统时输入 s e t l m i s ( ) 如果需要将一个线性矩阵不等式添加到一个名为l m i s o 的线性矩阵不等式系统中， 则输入 s e t l m is ( 1 m i s o ) 当线性矩阵不等式系统被完全确定好后，输入 h b is y s = g e t l m is 该命令返回这个线性矩阵不等式系统的内部表示1 is y s n e w l m i 函数n 钾l m i 用来确定线性矩阵不等式的名称。例如1 i t a g ：聃订m i 表示增加一个 名称为l m i t a g 的新的线性矩阵不等式到线性矩阵不等式组中。 1 m i v a r 函数l m i v a r 用来描述出现在线性矩阵不等式系统中的矩阵变量，每一个只能描述 一个矩阵变量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构该函数的一般表达式是 x - l m i v a r ( t y p e ，s t r t l c t ) 这一函数定义了一个新的矩阵变量x 。 l m i t 哪 在确定了矩阵变量以后，还需要确定每个线性矩阵不等式中各项的内容。线性矩阵 不等式的项指构成这个线性矩阵不等式的块矩阵中的单个矩阵。这些项可以分成常数项 和变量项。 ( 1 ) 常数项； ( 2 ) 变量项，即包含了矩阵变量的项。一般的变量项具有形式既q ，其中x 是一个 变量，p 和q 是给定的矩阵，分别称为该变量项的左系数和右系数 f e a s p 函数 函数f e a 印是个求解器，是通过求解如下一个辅助凸优化问题 东北师范大学硕士学位论文 m i i i ，s t 彳 荆+ 玎 ( 2 5 1 ) 来求解线性矩阵不等式的可行性问题，即寻找一个工ef ，使得满足线性矩阵不等式系 统彳( 功 丑( 力，f e a s p 函数将在约束( 2 5 1 ) 下，搜索决策变量x ，使得满足上式的f 最 小化显然，最终如果k o ，则矩阵不等式彳( 力 b 有解，且对应的z 是一组可行 解。 其一般的表示形式如下： t m i n ，x f e a s = f e a s p ( 1 m i s y s ，o p t i o n s ，t a r g e t ) m i n c x 函数 在线性矩阵不等式约束彳( 劝 同下，使以达到最小化，其中c 是决策系数，石是 决策变量。 其一般的表示形式如下： c o p t ，x o p t = 面i n c x ( 1 i n i s y s ，c o p t i o n g s ，x i n i t ，t 锄笃e t ) 卵y p 函数 求解如下的