（应用数学专业论文）利用两种方法构造测度所诱导的维数.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 记g ( e ) 表示直径最大为口可以覆盖e 的球的最少个数，设 “( e ) = 1 2 观s u p 口( e ) 口q ， 口+ u 则矿是预测度，本文利用测度论中方法i ，方法i i 通过预测度矿构造新的测度， 证明了由它们定义的维数有着与填充维数相同的结论，即与修改的上盒维数相等； 若上式取下极限，仍为预测度，由它所构造的维数与修改的下盒维数相等 关键词：测度；盒维数：填充维数：修改的盒维数 a b s t r a c t l e ta ( e ) b et h em i n i m a ln u n l b e ro fs p h e r e sd i 锄e t e rgn e e d e dt oc o v e re ，l e t 矿( e ) = 姆s u p q ( e ) 口+ u t h e n7 酽i sap r e - m e a s u r e i nt h ep 印e r 、耽d e f i n e dt 、od i m e n s i o n 8b yt w om e a s u r e s c o n s t r u c t e db ym e t h o dia n dm e t h o di io fm e a s u r et h e o r yi nt e r mo f “，a n d a r et h es a m ew i t ht h o s eo ft h eu p p e rr e v i s e db o xd i m e n s i o na n dp a c k i n gd i m e n s i o n r e p l a c i n gt h eu p p e rl i m i ti n “b yl o w e rl i m i t s i m i l a r l yw e c a nc o n s t r u c tt w oo t h e r m e a s u r e s ，a n dp r o v et h ec o r r e s p o n d i n gd i m e n s i o n sa r ee q u a lt ot h el o w e rr e v i s e d h m cd j m p n s i n n k e yw o r d sm e a s u r e ；t h eb o xd i m e n s i o n ；p a c k i n gd i m e n s i o n ；t h er e 访s e db o x d i m e n s i o n i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 袁茏日期：洲8 年r 月如日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：蓉鸯 日期：岫8 年f 月为日 导师签名：万吱红 日期么耐罗月础日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。园童论塞握变压进后；臼兰生；旦二生；丝生筮壶! 作者签名：袁蠢 日期：8 年s 月日 导师签名：锨泣锄 日期：础年厂月刎日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 第一节引言 1 9 8 2 年，b b m a n d e l b r o t ( 参见文献【1 1 ) 将分形定义为局部以某种方式与整 体相似的集，重新讨论了盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒 维数与集所在空间维数相等为避免这一缺陷，同年，c t r i c o t ( 参见文献【2 】) 引 入填充维数 填充维数是从内部逼近引出填充测度，并定义填充维数的，而本文从外部逼 近，利用 矿( e ) = l i 现s u p 口( e ) g 口 q + u ( 口( e ) 表示直径最大为g 可以覆盖e 的球的最少个数) 是预测度，通过方法i ， 方法i i 构造测度f ，研，并定义维数豇一维数与如一维数，它们和填充维数一 样，也与修改的上盒维数相等，文章中用两种方法证明了此结论；当上式取下极限 即 尘r ( e ) = l i 观i n f 坞( e ) g n g + u 。 时，仍是预测度，也可通过方法i ，方法i i 构造测度研，避，并定义维数髓一维 数与或一维数，而它们与修改的下盒维数相等 本文的主要结果叙述如下： 定理：设e 是职上任意非空的有界子集，则有 o d i m h ( e ) 鱼鱼卫m b ( e ) = d i m 岛( e ) = d i m 也( e ) 面面m b ( e ) = d i m 盔( e ) = d i m 如( e ) = d i m p ( e ) d i m b ( e ) n 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 第二节预备知识及记号 为了证明主要结论，我们需要下面的一些基本定义及引理作知识准备 定义2 1 在度量空间( q ，j d ) 中，任给ecq ，用iei 表示集合的直径，即 iei = s u pp ( z ，) ，掣e 设e 是r ”上任意非空子集如果 鼠) 为可数( 或有限) 个直径不超过6 的 集构成的覆盖e 的集类，即ecu 易，且对每一个i ，都有o 0 ，定义 “；( e ) = i n f i 阢1 8 ： 阢) 为e 的6 一覆盖) ， l = 1 当6 减少时，上式中能覆盖e 的集类是减少的，所以下确界咒；( e ) 随着增加， 且当6 _ 0 时趋于一极限记 咒。( e ) 2 舰弼( e ) ， 对爬“中的任何子集e ，这个极限都存在，但极限值可以是( 并且通常是) 0 或o o ， 我们称咒8 ( e ) 为e 的s 一维豪斯道夫测度，且e 的维豪斯道夫维数定义为 d i m h ( 功= i n f s ：咒8 ( 刀) = o ) = s u p s ：冗5 ( e ) = ) 定义2 2 设e 是r 摊上任意非空的有界子集，q ( e ) 表示直径最大为g 可以 覆盖e 的球的最少个数，记： 矿( e ) 2 船s u p 鹄( e ) 9 8 ； f ( e ) 2 。畴1 1 1 f q ( e ) 旷， 则e 的上，下k 一维数分别定义为 面政( e ) = s u p a o ：矿( e ) o ) ； 亟迪k ( e )= s u p q o ：尘r ( e ) o ) 2 定义2 3 设e 是r n 上任意非空的有界子集，叮( e ) 表示直径最大为g 可以 覆盖e 的球的最少个数，则e 的上，下盒维数分别定义为 出m b ( e ) = 血口( e ) = l i ms u p 口。0 十 l o g q ( e ) 一l o g 口 1 i i i li n f 丝些盟 口一o +一l o g g 如果这两个值相等，则称这共同的值为e 的盒维数，记为 a i m 柙) = 船等 上，下k 一维数分别可以由 计算( 参见文献【4 】) ，从而有 面k ( e ) = 蕊b ( e ) ，血k ( e ) = 地b ( e ) 定义2 4 设e 是孵上任意非空的有界子集，则e 的修改上，下盒维数分别 定义为 o 。 面而b ( e ) = i n f s u p 蕊( 晟) ：ecu 最) ； i ：o 鱼迪m b ( e ) = i i l f s u p 血口( 最) ：ecu 忍) 。 仁0 ( 下确界是对e 的所有可能的可数覆盖 置) 取的) 于是有 丽示m b ( e )= i n f s 鼍p 蕊( 局) ：e cu 最) t = o = i n f s u p 蕊( 最) ：e cu 噩) ； 4 佰0 立迪m b ( e ) = i i l f s h p 垴( 忍) ：e cu 最) 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s = i n f s u p 鱼欺( 最) ：e cu e ) 扛=0 定义2 5 一个定义在集族e = e ：ecq ) = 2 n 上的集合函数7 称为预测 度，若满足以下三个条件j ( 1 ) 9 e ； ( 2 ) e 中任何元素e ，有o 7 - ( e ) + o o ； ( 3 ) 丁( 谚) = o 引理2 6 若7 是定义在集族e 上的预测度，则集合函数 p ，( e ) = i n f 7 ( 局) ：ecu 蜀，置ce 是q 上的测度( 我们称测度肛1 是由预测度7 通过方法i 构造而成的) 引理2 7 若丁是定义在集族e ( 其中( q ，p ) 是度量空间) 上的预测度，则集 合函数肛2 ( e ) = s u p 舶( e ) ，其中 6 0 眦( e ) = i n f 7 一( 最) ：ecu 蜀，i 晟l 6 ，晟ce 是q 上的测度( 我们称测度p 2 是由预测度7 通过方法i i 构造而成的) 定义2 8 设e 是融上的任何子集，令 劈( e ) = s u p f 鼠l s ： 最，是球心在e 上 i 半径最大为疋互不相交的球族 因为片( e ) 随石减少而递减，极限 昂( e ) 2 溉片( e )o + u 存在，由于豸是预测度，因此利用方法i 修改这个定义为 p 。( e ) = i n f 豸( 最) ：j e 7cu 最) 称p ( e ) 为e 的s 一维填充测度并用通常方法定义了填充维数： d i m p ( 曰) = s u p s ：p 8 ( 司= o o ) = i i l f s ：p ( e ) = o ) 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 注2 8 1 由文献【5 】可知， o d i m 日( e ) 鱼迪m b ( e ) 面面m b ( e ) = d i m 尸( e ) 蕊( e ) n 引理2 9 其中l i m = z o n + l i ms u p ，( z ) l i ms u p 厂( z n ) ； 2 _ + z 0z n 善0 l i mi n f ，( z ) l i mi n f ，( z 竹) ， z + z o 茹n 王0 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三节利用方法i 构造测度及维数 由预测度定义，易知矿，篮是预测度，通过方法i 构造测度砰，研，即 这里e 是黔上任意非空的有界子集 利用测度分别定义最，膏，一维数为： 最 ； 忍) ， d i m 髓( e ) = s u p 缸： 甲( 司= 。) = i n f q ；岬( e ) = o ) ； d i m 霞。( e ) = s u p q ：田( e ) = o 。) = i n f q ；岬( e ) = o 性质3 1 盔一维数有单调性：即 若ecf ，则d i m 霞。( e ) d i m 髓( f ) 证明：由聊为测度知，研满足单调性，即若ecf ，则有研( e ) 聊( f ) ， 选定任意的口，使得 口 d i m 霞，( e ) ， 则由盔一维数的定义，有 由柳为测度，知 则 所以 从而 综上，有 田( 最) = o ， 霹( u 最) 砰( e ) = o ， i = 1t = 1 o 。 研( u 最) = o ， t = 1 口d i m 盔( u e ) ， = 1 d i m 露。( ue ) s u p d i m 扇( 忍) ) ， i = 1 d i m 霞。( ue ) = s u p d i m 扁( 忍) ) 定理3 3 设e 是舭上任意非空的有界子集，则 d i m 霞。( e ) 螈( e ) 7 口 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 证明：选定任意的a ，使得 则由盔一维数的定义，有 由研( e ) 的定义，即有 由下k 一维数定义，知 从而有 d d i m 席。( e ) ， 则由髓一维数的定义，有 岬( e ) = o ， r 口 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由聊( e ) 的定义知，对任意 o ，此时ecu 匠，则对每个i ，酽( 晟) ， i = 0i = o 孵( e ) = s u p 孵( e ) ， 6 0 其中 期( e ) = i n f 理口( 晟) ：ecu e ，i 晟i 6 扛：0t = 0 这里e 是黔上任意非空的有界子集 利用测度分别定义盔，或一维数为： d i m 亿( e ) = d i m 膨( e ) = s u p q ：砖( e ) = 。o i n f q ：衙( e ) = o ) ； s u p o ：避( e ) = 】 i n f 口：柳( e ) = o ) 与或一维数类似，也一维数也有如下两个性质，证明过程也类似 性质4 1 碰一维数有单调性：即 若ecf ，则d i m 如( e ) d i m 如( f ) 性质4 2 如一维数有可数稳定性：即 d i m 觑( 婪e ) = s 等p d i m 如( 最) ) 定理4 3 设e 是舭上任意非空的有界子集，则 d i m 如( 司d i m k ( e ) 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 证明：选定任意的q ，使得 则由觑一维数的定义，有 由研( e ) = s u p 职( e ) ，其中 6 o a o ，当6 充分小时，职( e ) g ，从而有 两边取对数有： 从而有 两边取上确界，有 所以 g d i m 忽( e ) ， 则由或一维数的定义，有 孵( e ) = 0 ， 由孵的定义，有 对任意的e o ，如果此时ec 园忍，i 忍l 6 ，则对每个i ，矿( 最) e ，从而q 忑面j f ( 鼠) ，从而 两边取下确界，则有 从而 综上， q s u p d i m ( e ) ， i n 面五m b ( e ) ， d i m 也( e ) 砜b ( e ) d i m 觑( e ) = 砜b ( e ) 与或一维数类似，豇一维数也有如下两个性质，证明过程也类似 性质4 5 应一维数有单调性：即 若ecf ，则d i m 岛( e ) d i m 如( f ) 性质4 6 豇一维数有可数稳定性：即 d i m 也( 婪e ) _ s u p 似m 吃( 聊 定理4 7 设e 是黔上任意非空的有界子集，则 d i m 如( e ) 尘卧( e ) 1 4 口 定理4 8 设e 是舻上任意非空的有界子集，则 d i m 露：( e ) = 虫班m b ( e ) 例4 9 三分c o 死亡卯集e ：设岛= o ，1 是闭区间，蜀表示由岛除去中问 丢之后所得到的集，即局包含 o ，去】和 云，1 两个区间；分别去掉这两个区问的 萎? 刃瑟瑟善删羔挚慝鲁舷复篷碧= 兰銎篓喜萎掌蕃妥去，则鼠是由2 七个长度各为3 “的区间组成，三分c o m d r 集e 是由属于所有 计算：由引理2 9 知 矿( e ) 2 姆s u p ( e ) q q 1 i ms u p 3 一t ( e ) ( 3 础) a = 1 i ms u p 2 七( 3 一七) 。 = 熙s u p ( 孟) 奄； 胛( e ) 2 燥1 n f 口( e ) 。矿 1 i mi n f 3 一t ( e ) ( 3 山) q = 1 i mi n f 2 七( 3 一七) 口 = 舰1 n f ( 素) 七， ( i ) 当o 1 时，即口 o = l 0 9 2 l o g3 ， 虫迅k ( e ) = s u p 【a o ：尘r ( e ) o ) = l 0 9 2 l 0 9 3 ， ( 1 ) 若研( e ) ：i n f 萎矿( 最) ：ec0 最) ：o 。，则矿( e ) ：o o i = o = 0 由( i i i ) ，有q = l 0 9 2 l 0 9 3 ； 与( 1 ) 同理可以证得 d i m 或( e ) = l 0 9 2 l 0 9 3 ； ( 2 ) 若聊( e ) = s u p 职( e ) = 。，其中 石 0 职( e ) = i n f 矿( 鼢：e cu e ，i 易 o ，当6 充分小时，船( e ) g ，从而有 g 孵( e ) 酽， 因此 由( i i i ) ，有 矿( e ) = o o ， 口 l 0 9 2 l 0 9 3 ， 从而 d i m 岛( e ) = s u p q ：册( e ) = o o ) = 1 0 9 2 l 0 9 3 ， 与( 2 ) 同理可以证得 d i m j ( e ) = l 0 9 2 k ) 9 3 ， 1 6 硕士学位论文 m a s t e r 。st h e s i s 综上有 o d i m 日( e ) = 虫盟m b ( e ) = d i m 霞。( e ) = d i m 岛( e ) = d i m m b ( e ) = d i m 露。( e ) = d i m 霞。( e ) = d i m p ( e ) = 而b ( e ) = l 0 9 2 l 0 9 3 n 总结 计算盒维数时，对任意r n 中有界子集e ，( e ) 有五种等价定义，本文及填 充维数利用最后两种等价定义，通过测度论中方法i ，方法i i 构造测度，并由此所 引进的维数总有结论： o d i m h ( e ) 尘堕m b ( e ) = d i m 膏。( e ) = d i m 霞。( e ) 面示m b ( e ) = d i m 露，( e ) = d i m 亿( e ) = d i m 尸( e ) 而b ( e ) 几 其余三种等价定义仍可以利用此种方法证明得出上述结论，从而使读者对盹( e ) 的五种等价定义有更为深刻的认识 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 f 1 】b b m a n d e l b r o t ，t h ef r a c t a lg e o m e t r yo fn a t u r e n e e m a n ，n e w 、，o r k ，1 9 8 2 【2 】c n i c o t ，t 、od e f i n i t i o n so ff r a c t i o n a ld i m e 璐i o n m a t h ，p r o c c 锄b r i d g ep h i l o s 1 9 8 2 s o c 9 15 4 7 4 【3 】k s a n d a u ， an o t eo nf r a c t a ls e t sa n dt h em e a s u r e m e n to ff r a c t a ld i m e n - s i o n p h y s a2 3 3 ( 1 9 9 6 ) 1 1 8 【4 】d s t o y a na n dh n a c t a l s ，r a n d a ns h 印e sa n dp o i n tf i e l d sw i l e y ，c m c h e s t e r ， 1 9 9 4 k j f a l c o n e r ，f r a c t a lg e o m e t r