（理论物理专业论文）单粒子在非轴对称八极形变y32y32势场中的混沌运动.pdf

上海师范大学硕士学位论文 中文摘要 单粒子在非轴对称八极形变y 3 2 十 y 3 -: 势场中的混沌运动 作 者:金华 指导教师:郑仁蓉教授 研究专业:理论物理 ( 上海师范大学 数理信息学院 上海 2 0 0 2 3 的 摘要 本文分别从经典和量子两个角度系统地研究了单粒子在非轴对称八极形变 y 2 + y 3 -: 势场中的运动，指出势场对称性的破坏加剧了其非线性特征，使得系统 更容易发生混沌运动。 经典轨道的稳定性分析表明等势能面存在着不稳定的负参量区域是体系发 生混沌运动的主要原因。 在计算了体系的最大李雅普诺夫指数后， 发现无论是长 椭球谐振子势还是扁椭球谐振子势在附加了非轴对称八极形变 y 3 z 十 y 3 -: 后都可以 在较小形变强度下发生混沌运动， 且与轴对称八极形变系统相比， 同样形变强度 下的混沌程度大大增强。 量子计算表明非轴对称八极形变y 3 z + y二 系统随着形变强度的增大，普遍存 在着能级的免交叉现象， 这是系统发生量子混沌运动的重要依据。 为了进一步分 析系统发生量子混沌运动时的动力学特征， 本文考察了体系以三维不对称谐振子 相干态作为初态的状态随时间的演化， 计算了演化过程中， 体系动力学变量的期 望值与测不准度，以及量子相空间的不均匀度， 得到了较好的量子经典对应。 又 在近可积的条件下， 比较了非轴对称八极形变y 3 z + y 3 一系统与轴对称八极形变系 统的动力学差异。 论文将其他人对于核子在平均场中的混沌运动的研究从轴对称情况推广到 非轴对称情况， 丰富了人们对于高维哈密顿系统发生混沌运动的认识。 为轴对称 势场下不易发生混沌运动的长椭球型核子系统产生混沌运动的原因提供了一种 可能的简单机制:势场的非轴对称特性。 关键词:非轴对称八极形变y 3 z + y 3 一 势场，混沌运动，能级免交叉，三维不对称 谐振子相干态 上海师范大学硕士学位论文英文摘要 c h a o t i c mo t i o n o f s i n g l e p a r t i c l e i n t h e p o t e n t i a l w i t h n o n a x i a l s y m m e t r i c o c t u p o l e d e f o r ma t i o n y 3 2 + y 3 - 2 au t h o r : j i n hu a s u p e r v i s o r : p r o f z h e n g r e n r o n g ma j o r : ( ma t h e m a t i c s a n d s c i e n c e s c o l l e g e , t h e o r e t i c a l p h y s i c s s h a n g h a i n o r m a l u n i v e r s i t y , s h a n g h a i , 2 0 0 2 3 4 ) ab s t r a c t i n t h i s t h e s i s , t h e s i n g le p a rt i c l e m o t i o n i n t h e p o t e n t ia l o f n o n - a x i a l s y m m e t r i c o c t u p o l e y 3 2 + y 3 - 2 is a n a l y z e d s y s t e m a t ic a l l y f r o m c l a s s i c a l a n d q u a n t u m m e c h a n i c s p o i n t s o f v i e w . i t i s s h o w e d t h a t t h e b r o k e n s y m m e t ry i n t h e p o t e n t i a l w i l l e n h a n c e t h e n o n - l i n e a r i t y i n t h e s y s t e m a n d p u s h t h e s y s t e m t o t e n d t o c h a o s e a s i l i e r . t h e s t a b i l it y a n a l y s is o f t h e c la s s i c a l t r a j e c t o r y s u g g e s t s t h a t t h e m a in r e a s o n f o r t h e s i n g l e p a rt ic l e c h a o t ic m o t i o n i s t h e n e g a t iv e p a r a m e t e r s e x i s t i n g o n t h e p o t e n t i a l s u r f a c e . i t i s f o u n d f r o m t h e m a x i m u m l y a p u n o v e x p o n e n t c a l c u l a t e d i n t h e p r e s e n t t h e s i s t h a t t h e c h a o t i c m o t io n c a n h a p p e n u n d e r s m a l l s t r e n g t h o f d e f o r m a t i o n f o r p r o l a t e a n d o b l a t e h a r m o n i c o s c i l la t o r p o t e n t i a l i f a n e x t r a n o n - a x i a l s y m m e t r i c o c t u p o l e d e f o r m a t i o n p o t e n t i a l o f y 3 2 + y 3 _2 i s a d d e d a n d t h e c h a o t i c d e g r e e o f t h e m o t i o n i s m u c h m o r e s t r o n g e r t h a n t h a t o f a d d in g a a x i a l s y m m e t r i c o c t u p o l e d e f o r ma t i o n . t h e q u a n t u m m e c h a n ic c a l c u l a t i o n t e l l s u s t h a t t h e a v o id e d l e v e l c r o s s i n g b e t w e e n t h e t w o e n e r g y le v e l s , a n i m p o rt a n t i n d i c a t i o n o f t h e c h a o t i c m o t i o n , i s c o m m o n ly a c c o m p a n i e d w it h t h e s t r e n g t h o f n o n - a x i a l s y m m e t r i c y 3 2 + y 3 - 2 d e f o r m a t i o n i n c r e a s i n g . i n o r d e r t o a n a l y z e t h e d y n a m i c c h a r a c t e r i s t ic s o f t h e c h a o t i c m o t i o n , t h e t i m e e v o l u t i o n o f a n i n i t ia l s t a t e o f a t h r e e d i m e n s i o n a l c o h e r e n t h a r m o n i c o s c i l l a t o r is i n v e s t ig a t e d . t h e e x p e c t a t io n v a l u e s o f d y n a m ic v a r i a b l e s , t h e u n c e rt a i n t i e s o f t h e m a n d t h e h e t e r o g e n e i t y i n t h e q u a n t u m p h a s e s p a c e a r e c a lc u l a t e d a n d a g o o d c la s s i c a l -qu a n t u m c o r r e s p o n d e n c e i s o b t a i n e d . t h e d y n a m i c s d i ff e r e n c e s b e t w e e n t h e s y s t e m s o f t h e n o n - a x i a l s y m m e t r i c y 3 2 + y 3 -2 a n d t h e a x i a l s y m m e t r i c o c t u p o le d e f o r m a t i o n s a r e c o m p a r e d u n d e r t h e w e a k ly i n t e g r a b l e c o n d i t io n . t h e p r e v i o u s s t u d y o f a n u c l e o n s c h a o t i c m o t i o n i n t h e m e a n f i e l d i s g e n e r a l i z e d i n t h e p r e s e n t t h e s i s f r o m a x i a l s y m m e t r i c d e f o r m a t i o n t o a n o n - a x i a l s y m m e t r ic d e f o r m a t i o n p o t e n t i a l . t h i s e n r i c h e s p e o p le s u n d e r s t a n d i n g a b o u t c h a o t i c m o t i o n i n h ig h d i m e n s io n a l h a m i l t o n i a n s y s t e m a n d p r o v id e s a p o s s i b le s i m p l e m e c h a n i s m f o r a n u c l e o n , w h i c h i s n o t e a s y t o g e t i n t o t h e c h a o t i c m o t i o n i n a n a x i a l s y m m e t r y p o t e n t i a l , t o t e n d t o c h a o s b y a d d i n g a n o n - a x i a l s y m m e t r i c p o t e n t i a l . k e y w o r d s : n o n - a x i a l s y m m e t r i c o c t u p o l e d e f o r m a t i o n y 3 2 + y 3 _2 , c h a o t i c m o t i o n , a v o i d e d l e v e l c r o s s i n g , c o h e r e n t s t a t e o f t h r e e - d i m e n s io n a l n o n - a x i a l h a r m o n i c s o s c i l la t o r i f 上海师范大学硕士学位论文 第一章:引言 第一章:引言 确定性动力学系统中随机行为即混沌运动的发现被很多科学家喻为 “ 2 0世 纪 物理 学第 三次 最 大 的 革 命” 1i 1 。 对混 沌 现象的 研究 随 着 科学 技 术 尤 其 是计 算 机 技术的迅速发展已渗透到现代科学的各个领域， 对包括物理学在内的许多学科产 生了 深刻的 影响 12 1 。 在这其中， 量子 混沌吸引了 部分 科学家的目 光， 成为物理学 研究中的一个热点问题。 1 .1量子混饨 早在 1 9 世纪末，2 0 世纪初，法国数学家 p o i n c a r e 在研究三体问题的稳定 性时发现， 即使只有两个自由度的保守系统也能作出难以想象的复杂运动。 上世 纪五六+年代以来， 随着k o l m o g o r o v - a r n o l d - m o s e r ( k a m ) 定理【 ， 的 提出， “ 周期 3 意 味着混 沌” 12 1 的 发 现，以 及诸如对保守 系统、 耗散 系统、 散 射系 统等各种不 同体系的大量数值研究， 人们逐渐认识到除了规则运动外， 混沌， 这种不可预测 的确定性运动在经典力学系统中的重要性和普遍性。 按照玻尔的对应原理， 量子 力学应用到宏观运动上所得的结果应与经典力学的结果一致， 所以人们很容易产 生这样的联想: 在量子体系中是否像经典力学系统一样也同样存在着规则运动和 混沌运动这两种不同形式的运动呢?这促使人们对于混沌研究的兴趣向量子体 系延伸。 在经典力学中， 确定性混沌有明确的定义。 它主要与动力学系统的时空演化 对于初值的敏感性相关， 即系统演化过程中相邻轨道呈现指数型分离。 系统的动 力学变量可以用相空间的坐标描述， 系统状态的演化在相空间构成一条轨道。 但 是， 在量子力学中情形就不一样了。由于测不准关系的存在， 量子体系的状态不 可能像经典体系那样用相空间的轨道描述。 另外， 描述量子体系的薛定i4f 方程是 线性方程， 似乎不能将量子力学与非线性相联系。因此， 很难对 “ 量子混沌” 有 一个明确的定义。 到目前为止， 人们对于 “ 量子混沌”的研究主要是通过对量子 现象的分析， 找出量子不规则运动的基本特征， 并阐明它与经典混沌之间的联系 ( 3 ) b o l i g a s 等人首先发现当经典体系从规则运动向 混沌运动转变时， 对应的量 上海师范大学硕士学位论文 第一章:引言 第一章:引言 确定性动力学系统中随机行为即混沌运动的发现被很多科学家喻为 “ 2 0世 纪 物理 学第 三次 最 大 的 革 命” 1i 1 。 对混 沌 现象的 研究 随 着 科学 技 术 尤 其 是计 算 机 技术的迅速发展已渗透到现代科学的各个领域， 对包括物理学在内的许多学科产 生了 深刻的 影响 12 1 。 在这其中， 量子 混沌吸引了 部分 科学家的目 光， 成为物理学 研究中的一个热点问题。 1 .1量子混饨 早在 1 9 世纪末，2 0 世纪初，法国数学家 p o i n c a r e 在研究三体问题的稳定 性时发现， 即使只有两个自由度的保守系统也能作出难以想象的复杂运动。 上世 纪五六+年代以来， 随着k o l m o g o r o v - a r n o l d - m o s e r ( k a m ) 定理【 ， 的 提出， “ 周期 3 意 味着混 沌” 12 1 的 发 现，以 及诸如对保守 系统、 耗散 系统、 散 射系 统等各种不 同体系的大量数值研究， 人们逐渐认识到除了规则运动外， 混沌， 这种不可预测 的确定性运动在经典力学系统中的重要性和普遍性。 按照玻尔的对应原理， 量子 力学应用到宏观运动上所得的结果应与经典力学的结果一致， 所以人们很容易产 生这样的联想: 在量子体系中是否像经典力学系统一样也同样存在着规则运动和 混沌运动这两种不同形式的运动呢?这促使人们对于混沌研究的兴趣向量子体 系延伸。 在经典力学中， 确定性混沌有明确的定义。 它主要与动力学系统的时空演化 对于初值的敏感性相关， 即系统演化过程中相邻轨道呈现指数型分离。 系统的动 力学变量可以用相空间的坐标描述， 系统状态的演化在相空间构成一条轨道。 但 是， 在量子力学中情形就不一样了。由于测不准关系的存在， 量子体系的状态不 可能像经典体系那样用相空间的轨道描述。 另外， 描述量子体系的薛定i4f 方程是 线性方程， 似乎不能将量子力学与非线性相联系。因此， 很难对 “ 量子混沌” 有 一个明确的定义。 到目前为止， 人们对于 “ 量子混沌”的研究主要是通过对量子 现象的分析， 找出量子不规则运动的基本特征， 并阐明它与经典混沌之间的联系 ( 3 ) b o l i g a s 等人首先发现当经典体系从规则运动向 混沌运动转变时， 对应的量 上海师范大学硕士学位论文第一章: 引言 子体系的行为并不体现在某一特殊的能级或量子态， 而是跟量子系统能谱的涨落 性质相关:经典上混沌的量子系统其最近邻能间距分布满足高斯正交系综( g o e ) 统计分布， 经典上规则的量子体系则满足p o i s s o n 分布， 这与随机矩阵理论的预 言相一致3 14 1 5 1 。 人们 猜测， 由g o e 描述的能谱涨落的 统计规律是一种普遍特征， 它是量子混沌运动的一种类属表现。 除了能谱涨落的统计规律外， 经典上对应混 沌运动的量子系统的其他表现还有非定态波函数的时间演化特征、 能量本征函数 的 形 态 特 征 等 3 6 1 虽然人们在研究经典混沌的量子表现方面取得了大量的结论， 但这些量子表 现的动力学原因还不是很清楚。 经典力学中。 相空间中 相点的坐标， 即正则变量， 不仅能唯一地表述经典系统的状态， 而且可用来表述经典系统的动力学量。 当经 典系统状态的动力学演化能表示为正则变换时， 运动是规则的: 若动力学演化在 相空间的大范围内 不能 表示为正则变换时， 系统呈现混沌运动1 6 1 。 徐躬祸研究了 用以表示量子系统动力学量和状态的量子正则变量， 指出了量子正则变换与量子 系统可积性之间的联系6 1 ， 并推导出 经典可积性条件对应的量子可 积性条件， 企 图建立起经典动力学的完全量子对应7 l ， 这对于研究量子混沌的动力学机制是至 关重要的。量子系统趋向混沌运动的过程正是量子正则变换被不断破坏的过程。 注意到相干态波包对于量子正则变换具有不变的性质， 如采用相干态波包作为量 子系统的初态，当量子系统趋向混沌运动时， 相干态波包的这种性质在波包的演 化过程中将随时间增长而破坏，从而可以得到量子系统趋向混沌运动时的特征 1 6 1 。因 此， 动力学方 法来描述量子混沌运动是一个引 人入胜的 课题， 而分析相干 态波包在非线性哈密顿系统中的传播特征则是这种动力学描述的有效途径。 近年来， 实验上观察量子混沌以及半经典近似理论方面也都取得了重大的发 展8 1毫无疑问， 量子混沌的研究必然会对量子力学产生积极的影响，同时也将 对诸如分子、原子、原子核这样典型的量子体系的研究带来新的思路。 1 . 2与形变原子核相关的混沌现象 1 9 8 2 年， h a q , p a n d e y 和b o l i g a 。 分析了2 1 种原子核的总共1 4 0 7 个共振能 级的实验数据， 得到的能谱统计结果与随机矩阵理论一致， 不仅开辟了量子混沌 体系进行能谱统计的新领域3 1 ， 而且也引 起了 人们对于原子核量子混沌现象的关 上海师范大学硕士学位论文第一章: 引言 子体系的行为并不体现在某一特殊的能级或量子态， 而是跟量子系统能谱的涨落 性质相关:经典上混沌的量子系统其最近邻能间距分布满足高斯正交系综( g o e ) 统计分布， 经典上规则的量子体系则满足p o i s s o n 分布， 这与随机矩阵理论的预 言相一致3 14 1 5 1 。 人们 猜测， 由g o e 描述的能谱涨落的 统计规律是一种普遍特征， 它是量子混沌运动的一种类属表现。 除了能谱涨落的统计规律外， 经典上对应混 沌运动的量子系统的其他表现还有非定态波函数的时间演化特征、 能量本征函数 的 形 态 特 征 等 3 6 1 虽然人们在研究经典混沌的量子表现方面取得了大量的结论， 但这些量子表 现的动力学原因还不是很清楚。 经典力学中。 相空间中 相点的坐标， 即正则变量， 不仅能唯一地表述经典系统的状态， 而且可用来表述经典系统的动力学量。 当经 典系统状态的动力学演化能表示为正则变换时， 运动是规则的: 若动力学演化在 相空间的大范围内 不能 表示为正则变换时， 系统呈现混沌运动1 6 1 。 徐躬祸研究了 用以表示量子系统动力学量和状态的量子正则变量， 指出了量子正则变换与量子 系统可积性之间的联系6 1 ， 并推导出 经典可积性条件对应的量子可 积性条件， 企 图建立起经典动力学的完全量子对应7 l ， 这对于研究量子混沌的动力学机制是至 关重要的。量子系统趋向混沌运动的过程正是量子正则变换被不断破坏的过程。 注意到相干态波包对于量子正则变换具有不变的性质， 如采用相干态波包作为量 子系统的初态，当量子系统趋向混沌运动时， 相干态波包的这种性质在波包的演 化过程中将随时间增长而破坏，从而可以得到量子系统趋向混沌运动时的特征 1 6 1 。因 此， 动力学方 法来描述量子混沌运动是一个引 人入胜的 课题， 而分析相干 态波包在非线性哈密顿系统中的传播特征则是这种动力学描述的有效途径。 近年来， 实验上观察量子混沌以及半经典近似理论方面也都取得了重大的发 展8 1毫无疑问， 量子混沌的研究必然会对量子力学产生积极的影响，同时也将 对诸如分子、原子、原子核这样典型的量子体系的研究带来新的思路。 1 . 2与形变原子核相关的混沌现象 1 9 8 2 年， h a q , p a n d e y 和b o l i g a 。 分析了2 1 种原子核的总共1 4 0 7 个共振能 级的实验数据， 得到的能谱统计结果与随机矩阵理论一致， 不仅开辟了量子混沌 体系进行能谱统计的新领域3 1 ， 而且也引 起了 人们对于原子核量子混沌现象的关 上海师范大学硕士学位论文第一章:引言 注。 对于与原 子核 相关的 量子混 沌的研究， 大致可以 分为 两类 9 1 . 1 )讨论实际存在的原子核的混沌运动。引起核子混沌运动的主要原因包 括能量激发、剩余相互作用、对称性破缺等。 z )利用平均场的方法考察单粒子在形变原子核势场中的运动。与原子核 几何形状相关的平均场的对称性决定了 单粒子的运动行为。 第二种方法通常忽略了哈密顿量中单粒子的自 旋轨道祸合项( 1 - s ) 及角动 量平方项 ( 1 z ) ，模型简单，容易处理，但却可以揭示形变原子核发生混沌运动 的原因。下面就平均场方法研究形变原子核混沌运动的状况作一下简述: 在原子核独立粒子模型中，每个核子在由其他核子所产生的平均势场中运 动， 考虑势场的多极形变时， 平均场可以用球谐多极函数展开。当核子处在八极 以上的形变势场中时，由于系统是不可积的，随着形变强度的增大， 核子将出现 混沌运动( 10 1 o w . d h e i s s 等人发现， 对于轴对称八极形变而言， 扁椭球型系统比长 椭球型系 统更容易发生 混沌运动 ( 1 1 1 2 1 。 李君清等从经典的 角度探讨了 发生这种 现象的 原因， 指出 核 势能 面的曲 率对于核子运动的 影响 1 3 14 1 5 1 ，当 核势能面出 现负曲率时，系统将出现混沌运动。 对于重核元素 超形变的描述， 双中心壳模型( t w o - c e n t e r s h e l l m o d e l ) 理论 是十分有效的 1 6 1顾建忠、 吴锡真等在此框架下考察了 单粒子能谱的统计规律， 发 现该体系存在 着混 沌 现象 1 7 19 1 。 尤其 是当 核子 在长 椭球型的 双中 心势场中 运动 时， 他们发现若加了适当的 “ n e c k ”形变后， 长椭球型核子也可以引起混沌运动 f 1 8 以上模型都是轴对称体系的。 当轴对称性被破坏， 势场趋向非轴对称形变时， 系统的角动量在z 方向上的投影不再是运动积分，核子的运动将变得更为复杂。 w . d h e i s : 等人研究了 核子在各种不同的非轴对称八极形变势场中的运动 19 1 ，发 现只有参数取得适当时， 某些非轴对称八极形变系统可以给出壳效应， 否则， 随 着形变强度的增加， 系统将转变为混沌运动。 但他们对体系的混沌运动没有进行 详细的讨论。 原子核中非线性现象的研究丰富了我们对于原子核性质的认识， 使得我们重 新思考原子核中的一些复杂现象。 作为对量子混沌的检验， 反过来也将促进量子 混沌的研究。 上海师范大学硕士学位论文 第一章: 引言 1 . 3论文的研究内 容 论文的主要目 的就是将他人对于形变原子核混沌运动的研究从轴对称情况 推广到非轴对称，将以不能给出壳效应的非轴对称八极形变 y 3 2 十 y 3 -: 为例，重点 分析长椭球谐振子势附加非轴对称八极形变的情形， 从经典和量子两个角度系统 地研究体系的混沌运动。 论文的第二章将从经典上分析体系发生混沌运动的主要 原因; 第三章将数值计算体系的薛定is 方程， 考察单粒子的能级; 第四章将以三 维不对称谐振子相干态波包作为体系的初态考察体系发生量子混沌运动时的动 力学行为; 第五章为结论与展望。 由于实验和理论上的研究表明核子可能存在非 轴对称八极关联 1 9 ， 本文的 研究工作将具有积极的 意义。 上海师范大学硕士学位论文 第二章:非轴对称八极形变y y , - ， 系统的经典混沌运动 第二章:非轴对称八极形变 y 3 2 + y 3 - : 系统的经典混沌运动 在wd h e i s s 等人研究的各种非轴对称八极形变中，唯有巧 2 + 巧 二 形变最趋 向 非 轴 对 称， 最不 稳 定， 不 能 给出 壳 效 应i 9 1 ， 选 择儿 2 + 儿 二 八 极 形 变 研究 非 轴 对 称八极形变系统的混沌运动具有一定的典型性。 在讨论该体系的量子运动前， 我 们将首先探讨体系在经典上发生混沌运动的机制。 同时， 也将介绍一些常用的判 断经典混沌运动的方法。 2 . 1非轴对称八极形变巧 2 + 巧 -2 如果一个粒子在谐振子势附加了八极形变后的势场中运动，其势能可表示 成: v (z ,y ,z ) 一 粤。(兰 ) 2 十 (孝 ) +( 三 ) + ， 艺 a y u ( 2 . 1 . 1 ) 上式中 肠 为召 = o ,1 i ,f 2 ,1 3时的 八极球谐函数， 。为 谐 振子频率， 且 。 = a c o x b w y c ( o , 。 附 加的 八 极 形 变只考 虑儿 . f 儿 - m 的 组合， 并 且 保障组合中 不出 虚数i s 在 不 影 响 研 究 规 律 的 情 况 下 ， 取。 = m 月， 于 是 便 可 得 到y 3 2 十 h _。 形 变 势 1 9 1 : : 二 合 。(去 ) + (尝 ， + (号 ， + ， - (y 2 + y -2 a = 粤 l( x ) 2 + (粤 ) 2 + ( z ) 2 + “ z ( x 一 y 2 ) ix 2 + y 2 + : 2 ( 2 . 1 . 2 ) 该势场是非轴对称的，又 为其形变强度。当形变强度又 逐渐增大达到临界形变强 度2 : 时， 势场将开放至无穷远处。 引入极坐标a = r s in 0 c o s cp ,y = r s i n 0 s i n (p , z = r c o s o则: v ( r , b , (p ) 一 粤 r 2 s i 2 。 (共 c o s t ， 、 共 a- b- s in 。 ) + 牛c o s t 。 + p c o s 0 s in - b ( c o s 2 (p 一 s in v ) ) 按照临界形变强度的 定义 2。 时， 势能必须为一常 数，所以 有: 兄=一 s in e 。 (今 c o s t ， * 共 s in - ， ) 十 粤 c o s t 。 a b一c c o s 6 s i n ， 卯 一 s i n p ) 1-cost b)l( 1 1 1 1( a - 2)w s (p+1 +c2 cos-9cos9(1-cost9)(2cos2 -1) ( 2 . 1 . 3 ) 上海师范大学硕士学位论文 第二章:非轴对称八极形变y y , - ， 系统的经典混沌运动 第二章:非轴对称八极形变 y 3 2 + y 3 - : 系统的经典混沌运动 在wd h e i s s 等人研究的各种非轴对称八极形变中，唯有巧 2 + 巧 二 形变最趋 向 非 轴 对 称， 最不 稳 定， 不 能 给出 壳 效 应i 9 1 ， 选 择儿 2 + 儿 二 八 极 形 变 研究 非 轴 对 称八极形变系统的混沌运动具有一定的典型性。 在讨论该体系的量子运动前， 我 们将首先探讨体系在经典上发生混沌运动的机制。 同时， 也将介绍一些常用的判 断经典混沌运动的方法。 2 . 1非轴对称八极形变巧 2 + 巧 -2 如果一个粒子在谐振子势附加了八极形变后的势场中运动，其势能可表示 成: v (z ,y ,z ) 一 粤。(兰 ) 2 十 (孝 ) +( 三 ) + ， 艺 a y u ( 2 . 1 . 1 ) 上式中 肠 为召 = o ,1 i ,f 2 ,1 3时的 八极球谐函数， 。为 谐 振子频率， 且 。 = a c o x b w y c ( o , 。 附 加的 八 极 形 变只考 虑儿 . f 儿 - m 的 组合， 并 且 保障组合中 不出 虚数i s 在 不 影 响 研 究 规 律 的 情 况 下 ， 取。 = m 月， 于 是 便 可 得 到y 3 2 十 h _。 形 变 势 1 9 1 : : 二 合 。(去 ) + (尝 ， + (号 ， + ， - (y 2 + y -2 a = 粤 l( x ) 2 + (粤 ) 2 + ( z ) 2 + “ z ( x 一 y 2 ) ix 2 + y 2 + : 2 ( 2 . 1 . 2 ) 该势场是非轴对称的，又 为其形变强度。当形变强度又 逐渐增大达到临界形变强 度2 : 时， 势场将开放至无穷远处。 引入极坐标a = r s in 0 c o s cp ,y = r s i n 0 s i n (p , z = r c o s o则: v ( r , b , (p ) 一 粤 r 2 s i 2 。 (共 c o s t ， 、 共 a- b- s in 。 ) + 牛c o s t 。 + p c o s 0 s in - b ( c o s 2 (p 一 s in v ) ) 按照临界形变强度的 定义 2。 时， 势能必须为一常 数，所以 有: 兄=一 s in e 。 (今 c o s t ， * 共 s in - ， ) 十 粤 c o s t 。 a b一c c o s 6 s i n ， 卯 一 s i n p ) 1-cost b)l( 1 1 1 1( a - 2)w s (p+1 +c2 cos-9cos9(1-cost9)(2cos2 -1) ( 2 . 1 . 3 ) 上海师范大学硕士学位论文 第二章:非轴对称八极形变y 3 1 + y 3 - z 系统的经典混沌运动 对( 2 . 1 . 3 ) 式求极小值便可得到势场的临界形变强度z c 本文只考虑谐振子势为长椭球势或扁椭球势附加y 3 2 十 y 3 -2 形变的情况。 表2 . 1 是数值计算得到的不同参数下y 3 2 + y 3 -2 形变的临界形变强度。由于我们研究的势 能 具 有 标 度 不 变 性 即v ( y r ) = 厂 吩) ， 不同 能 量的 等 势 能 面 具 有 相同 的 形 状。 图2 . 1 和图2 . 2 是v = 2 ， 各种不同 椭球加了y 3 2 + 巧 -2 形变在不同形变强度) j a 时的 等势能 面图。图中随着形变强度的增大， 等势能面发生变形扭曲， 而这种变化将对粒子 的运动产生影响。 表2 . 1 不同椭球附加 y 3 2 + y 3 - 2 形变后的临界形变强度凡 不同旋转对称轴的椭球a b x 轴长椭球 y 轴 长椭球 z 轴长椭球 x 轴扁椭球 y 轴 扁椭球 z 轴扁椭球 0 . 5 4 . 4 0 3 7 1 1 . 1 0 0 9 1 . 2 2 . 31 2 0 2 0 - 6 4 9 5 1 0 . 5 1 2 . 5 9 8 1 0 . 5 4 . 4 0 3 7 z a . - o iai a . 0 .5 z 几 = 0 7 亡 v = 2 时部分长椭球势附加y 3 2 + y 3 . 从左到右分别为不同的形变强度。 ， 形变的等势能面。每一行对应同一个形变， 图 2 . 1 a , d , c 对应的体系见表2 . 1 . 等势能面图 上海师范大学硕士学位论文第二章:非轴对称八极形变n+ y , 系统的经典混沌运动 .7 ./ z = 0 . 1c j 毛产 兄 = 0 .5c . 月 少 又 =口了 c 4d43 4a碑2丫 1十上口 0-23 3 v = 2 时部分扁 椭球势附 加y2 十 y_ 2 形变的等势能面.每一行对应同一个形变 从左到右分别为 不同的形变强度。 d , e 、f 对应的体系见表2 . 1 . 图2 . 2等势能面图 2 . 2动力学方程 粒子在y 3 2 + 3 3 _2 形变势场中运动时的哈密顿量为: h 一 粤 (p ? + : : 、 : 乙 : ) + 粤 i(z ) 2 + ( y ) 2 + (? )2 + ; z ( x 2 一 y 2 ) x 2x+ 夕 2 + z 2 ( 2 . 2 . 1 ) 其运动遵守哈密顿正则方程12 0 1 . 1 . 3 ( 2 . 2 . 2 ) 附一再 胡-电 将( 2 . 2 . 1 ) 式代入哈密顿正则方程( 2 . 2 . 2 ) 式得到粒子的动力学方程: d p x = 一 与2 x d t 2 一 a z + 2 7 x z ( x 2 + y 2 + z - ) 2 一 a x _ ( x 2 一 ， 2 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 一 2 1 d p y 1 d t 三 f 2 y 2 b 2 一 2 a y z (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 一 a y z (x 2 一 y 2 ) (x 2 + y 2 + z 2 ) 万) ( 2 . 2 . 3 ) 咖二 dt i _ 2 z_ ， 万 i万 十 截 广一 y a x - c 1 3 + y 2 + z 2 ) 2 一 il- 2 (x 2 一 ， 2 )(x 2 + y 2 + z 2 )万 上海师范大学硕士学位论文第二章:非轴对称八极形变n+ y , 系统的经典混沌运动 .7 ./ z = 0 . 1c j 毛产 兄 = 0 .5c . 月 少 又 =口了 c 4d43 4a碑2丫 1十上口 0-23 3 v = 2 时部分扁 椭球势附 加y2 十 y_ 2 形变的等势能面.每一行对应同一个形变 从左到右分别为 不同的形变强度。 d , e 、f 对应的体系见表2 . 1 . 图2 . 2等势能面图 2 . 2动力学方程 粒子在y 3 2 + 3 3 _2 形变势场中运动时的哈密顿量为: h 一 粤 (p ? + : : 、 : 乙 : ) + 粤 i(z ) 2 + ( y ) 2 + (? )2 + ; z ( x 2 一 y 2 ) x 2x+ 夕 2 + z 2 ( 2 . 2 . 1 ) 其运动遵守哈密顿正则方程12 0 1 . 1 . 3 ( 2 . 2 . 2 ) 附一再 胡-电 将( 2 . 2 . 1 ) 式代入哈密顿正则方程( 2 . 2 . 2 ) 式得到粒子的动力学方程: d p x = 一 与2 x d t 2 一 a z + 2 7 x z ( x 2 + y 2 + z - ) 2 一 a x _ ( x 2 一 ， 2 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 一 2 1 d p y 1 d t 三 f 2 y 2 b 2 一 2 a y z (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 一 a y z (x 2 一 y 2 ) (x 2 + y 2 + z 2 ) 万) ( 2 . 2 . 3 ) 咖二 dt i _ 2 z_ ， 万 i万 十 截 广一 y a x - c 1 3 + y 2 + z 2 ) 2 一 il- 2 (x 2 一 ， 2 )(x 2 + y 2 + z 2 )万 上海师范大学硕士学位论文第二章:非轴对称八极形变 y , z + y , ., 系统的经典混沌运动 ( 2 . 2 . 3 ) 式为一非线性常微分方程组，通常采用4 阶龙格一库塔法数值求解该方 程组2 1 2 . 3 轨道的稳定性分析 对于一个保守哈密顿系统: h (p ,f ) 一 粤 十 。 (。 z ( 2 . 3 . 1 ) 、.lesjj lr一p 2了leeeses又 一一 一声 它在相空间的基准轨道可写为: 将哈密顿正则方程线性化便可得到相临轨道对于基准轨道的偏离2 2 2 3 1 8 = s 髯( 2 . 3 . 2 ) 就 一 个 三 维 哈 密 顿 系 统 而 言 :s = ( 0目 - a 0 ) n们，.上八钊 llc钊nu 2一 一- 吮j .j心 0 屹咋v. 叽叽心 vxx心几 厂ree.esesesesesll、 - a 其中下标表示 v 对坐标求偏导数 当考虑系统在某一时刻的运动特征时: s 可以看成对应于某一时刻基准轨道的一 个常数矩阵。 此时，( 2 . 3 . 2 ) 式有一基本解2 4 1 , s e ( t ) = e x t x 8 最( 2 . 3 . 3 ) 其中， x 为矩阵s 的本征值。这样，系统在某一时刻的运动状况决定于此时s 的 本征值x . 引入一组与势能相关的参量: a , a , = v+ 呱 + v : = = 叽v 、二 + v , .屹 + t r ( a ) v - v z 一 v - 一 v ,_ 一 v , a = v x v v : + 2 v , v _ v y 一 v , v ,_ 一 v ,v z 一 v : 心一 d e t ( a ) a=a , a , 一a , ( 2 . 3 . 4 ) 故某一时刻 s的本征值方程可写为: x s + a , x 4 + a , x 2 + a ; = 0( 2 . 3 . 5 ) 令x =x z ，则有: 上海师范大学硕士学位论文第二章:非轴对称八极形变 y , z + y , ., 系统的经典混沌运动 ( 2 . 2 . 3 ) 式为一非线性常微分方程组，通常采用4 阶龙格一库塔法数值求解该方 程组2 1 2 . 3 轨道的稳定性分析 对于一个保守哈密顿系统: h (p ,f ) 一 粤 十 。 (。 z ( 2 . 3 . 1 ) 、.lesjj lr一p 2了leeeses又 一一 一声 它在相空间的基准轨道可写为: 将哈密顿正则方程线性化便可得到相临轨道对于基准轨道的偏离2 2 2 3 1 8 = s 髯( 2 . 3 . 2 ) 就 一 个 三 维 哈 密 顿 系 统 而 言 :s = ( 0目 - a 0 ) n们，.上八钊 llc钊nu 2一 一- 吮j .j心 0 屹咋v. 叽叽心 vxx心几 厂ree.esesesesesll、 - a 其中下标表示 v 对坐标求偏导数 当考虑系统在某一时刻的运动特征时: s 可以看成对应于某一时刻基准轨道的一 个常数矩阵。 此时，( 2 . 3 . 2 ) 式有一基本解2 4 1 , s e ( t ) = e x t x 8 最( 2 . 3 . 3 ) 其中， x 为矩阵s 的本征值。这样，系统在某一时刻的运动状况决定于此时s 的 本征值x . 引入一组与势能相关的参量: a , a , = v+ 呱 + v : = = 叽v 、二 + v , .屹 + t r ( a ) v - v z 一 v - 一 v ,_ 一 v , a = v x v v : + 2 v , v _ v y 一 v , v ,_ 一 v ,v z 一 v : 心一 d e t ( a ) a=a , a , 一a , ( 2 . 3 . 4 ) 故某一时刻 s的本征值方程可写为: x s + a , x 4 + a , x 2 + a