（应用数学专业论文）一个摆方程的次谐波分支和混沌性质.pdf

龟明理i 大学礤士学位论文 摘要 全文分六大节。 第一节为引言，简单介绍我们所要研究的二阶方程。该系统的未扰动系统在相平面 上存在两类不同的同宿轨道。第二节研究了未扰动系统的定性性质并给出了所有相轨 道的参数表示。同时，还研究了所有周期族的周期映射的性质。在第三节里，我们计 算m e l n i k o v 积分进而得到分支条件。第四节研究了扰动系统的轨道的同宿穿插并给出 了参数空间的分割。第五节里，我们讨论了由次谐波分支通向s m a l e 马蹄意义下的混 沌的途径。第六节考虑了一个较简单方程的随机层和共振层的动力学性质。 关键词：混沌性质，次谐波分支，m e n i l o v 方法，参数激励和受迫激励，随机层和 共振层的动力学性质，椭圆积分。 a b s t r a c t t h e p a p e ri n c l u d e ss i xs e c t i o n s i nt h ef i r s ts e c t i o n ，t h es e c o n do r d e re q u a t i o nw h i c hw e s h a l ld i s c u s si si n v e s t i g a t e d t h eu n p e r t u r b e d s y s t e mh a st w ot y p e so fh o m o c l i n i co r b i t s i n s e c t i o n2 ，w e s t u d yt h eq u a l i t a l i v ep r o p e r t ya n dg i v ea l lp a r a m e t r i cr e p r e s e n t a t i o n so fp h a s e o r b i t sf o rt h eu n p e r t u r b e ds y s t e m w ea l s oi n d i c a t et h e p r o p e r t i e so f t h ep e r i o d i cm a p so fa l l p e r i o d i cf a m i l i e s i ns e c t i o n3 ，w ec a l c u l a t et h em e l n i k o vi n t e g r a l st oe s t a b l i s hb i f u r c a t i o n c o n d i t i o n s s e c t i o n4i n v e s t i g a t e sh o m o c l i n i ct a n g l e so ft h ep e r t u r b e ds y s t e ma n d g i v e st h e p a r t i t i o n so f t h ep a r a m e t e r s p a c e i ns e c t i o n5 ，w ed i s c u s st h er o u t e so fb i f u r c a t i o nt oc h a o s i nt h es e n s eo fs m a l eh o r s e s h o e sa p p e a rb ys u b h a r m o n i cb i f u r c a t i o n s i ns e c t i o n 6 ，w e c o n s i d e rt h ed y n a m i c so f s t o c h a s t i ca n dr e s o n a n t l a y e r f o ram o r e s i m p l ee q u a t i o n k e yw o r d s ：c h a o t i cb e h a v i o u r ，s u b h a r m o n i cb i f u r c a t i o n s ，m e l n i k o vm e t h o d ，p a r a m e t e r i c a n df o r c e d e x c i t a t i o n ，d y n a m i c so f s t o c h a s t i ca n d r e s o r l a n tl a y e r , e l l i p t i ci n t e g r a l 1 1 甚璃理i 大学硬士学往沧空 前言 m e l n i k o v 方法是研究混沌现象的一种解析方法。 物理和力学中很多问题，可以归结于讨论带有弱周期扰动项的具有同宿轨道或异 宿圈的二阶常微分方程。对于这类系统，利用一定技巧，可以建立二维庞加莱映射e m e l n i k o v 方法就是用来判定这类系统的二维庞加莱映射具有s m a l e 马蹄变换的解析方 法之一。按照动力系统理论，如果一个平面映射存在s m a l e 马蹄变换，这个映射就具 有反映混沌属性的不变集。因而，我们通常就认为，可以用m e l n i k o v 方法来判定系统 具有s m a l e 马蹄变换意义下的混沌。还应指出，如果二阶常微分方程具有一族周期轨 道，那么，当这个系统带有周期扰动时，m e l n i k o v 方法还可以用来判定次谐波分支轨 道的存在。 m e l n i k o v 方法的核心思想，是把所讨论的系统归结于一个二维映射系统，然后推 导该二维映射存在横截同宿点的条件，从而证实了映射具有s m a l e 马蹄变换意义下的 混沌。至于系统的横截同宿点的判定，m e l n i k o v 所发展的方法是通过度量流的 p o i n c a r e 映射的双曲不动点( 周期点) 的稳定流形和不稳定流形的距离来确定。也就 是说当相应的m e l n i k o v 函数存在简单零点时，系统具有s m a l e 马蹄变换意义下的混沌。 另外，次谐波分支轨道的存在性也可以通过次谐波周期解的m e l n i k o v 函数是否存在简 单零点来判定。 本文应用m e l n i k o v 方法研究了个工程应用模型 0 ”= s i n 令( c o s 0 - a 2 ) 一硒+ f 1 3 ( 1 一c o s 2 8 ) 0 + f 8 c o s e ) z 的动力学行为，不仅揭示了当艿= s ，占充分小时该系统的次谐波分支的存在性，还判 定了此时系统具有s m a l e 马蹄交换意义下的混沌。 此外，对于周期受迫的摆方程的随机层和共振层相关问题也十分受人们的关注( 见 文献 8 ) 。本文重点探讨了系统 的随机层和共振层的动力学性质。 本文的写作得到了导师李继彬教授的悉心指导和帮助，特此谨致衷心感谢! 限于作者现有的水平和能力，本文难免存在许多不妥，不够全面。敬请各位老师 指正! 昆明理工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下( 或 我个人) 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：像而吱 日 期：加弓年1 0 月2 j 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守) 导师签名：j ：l 望幺论文作者签名：篮函五5 日 期：丝! j 生望旦兰旦 昆睛理i 大学礤士学拉论_ 史 第一节引言 1 9 9 6 年，m f d a b b s 和p s m i t h 2 研究了一个二阶方程 0 ”= s i n o ( c o s 0 一口2 ) 一韶+ 卢艿( 1 一c o s 2 0 ) o + f 6 c o s r o r ， ( 1 1 ) 其中= 著。这是一个工程应用模型。在 2 中，作者仅考虑系统( 1 1 ) 的部分m e l n i k o v 函数，给出了一些计算和研究结果，未对同宿分支及次谐波分支给出完整的理论分析。 本文将考虑如下小参数系统： 毋= x ，量= s i n o ( c o s 0 一口2 ) + 6 ( 2 p x s i n2 护一x + f c o s a , t ) ，( 1 2 ) 。 其中，我们假设( 1 1 ) 中占= s ，s 充分小，对给定的系统进行完整的m e l n i k o v 分析。 未扰动系统( 1 2 ) 。：。在相平面上有两类同宿轨道：类类似于平面非旋转摆方程的 两条同宿轨道，另一类类似于软弹簧d u f f i n g 振荡系统的8 字形的同宿轨。由于未扰 动系统的同宿轨道和所有周期轨道的参数表示都可以借助于双曲函数和椭圆积分算出 来，因此由m e l n i k o v 方法可以得到参数空间上的分支条件。我们还可以理论分析扰动 系统的混沌域和通向混沌的路线。在特定的参数条件之下，扰动系统不仅存在由摆型 同宿轨道产生的同宿穿插，d u f f i n g 型同宿轨道产生的同宿穿插，而且还存在组合型 的同宿穿插以及所有可能形式的次谐波分支。 该扰动系统不同于扰动摆方程，也不同于d u f f i n g 振荡系统的特点在于本文的未扰 动系统存在一族振荡周期解，该周期轨道的周期映射有一临界点。因此，我们需要认 真研究次谐波分支问题。在一定的参数条件之下，对同一族未扰动闭轨有两个不同的 次谐波分支序列。根据m 取奇数取偶数不同情形，我们得到不同阶数的次谐波分支序 列。 星螭理i 大学磺士学位论文 第二节非扰动系统的定性性质 未扰动系统( 1 2 ) 。：o 关于口是周期的。因此，( 1 2 ) 。：。可以理解成是定义在相柱面 s 1 r 上，其中s 1 = 一万，玎 ，( 见图1 ) 。未扰动系统的h a m i l t o n 函数是 n ( o ，x ) = x 2 + c o s 2 a 一口2c o s 0 = h + ( 1 4 一口2 )( 2 ，1 ) 在第2 - 5 节中，我们恒假设0 口2 1 。此时，未扰动系统有5 个奇点：o ( o ，0 ) c 。( + a r c c o $ 口2 , o ) ，墨( 万，o ) ，o 和s 是鞍点，c 是中心。兹记 h o = h ( o ，o ) = 0 ，h 。= h ( a r c c o s a 2 ，o ) = 一 ( 口2 一1 ) 2 ，k = h ( t c ，o ) = 2 a 2 。 h ，o 一 牙。慰 代宁嵫 渺 t 乙乒 村 图1 ( 1 2 ) 。：o 的相图( 0 口2 1 ) 当 取不同的值，( 1 2 ) 。；。的相轨道可以分成以下几类。 ( 1 ) 当也 0 时，系统存在包围中心c + 和c - 的周期轨道族缸 ，该轨道的参数 表示为 q ( ) = 翌a r c t a n ( 口1 a n ( n l f ，k ) ) ，x ( r ) = 干警鬻要卷警皆， ( 2 - 2 ) 其中口? = 巫学，b ；= 监掣， k ；= ? 一6 7 ) 口? ，q ；= ( 2 a 2 一 ) d ? 2 ，s n ( “，女) ，c ”( “，七) ，a n ( “，女) 是关于模女的椭 圆函数a 咄的周期是五( | 】 。) = 2 k ( k 。) i n ，k ( 七) 是第一类完全椭圆积分。 ( 2 ) 当 = o 时，系统存在d 够馏型同宿轨道( r 1 0 ，其参数表示为 q 一( r ) = 2 a r c t 叫苦磊荔) ，_ a o ) = 千嚣焉恻鼍，) 2 鞋睛理i 大学硕士学位论文 ( 3 ) 当o 自 2 d z 时，系统存在包围三个奇点c ，o 的扳动型轨道族艇扣其参 数表示为 g o ( r ) = 2 a r c t a n ( 玎：c n ( f ) 2 t , 七：) ) ，x ：。( f ) = 一i ：；i 畿，( o 蛭) ，( 2 - 4 ) 其中，h ；将在命题2 1 中定义。 ( t ) = 2 a r c t a n ( 糍筹皆) ，t a ( ，) = 而2 b z 再k z f l l 丽c n ( f l l t , k 2 ) ，( h i o ，f 0 。令以上的m e l n i k o v 函数等于零得到以下参数空间的同宿分 支集的门槛值。 r = r ；( 卢，国，口) = p ；昔一每i = l 可鲁万一面妨j ， ( 3 1 2 ) r = r ，( f l ，a ) = l ；兰一卺l = l 可鲁可一面古d ，( 3 1 3 ) 类似地，我们得到给出次谐波分支的门槛值为 r = r t ( p ) = i 赤一搿制= i 南一赢l ， ( 3 1 4 ) r = 赡“( ) 2 i 案篇一豢舞j = j 瓦一丽蚓， ( 3 1 5 ) = 船= 亡，( 3 “) r = r ( ) = j 耥一铡= i 瓦一硫b | ，( 3 1 7 ) = 糕= 七，( 3 1 8 ) r 2 彤( 卢) 2 l 端一孟枯i = | 南一豳j ( 3 1 9 ) 邑臻理i 大学碗士学位论文 第四节( 1 2 ) 。的同宿穿插 在这节里，我们将用第三节里得到的m e l n i k o v 函数来分析( 1 2 ) 。的同宿轨分支。 l e m m a4 1 对一给定的口0 口2 1 ) ，函数厶1 ( c o ，口) 和1 3 2 细，口) 关于是振动的， 并以= 鼎，珊= ( 1 忑2 - 1 = ) 而厮# ( ，= o ，1 ，2 ，) 作为基零点。而且，当，- 。时， 1 1 3 爪_ ，= l ，2 ) 的最大模趋于零a 这个引理的证明不太复杂a 我们在图2 中给出了当= 孚时函数l 。( 珊，) 和 1 3 2 ( 埘，) 的图象。 1 05 一 工3 l ( u ，翻 3 n 12： u 名 b 2 ，o o ： 图2 当= 孚时函数l 。( o a ，) 和l ： ，) 的图象 为了考虑扰动系统的混沌性质，我们只研究0 面的情形，其中， 面=min：羔，兰=min。(口)，国：，(口)。i 2 c o s h - 。( 1 ，口os i a h 一1 ( 1 i 口0 、” 2 r 7 。 对给定的口( o 口2 1 ) ，a ( o ，口) = 等等，b ( c o ，口) = 等等，c ，口) ：笔筹和 d ( o a ，口) 2 酱( 0 吾时，：= 可古可一可b ，( 4 ，1 1 当卢 鲁时，日一。1 。， 4 _ 1 。丽l ，f 4 2 1 当d 苦时，4 = 南一击， ( 4 ，3 】 7 当夕 舌时，砖= 一可古万芦+ 百专两。 15 q 1 。 必 r 可1 o 12： 、 05 z 。 q | | u 12 ： “ ( 4 4 ) ( 1 ) a ( o j ，) 和c ( c o ，6 f o ) 的图象( 2 ) b ( 国，) 和d ( t o ，铴) 的图象 图3 当= 警时函数爿 ，) ，b ，) ，c ( ，) ，d ( c o ，) 的图象 另外，我们还得到以下引理： l e r n m a 4 2 给定一数对( ，口) ，口满足0 a 2 ( 1 ，满足0 2 ) 使得a ( c o l ，口) = c ( o j l ，b ( 0 2 ，口) = d ( o ) 2 。a - ) 。而且有： ( 1 ) 若oe ( o ，0 ) 2 ) ，则a ( c o ，口) c ( 国，a ) ，b ( c o ，a ) d ( 出，8 ) ； ( 2 ) 若国= 0 ) 2 ，则a ( c o ，口) d ( m ，a ) ： ( 5 ) 若f - oe ( c oi9 西) ，则a ( c o ，口) c ( c o ，盘) ，b ( c o ，口) d ( o j ，口) 。 根据这个引理，我们得到( 屈f ) 一平面上的第一象限的一个分划，它被四条直线 艺2 ，学划分为不同的区域。由m e l n i k o v 方法知，如果条件f r ；( ，口) 或 f 鲜( p ，口) 满足，系统( 1 2 ) ；有d , f f i n g 型或摆型同宿穿插。通过分析分支集，我们 得到图4 和以下定理。 定理4 1 x a ( 0 0 ，及o s 1 ，若( o ，茁) ，则在 ( 屈r ) 一平面上的不同的区域里，( 1 2 ) 。的p o i n c a r e 映射有四种不同类型的同宿穿插。 昆确理i 太学硬士学位论立 i 移_ i = 古 r 8d 爿( 翻，口) c ( ，a ) a n d 占( 。，口) d ( ，口) 爿( 缈，口) 0 和m ，存在唯一的k l = ( m ) ( | i l 满足m = o ”o k ( k o ，h ，使得当 h = h ( k 。) ) 时，轨道矸是系统( 1 2 ) 。的非共振闭轨。 ( 2 ) 如果m 引2 k ( k ；) t v 。，砸：( 鹾) ，( 其中巧和h ；在命题2 1 中给出) ，那么对给定 的m ，存在唯一的k ：= k 2 ( 掰) ( 女2 满足掰= 掣) ，使得当h 。= 施( 2 ) ， h ：= h z ( k ：) 时，轨道吃和磁是系统( 1 2 ) 。的两条非共振闭轨。 上面的非扰动共振轨经过扰动以后，若同时还满足次谐波分支条件，则扰动系统将 存在m 一阶次谐波解。为了研究分支结果，我们先引入下列引理。 引理5 1 对于j = 1 , 2 ，3 和任给定的a ( o 口2 1 ) ，以下关系成立： l i m j ( 肌) = 1 , 1 ( 朋) ，l i r aj d ( 哟= i a 3 ( 掰) ， l i m j 三( m ) = 2 1 ，2 ( 晰) ，l i r a ，羔( m ) = 2 l 2 ( m ) ( 5 1 ) 由这个引理，可知，当( 0 ，面) 时， l i m a m ( ，a ) = 婪爨爿2 m + l ( ，口) = z ( c o ，口) ， ( 5 2 ) 璺翼b 一( c o ，口) = 里妥b z m ( c o ，口) = b ( 国，口) ， ( 5 3 ) 璺黑c m ( ，口) = 曼婴c ：m + t ( 国，口) = c ( c o ，口) ， ( 5 4 ) l i r a d , ( c o ，口) = 量恶d 2 。( ，口) = d ( ，口) ( 5 5 ) 根据引理5 1 ，当m 充分大时，在同宿分支集的直线附近，我们有三个直线序列： 当p 詈时，三_ ：f = 忐一去， ( 5 6 ) 1 0 一璺竺坚整壁丝坚一 一一一。 当p 罟时，岛：r ：一志+ 厕1 ， ( 5 7 ) 当p 吾时，如：r = 赤一砥1 而， ( 5 8 ) 当芦 鲁时，三2 ，：f = - 云+ 瓦而i i ( 5 9 ) 而且，系统还存在偶数阶次谐波分支： 工磊：= ，磁：声= 瓦i ( 5 1 0 ) 显然地，上面两列直线趋于直线：= ，= 亡。因此，我们有以下定理。 定理5 1 对给定的a ( o o ，及o 占 1 ，f ，甜是激励幅度和激励频率。我们将得到类似于 8 】的结果。 系统( 6 1 ) 的h a m i l t o n 函数为 h ( o ，墨f ) = x 2 + r c o s 2 0 一口2 c o s 0 一f 0 c o s c o t 它的不依赖时间的函数为h o = x 2 + c o s 2 0 一d 2 c o s 0 ，时间依赖函数为 h i = 一f 0 c o s 国t 。 6 1 能量增量和共振条件 类似于( 1 2 ) 。，( 6 1 ) 可以理解成是定义在相柱面s 1 r 上，其中s 1 = 【一万，7 r 。因此， 我们仅仅考虑当0 - x ，7 r 的情形。( 6 1 ) 的保守系统有一个中心( o ，o ) 和两个鞍点 ( + 万，o ) 。同宿轨道将相空间分成振动层和旋转层。假设h 。= h + 一口2 ，其中，h 是 h a m i l t o n 。同宿轨道，振动轨道和旋转轨道的参数表示如下。 两条同宿轨道的参数表示为 钟( f ) = _ - k 2 a r c t a n 学) ，x 翱= 筹蒜舞裔， ( 6 2 ) 其中，上标0 代表非受追摆动。 振动轨道的参数表示为 钟( f ) = 2 a r c t a n e 器嚣争) ，x m = 丽2 b t 瓣k ，f l t c n 而( f l t t , 而k t ) ， ( 6 3 ) 其中，0 h 2 c z 2 ，杉= 6 7 ，砰= i k ? ，谚= 掣。自然频率脚，和周期丁，是 r = 掣，( o r = 等= 嵩。( 6 6 ) 同宿轨道将( 6 1 ) 的随机层分成振动层和旋转层。振动分界线和旋转分界线附近层 称为振动共振层和旋转共振层。 ( 6 1 ) 的对应于振动层的时间依赖h a m i t o n 函 h t = 一f o c o s c o t r 8 7c o s t = 一r c o 洲j 嚣鬻黑办 一2 r 善筹s t n 哿s e c r ( 2 n - 1 ) m 。 ( k t ) 。( s i n ( ( 2 n 一1 ) c o ，+ c o ) t + s i n ( ( 2 n - 1 ) o ? ；一c o ) t ) ， 佰7 ) 其中，满足咖( “。) = 一撕二万丽。 ( ( 2 n - 1 ) ：1 ) 基本共振附近，酬中除了共振项外其它项在一个周期2 石山区间上 平均值等于0 。因此，振动共振条件和相应的模为 ( 2 n - 1 ) c o ，卸，( 砰”1 ) 2 = 蜓帮铲，( 6 - 8 ) 其中，砰”1 ( 2 n 1 ) 一阶振动共振保守能量。 类似地，( 6 1 ) 的旋转层的时间依赖函数日近似为 h j = 一f o c o s t o t r e oc o s t 一一r c o s 耐j 篇戮幽 = 千 器，c o s 酬+ r 薹学c 。s 器s e c 矗帮 ( 8 i n ( 埘却r + 国弘+ s i n ( m o o ，一印弦) 】， f 6 9 1 其中，q 满足d n ( u ，) = 菩。 在( m ：1 ) 基本共振附近，叫中除了共振项外其它项在周期2 万珊上平均为o 。因此， 旋转共振条件和相应的模为 蝴，= 缈，2 2 矗蔫鬈焉，( 6 加) 量踢理i 大学硬士学位论文 其中，”是m 一阶共振保守能量。 非扰动振动( 2 n 1 ) 一阶共振轨道的近似能量增量为 心；。r n ? c 。s m o + f 0 ) a t = 严i x 。c o s ( o ( f + t o ) d r = 4 r f f c o s c o t 。s i n 净s e c 是望错铲 非扰动旋转肌一阶共振轨道的近似能量增量为 a t - z ；zff x ：c 。s c o ( r + f 。) a t = 广n ? c 。s o g ( t + t o ) a t = - t - 2 才c o s c o t 。c o s 景器s e c 等等 同宿轨道的近似能量增量为 删+ _ 2 n f c 。s o ) t 0c o s 訾s e c 6 寿 其中，s i n h 。1 ( “) s i n h ( u ) 的反函数。 6 2 随机层 映射 ( 6 1 1 ) f 6 1 2 ) ( 6 1 3 ) 从能量增量( 日：和日；) 及相改变，我们得到( 2 ”一1 ) 一阶振动共振轨道的砌曲k e r 囊+ l z h i + 4 才s i n 净s e c h ( 2 n 耵- 1 ) r d c ( k | ) c o s 伊 及纯“= 吼+ 等等。 类似地，我们有脚一阶旋转共振轨道的砌括k e r 映射 曩+ l 4 厅，+ 2 r c f s i n 专器s e c 厅等警c o s 纪 及孵+ - = 吼+ 焉警， f 6 1 4 ) ( 6 1 5 ) ( 6 1 6 ) ( 6 1 7 ) 其中，红= q ，曩是保守能量。 当够+ - 一竹2 2 ( 2 月一1 沙时，我们得到共振能量砰“。同时，当l + ：h i 2 n - i , 囊：2 口： 时，( 2 n 1 ) 一阶振动共振轨道的激励幅度r 为 1 4 昆鹤理i 丈学硬士学位论文 r ：竺i h l - - 2 a 譬i c o s h ， 1 一 一m 等等 其中，国= 丽( 2 n - 1 ) l l i 邝一2 巫器铲。 m 阶旋转共振轨道的激励幅度r 近似为 f 6 i s ) r ：警， ( 6 1 9 ) 1 2 fc o s ! l 、”1 7 ， 其中，脚= 品，( 2 = 丽餐。 h ：关于振动层和旋转层的聊出k e r 映射为 h i h i + 2 r o y c 。s c d oc o s 兰笋s e c 6 意。o s 红， ( 6 2 0 ) 其中，竹+ i = 纪+ 掣和 h m 曩+ 2 n f c 。s c o s 竺蔫等韭s e c 厅意。o s 识，(621)2l + d 一l + 口 、 其中，吼+ 。= 识+ 里警盟。 上面方程的( 2 n 1 ) 一阶自由共振轨道的激励幅度r 近似为 f 2 , , - 互- , 丑- - - - - 五厢广，(622)2，rcos ! 磐：堑! ! l o 埘阶旋转共振轨道的激励幅度r 近似为r = 芝；：；! i 妻。 ( 6 2 3 ) 6 3 共振层 分析两个共振层的存在性的条件需要分别讨论，这是因为自由层和旋转层的共振 条件( 6 8 ) 和( 6 9 ) 是不同的。 ( 1 ) 振动共振层 ? ”1 附近的能量可表示为 h ，= 砰”1 + a h ，= g ? “a h , ，和织= 霄“+ 旃， f 6 2 4 ) 其中，研”= a ( p ( 啊+ t ) ) 纸+ ii ：a ：d - i f ( 6 1 4 ) 和( 6 1 5 ) 化为“w + 量c o s 破和谚+ lz 谚+ w 。，其中， 星明理i 大学硬士学位论文 曼= 4 r s i n 丽( 2 n - l 巧) “os e c 【号器学】i g ? “伊。一 口【( f ( i ) 一( i ；2 肛。) 2 r ( 砰扣1 ) x 口2 ( 口2 一1 ) + 砰卜。) 一2 ( n 卜1 ) 2 ( 砰卜1 ) 2 ( t 麴：苎坐! 一f 1 ) 1 ( n ”1 ) 7 ( 砰”1 ) 2 ( 2 n - i ) 2 q ；”1 = q ，( 砰”1 ) 。 ( 6 2 5 ) f 6 2 6 ) 当( 2 n 一1 ) 一阶振动共振层和( 2 ”+ 1 ) 一阶振动共振层相交时，这个共振层将消失。 当( 2 n 一1 ) 一阶振动共振层消失时，其激励幅度r 为 ，脚竺丢掣 h i 硬尊! l ( 2 ) 旋转共振层 类似地，矽附近的能量可表示为 _ = ? + a h , ，w i = g ，幽，和仍= 妒? + 其中，g ? = o ( z x 妒( h m ) ) 矾+ k f - 所以我们得到+ iz w i + 置c o s 或和以+ l 。痧q - w i + l 其中，e = 2 f c o s 器s e c h 篑釉l g ? t ， g ? = 一坦丛盟幽唑器器辨业蚴蚴， 且q ? = q ，( 矽) 。同时，当m 一阶旋转共振层消失时，其激励幅度r 为 r n 2 “2 k “赤 1 一2 x c w s = j ：i 。 _ 1 + 口 1 6 f 6 2 8 ) f 6 2 9 ) ( 6 3 0 ) ( 6 3 1 ) 昆磺理i 太学硬士学位论文 致谢 首先，我衷心感谢导师李继彬教授在这两年多时间里对我的培养和指导。导师严 谨的治学态度，渊博的知识，敏捷的思维，高尚的人格和道德情操为我树立了良好的 榜样，使我受益非浅，令我终生难忘。 同时，我深深感谢理学院的张振良教授，林怡平教授，房辉教授和李庶民副教授 等老师在学习上给予的悉心指导。此外，我要感谢冯大河，李红，溥冬梅，周宏宪， 申建伟，张骥骧等同学的有益探讨和帮助。 最后，我特别感谢我的父母和亲人，他们给予了我全力的关心和支持，使我得以 健康成长并j 顺利完成学业! 黾硬理i 大学硬士学位论文 参考文献 【i 】b y r d ，p fa n df f i d m a n m d 【1 9 7 1 】h a n d b o o ko fe l l i p t i ci n t e g r a l sf o re n g i n e e r sa n d s c i e n t i s t s ( s p r i n g e r , b e r l i n ) 【2 】d a b b s ，m fa n ds m i t h ，p 【1 9 9 6 “c r i t i c a lf o r c i n gf o rh o m o c l i n i ca n dh e t c r o c l i n i c o r b i t s o f a r o t a t i n g p e n d u l u m ，”j s o u n da n d v i b r a t i o n l 8 9 ，2 3 1 2 4 6 【3 】g u c k e n h e i m e r , j a n dh o l m e s ，p j 19 8 3 】n o m i n e a ro s c i l l a t i o n s ，d y n a m i c a ls y s t e m s a n db i f u r c a t i o n so f v e c t o r f i e l d s ( s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ) ， 【4 h a r t ，pr s a n dl u o ，a c j 19 9 8 “r e s o n a n tl a y e r si nn o n l i n e a rd y n a m i c s ，”a s m e j a p p l m e c h 6 5 ，7 2 7 - 7 3 6 5 】5h a r t ，p r s a n dl u o ，a c j 1 9 9 1 】“r e s o n a n ts e p a t r i xw e b si nt h es t o c h a s t i cl a y e r so f t h et w i n - w e l l d u f f m go s c i l l a t o r , ”n o n l i n e a rd y n 6 5 1 7 3 1 8 7 【6 6 j i b i nl ia n db a o h u a w a n 【1 9 8 9 】 “c h a o sa n ds u b h a r m o n i cb i f u r c a t i o n si nt h e p e r i o d i c a l l yf o r c e ds y s t e mo f p h a s e d - l o c k e d l o o p s ，”a n n d i f f e q n s 5 ，4 0 7 4 2 6 【7 】k e n g h u a tk w e t a n dj i b i nl i 1 9 9 6 “c h a o s d y n a m i c sa n ds u b h a r m o n i cb i f u r c a t i o n si n an o n l i n e a rs y s t e m ，”i n t j n o i l l 加e a rm e c h a n i c s 3 1 。2 7 7 2 9 5 【8 】l u o ，a c j a n dh a n ，p r s 2 0 0 0 】“t h ed y n a m i c so f s t o c h a s t i ca n dr e s o n a n tl a y e r s i na p e r i o d i c a l l yd r i v e np e n d u l u m ，”c h a o s ，s i l o t o n sa n df r a c t a l s3 1 ，2 7 7 2 9 5 f 9 s h a w , s twa n dw i g g i n s ，s 1 9 9 8 “c h a o t i cd y n a m i c so faw h i r l i n gp e n d u l u m ” p h y s i c a d 3 1 ，1 9 0 - 2 1 1 1 0 s n c h o wa n ds s h a w , b i f u r c a t i o n so f s u b h a r m o n i c s j d i f f e q n s6 5 、3 0 4 3 2 0 ( 1 9 8 6 ) i n j g u c k e n h e i m e ra n dpj h o m e s ，n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n s ，d y n a m i c a ls y s t e m sa n d b i f u r c a t i o n so fv e c t o r f i e l d s a p p l i e dm a t h e m a t i c a ls c i e n c e ，v 0 1 4 2 s p r i n g e r , b e r l i n ( 1 9 8 3 ) 1 2 】f c m o o n ，j c u s u m a n oa n dej h o m e s ，e v i d e n c ef o rh o m o c l i n i co r b i t s a sa p r e c u r s o r t