（凝聚态物理专业论文）社会系统中催化驱使的聚集动力学研究.pdf

曲阜师范大学硕士研究生学位论文 摘要 聚集生长现象是自然界中类很普遍、很重要的现象，它广泛存在于物 理学、生物学、化学、医学以及社会学领域中。最初对聚集现象的研究集中 子纯粹的粒子集团问的聚集过程，但近年来，这方面的研究已经深入扩展到 包含多种不同的反应机制的复杂的聚集过程，特别是社会学和经济学领域中 各种抽象的聚集现象越来越引起人们的兴趣。 本文从平均场理论出发，运用s m o l u c h o w s k i 速率方程法，主要研究了社会 及经济系统中催化增加及催化减少在传统的聚集过程中对聚集集团演化动 力学行为的影响。主要内容如下： 1 研究了两个一种类粒子集团中伴随催化增加及相互催化增加的迁移 聚集过程。结果表明，在伴随催化增加的迁移模型中，集团粒子浓度分布 a ：( t ) 随时间的演化取决于催化速率系数p ：( 1 ) p 0 时，a ：( t ) 满足传统 标度律，( 2 ) d 0 时，a ：( t ) 满足修正的标度律；在伴随相互催化增加的迁 移模型中，在不同的d 值时，系统的演化行为分为两类：( 1 ) ，0 时，满 足传统的标度律，( 2 ) ， 0 时，系统发生凝胶相变。 2 研究了三种类粒子集团中伴随有催化增加和催化减少相互竞争的迁 移( 聚合) 过程，结果表明，( 1 ) 当迁移( 聚合) 过程在整个聚集过程中占 统治地位时，集团粒子浓度分布q ( ，) 满足传统标度律；( 2 ) 当催化增加过程 占统治地位时，集团粒子浓度分布q ( f ) 满足传统的标度律或者修正的标度 律；( 3 ) 当催化减少过程占统治地位时，集团粒子浓度分布嚷( f ) 的标度性受 到了彻底的破坏。 关键词：聚集动力学，速率方程，标度律，迁移，催化增加，催 化减少 曲阜师范大学硕士研究生学位论文 a b s t r a c t t h ep h e n o m e n o no f 剐瞻球罾抵g r o w t hi sp o p u l a ra n di m p o r t a 丑tf o raw i d e v a r i e t yo ff i e l d si nn a t u r e ，s u c ha sp h y s i c s ，b i o l o g y , c h e m i s t r y , m e d i c i n ea n d s o c i o l o g y t h eo d g i n a l l y s t u d i e dm e c h a n i s mi st h e p u r ed u s t e r - c l u s t e r a g g 陀g a t i o np r o c e s s , b u tr e c e n t l yt h er e s e a r c h e sh a db e e ns t e a d i l ye x 怔啦d e dt o a g g r e g a t i o np h e n o m e n aw i t hm u c hc o m p l e xm e c h a n i s m s e s p e c i a l l y , m u c h a t t e n t i o nh a sb e e nd e v o t e d 幻t h eg e n e r a l i z e da g g r e g a t i o np h e n o m e n ai n s o c i o l o g ya n de c o n o m y i nt h i sp a p e f u s i n gm e a n - f i e l dt h e o r ya n ds m o l u c h o w s k ir a t ee q u a t i o n , w e s t u d i e dt h ei n f l u e n c eo fc a t a l y z e d - b i r t ha n dc a t a l y z e d - d e a t ht ot h es c a l i h g b e h a v i o r so ft h ec o n v e n t i o n a lm i g r a t i o n - d r i v e na g g r e g a t i o np r o c e s si ns o c i o l o g y a n de c o n o m y t h ec o n t e n to f t h i sp a p e ri n c l u d e s ： t w o i a l y z c d 蛐m o d e l so fn - s p e c i e sa g g r e g a t e sw i t hm i g r a t i o n - d r i v e n g r o w t hp r o c e s s e sa r cp r o p o s e da n ds m d i e d i nt h ef i r s tc a t a l y z e d - b i r t hm o d e l ，t h e e v o l u t i o nb e h a v i o ro fa g g r e g a t e - s i z ed i s t r i b u t i o na ：( t ) o fa s p e c i e sd e p e n d s c r u c i a l l yo nt h ev a l u eo ft h ec a t a l y s i sr a t ep a r a m e t e r o ：( 1 ) a ：( t ) o b e y st h e c o n v e m i o n a ls c a l i n gl a wi nt h ec a s eo f v 0 ，( 2 ) a ：( t ) s a t i s f i e sam o d i f i e d s e a t i n gf o r mi nt h ec a s eo f v 0 i nt h es e c o n dm u t u a l l y 酬y z e d - b i r t hm o d e l ， t h el 【i m 婀cb e h a v i o r so ft h es y s t e ma r ef o u n di of a l li n t ot w oc a t e g o r i e sf o rt h e d i f f e r e m v ：( 1 ) g r o w t ho b e y i n gc o n v e n t i o n a ls c a l i n gf o r mw i t h ys0 。( 2 ) g e l l i n g 砒f i n i m t i m e w i t h y 0 a m i g r a t i o n - d r i v e na g g r e g a t i o nm o d e la n das e l f - a g g r e g a t i o ng r o w t hm o d e l o f t h r e e - s p e c i e sw i t ht h ec o m p e t i t i o nb c “v e f nc a t a t y z o d - b i r t ha n dc a t a l y z e d 蛐 a r ep r o p o s e da n ds t u d i e d t h er e s u l t st e l l s ：( 1 ) w h e nt h em i g r a t i o n - d r i v e n a g g r e g a t i o n ( s e l f - a g g r e g a t i o n ) d o m i n a t e st h ep r o c e s s ，a k ( t ) s a t i s f i e s t h e c o n v e n t i o n a ls c 8 1 j n gf o r m , ( 2 ) w h e nt h eo a t a i 刚- b i r t hd o m i n a t e st h ep r o c e s s , a k ( t ) s a t i s f i e st h ec o n v e n t i o n a lo rm o d i f i e ds c a l i n gf o r m , ( 3 ) w h e nt h e 曲阜师范大学硕士研究生学位论文 c a t a l y z e d - d e a t h d o m i n a t e st h e p o c e 鼹，t h es c a l i n gd e s c r i p t i o n o ft h e a g g r e g a t e - s i z ed i s t r i b u t i o no f t h es y s t e mb r e a k sd o w nc o m p l e t e l y k e y w o r d s ：k i n e t i c so fa g g r e g a a o ng r o w t h , r a t ee q u a t i o n , s e a l i n gf o r m , m i g r a t i o n 诎i v e na g g r e g a t i o n g r o w t h ， c a u a y z e d - b i r t h ， 涮y z e d i e 缸b h i 曲阜师范大学硕士研究生学位论文 1 1 引言 第一章绪论 聚集生长现象是实际生长现象中的一类。在物理学、生物学、化学、 医学及社会学领域中都普遍存在，例如聚合物的形成、空气中浮尘的凝结、 带电粒子的聚集、颗粒物质的凝胶化、血红细胞的凝聚、星云分布、动物 种群演化、城镇人口分布演化等 1 - 4 。人们通常通过建立一些聚集生长模 型来模拟实际聚集过程，以此来研究聚集生长过程中所蕴含的规律。 由于聚集生长动力学应用背景的广泛性及其机制的复杂性。聚集生长 动力学过程近二十年来成为广大科学工作者和专家研究的热点之一。 目前聚集生长动力学研究在很多方面都得蓟了应用，对一些自然现象 如分形现象等提供了指导作用 5 】。而且在社会学领域中，社会系统中的某 些实体如人口、财富等的演化和分布情况与聚集生长过程有一定的相似性， 因而可以把聚集生长动力学的研究成果应用封社会学领域 6 - 8 。这在物理 学和社会学研究之间搭起了一个桥梁， 对聚集现象的研究，国内外学者已经在聚合、分解、迁移、催化、自 产生、自死亡、注入、沉淀等方面做了很多工作，主要集中在两个方面， 一种是对系统的分形性质的研究，另一种是对动力学过程的研究，即，研 究系统中的各种不同大小的集团随时闻的演化规律。本文的研究仅限于动 力学方面。 1 2 聚集生长动力学的主要研究方法及成果 对聚集过程的非线性生长动力学的研究方法主要有以下三种。 1 2 1 聚集生长动力学理论计算方法 对聚集生长动力学过程的理论计算，一般都是在平均场假设的前提下 进行的：根据反应机制，建立系统的速率方程，然后求解方程，得到解析 解，并由此分析系统的动力学行为。 1 9 1 7 年，s m o l u c h o w s k i 为了研究简单聚合过程 a i + a j 盥皿啼a i + j ， 提出了一个基于平均场近似下的反应速率方程e 9 ： 了d a k ( t ) = 寻i ( i ，伽；( 蕊j ( t ) 一妻耻，伽。( o a j ( t ) 。 i + j * k柚 这里4 ，分别表示粒子数为i ，j 的集团，( 力为聚合反应速率核，或 者称为碰撞矩阵。当集团4 与集团4 ，相遇时，就以一定的反应速率形成一 个更大的集团4 ，。s m o l u c h o w s k i 反应速率方程忽略了反应物浓度在空间 的涨落，假设整个反应过程中各种类集团在空间上都是均匀分布的，也就 是反应物集团的空问扩散系数无限大。 此后，s m o l u c h o w s k i 速率方程法成为研究聚集动力学的一个重要手段， 后人利用这一方法做了大量工作，并取得了很多成果。 八十年代初，密歇根大学的rm ，z 澄等人应用s m o l u c h o w s k i 速率方 程研究了溶胶相变 i - 3 ，发现表征有效表面积的特征指数国 1 2 。而表 征在溶胶晒界点的尺寸分布的特征指数f 贝q 跟m 有关，即r = 0 7 + 3 1 2 。1 9 8 4 年，f 1 _ a y v r a z 应用s m o l u c h o w s k i 速率方程研究了简单聚合反应 4 ，发现 集团浓度随时间成幂指数减少，并求出了修正指数等一些参数。1 9 8 4 年， 波士顿大学的i cg a n g 和s r c d a o r 应用s m o l u c h o w s k i 方程研究了简单聚 合过程中的空间涨落【l o 】。1 9 8 6 年，麻省理工大学的f f a m i l y , p m e a k i n 和 j m d e u t c h 研究了集团扩散影响下聚集集团大小分布的动力学以及存在分 解的的聚合过程，即可逆的聚合过程【“，1 2 1 ，结果表明，对于可逆的聚 合过程，以平均场为基础的速率方程的有效临界维度以21 。 除简单的聚集摸型外，八十年代以来，一些学者研究了复杂机制下的 聚集动力学过程，提出了很多代表性的模型。1 9 8 5 年，z ，r 矗c z 等人研究了 有源和阱存在的聚集系统的标度行为 1 3 1 ，即在反应中以一定的速率注入新 的粒子或者抽去一些粒子。1 9 8 9 年，e c l & n c n t 等人研究了一维、二维以 及三维情况下消灭反应所遵循的标度律 1 4 ，1 5 。1 9 9 3 年p lk r a p i v s k y 2 曲阜师范大学硕士研究生学位论文 研究了两种类粒子集团的聚集一部分消灭反应过程1 1 6 】。1 9 9 5 年e b e n - n a i m 和p l k r a p i v s k y 等研究聚集一消灭模型【1 7 】。 国内一些学者在聚集动力学方面也做出了很多贡献。余江、薛郁和胡 岗等人对单一的不可逆聚合过程，尤其是凝胶相变问题，做了很好的理论 研究 1 8 - 2 2 。张立根和杨展如等人对存在消灭反应的聚合过程进行了研究 2 3 ，2 4 】。林振权、柯见洪等人在多种机制共同作用下的聚集动力学行为研 究方面取得了很多成果 2 5 - 2 9 。 国内外学者们还把聚集系统的动力学研究成果应用到自然界和社会系 统中的很多实际过程，如f f a m i l y 等人研究了空气中雾滴的生长 3 0 】，并 进行了模拟和实验，验证了理论结果的正确性。i f _ s z n a j d w e r o n 把聚集动 力学的一些规律应用到人口增长现象中，解决了“最小生存人口”问题【3 1 】 1 2 2 聚集生长动力学计算机模拟 利用计算机模拟聚集体集团的非线性生长动力学也是一个很重要的研 究方面，并取得了相当多的研究成果 3 0 ，3 2 3 3 。 1 9 8 1 年，t a w i t t e n 和l 。m fs a n d e r 提出了扩教极限聚集生长 ( d i f f u s i o n - l i m i t e da g g r e g a t i o n ) 模型。并用计算机模拟了其生长机制，发现 这是一个枝状生长的极限模型【3 2 】，如图1 1 所示。 图1 1 在一个方形格上3 6 0 0 个粒子随机聚集形成的树形图 3 曲阜师范大学硕士研究生学位论文 1 9 8 3 年，p m e a k i n 用计算机模拟了不可逆扩散极限下的分形集团和 网状结构的形成【3 3 】，见图1 2 。“。“。- - - _ 4 0 0l n 能u m 枷i a 1 1 3 1 c i e _ 他 图1 2 在4 0 0 x 4 0 0 的格子上模拟扩散系数。( a ) 图中团簇包括1 0 0 0 0 个粒子( 每 个格点位置平均0 0 6 2 5 个粒子) ；( b ) 图中粒子数n = 1 5 0 0 0 ( 平均浓度p = 0 0 9 3 7 5 ) ； ( c ) 图中n = 2 0 0 0 0 ( p = 0 1 2 5 ) ；( d ) 图中n = 2 5 0 0 0 ( p = 0 1 5 6 2 5 ) 1 9 8 6 年，f f a m i l y ，t v i c s e k 和j m d e u t c h 利用标度不变理论研究 了一个可逆聚合模型 1 2 ，并且利用计算机模拟进行了验证，结果与理论 计算得出的结果相符。 1 。2 3 聚集生长动力学实验研究 4 曲阜师范大学硕士研究生学位论文 一些学者还对聚集过程进行了实验研究，如m s b o w c n , m lb r o i d e 和rj c 日h 阢用光脉冲粒子尺寸分析仪研究了聚苯乙烯颗粒聚合反应中集 团的尺寸分布 3 4 ，发现在小角度限制下，当时间比较短时，集团分布可 以用s m o l u c h o w s k i 理论很好的描述，而当时问比较大时，集团分布和 s m o l u c h o w s k i 理论存在比较大的偏差，这个偏差是由于聚合集团产生凝胶 现象而引起的。 1 3 聚集生长动力学的一些典型模型 目前聚集生长动力学的典型模型主要有以下几种。 1 3 1 简单的不可逆聚合过程 1 9 1 7 年，s m o l u c h o w s k i 最早提出了简单聚合过程 9 ，可以用如下的 反应方程式来表示： 系统的速率方程可以表示为： 专铲= 吉；驴腓) a j ( t ) - 喜- k ( t 岬 对于如下形式的反应速率核：i ( i ，j ) = 1 ，i ，j ，s m o l u c h o w s k i 都给出了精 确的解析解。 1 9 8 7 年，f l e y v r a z 和s 1 h d n c r 进一步研究了简单聚合过程 3 5 ，发 现在长时问极限下( | i 1 f 1 ) ，集团浓度分布s t 。( t ) 满足传统标度律： a k ( t ) k - 2 中皿s ( t ) 】，s ( t ) o c t 2 。 其中，( x ) = e x p ( - x ) 是系统的特征函数，s ( t ) 是特征长度，类似于普通临 界现象的特征长度。 聚合过程是最基本、最普遍的一类聚集现象，如空气中浮尘的凝结、带 电粒子的聚集、颗粒物质的凝胶化等。 5 曲阜师枢大学硕士研究生学位论文 1 3 2 分解过程( 即可逆的聚合过程) 1 9 8 6 年，f f a m i l y 等人在聚合模型的基础上提出了存在分解的聚合模 型【1 2 ： a i + j 卫业哼a i + a j 系统韵s m o l u c h o w s k i 速率方程为： 警= 吉；要p ，伽i a j f ( i ，j ) a 。一姜k ( k 伽 一f ( k ，伽州 其中a ；代表具有i 个单体的集团。a ；代表具有j 个单体的集团，g ( i ，j ) 为聚 合反应速率核，f o , d 为分解反应速率核。 1 9 8 5 年，i lm z i f f 和ed m c c , r a d y 提出连续分解模型 3 6 ，假设分 解速率与集团尺寸有关，其动力学方程为： - 8 e ( x 广, t ) = 叫x ，t ) f f ( y , x - y ) d y + 2 c ( y ，t ) f ( x , y - x ) d y v 这里c ( x ，t ) 是具有x 个单体的集团的浓度，f ( x ，y ) 是指一个具有x + y 个单 体的集团分解成一个具有x 个单体的集团和一个具有y 个单体的集团的反 应速率。这个方程可以看作聚合一分解反应的极限形式，即聚合反应的速率 为零。 分解过程在实际现象里也是比较常见的，如火山喷发，岩石分裂，液 滴分解，星体在宇宙中的爆炸等。 1 3 3 存在消灭的聚集过程 消灭反应是指两个不同种类的粒子组成的集团相遇时，双方都消失( 称 为完全消灭) 1 7 ，或者其中一方消失，而另一方仅仅损失一部分( 称为 6 部分消灭) 1 1 6 。 完全消灭的反应式为： 部分消灭反应式： a i + b j 灿a j - j ( 当j i 时) ， 其中k ( i ，j ) 为相应的反应速率核。 1 9 9 3 年，p l k r a p i v s k y 研究了同时包含聚集和消灭两种反应机制的聚 集集团的演化行为 1 8 ，系统的反应式如下： a i + a j 兰业a ，b i + b j 盥亚b ； a i + b i + j 当坐屿b j ，a i + j + b i 丛生啼a j 。 系统的速率方程为： 等= i ( a i a j - 2 a 。妻a i ) + j ( a j b ；飞竞b j ) ， - 。 i + 卜t_ 卜i ，- - kj - 1 等= i ( y b 旷b 2 b 。窆b j ) + j ( y ，b j a i - - b 。妻a s ) 。 v i+j咄，dj | - kj - i 消灭过程也普遍地存在于许多实际过程中，如正负电子的湮灭，生物 种群的灭绝，战争和瘟疫中人口的死亡等。 1 3 4 存在源和阱的聚集过程 在聚集过程里，有一类很重要的现象就是源和阱的存在。源的存在为 7 曲阜师范大学硕士研究生学位论文 系统注入新的粒子，而阱的存在则使系统中的某些粒子退出。2 0 0 0 年， e b e n - n a i m 和p lk r a p i v s k y 研究了存在源的一维系统的分解过 3 7 】。 在系统中以速率以x ) 凼不断注入粒子，则系统的浓度分布随时问演化的规 律可以用速率方程表示为： 掣= - x p ( x ，t ) + 2 d y p ( y , t ) + f ( x ) 。 对这种聚集过程的研究在入口、生物种群等的演化过程中有很广泛的 应用。 1 3 5 催化驱使的聚集过程 在一些化学反应过程中。往往需要催化剂的存在才能进行，面在一些 自然、社会系统中，由于某些因素的存在，可能会加快或减慢系统演化的 速度，这些因素也可以近似地看作是催化剂。比如，人口的适当增加可以 促进经济的发展，而战争的发生会严重阻碍经济的发展。 2 0 0 4 年，柯见洪和林振权研究了催化作用下的聚合过程 3 8 ，假定系 统中有两种类粒子，a 种类集团的聚合反应需要有b 种类集团的催化才能发 生，另外b 种类集团自身也发生聚集。系统的反应方程式为： a i + a j + b l 垫丝l a i + j + b i ， 其中a 集团的反应速率核为k g j ，d = 1 1 1 ”，b 集团的反应速率核为j ( i ，j ) = 1 2 ， 对应的速率方程为： 鲁= 壤竞h ( 1 a i a j b l t 艺i , - i 如i - 1 a j b l ) 鲁= 鲁丕印，吐b t 姜b j 8 近年来，存在催化作用的聚集过程越来越受到人们的重视 4 1 。4 2 ， 因为现实中的聚集过程往往不是单一的发展过程，而是多种因素综合作用 的结果，因而对于存在催化作用的聚集过程的研究具有很大的现实意义 1 3 0 迁移作用下的聚集过程 当两个粒子集团相遇对，粒子扶一集团转移封另一集团的聚集过程， 称为迁移过程： 速率方程为： 等喜晰- 加，喜k d a j - 2 a t 砉酏j ) a j 1 9 9 8 年，s i s p o l a t o v , p l k r a p i v s k y 和s r c d l l e r 研究了经济领域中财 富集团的迁移动力学行为 3 9 2 0 0 3 年e b e n - n a i m 和p l k r a p i v s k t 在 此基础上进一步提出了反应速率核为乘积形式( k ( i ，j ) = ( i j ) 。) 及一般形式 ( k 毡j ) = i 。r + i - j ”) 的迁移模型 幻】，得到了系统完全的渐进标度描述。 f l e y v r a z 和s r e x t n e r 在2 0 0 2 年提出了迁移机制下人口与财富演化模型 8 。同时林振权和柯见洪等人也对迁移机制下的聚集生长动力学做了一些 研究 2 5 ，2 6 ，2 8 。 1 4 本文的主要工作 本文利用平均场理论和s m o l u c h o 粥l d 速率方程法研究了社会系统中伴 随催化反应的聚集过程。在第二章中，提出了两个伴随催化增加和相互催 化增加的迁移聚集模型，并研究了系统的动力学演化行为。得出了在不同 的催化反应速率下集团的浓度分布的标度性。在第三章中，提出了两个伴 随有催化增加和催化减少相互竞争的迁移( 聚合) 模型，并研究了系统的 演化行为，发现系统的标度性取决于催化增加和催化减少的相互竞争。这 9 蝗蝗堕大学硕士研究生学位论文 些研究表明，社会系统中催化驱使的聚集现象的研究具有很大的理论和现 实意义。 曲阜师范大学硕士研究生学位论文 第二章伴随催化增加及相互催化增加 的迁移过程研究 2 1 引言 传统的聚集过程的研究主要集中于对自然界的聚集现象的研究，近几 十年来，人们的注意力逐渐转移到社会、经济系统中来。1 9 9 8 年，i s ( 蝴 等人提出了经济系统中财富的迁移模型 3 9 ；k y w a z 和r e d n e r 在2 0 0 2 年提出了迁移机制下的人口增长模型e 8 。林振权和柯见洪等人也在迁移机 制下的聚集动力学方面傲了大量研究 2 5 ，2 6 ，2 8 。同时，伴随有催化过 程的聚集现象越来越受到关注 3 8 ，4 1 ，4 2 。实际上，催化过程同样广泛 存在于自然及社会现象中，例如，一个经济发达的城市必然会吸引更多的 外来人口迁入，这个现象就可以简单的看作是财富催化人口的增长，反之， 一个经济萧条，或处于战乱中的城市必然会迫使原有的人口迁出。这种现 象可以近似地看作是经济( 战乱) 催化入口的减少。 已经提出的聚集模型往往只包含一个反应过程，而现实中的聚集现象 更多地是多种不同过程的综合，反应机制比简单的理论模型复杂得多。另 外，以往研究的模型往往是两种类，至多是三种类集团的聚集过程，而现 实中的聚集现象更多地是多种类集团相互作用的过程。为了更好的研究实 际静聚集现象，我们提出了两个n 种类集团闫同时包含两种不同反应机制的 模型：伴随催化增加的迁移模型及伴随相互催化增加的迁移模型。 2 2 伴随催化增加的迁移模型 2 2 1 物理模型 考虑这样的经济现象，现有n 种部门，分为两大类，前n 1 种如农业， 笪皇师范大学顸士研究生学位论文 制造业，服务业等( 生产部门) 可以看作一类，以a 1 0 = l ，2 ，n - 1 ) 表示， 另外一类特殊的部门是银行业。以a - 表示 类似于i s o p l a t o v 等在1 9 9 8 年提出的财富迁移模型 3 9 中的考虑，我 们近似地将同种部门中不同经济单体( 如公司) 间的吞并、破产等过程看 作迁移过程。例如，制造业中菜公司被另一公司吞并，其资产转移到新公 司中去，这一现象可以近似地看作是制造业中资产( 财富) 的迁移过程， 以方程式表示为： a ：+ a 占监业专a l + a ；i ( m = l 2 ，n ) 。 另外，各生产部门从银行部门贷款用于扩大生产，可以近似的看作是银行 部门催化生产部门财富增加，表示为： a ：+ a ? 土赴_ a o i + a ；( 1 = l ，2 ，n - 1 ) 。 这一模型中，系统的动力学行为分为两类，即生产部门( 前1 1 1 种部门) 为一类，银行部门为另一类。下面讨论系统的演化行为。 2 2 2 数值计算及分析 为方便计算，我们取迁移反应核k 。( k ，j ) f f i k 。k j ( m = 1 2 ，n ) ，这里毛 是比例系数，即，集团a ：转移一个单体到集团a ? 的速率与他们各自的大 小k 和j 成正比，另外，取催化增加的速率核为j ，( k ，j ) = j 。幻”。 我们假定系统具有空间同一性，即各个集团在空间分布上是均匀的( 忽 略反应物浓度在空间上的波动性) ，从而可以应用平均场理论来研究系统 的动力学演化过程。用a l ( t ) 和a ：( t ) 表示t 时刻1 种类和1 1 种类中具有k 个 单体的集团的浓度分布。利用s m o l u c h o w s k i 速率方程法，我们写出这两类 集团的浓度分布随时阅淡化的速率方程； 曲阜师范大学硕士研究生学位论文 专挚吣( k + 1 ) a k 崾舛( t ) + k 肛1 ) a 批) 巍j - l ( t ) 一 2 k n k a ：( i ) j a ；( d 翌絮堕= k i ( k + 1 ) a k ( t ) 委j a ：( t ) + k o 【一d a o t ( t ) 妻i = x j a ：( t ) 一 2 k k a y ( t ) e j a ：( t ) + j l ( k d a 0 ( t ) j 9 a ? ( t ) 一 j i k a ：( t ) z j ”a ；( t ) 为便于求解上述方程组，引入这样一个递推假设 1 6 ，4 2 a ：( t ) = a 4 ( t ) 【a 4 ( t ) 】h ( m = 1 ，2 ，n ) ， ( 2 2 3 ) 并且考虑这样的初始条件 a = o a “= a 罟( t = o ) ， ( 2 2 4 ) 即，在t = 0 对刻，a 。种类只存在单体。 u 这里定义：m 詈( t ) = ja ( t ) ( m = 1 2 ，n ) 为a “种类的浓度分布q ( ，) 枷 的d 阶矩。特殊地，零阶矩m 詈( t ) 是a 4 种类的集团总数目，一阶矩m ( t ) 是a 4 种类的总质量。 在假设( 2 2 3 ) 和初始条件( 2 2 4 ) 下，m 孑( t ) 和m f ( t ) 可以写为 t “ m m ；( t ) = 哼( t ) = a m ( a 4 ) = 芒， ( 2 2 5 ) m ( t ) = 缸( t ) = a 势4 ) j - i = 番a - ( 2 z 脚 m ( t ) = j a ( t ) = a j ( a m ) = 而 ( 2 2 6 ) 柚hl 一4 ， 利用( 2 2 4 - 2 2 6 ) ，可以把 - - l m ：( t ) = 喜纠t 阪l n ( “1 1 + + k n k a a ：丽t ) ，妣。- _ l l a ：( i + k 。a ：t ) 吨f ( d ) ，d 0 时，a ：( t ) 遵守修正的标度律。 1 6 曲阜师范大学硕士研究生学位论文 2 3 伴随相互催化增加的迁移模型 2 3 1 物理模型 在上一个模型的基础上，考虑这样一个现象，各生产部门的财富增长 必然导致剩余资产的增多，从而使得银行业资产增加，可以认为各生产部 门也能催化银行业的财富增加，即a 1 种类和a 种类能够互相催化增加。基 于以上考窟，可以在上述模型的基础上，加上这样的机制；假设第n 种类集 团也可以被前n 1 种类集团催化增加， a ：+ a ；玉坠屿a ：+ a 知( 1 = l 2 ，n - 1 ) 。 下面用类似的方法讨论a 1 种类和a 4 种类的演化行为 2 3 2 数值计算及分析 a 1 种类的反应机制没有任何变化，因而其集团浓度分布跟上一模型完 全相同( 形式上完全相同，但意义不同) ，我们仅需要研究这种情况下a 1 种类的演化行为。 a 4 种类的反应方程变为： 掣- k n ( 娜n + i 秘( t ) + k n ( k 1 ) a “n 缸( t ) 一 2 k 。k a ：j a ；+ j 。( k 1 ) a * ( j 。a ：) 一 ( 2 3 1 ) j 知：( 州) 利用假设( 2 ，2 3 ) 和初始条件( 2 2 4 ) ，将速率方程改写为： 吉等吣m m 。善a - i m ：， ( 2 3 2 ) 1 7 曲阜师范大学硕士研究生学位论文 万1 百d a = _ 2 k 。嗍一j 。善i - i m ： ( 2 3 3 ) 下面在不同的u 值下讨论a 4 种类的浓度分布。这里只给出最后计算结果。 1 ，= o 情况 通过计算发现，当反应速率核与催化集团的大小无关时，a “种类的浓 度分布遵守传统的标度律 a ：( t ) 。伍。) 。2 一- 商i a ：) - 1 k i 2 _ 智 q ( a d i t 小1 ( x l ，( 2 3 4 ) a ：( t ) * 伍。) - 2 q 【1 1 ( k i a ：) 智1 ( x ) 。( 2 3 4 ， i = i 。 另外，a 种类的总质量随时间成幂指数增加 譬， j a l i r - 窆j - ，i m ? c t ) = a ：n ( 1 + k i a t o t ) t 智 ( 2 3 。5 与( 2 2 1 5 ) 式比较，可以看出此时a 1 种类和a “种类的总质量m ：( t ) ， m ；( t ) 都随时问成幂指数增加，但显然m ? ( t ) 增加的速度快的多，原因在于， a 种类只是被一种类集团( a 。种类) 催化增加，但a 。种类却是被n 1 种 类集团催化增加。对应于现实现象，其意义在于。银行业的资产增加是很 多生产部门资产增加的结果。 2 d = l 情况 当反应速率核与催化集团的大小成正比时，发现一个重要现象：凝胶， 即在有限的时间内，a 1 种类和a 种类的总质量同时达到无穷大。 ( 1 ) 当j 。a ：甜。砖时， j 。a ；一j 。z a o m ? ( t ) = a ：_ i 广丝1 = 广， ( 2 3 6 ) j 。a ；一j 。a ：e x p 【( j i a ；一j 。a ：) t l 1 5 曲阜师范大学硕士研究生学位论文 l ( j a ：，j 。a ：) 可见，当t = t 。= 时，m ：( t ) _ j i a ：一j 。a ： 又因为a 种类和a 4 种类的总质量m ：( t ) 和m ：( t ) 满足这样的关系 掣“m ? ， ( 2 3 7 ) 所以，当t = t 。时，m ：( t ) 也趋于无穷大，即在t 。时刻，a 种类和a 种类 的总质量同时达到无穷大 ( 2 ) 当j 。a ：西。a ：时， m ? ( t ) = a ：0 - j i a ：t ) 一 ( 2 3 8 ) 可见，当t = t 。= 0 l a ：) 1 时，m ? ( t ) 哼，同样由( 2 3 9 ) 式可知，此 时m ：( t ) 也趋于无穷大，g a i t 。时刻，a 种类幕i a “种类的总质量同时达到 无穷大。 3 ，一般d 情况 同样，我们只能得到系统在长时向下的渐进解。考虑到相互催化增加 效果，可以认为：m 孑m f ( m = 1 2 ，n ) 在长时间极限下远小于1 ，即集团 总数目越来越少而总质量越来越大a 1 种类的d 阶矩在长时间下可以近似 改写为： m ：z 即删器，纽一， 等。酱嚣，r o r o f f i - l *亿。川 等f 幻t a 8 种类的d 阶矩m ：也具有类似的形式。 根据( 2 3 9 ) ，可以在两种情况下( d o 对) 求解系统的 浓度分布。这里只给出最后结论：( 1 ) p 0 时。a 1 种类和a t 种类发生凝胶相交，即在有限的时问内。a 种 类和a 种类的总质量同时达到无穷大。 2 3 3 结论 利用平均场理论和速率方程法研究了伴随褶互催亿增加的迁移模型， 发现系统的演化行为取决于催化增加系数p 。( 1 ) u s 0 时，a 1 种类和a 种类的浓度分布a ：( t ) 和a ：( d 都遵守传统的标度律；( 2 ) l ， o 时，a 1 种 类和a 。种类发生凝胶相变，即，在一个有限的时间内，a 1 种类和a 种类 的总质量同时趋于无穷大。 2 4 小结 利用平均场理论和速率方程法研究了两个伴随催化增加及相互催化增 加的迁移模型，并对两者的动力学行为进行了比较，结果发现，( 1 ) 当， 0 时，第一个模型中m ：( t ) 随 时间呈指数性增长，m ：( t ) 保持恒定，a ：( t ) 和a ：( t ) 都遵守修正的标度律； 而在第二个模型中，a 种类和”种类发生凝胶相变。 曲阜师范大学硕士研究生学位论文 第三章伴随催化增加和催化减少相互竞 争的迁移( 聚合) 过程 3 1 引言 现实中的聚集现象往往都包含两个或多个相反的机制，系统的演化行 为正是这些相反的过程的相互竞争的体现，而现有的模型往往只包含单一 的发展过程( 如自增加、自减少、催化增加、催化减少 ，为了更好的模 拟现实系统，我们提出两个伴随催化增加和催化减少相互竞争的迁移和聚 合模型。 3 2 伴随催化增加和催化减少相互竞争的迁移过程 3 2 1 物理模型 考虑这样的经济现象：a 种类代表某一种产品的制造行业，b 种类代表 这种产品的销售行业，c 种类代表新兴的替代产品的制造业，类似于上一 章的考虑，同一行业中不同经济单体( 公司) 间的竞争过程( 兼并、破产 等现象) 可以近似的认为是迁移过程( 财产从某一破产的公司转移到另一 公司) ，用公式表示为； 2 1 曲阜师范大学硕士研究生学位论文 另一方面，销售部门的发展无疑会大大提高生产部门的生产规模，可 以近似地认为b 种类催化a 种类的财富增加。表示为： a t + b j 当屿a “+ b j 。 同时，新兴替代产品的出现必然会影响旧产品生产部门的发展，可以近似 地认为c 种类催化a 种类的财富减少。表示为： + c j 堡屿a “+ c j 为求解方便起见，取迁移反应速率核为：k ；化j ) = k 。k j ( i = l , 2 ，3 ) ，催化增 加反应速率核为：x ( k ，j ) = 蜀”，催化减少反应速率核为：j ( 1 【，j ) = j 均。 3 2 2 数值计算及分析 由以上反应方程，可以写出系统的速率方程： 等靠肚t “缸+ k 肛喜j a j 一2 k 妞t 缸+ i ( k 1 ) a 。r b