（应用数学专业论文）多体问题的中心构型.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 天体力学是一门古老学科，是天文学的一个分支，但又同数学和力学有着密 切关系。在现代天体力学的研究中，多体问题是一重要领域，这是天体力学同一 般力学和应用数学之间的共同研究领域。而中心构型是研究多体问题的一个重要 工具，具有一百多年的历史，并被著名数学家s t a v es m a l e 列为二十一世纪十大数 学问题之一。 本文根据h o m o t h e t i c 解、h o m o g r a p h i c 解和中心构型解的概念，讨论了一类由 两个正六面体构成的套型中心构型等价类的分类；一类由两个正八面体构成的套 型中心构型等价类的分类；讨论了由两个菱形构成的平面套型中心构型等价类的 分类；此外还讨论了一些类型的空间双金字塔中心构型等价类的分类；比如说， 以任意三角形为基底的双金字塔中心构型的等价分类，以平行四边形为基底的双 金字塔中心构型的等价分类，以凹五边形为基底的双金字塔中心构型的等价分类。 关键词：多体问题；中心构型；h o m o t h e t i c 解；h o m o g r a p h i c 解；双金字塔中心构 型 重盎奎兰堡主堂垡丝壅 茎茎塑茎 a b s t r a c t c e l e s t i a lm e c h a n i c si sa l lo l ds u b j e c t i ti sab r a n c ho fa s t r o n o m y , b u ti t h a s i n t i m a t er e l a t i o n s h i pw i t hm a t h e m a t i c sa n dm e c h a n i c s a m o n gt h em o d e mc e l e s t i a l m e c h a n i c a lr e s e a r c h e s ，n - b o d yp r o b l e mi sa ni m p o r t a n tf i e l d n - b o d yp r o b l e mi sa c o m m o nr e s e a r c hf i e l do fc e l e s t i a l m e c h a n i c s ，g e n e r a l m e c h a n i c sa n d a p p l i e d m a t h e m a t i c s c e n t r a lc o n f i g u r a t i o nw h i c hh a sah i s t o r yo fm o r et h a n1 0 0y e a r si sa l l i m p o r t a n tt o o lt os t u d yn b o d yp r o b l e m ，a n dt h ef a m o u sm a t h e m a t i c i a ns t a v es m a l e o n c ed e s c r i b e di to n eo f t h e1 0i m p o r t a n tm a t h e m a t i c a l p r o b l e m si n2 1c e n t u r y 、 b a s e do nt h ed e f i n i t i o n so fh o m o t h e t i cs o l u t i o n 、h o m o g r a p h i cs o l u t i o na n d c e n t r a lc o n f i g u r a t i o ns o l u t i o n , i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s st h ec l a s s i f i c a t i o n so fc e n t r a l c o n f i g u r a t i o n s f o rt w on e s t e d c u b e s ；d i s c u s s t h ec l a s s i f i c a t i o n so fc e n t r a l c o n f i g u r a t i o n sf o rt w on e s t e dr e g u l a ro c t a h e d r o n s ；t h ec l a s s i f i c a t i o n so f p l a n a rc e n t r a l c o n f i g u r a t i o n sc o n s i s t e db yi w od i a m o n d s d i s c u s ss o m ec l a s s i f i c a t i o n so f e q u i v a l e n t c l a s s e sf o rs p a c i a ld o u b l ep y r a m i d a lc e n 仃a lc o n f i g u r a t i o n s ；s u c ha st h ed a s s i f i c a t i o n s o fe q u i v a l e n tc l a s s e so fd o u b l ep y r a m i d a lc e n t r a l c o n f i g u r a t i o n s f o r5 - b o d i e sw i t h a r b i t r a r yt r i a n g l es a s e ，t h ec l a s s i f i c a t i o n so fe q u i v a l e n tc l a s s e so fd o u b l ep y r a m i d a l c e n t r a l c o n f i g u r a t i o n s f o r6 - b o d i e sw i t h p a r a l l e l o g r a mb a s e ，t h ec l a s s i f i c a t i o n so f e q u i v a l e n t c l a s s e so fd o u b l e p y r a m i d a l c e n t r a l c o n f i g u r a t i o n s f o r7 - b o d i e sw i t h c o n c a v e p e n t a g o n b a s e k e yw o r d s ：n - b o d yp r o b l e m ；c e n t r a lc o n f i g u r a t i o n ；h o m o t h e t i cs o l u t i o n ；h o m o g r a p h i c s o l u t i o n ；d o u b l e p y r a m i d a l c e n t r a l c o n f i g u r a t i o n ；c e n t r a l c o n f i g u r a t i o ne q u i v a l e n t c l a s s e s ， i i 里塞叁堂堡主堂垡垒奎 ! 委箜垄堂兰! 堡塑矍塑望墨圭! ! 坠 i天体力学与_ n 体问题的背景知识 在这一节里，我们将回顾天体力学和n - b o d y 问题的一些背景知识，中心构型 的定义，并阐明为什么要研究中心构型，以及关于n - b o d y 问题和中心构型的研究 现状。 1 1 天体力学的背景知识 1 1 1 天体力学的概念和发展历史 天体力学的概念 天体力学是天文学和力学之间的交叉学科，是天文学中较早形成的一个分支 学科，它主要应用力学规律来研究天体的运动和形状。天体力学以往所涉及的天 体主要是太阳系内的天体，五十年代毗后也包括人造天体和一些成员不多( 几个到 几百个) 的恒星系统。天体的力学运动是指天体质量中心在空间轨道的移动和绕质 量中心的转动( 自转) 。对日月和行星则是要确定它们的轨道，编制星历表。计算质 量并根据它们的自传确定天体的形状等等。 天体力学以数学为主要研究手段，至于天体的形状，主要是根据流体或弹性 体在内部引力和自转离心力作用下的平衡形状及其变化规律。天体内部和天体相 互之间的万有引力是决定天体运动和形状的主要因素，天体力学目前仍以万有引 力定律为基础。虽然己发现万有引力定律与某些观测事实发生矛盾( 如水星近日点 进动问题) ，而用爱因斯坦的广义相对论却能对这些事实作出更好的解释，但对天 体力学的绝大多数课题来说，相对论效应并不明显。因此，在天体力学中只是对 于某些特殊问题才需要应用广义相对论和其他引力理论。 天体力学的发展历史 远在公元前一、二千年，中国和其他文明古国就开始用太阳、月亮和大行星 等天体的视运动来确定年、月和季节，为农业服务。随着观测精度的不断提高， 观测资料的不断积累，人们开始研究这些天体的真运动，从而预报它们未来的位 置和天象，更好地为农业、航海事业等服务。 历史上出现过各种太阳、月球和大彳亍星运动的假说，但直到1 5 4 3 年哥白尼提 出同心体系后，才有反映太阳系的真运动的模型。而开普勒根据第谷多年的行星 观测资料，于1 6 0 9 1 6 1 9 年间先后提出了著名的行星运动三大定律；开普勒定律 深刻地描述了行星运动，至今仍有重要作用。他还提出著名的开普勒方程，对行 星轨道下了定义。从此可以预报行星( 以及月球) 更准确的位置，形成理论天文学， 这是天体力学的前身。 垩瘗盔堂堡主堂堡垒塞 ! 盔堡垄堂皇! 堡回墼塑箜墨塑 到这时为止，人们对天体( 指太阳、月球和大行星) 的真实运动仅处于描述阶段， 未能深究行星运动的力学原因。 早在中世纪末期，达芬奇就提出了不少力学概念，人们开始认识到力的作用。 伽利略在力学方面作出了巨大的贡献，使动力学初具雏形，为牛顿三定律的发现 奠定了基础。牛顿根据前人在力学、数学和天文学方面的成就，以及他自己二十 多年的反复研究，在1 6 8 7 年出版的自然哲学的数学原理中提出了万有引力定 律。他在书中还提出了著名的牛顿三大运动定律，把人们带进了动力学范畴。对 天体的运动和形状的研究从此进入新的历史阶段，天体力学正式诞生。虽然牛顿 未提出这个名称，仍用理论天文学表示这个领域，但牛顿实际上是天体力学的创 始人。 天体力学诞生以来的近三百年历史中，按研究对象和基本研究方法的发展过 程，大致可划分为三个时期： 1 ) 奠基时期 天体力学创立到十九世纪后期，是天体力学的奠基过程。天体力学在这个过 程中逐步形成了自己的学科体系，称为经典天体力学。它的研究对象主要是大行 星和月球，研究方法主要是经典分析方法，也就是摄动理论。天体力学的奠基者 同时也是近代数学和力学的奠基者。生塑和苤查星蘧共同仓q 立的微积分学，成为 天体力学的数学基础。 十八世纪，由于航海事业的发展，需要更精确的月球和亮行星的位嚣表，于 是数学家们致力于天体运动的研究，从而创立了分析力学，这就是天体力学的力 学基础。这方面的主要奠基者有亘筮拉、鲨魍巫丕和撞整塑旦等。其中欧拉是第一 个较完整的月球运动理论的刨立者，拉格朗日是大行星运动理论的创始人。后来 由拉普拉斯集其大成，他的五卷十六册巨著天体力学成为经典天体力学的代 表作。在这部著作中，拉普拉斯对大行星和月球的运动都提出了较完整的理论， 而且对周期彗星和木星的卫星也提出了相应的运动理论。同时，他还对天体形状 的理论基础流体自转时的平衡形状理论作了详细论述。 后来，勒让德、迫丝、雅可比和汉密尔顿等人又进一步发展了有关的理论。 1 8 4 6 年，根据勒威耶和亚当斯的计算，发现了海王星。这是经典天体力学的伟大 成果，也是自然科学理论预见性的重要验证。此后，大行星和月球运动理论益臻 完善，成为编算天文年历中各天体历表的根据。 2 ) 发展时期 自十九世纪后期到二十世纪五十年代，是天体力学的发展时期。在研究对象 方面，增加了太阳系内大量的小天体( 小行星、彗星和卫星等) ，在研究方法方面， 除了继续改进分析方法外，增加了定性方法和数值方法，但它们只作为分析方法 2 里瘗丕堂堡主堂焦丝垄 ! 鲞堡垄堂兰! 笪囹墅塑童墨塑堡 的补充。这段时期可以称为近代天体力学时期。庞加莱在1 8 9 2 1 8 9 9 年出版的三 卷本天体力学的新方法是这个时期的代表作。 虽然早在1 8 0 1 年就发现了第一号小行星( 谷神星) ，填补了火星和木星轨道之 间的空隙。但小行星的大量发现，是在十九世纪后半叶照相方法被广泛应用到天 文观测以后的事情。与此同时彗星和卫星也被大量发现。这些小天体的轨道偏 心率和倾角都较大，用行星或月球的运动理论不能得到较好结果。天体力学家们 探索了一些不同于经典天体力学的方法，其中德洛内、希尔和汉森等人的分析方 法，对以后的发展影响较大。 定性方法是由庞加莱和李亚普诺夫创立的，他们同时还建立了微分方程定性 理论。但到二十世纪五十年代为止，这方面进展不快。 数值方法最早可追溯到高斯的工作方法。十九世纪末形成的科威耳方法和亚 当斯方法，至今仍为天体力学的基本数值方法，但在电子计算机出现以前，应用 不广。 3 ) 新时期 十世纪五十年代以后，由于人造天体的出现和电子计算机的广泛应用，天体 力学进入一个新时期。研究对象又增加了各种类型的人造天体，以及成员不多的 恒星系统。在研究方法中，数值方法有迅速的发展，不仅用于解决实际问题，而 且还同定性方法和分析方法结合起来，进彳亍各种理论问题的研究。定性方法和分 析方法也有相应发展，以适应观测精度同益提高的要求。 1 1 2 天体力学的研究内容 当前天体力学可分为六个次级学科： i ) 摄动理论 这是经典天体力学的主要内容，它是用分析方法研究各类天体的受摄运动， 求出它们的坐标或轨道要素的近似摄动值。 近年来由于无线电、激光等新观测技术的应用，观测精度日益提高，观测资料 数量陡增因此，原有各类天体的运动理论急需更新。其课题有两类：一类是具体 天体的摄动理论，如月球的运动理论、大行星的运动理论等；另类是共同性的 问题，即各类天体的摄动理论都要解决的关键性问题或共同性的研究方法，如摄 动函数的展开问题、中问轨道和变换理论等。 2 数值方法 这是研究天体力学中运动方程的数值解法。主要课题是研究和改进现有的 各种计算方法，研究误差的积累和传播，方法的收敛性、稳定性和计算的程序 系统等。近年来，电子计算技术的迅速发展为数值方法开辟了广阔的前景。六 3 重庆大学硕士学位论文 i 天体力学与n 体问题的背景知识 十年代末期出现的机器推导公式，是数值方法和分析方法的结合，现已被广泛 使用。 以上两个次级学科都属于定量方法，由于存在展开式收敛性以及误差累计的问 题，现有各种方法还只能用来研究天体在短时间内的运动状况。 3 ) 定性理论也叫作定性方法 它并不具体求出天体的轨道，而是探讨这些轨道应有的性质，这对那些用定量 方法还不能解决的天体运动和形状问题尤为重要。其中课题大致可分为三类：一 类是研究天体的特殊轨道的存在性和稳定性，如周期解理论、卡姆理论等；一类 是研究运动方程奇点附近的运动特性，如碰撞问题、俘获理论等；另类是研究 运动的全局图像，如运动区域、太阳系稳定性问题等。近年来，在定性理论中应 用拓扑学较多，有些文献中把它叫作拓扑方法。 4 ) 天文动力学又叫作星际航行动力学 这是天体力学和星际航行学之间的边缘学科，研究星际航行中的动力学问题。 在天体力学中的课题主要是人造地球卫星，月球火箭以及各种行星际探测器的运 动理论等。 5 ) 历史天文学 是利用摄动理论和数值方法建立各种天体历表，研究天文常数系统以及计算 各种天象。 6 ) 天体形状和自转理论 是牛顿开创的次级学科，主要研究各种物态的天体在自转时的平衡形状、稳 定性以及自转轴的变化规律。近年来，利用空间探测技术得到了地球、月球和几 个大行星的形状以及引力场方面大量数据，为迸一步建立这些天体的形状和自转 理论提供了丰富资料。 一些学科性的特殊课题 天体力学在发展过程中除了形成上面六个次级学科外，还形成了些学科性 的特殊课题。它们相对独立地发展着。这些课题中如多体问题。 1 。】3 天体力学与其它学科的关系 天体力学的发展同数学、力学、地学、星际航行学以及天文学的其他分支学 科都有相互联系。如天体力学定性理论与拓扑学、微分方程定性理论紧密联系： 多体问题也是一般力学问题：天文动力学也是星际航行学的分支，引力理论、小 恒星系的运动等是与天体物理学的共同问题；动力演化是与天体演化学的共同问 题以及地球自转理论是与天体测量学的共同问题等。 4 重壅奎堂耍主堂焦笙塞 ! 鲞竺查堂皇! 堡塑墅塑翌壁塾堡 1 2n 体问题的起源和早期发展 在二十世纪的第一次数学家大会( 1 9 0 0 年) 上，二十世纪伟大的数学家希尔伯 特( d a v i dh i l b e r o 在他著名的演讲中提出了2 3 个困难的数学问题，这些数学问题在 二十世纪的数学发展中起了非常重要的作用。在同一演讲中，希尔伯特也提出了 他所认为的完美的数学问题的准则：问题既能被简明清楚的表达出来，然而问题 的解决又是如此的困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。为了说明他 的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费尔马( p i e r r e d e f e r m a t ) 猜想， 即代数方程z4 + y ”= z ”在n 大于2 时是没有整数解的；第二个就是n 体问题 的特例一三体问题。值得一提的是，尽管这两个问题在当时还没有被解决，希 尔伯特并没有把他们列进他的问题清单。但是在整整一百年后回顾，这两个问题 对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的2 3 个问题中任 何一个都大。费尔马猜想经过全世界几代数学家几百年的努力，终于在1 9 9 4 年被 美国普林斯顿大学( p r i n c e t o nu n i v e r s i t y ) 威尔斯( a n d r e ww i l e s ) 最终解决，这被公认 为二十世纪最伟大的数学进展之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是 在解决问题的过程中好几种全新的数学思想诞生了。 正象希尔伯特指出的，费尔马猜想的产生来源于纯粹的数学思维，而体问 题则来源于天体力学，对它的认识也有助于人类对自然界最简单的基本现象的理 解。 1 2 。1n 体问题的含义 n 体问题可以用一句话写出来：在三维空间中给定n 个质点，如果在它们之 间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎 样在空间中运动。最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。在浩瀚 的宇宙中，星球的大小可以忽略不计，所以我们可以把它们看成质点。如果不计 太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我 们就可以把它们的运动看成一个三体问题。我们知道地球和月球都在进行一种周 期性运动，这样我们才有了年，月和目的概念。 1 2 2n 体问题的的数学模型及其发展 n 体问题是一个有3 n 个方程的二阶常微分方程组。 g m m 竹葺=_ 二等( x j t ) ，1 s n( 1 】) 7 “i x , 一玉i 这里珊是第i 个天体的质量，x i r ( k = 2 , 3 ) 是第i 个天体的位置向量。g 为 万有引力常数，常作量纲变换使g = 1 。 当= 1 时，单体问题是个平凡的方程。单个质点的运动轨迹只能是直线匀 速运动。 5 里鏖叁兰堡主堂焦堕塞 ! 鲞堡垄堂兰! 堡塑璧塑! 塑塾堡 当n ：2 的时候为二体问题，问题就不那么简单了。但是方程组仍然可以化 简成一个不太难解的方程， j “) ：一a x _ ( t ) ( 1 2 ) ) 1 3 这罩工“) 是行星的轨道，a 是常数。我们都可以解出来。简单来说这时两个质点的 相对位置始终在一个圆锥曲线上，也就是说如果我们站在其中一个质点上看另一 个质点，那么另一个质点的轨道一定是个椭圆，抛物线，双曲线的一支或者直线。 二体问题，常被被称为开普勒问题( k e p l e rp r o b l e m ) ，用以纪念德国天文学 家开普勒，他发现的定律解释了第谷布拉赫( t y e h ob r a h e ，1 5 4 6 1 6 0 1 ) 的天文观 测，同时激发了牛顿创立万有引力模型。 j o h a n n k e p l e r ( 开普勒，1 5 7 1 1 6 3 0 ) 三定律： 八( t 6 2 7 ) 行星的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆。 b ( 1 6 0 9 ) 行星与太阳的连线在相等的时间里扫过相等的面积。 c ( 1 6 2 7 ) 轨道的周期的平方正比于距太阳的最远和最近距离的平均值( 即 半长轴长) 的立方。 i s a c cn e w t o n ( 1 6 4 2 1 7 2 7 ) 万有引力定律： 1 6 8 7 年，n e w t o n 在他出版的原理中证明了k e p l e r 三定律等价于引力加速 度反比于行星到太阳的距离的平方，即等价于( 1 2 ) 。 瑞士数学家约翰伯努利f 4 】( j o h a n n b c r n o u l i ，1 6 6 7 1 7 4 8 ) 于1 7 1 0 年最早给出了 开普勒问题的完整的数学解答。 n 体问题的提出大概可以追溯到上千年前，但是这一问题的第一个完整的数 学描述( 象使用上面这样的微分方程组) 是出现在牛顿的“自然哲学的数学原 理”( p h i l o s o p h i a en a t u r a l i sp r i n i c i p i am a t h e m a t i c a ，1 6 8 7 年出版) 一书中。在他的著 作中，牛顿成功地运用微积分证明了开普勒的天文学三大定律，但是奇怪的是他 的书里并没有给出二体问题的解，尽管这两者是紧密相关的，而且现在的人们还 是相信牛顿当时完全有能力自己给出二体问题的解。至于三体问题或者更一般的n 体问题( n 大于二) ，在被提出以后的二百年里，被十八和十九世纪几乎所有著名的 数学家都尝试过，但是问题的进展是微乎其微的。尽管在失败的尝试中微分方程 的理论被不断地发展成为一门更成熟的数学分支，但是对于这些发展的源头一n 体问题，人们还是知道的太少了。 关于n 体闯题的发展，法国数学家，物理学家庞加莱( j u l e sh e n r ip o i n c a r e ) 功 不可没。他曾被称为现代数学的两个奠基人之一( 另一个是黎曼( b e r n h a r d r i c ：i n a n n ) ) ，也有人称他为历史上精通当时所有数学的最后两个人之一( 另一个就是 希尔饷特m 6 里盎查兰堡主兰堡垒茎 ! 墨堡垄堂皇! 箜塑墼塑笪量燮一 下面简单回顾一下庞加莱在这一时期的工作究竟给n 体问题的解决带来了什 么进展。 第一，庞加莱证明了对于n 体问题在n 大于二时，不存在统一的第一积分 f m n i f o 廿nf i r s ti n t e g r a l ) 。也就是说即使是一般的三体问题，也不可能通过发现各种 不变量最终降低问题的自由度，把问题化简成更简单可以解出来的问题，这打破 了当时很多人希望找到三体问题一般的显式解的幻想。在一百年后学习微分方程 课的人大多在第二个星期就从老师那里知道绝大多数微分方程是没法找到定量的 解的，但一般都能从定性理论中了解更多解的性质，甚至可以通过计算机“看到” 解的形状行为。而在庞加莱的年代，大多数数学家更热衷于用代数或幂函数方法 找到解，使用定性方法和几何方法来讨论微分方程就是起源于庞加莱对于n 体问 题的研究，这彻底改变人们研究微分方程的基本想法。 第二，为了研究n 体问题，庞加莱发明了许多全新的数学工具。例如他完整 地提出了不变积分( i n v a r i a n ti n t e g r a l s ) 的概念，并且使用它证明了著名的回归定理 ( r e c u r r e n c et h e o r e m ) 。另个例子是他为了研究周期解的行为，引进了第一回归映 象( f i 贼r e t u r n m a p ) 的概念，在后来的动力系统理论中被称为庞加莱映象。还有象特 征指数( c h a r a c t e r i s t i ce x p o n t e n t s ) ，解对参数的连续依赖性( c o n t i n u o u sd e p e n d e n c e o f s o l u t i o n sw i t hr e s p e c tt op a r a m e t e r s ) 等等。所有这些都成为了现代微分方程和动力系 统理论中的基本概念。 第三点，也许是最重要的一点，是庞加莱通过研究所谓的渐进解( a s y m p t o t i c s 0 1 , a f t o n s ) ，同宿轨道o a o m o c l i n i co r b i t s ) 和异宿轨道m e t r o c l i n i co r b i t s ) ，发现即使 在简单的三体问蹶中，在这样的同宿轨道或者异宿轨道附近，方程的解的状况会 非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时， 这个轨道的最终命运。事实上半个世纪后，后来的数学家们发现这种现象在般 动力系统中是常见的，他们把它叫做稳定流形( s t a b l em a n i f o l d ) 和不稳定流形 ( u n s t a b l em a n i f o l d ) 正态相交( i n t e r s e c t st r a n s v e r s a l l ”所引起的同宿交错网 o m m o c l i n i ct a n g l e ) ，而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，数学家和物理学家 称之为混沌( c h a o s ) 。庞加莱的发现可以说是混沌理论的最早起源了。 1 2 3 非碰撞的奇点解 太阳系中所有行星及其它们的卫星基本上都以太阳为参照物做着周期运动。 然而在宇宙中并非所有星球都能保持这种周期运动，即使今天各种街头小报上仍 然经常充斥着些关于将有小行星撞击地球，从而人类将面临灭顶之灾，许多好 莱坞电影也使用现代科技栩栩如生地向我们展示了这种可怕的灾难。尽管从科学 上讲在短期内我们并不用杞人忧天，但是在漫漫宇宙中，星球的碰撞并非不可能， 现在许多科学家都相信曾经一度独霸地球的恐龙正是在一次小行星撞击地球后灭 7 重鏖墨兰堡主堂垡笙兰 ! 丕堡垄堂皇! 笪塑璧堕堂墨塑望 亡的。既然n 体问题本来就是被用来作为星球运动的模型，我们可以猜想在n 体问题某些解里会有碰撞发生。事实上大家可以看到即使在二体问题中，如果两 个质点的相对位置总在一条直线上的话，它们是可以在有限时间内就碰撞在一起 的，这样这个微分方程的解在这一时刻就失去意义了因为方程右面某些项的分母 成了零。在这种情况下我们称方程有一个奇点( s i n g u l a r i l y ) ，而这个奇点就是一个 碰撞( c o l l i s i o n ) 。 1 2 4n 体问题及其周期解的最新进展 尽管体问题中著名的庞勒维猜想已经在上个世纪结束前被成功地解决了， 体问题本身还是有太多的神秘领域值得新世纪的年轻数学家们探索。也许在今后 几个世纪里，n 体问题将仍然是新的数学和新的恩想的源泉，就象过去的三百年 一样。例如近年来在三体问题周期解方面又有最新进展，一种三个质点在一个平 面8 字形轨道上周期运动的解被法国数学家陈思纳( & l a i nc h e n c i n e r ) 和美国数学家 蒙哥马利( r i c h a r dm o n t g o m e r y ) 发现，后被我国数学学者张世清等人用变分方法给 出了极其简单的证明，两且进一步的计算机数值模拟还发现了更多的具有各种奇 特轨道的周期解。 1 3 三体问题 本小节我们回顾3 体问题及其主要的结果。 考虑3 个天体在n e w t o n 万有引力作用下的运动方程： 3g 舶m m j 讯= 互r ( 乃一吼) ， 1 i 3 ( 1 3 ) ”“”i 目一q “ 这里m i 是第i 个天体的质量，吼 = 2 , 3 ) 是第f 个天体的位置向量。 3 体问题的研究尽管没有完全清楚，但也有很多成果，下面就以结论的形式， 列出一些重要的结果。 结论1 3 1 ( e u l e r1 7 6 7 ) 6 1 对任意给定质量成； 0 ，及周期t 0 ，方程( 1 3 ) 具有以 下性质的周期解： 1 ) 三个天体在任何时刻均共线； 2 ) 每个天体均饶公共质心做以t 为周期的椭圆运动。 结论1 3 2 ( l a g r a n g e1 7 7 3 ) 7 1 对任意质量用， 0 ，方程( 1 3 ) 具有以下性质的周 期解： 】) 包含3 个天体的平面在质心坐标系下是固定的； 2 ) 3 个天体中的任何一个天体受到的牛顿引力的合力均穿过系统的公共质心； 3 ) 3 个天体形成的三角形是等边三角形： 4 ) 3 个天体的轨道是以公共质心为一个焦点的相似的二次曲线。 8 重鏖奎兰堡主翌垡丝奎 ! 至笪查堂皇! 笪塑壁塑堕墨塑塑 结论1 3 3 ( p a i r d e v e1 8 9 5 ) 三体问题不存在爆炸解。 定理1 3 4 ( p l u m m e r1 9 0 1 ) e u l e r 共线解是不稳定的。 结论1 3 5 ( s u n d m a n 第一引理1 9 1 3 ) 若r 3 中的三体问题的三个角动量不全为 0 ，则三个天体形成的三角形的周长始终大于一个正常数。 结论1 3 6 ( s u n d m a n1 9 1 3 ) 若三个天体在某一时刻同时碰撞，则空间中三体问 题的三个角动量全为o ，进一步，三个天体的运动平面必是圃定的。 结论1 3 ，7 ( s u n d m a n 第二引理1 9 1 3 ) 如果三体闽题的角动量守恒分量不全为 0 ，则三体形成的三角形的最短边对着的天体的速度始终小于一个正常数。 结论1 3 8 ( s u n d m a n1 9 1 3 ) 对三体问题( 1 。3 ) ，引进新变量： 。m ，, m z ( t ) = 髦一二上p l s i j s 3 1 x i ( s ) 一x ：( s x l ， 若三体问题的总角动量不为0 ，则置( z ) 是复平面：c 上的包含实轴的带型域 # 2 z ， f l m z j 中的全纯函数。做共形映照珊：甜= 28 1 ) 28 + 1 ) 叫 则将带型域i l m z l 占共形映照到单位圆盘f c o f 1 上，将实轴o o ： + 映到线 段一l 国 l ，x ；的坐标在圳 1 中是全纯函数，它们可以展开成新变换国的幂级 数，这些幂级数描述了三体问题在所有时刻一o o 0 k 叫呻0 酗后) ： 3 ) ( 双曲“椭圆运动) ：k ( f ) f _ q k ( f ) i - - 9 c 女 0 o j j ) ，s u pi t ( f ) l o o ： t f 0 4 ) ( 抛物椭圆运动) ：l t ( f ) 】+ ，k ( f ) f 呻o ，( f 七) ，s u p 】_ ( f ) j ； t t n 9 重鏖奎堂堡主兰垡笙奎 ! 蒌堡垄! 兰皇! 竺塑嬖堕堕量! ! 生 5 ) ( 抛物运动) ：f x k ( t ) ( j m 靠( 叫。o 寸) ： 6 ) ( 有界运动) ：s u pk o ) 【 0 ，那么r e x ( o 也是具有质量 m = ( m i ，i , b 2 ，r a 。) 的一个中心构型解。在这种情况下，我们记成工( f ) r e x ( t ) 。按 照这样的意义，我们定义了一个等价类。这就是说，中心构型在等价意义下对于 质心坐标系下的正交变换，伸缩变换具有不变性。 从引理1 5 可知，在研究中心构型等价类的分类结构问题的时候，我们可以只 研究每个中心构型等价类的某个代表。 引理1 m 6 【1 6 。7 刎如果个构型_ r = ( x 。( f ) ，工：( ，) ，工。( f ) ) 是方程( 1 4 ) 的 h o m o g r a p h i c 解，那么p = x ( o ) 是具有质量m = ( m 】，m 2 ，m 。) 由定义1 3 定义的中 心构型。如果p 可以张成尺3 空间，那么x = ( 而( f ) ，而( f ) ，x 。( f ) ) 具有形式 x ；，( f ) x ( 0 ) = ，( f ) ，即是一个其中，= r ( f ) 满足，( f ) = 一, x l r ( t ) 2 的h o m o t h e t i c 解。 为什么中心构型在天体力学中，在动力系统中一宣占有重要她位，从而深深 地吸引着众多的数学工作者昵? 以至于大数学家s t a r es m a l e i ”1 提出的2 l 世纪动 力系统的十大难题之八就是关于中心构型的。s t a r es r n a l e 所提的问题是“给定一组 质量咱，物，( 他 0 , 1 fsn ) ，考虑天体力学中的n 体问题，问中心构型的个 数是有跟的吗? ”究其原因在于中心构型对于研究n 体问题的解有着重要的贡献 【l ”，具体表现为： ( 1 ) 处于中心构型位置的天体以零初速度释放，所有天体都会向着原点加速运 动，最终同时碰撞在一起。这种简单的碰撞轨道是n 体问题的一个显示解【2 6 1 。 ( 2 ) 平面中心构型能产生一族周期解，当天体在中心构型位置以一恰当的初速度 ( 垂直于位置向量，大小与到原点的距离成正比) 释放，天体将作椭圆运动：当 速度到达某一值时，天体将作圆周运动：当速度为零，就成碰撞解。 ( 3 ) 因为n 体问题是个h a m i l t o n 系统，其总能量h 是一运动常量，因此相空 间中的运动轨迹总是在同水平集上。这涉及到n 体问题的拓扑结构研究。当总 能量h 及转动惯量变化时，包含上面提到的周期运动的分岔轨道就出现了。 尽管中心构型解是建立在质心坐标系下；然而，在许多中心构型等价类的研 重庆大学硕士学位论文 1天体力学与n 体问题的背景知识 究中，为了简化我们需要考虑坐标原点不在具有质量m = ( m 。，m ：，m 。) 的构型x 的质心位置的情形。例如，坐标原点建立在构型x 的几何中心的情况。 对任意坐标系，我们有： 引理1 4 7 如果具有质量m = ( m 。，m ：，m 。) 的构型x 的质心不在坐标原点， 中心构型方程( 1 5 ) 等价于 ” i m ，；弓；t 奇勺卜咖 飞 k 挺” o 8 这里= ：。m 。x 。，；。t h 。是具有质量m = ( m 。，m ：， i t 。) 构型x 的质心。 在众多数学工作者的努力下，在中心构型的研究方面取得了丰硕的成果，包 括中心构型的个数形状，拓扑性质等等。数学工作者们已经证明了中心构型存 在共线解、正多边形解唧、多边形嵌套解2 9 1 、具有正多边形基底的金字塔解m 3 1 。 在这篇毕业论文中，基于笔者已发表的，和已投稿的几篇论文，讨论了两类 正多面体套型中心构型等价类的存在唯一性，一类平面菱形套中心构型等价类的 存在唯一性。讨论了以任意三角形为基底的中心构型等价类的充分和必要条件， 讨论了一类以平行四边形为基底的中心构型等价类的分类，一类以凹五边形为基 底的中心构型等价类。 笔者在研究生学习期间发表或撰写的论文见3 3 _ 4 51 或附录2 。 1 2 _ 重壅叁堂堡主堂垡堡塞 ! 兰立堡奎型生：生丝型 2 立方体套中心构型4 6 】 2 1 问题与结论 考虑如下的构型，假定在r 3 空间中由两个正六西体构成以它们的几何中心为 中心的射影图形。即：两正六面体的几何中心重合，而对应顶点连线均过它们的 公共几何中心。我们有 定理2 1 带有1 6 个质点的构型x ( r 3 ) 1 6 形成一个如上所述的中心射影构型， 该构型为中心构型的充分必要条件是 ( i ) 位于外层正六面体各个顶点处的8 个质点的质量均相等，同样地，位于 里层正六面体各个顶点的8 个质点的质量均相等。 ( 2 ) 位于外层质点的质量与位于内层质点的质量的比值掣与两个正六面体外 接球的半径的比，满足如下关系式 r 延+ ! + 鱼、，一! i l 一一一j r + l 3 r - i 一 1 ：一：兰! 坚：q ! ! 窆：! ! ! ! f 【q ! ! ) ! ! ! ! ! ! ：【堡! ! ! 二! ! ! ! ! ! ! ：堡丝! ! ：生二! e r ! + ! + 型鱼、土一一! ! ! ! 1 ) 一一一丛! + ! ! 一一r ( - r + 3 ) 一r ( - r + 1 ) 、2 2 。1 8 r 2 ( 3 2 ) 7 2l r + 1 i 3 【( 3 2 ) r 2 + r + 3 2 r7 2 ( 3 2 ) r 2 一，+ 3 2 r7 2 ( 3 2 ) 3 7 2 i r lr 定理2 2 带有1 6 个质点的构型工e ( r 3 ) ”形成一个如上所述的中心射影构型，任给 质量的比值u ，当0 0 ) 下具有不变性，我们主要对0 r 1 的 情形我们可以化成0 r 1 的情况证明。 相对于我们的问题，中心构型方程( 1 5 ) 或( 1 8 ) 可以化成如下等价的形式： 未+ ( x j - x d ( 亲玎一e t o ) + 喜啄弓刊再旨喝瑚，l k 8 ( 2 1 7 ) 善8 吣吲( 考玎嘞) + ，言。啄弓吲毒旨玛) 0 ，l k 8 ( 2 1 8 ) 这里，= h i m ，m = ：。( m ，+ 秀) 。 为了讨论问题的方便，将方程组( 2 1 7 ) ，( 2 1 8 ) 的每一个方程点乘歹o ：( o ，l ，o ) r ， 并将所得到的方程组记为 4 而= 石 ( 2 1 9 ) 这里而= ( m t ，腕。，扁，威：，魄) t ，a 为相应方程组的系数矩阵，丽5 为 1 6 维列向量，( 2 19 ) 。表示( 2 1 9 ) 中第k 个方程。 由( 2 1 9 ) 】( 2 1 9 ) ，( 2 1 9 ) 9 一( 2 1 9 ) ：，得 1 4 垦壅查芏堡主堂堡笙壅 ! 望塑璧型皇尘墼 ( 击一专) ( 伪：一双一+ ) + 丽r 一砺丽r1 ( m 2 - r n 4 - m s + t ( 乃 瓯) = o 。2 r = r + ) ”2 ( ，2 一，+ ) 3 “ “ ( 2 2 0 ) 万南一万南m 鸭一弛一+ )。：引， + 砖一专) 砉( 视也吨十纸) ；o 由( 2 1 9 ) 2 + ( 2 1 9 ) 4 一( 2 1 9 ) 6 - ( 2 1 9 ) 8 得 ( 吾一；i ：一杈一眠+ ) + 赫( r - 1 ) + ( - 3 赫一i ；南一赫】( 耐z 一而扁。+ 而s ) = 。( ；2 ) 2 ，2 + r + ；) 2( r 2 一r + ) 2( ；( r + 1 ) 2 ) “2 儿2 ”。驯 由( 2 1 9 ) 1 0 + ( 2 1 9 ) 1 2 一( 2 1 9 ) t 4 一( 2 1 9 ) 1 6 得 ， 1 一rr 十11 一rr + 1 、， ( (