（应用数学专业论文）基于脉冲控制的混沌同步研究.pdf

摘要 摘要 混沌同步在混沌研究中有着举足轻重的地位基于其在保密通信、信息科学等领域 的潜在应用，混沌同步问题在近几十年里得到了广泛而深入的研究，并逐渐成为当前非 线性系统研究中的热点之一本文基于l y a p u n o v 方法、脉冲微分方程稳定性理论、不等 式技巧等，对驱动一响应动态网络、驱动一响应延时耦合动态网络、驱动一响应时变动 态网络的同步控制问题进行了研究 全文共分五章，主要内容如下 第一章介绍了混沌理论的研究背景和意义、混沌同步控制的研究现状和本文的主要 研究内容和创新点 第二章研究了驱动一响应动态网络的投影同步问题基于预先给定的投影因子，设 计合适的脉冲控制器，将响应动态网络状态投影同步到一个确定的数值上根据脉冲微 分方程稳定性理论，给出了投影同步的准则，数值模拟计算验证了脉冲方法的有效性 第三章分析了驱动一响应延时耦合动态网络投影同步问题基于驱动一响应动态网 络投影同步的脉冲控制设计方案，构造合适的脉冲控制器利用l y a p u n o v 泛函方法给出 了系统投影同步的判定准则数值模拟计算验证了脉冲方法的有效性 第四章讨论了驱动一响应复杂动态网络投影聚类同步问题考虑满足一定条件的耦 合机制对驱动一响应混沌系统聚类同步的影响，通过脉冲控制方法使含有+ 1 个节点 的驱动一响应系统达到预先选定的聚类同步类型，给出了网络聚类同步的充分性条件 第五章探讨了驱动一响应时变复杂网络系统的投影同步问题研究时变耦合复杂网 络系统的同步状况，利用矩阵测度方法，给出了时变系统投影同步的判定准则，数值模拟 验证了所得结论的有效性 关键词：混沌系统，驱动一响应动力网络系统，投影同步，聚类同步，l y a p u n o v 稳定性理 论，脉冲微分方程 a b s t r a c t a b s t r a c t c h a o ss y n c h r o n i z a t i o np l a y sap i v o t a lr o l ei nc h a o ss t u d i e s i nr e s e n td e c a d e s ，c h a o s s y n c h r o n i z a t i o nh a sb e e ne x t e n s i v e l ya n di n t e n s i v e l ys t u d i e dd u et oi t sp o t e n t i a la p p l i c a t i o n s i ns e c u r ec o m m u n i c a t i o n 。i n f o r m a t i o ns c i e n c ea n ds oo n ，m o r e o v e r , i th a sb e c o m eaf o c a l i s s u ei nm o d e mn o n l i n e a rs c i e n t i f i cr e s e a r c h b a s e do nl y a p n n o vm e t h o d ，t h es t a b i l i t yt h e o r y f o ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i n e q u a l i t yt e c h n i q u e ，t h et h e s i sa d d r e s s e s c o n t r o la n da p p l i c a t i o no fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o nf o rs e v e r a lc l a s s e so fc h a o ss y s t e m sw h i c h i n c l u d e d r i v e r e s p o n s ed y n a m i c a ln e t w o r k s 。d r i v e r e s p o n s ed y n a m i c a l n e t w o r k sw i t h c o u p l i n gd e l a y s ，d r i v e r e s p o n s et i m e d e l a y i n gd y n a m i c a ln e t w o r k s t h i st h e s i sc o m p r i s e sf i v e c h a p t e r sa n d t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s i nt h ef i r s tc h a p t e ro ft h i st h e s i s ，t h eg e n e r a lb a c k g r o u n do fc h a o st h e o r yi sg i v e n , a n dt h e s i g n i f i c a n c eo fs t u d i e so nc h a o st h e o r yi si n t r o d u c e d a l s ot h em a i nc o n t e n t sa n ds i g n i f i c a n c e o ft h i sd i s s e r t a t i o na r eg e n e r a l i z e d i nt h es e c o n dc h a p t e r , t h ep r o je c t i v es y n c h r o n i z a t i o no fd r i v e - r e s p o n s ec o m p l e x d y n a m i c a ln e t w o r k si si n v e s t i g a t e d t oc o n t r o lp r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o no fc h a o t i cs y s t e m s i nap r e f e r r e dw a y , a ni m p u l s i v ec o n t r o ls c h e m ei sa d a p t e dt od i r e c tt h es c a l i n gf a c t o ro n t oa d e s i r e dv a l u e b yu s i n gt h es t a b i l i t yt h e o r yo ft h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n , t h ec r i t e r i a f o rt h ep r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o na r ed e r i v e d t h ef e a s i b i l i t yo ft h ei m p u l s i v ec o n t r o lo ft h e p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o ni sd e m o n s t r a t e di ns i m u l a t i o ne x a m p l e s i nt h et h i r dc h a p t e r , t h ep r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o ni nt h ed r i v e r e s p o n s ed y n a m i c a l n e t w o r k sw i mc o u p l i n gd e l a y si sd i s c u s s e d f i r s t ，t h ed r i v e r e s p o n s ed y n a m i c a ln e t w o r k s w h e r et h er e s p o n s es y s t e mc o n s i s to fd e l a yc o u p l e dc h a o ss y s t e m si si n t r o d u c e d t h es u i t a b l e i m p u l s i v ec o n t r o l l e ra l l o wt h es y s t e ms y n c h r o n i z et h ed r i v e r e s p o n s ed y n a m i c a ln e t w o r k st oa d e s i r e ds c a l a rf a c t o r s o m ec r i t e r i aa r ed e r i v e db ye m p l o y i n gs u i t a b l el y a p u n o vm e t h o d t h e c o n t r o lm e t h o dg e n e r a l i z e st h er e s u l ti nt h ep r o f f e rl i t e r a t u r e i nt h ef o r t hc h a p t e r , t h ep r o j e c t i v ec l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mo fc o m p l e xn e t w o r k s i ss t u d i e d t h ee f f e c t so fc o u p l i n gs c h e m es a t i s f y i n gs o m ec o n d i t i o n sa r ec o n s i d e r e di n r e a l i z i n gc l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o n t h ec l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o nw i t hd e s i r e ds c a l i n gf a c t o r sc a l l b ee x p o n e n t i a l l ya c h i e v e di nt h ed r i v e - r e s p o n s es y s t e mc o n s i s t i n gn + 1n o d e sv i ai m p u l s i v e c o n t r o lm e t h o d s e r v e rs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed e r i v e d n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ep r o v i d e d t od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dc o n t r o lm e t h o d i nt h ef i f t hc h a p t e lt h e p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o no ft i m e - v a r y i n gc o m p l e xn e t w o r k si s i n v e s t i g a t e d ，w ec o n s i d e rs y n c h r o n i z a t i o ni nt i m e v a r y i n gc o u p l i n gn e t w o r k s ，i nw h i c ht h e w e i g h t so fl i n k sa r et i m ev a r y i n g b a s e do nau s e f u la p p r o a c h t h em a t r i xm e a s u r e ，s o m e s i m p l eb u tg e n e r i cc r i t e r i af o re x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o no ft i m e v a r y i n gc o m p l e xn e t w o r k s a r eo b t a i n e d i ti ss h o w e dt h a t 也eo b t m n e dr e s u l t sa r ee a s yt ov e r i f ya n ds i m p l et oi m p l e m e n t i np r a c t i c e t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n so fc o m p l e xn e t w o r k sb a s e do nl t i s y s t e mv e r i f yo u rm a i n r e s u l t s k e y w o r d s ：c h a o ss y s t e m ，d r i v e r e s p o n s ed y n a m i c nn e t w o r k s ，p r o je c t i v es y n c h r o n i z a t i o n , c l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o n ，l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得江南 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签 名：盘筵毽日期：竺兰丝继 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文， 并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：起接i2 - 导师签名： 1 1 日 期：群：丝i ； | 第章绪论 第一章绪论 1 1 混沌理论的研究背景和意义 混沌是一种由确定性非线性系统产生的对于初值极为敏感而具有内禀随机性和长 期预测不可能性的往复周期运动它广泛的存在于自然界中如大气的变化，人口的增长 和脑电波的无规则波动等都存在着混沌现象对混沌现象及混沌动力学的研究有助于人 们正确地认识和深刻地把握客观世界的发展规律 1 9 6 3 年，美国著名气象学家l o r e n z 1 】发表的著名论文决定论非周期流取得了现 代混沌研究的突破性进展l o r e n z 用数值方法揭示了在一个由确定的三阶常微分方程描 述的大气对流模型中也存在混沌运动，并发现系统初始值的微小变化会导致系统长期演 化行为的不可预测性此现象被形象地称为“蝴蝶效应”，即巴西境内的一只蝴蝶煽动 翅膀导致大气状态极小的变化可能引起美国德克萨斯州的一场龙卷风蝴蝶效应是混沌 现象的一个生动描述在此后的三十年里，关于混沌的研究主要集中在对混沌现象的理 解和分析上，例如混沌的数学定义、混沌的特征及分析方法、周期轨迹的研究等诸多方 面混沌学作为一门新兴的学科逐渐形成1 9 7 5 年，美国数学家李天岩和y o r k e r 2 1 在 a m e r i c a nm a t h e m a t i c a lm o n t h l y 杂志上联合发表周期三意味着混沌的论文，首次提出 “混沌”一词，并给出混沌的数学定义：连续函数如果存在一个周期为3 的周期解，就会 出现各种周期的解，从而导致混沌美国生态学家m a y t 3 】发表的论文具有及其复杂动力 学的简单模型表明一维平方映射l o g i s t i c 映像也能产生复杂的周期倍化的混沌运动， 并意外发现混沌现象中的普适性此后青年物理学家f e i g e n b a u m l 4 】发现倍周期分岔转向 混沌过程中的标度性和普适常数随着对混沌理论研究的不断深入，人们揭示出混沌的 许多基本属性，主要有有界性、遍历性、内禀随机性、分维性、标度性、普适性、统计 特征啼1 正是这些独特性质使人们错误的认为混沌是不可控制的，不可靠的，因而是无法 应用的因而束缚了人们对混沌特性进行利用的研究，直到19 9 0 年o g y 参数微扰方法【6 】 和驱动一响应同步方案【7 】的提出，人们才开始注重混沌的动力学行为分析及其相关应用 研究 混沌的发现被称为是继相对论和量子力学之后物理学中最伟大的发现之一，它架起 了确定论和概率论两大理论体系之间的桥梁，被誉为2 0 世纪物理学的第三次革命【8 。9 1 对 混沌的研究逐渐构成了非线性动力学的个主要方面，并成为半个世纪以来非线性科学 研究中的主要方向【l o - t s i 因此混沌的研究具有重大的理论意义，它不仅对数学、物理、力 学的各个分支的研究有重大的促进作用，也为化学、生物学、生态学、经济学等学科提 供了一种分析问题的全新思路，甚至对人类认识自然界的一些基本范畴如因果论、决定 论、随机性等也有深刻的启示 江南大学硕士学位论文 1 2 混沌同步控制的研究现状 在自然界及人们的日常生活中存在着大量的同步现象，如萤火虫同步发光、蟋蟀齐 鸣、心肌细胞和大脑神经网络的同步、演出结束后观众鼓掌节奏趋于同步等等早在1 7 世纪，h u y g e n s 就发现了两个钟摆的完全同步振荡此后，同步问题在力学、电学、光学 及生物学等众多学科领域中受到广泛关注但长期以来，人们认为混沌系统要达到同步 是不可能的直到1 9 9 0 年，p e c o r a 和c a r r o l l 首次提出驱动一响应的混沌同步方案并在 电子线路设计实验中观察到混沌同步现象，混沌同步研究就逐渐成为非线性科学中的一 个热点 1 6 - 2 2 】同步方案如激光混沌同步、电路混沌同步相继被提出并在实验上得到验证 随着混沌同步研究的深入，各种混沌同步现象被不断发现如完全同步【2 3 1 、反同步 1 2 4 1 、滞后同步 2 5 - 2 8 】、期望同步1 2 9 - 3 4 】、广义同步1 3 5 4 1 1 、投影同步 4 2 _ ”1 、相位同步【4 6 4 8 1 等其 中投影同步是非常有吸引力的同步现象19 9 9 年，m m n i e r i 和r e h a c e k t 4 9 l 首先在l o r e n z 系 统和d i s k d y n a m o s 系统的研究中发现这两个部分线性系统可以按比例同步到一个确定的 比例因子a 上即投影同步现象x u t 5 0 】的研究表明在同步过程中很难确定这个比例因子a 的范围因为a 不仅依赖于系统的初始值也受到系统的混沌动力学行为的影响从应用 的角度看，以某种确定的方法来选择或预测a 的范围非常有好处很多人对此问题做了 深入研究 5 1 - 5 2 l ，同时混沌控制理论的发展使人们掌握了从控制论角度研究混沌同步的控 制方法经过几十年的研究已经掌握并广泛运用的同步控制方法有自适应控制方法【5 引、 最优控制方法【5 4 1 、鲁棒控制方法( 5 5 l 、脉冲控制方法【5 6 1 、连续反馈控制方法【5 7 】等 另一方面，脉冲现象作为一种瞬时突变行为，在自然界中也是普遍存在的这种瞬态 的变化过程往往更能深刻地、精确地反映动态系统的演化规律脉冲动力系统已成功地 应用于大型航天器的减振装置、卫星轨道的转换和移动通信中传输信号的切换等在复 杂动力网络的拓扑结构中自然也存在脉冲现象，例如在i n t e r n e t 网络中传输信号切换时， 节点间的连接就具有脉冲效应此外，脉冲控制技术是一种优于一些连续控制方案的易 于实现的混沌控制技术，是一项较吸引人的方法 5 7 4 1 1 它的数学模型是脉冲微分方程，描 述的是在某些时刻以跳跃形式改变其状态的演化过程g u a n 6 2 】等研究了一类混沌系统的 同步问题，提出了脉冲控制的具体操作办法y a n g 在文献 6 3 中研究两个非自治混沌系 统之间的脉冲同步的实用稳定性在研究混沌系统同步过程中，相对于其他的控制方法， 脉冲控制方法使用的控制器具有简单的结构，仅用很小的控制就能使混沌系统达到稳定 的同步状态，在同步的实际应用中易于实现控制，此外脉冲控制方法的控制项即使在离 散的时间内也能工作，极大的减小了控制能量，应用于混沌保密通信中时可增强通讯的 安全性因此可考虑将脉冲控制应用到混沌网络系统中l ip i n g 在文献 6 4 中利用脉冲 控制原理，研究了耦合延时神经网络的鲁棒同步z h o u f 6 5 l 研究了具有脉冲影响的复杂延 时动态网络的同步问题如何用混沌控制来解决耦合或非耦合的复杂延时混沌网络同步 及在保密通信中的具体应用又是一个有考虑价值的问题 2 第一章绪论 1 3 本文的主要工作 本文主要研究了几类非线性混沌系统同步控制问题，考虑延迟的存在及脉冲控制扰 动给混沌同步带来的各种影响，主要内容包括：( 1 ) 在驱动一响应同步方法的基础上，研 究了一类混沌系统的投影同步问题：( 2 ) 基于延迟混沌动态网络考虑时间延时及脉冲扰 动对系统同步的影响：( 3 ) 在驱动一响应同步方法的基础上，讨论了一类混沌系统在脉冲 扰动情况下的聚类同步问题：( 4 ) 利用测度方法研究了具有时变耦合项混沌系统的完全 指数同步准则及应用。具体内容包括 第一章对混沌研究背景、混沌同步研究现状做了简单介绍，在此基础上重点阐述了 本论文的研究意义、主要研究内容 第二章主要研究耦合混沌系统的投影同步问题在文献 6 6 的基础上先提出耦合复 杂动力网络模型如下 i a d = m ( z ) u d ， z = f ( u d ，z ) ， = m ( z ) + c 岛， = l f _ 1 ，2 ，n ， 驱动系统 响应系统 各参数具体定义详见第二章，在文献 6 6 】的基础上考虑了对响应系统中每个节点都添加 脉冲扰动，脉冲控制器( i n l p u i s i v ec o n t r o l l e r ) 取为a u 一= b 一a 蚴】，其中a 是可以任意 事先选定的比例值经过论证，本章给出了一些使得网络存在投影同步的判定准则最后， 以l o r e n z 系统为单个节点的网络模型为例，通过数值仿真进一步说明所得结果的有效 性 第三章在前一章网络模型的基础上考虑延时对投影同步的影响，网络模型如下所述 = m ( z ) ， z = f ( u d ，z ) ， _ = m ( z ) + c 岛“( 卜r ) ， 3 = 1 i = 1 ，2 ，n ， 驱动系统 ( 1 2 ) 响应系统 其中r 0 是时间延时基于脉冲微分稳定性理论，利用脉冲控制法( 即设计脉冲控制器 万= d ( u 一一o u d ) ) 控制模型( 1 2 ) 中响应系统的所有节点与驱动系统的状态变量能同步到 确定的比例因子上因为脉冲控制方法相对其它控制方法能量消耗小，易于实现，反馈项 只在有限的离散时间内起作用，故控制器的设计大大减小了同步控制过程中的控制能量 本章最终得出的同步判定准则实际上是脉冲控制方法在系统( 1 1 ) 中的推广应用 第四章对复杂动力网络系统的聚类同步问题做了研究即研究模型( 1 1 ) 中驱动系统 与响应系统之间聚类同步控制问题本章只考虑耦合矩阵尸满足一定条件的网络模型的 同步问题，即耦合矩阵p 是对称矩阵且对角线元素由p i ，= y “，。i 阢，确定通过增加脉 江南大学硕士学位论文 冲扰动得出网络节点聚类的相关准则同时不难发现驱动系统与响应系统也能达到投影 同步在数值仿真中根据投影同步的比例因子a 可以预先设定聚类同步的类型此方法 在实际操作中易于实现 第五章在测度的意义下，讨论时变耦合网络系统模型的投影同步问题其模型的方 程可表述如下 u d = m ( z ) u d ， z = f ( u d ，z ) ， = m ( z ) + c a , j ( t ) r ( t ) u ， j = l i = 1 ，2 ， 控制器选为a u 。= a r t ( 砖) 一u ，( ) = b k u ，( 气) 基于l y a p u n o v 稳定性理论，本文讨论了该系 统的同步问题最后的数值仿真进一步说明了该方法的有效性和可实现性 本文部分结果己被国际s c i 刊物p h y s i c a ll e t t e ra 发表，详见作者撰写和发表论文清 单 4 第二章驱动一响应动态网络系统的投影同步 第二章驱动一响应动态网络系统的投影同步 2 1 引言 自从1 9 9 0 年p e c o r a 和c a r r o l l 首次提出驱动一响应的混沌同步方案并在电子线路设 计实验中观察到混沌同步现象以来，混沌同步研究就成为非线性科学中的一个热点混 沌同步的研究不仅在保密通信、非线性电路、人体生命科学、激光、等离子体、强流离 子束等众多的学科领域已经取得初步的成果，而且在生物工程、力学工程、电力工程、 化学工程、计算机工程、物理等越来越多的领域内展现出了诱人的应用前景 随着对混沌现象的不断深入研究，各种同步现象被发现，如完全同步、广义同步、滞 后同步、投影同步等m a i n i e r i 和r e h a c e k l 4 9 1 在耦合的部分线性系统中首次发现了投影同 步因为此类同步具有将系统的状态变量同步到一个确定的缩放因子上的独特性质，所 以在众多的同步现象中，投影同步备受关注x u 5 0 , 5 1 分析了线性系统及非线性系统中投 影同步的控制方法及充分条件w a n g 和b u t 6 8 】讨论了投影同步的控制方法并运用在混沌 加密中文献 6 6 提出了用p i n n i n g 控制方法研究混沌系统的投影同步问题 另一方面，在众多的控制方法中脉冲控制同步方法具有很强的应用价值，是解决混 沌系统同步问题的一个重要方法 6 9 , 7 0 , 7 1 , 7 2 】脉冲控制方法的主要思想是在某些条件满足时 改变系统的状态并且在同步的脉冲控制方法下，响应系统仅在有限的分散时间内从驱 动系统接受信号，使得控制能量大大减少h u 7 3 1 采用了脉冲控制来研究一类混沌系统的 投影同步 值得注意的是，将脉冲控制方法运用于驱动一响应动态混沌系统同步问题的研究并 不多以文献 7 3 】中的网络系统模型为基础，本章考虑对响应系统添加耦合项以构成新的 耦合驱动一响应动态网络系统，再结合脉冲控制方法及稳定性理论，得出了系统同步的 相关准则 2 2 问题描述及引理 考虑含有1 + 耦合的部分线性混沌系统的驱动一响应动力系统，模型描述如下 = m ( z ) ， i 2 似口? ( 2 1 ) 、- 1 = m ( z ) + c p 口， j = l i = 1 ，2 ，n ， 其中蚴= ( “：，“；，“：) 7 r ”是驱动系统的状态变量，= ( “：，2 ，“：) 7 r ”表示响应系 统中第i 节点的状态变量，其中d 和，分别表示驱动系统和响应系统常数c 0 是耦合强 度实对称且不可约矩阵p = ( 岛) 。满足下列条件 ( 1 ) 当f 时，p 口= p ，o ；( 2 ) ：l p = o 江南大学硕士学位论文 z r 1 是一维耦合变量耦合方阵m ( z ) = ( 鸭，( z ) ) 嗍随着变量z 的变化而变化 定义2 2 1 - 如果存在一个实数a ( a 0 ) 使得1 i m ，一。i i ( f ) 一o u d ( f ) i i = o 对任何正整数 f 都成立，其中a 是比例因子，那么称系统( 2 1 ) 能实现投影同步 在研究中发现系统投影同步中的比例因子较难确定，因为这个因子不仅受到系统的 初始值的影响，也依赖于系统表现出的主要混沌动力文献 6 6 就是采用p i n n i n g 控制方 法研究驱动一响应动力网络系统的投影同步问题并将比例因子a 控制到一个确定的数 值上本章的主要目的即引入一个更加简便易于操作的脉冲控制器使得驱动系统的状态 变量和响应系统状态变量较容易的同步到一个指定的比例值 脉冲微分系统可以描述如下 z = f ( t ，x ) ，t t k ， a x ( t ) = 厶( x ( f ) ) ，t = t k ， ( 2 2 ) x ( t o ) = x o k = 1 ，2 ， 其中x ( t ) r ”是状态变量f ：r + xr ”一r ”是左连续函数在气时刻的控制率定义为 缸( 气) = x ( 砖) 一x ( ) ，并且x ( 譬) = l i m ，tx ( r ) ，x ( t i ) = l i m 川iz ( f ) ，z ( ) = x ( 气) 同时离散 的时间序列 ) 满足条件：当k 寸时，0 f l t 2 五九 令仍= z n ：，巳巳，易知有q = ：。色乃 当f t k 时，由假设及误差系统( 2 5 ) 的第一分式可得 nnnnnn 研= 乡，e j = q ， m ( z ) e j + c 乃，q = m ( z ) 6 i ，e ，+ c 色i p j t e l = lj = 1 l = 1 = l j = l i = 1 n n n n = m ( z ) o j i e j + c ( o o p o ) e , = m ( z ) 仍+ c 丑q ，p j = 1户i i = 1 = l = m ( z ) r l j + c 2 i l r l i ； 当f = 气时，由假设及误差系统( 2 5 ) 的第三分式可得 nn 玩( 气) = 7 7 f ( 瑶) 一纪( ) = 嘭i p ，( 譬) 一巳( ) 】= q ；b e ( ) j = 1j = 1 nnnn = q ，b q ，( t ) = b e ( 皖岛溉( 如) j = l i = l 1 = 1 1 = 1 = b r l j ( 气) 则误差系统( 2 5 ) 经过线性化后可写成下列形式 t l , = m ( z ) + c 2 i i r , ，f t k ， z = f ( u d ，z ) ，( 2 6 ) a r i = b r i ，f = 气， i = 1 ，2 ， 因此n x n 维非线性系统( 2 5 ) 原点的稳定性问题被转化为n x n 维线性系统( 2 6 ) 原点的稳 定性问题 根据前文的分析，我们将驱动一响应动力网络系统( 2 1 ) 的投影同步问题简化成研究 线性系统( 2 6 ) 平衡点的稳定性问题得到的主要结论如下 定理2 3 1 ：令q j r “”是对称正定矩阵，实数孝= m i n ，螂 缸。( q ) ) ，“表示矩阵 m 7 1 ( z ) q + q f m ( z ) 所有特征值的上界，并取= m a x l 0 ， 5 其中，r “”表示聆阶单位矩阵，丑是矩阵p 的非正特征值中最大的一个特征值那么误 第二章驱动一响应动态网络系统的投影同步 差系统( 2 6 ) 的平衡点是渐近稳定的，即系统( 2 1 ) 的投影同步是可以实现的 证明：考虑l y a p u n o v 函数 矿( f ) = ：。仇( f ) r q 仍( f ) 因为q 是正定矩阵，由引理2 2 3 可得到下列不等式 鸥( k ( q f ) ) h ( f ) 7 矾( t ) 0 ， 1 使得 ( 1 ) ( 1 + 七) 2 d ， ( 2 ) ( + 2 c 如) a + l n ( r d ) 0 ， ( 3 ) + 2 c 乃 0 ， 其中如是矩阵p 的非正特征值中最大的一个特征值，那么误差系统( 2 6 ) 的平衡点是渐近 稳定即系统( 2 1 ) 的投影同步最终可以实现 注2 3 1 ：由推论2 3 1 的第二个结论，如果我们取d = ( 1 + 尼) 2 ，则脉冲间隔的范围 可由下式来估算 o r ”是光滑非 线性向_ 量函数血( ) _ x ( 砖) 一z ( 巧) 表示在t 时刻的控制率，并且定义x ( 砝) = l i r a 川；x ( f ) ， x ( ) = l i m 川ix ( f ) ，x ( 砖) = x ( 幺) ( 七= 1 ，2 ，) 时间序列 气) 满足条件 0 t l r 2 0 表示耦合强度，p = ( 只，) 。是不可约的对称 矩阵并硒、- u - 疋佘1 午乙n _ = 1 岛= o ，p 口= 岛，0 ( f _ ，1 f 0 使得 e 脚志一g 。) d s 打( 拈1 ，2 ，) 对任意的 o ，f l 气一气一。7 2 都成立，那么脉冲微分系统( 3 1 ) 的原点是渐近稳定的 引理3 2 2 惭1 ：若不可约矩阵彳是对称的，即a = a r ，且彳满足：。口f = o ，那么存在 一个可逆矩阵，g = ( 岛，) j v 。v 使得a = g e g r 且g g r = ，巨= a m g ( & ，五，九) ，五是矩阵 么的特征值并满足条件0 = a 五九 注3 2 2 ：在引理3 2 1 中r 类的概念与定义2 2 5 相同，注记k ，q 分别表示 k = 妒r i 伊( d o ) ，q = 伊c ( r + ，r + ) i 驴( o ) = o ，伊( ，) o ， 0 ) 3 3 延时耦合网络的同步控制 为使耦合延时系统( 3 2 ) 同步到一个确定的比例因子a 上从而实现投影同步，我们引 入脉冲控制方法，首先设计一个简单合适的脉冲控制器= d ( u 一一锄。) ，那么系统( 3 2 ) 可改写成如下形式 1 4 第三章耦合延时动态网络系统的投影同步 = m ( z ) ， z = f ( u d ，z ) ， n = m ( z ) + c p pu q ( 卜r ) ，f & ， 产1 z 0 ( 气) = d u 一( 筇) 一a z 白( ) 】， f = t k ， i = 1 ，2 ， ( 3 3 ) 其中d 是脉冲控制增益，f 为时间延时 令q ( f ) = ? d r i ( f ) 一钆( f ) ，吃( f ) = 蚱2 ( t ) - o u d ( f ) ，e u ( t ) = u m ( t ) - o u a ( t ) ，q 表示投影同 步误差，则误差动力系统的方程为 z = f ( u d ，z ) ， a e i ( t k ) = ( 1 + d ) e i ( ) ，f = t k ， i = 1 ，2 ， ( 3 4 ) 令同步误差的向量形式为p ( r ) = ( 巳( f ) ，e ：( f ) ，e t q ( f ) ) 7 r 肌”，因为矩阵p 是实对称矩阵， 根据引理3 2 2 ，存在可逆矩阵g 使得p = g e g7 ，其中对角阵巨= 访昭( a ，五，砧) ，五是 矩阵尸的特征值，则有下式成立 e = e m r ( z ) + c p e ( t f ) ( 3 5 ) 作线性变换e = g q ，r l = 0 7 1 ，刁：，辄) r ，式( 3 5 ) 可线性化成下列等式 r l = r i m7 ( z ) + c e r l ( t f ) 和r l i = m ( z ) r l , + c 元r l , ( t f ) ， 误差系统( 3 4 ) 线性化为下列系统 r l , = m (