（应用数学专业论文）非线性扩散方程的广义条件对称.pdf

摘要 摘要 非线性现象广泛地呈现在物理、化学、生命、社会、经济等领域。随着科 学的发展，对非线性系统的研究日趋深入。而描述非线性系统的非线性方程的 求解研究成为研究者的重要热点课题之一。众所周知与群论相关的对称约化方 法，例如李点对称方法、广义对称方法、条件对称方法、广义条件对称方法 等，是研究非线性偏微分方程精确解的有效工具。 最先由z h d 蛐o v 和f b h s 以及l i u 提出的广义条件对称方法是对称群方法中最 行之有效的方法之一。该方法已成功地应用于寻求某些非线性偏微分方程的精 确解和对称约化的研究中，这些解一般不能由古典对称方法或条件对称方法求 得。 在本文中，被看作是条件对称方法推广的广义条件对称方法被用于讨论 以幂指数规律扩散的非线性扩散方程毗= u “( ) ”k + p ( u ) 钍。+ q ( t ) ，该方 程有很多物理应用背景。我们分别得出了该方程允许二阶广义条件对称 一 札。+ 日( “) “：+ g ( 缸) t 。+ f ( u ) 和町= u 。+ 日0 ) u ：+ g ( t ) ( u 。) 2 一“+ f ( 钍) ( 牡。j 1 一“的 条件。又对允许广义条件约化的方程的反应系数和熟源项的函数形式作了分 类。并且依据广义条件对称和所考虑方程的相容性求得了相应方程的群不变 解。这些解( 包括熄灭解、爆破解和周期解等) 为对方程进行更深刻的讨论提 供了很多重要信息。 广义条件对称方法必然也能用于讨论高阶的扩散型方程，例如四阶的薄膜 方程或者分数阶的扩散方程以及这些方程的高维形式。 关键词；对称群；广义条件对称：精确解；非线性扩散方程；对称约化。 西北大学硕士学位论文 a b s t r a l c t t h en o n l i n e a rp h e r l o m e n aw i d d ya p p e a ri na h n o s ta nt h es c i e n t m c 丑e l d ss u c ha s p h y s i c s ，c h e m i s t b i o l o 卧c i e t y ，e c 曲o i ya n ds o0 n w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i _ e n c e ，r e s e a r c h e so nt h en d n l i n e 缸s y s t e m sa r em a l 亡m gm o r ea n dm o r ep r o g r 船s a sar e s u l t ， t od e a l 埘t ht h en o n l i n e 8 re q u a t b 璐m td 鹤c r i b et h en o n l i n e ws y 8 t e m sb e c o 玎1 e so n eo f t h em a i na n dh o tt o p i 璐f b rt h er e 即删l e r s i t sw d lk n o w nt h a tt h es y m m e t r yr e d u c t i o n m e t h o dr e l a t e dt o 盯o u pt h e o r y s u c h 鼬“8p o i n ts y m t n e t r ym e t h o d ，g e i 塘r a l i 髓ds y m l e t y ) c o n d i t i o n a ls y m m e t mg e n e r a l i 舱dc o n d i t i d n a ls y m m e t r y 蹰de t c ，i s 蛐e 抒e c t i v et 0 0 lt ot h 8 s t u d yo f 七h ee x a c ts o l u t i o n sf m t h e 伽d i n e a rp 8 r t 瑚d i 髓r e n t i a le q u a t i o n s i ci sz h d 蛐o v f 0 h s 蚰dl i uw h o 丘r s tp r e s e n t e dt h eg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r y m e t h o d ，w h i d li so n eo ft h em o s te f k t i v es y m m e t r ym e t h o d t h em e 七h o dh a sb e e nu s e dt o s t u d yt h es y m m e t r yr e d u c t b n 柚de x a c ts o l u t i o l 塔o fs o m en o n b n e 盯d i 髓r e n t 埘e q u a t i o n s ， t h es o l u t i o n sh e r eg e n e r a | l yc a n tb eo b t a j l l e dv i at h ec l a 鹃i c a ls y m m e t r ym e t h o do rt h e c o n d i b i o n a ls y t n m e t r ym e t h o d i nt h i sp 8 p e r ，t h e 铲n e r 8 l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r ym e t l o d ，w h i c hc nb ec o 讨e 砘da s a g e n e r 8 l i z a t i o no f t l ec o n d i t i o n a ls y m m e t r y m e t h o d ，i s u s e d t os t u d y t h e n o n l i n e a rd i f r u s i o n e q u a t i o n su = 阻m ( “z ) ”k + p ( u ) u # + q ( ) w i t hp o w e rl a wd i 击j s i v i t y ，w h i d lh 8 sq u i t eal a i 苫e n u m b e ro fp h y s i c a la p p l i c a t i o n s o b t 8 i nc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h ee q u a t i o n sa d m i t t h es e c d n d o r d e rg 即e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r i 鹤卵= 。+ 日( ) u ：+ g ( u ) u 。+ f ( 缸) a n d 叩= 钉+ 日( u ) u ：+ g ( u ) ( z ) 2 ”+ f ( u ) ( u # ) 1 一” ac o m p l e t ec l a s s m c 8 t i o no ft h e f u n c t i o n a lf o r m s0 ft h er e 8 c t i 叽c o e m c i e n t sa i l ds o u r c et e r m si sp r e s e n t e dw h e nt h ee q u a t i o n a d m i t st h eg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n “s y m m e t r yr e d u c t i o n e x a c ts o l u t l o 衄t ot h er e s u j t i n g e q u a t i o n sa r ec o 璐t r u c t e d “at h ec o m p a t i b n i t yo ft h eg e n e r a j i z e dc o n d i t i o n a is y m m e t r y a l l dt h ec o 船i d e r e de q u a t i o n t h e s eg r o u pi r 眦i 衄ts o l u t i o i l s ，i n c l u d i n ge x t i n c t i o ns o l u t i o n ， b l o w - u p8 0 l u t o n 锄dp 凹i o d 王c l u t i o n ，p r o v i d es o m ei m p o r t a n ti n f b r m a t i o nt of l l r t h e rs t u d y t h ee q u a t i o r i s i t sc e r 乞a i nt h a tt h eg e n e r 8 l i 始dc o n d n 沁n a lm e t t m dc a nb e8 j s ou s e dt os t u d yt h eh i 咖 o r d e rd i f f u s i o n _ l i l 潞e q u a t i 0 1 1 s ，8 u c ha st l l ef o u n h o r d e rt h i n 丘l me q u a t i o no rt h ef r a c t i o n a l d i f u s i o ne q u a t i o na n dt h e i rh i g h d i m e i l s i o n a lf o r m s k e y w o r d s ：s y m m e t r yf o u p ；t h eg e n e m i i z e d n d i t i o n a ls y m m e 蛔“e x b c ts o l u t i o n s ；t h e n o n l i n e 8 rd i 丹h s i o ne q u a t i o n s ；科m m e t r yr e d u c t i o n i i 第一章绪论 第一章绪论 随着线性物理的飞速发展。反映现实自然现象的非线性现象引起人们的极大关注。一l 世纪6 0 年代以来，非线性科学的研究取得了惊人的进展。进而形成了研究非线性现象普遍 规律的学科非线性动力学，它主要包含6 个方面：分岔与混沌、分形、孤立子、斑图、元胞 自动机和复杂系统。而这些非线性现象大部分可归结为求解非线性方程( 包括非线性常微 分方程、非线性偏微分方程、非线性差分方程和函数方程等等) ，对这些非线性方程的研 究成为广大物理学、力学、地球科学、生命科学、应用数学和工程技术等科学工作者的重 要课题 研究非线性偏微分方程，具有许多重要的理论研究和应用研究方向，精确解的研究是 其中最重要的研究方向之一因为精确解包含了相关系统的精确信息因此在分析各种物 理现象对起到了至关重要的作用。另一方面，精确解为控谁4 数值解的精确度也提供了有用 的信息。与对称群相关的方法是研究非线性偏微分方程精确解及其对称约化的有效方法。 群不变解是偏微分方程重要的解族，该解族刻画了偏微分方程解的一些基本性态。无论是 显式解还是隐式解均具有重要的理论意义和实用价值。 1 1 对称群方法简介 一个多世纪以前，l i e 把连续变换群的定义引入到数学物理和力学中。其最初动机 是为了发展常微分方程的积分理论以便能够合理地解释一些基本的问题，例如，为什 么有些方程是可积的而另外一些方程是不可积的。l i e 在这方面的基本结果可以看作 是g a l o i s 和a b e l 的代数方程组可解性理论的推广。从那时起，l i e 的连续变换群理论在数学 和物理的很多问题中得到了广泛的应用 数学物理和理论物理中出现的大多数非线性微分方程的对称性质已经广为人知。事实 证明，绝大部分的非线性微分方程仅仅允许各种各样广义的对称群，例如l i e _ b 诎l u n d 对 称群、条件对称群和非局部对称群。 1 1 1 李点对称方法 l i e f l l 首先运用微分方程的群理论构造方程的精确解。该方法是研究偏微分方程对称的 古典方法。一般称之为李点对称方法或无穷小变换李群方法【2 _ 4 】l i e 计算了一维热传导方 程的最大不变群并运用该对称构造了方程的精确解即l i e 对热方程进行了对称约化。从上 个世纪7 0 年代后期开始，对称约化成为求解非线性偏微分方程应用最广泛的工具。 定义1 方程组 f “( x ，u ，y ，弦- ，警) 2o ，p 2 1 ，2 ，” ( 1 1 ) 1 西j b 大学硕士学位论文 即y = 6 蠹+ 矿击是( 1 1 ) 的古典对称当且仅当对每一个= 1 ，2 ，m 当f ”( x ，u ， ，譬，警) = o 似= 1 ，2 ，- ，m ) 时， y 【埘f ”( x ，u ，譬，謦，p ) = o ( 1 3 ) 在f “( x ，u ，y ，譬，譬) = o 的条件限制下( 1 3 ) 可以化为一个关于y ，譬，警的多 项式方程组。由u u ，￥( 对固定的x ) 取值的任意性知，要使方程组( 1 3 ) 恒成立， 每一个多项式系数必须独立地消失这样就得到了关于( n + m ) 个函数靠( x ，u ) a = 1 ，2 ，n ) ，矿( x ，u ) 似= 1 ，2 ，m ) 的微分方程组。称之为决定方程组。解该方程组就 可确定方程组f 9 ( x ，u ，譬，u ，u ) = o 允许的李点对称群。一般说来。决定方程组是一超 定系统可能只有平凡零解。 定义2 具有分量t ”= 矿( x ) ，p = 1 ，2 ，m 的向量u = e ( x ) 是方程组( 1 1 ) 在该方 程允许的李变换群( 1 2 ) 的不变解当且仅当 ( i ) 对每一个p = 1 ，2 ，m ，当u = e ( x ) 时。y ( 札”一矿( x ) ) = o ，即 壹泌，e ( x ) ) 掣吖( x ，e ( x ) ) ； i 蕾l 一 ( i i ) p ( x u 1 ￥，1 1 ，警) = o ，p = 1 ，2 ，m ，其中u 珏t ，= 蕊摹g ；警b ，v = l ，2 ，m ，如= 1 ，2 ，n ，j = 1 ，2 ， 李点对称方法广泛地应用于各种非线性偏微分方程的无穷小生成子及其群不变解的研 究f 5 儿1 中。虽然李点对称方法已经完全代数化，但该方法往往会引入大量枯燥的代数运算 和辅助运算。有些很重要的非线性偏微分方程没有好的李对称群，例如非线性演化方程只 有很差的李对称性。因此，研究李对称方法的推广是很有必要的基于古典李点对称的各 种各样的对称群推广方法逐渐发展开来 o v s i a n n i k o v 【7 】提出了部分不变解。n o e t h 盱1 1 2 】提出了l 珏b a c k l u n d 对称方法，也 可称之为广义对称方法1 2 4 】b l u m 等人【1 3 ，1 4 】提出了条件对称方法。也可称之 为非经典对称方法。不同于对称的思想方法，c l u k j o n 和k r u s k “【15 】提出了直接方 法。f 0 k b s 和l i u 【1 6 ，l7 1 以及z h d a r l o v 【18 】提出了广义条件对称方法，一般也可称之为条 件“e b a c k l u n d 对称方法 1 1 2 广义对称方法 e n o e t h 目【1 2 】第一个认识到可以通过在群变抉( 更确切地是无穷小生成子) 中引入 因变量的导数项推广古典李对称方法，一般称这种推广方法为广义对称方法，即l i e b 抽k l u n d 对称方法显然，l i e _ b i i c l 【l 咖【d 对称比李点对称方法更为广泛既然无穷小牛 2 21 0 0 u u x x x u 一一 | | x u ，、l 群换变李数参单 许 允 第一章绪论 成子依赖于因变量的导数。该方法使得对称群方法的应用更为广泛【1 9 - 2 7 】。广义对称 是n o e t h e r 理论【3 】的霞要组分且是可积偏微分方程最重要的表征之一【3 ，2 8 】。 1 1 3 条件对称方法 李点对称方法的基本思想是借助于特殊代换( 不变解) 对偏微分方程进行降维约化。 对在李变换群作用下方程具有不变性的要求保证了降维约化的可行性。除了满足古典 方法的约化还存在其它的约化。针对这种约化的对称( 非经典对称【13 】与非李对称【1 4 】) 被b l u m 等人【2 9 】和f u s h 吐i y 3 0 分别以条件对称的定义提出。该方法要求偏微分方程的不 变性要限制在群的不变曲面上。 偏微分方程的不变性要限制在群的不变曲面上的条件使得一些没有李变换群的非线性 偏微分方程可以有新的对称群，继而可以求得方程在该弱变换群下的不变解f 3 1 3 4 】。运用 对称思想将偏微分方程化为常微分方程( 组) 的方法【3 5 】被发展应用到许多物理系统中出 现的方程中【3 6 - 3 踟。后来的研究【3 3 ，3 4 ，3 9 ，40 表明c l a r k s o n 和k r u s k a l 【1 5 】引入的直接方法包 含在非经典对称方法中。z h d a n o v 【4 1 ，4 2 】等证明了一给定的偏微分方程可以约化为含有更少 自变量的微分方程的充要条件是该方程允许非平凡的条件对称。这样就限制了非古典方法 的应用。 o l v e r 和r o n b u h 3 ，“】对非古典方法作了推广，但他们的方法太过广义以至于可操作 性不强。有别于对称群的思想方法。他们认为确定偏微分方程特解的决定因素是偏微分方 程的非解析超定方程组而不是群理论。该思想方法为古典群方法的推广提供了新的想法。 1 1 4 广义条件对称方法 与古典的约化方法有别g a l 幽t o n o v 【4 5 ，4 6 1 引入的“非线性分离变量方法” 和n l s h c i l y c l l 等人f 4 7 ，4 8 1 引入的“反约化方法”的思想均基于在对一族微分方程 的研究中对某个方程进彳亍约化。1 阶对称形式不能解释这些现象。自然想到 用高阶l b b a c l 【l u n d 对称表征这些现象的特性但 4 5 - 4 8 】中的大多数模型没有l 珏 b 五d 【l l l n d 对称。f l l l 8 h d l y c h 和z h d n o v f l 8 ，4 8 】引入条件l i e - b i ( 盘l l l n d 解决了该问题。条 件l i e - b i c l 【l u n d 对称是对l i b 诎l u n d 对称的自然推广如同条件对称是李点对称的推广 一样，又称之为广义条件对称。 演化向量场矿生成的无穷小变换为 定义3 演化向量场矿是非线性演化方程u f = 耳( t ，z ，u ，u 1 ，u 。) 的广义条件对称当 3 电 吲加 d 卜0 “嘞脚 m i | 一 一 mm 础 慨咖讹以 h + + 耳” 嘶 | | | i = = 矿矿啦畦! | 里些查兰翌主兰竺丝查 且仅当 y ( 撕一( t ，z ，u ，u l ，u 。) ) i 三n ，= o ， 其中工和m 分别表示u t 一耳( t ，z ，u ，l ，u 。) = o 和叩( z ，乱，乱l ，u 2 ，“p ) = o 对z ，t 的所 有微分序列。 命题( f b k 和l i u 【1 6 】以及z h d o v 【18 】) 方程撕= k 允许广义条件对称矿的充分条 件是存在一个函数( t ，z ，u ，”) 使得 害= 阢叩 + 托而地蹿) ，( t ，而t ，o ) - o ， 其中【耳，川= 一k ，7 表示f 托c h e t 导数且w ( t ，u ，q ) 是t ，z ，“，u l ，和仉d 。仉 d ! ，的解析函数 推论著目与t 无关。方程u t = k 允许广义条件对称矿的充分条件是【蜀，川i 1 ：o = o ， 即q k l ：o = 0 该推论基于毗= 和目= 0 是相容的，它们具有相同的解流行。先求解常微分方 程 = o 可以得到t 是一个含有不依赖z 的积分常数的关于z 的函数。然后将u 代入方 程n 。= 确定含有的任意函数 同其他对称方法的思想类似由决定方程组确定方程允许的广义条件对称，继而可求得 在该广义条件对称下的不变解广义条件对称方法的一个显著特点是可以构造非线性偏微 分方程的具有重要物理意义的精确解【4 9 】。该方法已成功地应用于寻求某些非线性偏微分方 程的精确解和对称约化的研究中f 5 0 - 5 3 ，这些解一般不能由古典对称方法或条件对称方法 求解。在f 5 垂5 8 1 中，屈长征等人系统地研究了只具有弱的李点对称的非线性演化方程，对 方程进行了分类，并找到了很多有重要意义的精确解 对称群理论和应用研究在过去的一个多世纪取得了丰硕的研究成果。除了上述介绍的 对称方法之外，还有非局部对称方法 5 9 _ 6 l 】、近似对称方法f 6 2 - 6 3 l 等。对称群方法已广泛 地应用于非线性偏微分方程的精确解、对称约化、分类等的研究中。 1 2 非线性扩散方程概述 现代科学技术的发展在很大程度上依赖于物理学、化学和生物学的成就和进展，而这 些学科自身的精确化又是它们取得进展的重要保证学科的耩确化往往是通过建立数学模 型来实现的，而大量的数学模型可归纳为所谓的扩散方程近二三十年来扩散方程的研究 日益受到重视。这是因为扩散方程涉及的大量问题来自物理学、化学和生物学中众多的数 学模型，因而有强烈舶实际背景。 相对于线性方程，引入了各种非线性项的方程是更为精确的数学模型。非线性扩散方 程可以表述很多物理现象例如多孔介质的气体渗滤问题【6 4 1 、多孔介质中的饱和薄区域问 题f 6 剐、固体表面生长问题和重力作用下的液态薄膜扩张问题f 6 6 】等。 非线性扩散方程的典型例子足多孔介质方程6 7 1 m = u 7 】r r 4 苎二主竺垄 该方程除了可以表征上述的物理现象还可以刻画高粘性流体的辅助对称流问题 6 8 】、湍流扩 散问题【6 9 】、局部保持吸附一逸散平衡的可选教固体问题f 7 0 】以及硬超导体和软超导体中的非 线性扩散问题【7 l 】。 非线性扩散方程的另一重要模型 7 2 】是 u t = 【珏m i “z i “k ，m ，n 兄 ( 1 4 ) 方程( 1 4 ) 一般用于表述非线性热传导 7 2 卜非牛顿流体的非线性切变流 7 3 】、穿过多孔介质 的非牛顿流体的重力流和由高浓度流体注入低浓度流体而产生的漂浮作用引起的轴向混台 作用【7 4 】等物理现象 为了表述有热源和外力作用的扩敖现象，需要对( 1 4 ) 引入新的非线性项1 7 ”，例如 砘= i 刮m l u 。l n ( u ”) t 】；一【f 扛，t ) 叫。一西( t ) “”，( 1 5 ) 其中m ，n ，“p r ，f ( t ，t ) 表示外力作用五( t ) 表示热源作用。方程( 1 5 ) 是一带有热源项的 反应扩散方程，不妨将广义的带有熟源项的反应扩散方程记为 u t = 【d ( z ，t ，札) ( u ；) “】。+ p ( 嚣，t ，u ) u 。+ 0 ( $ ，t ，u ) ，( 1 6 ) 其中d ( z ，t ，“) ，p ( z ，t ，u ) ，q ( z ，t ，u ) 分别表示扩散系数、反应系数和热源项。 1 3 问题的提出 在本文中。我们考虑方程( 1 6 ) 的特殊情形 撕= m m ( ) “k + p 扣) 札。+ 0 ( t ) ( 1 7 ) 当n = 1 时，方程( 1 7 ) 简化为 t | t = i u m 扣；) k + p ( ) u 。+ 0 ( u ) ( 1 8 ) 研究方程( 1 8 ) 的工作有很多，与对称相关的方法包括李古典方法f 2 4 ，8 ，7 6 ，7 7 、条件对称方 法 1 3 ，3 2 ，7 8 】和广义条件对称方法【1 8 ，5 0 ，5 4 5 8 】等等 对方程( 1 。7 ) ，n l 的研究工作还不多，但对该方程的几种特殊情形分别有些结果： 在【3 8 ，4 5 ，7 9 ，8 0 】中各种与对称相关的方法被用于研究不带热源项的方程 地= ”( “。) ”k + p ( “) ， 得到了各种形式的耩确解；在【8 1 】中研究了不带反应项的方程 蛳= 阻m ( u z ) ”k + 口( ) 5 苎些查兰壁主兰竺垄查 的分离变量形式解；在【8 2 ，8 3 】中研究了方程 u f = m ( “。) “k 的精确解和对称约化和等价变换。 既然方程的对称群是研究偏微分方程的有效工具，自然想到对方程进行分类使 得同类方程具有某种对称性。群分类方法的历史追溯到李【1 1 ，后来o v 8 y a n n i k w 提出 了l i o v s y n 波0 v 方法瞰】对偏微分方程进行群分类。 本文将运用广义条件对称方法研究方程( 1 7 ) 在n l 时的群分类问题。在以幂函 数d ( “) = u ”为扩散项的情形下，确定反应项和热源项使得方程( 1 ，7 ) 能够允许某种对称约 化。然后用对称约化思想确定方程( 1 7 ) 的精确解。 6 苎三兰苎垡：竺芏苎查兰竺兰墨竺壁壁! 第二章非线性扩散方程的广义条件对称i 方程( 1 7 ) 允许广义条件对称 的充分条件是 叶= 。+ 日( ) u ：+ g ( u ) 。十f ( )( 2 1 ) = 【d 川一( 3 n + 1 ) 日d ”一3 n 日d + ( 3 n 2 + 2 几) 日2 d 一n d 日”一礼2 ( n + 1 ) d 日3 + n ( 3 n + 1 ) d 日日l ( t b ) ( ”+ 3 ) + 【一( 3 他+ 2 ) g d ”+ n ( 3 礼+ 1 ) g d 嚣一3 钆g d 7 + 3 竹( 2 n + 1 ) g 日d 一n 2 ( 3 n + 1 ) d g 日2 + n ( 3 n 一1 ) d 日g 一n d g ”】( 。) ( ”+ 2 ) + 一n d f ”一3 n d f ，+ ( n ( 3 竹+ 1 ) d 日。一n ( 3 n 2 一n + 2 ) d 日2 3 ( n + 1 ) d ” + 2 n ( 3 n + 1 ) 日) f + n ( 3 n + 1 ) d ，g 2 一n 2 ( 3 n 一1 ) d 日g 2 + 竹( 3 n 一1 ) d g g + 3 n ( n 1 ) d h f 】( t b ) ( “+ 1 ) + n ( 3 n 一1 ) d g f + 3 n ( n 一1 ) d f g + 札( 6 n + 1 ) d 。g f 一2 n ( 3 n 2 3 n + 2 ) d f g 日一n 2 m 一1 ) d g 3 1 ( 铀；) “+ 【3 n ( n 1 ) d f f 。 一n ( 3 n 2 5 n + 4 ) d 日f 2 + n 一1 ) ( 2 3 n ) d g 2 f + 3 n 2 d ，2 】( u 。) m 一1 ) 一n ( n 1 ) ( 3 n 一4 ) d g f 2 ( 。) 一2 ) 一n ( 竹一1 ) ( n 一2 ) d f 3 ( u $ ) ( “一3 ) + ( p ”一p 日) ( 缸。) 3 + 0 ”+ ( 日口) 一2 p ，g 】( “。) 2 + ( g q 一3 p ，) + f ，口一口f = o ， 其中d ( ) = 扩令各项的系数为0 ，可以得到决定方程组。在n 取定某些实数时 些项可以合并下面分三种情形讨论方程( 1 7 ) 的广义条件对称。 2 1 对任意的礼方程的广义条件对称 ( 2 2 ) ( 2 2 ) 的某 由( 2 2 ) 易知对任意的n ，方程( 1 7 ) 允许广义条件对称( 2 1 ) 的充分条件是反应系数p ( u ) 和 热源项日) 以及相应方程允许的对称( 2 1 ) 中的未知函数日( t ) ，g ( u ) ，f ( u ) 满足 d ”一( 3 n + 1 ) 日d ”一3 竹日d 7 + ( 3 n 2 + 2 n ) 日2 d 一n d 日”一n 2 ( n + 1 ) d 打3 + n ( 3 n + 1 ) d 灯日= o ，( 2 3 ) n ( 3 n + 1 ) g d 日。一( 3 n + 2 ) g d “+ ( 3 礼一1 ) d 日g + 3 n ( 2 n 十1 ) g h d 一竹2 ( 3 竹+ 1 ) d g 丑2 3 n g d 一扎d g ”= o ，( 2 4 ) n ( 3 n + 1 ) d g 2 + h ( 3 + 1 ) d 日一3 m + 1 ) d ” + 2 n ( 3 + 1 ) 日d 一n ( 3 礼2 一札+ 2 ) d 日2 】f n d f ” 7 西北大学硕士学位论文 十他( 3 竹一1 ) d g g 7 一n 2 ( 3 n 1 ) d 日g 2 3 n d f + 3 n ( n 一1 ) d 日f = 0 ， 订( 3 n 一1 ) d g f + 3 n m 一1 ) d f 7 g n 2 ( n 一1 ) d g 3 2 n ( 3 疗2 3 n + 2 ) d f g + 忍( 6 祀+ 1 ) d f g = o ， 3 n ( n 一1 ) d f f + 竹( t i 一1 ) ( 2 3 n ) d g 2 f n ( 3 n 2 5 n + 4 ) d j ，f 2 + 3 n 2 d f 2 = 0 n ( n 一1 ) ( 3 n 一4 ) d g f 2 = o ， n ( n 一1 ) 一2 ) d f 3 = o ， p ”一p ：o q ”+ ( 日0 ) 7 2 p g = o ， g 7 q 一3 p f = 0 ， f ，q 一口f = o ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 其中d ( u ) = u ” 由方程( 2 6 ) 和( 2 9 ) 知f ( ) = g ( u ) = o 将d ( u ) = u m 代入( 2 3 ) 可得 m 户日”一【( 3 一十n ) 矿日一3 n m u 2 】日+ n 2 ( n + 1 ) ( 钍日) 3 住( 3 扎+ 2 ) m ( “日) 2 + ( 3 n + 1 ) m ( m 一1 ) u 日m ( m 一1 ) ( m 一2 ) = o ，( 2 1 4 ) 虽然不能求出方程( 2 1 4 ) 的通解，但可以求出该方程的三个特解 肌) = 三，等，踹 n un ( n + l l u 由h ( ) 的取值分五种情形讨论未知函数p ( “) ，q ( “) 的取值。 ( a ) m = 一n ，日。( u ) = 一： 方程 t = _ n ( ) + 扣+ 6 】n ) + 侧+ 删k “ ”= ；一：( ) 2 方程( 2 1 5 ) 的解可表示为 “( z ，t ) = e 。( 。) ”4 ( “， 其中a ( t ) ，卢( t ) 的取值分两种情形讨论。 ( i ) q 0 邮) 2 面专j ， 徘) = 虹篙乎 8 ( 2 1 5 ) 第二章非线性扩散方程的广义条件对称i ( i i ) q = 0 叩) = 击， 肿) = 生告警型 ( b ) m 一吼日( “) = 嚣 方程 u t = 【“m ( ) ”k + ( 口+ h 宰) u 。+ 甜+ 口u 一詈 ( 2 1 6 ) 允许 ”= + 三( u t ) 2 方程( 2 1 6 ) 的解可表示为 u ( 础) = 竿( a ( t ) 时俐 意， 其中o ( t ) ，卢( t ) 的取值分两种情形讨论。 ( i ) c n 。( 。) 。忑了耘，o c l e 一i 一一6 踯，= 生篆霉菩尘 c c l e 一；一一6 ( i i ) c = o ) 2 面了蒜， 徘) = 越斋罟掣坐 ( c ) 竹i = l n ，日( “) = 一吉 t t = u 一”+ 1 ( u 。) ”】。+ ( a + 6 l n u ) 札，+ c t 上+ 口u l n u( 2 1 7 ) 允许 q = 。一：( u z ) 2 ， 方程( 2 1 7 ) 的解可表示为 u ( $ ，) = e 6 ( 2 ) 2 + 芦( “， 其中n ( ) ，卢( t ) 的取值分两种情形讨论。 ( i ) q o n ( t ) 2 而南， 踯) = 虹篙篙乎 9 皇兰垄兰竺圭兰竺兰兰 ( i i ) q = o 邮) = 击， 即) = 坠坐箸孝生 ( d ) m 1 一n ，日( u ) = 2 导 方程 毗；妒( ) “k + ( n + 6 t 掣) ”。+ “+ 口u 挈 允许 ”一。+ 等( u 扩 方程( 2 1 8 ) 的解可表示为 州) = 堕型掣 一 其中a ( t ) ，口( t ) 满足 允许 ( m + 竹一1 ) 蚰2 + ( m + n 一1 ) c q 一7 = o m ”+ 1 + ( m + 竹一1 ) 妇卢+ ( m + n 1 ) 印+ n o n + n q 一祁= 0 ( b ) m 1 一日( t ) = 希靠 方程 ( 2 1 8 ) u t = 州u 。) ”】。+ ( n + 她2 辑产) u 。+ “+ 弘一鞴 ( 2 | 1 9 ) 方程( 2 1 9 ) 得解可表示为 ”t + 蒜( 岫2 巾一： 等 邮t ) 蔫 其中d ( t ) ，卢( t ) 满足 a ，= 等孚( 等一1 地+ c ) n ， o2 _ 丁1 1 i 干丁o ”+ 。o + 。j o ， = 等孚 ( 等a n + 1 + 妇+ c ) 卢+ 一+ 口 第二章非线性扩散方程的广义条件对称i 2 2礼= 3 时方程的广义条件对称 当n = 3 时，系数函数的决定方程组为 d 一l o 日d ”一9 日d ，+ 3 3 日2 d 一3 d h ”一3 6 d 日3 + 3 0 d 日日：0 3 0 g d 日+ 6 3 g 日d 一3 d g ”一9 g d + 2 4 d h g 一9 0 d g 日2 一l l g d ”= 0 一3 d f “一9 d f + ( 3 0 d 日+ 6 0 圩d 一7 8 d 日2 1 f + 3 0 d g 2 7 2 d 日g 2 1 2 d “+ 2 4 d g g + 1 8 d 日f = 0 2 4 d g f + 1 8 d f g + 5 了d f g + p ” 一1 2 0 d f g 日一1 8 d g 3 一尸日= o 1 8 d f f 一4 8 d 日f 2 4 2 d g 2 f + q ” + 2 7 d f 2 + ( 日q ) 一2 尸g = 0 ， d q 一3p _ f 一3 q d g f 2 = o f q q f 一6 d f 3 = 0 ， 其中d ( u ) = u m 分两种情形讨论该决定方程组的解 情 i 参1 日( u ) = 嚣 ( a ) 方程 u t = 卜一4 ( 札。) 3 】。+ 口u 。+ 9 铲t | 允许 口一。，一未( u + 阮； 方程( 2 2 7 ) 的解为 巾，归z ， 丽剥鲁研 。 其中口( t ) = 石= ，卢( t ) = 时+ c 2 ( b ) 方程 允许 方程( 22 8 ) 的解为 u 扛，t ) = 撕= 【u 3 ( “t ) 3 】；+ n u 。一3 6 2 ，6 o ”= 十：( 甜+ 去q 2 “z z 十五( ) + 石 1 1 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 ，2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 其中a ( t ) = c l 一6 6 3 ，卢( t ) = t + c 2 情影2 日( u ) = 2 器 ( a ) 方程 允许 方程( 2 2 9 ) 的解可表示为 u t = 【“一1 1 ( u z ) 3 】。+ n u 。+ ；铲“2 q = “。一：( u 。) 2 + 阮6 巧南如= 。州t ， 其中n ( t ) = ( 1 1 6 8 ) 6 2 t + c 1 ，芦( t ) = 口亡+ c 2 ( b ) 方程 饥= 【u “( 3 】；+ + c u + ；铲”，6 o ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 允许 一= u 。一玉( ) 2 + 阮；o 。“z z 一甄( j + 阮5 方程( 2 3 0 ) 的解为 巾，归s 以 6 叭1 2 ( 舭c 1 ) 型坚坠塑竽业监剑r 2 3n = 2 时方程的广义条件对称 当n = 2 时系数函数的决定方程组为 d 一7 日d ”一6 日d 7 + 1 4 d 日日 一1 2 d 日3 + 1 6 日2 d 一2 d 日”：0 、 1 4 g d h + 3 0 g 日d 一2 d g ”一8 g d ” 一6 g _ d 。+ 1 0 d h g 一2 8 d g 2 = o 一2 d f ”一6 d f + 1 4 d g 2 2 0 d 日g 2 + ( 1 4 d 日+ 2 8 日d 一9 d ”一2 4 d 日2 1 f + 1 0 d g g + 6 d 日f + p ”一p 日= 0 1 0 d g l f + 6 d f g + 2 6 d 1 f g 一4 d g 3 1 2 ( 2 3 1 ) ( 23 2 ) ( 2 3 3 ) 第= 章非线性扩散方程的广义条件对称i 一3 2 d f g h + q ”+ ( 日q ) 一2 p g = 0 ， 6 d f f 7 1 2 d 日f 2 8 d g 2 f + 1 2 d f 2 + g 口一3 p f = o ， f 0 一q f 一4 d g f 2 = 0 ， 其中d ( u ) = u ”分下列几种情形讨论该决定方程组的解。 ( a ) 方程 毗= 扣m ( 札。) 2 k + 2 c u m ( 口u + 扫u 一号) + 纠u 。+ n “+ 6 u 一号，m 一2 允许 ”= “。z + 署( u ；) 2 + c ( 一+ 6 t 一寻) 竹= “。z + 瓦( “z ) + 。【删+ 6 t 一下j 方程( 2 3 7 ) 的解可表示为 万蓊i 云尊菰荐把蚪眦 其中n ( t ) ，卢( t ) 的取值分下列两种情形讨论。 ( i ) 口= 0 n ( t ) = 2 6 2 d + c 1 ，卢( t ) ；印+ c 2 ( i i ) o 0 a ( ) = 一百孑譬岛i + c e ( m + 2 k t ，p ( t ) = 州+ 晚 ( b ) 方程 一旷( 蝴t + 降( 叶6 l n u ) + p 州n + u ) 允许 q = “。一：( u 。) 2 + m ( a + 6 l n u ) 方程( 2 3 8 ) 的解分下列四种情形讨论。 ( i ) c 0 ，6 0 “( z ，t ) ：e 一 + 业业鼍铲世亟， 其中 o ( t ) = e 6 。( 一c l0 0 s ( 狐碗) + c 2s i n ( 厕t ) ) 卢( t ) = e “( c 1s i n ( 以动) + c 2c o s ( 砺疏) ) ( i i ) c 0 ，6 = o 吣，归等 1 3 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( i i i ) c = 0 一0 ( i v ) c = o ，6 = 0 允许 ( c ) 方程 方程( 2 3 9 ) 的解为 ( d ) 方程 西北大学硕士学位论文 t ( z ，t ) = e 一詈+ e 乩i c 2 ( 什p t ) + c t 札( 茁，t ) = c 2 e 。l 。+ ( p c l + “) u t = 【“一2 ( “) 2 】z + ( 一2 0 2 + p ) 钍。 ”= 一：( 2 + 一_ 号毗 u c 州，= 考裂篙 ( 2 3 9 ) 毗= 州u ” 熹( ( m + 2 ) ( m + 3 ) 阮芋) u ”+ 小。 + “+ 乩鼍芦 ( 2 4 0 ) 允许 q = z + 等( “。) 2 + c ( 。“仙半) 方程( 2 4 0 ) 万蚕霉蠡再磊雨把蚪雕) 其中( t ) ，卢( t ) 的取值分下列两种情形讨论。 ( i ) n