（光学工程专业论文）圆光波导远场衍射特性及模场直径测量分析.pdf

内容提要 内容提要 研究圆光波导衍射特性有重要的意义，它是波导模场分析的基础，也 是一些光学器件和光纤耦合的理论基础。模场直径( m f d ) 是单模光纤的 一个重要参数，它是用来描述单模光纤中基模光斑大小的物理量，对单模 光纤模场直径的测量是当今光纤研究的一个重要课题。 根据瑞利索末菲标量衍射积分公式，推导圆均匀光波导l p o l 模衍射 远场分布表达式，给出中央亮斑强度半最大值全空间频率宽度( f w h m ) 与波导归一化频率的关系曲线；给出l p 0 1 模衍射场中央亮斑的强度半最大 值全空间频率宽度及单模圆光波导l p o ，模衍射场中央亮斑的半最大值全空 间频率宽度的数值范围。并且给出l p 0 1 模衍射场中央亮斑强度半最大值全 角宽度与光波导的波导宽度、工作波长、相对折射率差关系曲线。 根据瑞利一索末菲标量衍射积分公式，利用改进w k b 方法求得的圆 非均匀光波导场分布，推导出一般圆非均匀光波导的远场衍射分布表达式， 由此表达式推导折射率按抛物线函数分布以及按对称爱泼斯坦函数分布圆 非均匀光波导的远场衍射表达式并进行数值分析。 单模光纤模场直径有多种定义和测量的方法。研究单模光纤模场直径 一种新的测量方法，由光纤运场衍射强度分布和傅立叶贝塞尔交换，计算 出测试光纤的近场模场分布，根据模场直径p e t e r m a r mi 公式计算出单模光 纾的模场直径的值。 径 关键词：圆光波导；远场衍射；半最大值全宽度：模场分布；模场直 a b s 仃a c t a b s t r a c t t h ec h a r a c t e r i s t i co fd i f f r a c t i o ni na c y l i n d r i c a lw a v e g u i d ei st h eb a s i co f a n a l y s i n gm o d ef i e l da n dt h et h e o r i e so fo p t i c a la p p a r a t u sa n df i b e rc o u p l i n g ， s oi ti s s i g n i f i c a t i v et oi n v e s t i g a t e t h ec h a r a c t e r i s t i co fd i f f r a c t i o ni na c y l i n d r i c a lw a v e g u i d e m o d ef i e l dd i a m e t e ri su s e dt od e s c r i b et h es i z eo f f u n d a m e n t a lm o d e sf a c u l ai ns i n g l em o d ef i b e r , s on o w a d a y sm e a s u r e m e n to f m f di sr e g a r d e dh i g h l yi nf i b e rr e s e a r c h i n g a c c o r d i n g t ot h e r a y l e i g h s o m m e r f e l d d i f f r a c t i o ns c a l a r i n t e g r a l f o r m u l a ，t h ec a l c u l a b l ef o r m u l aa n dt h ee q u a t i o no fs p a t i a lf r e q u e n c ya th a l f m a x i m u mi n t e n s i t yo fc e n t r a lb r i g h ts p o to ff a r - f i e l dd i f f r a c t i o no fc y l i n d r i c a l w a v e g u i d ei nl p 0 , m o d ea r ed e d u c e d t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ef u l lw i d t h a th a l fm a x i m u mi n t e n s i t yo fc e n t r a lb r i g h ts p o ta n dt h ev a l u eo fn o r m a l i z e d f r e q u e n c yo fc y l i n d r i c a lw a v e g u i d ei sp l o t t e d t h es c a l eo ft h ef u l ls p a t i a l f r e q u e n c yw i d t ha th a l fm a x i m u mi n t e n s i t yo fc e n t r a lb r i g h ts p o to ff a r - f i e l d d i f f r a c t i o ni nl p o lm o d ei sa l s oc a l c u l a t e d s y n c h r o n o u s l y , t h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h ef u l la n g l ew i d t ha th a l fm a x i m u mi n t e n s i t yo fc e n t r a lb r i g h ts p o t v e r s u sw a v e l e n g t h ，w i d t ho fc y l i n d r i c a lw a v e g u i d ea n dr e l a t i v er e f r a c t i v e i n d e xo f w a v e g u i d ea r ea l s op r e s e n t e d a c c o r d i n g t ot h e r a y l e i g h - s o m m e r f e l dd i f f r a c t i o n s c a l a r i n t e g r a l f o r m u l a ，t h r o u g hm o d ed i s t r i b u t i o n so fc y l i n d r i c a li n h o m o g e n e o u sw a v e g u i d e c a l c u l a t e df r o mt h ei m p r o v e dw k bm e t h o d s ，w eg e tm o d ed i s t r i b u t i o n so f f a r - f i e l dd i f f r a c t i o n f a r f i e l dd i f i r a c t i o nd i s t r i b u t i o n so ff a rf i e l dd i f f r a c t i o n o ft h ep a r a b o l aa n de p s t e i nc y l i n d r i c a li n h o m o g e n e o u sw a v e g u i d ea r ea l s o p r e s e n t e d ，a sn u m e r i c a la n a l y s i si sd e v e l o p e d m f do fs i n g l em o d ef i b e rh a ss e v e r a ld e f i n i t i o n sa n dm e a s u r e m e n t s s t u d y i n g an e ww a yt o m e a s u r i n gm f d ，w es c a n f a r - f i e l d i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n so ff i b e r w i t hf o u r i e r - b e s s e lt r a n s f o r m a t i o na n dt h ef a r - f i e l d i n t e n s i t yd i s t r i b u t i o n s ，w ec a l lg e tt h en e a r - f i e l dm o d ed i s t r i b u t i o n so ff i b e r , a n du l t i m a t e l yc o m p u t em f d k e yw o r d s ：c y l i n d r i c a lw a v e g u i d e ；f a r - f i e l dd i f f r a c t i o n ；f u l lw i d t ha th a l f m a x i m u m i n t e n s i t y ；m o d ed i s t r i b u t i o n s ；m o d ef i e l dd i a m e t e r 第一章绪论 1 1 光纤通信概述 第一章绪论 光通信技术则是当代通信技术发展的最新成就，已成为现代通信的基 石，光纤通信系统就是利用光纤进行信息传输的光波系统。 2 0 世纪后半叶人们开始认识到，用光波作载波，通信系统的容量可 能增加几个数量极，然而5 0 年代还没有相干光源和合适的传输媒质。1 9 6 0 年激光器的发明解决了第一个问题，随后人们把注意力集中到寻找用激光 进行通信的途径，1 9 6 6 年英籍华人高琨博士提出采用降低玻璃光纤中的 杂质的办法可以将光纤的衰减从1 0 0 0d b k m 降到2 0 d b k m ，1 9 7 0 年，美 国康宁公司实验成功衰减为2 0 d b k m 的石英光纤。1 9 8 0 年，人们使用光 纤及半导体激光器重新开始了相干光通信实验。随着光纤制造工艺的改 善，1 9 8 2 年，1 5 5 1 a m 光纤的损耗已降到了o 2 d b k m 【l 捌。 光纤通信系统简图如图1 1 ，主要由发端的电端机、光端机、光源、 光缆和收端的光检测器、光端机、电端机构成。电端机的作用是对来自信 息源的信号进行处理，例如模数变换、多路复用等处理，电信号通过发送 端的光端机调制光源，把信号变换成光信号，通过光缆传输到远方，再由 接受端的光检测器、光端机把来自光缆的光信号还原为电信号，经放大、 第一章绪论 整形，再生恢复原形后输入到电端机。对于长距离的光纤通信系统，还需 要中继器，其作用是把经过长距离传输的衰减和畸变后的微弱光信号放 大、整形，再生成为一定强度的光信号继续传输。 光纤的种类很多，实用光纤分为两种基本类型，即单模光纤和多模光 纤。按照光纤内部折射率的分布，光纤又可以分为折射率在光纤芯层和包 层界面以阶梯式变化的阶跃折射率光纤( s t e p - i n d e xt y p e ) 和折射率缓慢 变化的渐变折射率光纤( g r a d e d i n d e xt y p e ) 。光纤材料有：高熔点( 1 9 0 0 o c ) 二氧化硅，低熔点( 8 0 0 1 2 0 0o c ) 复合材料玻璃，塑料吼这些光 纤纤径的折射率一般为1 5 ，纤径和包层的折射率差为o 5 l 。 光纤通信的特点如下【4 ，副： ( 1 ) 传输宽带大 石英光纤的工作波长在o _ 8 1 6 5 9 m ，单根光纤的可用频带几乎达到 2 0 0 t h z 左右。即使是在1 5 5 1 m a 附近的低损耗窗口，其带宽也超过了 15 t h z 。这样巨大的传输带宽和巨大的传输容量是其它一些传输介质所无 法提供的。 ( 2 ) 传输损耗低、距离远 对现已成熟的以玻璃( s i 0 2 ) 为基础材料的光纤，在1 5 5 1 j m 的低损 耗窗口衰减系数可以小于o 2 d b k m ，无中继距离可达1 0 0 k m 以上。 ( 3 ) 截面尺寸小 光通信用的单模( s m ) 光纤纤芯的直径只有数微米，算上包层直径也 不过约有1 2 5 t m ，这么纤细的光纤，在机械强度上和化学性质上不够稳定。 所以，还要实施塑料被覆使之达到l m m 左右的直径，通常称此为光纤素 线。光缆就是用此素线制作的。不论怎么讲光纤素线已经达到了比最细的 电话铜线还细小的程度。 ( 4 )寿命与实用性 作为实用的光通信系统，其寿命很长，可望达到2 0 年以上。此外， 由于硅的化学稳定性和砷化镓( g a a s ) 材料的研发，各种器件如发光器 件、收光器件及相关的器件，已经达到了上述水平。这一成果可以用对寿 命要求极严的海底光缆的实现来说明。 ( 5 )安全可靠 几乎无信号泄露和串音，安全可靠，保密性强。特别适用于军事保密 2 一 兰二翌堕堕 通信以及国家安全机要部门内部通信与重要经济信息的保密传输。 ( 6 ) 抗干扰能力强 光纤通信输入与输出之间电隔离，能抗电磁干扰，防闪电雷击，特别 适用于铁路、电力、厂况等电磁干扰严重的环境，适合计算机联网和电视 传输，以及飞机、舰艇、导弹等要求防电磁干扰的通信和控制系统。 1 2 圆光波导研究现状分析 光纤通信发展的四十年，对通信领域影响极大，目前大量新的理论和 技术研究工作都在继续进行着，而其中光波导理论则是光纤通信的基础理 论。迄今为止，已有许多研究光纤传输的光波导理论，其中最基本的是光 线理论和波动光学理论两种，由于光纤通信中实际使用的单模光纤芯径只 有数微米，与工作波长在同一数量级，用光线理论得出的结果误差较大， 本文主要用波动光学理论研究光纤的一些传输特性。 1 2 1 圆光波导模式理论研究现状 圆均匀光波导模式理论建立在平面线偏振波理论上，1 9 6 1 年，s n i t z e r e 在对阶跃型折射率分布圆柱介质波导传输模式进行了研究，承用了 w e g n e rh 和b e a mr e 区分介质波导中两种混合模式名称，并提出了相应 的判定方法 6 】，从6 0 年代至今应用电磁波理论对光纤的传输特性进行了 大量的研究，所用方法有解析法、近似法和数值方法。光波导模式有：矢 量模横电t e 模、横磁t m 模、混合模式h e 模和e h 模；标量模l p 模f 7 】。 电子工业部第2 3 研究所高级工程师汪业衡t s l j t l 山东大学物理系教授 余寿绵 9 , t o l 在研究光纤问题的过程中，发现当把理论与实践做比较时，光 纤基本理论的研究明显跟不上实际光纤发展的需要，即便是最简单的常规 光纤，也只有近似的模式理论，其中最主要的是基模的特性问题。针对于 此。余寿绵提出用索末菲( s o m m e r f e l d ) 球面波的驻波法解释阶跃光纤中 的模。 利用光的电磁理论严格分析非均匀光波导模式是非常困难的，到目前 为止，除有限的几种折射率分布具有严格的精确解之外，绝大多数非均匀 第一市绪论 波导只能用近似法和数值法求解。 数值计算和近似方法常用于分析圆非均匀光波导模式特性，w k b 方 法“刈( w e n t z e l k r a m e r s b r i l l o u i nm e t h o d ) 是近似方法中的一种理论模 型，w k b 方法是量子力学中用于求解势阱中粒子波函数的薛定谔 ( s c h r 6 d i n g e r ) 方程的近似方法，现在被广泛用于求解平面光波导和光纤 的导模。但w k b 方法只适用于变化缓慢的折射率分布和波导中远离截止 的模式，对不符合上述条件的折射率分布和波导模式，其结果的精确度将 无法接受【6 ”。因此，在实际的研究过程中，出现了许多种改进的w k b 方 法来研究圆非均匀光波导模式。 1 2 2 圆光波导输出端面衍射特性 由于高斯光束的概念和高斯函数的积分变换等运算方法比较成熟，现 有的文献对光波导模式场和端面衍射场的描述多采用高斯函数近似 t s j 6 ， 缺乏对光波导端面输出场衍射特性和本质的描述，而事实上，光纤衍射场 分布为贝塞尔( b e s s e l ) 函数形式 1 7 。】，高斯函数近似将有可能引起较大 的误差。- 圆光波导基模衍射场远场分布存在中央亮斑【翻，中央亮斑集中了圆 光波导的绝大部分能量，经典的理论研究忽略了中央亮斑这一衍射效应的 本质问题。中央亮斑强度半最大值全宽度( f w h m ) 是衍射光束形状特 征的标志，它在光波导和激光束参量的设计等方面由实用意义，中央亮斑 强度半最大值全角宽度与光波导的波导宽度、工作波长、相对折射率差有 确定的关系，而现有文献缺乏对它们之间关系的分析。 瑞利一索末菲( r a y l e i g h s o m m e r f e l d ) 标量衍射积分公式是电磁波标 量衍射积分的经典公式，适用于发生衍射的整个空间，它对衍射源和观察 区相对于观察距离的最大尺寸均没有限制。对基尔霍夫( k i r e h o f f ) 衍射 公式或瑞利一索米菲衍射公式等一般性的衍射理论的基础公式，用它们来 进行计算数学上是非常困难的，具有实际意义的是对这些普遍理论作实际 问题所允许的某些近似，用所得到的近似公式计算一定范围内的衍射光场 的分布，数学运算便简单得多1 2 4 j 。 长期以来，对于光束的评价有许多不同的方法，例如采用发散角、光 4 一 笙= 里堑丝 斑半径以及模式等等，而即使对同一参数也有不同的定义。国际标准组织 ( i s o ) 提出以光束传输因子m2 因子f 2 5 也卅来评价光束，同时对近场模场 半径和远场发散角半径 3 0 3 3 提出了更合理的定义，三个参数共同作为光 束参数描述和质量评价的标准，从而形成了一套完按的理论体系。理论研 究的结果得出光束传输因子m 2 1 3 4 , 3 5 】，而数值计算的结果得到m 2 九，由于常用的圆光波导( 光纤) 芯层尺寸较小，芯层集中了大部分的光能量，单模光纤芯层半径为微米数 量级，衍射积分中有效尺寸r 远小于距离z ，则c o s ( n , ；) = c o s 0 ，借鉴瑞 利判据“实际波面与参考波面的最大波像差不超过l 4 时，此波面可以看 成是无缺陷的”，则当z 2 r ；z 时，三的计算公式可简化为： l = z s e e 0 一r s i n o c o s ( 2 3 ) 第u - 章瘸均匀光波导l p o l 模的远场衍射特性 由( 2 一1 ) 、( 2 3 ) 式和1 儿- i “ik ，可推导出与文献 2 5 在罗兰 ( r o w l a n d ) 球中推导出的结论相似的表达式： p ( n 妒，z ) = c o s 20 e 瓦x p ( _ i k z s e e o ) j 。2 4r p ( r ，仍o ) e x p ( i 知s i n o e o s 妒) 懒( 2 4 ) 设文d 为空间频谱，其表达式为场分布的m 阶h a n k e l 变换形式： s ! 日) 2 砉ry ( ，p ，0 ) e x p ( 一i m 妒) j 。( n d ) r 毋 ( 2 5 ) 则( 2 4 ) 式化为： 即奶加丝尘塑掣堕型剑s p ) ( 2 - 6 ) 在推导( 2 4 ) 式过程中，我们将倾斜因子c o s o 提到积分号外面。以 下我们证明这样在近轴近似下是符合能量守恒定律，说明这样的做法是可 行的。 m 捌2 删= c ( 塾竽 2 即脚 = c 堑竽m 咖聊1 2 俐 ， c 为常数，p ( r 力为远场平面2 上光能量，b ) 为傅立叶贝塞尔变换， 由于r = z t a n o ，空间频率，= s i n o , ，则有： r = = 矾e o s o d r t = z s e c 2 0 d o = 羔识 将式( 2 8 ) 、( 2 - 9 ) 代入式( 2 7 ) ，得到： ( 2 8 ) ( 2 9 ) 第二章圆均匀光波导l p o i 模的远场衍射特性 p ( r ，z ) = 4 矿c y _ o l b 妙( ，o ) i 。f 识 ( 2 1 0 ) 由帕色伐( p a r s e r v a l ) 定理：信号在空域( 坐标空间) 中的总能量等 于它在频域( 变换空间) 中的总能量，有： p ( ，z ) = 4 石2 c l i b 移( ，o ) 1 2 f 够= 4 玎2 c l l ( ，o 1 2 r c 加：p p ，o ) ( 2 - 1 1 ) 由此我们证明得将倾斜因子c o s o 提到积分号外面在近轴近似下是合 理的。 圆光波导l p o l 模芯层和包层归一化场分布分别为 2 0 】： p ( ，) = j o ( v r a ) 山( u ) ( ，曼d )( 2 1 2 ) 鬈( ，) = k o ( w r l a ) l k o ( ) ( ， 口) ( 2 1 3 ) 其中，a 为芯层半径，由( 2 5 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 式可以推导出空间 频率辟u 和f = - u 时l p o l 模标量场的空间频率分别为： 即卜矿赫i 即卜铲i 协i 。， 义2 矿孑而i 州f ) 一鼍黹严i q 。1 4 跚，= 壮m 船i 协 光强，= c i p ( r ) i2 ，c 为常量，则在观察点p 处空间频率碍u 和p u 时的光强“分别为： 邶，_ ( 鼍竽 2 f 南丽胁c 伊鼍铲卜 邶，= _ h a z c o s 2 0 1 2 卜，+ 器丁 协 式中，f ：k a s i n o 为归一化空间频率，u = a ( 七2 玎2 _ f 1 2 ) 1 佗为归一化芯层驻波 箜三至婴些望些垫! ! ! ! ! 塑竺垩堑堑丛堑堡 参量，矽勘( 庐一k 2 1 2 2 ) 1 怨为归一化包层衰减参量，为波导传输常数， v = ( u 2 + w 2 ) 1 挖为圆光波导归一化频率。 在近轴近似下，c o s 秘l ，以归一化频率v = i ，肛2 ，睁5 为例，圆光 波导l p o l 模在平面勤上观察点p 处的归一化光强分布如图2 2 所示。 兽 黑 泉 s i 县 空间频率f 图2 2 圆光波导l p o i 模衍射光强分布特性 与平面波透过圆孔衍射远场相似，圆光波导基模l p o l 模远场衍射分 布存在明暗相间的圆环，其中衍射场中央为亮斑，中央亮斑强度最大，其 它亮环( 次极大) 的强度比中央亮斑的强度小的多，中央亮斑面积随v 增加而增大，同一v 值的圆环越离开中央位置强度越弱。 2 2 中央亮斑强度半最大值全空间频率宽度 由( 2 1 6 ) 式知，在近轴近似下圆光波导l p o l 模衍射场强度半最大 值位置的空间频率凡尼满足方型6 2 1 ： w 阶警= 一孚壁等盟 沼s ， 强度半最大值全空间频率宽度f 1 1 2 = 2 f l ，2 。由( 2 1 8 ) 式可作出中央 第二章网均匀光波导l p 0 1 模的远场衍射特性 亮斑强度半最大值全空间频率宽度一，2 与归一化频率y 的关系曲线，如 图2 - 3 中的虚线所示。由于在( 2 1 8 ) 式的推导过程中采用了近轴近似， 忽略了倾斜因子e o s 0 对衍射积分的影响，为了对( 2 1 8 ) 式的计算结果 进行修正，直接从瑞利一索末菲标量衍射积分公式出发，在1 厄i 扣i t 近 似下通过编程进行精确的数值计算，作出衍射场强度半最大值全空间频率 宽度与归一化频率的关系曲线，取1 , l = 1 4 5 2 1 3 ，啦= i 4 4 4 8 9 ，z = 8 0 r a m ， 九= 1 5 5 9 m ，如图2 3 中的实线所示。 硭 牙 毯 髑 剞 趔 斗 嘣 * 毯 疆 归一化频率矿 图2 3 强度半最大值全空间频率宽度f k 与归一化频率v 的关系曲线 图2 3 表明：l p 0 1 模衍射场中央亮斑的半最大值全空间频率宽度n ，2 随v 值单调递增，v 值越大，f i ，2 越大。在v 值较小时，& f l a 与v 的关 系可以近似看成线性的，两条曲线几乎重合，( 2 1 8 ) 式可以比较精确的 描述介质圆波导l p o l 模衍射场强度半最大值位置的空间频率，但随着v 值的增大，衍射倾斜因子的影响渐渐明显，由( 2 - 1 8 ) 式计算的结果比精 确值略大。 出( 2 1 8 ) 式可得，l p o l 模衍射场中央亮斑的强度半最大值全空间频 率宽度心l ，2 范围为： 0 a f l r 2 4 1 5 6 0 ( 2 1 9 ) 第二章圆均匀光波导l p 0 1 模的远场柠射特性 对于单模圆光波导，蝇2 范围为 0 a f t 2 s 1 8 7 1 5 2 3 中央亮斑强度半最大值全角宽度 ( 2 2 0 ) 在近轴近似条件f ，s i n 0 = 0 ，归一化空剐频翠尸一k a s i n 0n - j 以与威 f = k a 0 ，则l p o l 模衍射场中央亮斑的强度半最大值全角宽度为： 鸲2 = 垒2 坠1 c a ( 2 - 2 1 ) 则l p 0 1 模衍射场中央亮斑的强度半最大值全角宽度脚l ，2 范围为： o 4 b ，2 0 6 6 1 4 ) , ( 2 2 2 ) 对于单模圆光波导，吼2 范围为： o 4 b ，2 0 2 9 - 7 9 l , ( 2 2 3 ) 用( 2 1 8 ) 式和( 2 2 1 ) 式近轴近似下计算和根据瑞利一索末菲公式 编程精确数值计算两种方法，比较计算口l ，2 与波导宽度、工作波长、相 对折射率的关系，作出口1 2 与波导宽度、工作波长、相对折射率差的关 系曲线，如图2 4 、图2 5 和图2 6 所示。 以n i = 1 4 5 2 1 3 ，啦= 1 4 4 4 8 9 ，即相对折射率差a = 0 0 0 5 ，l = i 5 5 9 i n ， z - - - 8 0 m m ，a 的取值范围为0 8 9 m 至2 0 1 m a 为例，在没有近轴近似下，作 出介质圆光波导l p m 模衍射中央亮斑强度半最大值全角宽度易，2 随光波 导半宽度a 的变化曲线如图2 4 中实线所示，由( 2 - 1 8 ) 式和( 2 2 1 ) 式， 在近轴近似下，作出l p o i 模衍射中央亮条斑强度半最大值全角宽度口l 尼 随光波导宽度a 的变化曲线如图2 4 中虚线所示。 1 4 第二章圆均匀光激导l p o i 模的远场衍射特性 g 鲁 划 悯 剞 测 杉 珥蹲 扑 魁 鼎 圆光波导宽度a u m 图2 4 强度半最大值全角宽度目1 ，2 与波导宽度疗的关系曲线 图2 4 表明：当a 为a m = 4 3 9 0 5 1 x m 时，强度半最大值全角宽度口l ，2 出现极大值，当a a 。 时，强度半最大值全角宽度a o l ，2 随a 单调递减，当口一m 时，囟，2 0 ，口 逐渐增大时，倾斜因子的影响渐渐明显，由( 2 1 8 ) 式和( 2 2 1 ) 式计算 所得结果较精确的数值计算结果略大。 望 吣 司 1 2 i 恨 剞 测 斗 峨 * 赵 霞 工作波长a g m 图2 5 强度半最大值全角宽度口l ，2 随波导工作波长 的变化曲线 第二章圆均匀光波导l p 0 1 模的远场衍射特性 以7 1 2 1 4 5 2 1 3 ， 1 2 2 1 4 4 4 8 9 ，z = 8 0 m m ，日2 8 1 , t m ，九在o 2 岫和1 0 1 t m 之间变化为例，在没有近轴近似下，作出介质圆光波导l p 0 1 模衍射中央 亮斑强度半最大值全角宽度巩，2 随光波导工作波长九的变化曲线如图2 5 中实线所示，由( 2 - 1 8 ) 式和( 2 2 1 ) 式，在近轴近似下，作出l p d l 模强 度半最大值全角宽度岛，2 随光波导工作波长九的变化曲线如图2 5 中虚线 所示。 图2 5 表明：当波导宽度和折射率一定时。当九为九。= 2 8 2 4 5 1 t m 时， 强度半最大值全角宽度a 0 l ，2 出现极大值，当九 x m 时，强度半最大值全角宽度口t 垃随九单调递减，当九一时， 目i ，2 一o 。当九较小时由( 2 - 1 8 ) 式和( 2 2 1 ) 式计算所得结果非常接近真 实值，九逐渐增大时，由( 2 1 8 ) 式和( 2 2 1 ) 式计算所得结果较精确的 数值计算结果略小。当波导宽度和工作波长一定时，强度半最大值全角宽 度口1 止随波导相对折射率差单调递增，越大，a 0 j t 2 越大：相对折射率差 逐渐变大时，衍射倾斜因子的影响渐渐明显，近轴近似下计算所得结果较 精确的数值计算结果略大。 第二章圆均匀光波导l p o i 模的远场衍射特性 近场模场半宽度和远场发散角半宽度和光束传输因子m2 三个参数 是光束参数描述和质量评价的标准，对圆均匀光波导这三个参数进行理论 及数值分析。 第三章网非均匀光波导远场衍射 第三章圆非均匀光波导远场衍射 本章根据瑞利一索末菲标量衍射积分公式，利用改进w k b 方法推导 出的本征模特征方程，推导普遍的非均匀光波导端口衍射场分布的计算公 式，对折射率按抛物线函数分布以及折射率按s e c h 函数分布的圆非均匀 光波导，推导其基模的传输常数，归一化波导结构参量n 归一化波导 芯层驻波参量u 及其远场衍射分布，并进行了数值分析，这些对光波导 基本理论及其光波导器件设计理论都有一定现实意义。 3 1 圆非均匀光波导概述 圆非均匀介质( 或梯度折射率) 光波导是指折射率的分布在纵向是均 匀的，在径向上是不均匀的，但是圆对称的，即圆非均匀光波导折射率n 只随径向坐标，变化，刀= 力p ) 。 一般介质中的时谐电磁波的波动方程，即亥姆霍兹方程为： v 2 蹦2 ( e 詈) = 。 ， v 2 日榭日+ 詈勺x h ) = o ( 3 - 2 ) 在非均匀光波导中，由于v g ( ，) = 陋a + o ，r o 为径向r 的单位矢量。 则，式( 3 1 ) 、( 3 2 ) 描述的亥姆霍兹方程可以写为： h 仁2 她蝎( 等耳 - 0 s ， h g 2 版+ 等害e ，= o ( 3 - 4 ) 第三章圆非均匀光波导远场衍射 p ；+ 2 版+ 蚓a 万i l , 一掣卜。 悖s ， h 2 肛：+ ：1d 酊e l i f l h ，一r 警卜 ( 3 _ 6 ) 式中，仇为角向妒的单位矢量，下标竹，妒标注横向参量。 由于以上方程均为非齐次方程，且任意一个电磁场分量均不能独立满 足波动方程，因此只能采用近似的方法，简单的方法是折射率缓变条件下 的标量近似法。 常用圆非均匀光波导的折射率分布可以表示为： 卜? i 一2 4 ( ，尸】 r - 式中的t l 是一个大于零的数，称为折射率指标数。旺取不同的值时的折射 率分布曲线不同。对于任意的t l , 值，由于折射率n ( r ) 不为常数，利用波动 理论很难得到解析形式的结果【5 7 。 3 2 研究圆非均匀光波导的w k b 方法 在研究柱面非均匀介质中，w k l 3 方法常被采用。有简单借鉴量子力 学的势阱中粒子波函数的结论讨论三维空间的光学问题的经典w k b 方法 和采用自变量替代的w k b 方法。 3 2 1 经典w k b 方法 w k b 方法是量子力学中用于求解势阱中粒子波函数的薛定谔 ( s c h r 6 d i n g e r ) 方程的近似方法，现在被广泛用于求解平面光波导和光纤 的导模。 沿迪卡尔坐标轴分解分量的标量波函数表示为： p ( ，仍毛r ) = r ( ，) e x p ( f m 伊) e x p d z 一国f ) 】 ( 3 - 8 ) 第三章圆非均匀光波导远场衍身寸 径向函数r 满足 铲弓警小矽一与r 嘶) _ 0 ( 3 _ 9 ) d ，。，邪 一 经典的w k b 方法的场分布描述为 嘶一帕寿e x p ，j ：厕钼酢帅) e x p 忪 式中， ) 叫2 以r ) _ 卢2 一生掣 ( 3 - 1 1 ) 3 2 2 改进的w k b 方法 由于经典的w k b 方法及自变量替代w k b 方法在分析光波导时有很 多不够完善的地方，它们并不适用于圆柱坐标下的光场分析【5 8 6 1 1 ，文献 6 2 】 提出一种改进的w k b 方法分析光波导的场分布。 改进的w k b 方法建立在式( 3 - 1 1 ) 中m = + 1 2 的改进射线法分析基 础上，则有：，( ，) = ；n 2 ( ，) ，则对乃的描述如图3 1 所示。 口2 七，”2 加 0 图3 1 改进的w k b 方法示意图 一苎三至墅韭塑兰垄鲨塑堡塑塑塑 图中，幻为光波导芯层半径，起为折射率，对以上公式做归一化处理， 则圆非均匀光波导的归一化模式可表示为： 蜀o ) 2 f c 。s r i i 孑飞i j 二万i d 一妒。 e x p ( ，詈) ( 3 1 2 ) ( r ) = f c 。s r 乏；：研d 一伊。 - e x p e - r 扩而 e ) ( p ( ，争m 式中，= ( 2 q + 1 弦4 为q 阶模的波导芯层模场分布在z 轴的初始相位， 序号q 2 0 ，1 ，2 3 当p 代表电场e 时f 2 丽1 丽万1 ，当罗代 表磁场何时，f ：一生! 竺一i 。 t o r 改进的w k b 方法选择圆光波导芯层中心，= 0 和包层无穷远r o o 处为 参考点，采用这两个特殊点的介质折射率y t 。，h 椭代替拐点处的介质折 射率计算拐点相移6 ( 口) ，有： 协n 业：一下：一22 訾 ( 3 1 4 ) 2 皤一k p 2 则由改进后的8 ( a ) 描述的圆非均匀光波导特征方程为： 蹶= 孵t a n 肛孤讳酝一 ( 3 - 1 s ， 归一化波导结构参量矿和归一化波导芯层驻波参量u 可以定义为 矿= r 厅而 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 第三章圆非均匀光波导远场衍射 3 3 圆非均匀光波导远场衍射 由第二章内容，根据瑞利一索末菲标量衍射积分公式，我们得到圆光 波导远场模场分布公式为式( 2 4 ) 。将式( 3 - 1 2 ) 、( 3 - 1 3 ) 振幅部分代入 式( 2 4 ) 计算出圆非均匀光波导远场模场分布表达式为： r ( ，妒，z ) ：w o c 。s 2 8 i e x p ( i 拓s e e o ) 1 a z 扩r 细s r 届_ 虿丽掌嘞 e ) ( p ( i k o r s i n 觚s 伊) 删妒+ f r 细s 昕丽善嘞 e 七r 痧i 而飘 唧嗽心n s 曲r 毋叫- s ， 3 3 1 抛物线型折射率分布圆光波导远场衍射 在式( 3 7 ) 中，如喊，即得到抛物线型圆非均匀光波导，即 n 2 ( r ) = h ? 【1 2 a ( r a o ) 2 0 ， a o 处光纤的折射率为常量 1 2 。 2 n 则对抛物线型圆非均匀光波导基模，= t r 4 ，取光波导折射率 n m a x = 1 4 5 2 1 3 ，n m l n = 1 4 4 6 3 3 ，即相对折射率差a = o 0 0 4 ，九2 1 5 5 9 i n ，a 0 2 5 r t r n 为例进行数