（应用数学专业论文）几类时滞差分、微分方程神经网络模型的动力学分析.pdf

瞎上学位论文 摘要 作为一个有广泛应用背景的神经网络，其动力学行为是应用和设计的基础。考 虑到神经网络中神经元之间信息传递过程对时间的实际需要，用以定义和描述神 经网络的微分、差分方程模型理应是时滞微分、差分方程系统。由于大规模时滞差 分、微分方程神经网络的定性分析目前仍缺少有效的工具和方法，而小规模时滞神 经网络模型的动力学研究可为大规模网络的研究提供借鉴的方法和工具，所以研 究小规模时滞微分、差分方程神经网络模型的长期动力学彳亍为是一项十分有意义 的工作。本学位论文探讨了几类小规模时滞差分、微分方程神经网络模型的动力学 行为，包括模型解的收敛性和周期性，平衡点的稳定性。全文共分四章。 第一章简单地回顾了神经网络的发展历史和该领域的研究现状，同时对本文 将要讨论的神经网络模型的背景和要研究的主要内容进行了说明。 在第二章中，利用不等式技巧，映射迭代规律及不动点定理讨论了一类具分段 常数非线性时滞差分方程神经元模型解的收敛性和周期性，在一定的初始函数空 间内，对信号函数阈值的一些不同取僮范围，证明了模型解的收敛性；得到了模型 渐近稳定周期解的存在条件。 在第三章中，在一类二元离散时滞差分方程神经网络模型中引入了两种不同 情形且具有明显实际意义的非线性不连续信号输入函数。在一定的初始函数卒间 内，对信号函数阈值取大阈值和临界闽值时，分别得到了改进后的模型解的收敛性 结果；对小阈值情形，利用映射迭代规律及不动点定理，证明了模型渐近稳定同步 周期解的存在性定理。 在第四章中，研究了一类三元混合时滞( 既含离散时滞又含分布时滞) 的微 分方程神经网络模型平衡解的稳定性问题。通过非线性模型所对应的线性化模型 的稳定性分析来决定非线性模型的稳定性；利用网络模型关于平衡点的线性化( 局 部) 分析来决定产生分支的可能性。具体而言，通过讨论时滞微分方程的特征方程 根的分布，对即时反馈和相互作用情形、时滞反馈无相互作用情形及时滞反馈和相 互作用情形等网络模型的稳定性进行了分析，得到了模型平衡解线性稳定和不稳 定的充分条件，表明了当时滞达到一定临界值时会产生h o p f 分支，证明了有一个 正整数k 使得存在从稳定到不稳定又到稳定的k 开关。给出了一些数值模拟例 子说明所获理论结果的正确性。 关键词：神经网络；时滞；收敛性；周期性；稳定性；差分方程；微分方程；h o p f 分 支 1 1 些耋翌堂茎坌：壁坌互翌塑丝竖竺堡型竺垫垄兰坌堑 a b s t r a c t t h ed y n a m i c so fn e u r a ln e t w o r k ，w h i c hh a sb e e na p p l i e dw i d e l y ，i st h ef o u n d a - t i o no fa p p l i c a t i o na n dd e s i g n c o n s i d e r i n gt h a tt h e r ei st i m e - l a gi nt h et r a n s f e r e n c e o fi n f o r m a t i o nb e t w e e nn e u r o n si nt h en e u r a ln e t w o r k ，t h en e u r a ln e t w o r km o d e l s d e s c r i b e db yd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss h o u l dc o n t a i nd e l a y s d u et ot h es h o r t a g eo fe f f i c i e n tt o o la n dm e t h o di nt h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i so fl m g e d e l a yd i f f e r e n c ea n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i l et h ed y n a m i c a ls t u d yo fs m a l ld e - l a yn e u r a ln e t w o r km o d e l sc a np r o v i d eu s e f u ln m t h o da n dt o o lt oi n v e s t i g a t i o no f l a r g en e t w o r k ，s oi ti sm e a n i n g f u lt h a tw es t u d yt h ed y n a m i c so fs m a l ld i f f e r e n c e e q u a t i o n sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sn e u r a ln e t w o r kw i t hd e l a y s t h i sd i s s e r t a t i o n m a i n l ye x p l o r e st h ed y n a m i c so fs o l u t i o n so fs e v e r a ld e l a ys m a l ln e u r a ln e t w o r k m o d e l sd e s c r i b e db yd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，i n c l u d i n gt h ec o n v e r g e n c e ，p e r i o d i e i t ya n ds t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u ms o l u t i o n so ft h e m o d e l s t h i sd i s s e r t a t i o ni sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s ， a st h ei n t r o d u c t i o n ，i nc h a p t e r1 ，t h eh i s t o r y , b a c k g r o u n do fn e u r a ln e t w o r k s a n dm a i nr e s e r c hc o n t e n t so ft h ed i s s e r t a t i o na r eb r i e f l ya d d r e s s e d i nc h a p t e r2 ，t h ed i s s e r t a t i o nd i s c u s s e st h ec o n v e r g e n c eo fs o l u t i o n sa n dt h e e x i s t e n c eo fa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ep e r i o d i cs o h i t i o n so fac l a s so fd e l a yd i f f e r e n c e e q u a t i o n sw i t hp i e e e w i s ec o n s t a n tn o n l i n e a r i t yb ym e a n so ft h ei n e q u a l i t ys k i l l s ， t h ei t e r a t i o no fao n e - d i m e n s i o n a lm a pa n df i x e dp o i n tt h e o r e m i nag i v e ns p a c eo f i n i t i a lf u n c t i o n ，t h ec o n v e r g e n c eo f s o l u t i o no ft h em o d e li sp r o v e df o rs o m ed i f f e r e n t s c o p e so fs i g n a lf u n c t i o nt h r e s h o l d ；ae x i s t e n c ec o n d i t i o nw h i c hc a l lg u a r a n t e et h e e x i s t e n c eo faa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ep e r i o d i cs o l u t i o n so ft h em o d e li so b t a i n e d i nc h a p t e r3 t h ed i s s e r t a t i o ni u l p r o v e sad i s c r e t e ! t i m ed i f f e r e n c en e u r a ln e t w o r km o d e lo ft w on e u r o n s ，a n di n t r o d u c e st w od i f f e r e n tn o n l i n e a rd i s c o n t i m l o l l s s i g n a lf u n c t i o n sw h i c hd i s p l a yo b v i o u s l ym e a n i n g i nag i v e ns p a c eo fi n i t i a lf u n c t i o n ，t h ec o n v e r g e n c eo fs o l u t i o no ft h ei m p r o v e dm o d e li so b t a i n e df o rb i ga n d c r i t i c a lt h r e s h o l do fs i g n a lf u n c t i o n sr e s p e c t i v e l y ；f o rs m a l lt h r e s h o l d ，ae x i s t e n c e t h e o r e mo faa s y m p t o t i c a l l ys t a b l es y n c h r o n i z e dp e r i o d i cs o l u t i o n si s p r o v e db y r n e a l l so ft h ei t e r a t i o no fao n e ! d i m e n s i o n a lm a pa n df i x e dp o i n tt h e o r e m i nc h a p t e r4 ，t h ed i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e st h eh n e m s t a b i l i t yo ft h es t e a d y - i i i 博士学位论文 s t a t es o l u t i o n so fat r i n e u r o nd i f f e r e n t i a ln e t w o r km o d e lw i t hd i s c r e t ea n d d i s t r i b u t e dd e l a y s b ym e a n so ft h es t a b i l i t ya n a l y s i so fl i n e a r i z e dm o d e l sc o r r e - s p o n d e dt on o n l i n e a rm o d e l ，t h es t a b i l i t yo ft h es t e a d y - s t a t es o l u t i o n so fn o n l i n e a r m o d e lc a nb eo b t a i n e d ；b yu s i n gt h ea n a l y s i sl i n e a r i z e dl o c a l l yi nt h es t e a d y - s t a t e s o l u t i o n so fn e t w o r km o d e l ，t h ep o s s i b i l i t yo fo c c u r r i n gb i f u r c a t i o n sc a nb em a d e t ob ec o n c r e t e ，a f t e rd i s c u s s i n gt h ed i s t r i b u t i o n so ft h er o o t so ft h ec h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o nl o c a ls t a b i l i t ya n a l y s i so ft h es t e a d y - s t a t es o l u t i o nl e a d st o ，i ta n a l y z e s t h es t a b i l i t yo fn e t w o r km o d e l sw i t hi n s t a n t a n e o u sf e e d b a c ka n dn e u r a li n t e r a c t i o nh i s t o r y , d e l a y e dn e u r a lf e e d b a c ka n dn on e u r a li n t e r a c t i o nh i s t o r ym i d d e l a y e d n e u r a lf e e d b a c ka n dn e u r a li n t e r a c t i o nh i s t o r y ；i tg i v e ss u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e l i n e a rs t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u ms o l u t i o n ；i ta l s os h o w st h a tah o p fb i f u r c a t i o nc a n o c c u rw h e nt h ed e l a y st a k ec e r t a i nc r i t i c a lv a l u e s ；a n di tf u r t h e rp r o v e st h a tt h e r e i sap o s i t i v ei n t e g e rks u c ht h a tt h e r ea r eks w i t c h e sf r o ms t a b i l i t yt oi n s t a b i l i t y a n db a c kt os t a b i l i t y n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ef i n a l l yp e r f o r m e dt oi l l u s t r a t et h e o b t a i n e dr e s u l t s k e yw o r d n e u r a ln e t w o r k ；d e l a y ；c o n v e r g e n c e ；p e r i o d i c i t y ；s t a b i l i t y d i f f e r e n c ee q u a t i o n ；d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；h o p fb i f u r c a t i o n i v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所呈交的论文，是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 嘶色业吼妒6 年r 月小 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅， 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于 作者签名： 导师签名： 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密一 ( 请在以上相应方框内打“”) 日u月月 r r 年年 、o 6 讲山 期期 日日 磐 博士学位论文 第1 章绪论 1 1人工神经网络研究历史简介 人工神经网络( 以下简称神经网络) 的研究始于2 0 世纪4 0 年代。1 9 4 3 年心 理学家m c c u l l o c h 和数学家p i t t s 合作在( b u l l ，m a t h b i o p h y s 杂志上发表了一 篇文章，提出一种叫做”似脑机器”( m i n d l i k em a c h i n e ) 的思想，这种机器可由基r 生物神经元特性的互联模型来制造，这就是神经网络的概念，见文f 1 1 。他们构造了 一一个表示大脑基本组成部分的神经元数学模型( 称为m p 模型) ，对逻辑操作系统 表现出通用性。随着大脑和计算机研究的迸展，研究目标已从”似脑机器。变为” 学习机器”，为此一赢关心神经系统适应律的心理学家h e b b 于1 9 4 9 年提出了学习 规律：神经元之间的连接是可以变化的，通过刺激使神经元的连接加强。h e b b 学习 规律建立了神经网络研究的基础，在各种神经网络的建立中起了重要作用。与此同 时，罗森布拉特( r o s e n b l a t t ) 命名感知器，并设计了一个引人注目的结构。到2 0 世纪6 0 年代初期，关于学习系统的专用设计方法有威德罗( w i d r o w ) 等人提出的 a d a l i n e ( a d a p t i v eh n e a re l e m e n t ，即自适应线性元1 以及斯坦巴克( s t e i n b u c h ) 等 人提出的学习矩阵。由于感知器的概念简单，因而在开始引入时人们对它寄予很大 希望。然而，不久之后，明斯基( m i n s k y ) 和帕伯特( p a p e r t ) 从数学上证明了感知 器不能实现复杂逻辑功能。 在2 0 世纪7 0 年代，格罗斯伯格( g r o s s b e r g ) 和科霍恩( k o h o n e n ) 对神经网 络研究作出了重要贡献。以生物学和心理学证据为基础，格罗斯伯格提出了几种 具有新颖特性的非线性动态系统结构。该系统的网络动力学由一阶微分方程建模， 而网络结构为模式聚集算法的自组织神经实现。基于神经元组织自调整各种模式 的思想，科霍恩发展了他在自组织映射方面的研究工作。但真正带来神经网络研究 兴盛的是物理学家h o p f i e l d 于1 9 8 2 年和1 9 8 4 年发表的两篇举世瞩目的论文。在 文【2 ，3 中，他引入了”计算能量函数”的概念，给出了网络的稳定性判据，网络的 电子电路实现，为网络的实现和应用找到了理论依据，同时开拓了神经网络用于联 想记忆和优化计算的新途径。自2 0 世纪8 0 年代中叶开始，越来越多的数学、电气 工程、计算机科学、神经科学、脑科学、心理学、生态学、医学、信息科学、电子 学、控制与机器入等不i 司学科的科学工作者参加到这一研究领域，开展神经网络的 应用与开发，建立了许多具备不同信息处理篚力的神经网络模型，并已有多种模型 被实现和开发，且在信息处理，模式识别，优化控制，辅助决策，人工智能，计算机 技术等领域得到广泛的应用，见文阻7 1 。 1 几类时滞差分、微分方程神经j 叫络模弛的动力学分析 1 。2课题的学术背景、研究现状及意义 从人脑的生理结构出发，建立能正确模拟人脑信息处理功能的数学模型，并对 模型进行深入的研究，为神经网络实现技术与应用技术提供可靠的理论依据是神 经网络研究的关键。一个神经网络模型的好坏往往取决于模型中对神经元活跃规 律及神经元之间的连接强度和连接规律的正确定义与插述，而如d a n i e ls l e v i n e 博士在文f 8 1 中所说：最典型的定义与描述方式是利用差分和微分方程。因此，在以 前所提出的众多神经网络模型中，非常大的一部分是微分、差分方程模型，如著名 的t t o p f l e l d 模型，g r o s s b e r g 模型和l 0 c h u a 的c n n ( c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k ) 模型等。而且考虑到网络中神经元之间信息传递过程中对时间的实际需要，这些模 型理应是具有滞后的时滞微分、差分方程系统。在现有的众多具时滞反馈的模型 中，大部分是离散时滞的情形，然而当考虑到网终中输入信号对细胞响应的驱动、 细胞以往的活动以及在与其它细胞的偶合活动中所遭遇的各种相似或不同的刺激 这一客观实际现象时，网络模型中考虑离散时滞和分布时滞两种情形是更符合客 观实际的。因此也有必要研究一些既含离散时滞又含分布时滞的微分、差分方程神 经网络模型。 自上世纪7 0 - 8 0 年代开始，很多学者从事小规模微分、差分方程神经网络的研 究。1 9 8 7 年，b a b c o c k 和w e s t e r v e l t 研究了具双时滞的二元神经网络模型，表明 模型具有很好的动力学性质，包括不完全衰减环，稳定和不稳定极限环等，参见文 9 1 。当两时滞相等时，g o p a l s a m y 和l e u n g 于1 9 9 6 年证明了时滞取一定值时可产 生h o p f 分支，见文f 1 0 1 。1 9 9 7 年，o l i e n 和b e l a i r 研究了具离散时滞没有自连接 的二：元神经系统的稳定性，见文f 1 1 1 。1 9 9 9 年，w e i 和r u a n 分析了具双时滞的小 规模微分方程神经网络，对具自连接的情形，证明了当两时滞之和通过一列临界值 时会分产生h o p f 分支，见文1 2 。1 9 9 9 年，c a m p b e l l ，r u r a l 和w e i 研究了一类 四神经元环状双时滞微分方程神经网络模型，且证明了当正平衡点失去稳定性时 会产生h o p f 分支，见文1 3 1 。湖南大学应用数学专业博士生导师黄立宏教授与加 拿大y o r k 大学的吴建宏教授和陈玉明博士、湖南大学的郭上江、袁朝辉博士和李 雪枚博士等合作，对诸如具m c c u l l o c h p i t t s 型非线性信号函数的二元正、负反馈 微分方程神经网络模型解的收敛性和极限环的存在唯一性等问题，具时滞反馈的 三元神经网络模型的非线性波的型态延拓等问题，不规则”o u t s t a r ”和”i n s t a r ”神 经网络模型的收敛性、平稳周期振荡性问题、时滞网络模型的h o p f 分支问题及差 分方程神经网络解的收敛性和周期性等问题进行了研究，得到了很多结果，见文献 1 4 2 3 1 。对其它的具常数离散时滞的小规模微分、差分方程神经网络的研究可参见 文献f 2 4 3 1 1 等。 2 博l 学位论文 在客观实际现象中，也还存在一些具空间变化的神经网络，这是由于神经元 之间存在大量的轴突大小和长度不一的并行路径造成的，因此，存在分布时滞。在 这类神经网络中意味着信号传播不再是即时的，此时用具分布时滞的模型表示较 好。t a n k 和h o p f f i e l d 在1 9 8 7 年在文献 3 2 1 中提出了具分布时滞的神经电路。1 9 9 4 年，g o p a l s a m y 和h e 研究了具分布时滞的神经网络的稳定性，见文献f 3 3 1 。2 0 0 1 年，l i a o 等在文f 3 4 1 中研究了具分布时滞的二元神经系统的稳定性开关和分支， 他们用平均时滞作为分支参数表明了h o p f 分支的存在性。有关具分布时滞的神经 网络的定性研究还可参阅文献 3 5 3 8 。1 9 7 0 年，c o w a n 在文献 3 9 中提出神经点 火率不仅依赖外部输入而且与网络内部的神经元相互作用有关。s o k o l o v e 于1 9 7 2 年通过考虑神经适应性后修改了神经模型，见文献f 4 0 。1 9 7 9 年，o g u z t o r e l i 在文 献f 4 1 1 中修改了神经模型后得到含有相互作用史的模型，这种模型更好地描述了 有限个数神经元的神经网络。2 0 0 4 年，r u a n 和f i l f i l 考虑到细胞反应是由输入信 号、细胞以往的活动以及在与其它细胞的偶合活动中进行各种相似或不同的刺激 所产生的，认为神经网络模型应同时考虑离散时滞和分布时滞，提出了具有离散时 滞和分布时滞的二元神经网络模型，其中离散时滞由神经元的相互作用产生，分布 时滞是由神经反馈引起。他们研究了平衡解的稳定性及平衡解附近的振荡性，通过 h o p f 分支的分析表明了平衡解附近的振荡性的存在，见文f 4 2 1 。 通常的差分、微分方程神经嘲络模型，并没有涉及网络中神经元之间信息传递 过程的时间因素，所以具有时滞的微分、差分方程系统才较好地反应了实际情况。 对于大规模的时滞差分、微分方程神经网络的定性分析，据我们所知，现阶段仍然 没有有效的手段和方法：本文研究小规模时滞神经网络模型的动力学性质，可为大 规模网络的研究提供借鉴的方法和工具。因此，研究小规模时滞神经网络模型的长 期动力学行为是一项十分有意义的工作。本研究课题就是建立在上述基础上的。 1 3 课题的主要研究内容 研究几类时滞差分、微分方程神经网络模型的长时期动力学性态，包括平衡点 的收敛性，周期解的存在性：平衡解的稳定性及h o p f 分支的存在性等。具体研究 内容如下： 1 研究一类一元时滞离散模型解的收敛性和周期性 模型： z n ：= 。z n 一1 + ( 1 一口) ，( 。一) ，n = 1 ，2 ，( 1 1 ) 3 几类时滞筹分、微分方程神经m 络模型的动力学分析 其中。( 0 ，1 ) ，女是正整数，f ：r r 是分段常数非线性信号函数： 心，= r 耸兰舭，毗 其中b ，c 【0 ，0 0 ) 且b 0 为第i 个 神经元的自兴奋因子( o 协 o ) ；是相互影响系数， 0 表示第j 个神经元对第i 个神经元起兴奋作用 ( j = 1 ，2 ，3 ，j 2 ) ；( 0 ) 表示第j 个神经元到第i 个神经元的滞后时间；。( t ) 是时滞反馈核，满足： r o 。，o 。 甄；( s ) d s = 常数，s k i ( s ) d s o l 眨z ， 只一r 是双阕值分段常数非线性信号函数 ( 6 ，c ， ( 2 3 ) ( 一o o ，b ) u ( c ，o 。) ， 、 阈值b ，c 满足：6 ，c 0 ，。o ) 且b 0 是常数，：r r 是由( 2 3 ) 给出的函数 事实上，我们用下列变换式标化( 2 3 ) 和( 2 4 ) 中的变量和参数： z ：= 宁，+ ( ) = ，( 击f ) ，扩= 导6 ，c + = 宁c ，礼= 1 ，2 ， 去掉+ 号可得( 2 1 ) ，其中，满足( 2 3 ) 另一方面，方程( 2 4 ) 可以从下列具分段常变元时滞微分方程中导出， 面d x = 一舻+ p m r 1 1 ) , t o ( 2 5 ) 其中“ 0 ，卢 0 为已知常数，f 是非负整数，f ：r r 是由( 2 3 ) 给出的函数， 表示最大整数函数 6 中 ，o 其，i b | | 牡 篮 虹 ， 垂模虑考i扑r 我_ | 早曲本 阈 方程( 2 5 ) 在一些生物模型中有着广泛应用，有关方程( 2 5 ) 的背景及其它具 分段常数变元微分方程系统可参见文献1 4 4 ，45 不难将方程( 2 5 ) 离散化到差分方 程( 2 4 ) 事实上，可将( 2 5 ) 写成如下形式： 盖( 。( t ) e m ) 。e 脚卢m ( 卜f 】) ) ，t o - ( 2 6 ) 设扎是非负整数，七= f + 1 从扎一1 到t k 一1 ，扎) 积分方程( 2 6 ) 得： z ( t ) e 脚一z ( n 一1 ) e 弘( “一1 ) = ：( e 小一e l z ( n - 1 ) ，( z ( 礼一惫) ) ( 2 7 ) p 让t 一托，则由( 2 7 ) 得： 舟 z ( 礼) = e - # x ( n 一1 ) + 等( 1 一e 一“) ，( 。( 扎一) ) ，礼= 0 ，1 ，2 ，- 仙 设z 。= z ( 竹) 则有： 舟 z 。= e p z 。一l + 等( 1 一e - i t ) ，( z 。一k ) ，n = 0 ，1 ，2 ， p 若取o = e 一，a = 取l e 一一) ，上式即为( 2 4 ) 的特殊情形 为简化起见，记n 为全体非负整数集合对任意m ，佗n ，定义n ( m ) ： m ，m + 1 ，。 且( m ，n ) = m ，m + 1 ，- ，n ) ，( m 佗) 显然，n = ( o ) ( 2 1 ) 的解是定义在n n ( - k ) 上的r 中的点列 z 。 ，且对札n 满足 ( 2 1 ) ，( 2 3 ) ) 设x 表示从n ( - k ，一1 ) 到冗的映射全体。显然，对任意妒x ，方程( 2 1 ) 有满 足初始条件 现= 妒g ) ，i ( 一k ，- 1 ) ( 2 8 ) 的唯一解 z 。) 罂k 以后我们用 x 一+ o o 表示( 2 1 ) 的满足初始条件( 2 8 ) 的解我们仅讨论妒一b 和妒一c 在( 一恕，一1 ) 上不变号情形更精确地，仅考虑妒x 1 u 搦u 弱= 甄。c x 情形，其中 x 1 = 妒i 妒：n ( - k , 一1 ) 一r 且 v ( i ) 曼b ，i ( 一k ，一1 ) ， 而= 妒i 妒：( 一k ，一1 ) 一r 且 b c ，i ( 一七，一1 ) ) 7 几类时滞葺分、微分方程神经网络模型的动力学分析 2 2主要结果及证明 文 4 3 1 给出了模型 ( 2 1 ) ，( 2 2 ) 解的收敛性结果，并利用不等式技巧计算出了 模型的周期解。主要结果如下： 定理2 1 设口1 如果 z 。 ：兰女是模型 ( 2 1 ) ，( 2 2 ) 初值为_ mz + 1 ) - ，x 一1 r 的解，则当礼一( 3 0 时z ，_ 1 定理2 2 设o 一1 如果 。) ：兰是模型 j ，茁二2 q 。二1 = 卜1 2 a m j + k ( 万1 - - 矿a k ) 口a 的解 z ：) ：兰。是周期的，且最小周期为2 4 - m 更进一步地， 盯，z 二2 盯 8 博土学位论文 茁二1 ：兰! ：二! 二；三兰；i ；掣一- 。土， 矿 工一一t 二_ i 磊干爵i i 一一1 。m ，1 ，o 的解 z ： ：兰k 是周期的，a 覆d , n n n ( 2 k + r n ) + ( 2 k + m + 1 ) 更进一步地， 和 是解 z ： 。+ ：o o b 关于盯的负半环 和 。：+ m ，。；+ m + i ，一，x 2 k + m 一1 ) z ；七+ 2 m + l ，茹；+ 2 m + 2 ，z ：k + 2 m ) 是解 z ： 罂。关于一的正半环。 在这里 序列 z ：) ：兰关于a 的正半环是指一串大于盯的数 劫，。l + l ，x m ，f 一，m 满足 f = 一k 或 f 一k 且x f 一1 口 及 m = 0 0 或 r f $ 一且茁f 一1 ( j r 及 m = 0 0 或m 盯 本节中，我们将利用不等式技巧讨论具双闽值非线性不连续信号函数模型 ( 2 1 ) ，( 2 3 ) ) 解 的收敛性；采用构造一维映射进行迭代的方法，再利用不动点定理证明该模型渐近 稳定周期解的存在性。主要结果及证明如下。 定理2 5 下列结论成立 ( i ) 如果妒x 1 且b 1 ，则当7 , 一o 。时x 。_ 0 ， ( i i ) 如果妒玛且b 1 ，则当礼_ ( b o 时z 。- 0 9 ( i i i ) 如果妒x 2 且b = 1 ，则当n _ o 。时。_ 1 ， ( i v ) 如果妒玛，b 1 且c2 b a 一，则当n 一。时z 。一0 、 ( v ) 如果妒x a ，b = 1 ，且c2n 一，则当n o 。时z 。1 定理2 5 的证明 先证结论( i ) 因为妒x l ，由( 2 1 ) 和( 2 3 ) ，可得刘”k 1 1 有 因此，划n n ( o ，七一1 ) 成立 n a x n 一1 。0 。= 妒( 一1 ) a “十1 ( 2 9 ) f 2 1 0 ) 如果o 妒( 一1 ) b ，则列 ( o ，七一1 ) 有z 。= 妒( 1 ) 。n + 1 6 ，z n l b 成立的最小非负整数，则对扎e v ( o ，扎1 + k 一1 ) ，( 2 1 1 ) 成立 利用( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) ，对i n ( o ，一1 ) 有 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 。n ，+ t = ( 妒( 一1 ) 一1 ) 扩1 + 件1 + 1 ( 妒( 一1 ) 一1 ) n ”1 + 1 + l = x n 。b 成立这表明对i n ( o ，k 一1 ) 成立，州噩再由结论( i ) 可得结论( i i ) 接下来证明结论( i i 0 设妒蜀且b 一1 。考虑到( 2 1 ) 和( 2 3 ) ，可知对 礼n ( 0 ，k 一1 1 有 x n = g x 。1 + 1 一a 成立，从而对佗e v ( o ，k 1 ) 成立 x n = ( 妒( 一1 ) 一1 ) a ”+ 1 + 1 1 0 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 博士学位论文 注意到对n n ( 0 ，自一1 ) 有 b = 1 x 。= ( 妒( 一1 ) 一1 ) a “+ 1 + 1 ( c 1 ) n “+ 1 + 1 c 成赢，因此对n n ( k ，2 k 一1 ) ，( 2 1 3 ) 成立从而对n n ( k ，2 k 一1 ) ，z 。满足 b z 。 c ，x 。l c( 2 1 6 ) 成立的最小非负整数，贝对n n ( 0 ，m 1 + k 一1 ) ，( 2 ，1 5 ) 成立 结合( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 可得，对i n ( 0 ，k 一1 ) 成立 x m l q - 。= v ) ( - - 1 ) a ”1 + 件1 c a b 成立，因此，对i n ( 0 ，k 一1 ) ，有。，“恐再利用结论( i i ) 和( i i i ) 可得结论 ( i v ) 和( v ) 证毕 定理2 6 设0 b 1 c 则 ( i ) 如果妒x 1 ，则当礼一o o 时z 。一0 ， ( i i ) 如果妒弼或妒x a 且c b a ，则当n _ 。时茁。_ 1 定理2 6 的证明 结论( i ) 的证明类似定理2 5 中结论( i ) 的证明，故略 下证结论( 虮 分两种情形考虑 情形1 设妒而由( 2 1 ) 和( 2 3 ) 可知，当n n ( 0 ，k 一1 ) 时 茁。= ( ( p ( - 1 ) 一1 ) a ”+ 1 + 1( 2 1 7 ) 1 凡类时滞荠分、微分方程神经嗣络模型的动力学分析 成立 如果b 妒( 一1 ) s1 ，则当t ten ( 0 ，一1 ) 时 b ( ( b 一1 ) a “+ 1 + 1 x ，。= ( 妒( 一1 ) 一1 ) a “+ 1 + 1 1 c 成立： 如果1 妒( 一1 ) c ，则当n n ( o ，一1 ) 时 b 1 。= ( 妒f 一1 ) 一1 ) n “+ 1 + 1 ( c 一1 ) 血“+ 1 + 1 c 成立 这表明对礼en ( 0 ，1 ) 有z 。局成立且对 n ( k ，2 k 一1 ) ，( 2 1 6 ) 满足 重复此过程，可得：当刚，墨满足( 2 1 7 ) ，因此当n 一0 ( 3 时石。一1 情形2 设妒ex 3 且c b a 用类似定理( 2 5 ) 的结论( i v ) 和( v ) 的证明 方法并结合情形1 可证明情形2 ，故略， 证毕 定理2 7 设0 b c l ，则当妒x l 且n _ 。时z 。一0 定理2 7 的证明 定理2 7 的证明与定理( 2 5 ) 的结论( i ) 的证明类似，故硌 引理2 8 设0 b b a 一2 b ， 由此可得z n 。十1 局 1 2 博士学位论文 进一步， z 。o + i = a x n u + ( 1 a ) a c + ( 1 一a ) l ， 所以，引理2 8 的结论成立，其中m = n o 及m 1 = 一k 情形2 设妒x a 用类似定理2 5 的结论( i v ) 和( v ) 的讨论方法易证存在 礼l ( 一1 ) ，使得当n ( n 1 ，n l + k 一1 ) 时。x 2 成立因此，利用情形1 可 得情形2 的结采 注2 9 从引理2 8 的证明可知，对c ( b a ，1 ) ，研究满足初始条件 p 五u 弱的( 2 1 ) 的解的极限行为，只需限制初始函数妒j 乇且初始迭代点茁。满 足z o d o = ( c ，1 ) 即可 定理2 1 0 对p ，口n ，定义 1 = n l o x a p 十1 ，1 + ( b a p + 1a 一( p + ) 2 = m a x 1 一n g + n p 十。+ 2 ，【b