（应用数学专业论文）单位球上bloch型空间之间的复合算子的本性模估计.pdf

中文摘要 本文主要讨论了单位球上b l o c h 型空间之间复合算子的本性模估计，即用本 性模这个工具来研究复合算子并给出了我们所研究算子的本性模的上界和下界 估计，并由此可以得到相应算子紧的充要条件。全文共分为四部分。 第一部分里，简要介绍了近些年在多复变中不同函数空间上研究复合算子、 加权复合算予以及乘子等常见问题的结果和方法，这一部分相当于一个前言。 第二部分，给出了本文所涉及到的一些重要的概念及其性质定理，因为这些 结果为一般人所知，所以只述而不证。 第三部分，是证明本文主要结果所需的一些引理及其证明。 最后一部分，就是本文的主要结果和证明，另外还很容易得到一些推论。 关键词：b l o c h 空间单位球复合算子本性模 t h er i f l eo ft h i s a r t i c l ei st h ee s t i m a t eo ft h ee s s e n t i a ln o r mo fac o m p o s i t i o n o p e r a t o rb e t w e e nb l o c h - t y p es p a c e si nt h eu n i tb a l lo fc h a t h a ti st os a y , m a k i n gu s e o ft h et o o lo ft h ee s s e n t i a ln o l t n ，w eg e tt h eu p p e re s t i m a t ea n dt h el o w e re s t i m a t eo f t h ec o m p o s i t i o no p e r a t o rw h i c hw eh a v es t u d i e d i na d d i t i o n ，w eg e tas u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h ec o m p o s i t i o no p e r a t o rt ob ec o m p a c t t h ea r t i c l ei sd i v i d e d i n t of o u rp a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，s o m er e s u l t sa n dm e t h o d sa b o u to p e r a t o rt h e o r yi nf u n c t i o n s p a c e so fs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ，s u c h a sc o m p o s i t i o no p e r a t o r s ，w e i g h t e d c o m p o s i t i o no p e r a t o r sa n dm u l t i p l i e r s ，a r ei n t r o d u c e db r i e f l y i tc a nb e e ns e e i n ga sa p r e f a c e i nn e x tp a r t ，s o m ei m p o r t a n tc o n c e p t sa n dt h e o r e m sw h i c ha r er e l a t e dt ot h e a r t i c l ea r eg i v e n s i n c et h e ya r ew e l l k n o w nt oe v e r y o n e ，t h ea r t i c l eo n l yg i v e st h e r e s u l t sb u tn o tp r o v et h e m t h et h i r dp a r tc o n t a i n ss o m el e m m a sa n dt h e i rp r o o f sw h i c ha r en e c e s s a r yt ot h e p r o o f o f t h em a i nt h e o r e m t h el a s tp a r tg i v e st h em a i nt h e o r e ma n di t sp r o o fi nt h ea r t i c l e a tt h es a l r l et i m e s o m ec o r o l l a r i e sa r eo b t a i n e de a s i l y k e yw o r d s ：b l o c h s p a c e ，u n i tb a l l ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r , e s s e n t i a ln o r l n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘盗盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：诱f y f j 9 1 签字日期：铆r 年，月同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤空盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘生盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：常f 卅孙 签字日期：厶酊年j 月i 日 导师签名阅螂 签字日期：纱町年f 月p 日 第一章背最知识简介 众所周知，多复变函数理论的研究是当代数学发展里的个新的领域，在这其中 非常活跃的部分内容就是多复变函数空间上复台算子理论的研究。之所以这么说， 是因为：首先，多复变函数中域的构成很复杂，就连最简单的两类域一超球和多圆柱 也是不全纯等价的( 事实上，多复变中域的分类问题仍是有待解决的难匦之一) ， 这就使得不同域上函数空间的结构必然不同，因而研究不同函数空间上的复合算子的 结果也必然是不一样的；其次，在多复变中可以定义很多不同的函数空间，常见的例 如tb e r g m a n 空间、h a t d y 空间、l i p s c h i t z 空间以及d i r i c h l e t 空间等，当然还有我 们本文里研究的b l o c h 空阀，这些空间大多数是由单复变中的相应情形推广而来的， 但是这些空间上复合算子的性质不仅比多复变的情形复杂，而且有一些甚至有本质的 不同；最后，是因为复合算子的内容和研究方法是很多的。就内容而言，我们可以探 讨复合算子的有界性和紧性，还有加权复合算子的有界性和紧性，此外还有乘子的性 质等等就方法而言，可以用呐赡! 函分析的方法来研究复合算子的性质，也可以结 合复变函数的特点来进行研究，比如说利用内函数、n e v a n l i n n a 计数函数以及角导数 等来刻画复合算子的性质，而在本文中，我们就是利用本性模这个工具来对单位球上 b l o c h 型空间上的复合算子进行处理，并得到比较好的结果。 复合算子的研究无疑是有重要意义的。比如，它在解析动力系统理论中起到重要 作用：d e b r a n g e s 关于b i e b e r b a c h 猜想的证明就是依赖于解析函数空间上的复合算子： 遍历变换有时可以看为导致复合算子。自7 0 年代以来，动力系统的研究更广泛的向各 个应用领域发展，在经济数学、气象预报、数值计算、统计力学等领域里，动力系统理 论的应用已经崭露头角。在系统控制、天体力学、流体力学、振动理论、化学反应、生 理过程、生态和人口理论等许多方面的研究中，动力系统也展示了广泛的应用前景。 函数空间上的算子理论之所以受到普遍的重视，不仅因其丰富而深入的理论，而且特 别是由于它的广泛而有皖效的应用。随着现代数学物理问题研究的深入，不同域上的 函数空间及其算子不断出现，许多问题尚待进一步研究。 具体而言，复变函数空间上复合算子研究的蓬勃发展的结果是出现了一系列的论 著。其中包括已经成书的著作( f l 】 4 、陶、 6 j 、 刁) ；关于单复变的许多研究结 果可以参考( 1 8 】、【9 1 、 2 0 、【2 3 】、【27 ) ；而多复变中不同空间上的复合算子的性质 可以参考( 【10 、【1 1 、【1 2 、【2 8 、 2 9 、 3 0 j 、 3 1 】) ；其中单位多圆柱上b l o c h 型空 间的复合算子以及加权复合算子已由周泽华教授得出一系列完整的结果( 1 3 、 1 4 1 、 第一章背景知识简介 1 5 】、1 1 9 】) ，特别的，文( 【1 6 】) 是关于般有界对称域上复合算子的紧性的结果，可 以参考。丽本文主要参照文章f l9 的内容和方法，在分类讨论和检验函数的选取上主 要借鉴文章【2 1 】的做法。有兴趣的读者可以进步参考其他文献。 2 第二章基车概念和性质 在本节里，首先简要介绍本文所涉及到的些主要概念和性质定理，关于这些概 念和结论的更详细内容，见参考文献( 1 、【2 、【3 】、【4 、 5 、【7 】、【8 8 、 1 8 、 【1 9 、【2 1 、【2 5 、【2 6 】) ， 下面我们依次介绍单位球鼠、单位球e 的( j x ) b l o d l 型空间伊( 巩) ( 雕( b 。) ) ( o p 。) 、复合算子瓯以及本性模i i t l l 。 1 单位球b 。 在本文中，我们用c 表示复数域，表示复数域匕n 维线性空间 c “= ( g l ，z 。) ：z j c ，j = 1 ，n ) 设z = ( 钆，。) ，”= ( ”，w 。) 是c n 中的两点，定义它们的内积为 n = 巧 j = l 。的模定义为i 。i = _ 了了= ( 量j 勺j 2 ) 这样c n 是个n 维的h i l b e r t 空间 j = l g 中单位球定义为z 耻，引咿：萎蚓2 ) 当n = 1 时，它就是单位圆盘 下面是证明中要用到的几个多复变中的基本定理，这里只述而不证 c 血c h 妇淄【葛：设n 是c n 中的域，芦( n ，r ) cn ，若，h ( f 1 ) ( 表示n 上的所有 全纯函数) ，记m = s u p i f ( g - ) j ：e 岛p ( 岛p 表示p 的特征边界) ，则 i 。州n ) l 兰m 老 这里 c 硝焖= 筹篙挈b w e i e r s t r a s s 定理设n 是c n 中的域， a ) 是n 匕列全纯函数若它在n 上内 闭致收敛于，则，日( n ) ，而且 d “ ) 也在n 上内闭致收敛于d 。f m o n t e l 定理设q 是沪中的域，n 上的全纯函数族，是n 上的正规族的充要 条件是f 在n 上局部一致有界 3 第二章基本概念和性质 2 ( 小) b 1 0 c h 型空间胪( b 。) ( 雕( 巩) ) ( o p o o ) 我们用耳( b n ) 表示单位球鼠上的全纯函数菀对0 p o 。，b l o c h 型空间垆( b 。) 定义为： 胪( 既) = ，：，h ( b n ) 且1 1 1 1 8 ，= i ，( o ) i + s u p ( 1 一 ) 9 i v y ( z ) i 0 ，使得 | | t z i i y m i 蚓i x ( v 。x ) 紧算子设x ，y 是b a n a c h 空间设a ：x _ + y 线性；称a 是紧算子，如果对任 意有界点列 z 。) cx ， a z 。) 中有收敛子列( 或者，对于x 中的任意有界集b ，可可 在y 中是紧集) 紧算子基本性质若a l ( x ，y ) ( 表示所有从x 到y 的有界线性算子的集合) ，而 b l z ) ，并耳这两个算子中有个是紧的，则b a 叫x ，z ) ( 表示所有从x 到z 的 紧算子的集合) 毛撇l i t i i 。 t 是任意的线性连续算予，它的本性模定义为： 1 t l l 。：= n f i i t g l7 ：蟹是紧算子) 基本性质| | t i i 。= 0 营t 是紧算子 由此性质，从本性模的估计可以得出算子紧的相应条件，这一点在本文最后的推 论中可以看到 4 第三章几十引理厦其、证明 第三章几个引理及其证明 说明；本文中的岛c l ，m ，a ：等表示与变量z ， 等无关的正实数( 可以与范数以 及参数n 口等有关) ，不同的地方可以代表不同的数 引理1 若，6 ( 风) 噼( 巩) k 则 ( 1 ) 当o p l 时， f ( d l 兰( 1 + r 三抄慨 ( 2 ) 当p = l 时，i f l 时，i m ) i ( 1 + 矿硕 雨鬲m 肛 证明对f 伊( 鼠) ( 磅( b 。) ) ，由i 2 = 1 1 妒= ，+ s u p ( i 一”) 9 l v ，( 圳得到 f ( o ) l - l l f l l m 且i v m 胚拌嘛 x r 1 m ) = ，( 0 ) + j ( = - 丽) 出 所以 l ，( z ) i - i ( 。) + 上11 2 i v ，( “) i d t 圳川一，怕rj ( 1 若出! l l f l 一( ，+ 可舞) 当r = 时】禹= ；- n 矧! 扣高，所以 m ) l s ( + j l l n f 锛) 一 若p l ，则 南= 赤! o ”j 南= 学 研2 矿习币干萨!研2 1 - = r 一 所以当。c ，c 时有o l - p 1 椭 南s 岩 1 一( 1 一h ) ”1 ， 2 ” ( p 一1 ) ( 1 一，一12 国1 ) ( 1 一i g p ) p 一1 5 出 ，i 一( 1 一1 一l 一( 1 一9 ， 2 ”。 丌j 可3 1 = 厂一2 石玎而 可p3 面j 丽 i 酽 5 第三章几十引理盈其证明 所以 j f ( z 胚( 1 + f 南) 眇拈， 引理2 设0 p 0 使 得 a 意耕而剥黔薪外m ) | 曼a 嚣斜而剥鬻鲁丽 取a = m i n a 1 ，1 ) ，岛= m _ a x a 2 ，1 ) ，则有 巾钏+ 。晶杀铺黯， 岛 | ，( 0 忆：当。，杀赫隅) 引理3 设0 p ，q o 。，庐是风上的个全纯自映射，则国是俨( 四。) 到( 晶) 的有界算子的充要条僻- 是 。；一s u p 。，i 端 ! ! 二二j ! ! ! ；：! ；5 ； i ； ；： i 2 掣) 5 。( - ) 其中j t ( z 1 为o 的j c o b i a n 矩阵，j 4 , ( z ) u 表示个列向量，即 州护( 锷掣) 蟛艇。，州咖 证明先证充分性如果( 1 ) 式成立，利用引理2 有 c 一l z l 2 ) 9 i v c ，。，i 。；：! 扣，i i ；i ；： ；5 等! ! ! ! 1 5 ：告 s 震。踹 z e b 。 ( 1 一l 妒( z ) 1 2 ) 1 j 垂( z ) 珏1 2 + l ( 1 一吲2 ) l u l 2 + l 1 2 6 r h 业 a 一 。 丝 a 一 。 第三章几十引理及其证明 而嵩制黼桨端端研g 忖怕，v ( 1 一i ( z ) 1 2 ) j j ( 。) u 1 2 + i i 。 由引理1 ，i f ( g ( o ) ) l 茎g p ( ( o ) ) l l f l l a ，这里q ( z ) 为： 当0 c | | 吼i l i q i 厶恬i i 岛凡怯 丛! 二蚓：! ! l e lj ( w ) u l 抓f 币雨阿耳下瓦御( 1 一r ；) c ( 1 一2 ) 9l e l 2 可可顶声丽而霉亓磊菥 ( 1 一i 加1 2 ) 9r ( 1 一i 咖( 叫) 1 2 ) i j 乒( 伽沁1 2 + ( 1 一i ( ) 1 2 ) pi ( 1 一i 1 2 ) l u l 2 + 三鱼! 竺! ! ! 尘! 竺! 兰三i ： 1 2 ( 1 一 训j 2 ) 。r ( 1 一r ：) 刊如1 2 + - + i 靠1 2 ) + i 鱼e 、 ( 1 一r 乞) p l ( 1 一l 叫1 2 ) l u | 2 + l 1 2 j 0 第三章2 1 i g 理及其证明 ( i )当( 1 一i ( ) j 2 ) l j d ) ( w ) u 1 2 i 1 2 时，令 鼬( g ) = ( 厶。吒1 ) ( z ) = 厶如1 ) ，其中厶( 。) = ( i 翌- - 二p w 丝z l 一) p ， ( 6 ) 因为 v 9 。( z ) = v ( 凡o 1 ) ( z ) = ( v 凡) ( z 1 ) ( 1 ) 7 ， 经过计算可得j | 9 。怯c ，从而 c 兰c | | q | | | l 吼1 1 9 。恬 ! ! ! 二唑2 ：i ( ! ! 竺! ! 尘( 竺! ! 兰尘f 竺2 兰l 一 ( 1 一l 埘f 2 ) 珏 2 + 1 2 ：! f ! 二型型堡丝丝些垒些三竺丝业猁 、【1 一i 叫i 。) 1 “l 。+ i i 。 ：! ! ! 二咝! !竖堕! 型些型 ( 1 一砘) ，f 二同砑砰t i i 研 由( ”) = e 。以及瓦= ( 1 ) 7 可得到石丽= p 。e 瓦= 加e ( 1 ) 7 ，代入e 式即 得到 。，丛! 二i 竺! ：! !l ! ! 竺! 丝! 竺! ! 1 1 一 “2 p 。( 1 一砘) 一、厢= 翮研砰了r 瓦。再下 c ( 1 一细f 2 ) 9i l p w ( 1 一砘) ，、厢j 面阿砰了再面御 因此 ( 1 一i 叫1 2 ) zr ( 1 一i 曲( t ，) 1 2 ) l j 咖( w ) u 1 2 + l 1 2 1 ( 1 一l ( 加) 1 2 pl( 1 一细1 2 ) i 1 2 + i 1 2 j 撕压，注意到蚓e 慨= e - ( u 9 1 ) ，( ) “，及( ”) = 舳e - ，瓦= ( 1 ) 7 ，则 别2 石1c - - i o 加e - 瓦i ，( ”) u2 老i ( ( ) ，j ( ”) u i 于是由假设条件( n ) 知 l f 。i 业；点m ”) “i 因而确褥 旧1 2 器( 吲2 + 怕h 所以 l e d 2 + + i 靠1 2 面等与( i 已r + + 1 2 ) 茎2 ( 怕1 2 + + l 矗1 2 ) ( 9 ) 利用( 8 ) 和( 9 ) 以及酉变换性质得 ! ! 二l 竺l ：2 1 l i ! 二! 生! 竺2 l ：! ! 生! 竺! 兰罡i 三生f 竺! ! 兰生! 竺! 兰三l ； ( 1 一i 驴( ) p 尸l( 1 一阳i 。) i “l 。+ i l 。 j ! 以掣筹而鲁器黼 婴二上宴。垒! 三型垒! 兰：；圭型 。2 ( 1 一砣) r 、肛r = 1 司啊研丐t 了瓦研2 “ 若p 。s 、，丽由。是口，( 巩) 到( 日。) 的有界算子，对j = 1 ，n ，取，( = ) = z j 立 即得到幽b q ( b 。) ，即有 0 0 ( j = 1 ，n ) 从而由引理2 得 ! ! 二型尘， ( 1 一j ) 1 2 ) pl ! ! 二 虫i 竺2 1 121 生生f 竺! 兰i ： ( 1 一1 w 1 2 ) 2 + 三堕21 型幽! 三! ： f 2 c ( 1 卟n 。而鬲糕等菰雨 c ( 1 - 肿i 果崭斋器 sc ( 1 l c x i i 印+ + l i 。i i 印) ! c 我们得到( 1 ) 式成立至此，此引理得到完全证明 引理4 若”d e ： 0 ，对任意的口k ，多圆柱 r = z l , - - - , z ) c ”：i z j - l v 唧j 及v u c ”一 o ) ，均能找到一函数 ，。( g ) e 觥( 口。) c 胪( 口。) ，满足： ( i ) j c l ，c 2 o ( 与w ，u 无关) 使得 e l l 旧。，。怕，c 2 ( i i ) 当z 固定而i ( 训- 1 时，g w ，。( z ) _ 0 ，即当i ( ”) l _ 1 时，对任意的u c “ o ) ， 鼬，。( ；) 在如的任一紧子集内致收敛于零 ( i i i ) 对v u c “一 o ) ， ( 1 一l 埘| 2 ) 。l v ( g 。一。咖) ( 叫) i c x ( 叫，) 这里 砌，小= 踹 鲥掣翔群柰等) i 证明对v w 鼠满足= i ( ) l 何，及v u c “一 o 由矩阵代数的知识 知，j 醚， 龊 ( ) = e z ，其中r 。= i ( ”) = ( 1 ，9 ，0 ) 情形1 当( 1 一l ( t ，) 1 2 ) l j o u ( w ) u 1 2s 1 2 日于，令 = 焉 则 掣o z = 躲p + l ，掣- o ，n】( 1 一r 0 1 ) a o 女 。 于是 ( 1 一2 ) 9 i v 厶。( 。) = ( 1 刊i2 ) ，潞 兰龇( 1 吒) 端 茎( 1 一 ( 1 一i 。1 1 2 ) p - ) ( 1 一| z lj 户 = p r 。( 14 - r 。) ( 1 + l z l i ) 兰2 p 2 9 1 4 第四章主要定理及证明 所以凡，。e 卢一( b 。) ，同引理4 的讨论，丘，砧( 巩) 又取z o = ( z 2 ，0 ，0 ) = ，0 ，0 ) b n 则 ( 1 - n 叩) i = ( 1 - 坩z 0 ) 苦三害精 = ( 1 吒) 一器= 缈。 ，厢 所以 p 、互7 j s u p ( 1 一i 。1 2 ) ，l v 冉扛) l 2 p 2 p 而 | i 凡山i i 胪= 1 一r 0 + s u p ( 1 一l g l 2 ) 1 v 厶，。0 ) i ， 敌由上面 寸论有 p 、j 7 i i i 凡，。l i ，1 + 2 p 2 p 显然，当z 玩固定时有 ，l 。i + m 。u ( z ) l _ + 0 令 9 。，。( z ) = ( 凡，ou 3 1 ) ( z ) = 厶，。0 u j l ) ， 则 v 9 刚( g ) = v ( 凡，。o 1 ) ( z ) = v ( 厶，。) 0 1 ) ( 1 ) r 因为是酉矩阵，所以( 1 ) r 也是酉矩阵，故有 f ，。( 矧= f 甲( 九，。) ( z v 3 1 ) ( 盯i 1 ) 7 f = f 甲( 厶，。) ( z v 3 1 ) f | 且= _ z 1 是b 。_ + b 。的变换，从而有 ；s u 口p 。( 1 一。1 2 ) 9 i v 9 ”，u ( 2 ) l = s u p ( 1 一旧叩) ，f v 凡，。p 1 ) i = s u p ( 1 一川2 ) 9 l v 厶，。( ”) 】 又因为i g 。( o ) i = i 凡。( o ) h 所以有 i ，。= l i 厶，。l i 口， 1 5 第四章主要定理殛证明 所以( i ) 成立又由g 。的定义， ( i i ) 也是显然成立的 又对v u 口一 o ，由引理2 有 ( 1 一细1 2 ) q l v ( g 。，。o ) ( ) l a z 杀罂器等 ( 1 一i 叫1 2 ) 9 l v 鼬彤( 毋( w ) ) j ( 硼m l 2 m 了萨币而币亓焉丽 ( 1 一i 叫1 2 ) 。i v 厶，。( ( 叫) u i l ) ( 【1 ) t ，( 叫) i 2 1 孩i 丽丽矿行i 菰罚厂 由( ) = r w e l 乩得到( ) 1 = r w e l ，则有 v 凡，。( ( 叫) 1 ) = v 厶，。( r 。e 1 ) = v 凡，u ( r 0 ，0 ) = ( 鼯，0 ，。) = ( 芒匆, 0 , - - - , 0 ) 于是代 得 ( 1 一m 2 ) q l v ( g 。，。) ( ”) i a - 掣秽者掣器 又由( ”) = 。以及瓦= ( t ) r 可得到石丽= r 以瓦= z ( 1 ) 7 ，代人上式 即得到 ( 1 一l 脚。) 9 v ( 如一。庐) ( 叫) i a - 掣秽而群滞悔 = 幻裂秽爿群赭器 、a ，p ( 1 一阻1 2 ) z f ( 1 一l ( w ) 1 2 ) i j ( w ) u 1 2 + i 1 2 时，记 ( 1 ) 7 j ( w ) = ( i f l l e “，i e 1 e 。“) 7 = ( 6 ，靠) 7 第四章主要定理及证明 令a j = v - t o ；若白= 0 令o j = 0 再令 则 所以 所以 = 等等 忻= 巧 掣= 篱1r 等w z l 川咄，n ，a 却( 一) 9 1 ”77 v 眦炉 | 坐等笋1 2 + 薹l 船) 5 ， 芒1 杀z l | i 型警1 掣1 1 2 - 1 ) ) 5一l r ”l 【一r z l 、7 j ( 1 一i z l 2 ) 一i v 厶，。( z ) i ( - 一i 。t 1 2 ) p 龋 ! 生兰上；笔j 铲+ ( n 一，) ) 5 ( 1 刊2 ) p 躁 鲤爿等爷幽 z ，瓜 掣甍犏竽+ 坼_ 1 ) ) 5 f 丽瓜 - + 黼) 。 茎z ，一 ( 1 - a + 等等肖铲) 5 2 ，川i 玎丽了面两 所以凡，。胪( 日i ) ，同引理4 的讨论，厶，。藤( b 。) 另方面，取 如= ( 。h 一，z ) = ( 击历孤捌 则 2 = r ：+ ；( 1 一r ：) = ；( 1 + r ：) o ( 依赖于，) 使得 差( 等”) 卜忆，n 这里g = ( z i , - - - , ) = 等( ，”。) ， 所以 ，艘( 1 一衅) ，l v ，) ( ”) | = 。s 幽u p m f - 1 ( 1 一i ( v ，) ( m 。- - 1 w ) 1 w f k w 且” l - 、 ”+ 艘喜等( 州) 9 l 簧( 等w ) l 洲- 由此得j ，矿( b 。) 下证k 。，藤( 日。) 事实上，记r 。= 三 ，显然o r 。 l ，记，m = ，显然，me 日( 去b n ) 由于 t l 土，百：c 土巩，对固定的m ，v e = ，存在多项式职( w ) 满足 l + r ml 十 r m r m， 。；里面”) 一砖 0 ，所以对v w b 。及k 1 ，n ) ，由引理7 得 j 警( ”) i ：娶l 警( ”) i 第四章主要定理及证明 故当j - + o o 时 曼丛粤掣。upi，m(。)一碟(。)1 一 一r m舀一 ”、 兰掣1 掣( 乇) ；t 而； 一 一r m 、 ”“一 v(，m一础)(删娄警(w茎轨而；1 = ”7 。s ；u 。pi v ( f 。一砖) ) ( 圳( 1 一| 刮2 p o ，ze e l = 三 。：；e b 。) 及f = 1 ，n 有， o z l 所以当- + ( 3 0 时 i l 矗一，口，= i f a o ) 一邶) l + s u p ( 1 一) f v ( ，j 一，) ( ) i u t a n = i h ( o ) 一 ( o ) l + 。s u 。p0 一f v 【( 办_ ，) ( 三 ”) 】f 且。 、 7 n 7 删_ ，( 酬+ 一s u p 。( t 删) ，壹l 盟掣| k w 且nlu z 1=l 兰训l + 怒等耋i 警卜 这表明 k m f j 在胪( 晶) 上收敛于g = j 乙，| s p ( b n ) ，又因为，伊( 晶) ，由( j ) ，；， 雕( 巩) ，所以：席( ) _ + z s ( b 。) 为紧算子 ( i v ) 由第二章里紧算子的基本性质及( i ) ，( i v ) 是显然的 第四章主要定理及证明 ( v ) 首先对v ，ez p ( b 。) ，有( ，一j 靠) ，( o ) = 0 ，所以 i l ( j 一f o n ) ，| | 口，= s u p ( 1 一| 1 2 ) 9 i v ( i k i n ) f ( w ) i = s u p ( 1 一川2 ) i v f ( w ) 一v ( j o 川 ) i 曼 s u p ( 1 一1 w 1 2 ) p o v i ( w ) i + l v ( 墨。，) ( ) 1 ) !j j ，lj 芦，+ s u p ( 1 一j 伽j 2 ) i v ( 。 ，) ( 叫) j 钏，一等嚣( ，一i 等彬| v ，( i m - i m ) i 2 | | ，i i 口，= l i x 一k 。| | 2 ( v i ) 任意紧集e b 。，j r ，0 r 1 满足e cr 风c c b n ，对v z e ， l ( j k m ) f ( z ) l = l ，( z ) 一，。( 。) l = l ，( z ) 一，( r 。z ) l = i 厶1 磊d 嘲排i j r 。产k = i 要uk 泓h e 叫 砉i 差泓，卜 因为当# h ，1 】日寸 v ；晶，p t z l = t i l l i z i n 差( ) 在佤上致有界，即 对v zeej 若( 纠j 兰m 所以当m _ + o 。时， l ( 一。r k ) ，0 ) j 茎n m ( 1 一r 。) _ + 0 从而( i 一。) ，在巩上内闭致收敛于0 证毕 定理1 令= ( - ，c n ) 是巩的全纯自映射，是f l v ( b ) 到俨( 晶) 的有界 算子。f 协。是它的本性槐则 。1 挈嚣 。：墨。) 五( 叫”jsi l a 母i | 。sc 2 6 l i 叶r a o 。s u 。一p t 。， 五( 加，“) 出j ( ( ) ，o b n ) 6 d 妇( ( ) ，a b 。) d 其中c - c 2 是与w ，u 无关的正实数，丽 矾m _ 揣 蚓掣辫渊斟等掣) 5 这里j ( ) 为( ) 的j a c o b i a a 矩阵，( w ) u 表示个列向量，即 州加( 掣) 均艇。u = ( 砉等，掣“t ) 7 第四章主要定理厦证明 证明先看下界估计令 r ，。( z ) = 鼬，。0 ) g 。，。 _ 口， 这里g w ，。( z ) 如预备定理1 所述显然l i 凡，。协= 1 且当i ( ”) l _ 1 时r 。( 。) 对 v u c “一1 0 在b 。的紧子集内致收敛于0 由于k ：伊( 巩) _ 伊( 巩) 为紧算子， 所以当d _ 0 时( 陌当6 _ + 0 日寸显然有f 如) f _ 1 ) ，| | r ，。怕。0 则有 | | u 口一k = s u p ( c k k ) ，目。 川a p = 1 s u p ( i l q 川印一i l 嚣，肿) l ，日p = 1 舰。s h u p 。) ( i i c , f u 灿q i l k r 舢一) 兰l i m 。s u h p 。，i l 瓯r 小口 d t | h 忡1 、0 b n l 6 = 。l i r a s u 。p 。，等嚣磐 d _ + o 。a n 一 o )l i ，l l 口， d i s t ( 口t ”) ，d 甘n 】 6 c 25 l i r a + 。s 。u p f 。，| | 9 ”，u 。| | 口t d 4 “( l ) ，8 b n ) d c - - 2 l i r a 。s q u p 。) 。s u 巩p ( 1 一9 i v ( 。龇) d ；5 t 【口( ”】，口b n ) 棚万及v “伊一 o ) 时都有 所以 由l l o 的定义有 ( 1 一i 1 2 ) 9 l v ( 9 。mo ) ( ) | c x ( w ，“) q g l l c 2 c l i r a 。s q u p 。 x ( ，) d i s t ( ( w ) 。o b “) d 吼l i 。= i n f i 吼一g l l ：是紧算子) 兰l i m s u p x ( w ，u ) 一c 2j - - 0 “e d 4 一 o ， 7 删“( 口( ) 0 b n ) d 。q 牌。器。，盖细，“) d 口t ( 咖扣) ，o b n ) 6 第四章主要定理厦证明 此即得到下界估计 界估计下面令 g i ：= 伽b 。：d i s t ( ( w ) ，a ) 升 g 2 ：= w b 。：威s t ( ( ) ，o b 。) 兰 掣= z b n ：d i s t ( z ，o b ) d ) 则g ；为峨中的紧集，且 g 2 时z = ) g ：对任意的，ez v ( b 。) ，记1 1 ：1 1 = l i l i b ，则由引理2 及预备定理2 中的( v ) 有 l l 国i i o5 | | 吼一q 川= l i 岛( 一) | i = s u pi i o ( 卜k m ) l l 口, = s u p ls u p ( 1 一1 w 1 2 ) 9 i v ( 1 一 ，m ) ，o 纠( ) i + | 【( ，一矗) ， ( ( o ) ) | i l l ，【| = lo w e 鼠 。 s u ：p 。 搿s u p ，涮篙器裂陈糕赫 + l 【( ，一j 岛) ， ( ( o ) ) | | ! c 2s u ps u px 细，u ) ( 1 一i ( “，) 1 2 ) ，i v ( 一。) ，】( ( w ) ) l + c 2s u p 【( f k 。) 门( ( o ) ) = 1 。簇；：。 i i 1 1 = 1 1c 2 i l i 一州s u px ( w ，) 十c 2s u ps u p x ( ，) ( 1 一l 庐( 叫) 1 2 尸 。簇掣i 1 。簇g - - 。( ” i v 【( ，一。) ， ( ( ) ) + c 2s u pi 【( ，一耳赢) ， ( ( o ) ) 墨c 2s u px ( 叫，) 十，+ j j 。簇掣 由预备定理2 中的) ，f ( f 一。) ， ( z ) 在g ；上致收敛于0 ，所以【( f 一。) ，】( ( ”) ) 也在g 。匕致收敛于0 ，下面证当m o o 时，对任意g z 及i i ：1j = 1 ，j ，