（应用数学专业论文）关于位势井族及其对强阻尼非线性波动方程的应用.pdf

哈尔滨- 丁程大学硕士学位论文 摘要 本文研究以下强阻尼非线性波动方程的初边值问题 ”w a u c t a u ，= f ( u ) ，z q ，f 0 u ( x ，o ) = u o ( x ) ，u t g ，o ) = “i g l 石q “= 0 ，t 0 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 其中q c r 4 为有界域。f c ，且f ( u ) u 0 。 一 首先，利用新定义的位势井族结合g a l e r k i n 方法对整体弱解的存在性进 行研究，得到了新的弱解的存在条件。其次，利用一些重要的不等式如h o l d e r 不等式，g r o n w a l l 不等式等结合位势井族进一步对强解的存在性进行研究， 得到了新的整体强解的存在条件及强解的唯一性。再次，在解的存在性基础 上研究问题( 1 ) ( 3 ) 在该族位势井的流之下的不变性，得到了解的真空隔 离性质，即方程的所有解均在酬( q ) 空1 4 的一个小球的内部或一个大球的外 部出现，而不会在中间的带形区域出现，形成一个无解区域称为真空隔离区 域。最后，利用积分估计的方法研究了该问题解的渐近性质，并得到了较好 的结果，使得解以指数形式趋于零。 关键词：强阻尼；位势井族：整体解：存在性；真空隔离 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fac l a s so f s t r o n g l yd a m p e dw a v ee q u a t i o n s 村。一a u a a u ，= f ( u ) ，x q ，t 0 u ( x ，o ) = d o ( x ) ，甜g ，0 ) - - “l g l 工q i = o ，t 0 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) w h e r e ，f 2 c r ”i sa b o u n d e d d o m a i na n d 厂cw i t hf ( u ) u 2 0 t h ee x i s t e n c eo ft h ew e a ks o l u t i o n so ft h ea b o v ep r o b l e mi sd i s c u s s e db y c o m b i n i n gt h eg a l e r k i nm e t h o da n dt h ef a m i l yo fn e wp o t e n t i a lw e l l st h a td e f i n e d i nt h i sp a p e r , a n dt h en e we x i s t e n c et e r m sf l l eo b t a i n e d b e s i d e s ，b yu t i l y z i n g s o m ei m p o r t a n ti n e q u a l i t i e ss u c ha sh o l d e ri n e q u a l i t y , g r o n w a l li n e q u a l i t i e sa n d t h ef a m i l yo fp o t e t i a lw e l l s ，t h ee x i s t e n c eo ft h es t r o n gs o l u t i o no ft h ep r o b l e mi s a n a l y z e d 。a n dt h en e we x i s t e n c et e r m sa n du n i q u e n e s sa r eg a i n e dt h e n t h e n ，t h e i n v a r i a n c eo f t h ef a m i l yo f p o t e n t i a lw e l l su n d e rt h ef l o wo f ( 1 ) 一( 3 ) i sr e a s e r c h e d ， v a c u u mi s o l a t i n gp r o p e r t yo ft h es o l u t i o n si sg a i n e d ，t h a tm e a n sa l ls o l u t i o n so f t h ee q u a t i o n sm a ya p p e a ri nt h ei n s i d eo fas m a l lb a l lo ro u t s i d eo fal a r g eb a l l ， r a t h e rt h a l lt h eb a n d s h a p ei n t e r v e n i e n tr e g i n e t h u s ，an o n s o l u t i o nr e g i o nc a l l e d y a c u l l r ni s o l a t i n gr e g i o ni sf o r m e d f i n a l l y , t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r sf o rs o l u t i o n s o ft h ep r o b l e mw e r es t u d i e db yu s i n gi n t e g r a le s t i m a t em e t h o d t h er e z u l t s i n d i c a t et h a tt h es o l u t i o n so ft h ep r o b l e m sd e c a yt oz e r oa c c o r d i n gt ot h ee x p o n e n t o f t k e y w o r d s ：s t r o n g l yd a m p e d ；p o t e n t i a lw e l l s ；g l o b a ls o l u t i o n s ；e x i s t e n c e ；v a c u u m i s o l a t i n g 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的 指导下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、 数据和文献的引用已在文中指出，并与参考文献相对 应。除文中已注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人 承担。 作者( 签字) ：垂塾鱼i 丝 日期：砌6 年7 月订日 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 第1 章绪论 偏微分方程的兴起已经有两百多年的历史了，由起初研究直接源于物理 与几何的问题发展到一个独立的数学分支，内容庞杂，方法多样。偏微分方 程讨论的问题不但根植于物理，力学，生物，几何和化学等学科的古典问题， 而且在解决这些问题时应用了现代数学的许多工具。近几十年来，该领域的 研究，特别是对非线性方程的研究发展蓬勃。 1 1 非线性发展方程及其初值问题概述 发展方程( e v o l u t i o ne q u a t i o n ) ，又称演化方程或进化方程。广义地说， 是包含时间参数，的许多重要的数学物理偏微分方程的统称。在物理、力学 或其他自然科学中用来描述随时间而演变的状态或过程。狭义地说，它是指 可以用半群方法化为一个b a n a c h 空间中的抽象常微分方程的c a u c h y 问题来 处理的那些数学物理方程。波动方程、热传导方程、反映扩散方程、k d v 方 程、流体动力学方程组等等以及由这些方程通过适当的方式耦合起来的种种 耦合方程组，都属于发展方程的范畴。 对线性发展方程来说，只要初值适当光滑，其c a u c h y 问题的解也必具有 适当的光滑性，而且在整个半空间t 0 上是整体存在的。但对于非线性发展 方程，情况就根本不同了。一般地，非线性发展方程的c a u c h y 问题的整体古 典解通常只能在时间t 的一个局部范围存在，即使对充分光滑甚至还充分小 的初值也是如此；相应地，解在有限时间内失去正规性，而产生奇性，或者 说，解或解的某些导数的厶模当t 寸，l ( ，为有限) 时它趋于无穷。这一现 象称为解的爆破( b l o w - u p ) 。因此非线性发展方程的古典解的整体存在性一 般是无法保证的。这是区别于线性发展方程的一个重要的特点。但初始条件 的厶模相当小时，则又可得到它的整体解。由此我们可以看到，对非线性发 展方程而言，考虑下面两方面的问题是相辅相成的。 ( 一) 在何种条件下，所考察的非线性发展方程的定解问题( 包括c a u c h y 问题，各种混合初边值问题及自由边界问题等) 存在着唯一的整体古典解。 并在此基础上研究解的整体性态，特别是当r - - o o 时的渐近性态。 ( 二) 在何种条件下，所考察的非线性发展方程的定解问题不存在整体 哈尔滨工程大学硕士学位论文 古典解，而必在有限时间内发生爆破现象。并在此基础上深入考察解在爆破 点的性态，例如究竟是解的本身还是解的某一阶导数首先发生爆破，解在爆 破点的奇性特征以及爆破点集的性质等等。 研究这两方面的意义是很明显的。对一些重要的数学物理方程的解的整 体性态( 例如解的稳定性等) 的研究以及有关的数值求解方法的讨论，都要 以解的整体存在性为前提。另一方面，如果发现解会在有限时间内爆破，而 这种爆破的性态不是相应的物理模型所允许的，就反过来说明所归结的数学 模型有问题，而必须加以修改：如果这种爆破的性态是相应的物理模型所允 许的，由于相应的物理过程决不会终止于某一时刻，必定要继续发展，我们 就必须在一个更广的函数类中来考察问题的解( 例如空气动力学方程组，就 要考虑到出现激波的可能性，而在包含间断性的函数类中求解) 。 1 2 问题的研究现状与本文所做的工作 1 2 1 问题的研究现状 本文研究以下强阻尼非线性波动方程的初边值问题 一a u c t a u 。= 厂( “) x q ，t 0 u ( x ，0 ) = 甜o ( x ) ，珥( 工，o ) = m ( 工) 工q “i = 0 ， 0 其中口 0 ，q c r ”为有界域，f c ，且f ( u ) u 2 0 。 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 类似方程的研究已经有很多结果，下面简单介绍一下其发展情况。 强阻尼非线性波动方程是从实际力学问题中提出的一类重要的非线性发 展方程。关于此方程的研究始于1 9 8 0 年，f h w e b b 1 】提出并研究了如下强阻尼 非线性波动方程的初边值问题 一a a u - 一a u = f ( u ) 口 o r 工q ， 0 ( 1 - 4 ) u ( x ，0 ) = u o ( x )珥( x ，o ) = “i ( 膏) x e q( 1 - 5 ) “i m = 0 ，0 ( 1 - 6 ) 其中q c r ”似= 1 , 2 ，3 ) 是有界域。为了得到此问题的整体强解，w e b b 对 厂) 加了4 个条件： ( 1 ) f c 1 ( 2 ) f 。g ) c ov x r ( c o2 0 ) 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 ( 3 ) l i m 型0 h _ 。x ( 4 ) 厂( o ) = 0 在【2 】中作者刘亚成去掉了其中( 3 ) ，( 4 ) 两个条件，也得到整体强解的 存在性，唯一性，改进了 1 】的结果。 在【3 】中作者将方程维数由三维推广到任意维，进一步推广了【l 】和 2 】的结 果，对n 4 添加了增长条件 i f 。0 】4 + b 其中 o p 五4 4 ) ；o 0 u ( x ，0 ) = “o ( x ) ，u l ( x ，0 ) = “i ( ，) 工q u l m = o t - o ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) ( 1 - 1 2 ) 其中厂0 一0 。利用这族位势井得到了全新的整体弱解的存在性及强解的存 在性。 在文献【3 3 】中作者用位势井族方法研究了半线性波动方程 “。一a u = l u l 川“ “( x ，o ) = “o ( z ) ，“，( x ，0 ) = “l ( 工) u l m = 0 x q ， 0 z q 1 0 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) q 为r ”中的有界域，1 p 当疗= 1 ，2 时；1 p 旦笔当”3 时。沿用 v e ( o ，d ) ( d 为位势井的深度) ，若初始能量o e ( o ) e ，则问题( 1 - 1 3 ) 一 斗啪 i ( p + l 小i 咿训 ( 舄疋h 的外部。即把剜缸) 空间分为三个区域，所有解只在一个小球的内部和一个 大球的外部出现。 本文首次将位势井族方法应用于强阻尼非线性波动方程。位势井族方法 作为位势井方法的改进，使原来的位势井成为其特殊情况。在证明解的存在 性问题时改进了前人的结果，而且得到了新的解的结构即解的真空隔离。这 正是其优越性的体现。另外，此方法应用于解的渐近性质的研究也可得到较 好的结果。关于非线性发展方程初边值问题解渐近性质的研究也有了一些较 好的结果 4 0 - 4 2 1 ，也用到了一些好的处理手法 4 3 - 4 j 】。本文结合了积分估计法和 位势井族的一些性质研究了方程解的渐近性质。 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 1 2 3 本文所做工作及所得结论 在本文中，利用位势井族方法继续研究方程( 1 1 ) ( 1 - 3 ) 的初边值问 题。其中，o c 7 r ”为有界域，s c ，且f ( u ) u 2 0 。在本文中，我们总假设 方程f ( u 、满足 ( h ) ，( ) 日 ，l p 0 0 ，当玎= 1 , 2 ：i p s 芝，当甩3 r 一z 对问题( 卜1 ) 一( 1 3 ) ，我们定义f ( “) = f ( s ) d s ，由f ( u ) u 0 及( h ) 可得 0 f ) “ p 十i 对以上方程主要研究了以下几方面内容： 首先，利用位势井族结合g a l e r k i n 方法，得到了新的该方程的弱解的存 在性。 其次，利用一些重要的不等式如：h o l d e r 不等式，y o u n g 不等式等对近似 解在h 2 ( q ) n h ：( q ) 空间内的模进行估计，得到了方程整体强解的存在性。 再次，讨论位势井族，及井外集合族在问题( 1 - 1 ) ( 1 - 3 ) 的流之下的 不变性，并得到了解的真空隔离性质及真空隔离区域。 最后，采用能量估计法研究了方程解的渐近性质。 主要得到了以下结论： 定理3 1 设c ，0 - 0 ，且满足( h ) ，l o g ) 联( q l “。g ) 上2 ( q l 0 ( o ) o 或j i v = 0 。则 问题( 1 1 ) ( i 3 ) 存在整体弱解“r ( 0 ，m ；驯 n 坼r ( o ，o o ；l 2 ( q ) ) n 上( o ，m ；叫( q ”且“e 于占p ，岛) ，0 - t 0 问题( 1 - 1 ) ( 1 - 3 ) 存在一个整体强 解“r ( o ，t ；h2 ( q ) n h ：( q ) ) ，r ( o ，t ；h2 q ) n 联( q ) ) 并且“瓦于 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 i i i ；i ；i ；i i ；i ；i i ；j i ；i i ；i i i i i i i i i i i ；i i ；i i ；i i i i i ；i i ；i i ；i ；i i i i i j i ；i i ；i i ； 0 ，t ，其中4 以是方程d p ) = e ( 0 ) 的两根。 定理4 3 令p ，虬x ) ( f = 0 ，1 ) ，岛巧( f = l ，2 ) ，如定理4 1 所定义， 0 e ( o ) p ，则任意占 ，岛) 有，在问题( 】1 ) ( 1 - 3 ) 的流之下是 不变的。 定理4 7 设g ) 驯q ) ，g ) r ) ，0 e d ，则对满足o e ( o ) s 口的问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 的所有解的集合存在一个真空区域即一个无解区域 斗啪j ( 舄4 1 叫i ( 舄杰h 1 3 用到的一些引理及不等式 引理1 1 ( s o b o l e v 嵌入定理) 设q 具有锥性质，表示q 与r ”中一个k 维平面的交集，l k s 刀，r t 1 为正整数，_ ，为非负整数，l s p k o o ，则有下列 嵌入关系： ( 1 ) 如果m p l l ，且行一m p k s 疗，贝0 旷”( q ) c 口( q ) ，尹- q s 竺l ( i - 1 6 ) n m p 矿7 + m 4 ( q ) c 埘( q ) ，p s g 生 ( 1 1 7 ) 打一m p 矽m 9 ( q ) c ”( q ) ，p q 望l ( 1 1 8 ) 疗一m p 如果p = l ，则m 羟，这时当野一m = k 时，( i - 1 8 ) 式仍成立。即 w ”。( q ) 亡“。( q ) ( 2 ) 如果m p = n ，则对l k s 疗，有 ，+ 儿9 ( q ) c 9 ( q ) ，p 茎q n ( m 1 ) p ，贝0 w j + m , p ( q ) c c j a ( 五) ，0 口肌一一n ( 2 ) 假定玎= ( m 一1 ) ，贝0 w 7 帅j 9 ( q ) c c 7 。( q ) ，0 口 i 如果p = 1 ，”= 肌一i ，则上式对口= 1 也成立。 引理1 2 对甜e h 2 ( q ) ，i j u + n ：0 l l “忆的等价模，对于“e ：( q ) ，l l v 1 l 为。的等价模。 引理1 3 若g ( x ，r ) l q ( q ) ，( g 。化，) 于口( q ) 有界，i q 0 ，0 ，( “) 4 u o d = 吼js u p j ( 五u ) i ，、 删( o 人z m 或等价于d = i n f j ( u ) ，其中“j 心刈v “0 o ，0 ) = o ，d 的值与文 1 0 】中相 同 “ p 吉 p j i 州 恤 生“ 旦 旦 奎 一 m m 一 一2 o = 0 訾 弘 m 上科 = d 哈尔滨工程大学硕+ 学位论文 c 为吲( q ) 空间嵌入三川q ) 的嵌入常数，即 1 1 i i 。c , l l v i i 或 一叩 进一步对于j ( o ，1 ) ，定义 以o ) = 扣“卜百a 洲瞄 荆= 半( 舄万尸 删= ( 茄万 面 在以下引理2 1 一推论2 1 1 ，总假设p 满足( h ) ，0 艿 0 当且仅当 0 l l v 1 l r ( 8 ) ( 2 1 ) 证明当0 0 我们有v “j j o 且由 ，o ) = 半酬1 2 + 以o ) d p ) ( 2 3 ) 知 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 i l v u l l 2s ( 舄j 尸 得( 2 1 ) 式成立。 引理2 2 若，0 ) s d p ) ，则以0 ) ( 舄j 厂 沼。， 证明若以0 ) 0 ，则由 等6 酬1 2 ( 舄5 厂 另一方面，由 ，o ) = 半阿i i + 以o ) d p ) 再由( 2 - 4 ) 可得以0 ) 0 ，万【o ，磊】：矿p ) 0 ，0 ) d p ) u o xo 占 1 瓦= u a = 0 日；q l 了；0 ) o ，j 0 ) s 矗) u o ，o o 。 另外定义 显然有= v 。 v = 0 硪，0 ) o ，0 ) d = i f 何j 心】以( “) o ，( “) d p ) ，0 5 。：口p c + ，l 。占 击 q l 0 h ， 吲 、 = 易 2 2 位势井族的。性质 由引理2 i 与引理2 2 可得如下 推论2 7m s ( “) d p ) 则“( ) 当且仅当“b 戗) 。 注意到，o ) 昙0 v “n 因此对于给定的j ( o ，1 ) ，当 。 i i v 4 舡硝( 舄占卜m m 舢删儿这意味着 岛c ，否满足万击：( 1 - 6 ) j 1 6 上p - i 。由此，引理2 1 及引理2 2 ，有 定理2 8 令，b 6 ，菇及占如上所定义，则岛c c 乓，c b 8 。 推论2 。9 c w c b 南，y c ， 其中氏= 甜驯( q 扣“i i g c ”。声 。 s i 理2 1 0 ( 1 ) 若0 j 万。磊，贝c ，； ( 2 ) 若8 0 占。 6 1 ，则c 。 证明这个引理由，的定义及引理2 4 可得。 引理2 1 1 假设对于给定的“日：) ，o ，0 ) d ) = d 慨) ，此与，0 ) = d ) = d 慨) 矛盾。 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 推论2 12 假设对给定的“础q ) o ，0 ) d 成立，8 1 o ( o ( o ) 。 2 3 本章小结 本章首先给出了所研究方程非线性项的假设条件。在所给定的条件下定 义了能量函数和位势井族，并且针对所定义的位势井族研究了它们的性质。 通过细致的研究所定义的位势井族，得到了一族位势井深度，并对位势井族 在磁心) 空间中的结构有了比较清楚的了解。 哈尔滨1 = 程大学硕士学位论文 第3 章问题( 1 - 1 ) 一( 卜3 ) 整体解的存在性 3 1 整体弱解的存在性 3 1 1 整体弱解的定义 定义= “0 ，f ) 称为问题( 1 - 1 ) - ( 1 - 3 ) 于q 【o ，r ) 上的弱解， 若 “e r ( 0 ，r ；叫心”，u t r ( 0 ，r ；f q ) ) n r ( o ，r ；州( q ”，对几乎所有的 ，【o ，r ) 成立 0 ，v ) + i ( v 矾v v ) d r + 口( v 坼v v ) = i 扩( “) ，v ) d r + 0 ，v ) + a ( v u o , v v ) v v h ：q ) 且“b ，o ) = u o g ) 于：( q ) ，珥x ，o ) = “。g ) 于三2 ( q ) 。 3 1 2 整体弱解的存在性定理 定理3 1 设，c ，g x 0 ，且满足( h ) ，u o g ) 日；( q x “。( 工) r q ) 0 0 ，对任一固定的j e ，暖) ，对充分大的m ，有 以0 。( o ) ) 0 ，e 。( o ) d ( 8 ) ，0 。( o ) ) s b ( 0 ) 0 u r n “) a 以0 。“) ) = o ，i v ( r o 肛0 或 4 u ，“) ) = d ( 8 ) 与( 3 - 9 ) 式矛盾。 若厶0 。“) ) = o 且j i v “。“0 ，则由定理2 5 可得，0 。“) ) d p ) ，这 与( 3 9 ) 式矛盾。因此由( 3 5 ) 及 玩她拉，阳o ，) = 批，2 + 半叫阳。o 。) 1 9 哈尔溟1 祥久宁坝十宁何论文 可得，对充分大的m 及，0 有 吾i i , 1 1 2 ，半o v u 1 1 2 ，护1 1 2 d r 0 ，我们也有( f ) c 以 从而“( f ) 瓦c 易，t 0 。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 若l i v “| = 0 ，则“( ，) 。 若：l l v u l i 0 ，则由此及能量不等式e ( f ) ( o ) 得到的，0 ) e ( o ) 0 。由万瓴，如) 的任意性，可得“( ，) 于艿 ，疋) 及， 0 。 将( 3 - 1 ) 对f 积分，得 0 。，w ，) + i ( v “。，v 叱) i r + 口( v “。，v w ，) = j u 0 。x w ，r + o 。( o ) w ，) + 口“。( 0 ) v w j ) 令m = i ，_ 可得 0 ，w j ) + ( v “，v 嵋扣r + 口( v “，v w j ) = f c 厂0 l 嵋) | r + 0 ，w ) + a 勺，v 嵋l 。 故v v 纠) ，有 “，v ) + i ( v “，v 巾r + 口( v 以v v ) = j 驴0 l v r + 0 l ，v ) + o ! ( v z t 0 , v v ) 且( ，) 于艿 ，6 2 ) ，0 s t 。又由( 3 2 ) ，( 3 3 ) 式可得 u ( x ，o ) - - d o g ) 于纠) u tx ，o ) = “g ) 于r ( n ) 故”是问题( 1 1 ) ( 1 - 3 ) 的整体弱解且“于j ，最) ，0 r 0 0 。 推论3 2 在定理3 1 的条件下进一步有掰o ) 瓦- y - 0 _ t 0 或 i l v “。l l = 0 即o ( x ) w ，则定理3 1 也成立。 2 l 哈尔滨_ t 程大学硕士学位论文 i i f r , q 这个推论由，瓴) o ；厶瓴) 0 b - j 6 ：瓴) d a o “) 可得。 由引理2 1 推论3 2 及兵证明司得 定理3 4 若将定理3 1 的假设厶瓴) o 或l l v u 。0 = 0 换成g ) e b ；：，则 问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 存在一个整体弱解“r ( o ，o o ；u a ( n ) ) ，虬r ( 0 ，。；r ” n l 2 ( 0 ，m ；日：心) ) 且“瓦于o s ， 0 均 有“，q r ( o ，t ；h 2 心) n 叫( q ”，r ( 0 ，r ；r ( q ”n 2 ( o ，丁；酬( q ) ) 对一t ：2 - j 伊g ，) e d l o ，r t l 2 心) ) 成立f 也- a a u , 一她一，o l 妒皿= 0 。 引理3 5 设 ( 1 ) ，c ，0 - o 且满足 ( h - ) 忡】 一”，o 耶。当n = l ，2 o 耶壶当”兆 ( 2 ) u 0 g ) h2 ( q ) n 圳l “g ) e f q ) 并选取口川6 j 。使“。g ，o ) 一 g ) 于h 2 ( n ) n h a ( q ) ，a m ，g ，o ) _ u i g ) 于f ( q ) ( 3 ) u o g ) b a , ，0 ( o ) d ，4 o 对问题( 1 - 1 ) ( 卜3 ) 在定理3 1 中所定义的近似解有估计 忪旷e i ，0 ，蔓t ( 3 _ 1 1 ) 证明在这种情况下g 。t ) 应满足如下常微分方程组的初值问题 ( ，w j ) 一口( “。，w ，) 一( ，w 。) = 驴以l 心) ( 3 - 1 2 ) g ，o ) = 口，g ) 寸“。g ) 于：( q ) n 日2 心) ( 3 1 3 ) j i i “。，g ，o ) = 屯。w ，g ) l d t g ) 于三2 ( q ) ( 3 1 4 ) 首先，由厂0 _ o 及厂c ，可得，( o ) = 0 ，故由假设( h i ) 可得 l 厂r i 厂g 枷4 ”“ 而l p l + 1 o o ( n = 1 ，2 ) ，1 p i + 1 羞( 腔3 ) 。 另外，由u 0 0 ) b 6 2 ，0 。) s e ( o ) 0 ，故在本 引理的假设下，定理3 1 的一切条件均成立，从而定理3 1 对近似解“。x ，f ) 的 估计也成立。 将( 3 1 2 ) 式两边同乘以t g 。o ) 再对s 从1 到所求和可得 一0 。，a u 。) + a ( “。，“。) + ( “。，a u 。) = 一驴0 。) “。) 即 圭a 灯+ a u m i l 2 ：) 一杪o m m 。) ( 3 - 1 5 ) 注意到f ( 0 1 = 0 ，于是有 一u 0 。, a u ，) = 驴0 。) v u 。，v u 。) 厂0 。，0 v “，l v “。虬 其中：l 一吾。当”3 时，g = 主： 当疗= l ，2 时g = 4 。由嵌入定理及 ，口 盯一二 ( h 1 ) 有 且 扩u 。札m 综上知 哈尔滨工程大学硕士学位论文 i i ；i i i i ；i ；i ；i i i ；i ；i ；i i 吼。吣m z i a u m 8 一驴也) ，) m d a u 1 1 2 将( 3 1 5 ) 式两边对t 积分得 三d o u m l l 2 一j 1 口i i a u ( o f 1 2 + f o u 1 1 2 d r fu m t t , a u m ) d r f 驴( l ) d r 将( 3 1 6 ) 式代入( 3 1 7 ) 式得 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 口脚。忙口峪。+ 托弘1 1 2 d r + 2 f 0 , a u m ) ：l r ( 3 1 8 ) 将( 3 1 8 ) 式右端最后一项对r 和工分部积分，并用定理3 1 的证明可得 2 i o 。，p “。r = 2 0 。，甜。) 一2 ( 。，( o l 甜。( o ) ) + 2 i l l v 甜。，j 1 2 d r 代入( 3 1 8 ) 式得 争u + 罢4 幽，0 2 啾硝+ t t a u ( o i l2 + 2 肿胛d r s 翱“。n m ， 口脚。雌2 a 阻。研+ 2 m 。小训2 d r + 2 m ， 由g r o n w a u 不等式，即得( 3 1 i ) 式。 推论3 6 在引理3 5 的条件下，有忙。忆- e 2 1 r u ，忆：s e s ，其中p 满足 l p 。o 3 ) ，l p 4 ) 。 引理3 7 在引理3 5 的条件下，若还有“g ) h2 q ) n ；心) ，并选取屯。 使”。，x ，o ) 一u i b ) 于h 2 ( q ) n 剜心) ，则还有估计 从而 哈尔滨_ i 稃大学硕十学仲论文 1 1 2 + l l v u , 1 1 2 e 4 ，肿训2 d f e 5 ( o f s f ) ( 3 1 9 ) 证明先证陋。( 0 对_ ，l 一致有界。 将( 3 1 2 ) 式两边同乘以9 2 ( t ) 关于s d t l 至, j m 求和，再令f = 0 有 0 。( o ) 一d ，“。，( 0 ) 一( 0 ) “。( o ) ) = 驴0 。( o ) ) ，“。( 0 ) ) 陋。( o 2sg “。( o ) | l + l l a ，( o ) | l + l l f o , 。( 0 m l 】卜。( o 由引理3 5 知忪( o 有界。 由 “。，g ，o ) 一u i g ) 于2 q ) n 圳( q ) 知 从而8 “。，( 0 有界 由( h ) 知 脚。，脚 i 厂0 】2 口2 l u l 即 2 2 p m当玎4 2 2 口s 三唑! 2 l _ n 当月25 ( 3 2 0 ) 1 n 一2n 一4 故 l 厂q 。( o 渊对m 均有界，从而陋。( o 对辨一致有界。 再证( 3 1 9 ) 式成立，将( 3 1 2 ) 式对f 求导，再乘以9 1 ( t ) ，对s 从1 到m 求和得 g 。，u 。，) 一a ( a u 。，“。) 一( “，甜。) = 驴( “。k 。，“。) 分部积分得 哈尔溟工程大掌碗士掌位论文 导0 “。1 1 2 + f | v 川2 】+ 2 口i i v , o , 1 1 2 = 2 驴o 。如。，) ( 3 2 1 ) 其中2 驴0 。h ，“。) - c , l l 0 。，0 u m t 叫k 。虬c l0 厂。0 。，1 1 w 。，f l f l v q 与，之值与引理3 5 的证明相同，故由假设知 ” m ，拧吐2 ；墨雕3 可得 扩0 。】j ， c ： 从而 2 c 厂。o 。- 。) - 2 c , 1 1 v v “。忙譬i j v 1 1 ：+ 口l l v 。1 1 2 代入( 3 2 1 ) 式得 势埘+ h 心口阢。1 1 = c , i i v 圳2 对，积分，f l j g r o n w a l l 不等式，即得( 3 1 9 ) 式。 引理3 8 在引理3 7 的条件下，还有“。，i i 毛，0 s t t 。 证明方程( 3 1 2 ) 两边同时乘以丑g 二( f ) 对s 求和，有 ( “。一o ：a u 。，一a u 。，一a u 。) = u 0 。) ，一a u 。) 口0 “。，1 1 2 = 0 。，a u 。，) + ( ，a u r a , ) 一驴0 。l “。，) ，j | | i i + i i a 圳厂0 圳0 由引理3 5 和3 7 可以得到怯。0 ，忪i 对o - 0 问题( 1 一i ) 一( 卜3 ) 存在一个整体强解 “l o ( o ，t ；h 2 ) n 酬q ) ) ，a te r ( o ，t ；h 2 ) n 酬q ”，”e 石，o f r ， 其中4 j ：是方程d p ) = e ( o ) 的两根。 证明由引理3 5 3 8 知 红。 在帕( o ，t ；h2 ( q ) n 胃；( q ”中有界 u 。， 在r ( 0 ，t ；h 2 ( q ) n h ：( q ) ) 中有界 函。) 在r ( o ，r ；酬( n ”n z ( o ，丁；r ( q ) ) 中有界 由列紧原理知，存在及伽，) 的子序列缸，) 使当r 寸o o 时 b ，) g ，f ) 在r ( o ，t ；h 2 心) n h ；( q ) ) 中弱收敛 g ，t ) - u ，g ，f ) 在r ( o ，t ；h 2 n 酬心) ) 中弱收敛 “。g ，) _ g ，f ) 在r ( o ，r ；r ( q ) ) 中弱收敛且于上2 ( 0 ，t 日：心) ) 弱收敛 又由缸。g ，f ) ) 于1 协) 她= q 【o ，r d 有界知，有子序列( 仍记为 扣，g ，r ) ) ，使“g ，) 一g ，o - 于- z 2 ( q ，) 强收敛，且于绋几乎处处收敛。由 厂0 ) 的连续性知厂0 ，) 一厂0 ) 于绋几乎处处收敛。再由函。 在 l - ( o ，r ；h ；( q ) n h2 ( q ”中有界知 8 s ( u 。1 1 i 协) _ c o n s t 哈尔浜l 程大学坝士学位论文 再由引理1 3 女t j f ( u ，) 一厂0 ) 于r ( 绋) 弱收敛。 在( 3 一1 2 ) 中取m = y 两边同乘以( f ) c ，对j = l ，2 ，g 矿) 求和， 令= o h g ) ，则有 0 ) 一( “。，) 一( ，) = w ( u ，l ) 把换成妒= 仍，可得 f0 。一a u ，一a u f ( u ) | c p ) d t = 0 由 至纯 在c ，丁l r ”中稠，即知甜g ，f ) 为( 1 1 ) ( 1 - 3 ) 的