（光学工程专业论文）基于偏振分析的透明物体的三维重建.pdf

摘要 三维重建技术一直是技术研究领域的一个重要课题，被广泛的应用于物体识别和 工程测量中。目前，国内对物体形状测定的研究才刚刚起步，尤其在透明物体的形状 测定方面尚未有研究成果见诸报端。因此，对透明物体三维重建的研究具有极其重要 的意义和实用价值。 根据不同的输入信息和重构模型，出现了众多重建物体三维面型的研究方法，重 建方向可以分为两大类：一类是依据目标的轮廓、纹理、阴影、一系列的运动图像等二 维信息，从中提取特征来重建目标的空间拓扑；另一类是通过获取目标三维测量的散 乱数据点集来进行曲面重建。但是这两类方法都不能有效的对透明物体进行三维重建。 本文运用菲涅耳反射方程推导出偏振度与透明物体表面法线间对应关系的数学模 型，并在此基础上提出了一种简便、有效的重建透明物体表面形状的方法。文章详细 分析了透明物体表面反射光的成分和偏振特性，并提出了一种求解入射面方位角的迭 代方法；在讨论了不同曲面高斯映射的基础上提出了一种布儒斯特分区理论；运用微 分几何知识解决了偏振度与入射角之间的对应模糊问题：通过分析和处理实验得到的 多幅被测物体的偏振图像，实现了透明物体的三维重建。 关键词：偏振菲涅耳反射三维重建图像处理 a b s t r a c t 3 d - r e c o n s t n l c t i o ni sa ni m p o r t a n ts u b j e c ti nt h ef i e l do f t e c h n i c a ls t u d y , a n da p p l i e dt ot a r g e t r e c o g n i t i o na n de n g i n e e r i n gs u r v e y t h ed o m e s t i cs t u d yo fs h a p em e a s u r e m e n ti sj u s t i n i t i a t e d , e s p e c i a l l y t h e r ei sn or e s e a r c hf i n d i n go ft h es h a p em e a s u r e m e n to ft l a n s p a r e u t o b j e c ti nr e c e n tr e p o r t i n g t h e r e f o r e , t h er e c o n s t r u c t i o n o ft r a n s p a r e n to b j e c ti sv e r y i m p o r t a n tf o ro u rc o u n l r y , a n dh a sg r e a tu s ev a l u e t h e r ea r ed i f f e r e n tm e t h o d st or e c o n s t r u e tt h es h a p eo fo b j e c ts u r f a c eb a s e dd i f f e r e n t i n p u t t i n gi n f o r m a t i o na n dr e c o n s m l c t i o nm o d e l t h e yc a nb ec l a s s i f i e di n t ot w ok i n d s ：o n e k i n dr e c o n s m l c t st h es p a c et o p o l o g yo f o b j e c ts u r f a c eb a s e do np r o f i l e 、t e x t u r e 、s h a d i n ga n d s oo n ；t h eo t h e rr e c o n s t r u c t st h es h a p eo fo b j e c ts u r f a c eb a s e do na n a l y z i n gr a n d o md a t a p o i n t s b u tt h e s et w om e t h o d sc a nn o tb ea p p l i e dt or e c o n s t r u c tt h es h a p eo fw a n s p a r e u t 0 1 西e c t am a t h e m a t i cm o d e lo fr e l a t i o m h i pb e t w e e nd e g r e eo fp o l a r i z a t i o n ( d o p ) a n ds u r f a c e n o r m a lo ft r a n s p a r e n to b j e c t , i sd e r i v e db yu s i n gf r e s n e lr e f l e c t i o n , i nt h i sp a p e r a n da s i m p l ea n de f f e c t i v em e t h o di sp r o p o s e dt or e c o n s t r u c tt h es h a p eo f t r a n s p a r e n to b j e c tb a s e d 0 1 1t h i sm o d e l p o l a r i z a t i o nc h a r a c t e r i s t i c sa n dc o m p o s i t i o no fr e f l e c t e dl i g h ta r ed e t a i l e d a n a i y z e d a ni t e r a t i v em e t h o di sp r o p o s e dt oc a l c u l a t eo r i e n t a t i o no f p l a n eo f i n c i d e n t t h e t h e o r yo fb r e w s t e rs e g m e n t a t i o ni sp r o v i d e dt os o l v et h ea m b i g u i t yp r o b l e mb a s e dg - n a s s m a p p i n ga n dd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y t h e3 d r e c o n s 仃u c t i o no fw a n s p a r e n to b j e c ti sa z h i e v e d b ya n a l y z i n ga n dp r o c e s s i n gm e a s u r e dp o l a r i z a t i o ni m a g e s k e yg o r d s ：p o l a r i z a t i o nf r e s n e lr e f l e c t i o n3 dr e c o n s t r u c t i o ni m a g ep r o c e s s i n g 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，基于偏振分析的透明物体的三维 重建是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中 已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的 作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：歪鱼丑壅辫土月监日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定”，同意长春理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：砸宙盗巡年立月互归 指导导师签名： 王月丝日 1 1 引言 第一章绪论 目标识别技术一直是技术研究领域的一个重要课题。其中，物体的形状测定又是 目标识别技术领域内的一个重要分支。它在不同学科领域都有极其重要的应用价值 对于目标识别技术的研究，在光学工程领域已经建立了些有价值的模型，这些模型 把光学技术和计算机图像处理技术有机地结合在一起，获得了非常好的效果“】。物体 的反射模型能反映物体表面的特性，其中包含了与物体表面颜色、纹理等相关的多个 参数。这种反射模型依赖于物体的材料，因此被广泛的应用于物体识别、工业过程检 测中嘲 物体的反射图像是三个分量的函数：光源分布、物体形状和物体表面的反射特性。 在一定的光照条件下，反射图像是形状和表面反射特性的函数，即反射光中包含了物 体豹形状和反射特性的信息嘲。通常一幅图像反映了从物体表面反射出来的光强分布。 自然光线经过物体反射后变成具有一定偏振态的光波，光波的偏振态包含有比强度图 更丰富的目标信息，光波的偏振态变化可以反映出被测目标的纹理结构、表面形态和 材料类型等。在光的偏振特性方面，k o s h i k a w a 利用一个偏振光源照射金属物体，通过 分析反射光的偏振度来研究物体表面的反射特性，从而得到金属物体表面的形状“1 w o l f f 通过分析物体的偏振特性确定了物体表面的法线o 】 目前，国外在研究物体形状测定的方面有了一定突破，尤其是在非透明物体方面， 如金属物体的形状测定。然而，国内对物体形状测定的研究才刚刚起步，尤其是在透 明物体的形状测定方面。本文提出了一种基于偏振分析的透明物体形状测定的方法， 并通过实验证实了这种方法的可行性。 1 2 课题来源、研究目的及意义 1 2 1 课题来源 本课题来源于国家自然科学基金项目“基于反射偏振分析重建物体形状与反射特 性研究”。 本项目首次根据物体表面的反射光对物体的形状和反射特性进行建模研究。利用 设计的光学测试系统，综合利用光电信息处理技术和计算机图形处理技术，提出一种 基于反射偏振特性分析获得物体形状和反射特性的方法。这种方法具有实现简单、计 算量小、成本低的优点。 1 2 2 研究目的及意义 目前在光学工程领域内，测定物体表面形状的方法有很多，但大多数都具有成本 高、数据计算量大、测量系统过于复杂以及难以实现对透明物体形状的测定等缺点。 本文根据透明物体表面反射光的偏振特性与物体表面形状的关系，建立了包含表面法 线与反射光偏振特性的物理模型，通过数学建模和图像处理最终实现了物体三维形状 的重现。这种方法具有实现简单、计算量小和成本低廉的优点。根据观测分析获取物 体的形状和反射特性是光学工程领域一项重要的研究内容，并且其研究成果可以应用 到各种生产实践中，如历史文明古迹、文化艺术作品的数字化保存、医学研究中的计 算机辅助视觉分析，另外，在制造业、建筑业、军事科技、地理信息系统等的图像信 息重构，以及广告业、影视娱乐等与人们生活息息相关的领域中都有着广泛的应用前 景。 1 。3 国内外研究现状 目前在光学工程领域重建物体形状的方法已经有很多。这些方法可以大体归为两 类：点类型和面类型一种点类型方法是：激光三维面形测量法，它通过在物体表面 照射激光光束，用传感器测定返回光路的不同到达时间。然后根据时间间隔重现物体 的三维形状。一种面类型方法是：莫尔条纹测量法，它是根据不同的形成机理( 如衍 射干涉原理) 获得莫尔条纹，再对莫尔条纹进行滤波，细化等图像处理，得到清晰的细 化条纹然后按照莫尔条纹级次和高度的关系式，重建出物体的三维形貌“ 计算机视觉领域中已经提出了许多其他类型的重建方法。如：明暗恢复形状法 ( s h a p e 矗勺ms h a d i n g ) ，由物体表面的二维灰度图像重建其三维几何形状的一种方法”1 ； 轮廓恢复形状法( s h a p ef r o ms i l h o u e t t e s ，s f s ) ，是利用照片记录的物体轮廓信息来重构 物体的方法”；纹理恢复形状法( s h a p ef r o mt e x t u r e ) ，是根据亮度的相似性来重构物体 形状的方法阱。 近几年国外学者对表面反射特性的研究取得了一定成果。i k e u c h i 运用结构光三维 测量方法测得了金属表面的反射率“”。他的方法假设有三束扩展光源照射金属表面， 表面上就会产生不同的照度分布，然后运用结构光三维测量的方法测量该表面的照度 分布就能确定金属表面形状。n a y a r 等人在l k e u c h i 的结构光三维测量方法基础上，运 用连续照明的方法到了更好的结果。他们的方法除了得到物体的表面形状外，还能测 定物体的表面反射率1 1 s a t o 等人从计算机图形学角度通过分析相似背景下摄取的彩 色图像，确定了微小物体的形状和反射率“”。o r e n 和n a y a r 提出了运用表面反射特 性和物体的运动确定物体形状的方法“”k o s h i k a w a 提出并证明了物体表面形状可以 通过分析偏振度来确定，他运用偏振光源确定了金属物体的表面形状n “。之后， k o s h i k a w a 和s h i r a i 也用这种方法来鉴别物体“”w o l f f 提出了运用可见光的偏振度 来确定物体的表面形状，他指出物体表面的法线可通过分析物体的偏振度得到“日； r a h m a n n 也提出了运用偏振度重建镜面反射物体表面形状的方法“”。j o r d a n 和w o l f f 等人对红外光波的偏振度也进行了分析o ” 2 另外，对于透明物体表面反射特性的研究国外学者也取得了一定成果。s z e l i s k i 等 人分析了透明物体表面反射光的分布，并且将表面反射光从背景图像中分离出来。 s c h e c h n e r 等人在分析偏振度的基础上提出了在仅考虑面反射成分情况下确定透明物 体表面形状的方法，这种方法也是基于透明物体表面法线方向获得的“”。在图形学领 域，z o n g k e rc h u a n g 等人提出了一种从不同背景中区分透明物俸表面形状的方法。 随后，s a i t o 等人提出了通过分析偏振度来测定透明物体形状的方法。他们运用n a y a r 等人的扩展光源装置照射一个透明物体，并获得了整个可见表面的表面反射成分然 后通过计算偏振度来确定表面的法线方向嘲。但是，他们的方法存在偏振度与入射角 的对应模糊问题。所以，这种方法只能用于表面方向为已知的物体形状重建。 对于物体形状的恢复，国内很多学者从不同方面进行了深入研究。杨孟洲等提出 了一种从真实世界的照片中重建三维场景模型的算法。他们根据在空间稀疏分布的不 同视点反射出的真实场景中颜色纹理的一致性来建立达到照片级真实程度的三维模 型。熊汉伟等提出了一种便捷的3 d 曲面建模方法，首先在物体表面绘制网格曲线，用 相机从不同角度对物体进行拍摄，然后经过图像处理、网格匹配及相机标定等步骤， 重构物体表面的曲面模型。国内学者对基于偏振目标探测的研究主要集中在遥感领域， 例如孙玮等提出了一种利用耳标的偏振信息识别人造目标的方法；黄容、赵云升等研 究了岩石多角度的偏振特性。有关利用物体反射偏振特性对物体形状进行测量的研究， 国内尚未见报道。 1 4 本文主要研究内容 本文运用菲涅耳反射方程推导出了偏振度与透明物体表面法线间对应关系的数学 模型，并在此基础上提出了一种简便、有效的重建透明物体表面形状的方法第二章 构建了透明物体表面的反射模型；第三章在第二章的基础上，构建了基于偏振分析的 透明物体三维重建的数学模型，并提出了解决偏振度与入射角对应对应模糊问题的方 法；第四章中，根据实验原理，筹备了实验装置，并进行了反复的实验，从多个角度 拍摄了被测物体的偏振图像；第五章运用编写的数字图像处理程序对摄取的多幅被测 物体的偏振图像进行了处理，最终实现了透明物体的三维重建。 第二章透明物体的表面反射 2 1 反射特性的决定因素 一般情况下，反射光的产生机理均为：一个电磁波的电矢量射入一个表面后使表 面附近反射介质的电荷发生振动并具有双极性，这些振动电荷辐射后产生反射光线。 但在自然光的照射下，不同物体表面的反射特性存在很大的差异。物体表面的反射特 往由两个关键因素决定，即局部反射特性和表面租糙度。 ( 1 ) 局部反射特性。物体表面的局部反射特性与物体的材料有着直接关系。对于 金属丙言，它的表面对于自然光具有高反射和离吸收的特性。自然光被一个典型金属 表面反射的情况如图2 1 所示 体反射光 圈2 1 金属表面反射模型图2 2 电介质表面反射模型 该表面的反射光包含三部分：漫反射部分( 即朗伯漫反射) 、镜面反射尖峰和镜面 反射叶瓣。漫反射部分是由内部复杂的散射过程产生的。镜面反射叶瓣和镜面反射尖 峰都是由表面单一的反射产生的，并且围绕在镜面反射方向周匿。其中，镜面反射叶 瓣的范围比较广，镜面反射尖峰集中在一个较小的区域内。对于电介质而言，它对自 然光的反射与金属存在一些差异。如图2 2 所示电介质表面的反射光主要由两部分 组成；面反射光和体反射光。匿反射光包括镜面反射光和漫反射光，而且相同照度条 件下，电介质的面反射光强度小于金属的表面反射光强度( 镜面反射尖峰和镜面反射 叶瓣的综合) 体反射可以理解为物体内散射和吸收之间的竞争结果，也就是说光在充 分散射离开表面之前是否被吸收了。光被散射的越频繁，而且离开表面之前所经过的 平均距离越小( 越短的距离意味着被吸收的可能性就越小) ，那么体反射的强度就越大。 对于非均匀电介质中的体反射，虽然大多数的表面反射率都比较小，但体反射率却大 相径庭。比如雪大约为8 0 ，光亮的油漆为7 0 ，风化的混泥土为2 0 ，石头平均为约 2 0 ，泥土平均约为1 5 ，煤炭接近于o 1 。 除了物体表面的直接反射部分外，金属和电介质的反射光之所以存在差别的原因 是由于两种物质的内部交互模式不同。金属中的内部交互非常强烈以致所有进入内部 4 的光很快被吸收，所吸收到的能量被转化为热能，这就是为什么金属容易发烫的原因： 而在均匀电介质中的内部交互是非常弱的，光线几乎不会衰减就可以直接穿过了 另外，物体的透明程度对电介质的局部反射特性也有一定影响。对于透明电介质， 面反射是物体反射成分的主体：而对于非透明电介质，面反射所占的比率有所下降， 甚至变为可忽略的成分，如对于白垩或纸制材料等。 ( 2 ) 表面粗糙度。 通常采用表面高度的标准偏差吒和入射光的波长a 的比值吒肛来表示物体表面 的光学租糙程度。为了更加精确地表示。引入了面光学粗糙程度的因数g ，公式如下： 厂斤、2 g = i2 z i ( c o s e + c o s e , ) i ( 2 1 ) 其中，6 ：和只分别表示表面上某点的入射角和散射角。因数g 与肛的平方成正比， 所以g 可从以下三种情况来表征表面的粗糙程度，即g 1 ( 理想情况为g = 0 ) g z l 和g l ，分别对应非常光滑的表面，一般光滑的表面和非常粗糙的表面( 如图2 3 所 示) 。对于一个理想的光滑表面而言，有g = 0 。此时对于金属表面来说，镜面反射叶 瓣消失，镜面反射尖峰辐射强度很高；对于电介质表面来说，面反射占绝对优势，体 反射可以忽略。当g 1 时，表面是比较光滑的表面，此时对于金属表面来说，镜面尖 蜂成分随着g 的增大而减少，而镜面叶瓣成分会增加；对于电介质表面来说，面反射 成分所占比率随着g 的增大而降低，体反射则逐渐增大当g l 时，即物体表面比较 粗糙，金属和电介质都只存在表面漫反射以及体反射。当目标物的表面足够粗糙，以 致于它对太阳短波辐射的反射辐射亮度在以目标物的中心的2 靠空间中呈常数。即反射 辐射亮度不随观测角度而变，这时称该物体为漫反射体，亦称朗伯体。漫反射又称朗 伯( l a m b e r t ) 反射，也称各向同性反射。 g ：o g 1g 1 图2 3 不同粗糙度表面的反射情况 综合以上分析可知，电介质的表面反射特性与金属的反射特性存在一定差别。 2 2 透明电介质的表面反射 在完善电介质表面反射成分的基础上，可将透明电介质表面的反射光组威成分概 括为4 种部分： ( 1 ) 在远大于入射光波长的表面上沿正反射方向的一次反射光，即镜面反射光。 ( 2 ) 在远大于入射光波长的表面凹点内的多次反射光。 ( 3 ) 进入透明物体内部在物体颗粒上无规则散射后，折射入空气中的光，即体反 射光。 ( 4 ) 衍射光 这4 种反射成分如图2 4 ( a ) 所示。( 4 ) 的成分非常少，在除了物体具有近似光波长尺 寸的表面结构以外，该衍射光均可忽略不计。( 3 ) 的成分在物体中发生散射和吸收，它 能够反映物体表面的颜色，但对于透明电介质该成分也占很少的部分。相对于( 3 ) 而言， ( 1 ) 的成分仅经过次反射，所以能量最大，几乎与光源颜色相同。( 2 ) 的成分与( 1 ) 相 比能量稍小，但因其与( 1 ) 同为无吸收的反射成分，故亦与光源颜色相同。( 1 ) 与( 2 ) 的 总和称为高光。由于实验中被测物体为透明光滑的电介质，所以物体表面的反射成分 可以理想地认为是只存在( 1 ) 的情况。图2 4 ( b ) 为图2 4 ( a ) 的理想情况。 图2 4 透明电介质表面反射光的组成 2 3 透明电介质的菲涅耳反射系数 菲涅耳方程嘲给出了垂直和平行于入射平面的振幅反射比和振幅透射比。这些比 率依赖于入射角和反射介质的折射率。 磷瑶矽 飞础砂础 j a 善i 髫 础p 、 图2 5 菲涅耳反射 6 图2 5 中为菲涅耳反射，对于这个反射模型而言，础和毯2 分别为入射光波电矢 量的垂直分量和反射光波电矢量的垂直分量。两传输介质边界上垂直于入射平面的振 幅反射系数，上为： -c玛，传，“，筋，蜀，；器：装 g z ， 其中，啊和玛分别为第一个和第二个传输介质的折射率：一和鸬两个介质的磁导率。 入射角馥和折射角只的定义如图2 5 所示。由于本实验的第一个介质为空气，所以 码a l 。而且m = 玛= 肺，其中心为真空中磁导率。所以，( 2 2 ) 可简化为： ，( ，l i 儿日) ；翼：型型p 螋( 2 3 ) 咖m 咖嚣。羔黼 ( 2 3 ) 。o 1 l ”2 2 同理，对平行于入射平面的振幅反射系数咱有： 慨堋，；器= 嚣筹舞 刚， 咱 ，啦，塌) ；茜= 篡署焉 ( 2 4 ) 。伽2 l 1 2 。 菱 图2 6 菲涅耳反射系数和透射系数 一般情况下，探测器得到的是振幅的平方即光强，而不是光波的振幅。基于这个 原理可以得到强度反射系数( 反射能量与入射能量之比) 墨= 0 和墨= 2 表达式如 下： 焉=等=堂tan，(e卿,-02)tan置= 每= 鬈s i n 焉 。厶1 屯2 + 岛) ”7 其中，厶是入射光中平行于入射面的部分，岛是岛的反射光；是入射光中垂直于 入射面的部分，是k 的反射光。从以上公式可知，存在一个入射角使墨= o ，称这 7 个角为布儒斯特角岛。当q + 岛= 要时，由斯奈尔公式珥s - m q = 吃s m 岛可以求得布儒 斯特角： t a i l 岛= 詈 ( 2 6 ) 图2 6 给出了对于典型透明电介质的菲涅耳强度反射系数，此系数是入射角的函 数。 2 4 透明电介质表面反射光的偏振特性 由图2 6 可知，一般情况下r 。r ，因此反射光的偏振态与入射光的偏振态不 同。若入射光为线偏振光，则反射光仍为线偏振光，但其振动方向要发生变化。设口为 振动面与入射面的夹角，称为振动的方位角，并认为，当振动面绕着光的传播方向顺 时针转动( 迎着光的传播方向看取) 时，方位角为正。显而易见，方位角的变化就是 光波振动方向的变化。假设其变化范围从一万2 到+ 石2 对于入射光和反射光的振动 方位角口；和口，可分别定义为： f ( f )f t ，) t a i l q = 嚣，铷嘭= 罱 ( 2 7 ) 则由菲涅耳公式可得： t a n 晖一器焉t a n q ( 2 s ) c 0 s i 戗+ 以j 由于0 最州2 ，所以有 t a n 口，t a n q ( 2 9 ) 式( 2 3 ) 中的等号只有在正入射或者掠入射( b = o 或者q = 州2 ) 的情况下才成立由 此可见，在反射光中振动面是偏离入射面的。 若是自然光入射，其偏振度要发生改变，偏振度p 可定义为在部分偏振光的总强 度中，完全偏振光所占的比例，即 尸= 2 = l ( 2 1 0 ) i b l p 七i u 1。 其中，是完全偏振光的强度，u 是自然光的强度，+ 毛是部分偏振光的总强度。 由以上分析可知，反射光的偏振状态有以下三种嘲： ( 1 ) 在正入射和掠入射时，反射光仍然是自然光。 ( 2 ) 在一般情况下入射时，反射光为部分偏振光。 ( 3 ) 在以布儒斯特角入射时，反射光是线偏振光( 偏振度p = 1 ) ，振动方向与入射 面垂直。 在用c c d 相机拍摄透明物体时，将放置在相机前的线偏振片按照定规律旋转， 则得到的偏振图像亮度按照传输辐射光亮度正弦波变化： ，上，r j ( ，咖= 二璺坚二照+ 二璺坚- 写二业c o s ( 2 一2 纠 ( 2 1 1 ) 二二 这里，乙和j 曲为偏振器旋转过程中得到的偏振图像像素亮度最大值和最小值；p 。是 偏振器的旋转角度；矿是相位角或者反射光的偏振角度。所以，当偏振器旋转角度为 偏振角也就是，( = 咖= ，m 。时象素亮度取最大值：当偏振器旋转角度再旋转9 0 在另 一个方向即，( 9 耐= 矿+ 9 0 ) = j 二时象素亮度取最小值。如图2 7 所示。 小结 图2 7 偏振器旋转角度与反射光对应关系 本章详细论述了影响反射特性的因素，构建了透明物体表面的反射模型，并分析 了反射光的偏振成分，以及线偏振片与偏振图像光强的关系。 9 第三章基于偏振分析的透明物体三维重建的数学模型 由于在透明物体的分界面上产生了很少的漫反射和吸收现象，所以在发生反射时 入射角和反射角相等。如图3 1 为透明物体表面法线测量示意图，图中入射平面( p o i ) 是指入射光线、表面法线和反射光线所在的平面取和伊分别表示入射面方位角和入 射角。由于表面法线可以表示成入射角口和入射面方位角妒的极坐标形式( 如图3 2 ) ， 所以，只要计算出入射角和入射面方位角，就可以确定表面法线，也就是说可以建立 透明物体的三维重建模型。本文将利用反射光的偏振度来确定这两个角度的值。 图3 1 表面法线测量示意图 z 图3 2 表面法线坐标 3 1 透明物体表面入射面方位角的数学建模 x 固 c c 舛目机 由公式( 2 5 ) g 知，在折射率恒定的情况下，反射率的大小取决于光矢量的方向( 即 光的偏振态) ，所以，旋转c c d 相机前的线偏振片就可以观察到反射率的变化。反射 光强按照公式( 2 1 1 ) 有规律地变化。假设所观测到的最大光强和最小光强的和是反射的 总光强乙，可以得到 ：王下公式： k 2 焘kk 5 西麓k ( 3 1 ) 由以上公式可知，平行于入射平面的方向存在光强的最小值，f 。也就是说，只要 测得光强最小时所对应的角度，就可以确定入射平面的方向西。这时存在两种可能的 入射面方位角藕和磊，它们的关系是欢= 磊+ 万假设被测物体表面是封闭且光滑的， 那么可以直接确定出遮挡边界的表面法线；遮挡边界上的表面法线指向物体外，所以 在遮挡边界就可以确定正确的入射面方位角妒。由于物体表面是光滑的，而且表面上 的邻近点又有相似的值，所以当确定了某点的入射面方位角时，就能确定其邻近点 的入射平面方向值。取遮挡边界的为初始值，在整个曲面上按照一定规律上扩大一的 区间内，就能确定出整个被测物体表面的值。 3 2 透明物体表面入射角的数学建模 偏振度的定义为： p = 子哗 ( 3 2 ) 十m 将公式( 2 5 ) 和( 3 1 ) 代入公式( 3 2 ) ，再运用斯奈尔公式可以得到偏振度的另一个表 达式： p=2sin26cos8xrn2-sin20n2_sin28-n2s i n 2 0 + 2 s i n 4 占 ( 3 3 )p 。u 由上式可知，偏振度是折射率n ( n = n 2 旭) 和入射角日的函数，所以，当已知折射率1 1 时，就可以通过计算出的偏振度值确定入射角口。 图3 3 偏振度与入射角的对应关系 图3 3 描述了偏振度与入射角之闽的对应关系。图中，横坐标和竖坐标分别表示入 射角和偏振度。由图可知，即使在不知道光强的情况下，也可以由测得的偏振度计算 出入射角。图中偏振度在布儒斯特角处存在极值，而且除布儒斯特角外，每个偏擐度 值都对应两种可能的入射角。所以，必须寻找方法解决这个对应的模糊问题。本文通 过比较物体旋转前后的偏振度值差别初步解决了这个对应模糊的问题。 由于偏振度与入射角之间存在对应模糊问题，实验需要找到某种数学模型来解决 这个问题。以下部分从高斯曲率和高斯映射入手，提出了一种解决偏振度与入射角对 应模糊问题的数学模型。 3 3 入射角数学模型的改进 3 3 1 高斯投影概述 在描述透明物体表面到高斯球的高斯投影之前，首先需要引入该高斯投影的具体 根据和过程。曲率描述了曲线的弯曲程度，并且可以由它推导出了许多描述曲面特性 的定理和性质。如图3 1 所示，曲面s 的截平面是由单位向量i b 和p 点的任意单位正 切向量x 组成，称这个截面为法截面，并取法截面和曲面截面的交线为c ，且c 的曲 率为| | ，嘲。以该定义为基础可得： 圈3 4 去截面不意图 ( 1 ) 欧拉定理 假设曲面上对过点p 任意单位正切向量x 的曲率缸不是常数，则存在具有以 下特性的两个单位正切向量五和五： ( a ) 是以的最大值，而是以的最小值。 ( b ) 五和五是正交的。 ( c ) 界于x 和五之间的角度记为，那么，如= k x , c o s 2 + 以，s m 2 吵 ( 2 ) 主曲率定义 设以和b ，为点p 的主曲率，五和砭为点p 的主方向，由n 和五以及由n 和五组成的平面为主平面。如果k = k = k x , ，则称点p 为脐点 ( 3 ) 高斯曲率和平均曲率的定义 k = k k 成为点p 的高斯曲率。如果p 是脐点( k = k = k ) ，那么足= 后2 。 h = ( k + k ，) 成为平均曲率。 2 14 对于不同的曲面而言，一般的分类方法是将具有常数高斯曲率的曲面( 这种曲面称 为常曲率曲面) 按照k 取值的不同分成三种类型，即k o = o ；k 0 的曲面为椭球形曲面，高斯曲率k 平面( d ) 柱形曲面 ( c ) 复盏面马鞍形曲面( d 滑梯形曲面( 1 1 ) 钟形曲面 复曲面形如汽车轮胎的一部分。图形上点线的曲率为零，点线左侧的曲率为正， 点线右侧的曲率为负。马鞍形曲面形如一个马鞍，图形的中心有个凹点，且凹点的高 斯曲率为零。滑梯形曲面形如孩子的滑梯，而且每个部分的高斯曲率都为零。滑梯形 曲面可以看作由两个粘在点线上的柱形曲面组成。钟形曲面形如钟的一部分。点线的 牮宰印争? 辱 高斯曲率为零，点线以上部分的高斯曲率为负，点线以下部分的高斯曲率为正。 综合以上分析可知，单纯根据k 的分类方法无法准确的表达曲面的几何特性，更 细致的分类方法应该综合考虑k 、h 、毛、如( 毛 岛) 的取值来进行分类。如表3 - 1 所 示。 裳3 - 1 基于综合考虑k 、h 、南、南( 毛 乞) 的分类方法 曲面类型可能的曲率组合 椭球形曲面 k o ，h o k z o ，k 2 ok o ，h o ，k i o ，k 2 o 双曲曲面 k o ，h o ，k 2 ( 0k o b 0 ，k o ，k i o ，k 严ok = o ，l i 0 ，k 尸ok = o ，h o ，k 严ok - 0 ，h o ，k l o ，k z 0 的点向置 0 的点移动，轨迹开始 是从高斯球的南部向北部移动，到达k = 0 的折叠曲线后移动点开始反向移动，即从北 肉南移动图中其他曲面则不存在折叠曲线。 3 3 2 布儒斯特分区 在偏振度与入射角之间的数学关系模型中存在一个对应模糊的问题，为了解决这 个问题，本文提出了一种解决偏振度与入射角之间对应模糊问题的方法：由于在布儒 斯特角处不存在对应模糊问题，因此可以以布儒斯特曲线为界限将偏振图像分成几个 区域。 假设被测物体的像正投影到c c d 相机的光敏面上，并且相机观测到的物体表面不 存在自遮挡。也就是说曲面是正则的，而且可用z = 厂( x ，y ) 表示。另外，假设物体表面 是足够光滑的( 满足2 阶或3 阶可微) 。则物体表面上仰角等于布儒斯特角的点能够组 成一条封闭的曲线，称入射角等于布儒斯特角的点为“布儒斯特点”，由布儒斯特点组 成的封闭曲线为“布儒斯特曲线”。根据布儒斯特曲线所划分的分区称为“布儒斯特分 区”。 除了布儒斯特曲线上的点以外，布儒斯特分区内所有点的入射角或者大于布儒斯 特角，或者小于布儒斯特角。如图3 3 所示，在o s 口s 艮区间内口和p 是l 对1 的关 系，同样在以b 9 0 区间内口和p 的对应关系也是1 对1 的。所以如果知道入射角伊 和布儒斯特角幺的大小关系，就能由p 唯一计算出入射角口的值。 根据以上分折，物体的偏振图像被分成三类区域，定义如下： ( 1 ) b o 区域，以布儒斯特曲线为边界，并且包含遮挡边界的区域 ( 2 ) b - n 区域，以布儒斯特曲线为边界，并且包含物体表面北极点的区域 ( 3 ) b - b 区域，既不包含遮挡边缘又不包含物体表面北极点，而且由布儒斯特曲 线为边界的区域 图3 8 为布儒斯特分区示意图。布儒斯特曲线上点的偏振度均为1 ，所以不存在对 应模糊问题，入射角口也可以唯一确定。遮挡边界点的表面法线由物体指向外，垂直 于观测方向，入射角为9 0 。被测物体顶端点的入射角p 为0 。，由2 3 的分析可知，此 点的入射面方位角为0 ，所以用布儒斯特曲线、遮挡边界线和物体表面北极点所做的 区域划分是非常合理的。 假设将物体朝任意方向旋转微小角度，区域分布不会因为旋转而改变，任意旋转 后分区的数目也不会发生变化，而且区域的形变和平移是微小的。另外，假设以微小 角度旋转物体后，不会发生自遮挡。 遮挡边， 寿擂斯特线： 图3 8 布儒斯特分区示意图 若以上假设成立，则除了在遮挡边界外，偏振图像表面上将不存在入射角为9 0 。的 点，也就是说，只有在b - o 区域存在入射角等于9 。的点，其他区域不存在所 ；：，除 了遮挡边界，如果存在偏振度为零的点，那么这个点的入射角曰总是o 。b - n 区域是 包含物体表面北极点的入射角口等于0 的区域，所以b - n 区域是除了b 0 区域外包含 偏振度p 等于零的区域。把既不属于b o 区域也不属于b - n 区域的区域称为b b 区域， 所以b b 区域中点的入射角护既不等于0 也不等于9 0 。 通过数字图像处理后，可以提取出偏振图像的遮挡边界，所以b - o 区域很容易确 定。对于b - n 区域，只要找到被测物体表面的北极点就可以确定了。既不是b o 区域 又不是b - n 区域的部分即是b b 区域。这样就可以根据偏振度的值将偏振图像分成 b - o 、b n 、b - b 三个区域。 b o 区域包含入射角护等于9 秽的遮挡边缘，所以可以确定入射角在铱秽9 0 的 范围内；b - n 区域包含被测物体表面的北极点，所以可以确定入射角在0 s 口s 岛的范 围内；而对于b b 区域中的对应模糊问题则比较复杂，下面将通过分三部分解决这个 问题。 3 3 3匹配点 为了解决b - b 区域中的对应模糊闻题，本文作了以下一系列推导：把物体做微小 的旋转，比较物体旋转前后偏振度的值，然后通过比较旋转前后匹配点的偏振度差， 就能准确的确定入射角度的大小( 如图3 9 所示) 。 图3 9 物体旋转示葸图 由于经过布儒斯特分区后，被测物体偏振图像b - b 区域的形状非常接近于钟形曲 面，而且其中一条边界曲线一定为折叠线，所以可以运用高斯映射来做进一步研究。 被测物体偏振图像的b b 区域到高斯球的高斯映射如图3 7 所示 高斯曲率是曲面的一个固有属性，两且经过旋转后其值不会发生变化，所以根据 商斯曲率确定匹配点是可行的。但是，高斯曲率本身存在着一定的误差和不确定性， 所以本文用高斯曲率为零的点代替了用高斯曲率本身进行匹配，即采用了折叠曲线来 解决这个问题。由于折叠曲线总是存在b b 区域，所以采用折叠曲线是最现实的方法。 如图3 1 0 所示，虽然无法确定阴影区域中折叠曲线的数量，但可以确定高斯球上 该区域的边界，如果不是布儒斯特曲线就一定是折叠曲线。基于这个观点本文利用了 b b 区域到高斯球映射区域的边界来选取匹配点，也就是说，如果b b 区域在布儒斯 特曲线的北侧，就利用该区域最北侧的折叠曲线来选取匹配点；如果b b 区域在布儒 斯特曲线的南侧，就利用该区域最南侧的折叠曲线来选取匹配点。 由于这种方法无法确定旋转前后折叠曲线上相匹配的具体点。所以本文又提出了 一种新的方法来解决这个问题。定义匹配点是折叠曲线与子午圆的交点( 如图3 1 1 ) ， 1 8 即选取具有最小偏振度的点。这个子午圆必须是平行于物体旋转方向的平面过高斯球 的截面，而且高斯球的北极点位于此截面上。另外，旋转前后物体表面的匹配点都映 射到该子午圆上。 折叠曲 布儒斯特绞2 、 高斯球 离斯球 布儒斯特线2 折叠曲线 图3 1 0 旋转前后偏振图像的b b 区域到高斯球的映射示意图 折叠曲 布儒斯特线 甍r) 弋 藤麓鳞麟骥鞠缫黝氆缀 j 赤道 矽 旋转前 ，匹配点、 j 、 庵国攒避璺麓目群黼 rj i 赤道 矽 o蠡 一。 由公式( 3 3 ) 可知，偏振度p 对仰角疗的导数有以下性质 丽d p o ( o 口 岛) 石d p o ( 岛 p 9 0 。) 面d p = o ( e = o 域护= 岛) 由于现在考虑的点位于b b 区域内，所以口不可能等于0 ； 斯特曲线上的点，所以仰角口不等于布儒斯特角岛，即塑d o o ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 由于此处不考虑布儒 生：塑堂 ( 3 1 0 ) d sd ed s 参= 雾噔) 2 + 等窘 ， 出2d p 2 、凼7 + d p 西2 7 当e 以时，映射到高斯球上的b b 区域位于布儒斯特曲线的北侧。在这种情况 下，仰角移是折叠曲线上的最小值。由公式( 3 ，5 ) 、( 3 7 ) 、( 3 。l o )