（应用数学专业论文）几类复杂金融系统的稳定性分析与控制.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 金融系统的稳定性问题作为一个实际问题受到越来越多的关注，特别当2 0 0 7 美国次贷危机越演越烈，各国政府积极救市之际，我们更需关注金融混沌系统的 控制问题。如何对金融混沌系统积极地施加控制，使系统在于预下朝着健康的方 向发展，是一个有很大实际意义的重大课题。本课题是围绕金融系统的脉冲控制 与同步以及时滞脉冲控制等几个方面展开的，并与实际的经济系统相结合，给出 了控制混沌金融系统的一种非常有效的方法。用混沌理论处理经济系统，也为金 融危机及相关问题的解决提供了一种新的方法和思路。 本文主要包括以下几方面内容：第一章主要对复杂金融系统尤其混沌金融系 统的控制的研究背景及意义、研究现状和研究内容与思路进行了较为全面的介绍 和总结。第二章主要介绍了本论文中涉及的基本概念和基础理论。第三章主要介 绍了一类混沌金融系统的脉冲控制方法。针对一类金融混沌系统，通过在离散时 刻引入脉冲控制方法实现了该系统的有效控制，给出了使得系统达到稳定的充分 条件及脉冲间隔的最大上界，理论分析和数值模拟均证明了脉冲控制的有效性和 可行性；然后进一步考虑了时滞对脉冲控制的影响，给出了一类金融混沌系统的 时滞脉冲控制，所得结果表明时滞脉冲控制也能有效消除系统的混沌行为，但对 脉冲间隔的要求更严格，即需要更强的控制条件。第四章主要介绍了一类混沌金 融系统的脉冲同步方法。通过理论分析和数值仿真验证了两个系统脉冲同步的可 行性和有效性，说明了初值不同( 经济发达程度不同) 的金融系统可以较好地实 现经济同步发展。第五章主要介绍了一个广告脉冲模型的稳定性分析问题。在离 散时刻引入广告脉冲控制，给出了广告脉冲控制系统稳定的一个定理。通过改进 的充分条件，使得广告策略的不稳定平衡点达到全局指数稳定和全局渐近稳定， 并得到脉冲间隔的最大上界。理论分析和数值仿真均说明在离散时刻引入广告脉 冲控制的有效性和可行性，进一步说明脉冲控制在经济系统中具有广泛应用前 景。 关键词：混沌金融系统，金融危机，脉冲控制，脉冲同步，脉冲微分方程，广告 脉冲模型，稳定性 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h es t a b i l i t yp r o b l e mo ff i n a n c i a ls y s t e m sa sa na c t u a lp r o b l e mi sa t t r a c t i n gm o r e a n dm o r ea t t e n t i o n w en e e dt op a ym o r ea t t e n t i o nt ot h ec o n t r o lp r o b l e mo fc h a o t i c f i n a n c es y s t e m s ，e s p e c i a l l yw h e nt h ea m e r i c a nf i n a n c i a lc r i s i si sb e c o m i n gm o r ea n d m o r es e r i o u sa n dm a n yg o v e r n m e n t sr e s c u i n gt h em a r k e t s h o wt op u tc o n t r o l so nt h e c h a o t i ce c o n o m i cs y s t e m st om a k et h es y s t e m sd e v e l o pu n d e rh e a l t h yd i r e c t i o ni sa s i g n i f i c a n tr e s e a r c hw i t hi m p o r t a n ta c t u a lm e a n i n g t h i st h e s i sm a i n l yf o c u s e so n i m p u l s i v ec o n t r o l ，i m p u l s i v es y n c h r o n i z a t i o na n dt i m e - d e l a y e di m p u l s i v ec o n t r o lo f f i n a n c i a ls y s t e m s a n dc o m b i n et o g e t h e rw i me f f e c t i v ee c o n o m i cs y s t e m ，g i v i n ga v e r yv a l i dm e t h o dt oc o n t r o lt h ec h a o t i cf i n a n c es y s t e m c h a o t i ct h e o r yi sa p p l i e di n e c o n o m i cs y s t e m s ，w h i c hp r o v i d e san e wm e t h o da n dc o n c e p to nr e s o l v i n gf i n a n c i a l c r i s i sa n di t sr e l a t e d t h em a i nc o n t e n ti sd e p i c t e da sf o l l o w s ：i nt h ef i r s tc h a p t e r ，r e s e a r c hb a c k g r o u n d a n dm e a n i n g ，c u r r e n tr e s e a r c hs i t u a t i o na n dr e s e a r c hc o n t e n ta n dc o n c e p to ft h e c o n t r o lo fc o m p l e xf i n a n c i a ls y s t e m se s p e c i a l l yc h a o t i cf i n a n c es y s t e ma r ei n t r o d u c e d a n ds u m m a r i z e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，s o m ec o n c e p t i o n sa n dt h e o r i e sa r ei n t r o d u c e d i nt h et h i r dc h a p t e r ，i m p u l s i v ec o n t r o lm e t h o do fak i n do fc h a o t i cf i n a n c es y s t e mi s s t u d i e d s u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sd e r i v e dw i t hi m p u l s i v ec o n t r o la td i s c r e t em o m e n t s ， u n d e rw h i c ht h eu n s t a b l ee q u i l i b r i u mp o i n to ft h ec h a o t i cf i n a n c es y s t e m sc a l lb e s t a b i l i z e d ，a n dg r e a tu p p e rb o u n do fi m p u l s i v ei n t e r v a l sc a nb eo b t a i n e d t h e o r e t i c a n a l y s i sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o ns h o we f f i c i e n c ya n df e a s i b i l i t yo fi m p u l s i v ec o n t r 0 1 f u r t h e rm o r e ，w es t u d i e dt h ei n f l u e n c eo ft i m e d e l a yi ni m p u l s i v ec o n t r o l ，a n dp u t f o r w a r dt i m e d e l a y e di m p u l s i v ec o n t r o lm e t h o do fak i n do fc h a o t i cf i n a n c es y s t e m t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ec h a o t i cb e h a v i o r o fc h a o t i cf m a n c es y s t e m sc a nb e e l i m i n a t e du n d e rt i m e - d e l a y e d i m p u l s i v ec o n t r o l ，b u t t h e r en e e d sm o r er i g i d i m p u l s i v ei n t e r v a l s ，t h a ti s ，m o r es t r o n gc o n t r o lc o n d i t i o n i nt h ef o u r t hc h a p t e r ， i m p u l s i v es y n c h r o n i z a t i o no fa k i n do fc h a o t i cf i n a n c es y s t e mi si n t r o d u c e d t h e o r e t i c a n a l y s i sa n dn u m e r i c a l s i m u l a t i o ns h o we f f i c i e n c ya n df e a s i b i l i t yo fi m p u l s i v e 江苏大学硕士学位论文 s y n c h r o n i z a t i o n ，a n dt h ec h a o t i cf i n a n c es y s t e m sw i t hd i f f e r e n ti n i t i a lv a l u e sc a n a c h i e v es y n c h r o n i z e dd e v e l o p m e n t i nt h ef i f t hc h a p t e r ，s t a b i l i t ya n a l y s i so fa n a d v e r t i s i n gi m p u l s i v em o d e li s s t u d i e d at h e o r e mo nt h es t a b i l i t yo fi m p u l s i v e c o n t r o ls y s t e mi sp r e s e n t e db ya d v e r t i s i n gc o n t r o la td i s c r e t em o m e n t s t h r o u g h i m p r o v e ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n ，t h eu n s t a b l ee q u i l i b r i u mp o i n to ft h ea d v e r t i s i n g s t r a t e g yc a nr e a c hg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n dg l o b a la s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y ，a n d g r e a tu p p e rb o u n do fi m p u l s i v ei n t e r v a l sc a nb eo b t a i n e d t h e o r e t i ca n a l y s i sa n d n u m e r i c a ls i m u l a t i o ns h o we f f i c i e n c ya n df e a s i b i l i t yo fa d v e r t i s i n gc o n t r o la td i s c r e t e m o m e n t s ，w h i c hs h o w sw i d ea p p l y i n gp r o s p e c to fi m p u l s i v ec o n t r o li ne c o n o m i c s y s t e m s k e y w o r d s ：c h a o t i cf m a n c es y s t e m ，f i n a n c i a lc r i s i s ，i m p u l s i v ec o n t r o l ，i m p u l s i v e s y n c h r o n i z a t i o n ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a d v e r t i s i n gi m p u l s i v e m o d e l ，s t a b i l i t y h i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大 学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密囹。 学位论文作者签名： 耋鼹 ，们署年f 月l - 1 日 指导教师签名：厉7 川岔年胁月0e l 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：嘻庭 日期：孑年p 月 日 江苏大学硕士学位论文 第一章前言帚一早日u苗 1 1 本课题研究的背景及意义 经济在运行过程中具有不稳定性和复杂性，甚至有时当外界条件发生微小变 化时，都会引起整个经济系统的动荡。近年来随着对金融市场的系统研究，人们 逐渐开始关注金融市场中的非均衡现象，并且认识到，在某些情况下，这种非均 衡( 不稳定性) 是一种固有的、本质的现象。经济学中的混沌现象自1 9 8 5 年被 首次发现以来，对当今西方主流经济学派产生了巨大的冲击，因为经济系统中出 现混沌现象意味着宏观经济运动本身具有内在的不稳定性。混沌理论的兴起，突 破了传统的线性思维定式，将金融系统看成是一个复杂的、交互作用的和适应性 的非线性动力学系统，在这个非线性系统中，随着各种参数的变化，系统的运动 状态由于失稳而出现混沌状态是较普遍的现象。 金融危机便是该系统产生的一种混沌现象。进入2 0 世纪9 0 年代以来，世界 性金融危机不断爆发。1 9 9 0 m 1 9 9 2 年日本金融危机，泡沫经济破灭。1 9 9 2 - - 1 9 9 3 年欧洲汇率机制危机，国际投机热钱( 主要是对冲基金) 肆意攻击英镑和欧洲货 币，导致英镑和里拉汇率崩溃，被迫推出欧洲汇率机制。1 9 9 4 1 9 9 5 年墨西哥 金融危机且迅速波及全球，源于墨西哥盲目的金融市场自由化，大量热钱流入墨 西哥和其他发展中国家，造成投机资产价格泡沫。1 9 9 7 - - 1 9 9 8 亚洲金融危机和 俄罗斯债务危机，源于亚洲各国盲目金融市场自由化、放松资本账户管理、弱势 美元诱发投机热钱大量流入亚洲和俄罗斯，资产价格泡沫破灭。1 9 9 9 年巴西出 现会融危机。2 0 0 0 - - - 2 0 0 2 年全球互联网泡沫破灭导致信用市场急剧萎缩。2 0 0 1 年阿根廷金融市场崩溃。2 0 0 7 年8 月美国次贷危机爆发并引发全球金融危机， 全球信用市场动荡，引起美国次级抵押贷款市场风暴的直接原因是美国的利率上 升和住房市场持续降温，一些贷款机构向信用程度较差和收入不高的借款人提供 贷款，利息上升，导致还款压力增大，很多本来信用不好的用户感觉还款压力大， 出现违约的可能，对银行贷款的收回造成影响的危机，此次风暴引发华尔街“大 地震 ，雷曼兄弟破产、华盛顿互惠银行的倒闭此类各大事件，充斥着人们 的信心。 江苏大学硕士学位论文 金融危机给各国金融市场的正常发展带来了很大的冲击，各国( 地区) 都会 采取各种方法进行控制，以使其金融市场恢复正常秩序。面对2 0 0 7 年以来的美 国金融危机，各国政府正纷纷积极救市，美国参、众两院通过7 0 0 0 亿美元纾困 方案，中国也制定了预案应对此次会融危机。应对金融危机，各界都会积极地采 取各种控制方法，可见控制的重要性。而对于金融系统的混沌属性，用处理非线 性系统的混沌理论【l 。8 j 无疑可为金融危机及相关问题的解决提供一种新的方法和 思路。希望能通过控制使得经济向着更健康的方向发展，促进世界经济的稳定。 1 2 本课题的研究现状 控制和利用混沌是当前自然科学基础研究的热点问题之一，对这个问题的研 究具有重要的理论和现实意义。控制混沌的主要目标是消除已有的混沌运动，或 降低混沌运动的程度。混沌控制作为非线性科学研究的一个重要分支，受到了许 多科学研究人员的关注，经过十多年的发展已经得到了一些有效的控制方法。根 据不同类型的被控系统，分别设计出适应于各种不同系统的控制方法，从控制原 理上可分为微扰反馈控制及无反馈控制法。自然科学在混沌控制方面取得的成 就，为经济混沌系统的控制的研究及应用奠定了坚实的理论基础。 经济混沌系统控制的研究已有反馈控制1 1 、自适应控制9 1 、增益控制1 0 , 1 1 】等。 在解决实际问题时，我们更注重控制方法的可行性，想到节省开支、提高效率。 脉冲控制方法作为一种控制混沌的有效方法，已被许多实验所验证，它相对其它 控制方法具有能量消耗小，实现简单的特点。采用脉冲状态反馈方法可以克服连 续状态反馈控制方法的缺馅，反馈项只在有限的离散时间内起作用，使得控制能 量大大减小。近年的最新科技成果表明，脉冲控制在航天技术、生命科学、通讯、 医学等中的应用广泛，这类文章也比较多【1 2 。2 ，刘新芝等人对脉冲微分方程做了 大量研究。但有关脉冲控制在经济系统中应用的文章则很少，孙继涛在 i m p u l s i v ec o n t r o lo faf i n a n c i a lm o d e l 【2 2 j 做了将脉冲控制应用与经济 系统的尝试。 本课题选择混沌控制方法中的脉冲控制方法，将脉冲控制应用到经济系统， 具有一定的前瞻性。脉冲控制方法在经济上的应用有很大的实际意义，但现在的 研究更多的局限于稳定性理论的研究，跟实际结合得还很少，一些结论的经济解 2 江苏大学硕士学位论文 释还很有限，这些方面都有待进一步发展。另外，许多学者在研究脉冲微分方程 时会考虑时滞问题，这样能更好的解释实际问题。 1 。3 本课题的研究内容与思路 本课题主要研究了一类金融混沌模型的脉冲控制与同步问题，通过在固定时 刻点引入脉冲控制，把经济系统中的不稳定的平衡点控制成稳定的平衡点，实现 混沌金融系统中的脉冲控制，进一步实现其同步问题。并且通过一个广告脉冲模 型的稳定性分析，再次表明脉冲控制在经济中应用的可行性。 文章的具体结构如下： 第一章：主要介绍了本课题的研究背景、研究现状及研究内容与思路。 第二章：主要介绍了本论文中涉及的基本概念和基础理论。在参考大量文献 的基础上，给出了混沌定相关概念、稳定性理论以及混沌的脉冲控制与同步方法 的具体描述。从而形成较为完整的理论体系，为以后几章的应用研究提供了理论 依据。 第三章：主要介绍了一类混沌金融系统的脉冲控制方法。基于第二章的理论 基础，对一类混沌金融系统进行脉冲控制和时滞脉冲控制，从而可以使系统很好 的达到稳定状态，同时给出了使得系统达到稳定的充分条件及脉冲间隔的最大上 界，并通过理论分析和数值模拟证明了脉冲控制和时滞脉冲控制的可行性和有效 性。 第四章：主要介绍了一类混沌金融系统的脉冲同步方法。运用混沌同步理论， 通过理论分析和数值仿真验证了两个系统脉冲同步的可行性和有效性，说明了初 值不同( 经济发达程度不同) 的金融系统可以较好的实现经济的同步发展。 第五章：主要介绍了一个广告脉冲模型的稳定性分析问题。将第三章的脉冲 控制理论应用到广告模型当中，从而使得广告模型达到稳定，并用理论分析和数 值仿真说明脉冲控制的可行性和有效性。进一步说明脉冲控制在经济系统中具有 广泛的应用前景。 3 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念和基本理论 本章归纳混沌的定义以及与判别稳定性有关的各种概念和基本理论，为以后 章节提供理论基础。 2 1 混沌相关概念 2 1 1 混沌的定义 由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们所彻底了解，因此至今混沌 还没有形成一个统一的严格定义。目前已有的定义是从不同的侧面反映了混沌运 动的性质，其中l iy o r k e 的混沌定义是比较公认的、影响较大的数学定义。1 9 7 5 年美国马里兰大学的博士李天岩( 【jt 和他的导师约克r k ej a ) 在题为“周期 3 意味着混沌” 2 3 1 的论文中提出混沌定义，从定理出发形成了混沌的专门定义。 它是从区间映射出发进行定义的，设j 为实轴上的一个闭区间，考虑其上定义的 连续映射，：，一r 针对一维离散迭代映射系统 ，：，一，cr ，x k + 1 = 厂瓴)( 2 1 ) 定理2 1 ( l i - y o r k e 定理) ：设厂( 砷是【口，6 】上的连续自映射，若厂( 功有3 周期点， 则对任何正整数胛，( 功有玎周期点。 定义2 1 ( l i y o r k e 混沌定义) ：闭区间，上的连续自映射，( 砷，如果满足下列条 件： ( 1 ) ，的周期点的周期无上界：厂具有任意正整数周期的周期点，即对任意 自然数n ，有xci ，使厂”( 功= x ( 非不动点的力周期点) ( 2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足 ( i ) 对地，y s ，当x y 时有 j i m s u p 。f ”( 石) - f ”( y ) l 0 “- - - 0 0 4 江苏大学硕士学位论文 ( i i ) 对比，y s 有 l i m i n f f ”( x ) - f ”( y ) i = 0 n - - - c o ( i i i ) 对比s 和厂的任一周期点y ，有 h m s u p l f ”( x ) - f ”( y ) l 0 以- - - 0 0 则称，为混沌的。 根据上述定理和定义，对闭区间，上的连续函数，( 力，如果存在一个周期为 3 的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。用李天 岩的话来说，只要有周期三就“乱七八糟 的，什么周期都有。 2 1 2 李雅普诺夫指数 李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 指数是定量地描述相空间中相邻轨道随着时间变化按 指数规律吸引或分离程度的物理量【2 4 ，2 5 1 。若李雅普诺夫指数小于零，表示相体积 收缩，运动稳定，且对初值不敏感；若李雅普诺夫指数等于零，则对应临界状态， 即稳定的边界；若李雅普诺夫指数大于零，则表示相邻轨道分散，其长时间行为 对初值非常敏感，运动呈现混沌状态。李雅普诺夫指数在混沌研究中具有重要的 作用，通过求取李雅普诺夫指数可以判断该系统是否为混沌的2 5 , 2 6 1 。 下面给出n 维系统的李雅普诺夫指数的具体定义： 定义2 2 【2 5 。2 7 】设自治系统 x = ，( 力( 2 - 2 ) 其中，z 彤构成一个n 维相空间，厂：尺”专r ”式( 2 2 ) 的解从初始值x ( 0 ) 出发 在相空间形成一个轨道x o ) ，若x ( 0 ) 有偏差h 0 ) ，则由工( o ) + 以0 ) 出发形成另 一轨道砸) + 删。 设啡) = 彬( f ) ，江1 ，2 ，咒 ，将 嵋( f ) ，f = 1 ，2 ，厅) 所构成的空间称为切空间。 只要 w ( f ) ，i = 1 ，2 ，咒) 足够小，且系统( 2 2 ) 是耗散系统，则w ( t ) 应满足下列线 性微分方程： w = j w 5 ( 2 3 ) 江苏大学硕士学位论文 其中，j 是系统( 2 2 ) 的j a c o b i 矩阵。 在切空间上，若初始时刻以f ) 的长度为1 1 w ( t ) l l ，t 时刻以后的长度为0 w ( o ) 0 ， 由于对初始条件的敏感性，使j a c o b i 矩阵的特征值给出了某确定时刻其长度在该 特征方向上的指数变化率，因此设 il w ( , ) ll = e m1 1 w ( o ) l l ( 2 。4 ) ( 2 5 ) 在1 1 维切空间中，以f ) 在每个基底上有分量。由于李雅普诺夫指数是针对系统的 运动轨道而言的，所以切空间的每一个分量都有一个李雅普诺夫指数。按式( 2 - 5 ) l e i l e 2 地 ( 2 。6 ) 考虑微分方程组零解的稳定性问题，可以借助构造一个特殊的函数y “) ，) ， 并利用y ( z ，y ) 及其通过方程组的全导数掣便确定了方程组零解的稳定性， 口f 象邓( 曲 z = 三 f c 功= 三兰 ) | 三： ，假设f c = 。，r f ( x ) 在x e g = ( 而，x ) ：l l x l i 口) 内有连续的偏导数。 定义2 3 假设y ( 砷为区域口内定义的一个实连续函数，y ( o ) = o 如果在此域 内恒有y ( 力o ，则称函数y ( 砷为常正的。如果对一切x 0 都有y ( 砂 o 且 6 江苏大学硕士学位论文 y ( 0 ) = 0 ，则称y ( 功为定正的。如果函数叫( 力是定正( 常正) 的，则称y ( 砷为 定负( 常负) 的。 进一步假设函数y ( 力关于所有变元的偏导数存在且连续，以方程( 2 - 7 ) 的解 代入，然后对t 求导 孰= 一8 vd x , 一喜第c 矿巾 这样求得的导数警j ( ：也) 称为y ( 功关于方程( 2 - 7 ) 的全导数。 定理2 1 对于方程( 2 7 ) ，如果存在一个定正的函数y ( 功，其关于方程的全导数 d v 为常负函数或恒等于零，则方程( 2 7 ) 的零解为稳定。 a r t 定理2 2 对于方程( 2 - 7 ) ，如果存在一个定正的函数y ( 功，其关于方程的全导数 d v ，为定负的，则方程( 2 7 ) 的零解为渐近稳定。 口f 定理2 3 对于方程( 2 - 7 ) ，如果存在一个定正的函数y ( 力，其关于方程的全导数 可以表示为 百d v = ( x ) + ( 力 且当非负常数0 时，形为常正函数或恒等于零，= 0 时，形为定j 下函数， 又在x = 0 的任意小领域内都存在某个二，使得y ( o ，那么方程( 2 7 ) 的零解为 不稳定的。 定理2 4 如果存在一个定正的函数y ( 功，其关于方程( 2 7 ) 的全导数i d v 为定负 订f 的，但使d ，v 。：o 的点x 的集合中，除零解x - - - - 0 外，并不包含方程( 2 7 ) 的其它解， 口f 则方程( 2 - 7 ) 的零解为渐近稳定的。 李雅普诺夫第二方法将稳定性的问题转化为李雅普诺夫函数的构造问题，寻 找和建立满足上述诸定理的函数y ( 砷，实质上需要很高的技巧。李雅普诺夫和 他的后继者也已经提供了某些建立李雅普诺夫函数的方法，他们可以成功的解决 许多具体问题，归集起来，有类比法、能量函数法、变量分离法、变梯度法、广 义能量法、首次积分线j i 峰组合与加权法等。 7 江苏大学硕士学位论文 2 2 稳定性理论 2 2 1 稳定性判据定理 定理2 5 设有非线性系统： 戈= a o 皿+ d ( 五f ) ( 2 8 ) 对所有的f ，有o ( o ，t ) = 0 ，如果 ( 1 ) l i r a | | o ( x ，) i i i i 圳= 0 ，对所有的，都一致成立； i l x l l u ( 2 ) 对于所有的r ，a ( f ) 都是有界的； ( 3 ) 线性系统戈= a ( t ) x 的0 解是一致渐近稳定的。 则式( 2 8 ) 的0 解是一致渐近稳定的。上述定理中的条件( 1 ) 与条件( 2 ) 对参数相 同的大多数系统是成立的；条件( 3 ) 保证了条件l y a p u n o v 指数全为负。 这个定理把通常检验稳定性的方法( j a c o b i n 本征值方法) 推广到任意驱动 都能用的l y a p u n o v 指数方法。 定理2 6 ( r o u t h h u r w i t z 准则) 【2 8 】 r o u t h h u r w i t z 准则是判定含多个状态变量非线性自治方程定点稳定性的一 种方法。该准则提供了一个不用求解高次代数方程，而直接利用特征方程系数所 构成行列式的某些性质就可以判断特征值实部是否为负的判据。 假设系统的动力学方程为 x = ，( 砷，z r ” ( 2 - 9 ) 系统( 2 - 9 ) 在定态薯。o = l 2 ，n ) 的线性化方程为 a = y = a ( y ) ，y r ”( 2 1 0 ) 式中y 是，z 列( 1 x n ) 矢量，系数矩阵a 取下面的形式 口l ia 1 2 a 2 1a 2 2 a n la 月2 口l n a 2 n 口m 8 ( 2 1 1 ) 江苏大学硕士学位论文 其鸭= 陪 ，由此得到系数矩阵a 的特征方程为关于见的甩次代数方程 口。名”+ q 名”一1 + + 口。一l 兄+ = 0 ( 2 - 1 2 ) 设 0 ( 若口。 0 ，只要对方乘以- 1 即可) ，构造疗阶行列式如下 。= 口1口2 00 口3口2 吼 口。 略如吩口2 口7口6如口4 a 2 h 一1a 2 n 一2 o o o 0 0 ( 2 - 1 3 ) r o u t h h u r w i t z 判据矩阵( 2 1 1 ) f 约所有特征值都具有负实部( 即定点是渐近稳定 的) 的充要条件是矩阵。的各阶顺序主子式大于零。 2 2 2 稳定流形定理 非线性系统( 2 - 2 ) 在平衡点x o = 0 的渐近稳定性，在某种程度上由系统在 x o ：o 的线性近似矩阵日：_ o f i的特征值决定。由上面的l y a p u n o v 函数法可看 o x i j ，o 出，如果日的特征值全部位于左半平面，则平衡点为渐近稳定的；如果日至少 有一个特征值位于右半平面，则平衡点不稳定。但当日的特征值具有0 实部时， 我们就不能用这种近似来判断系统的稳定性。下面我们给出用稳定流形的方法来 分析系统的稳定性。 定理2 7 ( 稳定流形定理) 【2 9 1 设有非线性系统如( 2 2 ) ，如果e 是包含原点的 中的一个开子集，f c 1 但) ，仍是非线性系统( 2 2 ) 的流，f ( 0 ) = 0 ，d f ( o ) 有后 个具有负实部的特征根和刀一后个具有正实部的特征根，则存在一个后维中心流形 s ，它在0 处相切于线性系统戈= a o 净的不稳定子空间e 。，使得对于所有的 f 0 ，仍( s ) cs 和所有的而s l ，i m 仍) = 0 9 江苏大学硕士学位论文 使得对所有的f 0 ，仍) c u 和所有的而u 1 i m 仍( x o ) = 0 f - - o d 这旱厂：r 尺”一尺”是连续的，x 彤为状态变量，膏( f ) = 警。 ix = f ( t ，x o ”，t 缸， a x ( t t ) 全x ( t ) 一x ( t i ) = u ，x ) ，t = t k ， ( 2 1 6 ) l 彳( 菇) = x ( t o ) ，t o o ，k = 1 ，2 ， 为简单起见，通常假设x ( 巧) = x ( 气) ，从而有x ( 砝) = x 纯) + u ，x ) ，t = t k 。 而且，u ( k ，x ) 可以取作玩x 纯) ，其中反是，2 刀维的常数矩阵。从而，脉冲控 江苏大学硕士学位论文 制系统司以表不如f ： l x ( f ) = f ( t ，x ( f ) ) ，t t k ， 麟瓴) 全鼠x ， t = t k ， ( 2 1 7 ) i x ( t o ) = x ( t o ) ，t o o ，k = 1 ，2 ， 脉冲控制的目标，便是寻找控制收益反和脉冲时间间隔= t k + 。一t k o o ( 七= 1 ，2 ，) 所能满足的一些条件，使得脉冲系统( 2 - 1 7 ) 渐近稳定到原点，也就是， 使得系统( 2 1 5 ) 脉冲渐近稳定。 2 3 3 时滞脉冲控制方法 在固定时间点上带时滞脉冲的微分系统可描述为【3 2 】： l x ( f ) = f ( t ，x ( f ) ) ，t t k ， x ( 气) 全x ( f ；) 一x ( ) ：b k x ( t 一气) ，f ：t k ，( 2 - 1 8 ) i x ( f ) = 烈f t o ) ，t o 一，f t o ，k = l 2 ， 这里厂：rx r ”一尺”是连续的；u ：x r “一r ”对每一个七都是连续的；反是 门刀维的常数矩阵；o - t o 如 气 ，且当kj0 0 时气专；x r ”为 状态变量；吃是f = 气时的脉冲采样延迟常数0 吃 气；烈f ) 是定义在区间【_ ，0 】 上的连续初值函数。为简单起见，通常假设x 瓴) = x ( t k ) 。 时滞脉冲控制的目标，便是寻找控制收益矩阵鼠和脉冲时间间隔 = 气一气一。 0 ，因此，( 3 5 ) 式所对应的两个特征根如 和乃的解可分成三种情况： 情况1c b a b c 0 ，则五 o ，五 o ，结合五= - b o ，则 系统( 3 一1 ) 在满足情况1 的条件下其平衡点p o ( o ，1 6 ，o ) 是稳定的汇。 情况2c b - a b c o ，结合 = - b o ，则 系统( 3 1 ) 在满足2 的条件下其平衡点p o ( o ，1 b ，o ) 是鞍点。 情况3c - b - a b c = 0 ，则也= 0 ，五= - ( c + a - 1 b ) ，结合五= - b 0 ，即0 c 1 时，平衡点p o ( o ，l i b ，o ) 为非双 曲的不稳定平衡点。 综合( i ) 和( i i ) 可知，在满足情况3 的条件下，当c = 1 时，系统( 3 1 ) 在平衡点 e o ( o ，l i b ，0 ) 处发生分岔。 情况4c b a b c 0 ，c + a - 1 b = 0 ，可得c 2 l 五和五是一对纯虚根，结 合丑= - 6 o ，取口= 一p + 口一1 b ) ，则a 叫锄l 。：嘞毒一1 o 满足h o p f 分岔的横截条 件，这说明当口通过口。时系统的轨线横穿虚轴，即系统( 3 1 ) 在满足情况4 的条件 下其平衡点p o ( o ，l i b ，o ) 发( j 三h o p f 分岔，并存在周期解族。此时： = 而，五：f 扛了，五：一f 扛了。 ( 2 ) 类似的，可分析得到当c - b - a b c 0 时，系统在平衡点：p o ( o ，1 b ，o ) ， b , 2 ( 万，( 1 + 口c ) 乃，千万止) ，其中口：p b - a b c ) 斥的稳定性情况。当 江苏大学硕士学位论文 c b a b c = 0 ，0 1 时零解全局渐近稳定。 2 ) 如果允 1 时零解全局渐近稳定。 2 ) 当见 0 ，( 七= 1 ，2 ) 时，有如下推论： 推论3 1 假设吒= f 0 ，rb k = 曰 = 1 2 ) ，设兄( a ) = 兄( 五是一个常数) 1 ) 如果兄0 且存在一个常数口1 ，使得 l n ( a p ) + 兄r 0 ，k = 1 2 ， ( 3 2 0 ) 则系统( 3 8 ) 在口= 1 时零解稳定；在口 1 时零解全局渐近稳定。 2 ) 如果名 0 且存在一个常数0 口 0 。 用脉冲对系统( 3 7 ) 进行控制，如果我们选取 ( - o 5 8 oo 、 b = 瓯= l 0- 0 6 80 l ，则= 砧。 ( i + b ) t ( i + b ) = o 1 7 6 4 。l 玟a = 1 0 1 ， 1 000 7 8j 从而当f 一_ l n a 了：0 8 8 6 8 ，系统( 3 8 ) 将稳定到零点。 分别取- = o 1 和f = o 8 ，系统的脉冲控制图像分别如图3 、图4 。 l l l l w 、 t 图3 彳= 0 1 时的脉冲控制图 4 8 2 0 - 2 2 80 一2 o 2 8 1 n ，1 v 畦 i l d1 0加加加印即 t 图4f = 0 8 时的脉冲控制图 金融系统中参数不适合的组合是引起金融系统出现混沌的根源，它有可能使 系统趋向混沌而失控，也有可能使系统趋于停顿僵化的状态。通过脉冲控制可以 在较短的时间内将金融混沌系统( 3 7 ) 控制到零点，即，将金融混沌系统控制在 平衡点墨= ( 、( c - b - a b c ) c ，( 1 + a c ) c ，一纠c ) = ( o 8 0 8 3 ，1 7 3 3 3 ，- 0 6 7 3 6 ) 处，不但使 混沌状态变得有序，而且增加了投资需求( 投资需求从初始值的0 2 变为平衡时 的1 7 3 3 3 ) 。 当f 的取值太大时，脉冲控制对系统将不再起作用。例如，选取f = 5 时，我 们有系统的脉冲控制图，如图5 。可见，脉冲控制对时间间隔f 有一定的要求， 本文找出的f 的最大上界一里竽，只是本文定理给出的最大上界，是否还有更 九 大的上界，不是本课题的讨论范围，有待更深入的研究。 江苏大学硕士学位论文 瞢o _ 2 4 05 01 n n1 卯卸卸如期 - 黼哪w 眄mw 哪w l w m 孵mw 蝴孵mw 哪w mw 啷脚m 图5f = 5 时的脉冲控制图 3 3 一类混沌金融系统的时滞脉冲控制 近年来，我国的宏观调控水平不断提高，利率作为宏观调控的重要手段有利 于防止经济增长由偏快转为过热，防止物价由结构性上涨演变为明显的通货膨 胀。但我们不得不看到利率政策的时滞性弊端。利率政策的时滞性理论是以费雪 为代表的，他首创性地提出了利率影响物价的时滞原理。费雪认为，利率与一般 物价的关系，在引