（光学工程专业论文）基于有限元法zl50装载机铲斗强度分析与结构优化.pdf

山东理工大学硕士学位论文 摘要 摘要 轮式装载机作为一种主要工程机械在国民经济建设中发挥着重要作用，其性能 优劣直接影响生产效率、使用寿命及操纵性能。装载机铲斗是装载机的主要工作装 置，传统设计方法设计已经不能满足现代设计的要求。 随着计算机技术的发展而迅速发展起来的有限元法，是一种分析计算复杂结构 极为有效的数值计算方法。它先将连续的分析对象划分为由有限个单元组成的离散 组合体，运用力学知识分析每个单元的力学特性，再组合各个单元特性，形成一个 整体结构的控制方程组，通过计算，得到整体结构的位移场和应力场等结果。有限 元法的整个计算过程十分规范，主要步骤都可以通过计算机来完成，是一种十分有 效的分析方法。 本文对z l 5 0 装载机工作状况进行了分析，选取偏载和正载两种工况。然后利 用p r 0 e 建立铲斗的实体模型，并导入到有限元软件a n s y s 中，对其进行应力分 析。从两种工况等效应力图发现，在铲斗边耳板下部与铲斗斗壁的结合处、铲斗斗 底以及主刀板与侧立板的结合处应力都比较大，而且偏载时应力更大，为提高安全 系数，对模型提出了改进措施：在应力较大的斗底部位焊接四块加强板，侧边第一 块加强板距离铲斗侧边为3 0 0 m m ，相邻两板距离为7 7 0 r n m ，以增加斗底的强度。改 进后的模型应力明显变小，特别是在原模型应力最大处得到较好的改善。 运用有限元分析方法对装载机铲斗进行了拓扑优化研究分析，以装载机铲斗整 体质量最小为目标函数，以装载机铲斗的斗壁、侧板、耳板、侧刀板、斗底加强 板、主刀板、加强板的厚度为设计变量，经过迭代优化后，在满足应力约束的情况 下，铲斗的重量由1 2 1 4 0 7 6 k g 降至1 1 6 5 6 4 7 k g ，减少了4 8 4 2 9 k g ，减少了3 9 9 节省了材料。 关键词：有限元分析；应力分析；结构优化；装载机铲斗；a n s y s 山东理工大学硕士学位论文 a b s 仃a c t a b s t r a c t w h e e l l o a d e ra sac o n s t m c t i o nm a c l l i n e r yp l a y sa 1 1i n l p o r t 2 m tr o l ei nm ei l a t i o n a l e c o n o m y ，i t sp e r f b n n a i l c ed i r e c t l y a f f e c t st h ee 伍c i e n c yo fp r o d u “o n ，t h eh a n d l i n g p e m n n a l l c e 龇l dt h es e n ，i c el i f e a n dt 1 1 eb u c k e ti st h em a i nw o r k m g 撇l l i i l e n to fm e l o a d e r ， s oi tb e c o m e si n c r e a s i i l g l yi i n p o 心u nf o rs 协j c t u r a ls 乜n 舒ha i l a l y s i sa n d o p t i m i z a t i o no fm el o a d e r b u c k e t t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dw l l i c hd e v e l o p e dw i t ht 1 1 ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e ri sa v e 巧e f f e c t i v em l m e r i c a lc a l c u l a t i o n y o uc a i ld i v i d et 1 1 ec o n t i 肌o u so b j e c ti n t ol i m i t e d d i s c r e t e dc o m b i n a t i o n sb yt l l ef i m t ee l e m e n tm e t h o d ，a s s a ym e c h a n i c sp e c u l i a r i 够u s i n g i n e c k m i c sk 1 1 0 w i e d g e ，c o m ei m ob e i n ge q u a t i o nm l eg r o u po fi n t e g r a t e ds t n l c t u r e ，y o uc a n g e tal o to fr e s u l ti n c l u d i n gs t r e s se t c t h ew h o l ep r o c e s so ff i n i t ee l e m e n tc a l c u l a t i o ni s v e 巧s t a n d a r d i z e d ，m 旬o rs t e p sc a i lb ed o n eb yc o m p u t e r ，i sav e 巧e f f e c t i v em e m o do f 龇l a l y s i s t h eg e o m e t r i cm o d e lo ft 1 1 em i d d l es u r f 如eo fz l 5 0l o a d e rb u c k e ti sd i r e c t i y e s t a 【b l i s h e du s i n gp r o ei nt h i sp a p e r t h es 缸u c t i l r a ls t r c n g t ha n a l y s i so ft h cf i n i t ee l e m e n t m o d e l i sc o m p l e t e du s i n ga n s y sb a s e do nt h ef i n i t ee l e m e n tm e o 巧a n da p p l i c a t i o n f r o m 恤e 髓c t so f 1 e 觚od r 删n go fs t r e s s ，w ec a l lf i n dt h es t r e s so f t h e1 0 w e rp mo f e a r d o o a n db u c k e tc o m b i n a t i o no fw a l l ，t h eb u c k e ta tt h ee n do f 丘醢i n ga n dp e r f o n n e dn l ep l a t e 锄dc e l ip l a t ei sl a r g e rt h a i lt h ee l s e ，a n ds t r e s si s 陆a t e r b yp a n i a ll o a d ，t o 斯t h e r i m p r 0 v et h es a f e t yf a c t o r ，t h em o d e lp r o p o s e di i n p r o v e m e n tm e a s u r e s ：s t i e s si nt h el a r g e r s t n 唱g l ea tt l l ee r l do ff o u rp a r t sw e l d e dp l a t e ，t 1 1 ef i r s to n et os t r e n g m e nt h es i d ep a i l e l s 行o mt 1 1 eb u c k e tt ot h es i d eo f3 0 0 衄，ad i s t a n c eo ft 、加a d j a c e n tb o a r d s7 7 0 i n m ，t 0 i n c r e a s et h ei n t e n s i t ya tm ee n do ff i g h t i n g t h ei r n p r o v e dm o d e ls n i e s ss i 鲥f i c a n t l y s m a l l e r ，p a r t i c u l a d yi nn l eo r i g i n a lm o d e lo ft h e 铲e a t e s ts t r e s sg o tb e t i 盯i m p r o v e m e n t l o a d e rb u c k e tc a nb ec a r r i e dt h r o u 曲t o p o l o g yo p t i m i z a t i o nr e s e a r c ha i l da i l a l y s i s l o a d e rb u c k e tb yf i l l i t ee l e m e n t ，o 坳e c t i v ef h n c t i o ni st 1 1 em i n i m u mo v e r a l l 小l a l i 锣o f1 0 a d e r b u c k e t ，恤d e s i 朗v a r i a b l e si st h ct l l i c k n e s so fb u c k e tl o a d e rb u c k e tt om e 、a l l ，s i d e sa n d e a r p l a t e ，k i l i f e s i d e ，s t r e n 醇h e l l i n gb o a r d a tt h ee n de t c t h ef i m t ee l e m e n tm e m o di sa p p l i e dt 0m er e a lw o r ka n ds o m eu s e 伽c o n c l u s i o i l sa r e r e a c h e di nt l l ep a p e r a n e rs t m c t u r eo p t i m i z a t t i o nb ym ei t e r a t i o n ，m e 、v e i g h to fb u c k e t i i 山东理工大学硕士学位论文a b s 仃a c t b r i i 培d o w n 1 16 5 6 4 7 蚝舶m1214 0 7 6 埏i nm e e t i n gm es t r e s so fc i r c 啪娠m c e s ， d e c r e a s e4 8 4 2 9k g ，a c c o u m i n gf o r3 9 9p e r c e n to f 1 ew e i 曲t ，i tc a i ls a v eal o to fm a t i ；r i a l 1 ( e yw o r d s ：f “t ce l e i i l e n ta 砌y s i s ；缸e n g ma i l a l y s i s ；s 仃u c t u l r eo p t i m i z a t i o n ；l o a d e r b u c k e t ；a n s y s i i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得山东理工大学或其他教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 研究生签名： 时间：年月日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解山东理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅；学校可以用不同方式在不同媒体上发 表、传播学位论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名：毛 导师 时间：年月日 时间：年月日 山东理工大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 装载机是一种作业效率高，用途广泛的工程机械，它可以用来铲装、搬运、卸载、 平整散装物料，也可以对岩石、硬土等进行轻度的铲掘工作。因此装载机在建筑、矿 山、铁道、公路、水电、港口、农田基本建设及国防等工程中，对于减轻劳动强度，加 快工程建设速度，提高工程质量起着重要的作用。近年来我国加大基础设施建设、致 力于西部大开发，随着生产效率的提高，对整个工程机械产品的质量要求越来越高，不 仅要求有较高的承载能力、比较长的疲劳寿命，还要求减少原材料的使用，降低生产成 本，在满足强度要求的前提下，求得最优设计l l j l 6 j 。 随着计算机技术的发展而迅速发展起来的有限元法，是一种分析计算复杂结构极为 有效的数值计算方法。它先将连续的分析对象划分为由有限个单元组成的离散组合体， 运用力学知识分析每个单元的力学特性，再组合各个单元特性，形成一个整体结构的控 制方程组，通过计算，得到整体结构的位移场和应力场等结果。有限元法的整个计算过 程十分规范，主要步骤都可以通过计算机来完成，是一种十分有效的分析方法。 有限元法能够很好地模拟零部件的实际形状、结构、受力和约束，因此其计算结果 更精确，也更接近实际，可以作为设计、改进零部件的依据。同时，可以利用有限元分 析的结果进行多方案的比较，有利于设计方案的优化和产品的改进。有限元法解决了过 去对复杂结构作精确计算的困难，改变了传统的经验设计方法，因而逐步得到了应用。 通过详细的有限元分析，可以仿真与校验产品在使用中的情况，以求把问 x 山东理工大学硕士学位论文第一章绪论 ( 1 ) 大型和小型轮式装载机，在近几年的发展过程中，受到客观条件及市场总需求 量的限制；竞争最为激烈的中型装载机更新速度将越来越快。 ( 2 ) 根据生产厂家的实际情况，重新进行总体设计，优化各项性能指标，强化结构 件的强度及刚度，使整机可靠性得到大步提高。 ( 3 ) 利用电子技术及负荷传感技术来实现变速箱的自动换挡及液压变量系统的应 用，提高效率、节约能源、降低装载机作业成本。 ( 4 ) 提高安全性、舒适性。驾驶室内环境将向汽车方向靠拢，方向盘、座椅、各操 纵手柄都能调节，使操作者处于最佳位置工作。 ( 5 ) 降低噪声和排放，强化环保指标。随着人们环保意识的增强，降低装载机噪声 和排放的工作已迫在眉捷，现在许多大城市已经制定机动车的噪声和排放标准，工程建 设机械若不符合排放标准，将要限制在该地区的销售。 ( 6 ) 广泛利用新材料、新工艺、新技术，特别是机、电、液一体化技术，提高产品 的寿命和可靠性。 ( 7 ) 最大限度地简化维修，尽量减少保养次数和维修时间，增大维修空间，普遍采 用电子监视及监控技术，进一步改善故障诊断系统，提供司机排除问题的方法。 ( 8 ) 细化系统结构，如动力系统的减振、散热系统的结构优化、工作装置的性能指 标优化及各铰点的防尘、工业造型设计等。 1 4 课题的提出及主要研究意义 1 4 1 课题的提出 装载机由于作业工况极其恶劣，结构复杂，凼此对装载机铲斗的强度、刚度要求也 越来越高。但是传统的分析方法由于工作繁琐、设计精度低及周期长等原因不能满足现 代设计的要求。 a n s y s 作为具有高度可靠性的大型有限元分析软件，其分析功能覆盖了绝大多数 工程应用领域，通过大量工程实践的比较，已被大多数汽车、装载机厂商所使用。因 此，将a n s y s 软件应用于装载机铲斗的分析成为一种传统方法无法比拟的分析方法。 但是由于同现有的c a d 软件相比，砧姻y s 建立几何模型的功能较弱，而p 砌它等 a m 软件有非常强大的几何建模功能，可以建立任意复杂形状的几何模型，且q m ：3 山东理工大学硕士学位论文第一章绪论 与a n s y s 等有限元分析软件具有很好的数据交换功能。而装载机铲斗形状非常复杂， 如图1 1 所示。为此，为了克服a n s y s 建立复杂模型能力不足的缺点，本文课题提 出了图1 2 所示的研究思路。使用p 但建立装载机铲斗的几何模型，以i g e s 格式将 其导入有限元软件a n s y s 中，在a n s y s 中建立有限元模型，然后对其进行强度分析 和结构优化。 图1 1 铲斗结构简图 1 斗齿2 主刀板3 侧刀板4 斗壁5 侧板6 加强板 7 上挡板8 加固角钢9 铰接板l o 加强板 1 4 2 本文的主要研究意义 图1 - 2 强度分析流程图 本课题以装载机的铲斗为研究对象，分析其受力、变形情况并对其进行结构优化。 铲斗是装载机的一个主要组成部分，在工作过程中，其运动与受力情况都比较复杂，这 主要体现在： 4 山东理工大学硕士学位论文第一章绪论 ( 1 ) 作业对象千变万化。在多种土质条件与复杂的建筑施工现场使用，受力工况比 较复杂； ( 2 ) 在装载的过程中，受拉压、扭转与振动冲击等多种载荷的作用。而且随着装载 姿态的不同，装载力的大小与方向都在不断地变化，因而实际的装载力是不确定的。 基于以上分析，可以看出传统的分析方法己经不能满足设计要求，且仅依靠传统的 计算方法也是不可靠的。 为此，本课题采用有限元软件对铲斗有限元模型进行了强度分析，根据分析结果， 提出了铲斗的改进方案，并验证了该方案的合理性。 以装载机铲斗整体质量最小为目标函数，以装载机铲斗的斗壁、侧板、耳板、侧刀 扳、斗底加强板、主刀板、加强板的厚度为设计变量，在满足应力约束的情况下，运用 有限元分析方法对装载机铲斗进行了拓扑优化研究分析。 5 山东理工大学硕士学位论文第二章板壳有限元法的理论基础 第二章板壳有限元法的理论基础 工程上将厚度尺寸小于其他两个尺寸的结构称为板，平分板厚度的面称为板的中 面。设f 表示板的厚度，j 表示板中面的最小边长( 圆板为直径) 。在通常的计算精度 下，当f ， l 5 时则可认为板为薄板。否则便认为是厚板，厚板的变形和应力较复 杂，应按空间问题进行处理。 板壳结构不仅指板件、曲壳，还包括由板或壳组成的薄壁构件以及由薄壁构件组成 的结构等广义板壳结构。随着计算机技术的普及和迅速发展，板壳结构屈曲分析的研究 方法从古典法( 能量法、瑞利一里兹法等) 发展到摄动法、有限差分法、有限积分法、有 限条法、有限元法等。有限元法不仅可以实现板壳结构的双重非线性的屈曲分析，还可 以方便地计入几何缺陷、残余应力等因素的影响，并因其广泛的适应性而倍受人们的青 睐。 2 1 有限元法的产生 有限元法的基本思想最早出现于2 0 世纪4 0 年代初期，但是直到1 9 6 0 年，美国的 克拉夫( c 1 0 u 曲r w ) 在一篇论文中首次使用“有限元法”这个名词。在2 0 世纪6 0 年代 末7 0 年代初，有限单元法在理论上已基本成熟，并开始出现商业化的有限元分析软 件。 有限元法出现与发展有着深刻的工程背景。早在2 0 世纪5 0 年代末、6 0 年代初国 际上就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。自“有限元这个名 词第一次出现，到今天有限元在工程上得到广泛应用，经历了五十多年的发展历史，理 论和算法都已经日趋完善。近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限 元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计 算问题的有效途径。已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问 题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题，分析对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、 粘塑性和复合材料等，从固体力学领域扩展到流体力学、传热学、电磁学等领域，几乎 在所有工程问题上都得到了发展与应用。现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都 已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电 6 山东理工大学硕士学位论文第二章板壳有限元法的理论基础 子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源、科学研究等各个领域的广泛使用已使设 计水平发生了质的飞跃【1 6 】1 7 1 。 2 2 有限元法的基本思想 有限元法是目前工程技术领域中实用性最强，应用最为广泛的数值分析方法。它的 基本思想可以归纳为两个方面：一是离散，二是分片插值。 ( 1 ) 离散 离散就是将一个连续的求解域人为地划分为一定数量的单元( e l e 础m t ) ，单元又 称网格( m e s h ) ，单元之间的连接点称为节点( n i d d e ) ，单元间的相互作用只能通过 节点传递。通过离散，一个连续体便分割为由有限数量单元组成的组合体。 离散处理的目的，就是将原来具有无限自由度的连续变量微分方程和边界条件转换 为只包含有限个节点变量的代数方程组，以利于用计算机求解。 ( 2 汾片插值 变分法是在整个求解域中用一个统一的试探函数逼近真实函数，当真实函数性态在 求解域内趋于一致时，这种处理是合理的。但如果真实函数的性态很复杂，再用统一的 试探函数就很难得到较高的逼近精度，或者说要得到较高的精度就需要阶次很高的试探 函数。同时由于不能在求解域的不同部位对试探函数提出不同的精度要求，往往由于局 部精度的要求使问题的求解很困难。所以这类方法一般用于求解函数较规则和边界条件 简单的问题。 分片插值的思想是有限元法与础乜法的一个重要的区别，它是针对每一个单元选 择试探函数( 也称插值函数) ，积分计算也是在单元内完成。由于单元形状简单，所以 容易满足边界条件，且用低阶多项式就可获得整个区域的适当精度。对于整个求解域而 言，只要试探函数满足一定条件，当单元尺寸缩小时，有限元解就能收敛于实际的精确 解。 有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小 的子域中。2 0 世纪6 0 年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫( c 1 0 u 曲) 教 授形象地将其描绘为：“有限元法_ r a y l e i 曲i 洫法+ 分片函数，即有限元法是 l y l e i 曲砧t z 法的一种局部化情况。不同于求解( 往往是困难的) 满足整个定义域边界 条件的允许函数的脚l e i 曲砌钯法，有限元法将函数定义在简单几何形状( 如二维问题 山东理工大学硕士学位论文第二章板壳有限元法的理论基础 中的三角形或任意四边形) 的单元域上( 分片函数) ，且不考虑整个定义域的复杂边界 条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。 2 3 有限元法的特性 有限元法主要有以下特性： ( 1 ) 对于复杂几何构形的适应性。由于单元在空间可以是一维、二维或三维，而且 每一种单元可以有不同的形状。例如三维单元可以是四面体、五面体或六面体，同时各 单元之间可以采取不同的联结方式，例如两个面之间可以是场函数保持连续，也可以是 场函数的导数保持连续，还可以是场函数的法向分量保持连续。这样，工程实际中遇到 的非常复杂的结构和构造都可以离散为由单元组合体表示的有限元模型。 ( 2 ) 建立于严格理论基础上的可靠性。因为用于建立有限元方程的变分原理或加权 余量法在数学上已证明是微分方程和边界条件的等效积分形式。只要原问题的数学模型 是正确的，同时用来求解有限元方程的算法是稳定、可靠的，则随着单元数量的增加， 即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度数目的增加及插值函数阶次的提高，有限元解 的近似程度将不断地被改进。 ( 3 ) 适合计算机实现的高效性。由于有限元分析的各个步骤可以表达成规范化的矩 阵形式，最后导致求解方程可以统一为标准的矩阵代数问题，特别适合计算机的编程和 执行，随着计算机软硬件技术的高速发展，以及新的数值计算方法的不断出现，大型复 杂问题的有限元已成为工程技术领域的常规工作。 2 4 弹性力学的理论基础 2 4 1 弹性力学的基本方程 求解一个弹性力学问题时，必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，作出 若干基本假设，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解变的可能： ( 1 ) 假设物体是连续的； ( 2 假设物体是线弹性的： ( 3 煅设物体是均匀的： ( 4 假设物体是各向同性的； ( 5 ) 假设物体的变形( 位移和应变) 是微小的。 金属在材料在发生弹性变形时，应满足以下基本方程组： ( 1 汗衡方程： 毽 山东理工大学硕士学位论文 第二章板壳有限元法的理论基础 平衡方程的矩阵形式为： 入。七f 战 ( 2 ) 几何方程应变位移关系 几何方程的矩阵形式为： 占= 厶 其中厶为微分算子，即 l 。= 嫠 ( 3 ) 物理方程_ 应力应力关系 物理方程的矩阵形式为： ( 2 1 ) ( 2 - 2 ) ( 2 3 ) 盯= d 占 【2 - 4 ) d 为弹性矩阵，它完全取决于弹性体材料的弹性模量e 和泊桑比y ( 4 ) 弹性体的应变能和余能 7 ， 单位体积的应变能( 应变能密度) 为： 啦) = 三o ( 2 - 5 ) 单位体积的余能( 余能密度) 为： 矿口：叮t c 口 2 2 4 2 弹性力学的边界条件和圣维南定理 ( 2 6 ) ( 1 ) 边界条件 如图2 1 对于三维问题的某一部分或某一点边界，几个方向( n - 1 ，或2 ) 的力是 给定的，而另外( 3 一n ) 个方向的位移是给定的，满足：品u 鲈= s 此处s ，s u ，s f 的意思不只是指物体表面上个电，还指各点的三个方向( 对于三维 空间) 。 9 山东理工大学硕士学位论文第二章板壳有限元法的理论基础 f i 图2 1 边界条件 1 ) 力的边界条件 弹性体在边界上单位面积的内力为瓦，弓，在边界s 。上已知弹性体单位面积上的 作用力，则边界上弹性体的内力为： r 工= ，z 工仃工+ 疗y f 弦+ 刀z f 荔 矩阵形式为 其中 r y2 刀工f 拶+ 刀y 仃y + 丹z f 秒 ( 2 7 ) tz 2n x f x y + n y o y + n z 下秽 2 ) 几何边界条件 在s i i 上弹性体的位移已知云，；， ”= 甜 矩阵形式为： 丁= 于 ( 在s i 上) ，+ ”一。( 2 8 ) 丁= 拧仃 w ，即有 1 ，= 1 ，w = w ( 2 9 ) ( 2 - 1 0 ) 甜= 甜 ( 在s i i 上) 3 ) 混合边界条件 在同一部分边界上还可能出现混合条件，即两个边界条件中的一个是位移边界条 件，另一个是力边界条件，这样必须同时处理。 l o 山东理工大学硕士学位论文第二苹板壳有限兀法的理论基础 ( 2 ) 圣维南原理 圣维南原理指出：有作用在物体局部表面上的自平衡力系( 即合力与合力距为零的 力系) ，所引起的应变，在远离作用区( 距离远大于该局部作用区的线性尺寸) 的地方 可以忽略不计。圣维南原理的另一种提法是：若把作用在物体局部表面的外力，用另一 组与它等效的力系来代替，则这种等效处理对物体内部应力应变状态的影响将随远离 作用区的距离增加而迅速衰减。上述两种提法完全是等效的。必须注意：只有当力的作 用区域比物体的最小尺寸还小的条件下，才可以使用圣维南原理；当三维实心体受局部 自平衡力系作用时，影响区的尺寸和和自平衡力系作用区的尺寸等量级。 2 4 3 平衡方程和几何方程的等效积分“弱 形式一虚功原理 变形体的虚功原理可以叙述如下：变形体中满足平衡的力系在任意满足协调条件的 变形所做的虚功为零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和为零。虚功原理可以表述为 虚位移原理和虚应力原理。 ( 1 ) 虚位移原理 虚位移原理的力学意义是：如果力系是平衡的，则他们在虚位移和虚应变上所做的 功之和为零；反之，如果力系在虚位移( 即虚应变) 上所做功之和等于零，则它们一定 满足平衡方程。其矩阵形式是： 豇曲r 盯一出r 7 砂一伽r 弧= o ( 2 - 1 1 ) ( 2 ) 虚应力原理 虚应力原理的力学意义是：如果位移是协调的( 即在内部满足几何方程，在给定的 位移边界s i i 等于给定位移) ，则虚应力( 在内部满足平衡方程，在给定外力边界s i i 上 也满足力的边界条件) 和虚边界约束反力在它们上面所做之功的总和为零。反之，如果 上述力系在它们上面所做之功的和为零，则它们一定是满足协调的。其矩阵表达形式 是： 扣r 椰一舻r 勰= o ( 2 - 1 2 ) 2 4 4 线弹性力学的变分原理 ( 1 ) 最小位能原理 最小位能原理是建立在虚功位移原理出发的，虚功位移的表达式是 山乐理工大掌坝士字位论又第二荦极霓碉限兀法的理论基础 ( 嘞一批万矽y l 机私= o ( 2 - 1 3 ) 其中的应力张量利用弹性力学物理方程= 代入则可得到： 豇瑟d 彬一出，万砂一l 抛。私= o ( 2 1 4 ) 因为是对称张量，利用单位体积应变能公式 u ( ) = 寺勖。1 ( 2 1 5 ) 则有 ( 嘞) 叫三勺钿) 一= 删) 在弹性力学中，假定体积力和边界力的大小和方向都是不变的， 矽( 约) 和缈( ) 导出，则有 一却( 约) = z 砒一印( ) = 正批 ( 2 一1 6 ) 即可有位势函数 ( 2 - 1 7 ) 通过计算还可得到： 万刀口= o 一 ( 2 - 1 8 ) 其中 艿仃p = 口，( ) = j ：，妙( 气) + 痧( 蚝) p y + l 沙( ) 勰 r = 聘白一再，) d y l 动，落 、。 。| ，( 2 1 9 ) 口。是系统的总位能，它是弹性体变形位能和外力位能之和。式( 2 - 1 9 ) 表明：在所 有区域内满足几何关系，在边界上满足给定条件的可能位移中，真实位移使系统的总位 能取驻值，且真实位移使系统总位能取最小值。 ( 2 ) 最小余能原理 最小余能原理是建立在虚应力原理基础上的，其推导过程与最小位能原理相同 表达式如下： 万刀。= 0( 2 - 2 0 ) 其中 万刀c = 仉( 嘞) = 肜( ) + 痧( ) p y l 乃乙，勰 = 硅c 狮乃一l 正袖 1 2 f 、# e ( 2 2 1 ) 山东理工大学硕士学位论文第二章板壳有限元法的理论基础 它是弹性体余能和外力余能之和，即系统的总余能。式( 2 - 2 1 ) 表明，在所有弹性体 内满足平衡方程，在边界上满足力的边界条件的可能应力中，真实的应力使系统的总余 能取驻值，且真实位移使系统总位能取最小值。 最小位能原理求得位移近似解的弹性能是真实解变性能的下界，最小余能原理求得 应力的近似解的弹性余能是真实解的上界。 2 5 有限元方程组 2 5 1 弹性连续体的离散 离散化就是把弹性连续体分割成有有限个单元组合的几何体。这些单元仅仅在节点 处连接，单元之间的载荷也仅仅由节点传递。选择何种类型的单元一般要求考虑结果的 精度又要考虑数学处理上的方便。分析本课题研究对象是薄板单元，三角形单元可以较 好的模拟边界形状比较复杂的板，而四边形单元又具有比较高的精度，所以将其离散为 三节点三角形单元，四节点四边形薄板单元【1 7 1 。 2 5 2 单元位移模式和刚度矩阵 选择合适的位移函数是有限元分析的关键，它将决定有限元解答的性质与近似程 度，所以它的选择应遵循一定的准则。 ( 1 ) 三角形单元位移模式及刚度矩阵 1 ) 节点位移向量和节点力向量 从任意板中取出的三角形单元，如图2 2 所示。三个节点9 个位移分量为： 豁广：缸芦沁 rk 罗罗 ( 2 - 2 2 ) 其中， 塾y = b 气 = p ( 詈 ，一_ ( 豢) ，) rc 两，l m ) + 3 ， 1 3 z 对应的节点力向量为： 其中 图2 2 节点位移和节点力 伊y ：k e ) r 帆) r 蛾) r r ( 2 2 4 ) 扩y = 以8 蛾嵋y( 商，j ，m ) ( 2 2 5 ) 2 ) 单元位移模式 三角形单元共有9 个位移分量。采用面积坐标，三角形单元的位移函数为： 国：口l 三l + 口l 三i + 口1 厶+ 口。q 笔三l + ( i 丑l 岛厶3 ) + + 胡储三3 + c z l 三2 厶) ) ( 2 - 2 6 ) 式中的a l ，a 2 ，a 9 为待定常数。 式( 2 - 2 6 ) 中c b l 尼，以节点的坐标代入其中以及它的导数表达式，可得各个节点 1 4 山东理工大学硕士学位论文 第二章板壳有限元法的理论基础 的转角位移： 最后求得位移函数 式中的【】即为形函数，且 3 ) 单元刚度矩阵和载荷移置7 单元形变矩阵为 式中陋】为应变矩阵： 单元内力矩阵为： 单元刚度矩阵为： a 缈 以2 瓦 。 劫 0 2 面 国= 【凇y 【】= l “i 3 卫 【，】= k m m j( 两，j ，m ) 冬y = 陋淞y 吲= 峪h 慨1 | 缸) = p p 淞y ( 2 - 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) ( 2 _ 3 0 ) ( 2 - 3 1 ) ( 2 3 2 ) 陬如k 拥1 毗川时帅卜匕麓j t ( 2 3 3 ) l 足棚置阿k 。i 当单元作用有非节点载荷，按照静力等效原则将非节点载荷移置到单元节点上，称 为等效节点载荷： 尸 。= 互乃扛乙7 b 7 西2 i 仰厂 7 ( 2 3 4 ) 当单元节点有均布载荷时，由虚功原理可得： ”= 【】r g 。螂 1 5 ( 2 _ 3 5 ) 山东理工大学硕士学位论文第二章板壳有限元法的理论基础 ( 2 ) 四边形单元位移模式及刚度矩阵 1 ) 节点位移向量和节点力向量 8 9 ，j崂 图2 3 板单元定义。 如图2 3 所示，设单元x 方向为2 a ，y 方向为2 b ，矩形薄板单元的位移向量为： k ) = b 钆 r = 文铆剀7 ( 引p ? i ( 2 与单元节点位移分量相对应的节点力和节点力矩分量如图2 3 所示， 向量为： 扩y ：酝e y 砖y 慨罗砖罗j 其中： 矿y = 以。峨崂 ( 确，j ，m ，p ) 为单元中任意一点的节点力向量。 建立无因次局部坐标如图2 3 所示，通过坐标变换为： z = 埘垆蜘嘲舻半舻半 2 ) 单元位移函数 薄板单元的变形状态完全由板中面的横向位移( 挠度) 决定的。这样， 薄板的应力应变分量。单元的挠度函数为： 彩= 【淞 、 式中，【】为形函数矩阵： 1 6 单元节点力 ( 2 - 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 - 3 9 ) 就可以求出 山东理工大学硕士学位论文第二章板壳有限元法的理论基础 【】- 队“帆“j l ( 2 _ 4 1 ) 板单元所选取的位移函数不能完全满足单元之间的位移连续条件，因此它是非协调 单元。 3 ) 单元应变矩阵和内力矩阵 单元的形变矩阵为： 备 = 陋】豁y( 2 4 2 ) 式中l b l 为应变矩阵，反映了单元形变与单元节点位移之间的关系： 陋】= 峪，p jp 肘p ，j j ( 2 - 4 3 ) 单元的内力矩阵为： 吼2 笙掣书驴h k h j l ( 2 刑) = 黔，b j p 。b p 卫 u 峭j 4 ) 单元刚度矩阵 单元刚度方程可以由虚功方程导出： k r = 陋】r p p k 咖 ( 2 4 5 ) 5 ) 非节点载荷的移置 设薄板表面受有法向分布载荷g g ，y ) 时，单元节点载荷矩阵为： 伽y = r f g g ，y 加r - 6 姗 ( 2 舶) 2 s 3 有限元方程的求解 在对结构进行了离散、分析单元特性、整体和总装成整体刚度矩阵之后，就可以求 解方程，以求得相应的解。在线弹性范围内，求解线性方程组主要由直接解法和迭代解 法两种。 ( 1 ) 直接求解法 直接求解法就是利用矩阵的稀疏性和对称性将其分解为几个子矩阵，它们的结构等 于原始矩阵，然后通过简单地返回置换获得矢量。根据系数存储方法又分为轮廓存储的 直接法和稀疏存储的直接法。轮廓存储法存储刚度矩阵带宽范围的所有项，而稀疏存储 1 7 山东理工大学硕士学位论文第二章板壳有限元法的理论基础 法只存储刚度矩阵的非零项，对于较稀疏的地系统，稀疏存储法可以节省大量的内存和 计算时间。轮廓存储的直接求解法适用于处理对称非对称、正定月乍正定、实数复数矩 阵，稀疏存储的直接法只能求解实对称问题。直接法是以高斯消去法为基础的，求解效 率高。在方程数不是特别高的情况下，通常采用直接法。当方程阶数过高时，由于计算 机有效位数的限制，直接法中的舍入误差、校验中有效数的损失等将会影响方程的求解 精度，此时可采用迭代法。 ( 2 ) 迭代法 迭代法是引入假设解后迭代直到达到平衡位置，它是基于共轭梯度法的代数方程组 求解方法，无需系数矩阵运算，通过误差准则控制迭代的收敛性。根据系数矩阵存储方 法的不同，又分为逐个单元的迭代法和稀疏迭代求解。逐个单元的迭代求解无需集成总 刚，可处理实数对称非正定矩阵，特别适用于多自由度问题。系数迭代是只存储非零元 素的迭代解法，可处理实数对称非对称矩阵运算。迭代法有减少存储空间的优点，特 别适合于大型问题的求解。 2 6 本章小结 本章对有限元方法的基本思想和特性详细地进行了阐述，介绍了板壳有限元的相 关知识，阐述了弹性有限元理论基础，给出了弹性材料的基本假设及力学基本方程，叙 述了线弹性有限元基本原理及求解过程，以及在结构分析中的应用。 1 8 山东理工大学硕士学位论文第三章a n s y s 软件的应用 3 1a n s y s 软件简介 第三章a n s y s 软件的应用 有限元方法是上世纪6 0 年代发展起来的一种数值计算方法，最初用于航空航天等 领域，成为力学分析的强有力工具。随着电子计算机技术的不断发展，各种大型通用的 有限元软件应运而生，当今主流的有限元软件有德国的a s k a 、英国的p 朋琨c 、法国 的s y s t u s 、美国的a b ( s 、a d d 渔、a n s y s 、b e r s a f e 、b o s o r 、c o s m o s 、 e l a s 、m _ 6 戚和s 旺 等公司的产品。由美国a n s y s 公司开发的a n s y s 大 型通用有限元软件，经过三十余年的发展，已经成长为业界最流行的分析软件之一。它 可在大多数计算机及操作系统上运行，它的文件可在其所有的产品系列和工作平台上兼 容，在p c 机上生成的模型同样可运行于巨型机上。 下面分几个方面对砧娼y s 进行介绍： ( 1 ) 用户界面一a n s y s 程序功能强大，涉及范围广，其图形用户界面( g ) 友好、 程序构架易学易用； ( 2 ) 图形一完全交互式图形己成为砧临y s 程序中不可分割的组成部分，图形对于校 验前处理数据和在后处理中检查求解结果都是非常重要的： ( 3 ) 处理器按不同的功能可将a n s y s 分为若干个处理器：一个前处理器、一个求 解器、两个后处理器以及几个辅助处理器( 如设计优化器) 。a n s y s 前处理器用于生成 有限元模型，指定随后求解中所需的选择项；a n s y s 求解器用于施加载荷及边界条 件，然后完成求解运算；a n s y s 后处理器用于获取并检查求解结果，从而对模型做出 评价，进而进行其它感兴趣的计算； ( 4 ) 数据库一a n s y s 程序使用统一的集中式数据库来存贮所有模型数据及求解结 果。模型数据通过前处理器写入数据库；载荷和求解结果通过求解器写入数据库；后处 理结果通过后处理器写入数据库。数据一旦通过某一处理器写入数据库中，即可被其它 处理器使用。例如，通用后处理器不仅能读取求解数据，而且能读取模型数据，然后利 用它们进行后处理计算； ( 5 ) 文件格式一文件可用于将数据从程序的某一部分传输到另一部分、存贮数据库 1 9 山东理工大学硕士学位论文第三章a n s y s 软件的应用 以及存贮程序输出。a n s y s 文件包括数据库文件、计算结果文件、图形文件等等。程 序生成的文件或者是a s c 豇格式或者是二进制格式。在缺省设置下，a n s y s 程序生成 外部格式( e e 标准) 的二进制文件，该格式允许在不同硬件系统中移置。例如，当某 一用户在某一计算机系统中生成模型几何数据后，该数据可方便地传输给另一系统中的 另一个a n s y s 用户。 3 2a n s y s 的特点 a n s y s 在有限元分析软件中具有领先地位，主要是因为它具有下列特点： ( 1 ) 唯一能够实现多场及多场耦合分析功能的软件，可以进行结构、热、流体流 动、电磁等的单独研究或者它们之间相互影响的研究； ( 2 ) 唯一实现前后处理、求解及多场分析统一数据库的一体化大型有限元分析软 件： ( 3 ) 唯一具有多物理场优化功能的有限元分析软件； ( 4 ) 有强大的非线性分析功能； ( 5 ) 多种求解器分别适用于不同问题及不同的硬件配置： ( 6 ) 支持从微机、工作站到巨型机，以及所有平台之间的并行计算； ( 7 ) 支持异种、异构平台的网络浮动，在异种、异构平台上用户界面统一、数据文 件全部兼容； ( 8 ) 多种自动网格划分技术； ( 9 ) 可与大多数a m 软件集成并有接口； ( 1 0 ) 良好的用户开发环境，综合应用菜单、对话框、工具条、命令行输入、图形化 输出等多种方式，使应用更加方便。 3 3 砧峪y s 的分析步骤及过程 3 3 1a n s 、得的分析步骤 有限元方法是在离散化的模型上求解，将复杂的连续弹性体上分析的问题转化为在 山东理工大学硕士学位论文第三章a n s y s 软件的应用 离散化的模型上解一个多元代数方程。有限元方法的求解过程简单，方法成熟，避免了 人工在连续体上求分析解的数学困难，这就是有限单元法广泛应用于复杂结构力学分析 的原因。 有限单元法就是根据现实对象的实际结构建立起几何模型或利用a d 软件强大的 几何建模功能及o o 功能与有限元软件良好的数据交换功能，将三维模型离散化，并 将结构体所受实际载荷分别作用到各单元体上，最后求出各单元体节点力和位移。 结构分析是有限元分析方法最常用的一个应用领域，绝大多数a n s y s 都可用于结 构分析。有限元法的分析过程非常程式化，整个分析过程均可由计算机实现，它的一般 过程是： ( 1 ) 明确分析对象和分析目的：有限元分析必须明确分析的对象和分析目的，必须 抓住主要矛盾