（信号与信息处理专业论文）基于gabor变换的特征提取及其应用.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 萏圣歪日期：趔睾缅签旦 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：醛至爱j 导师签名：垒! 1 日 期：趔豳丛旦 山东大学硕士学位论文 摘要 时频分析是信号处理中的重要手段之一g a b o r 变换，又称短时或加窗f o u r i e r 变换，克服了传统f o u r i e r 变换在频域内无任何时域分辨力的缺陷，体现了信号的 联合时频分析特性。在h e i s e n b e r g 测不准原理下，它被证明具有最优的联合时频 分辨率。同时，通过对人的感知系统的生理学特性研究表明，二维g a b o r 基函数 能够很好的描述哺乳动物初级视觉系统中大多数简单视觉神经元的感受野特性 本文的目的是通过对图像信号进行基于g a b o r 变换的时频分析，开展特征提取方 面的相关技术研究 本文工作的贡献体现在：1 ) 从时频分析角度出发，对g a b o r 变换在二维的联 合空间频率域的特性进行了分析。对其在掌纹识别方面的特征提取做了一定的尝 试，利用其联合空间频率域的能量分布作为特征，得到较好的识别效果；同时还 采用了传统的两通道小波和三通道小波来进行掌纹的低频特征提取，并使用支持 向量机进行分类识别，得到很好的识别效果；2 ) 利用具有多尺度、多方向优势的 g a b o r 小波进行纹理图像检索，采用多个尺度，多个方向的g a b o r 滤波器提取纹 理图像的尺度、方向的特征，得到较好的检索效果。 本文主要包括以下几部分内容： 介绍了复数g a b o r 变换的基本概念，其中包括临界采样和过采样的复数g a b o r 变换，为了提高运算速度，我们采用了运算速度较快的实数g a b o r 变换通过分 析实数g a b o r 变换和复数g a b o r 变换之间的关系，得出：复数g a b o r 变换系数可 以由实数g a b o r 变换系数计算得到，且实数g a b o r 变换和复数g a b o r 变换一样具 有联合时频域局部最优的特点，所以我们决定采用运算速度更快的实数o a b o r 变 抉鉴于以多尺度和多方向著称的g a b o r 小波的广泛使用，我们介绍了g a b o r 小 波的基本概念，并详细讲述了它的特点，为g a b o r 小波的使用提供了理论基础。 简要回顾了掌纹识别的发展历程。掌纹识别作为一种重要的生物特征识别方 法，其中的一个重要环节就是掌纹特征的提取基于图像的复数g a b o r 变换系数 在联合空间频率域的特点，因为实数g a b o r 变换和复数g a b o r 变换一样具有局部 最优的特点，本文提出了一种利用实数g a b o r 变换提取掌纹能量特征的方法，并 以此为基础采用欧式距离进行不同掌纹的匹配识别，方法简单而有效然后，还 山东大学硕士学位论文 使用传统的两通道小波变换和三通道小波变换提取掌纹图像的低频特征，使用支 持向量机进行匹配识别，也得到了很好的识别效果。 然后简要介绍了纹理图像检索的发展历程，对具有周期性和方向性特点的纹 理图像，采用了具有多尺度和多方向优势的g a b o r 小波，提取纹理图像不同尺度 和不同方向的特征，选取其均值和方差组成特征向量，使用加权距离进行纹理图 像的检索，得到了很好的实验结果。 2 关键词：g - a b o r 变换；g a b o r 小波；掌纹；支持向量机；图像检索 当奎奎兰至圭耋堡篁塞 a b s t r a c t t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i si sm 砖o f m o s ti m p o r t a n tt o o l sf o rs i g n a lp r o c e s s i n g ( 3 a b o r t r a n s f o r m , w h i c hi sa l s on a m e db ys h o r t - t i m ef o u r i e rt r a n s f o r mo rw i n d o w e d f o u r i e rt r a n s f o r m , s h o w st h ej o i n tt i m e - f r e q u e n c yp r o p e r t yo fs i g n a la n a l y s i sa n d o v e r c o m e st h es h o r t c o m i n g so f t r a d i t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mw h i c hf a i l st op r e s e n ta n y t i n l ed i s c r i m i n a t i o na b i i i t yi nf r e q u e n c yd o m a i n u n d e rh e i s e n b e r g si j n e e r t a i n t y l r i n e i p l e , i th a sb e e np r o v e dt h a ti th a so p t i m a lj o i n tt i m e - f r e q u e n c yr e s o l u t i o n b a s e d o nt l 埒s t u d i e so i lt h ep h y s i o l o g yo fm a m m a lp e r c e p t i o ns y s t e m , i th a sb e e ns h o w n t h a t 2 - dc _ l a b o l re l e m e n t a r yf t m e t i o nc a l lf i tw e l lt h er c c e p t i l c ef i e l d so ft h em a j o r i t yo f s i m p l ec e l l si nn l a m n l a lv i s u a lc o f t e 墨a l lw o r k sp r e s e n t e di nt h ed i s s e r t a t i o na 埔t o c o n d u c tp a t e n ld e t e c t i o nl 屯l a t e dr e s e a r c h e sb yn l e a l l so fg a b o rt r a n s f o r mb a s e dj o i n t t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s 1 1 砖m a i nc o n t r i b u t i o no f t h ed i s s e r t a t i o ni sa sf o l l o w s ： 1 ) f r o mt h ev i e wo ft i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s ，t h ep r o p e r t yo f2 - dg a b o r t r a n s f o r mi sa n a l y l , , d w eu s e di t se n e r g yd i s t r i b u t i o ni nt i m e - f r e q u e n c y d o m a i nt oi ：x t r d l c tp a l m p r i n t sf e a t u r ea n do b t a i n e db e t t e rr e c o g n i t i o nr a t e a s a n o t h e rm e t h o d , 啪u s e dt w o - c h a n n e lw a v e l e ta n dt h r e e - c h a n n e lw a v e l e tt o a 吐r a c t p a l m p r i n t sl o w - p r e q u e n e ye n e r g y a s0 1 1 1 1 f e a t u r e , u s e ds v mt o r e e o s n i a z e ，w eo b t a i n e dg o o dr e c o g n i t i o nr a t ef i m l l y 2 ) u s e dg a b o rw a v e l e tt o 传嫡州t e x t u r ei m a g e s w eu s e d ( 3 a b o rf i l t e r 砌t l l s e v e r a ls e a l e sa n dd i r l 蜘o n st oe x - l r a c ft e x t u r ei l l l a g e sf e a t u r e , a n do b t a i n e d g o o dt e l l r i e - 1 ，；er a t e n 壕m a i nw o r ki n e l u d e s ： i n l r o d t l l c et h ed e f i n i l i o no fc o m p l e xg a b o rt r a n s f o r m , i n c l u d i n gc r i t i c a l - s a m p l ea n d e x c e s s i v e - s a m p l ec o m p l e xg a b o rt r a n s f o r m i no l d e rt oc o m p u t ef a s t , w eu s e dr e a l d i s c r e t e ( 3 a b o rt r a n s f o r mi n s t e a do fc o m p l e xd i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r m w ef o u n d t h a tc o m p l e xd i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r mc o e f f i c i e n tc o u l db eo b t a i n e db yr e a ld i s c r e t e 3 山东大学硕士学位论文 g a b o rt r a n s f o r mc o e f f i c i e n tb ya n a l y z i n gt h e i rr e l a t i o n s h i p w ea l s oi n t r o d u c eg a b o r w a v e l e ta n da n a l y z ei t sp r o p e r t y , s u p p l y i n gt h e o r yb a s i s w el o o kb a c kt h eh i s t o r yo fp a l m p r i n tr e c o g n i t i o n p a l m p r i n tr e c o g n i t i o n , a sa l l i m p o r t a n tb i o m e t r i cm e t h o d ，o l l eo ft h em o s ti m p o r t a n tp a r t so fi ti st h ef e a t u r e e x t r a c t i o n h e r ean e wm e t h o dw a sp r o p o s e dt oe x t r a c tt h ep a l m p r i n te n e r g y d i s t r i b u t i o nf e a t u r ei nt i m e - f r e q u e n c yd o m a i nu s i n gr e a ld i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r m f i n a j l yw em a caf e a t u r em a t c hb a s e do nt h i s t l l i si sas i m p l ea n de f f e c t i v em e t h o d a sa n o t h e rm e t h o d ，w eu s e dt w o - c h a n n e lw a v e l e ta n dt h r e e - c h a n n e lw a v e l e tt oe x t r a c t p a l m p r i n t sl o w - f r e q u e n c ye n e r g yf e a t u r e ，a l s oo b t a i l l e dg o o dr e c o g n i t i o nr a g e 1 1 砖l a s tp a r ti sr e t r i e v a lo ft e x t u r ei m a g e f i r s t w ei n t r o d u c ei t sr e s e a r c hh i s t o r y b e c a u s eo ft e x t u r ei m a g e sp e d o d i c i t ya n dd i r e c t i o n , w eu s eg a b o rw a v e l e tw i t h s e v e r a | s c a l e sa n dd i r e c t i o n st oa 【n 硼i m a g e sp e r i o d i c i t ya n dd i r t i f e a t u r e ，s e l e c t i t se q u a la n dd i f f e r e n c et oc o m p o s ef e a t u r ev e c t o r , a sar e s u l t , w eo b t , a i ng o o d e x p e d m e n tr e s u l t s k e y w o r d s ：g a b o rt r a n s f o r m ；g a b o rw a v e l e t ；p a l m p r i n gs u p p o r tv e c t o rm a c h i n e ； i m a g er e t r i e v a l 4 山东大学硕士学位论文 p ( 七) s 1 1 吓 g a b o r 变换系数 k r o n e c k e r8 函数 符号说明 ( 埘，m 阶g a b o r 基函数 暑。( ，) 的辅助函数 复谱图在网格点伽l q ) 的取值 z a k 变换 块h a n k e l 矩阵 时间采样间隔 频率采样间隔 l - l a r t l e y 函数 重建的图象 取复数的实部算子 取复数的虚部算子 时宽 带宽 时间分辨率 频率分辨率 调制正弦函数的复频率 二维g a b o r 小波的方向 二维g a b o r 小波的波长 高斯白噪声的标准差 联合空间频率能量 s h o r tt u n ef o u r i e rt r a n s f o r m 短时傅里叶变换 l 屯 删 删 厶冰吞 埘肼删k h c e&脚口a 山东大学硕士学位论文 f f t r d g t c d g t d h t s v m d 、 吓 t 、 厂r 6 f a s tf o u r i e rt r a n s f o r i l l r e a ld i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r r n c o m l e xd i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r m d i s c r e t eh a r t l e yt r a m f o r i l l s u p p o r tv e c t o rm a c h i n e d i s c r e t e 肠y e l e tt r a n s f o r m t h r e e - c h a n n e lw a v e l e tt r a n s f o r m 快速傅立叶变换 实数形式离散g a b o r 变换 复数形式离散g a b o r 变换 离散h a r t l e y 变换 支持向量机 离散小波变换 三通道小波变换 1 1 引言 第1 章绪论 分析和处理平稳信号的最常用也是最主要的方法是f o u r i e r 变换。f o u r i e r 变换建 立了信号从时域到频域的变换桥梁，而f o u r i e r 反变换则建立了信号从频域到时域 的变换桥梁，这两个域之间的变换为一对一映射，时域和频域构成了观察一个信 号的两种方式。f o u r i e r 变换是在整体上将信号分解为不同的频率分量，而缺乏局 域性信息，即它并不能告诉我们某种频率分量发生在哪些时间内，而这对非平稳 信号是十分重要的。与f o u r i e r 变换相关的傅氏谱、能量谱及功率谱都是信号变换 到频域的一种表示，对于频谱不随时间变化的确定性信号与平稳信号，都可用它 们进行分析和处理。但当信号的频率随时间变化时，如人的语音信号与脑电信号 ( e e o ) 、通过时变信道传输的信号及非平稳信号等，频域表示法就存在严重的不足， 因为它不能表示某个时刻信号频谱分布的情况针对频谱随时问变化的非确定性 信号与非平稳信号，人们开始研究联合时频分析( 简称时频分析) 方法，它将一个一 维的时间信号以二维的时间频率密度函数形式表示出来，从而揭示信号中包含了 多少频率分量，以及每一分量是怎样随时间变化的。 例如，对于一个时域信号叫力，它的定义如下式 i s h i ( w l 以) ，0 一s 川一l x ( n ) = s i n ( w 2 n ) ，i 拧2 1( 1 1 ) 【s i n ( w 3 刀) ， ，2 ，l n - i 其中， 2 l ，w 3 w 2 m 其时、频和时频分析如图( 1 1 ) 所示，时域信号见1 1 a ，频谱分析见1 1 b ， 时频分析见1 1 c 对于给定的信号“帕，由定义或时域波形( 图1 1 a ) 我们知道，它由不同时 间段不同频率的信号组成；采用传统的f o u r i e r 分析得到图1 1 b ，我们仅仅分析出 该信号由3 个频率分量组成，但是无法给出哪个频率出现在什么时间：但是采用 时频分析的方法我们可以很容易看出( 图1 i c ) ，3 个频率分量分别出现在什么时 7 山东大学硕士学位论文 间段内。这就是时频分析的优点所在。 1 1 a 信号的时域表示 1 1 b 信号的频域表示 1 1 c 信号的时频域表示 图1 1 信号的时域、频域和时频域表示 1 2g a b o r 变换的基本原理 针对非平稳信号的研究工作最早是从二十世纪四十年代开始的。1 9 4 6 年， g a b o r 在他那篇题为“通信理论”的经典论文中强调指出；。迄今为止，通信理论 的基础一直都是由信号分析的两种方法组成的：一种将信号描述成时间的函数， 另一种将信号描述成频率的函数( f o u r i e r 9 析) ，这两种方法都是理想化的然而， 我们每一天的经历特别是我们的听觉，却一直是用时问和频率两者来描述信 号的” 正是在这一思想下他提出了著名的g a b o r 变换( 也称加窗f o u r i e r 变换或短时 f o u r i e r 变换) ，o a b o r 变换继承了f o u r i e r 变换所具有的“信号频谱”这样的物理解 释，同时克服f o u r i o r 变换只能反映信号的整体特征而对信号的局部特性没有任何 分析能力的缺陷，为信号处理提供了一个新的分析和处理工具，即信号的联合时 l 山东大学硕士学位论文 频分析。 g a b o r 变换在分析数字图像中局部区域的频率和方向信息方面具有优异的性 能，即它能做到时域信号的局部化。g a b o r 函数可在空间域和频率域中同时进行测 量，并且在这两种域中都是局部的变换，具有明显的方向选择特性和频率选择特 性。因此，在计算机视觉和图像分析等领域得到广泛的应用。 1 - 3g a b o r 变换的应用领域 o a b o r 变换的应用领域很广泛。一维的g a b o r 变换常用于暂态信号检测、时频 分析等。自1 9 7 8 年，g r u a n d 等首次把= 维o a b o r 变换引入到计算机视觉中以来，基 于c , a b o r 变换的时频分析理论得到了深入而广泛的研究，其在计算机视觉领域中的 应用也得到了不断发展每年在与计算机视觉有关的许多国际会议( 如 c v p r , e c c v ，i c c v , i c i p ，i c p r 等) 及国际杂志( i e e ei r o n o n p a m i , i e e e t r a n o n i m a g ep r o c e s s i n g , i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fc o m p u t e rv i s i o n , i m a g ea n dv i s i o n c o m p u t i n g , p a t t e r nr e c o g n i t i o n 等) 上都有大量的与基于o a b o r 变换的时频分析理论 及其应用有关的文章发表。例如：图像分析与压缩，图像分割、图像变换编码， 纹理图像检索、指纹识别、人脸识别、手写汉字识别、纸张计算等。 1 4 论文选题背景及意义 人类认识自然界的耳的是为了更好的改造自然界、适应自然界。而人类认识 自然界的源泉来源于人类对自然界的观察俗语“百闻不如一见”、。眼见为实” 表明了人类视觉在观察自然界中所处的独特地位。科学研究和统计表明，人类从 外界获得的信息约有8 0 是通过人类的视觉来获得的。随着信号处理理论及计算机 技术的发展，如何利用计算机代替人类视觉实现对客观世界的观察，即如何利用 计算机对图像信号进行类似于人类视觉的信息处理过程，是当前信息领域的一个 热门研究课题。 模式检测是计算机视觉研究的一个重要任务。它的目的是在给定的输入场景 中实现对待检测模式的定位其应用领域包括诸如视觉导航与定位、目标跟踪与 识别、图像检索、医学图像配准、工件的组装及定位等方面。从对待检测模式的 先验知识的角度来看，模式检测可分为基于学习与非学习两种方式。前者包括我 9 山东大学硕士学位论文 们通常所说的目标检测( 如人脸检测、车辆检测等) 以及变化检测( 如遥感图像的变 化检测) 其中，实现目标检测任务的关键在于如何通过对样本模型的学习得到一 个对目标类的有效描述以及如何通过学习设计一个高效的分类器。在基于非学习 的模式检测方面，边缘及角点等基元的提取在m a r t 的视觉理论中占有重要的地位， 通常被认为是进行高层模式识别的基础。此外，基于非学习的模式检测还包括基 于单模型的目标匹配，此时待检测的目标由单一模型给出。通常来说，高效与鲁 棒性是目标匹配方法所追求的目标，噪声、旋转、尺度、遮挡和光照等变化对算 法的影响是目标匹配所要解决的主要问题。 我们知道，在图像处理中图像信息是以信号的形式存在的。时频分析理论一 直以来是信号处理领域的重要手段之一。作为最早的时频分析工具，f o u r i e r 变换 一直被认为是信号处理中最完美、应用最广泛、效果最好的一种分析工具，它建 立了信号从时域到频域的桥梁。基于f o u r i e r 变换的信号频域表示及其能量的频域 分布揭示了信号在频域的特征。但是，f o u r i e r 变换是一种整体变换，即对信号的 表征要么完全在时域，要么完全在频域，即它并不能告诉我们其中某种频域分量 出现在什么时候及其变化情况。这也曝露了其在分析非平稳信号时的局限性。为 克服f o u r i e r 变换的上述局限性，d g a b o r 名e 1 9 4 6 年提出了以他名字命名的g a b o r 变 换( 又称短时f o 删e r 变换或加窗f o u e r 变换) 来获取局部时间范围的频域特征。它 体现了信号的联合时频分析特性，并被证明在h e i s e n g b e r g 獭l 不准原理下具有最优 的联合时频分辨率。j o n c s 和p a i m 及d a u g m a n 的研究表明，二维g a b o r 基函数能够很 好的描述哺乳动物初级视觉系统中一对简单视觉神经元的感受野特性，这也为其 在图像处理中的应用奠定了理论基础。在一定条件下，g a b o r 变换的多分辨分析即 为g a b o r j , 波变换，但由于g a b o r 变换的方向特性。此时的g a b o r t b 波变换为具有方 向的小波变换 本文的研究得到了教育部留学启动基金的支持。目的是通过对图像信号进行 基于o a b o r 变换的时频分析，开展模式检测方面的相关技术研究 1 5 本文结构安排 本文在分析g a b o r 变换和g a b o r d , 波的基础上，分别对掌纹识别和纹理图像检 索使用实数g a b o r 变换和g a b o r d 、波来提取其特征，并使用欧式距离、支持向量机 山东大学硕士学位论文 和加权距离来进行分类，最终得到了很好的识别和检索效果。全文共分六章 第一章为绪论，简要介绍了g a b o r 变换和g a b o r d 、波的原理和应用。分析了本 选题的研究意义和来源，指出全文研究内容。 第二章简单介绍了g a b o r 变换和g a b o r j 、波的理论基础，针对复数g a b o r 变换运 算较慢的缺点，我们采用了运算速度较快的实数g a b o r 变换，并分析了实数g a b o r 变换和复数g a b o r 变换之间的关系。 第三章分析了实数g a b o r 变换在掌纹识别中特征提取的方法，并对得到的特征 向量进行比较，使用传统的欧式距离进行匹配，最后给出了识别效果。 第四章给出了两通道和三通道小波变换在掌纹识别中特征提取的方法，对得 到的特征向量进行比较，匹配部分采用了先进的模式识别系统支持向量机， 得到非常满意的实验结果。 第五章介绍了g a b o r , 波在纹理图像检索中的应用，g a b o r b 波在多尺度和多 方向上的优势得到了进一步的展现。 第六章总结了全文。并指出了本工作今后的改进方向。 山东大学硕士学位论文 2 1g a b o r 变换 第2 章g a b o r 变换的理论基础 半个世纪前，g a b o r 1 提出了一种同时用时间和频率表示一个时间函数的方 法，这种方法后来被人们称为g a b o r 展开，而g a b o r 展开系数的积分表示公式则 被称作g a b o r 变换。现在，g a b o r 展开和g a b o r 变换【2 】己被公认是通信和信号处理 中信号表示尤其是图像表示的最好方法之一。g a b o r 展开可以用作非平稳信号的描 述、估计和时变滤波等。 g a b o r 展开中最基本的两个问题是：如何选择g a b o r 基函数和如何计算g a b o r 展开系数( 即如何实现g a b o r 变换) 。基于信号重构的稳定性考虑，g a b o r 变换分 为临界采样和过采样两种情况。g a b o r 变换的计算方法虽然形式不同，但可将它们 分成两大类：解析方法和框架方法解析理论既适用于临界采样。也适用于过采 样的g a b o r 交换的分析；而框架理论仅适合分析过采样的g a b o r 变换。因为在临 界采样情况下不可能构成框架。本文中仅仅讲述g a b o r 变换的解析方法。 2 1 1 临界采样连续g a b o r 变换 1 、连续g a b o r 展开 我们先引出连续g a b o r 展开的概念： 假定( f ，功可以用g ( t ，功作除法，并定义函数a ( t ，功满足下面的关系： ( f ，功= 彳( 国) g 0 ，功 ( 2 1 ) 式中a ( t ，功是t 和国的周期函数( 以r 和q 为周期) ，它和系数构成f o u r i e r 变换对： a ( t ，功= a m p “删 ( 2 2 a ) = 去：2 2 a ( t ，咖“一) 枷 ( 2 2 b ) 我们再定义两组f o u r i e r 变换对： 山东大学硕士学位论文 和 ( r ，0 0 - - 矾t + m r ) e m n _ 砸+ 朋d = 去鲍，脚弦j - - r d w 魄功= g ( t + m t ) e - j w r g ( ，+ 埘d = 五1 巴g ( ，咖m 如 ( 2 3 a ) ( 2 3 b ) ( 2 4 a ) ( 2 4 b ) 将式( 2 1 ) 代入式( 2 3 b ) ，并利用式( 2 2 a ) 和式( 2 2 b ) ，我们有 加+ 枷= 去e 觚c o ) g ( t ，m ) w - 口r d d o = 去圭重e 州m 一圭酏“啦栅砌 注意到 p 一啊一一i 、“d ：5j q 期，2 “1 。_ 式中瓦为k r o n e c k e r 万函数，于是，我们有 砷+ 栅d = a g i t + ( m 。一m ) r 弘肿 或简写为 砷+ 埘乃= g 榭( 仲 - 嘲m , - , o 式中 g 。( ，) 。g ( f 一肿2 帕 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 式( 2 8 ) 称为( 连续) 信号矿( f ) 的连续g a b o r 展开，系数q 。称为g a b o r 展开 系数，而g 。( ，) 习惯上称作( 疗) 阶g a b o r 基函数。 由上面可以看出，g a b o r 展开式将信号展开成平移和调制窗函数的离散集合。 具体说来，连续g a b o r 展开有以下三种形式； 。 ( 1 ) 欠采样g a b o r 展开：t f l 2 ，r ； 山东大学硕士学位论文 ( 2 ) 临界采样g a b o r 展开：丁n = 2 z ； ( 3 ) 过采样g a b o r 展开：丁n 幼会导致数值上不稳定 的g a b o r 展开) 这个条件是关于所采用的时间频率采样网格密度的一个限界，临 界采样f i t = 2 石的速率是稳定的g a b o r 展开所能够允许的最小采样频率。在这一临 界或极端情况下，如果带限信号以最小采样速率采样的话，g a b o r 展开系数的 个数恰好等于原信号的样本个数。即是说，g a b o r 展开系数q 。与信号采样个数正 好匹配，不含冗余度。换一种说法，g a b o r 展开系数是唯一定义的。此时，g a b o r 基函数是线性独立的。 2 1 2 过采样连续g a b o r 变换 上一节详细介绍了临界采样( 即q r = 2 万) 情况下的连续g a b o r 变换，同时也 提到欠采样f 2 t 2 石不具有实际意义，而过采样q r 2 窟采集了更多数据，会使信 号的g a b o r 展开具有一定的冗余性然而，有些实用场合却需要冗余信息，以提 高信号g a b o r 展开的稳健性。 对于过采样，我们令时频网格问隔为五和q ，且q 。五 2 疗 对给定的信号烈，) ，tg 震，仿照l 豳界采样g a b o r 展开，过采样g a b o r 展开也 山东大学硕士学位论文 可用网格点基函数的线性组合定义，即 矿( f ) = q 唧g 删( f ) ( 2 2 1 ) - h _ 式中 g 。( f ) = g r ( f 一朋五沁州、 ( 2 2 2 ) 过采样g a b o r 展开系数q 。也可以利用对偶函数r ( t ) ：j 瑕( 2 1 2 ) 写作 a m = e 删厂( ，一m r , ) e 觚d r = 砷) 厂。( t ) d t ( 2 2 3 ) 这就是过采样g a b o r 变换。和临界采样g a b o r 变换一样，过采样g a b o r 变换的 计算仍然归结为如何根据基函数g ( f ) 确定对偶函数，( ，) 。 过采样g a l 如r 变换的对偶函数，( f ) 与基函数g ( t ) 的关系符合下面的似双正交关 系： ，。( f ) g ( t ) - - 6 ( t - t 。) 可以修正为； g ( f ) 厂( f - m t o ) e - 腻 d t = 五t o 占 最，瓦= 2 ，r ，q t ，哦= 2 万五 ( 2 2 4 ) 过采样情况下信号的完全重构条件为： g ( ，一m t , ) r + ( r 一埘五+ 瓦) = 瓦 ( 2 2 5 ) - - 哪 n 由于式( 2 2 4 ) 右边有个非l 的常数因子相乘，故常把式( 2 2 4 ) 称为似双正 交公式同理，将式( 2 2 5 ) 称为似正交公式 在窗函数g ( ，) 选定的情况下，过采样g a b o r 变换中的核函数，( f ) 并不是由完全 重构条件唯一定义的，这是过采样引来了冗余度的缘故。但是，我们可以得到最 小范数意义下的最优双正交函数，( f ) ，而它是唯一确定的 定义g ( f ) 的z a k 变换为 山东大学硕士学位论文 z 口七【g ( f ) 】= 雪o ，纠= g ( t - k ) e 叫2 “。 ( 2 2 6 ) t 4 则可以证明，g ( t ) 的双正交函数，( f ) 可以计算为 加) = f 志 泣2 7 ) 一旦获得，o ) 后，便可利用式( 2 2 3 ) 直接计算g a b o r 变换。 2 1 3 离散g a b o r 变换 前面两节介绍了连续时间信号的连续g a b o r 展开与连续g a b o r 变换的临界采样 和过采样情况。应用采样定理和离散p o i s s o n 求和公式，w e x l e r 与l b a z 4 推导出了 有限长度的周期离散时间信号的离散g a b o r 展开与离散g a b o r 变换。针对离散时 间信号往往是非周期序列的一般情况，q i a n 与c h e n 5 提出了无穷长的离散时间信 号的离散g a b o r 展开与离散g a b o r 变换。本节将从解析理论的角度，分别介绍这 两种离散g a b o r 变换。 1 、周期序列的离散g a b o r 变换 离散g a b o r 变换也有临界采样和过采样两种情况。这里先讨论l 临界采样。由 于通过前几节的讨论，我们已经有了连续g a b o r 变换的基础，所以本节将利用连 续情况的结果推导出离散形式。 设烈七) 为周期序列，其周期为l 即 庐( 七) = 烈七+ 三) ( 2 2 8 ) 离散序列只对k 取整数时定义，它可视为对连续信号作等间隔采样的结果。 为书写简便，没采样间隔为1 、则连续信号伊( f ) 离散化后可写作 见o ) = q p ( k ) 8 t - ( k + i l ) 】 ( 2 2 9 ) 将上式代入式( 2 1 2 ) 。得离散g a b o r 展开系数 = 驴( | ) ，_ ( 七+ 让) ( 2 3 0 ) 山东大学硕士学位论文 如前所述，临界采样条件下的连续g a b o r 变换，其时问网格间隔t 和频率网 格间隔q 满足7 n = 2 石的条件。对于离散周期序列，时间上是周期化的，周期长度 为l 离散信号的频谱也是周期化的，其周期为2 露由于周期l 和2 石应分别为 时频网格间隔t 和q 的整数倍，因此可设 t = l i m q = 2 x n( 2 3 1 ) 在临界条件下m = 2 石亩2 2 万，故工= 删将此结果代入式2 3 1 ) ，得 t = ，即时间网格将周期l 内的信号分成m 段、每段有n 个离散点。通常将频 率周期2 石划分为l 个离散点，于是频率网格将l 个离散点分成n 段，每段有m 个离散点。因此，式( 2 3 0 ) 的系数q 。应当是二维周期的，即 d _ 2 n w n m ( 2 3 2 ) 将连续g a b o r 展开式重写如下( 为便于下面的推导，将掰，疗写成埘，i ) ； 妒( f ) = 口_ 日一( f ) ( 2 3 3 ) 对于周期离散序列，变量卅，矗可写作耐= m + i m ，i = n + k n ，于是有 式中g 一一( ，) = 暑r ( ，一m t ) e 归国= g ( f m t 一让弘“船+ 2 柏a 定义周期基函数雪( f ) 为基函数g ( t ) 的周期化求和( 周期为l ) ，即 蜃( ，) 。g ( t - i l ) 目 考虑上述关系以及p o i s s o n 洲口2 “= , f i t - k ) ，则式( 2 3 4 ) 可写作 t - o m - i - i 尹( f ) 。站( f ) 8 ( t 一的 _ l o i 4 以离散形式表示则得离散g a b o r 展开公式： ( 2 3 6 ) 名 。 = o烈 0 ( k ) - - 雪榭( 七) 1 0n = 0 式中 2 f i | 删( 七) = 季( 七一肌肘) f 咿，= p i ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 再回到式( 2 3 0 ) ，定义夕( 后) 为r ( k ) 的周期化( 周期为l ) 求和，即 烈七) = r ( k + l l ) - 哪 ( 2 1 3 9 ) 考虑到时间网格间隔为n ，频率网格间隔为2 石，通过与上面类似的推导， 可将式( 2 3 0 ) 写成 l - i q _ = 庐( 七) 死( d k - 0 式中 只。( 七) = 尹( 七一珊) 孵 将式( 2 4 0 ) 代入式( 2 3 7 ) ，可得离散周期序列的完全重构条件 ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 利用类似于连续g a b o r 变换中推导式( 2 1 6 ) 的方法，又可得到双正交条件 重一( 七矿( 七) = 瓦蛾 或写作 芝 雪( | + 胍聊昨 ，( 七) = 屯瓯 上式也可写成矩阵形式 谚= 口 ( 2 4 3 a ) ( 2 4 3 b ) ( 2 4 4 ) 式中，p = 【l ，o ，o r ，尹= 【户( o ) ，尹( 1 ) ，双工一1 ) r 均为工1 的列向量，而。为 工i 的h a n l l 矩阵，它可以写成下列分块形式： 味 = 纛如 1 w 一 g = g ( o )g ( d g ( 1 )g ( 2 ) g ( m - 1 )g ( 0 ) 山东大学硕士学位论文 g ( m i ) g ( o ) g f m - 2 ) 式中每一个方块元素为下列 ，矩阵： r 孵 ：i 睇 i ； 【孵 ( 2 4 5 ) 昭l 、 f t d i a g 季 ( 帆雪( i n + 1 ) ，烈w + + 1 ) ( 2 4 6 ) 哝j 由于g 是块h a n k e l 矩阵，因而它是可逆的。于是，夕( 七) 可由矩阵方程( 2 4 4 ) 的最小二乘解确定，即有 严= g i e 2 、非周期序列的离散g a b o r 变换 前面介绍的周期序列的离散g a b o r 展开与离散g a b o r 变换适合于被分析的离 散时间信号的长度比较短的情况。然而，在许多实际情况下，离散时间信号9 ( 的 样本数可能很大。极端情况下，一个非周期的离散序列是无穷长的。 令离散时间信号矿 ) 具有样本长度，综合商函数g ( 七) 具有长度构造两 个周期序列庐( 七) 和营( d ，它们的周期相同，均为工= 丘+ 上| ，即有 烈。= 鼬删= 。 阶触棚= 一上| s 七( o 0 s k l 。 0 s k l 上l s 七 o o = o 士l ，2 ，) ( 2 4 7 ) o = 0 ，士l 2 ，) ( 2 4 8 ) 就是说，烈d 为原序列烈七) 在前面补个零，而雪( 七) 是一个丘点的窗函数 g ( 七) 后面补个零。 令m = 正，a 肼和= l 厶l v ，其中肘和a n 分别代表时间和频率采样间隔于 是利用式( 2 2 8 ) 和式( 2 2 9 ) ，我们可以定义周期序列庐( d 的离散g a b o r 展开和 孵暇；吲 山东大学硕士学位论文 离散g a b o r 变换分别为 正l m d