（信号与信息处理专业论文）图像随机值脉冲噪声去除.pdf

摘要 随机值脉冲噪声去除是图像滤波的一个重要方面，中值滤波由于对去除脉冲 噪声具有较好的性能，所以最早被用于去除脉冲噪声，因此中值滤波及其各种改 进方法是去除图像中随机值脉冲噪声的有效方法。而大多数方法存在门限值选取 的困难和对图像边缘纹理结构过平滑的缺点。文中提出了一种基于细节图像结构 窗滤波去除随机值脉冲噪声的新方法。首先利用图像的直方图分布估计图像噪声 率，进一步利用结构窗对细节图像滤波，再由滤波结果的直方图分布和估计噪声 率自适应地确定分类门限，最后由细节图像得到修正图像，修正中值滤波的结果。 实验结果表明，提出的方法在去除脉冲噪声的同时，很好保留了图像的细节结构。 与己有的方法相比具有明显的优势。 关键词：随机值脉冲噪声中值滤波噪声率结构窗 a b s t r a c t m e d i a nf i l t e r sh a v eb e e nw i d e l yu s e df o rr e m o v i n gi m p u l s en o i s e ，s i n c em e d i a n f i l t e r sa r eq u i t ee f f e c t i v ef o rt h en o i s er e m o v a l t h em e d i a nf i l t e r i n gm e t h o da n di t s i m p r o v e dm e t h o d sa l ea ne f f e c t u a la p p r o a c ht or e m o v er a n d o m v a l u ei m p u l s en o i s ei n i m a g e s h o w e v e r , m o s tm e t h o d sh a v et h es a m es h o r t c o m i n g s ，t h o s ea r e ，f i n d i n gt h e o p t i m a lt h r e s h o l di s d i f f i c u l ta n dt h ee d g e sa n dt e x t u r e ss t r u c t u r eo fi m a g e sa r e o v e r 。s m o o t h e d i nt h ep a p e r , i tp r o p o s e san o v e lm e t h o db a s e do nd e t a i li m a g ef i l t e r i n g u s i n gs t r u c t u r ew i n d o w st or e m o v er a n d o m v a l u ei m p u l s en o i s ef r o mi m a g e sf i r s t ，t h e h i s t o g r a mo fan o i s yi m a g ei su s e dt oe s t i m a t et h en o i s er a t i o n e x t ，i tf i l t e r st h ed e t a i l i m a g eu s i n gs t r u c t u r ew i n d o w s ，a n dt h e ni tu s e st h eh i s t o g r a mo ft h er e s u l ta n dt h e n o i s er a t i ot od e t e r m i n et h et h r e s h o l d a d a p t i v e l y f i n a l l y ，t h er e s u l to ft h em e d i a n f i l t e r i n gi sm o d i f i e du s i n gt h em o d i f yi m a g ew h i c ho b t a i n e df r o mt h ed e t a i li m a g e t h e s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e dm e t h o dc a nr e m o v ei m p u l s en o i s em e a n t i m e p r e s e r v et h ed e t a i ls t r u c t u r eo ft h ei m a g e i ti ss u p e r i o rt ot h ee x i s t i n gm e t h o d si n p e r f o r m a n c e k e y w o r d ：r a n d o m - v a l u e di m p u l s en o i s e ，m e d i a nf i l t e r i n g ，n o i s er a t i o ，s t r u c t u r ew i n d o w s 西安电子科技大学 创新性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；电不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：商溽禾n i s l 期垫! ! ：! ：! ! 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保留 送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 本人签名：麴湮歪 导师签名：越豳 日期型i ：! f 期逊- l 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景 人类通过眼、耳、鼻、舌、身接受信息，感知世界，并进而认识世界和改造 世界。据统计，人类约有7 0 的信息是通过视觉系统获取的。粗略地说，图像是景 物呈现在人心目中的影像。如果接受并加工识别这种视觉信息的是电子计算机， 则我们称之为计算机图像处理和识别。 近年来，由于计算机技术的迅猛发展，计算机的速度越来越快，图像处理系 统的价格日益下降，从而使图像处理得以广泛应用于众多的科学与工程领域，如 遥感、工业检测、医学、气象、侦察、通信、智能机器人等。广义上来说，文本、 图形、视频等都需要借助图像技术才能充分利用。这些技术正在明显地改变着人 们的生产手段和生活方式。传统的生产、管理和教育等，正在向信息化、多样化 转变。 正因为图像有着如此多的应用，与我们的工作和生活方式息息相关，所以有 必要对图像和图像技术进行深入细致的研究。 图像技术在广义上是各种与图像有关的技术的总称。目前人们主要研究的是 数字图像，主要应用的是计算机图像技术。这包括图像的采集、获取、编码、存 储和传输、图像的合成和产生、图像的显示和输出、图像的变换、增强、恢复和 重建、图像的分割、目标的检测、表达和描述、特征的提取和测量，序列图像的 校正、3 一d 景物的重建复原、图像数据库的建立，索引和抽取、图像的分类，表 示和识别、图像模型的建立和匹配、图像和场景的解释和理解，以及基于它们的 判断决策和行为规划等等。 进入9 0 年代，图像技术己逐步涉及人类生活和社会发展的各个方面。以近年 得到广为宣传和应用的多媒体为例，图像在其中占据了重要地位。展望2 1 世纪， 图像技术必将得到进步的发展和应用，从而改变人们生活方式以及社会结构。 由于图像近年来得到极大的重视和长足的发展，出现了许多新理论、新方法、 新算法、新手段、新设备、图像界一致认为亟需对它们进行综合研究和集成应用。 这个工作需要在一个整体框架下进行，这个框架就是图像工程。 图像工程的内容非常丰富，根据抽象程度和研究方法等的不同可分为三个层 次：图像处理、图像分析和图像理解。换句话说，图像工程是既有联系又有区别 的图像处理、图像分析及图像理解三者的有机结合，另外还包括对它们的工程应 用。 2图像随机值脉冲噪声去除 图像处理着重强调在图像之间进行的交换。虽然人们常用图像处理泛指各种 图像技术，但比较狭义的图像处理主要满足对图像进行各种加工以改善图像的视 觉效果并为自动识别打下基础，或对图像进行压缩编码以减少所需存储空间和传 输时闻、传输通路的要求。 图像分析则主要是对图像中感兴趣的目标进行检测和测量，以获得它们的客 观信息从而建立对图像的描述。如果说图像处理是一个从图像到图像的过程，则 图像分析是一个从图像到数据的过程。这里数据可以是对目标特征测量的结果， 或是基于测量的符号表示。 图像理解的重点是在图像分析的基础上，进一步研究图像中各个目标的性质 和它们之间的相互联系，并得出对图像内容含义的理解以及对原来客观场景的解 释，从而指导和规划行动。如果说图像分析主要是以观察者为中心研究客观世界， 那么图像理解在一定程度上是以客观世界为中心，借助知识、经验等来把握整个 客观世界。 由上所述，图像处理、图像分析和图像理解是处在三个抽象程度和数据量各 有特点的不同层次上。图像处理是比较低层的操作，它主要在图像像素级上进行 处理，处理的数据量非常大。图像分析则进入了中层，分割和特征提取是将像素 描述的图像转变成比较简洁的非图像形式的描述。图像理解主要是高层操作，基 本上是对从描述抽象出来的符号进行运算，其处理过程和方法与人类的思维推理 可以有许多类似之处。随着抽象程度的提高数据量是减少的。具体说来原始图像 数据经过一系列的处理过程逐步转化为更有组织和用途的信息。在这个过程中， 语义不断引入，操作对象发生变化，数据量得到了压缩。另一方面，高层操作对 低层操作有指导作用。 1 2 图像噪声 图像信号在其形成、传输、变换以及终端处理中，经常会受到各种噪声的干 扰而降质。例如，图像传输过程中，受到强干扰时会产生脉冲噪声，而照明的不 稳定、镜头灰尘以及非线性信道传输引起的图像退化等都将产生不同种类的图像 噪声。 噪声会对图像产生许多破坏效果，主要有以下两方面的影响： 1 ) 影响主观视觉效果。受噪声污染的图像往往会变得视觉效果很差，严重时 甚至使得人眼难以辨别某些细节。人眼对图像噪声，尤其是图像平坦区的噪声非 常敏感。 2 ) 使图像的中层( 信息层) 与高层( 知识层) 处理无法继续进行。噪声会降低图 像低层( 数据层) 处理的质量和精度。比如许多边缘检测算法在有噪声干扰的情况 第一章绪论 3 下会出现大量的虚检和漏检，而使后续的目标提取和识别无法进行。 根据不同分类方式可将噪声进行不同的分类。 从噪声的概率分布情况来看，可分为短拖尾噪声、中拖尾噪声和长拖尾噪声。 下面给出几种常见的噪声分布形式的概率密度函数。 典型的短拖尾噪声( 均匀分布噪声) ： 4 厂( 九) ： 去i n i a ，灰度值b 在图像中将显示为一个亮点，相反，a 的值将显示为一个暗 点。若见或仇为零，则脉冲噪声称为单极性脉冲噪声。如果儿和p b 均不可能为 零，尤其当它们近似相等时，脉冲噪声将类似于随机分布在图像上的胡椒粉和盐 粉。由于这个原因，双极脉冲噪声也称为椒盐噪声。通常假设a ，b 是饱和值，从 某种意义上看，在数字化图像中，它们等于所允许的最大值和最小值。对于一个8 位图像，这意味着a = 0 ( 黑) ，b = 2 5 5 ( 白) 。 2 1 2 随机值脉冲噪声 现在的很多去除脉冲噪声的方法都是针对椒豁噪声的“1 “”。2 ”，这是由于椒盐 噪声模型比较简单，便于分析和处理，所以滤波的效果通常也比较好，但是它毕 竟是不太符合实际情况的，因为现实中的噪声往往不会只有两个极值点，下面我 们将介绍一种更加普遍的噪声模型，就是随机值脉冲噪声。 我们可以把随机值脉冲噪声污染图像的模型写为： 砸力蓑蓁浆p c z 一。， d 2 协j )茹菇一p 心- 3 8 图像随机值脉冲噪声去除 其中p 是噪声率，是在所有灰度级上均匀分布的整数，例如，如果使用的 是8 b i t 的灰度图像，则r 是在l o ，2 5 5 区l n - 内均匀分布的整数。这种噪声模型比起椒 盐噪声更加符合实际情况，因此现在很多研究都是基于这种脉冲噪声模型。1 “”“1 ， 并已有了一些很好的研究成果，但是现有的这些方法中也存在着一定的弊端与不 足，仍需要更深入的研究和改进。 本文所研究的噪声模型为随机值脉冲噪声模型。 2 2 空域滤波原理 空域滤波就是在图像空间中借助模板对图像进行邻域操作。输出图像中每一 个像素的取值都是通过模板对输入像素相应邻域内的像素值进行计算得到的。空 域滤波器有很多种，但其基本特点都是让图像在傅立叶空间某个范围内的分量受 到抑制，同时保持其它分量不变，从而改变输出图像的频率分布，达到增强图像 的目的。 虽然各种滤波器的类型有所不同，但是在空域中都是利用模板卷积实现的。 卷积操作实际上就是让每一个输出像素取值为输入像素邻域像素值加权和的操 作，具体的权值由滤波器进行定义。 根据模板的特点可以将空域滤波分为线性和非线性两类。线性空域滤波常常 是基于傅立叶分析的，而非线性空域滤波通常是直接对邻域进行操作。 2 2 1 线性滤波 对一些图像进行线性滤波，可以去处图像中某些类型的噪声，如采用邻域平 均法的均值滤波器就非常适用于去除通过扫描得到的图像中的噪声。 邻域平均法，是空间域平滑噪声技术。对于给定的图像x ( f ，) 中的每个像素点 ( i ，) 取邻域q 。设q 中含有m 个像素，取其平均值作为处理后所得图像像素点( f ，力 处的灰度值，用像素邻域内像素点灰度的平均值来代替原像素点的灰度，即是邻 域平均技术。 邻域q 的形状和大小根据图像特点来确定。一般取的是正方形，q 的形状和 大小可以在全图处理过程中保持不变，也可根据图像的局部统计特性而变化，点 ( f ，f ) 一般位于q 的中心。如q 为3 x 3 邻域，点o ，d 位于q 的中心，则 ii 圣( f ，- ，) = 去x ( f + j ，+ f ) ( 2 4 ) 7 一1 1 = - i 假设噪声n 是加性噪声，在空间各点互不相关，且期望为0 ，方差为盯2 ，s ( i ，) 为未受污染的图像，含有噪声的图像x ( f ，) 经过邻域平均后 第二章非线性滤波的相关理论 9 量( j ，_ ，) = 去工( f ，_ ，) = 去s ( 蹦) + 去肛( s ，f ) ( 2 - 5 ) 由上式可知，经邻域平均后，噪声的均值不变，方差 z = 二盯2 ( 2 6 ) m 即噪声方差变小，说明噪声强度减弱了，抑制了噪声。 由上式还可看出，邻域平均法也平滑了图像信号，特别是可能使图像目标区 域的边界变得模糊。对图像进行邻域平均处理，相当于图像信号通过了一个低通 滤波器。 2 2 2 非线性滤波 线性滤波器在信号处理领域的历史上，一直居于主要地位，但是信号处理领 域的问题并不是都能用线性系统的理论有效处理的，线性滤波器倾向于模糊信号 的边缘，对长拖尾噪声的去除，性能是比较差的。 基于中值滤波器的一类滤波器被证实是一类很有用的非线性滤波器，在过去 。的几年里它的理论发展的非常快速，中值滤波器的成功运用主要取决于它的两个 本质性能，一个是边缘保护性能，一个是对脉冲噪声的鲁棒性和有效去除性能。 这两个性能是传统的线性滤波器所不具有的。 中值滤波器也并不是一个很完美的滤波器，它仍会滤去图像一些重要的细节 部分。 2 2 3 中值滤波器 顺序统计滤波器是空间域滤波器，它的响应基于由滤波器包围的图像区域中 像素点的排序。滤波器在任何点的响应由排序结果决定。 最著名的顺序统计滤波器是中值滤波器，就像其名字那样，用该像素灰度值 和相邻像素灰度值的中值来代替该像素的值。 比如我们可以选取正方形的窗口缈其表达式为： w = “s ，f m h s h , - h f h ( 2 7 ) 其输出为： e = m e d i a n ( x , j ) ( 2 - 8 ) 式中的。为： = k 。陋f ) ( s ，f ) ( 2 9 ) l o图像随机值脉冲噪声去除 中值滤波器的工作步骤如下： ( 1 ) 将模板在图像中游动，并将模板中心与图像中某个像素的位置重合； ( 2 ) 读取模板下各对应像素的灰度值； ( 3 ) 将这些灰度值从小到大排成一列； ( 4 ) 找出这些值中排在中间的1 个； ( 5 ) 将这个值赋给对应模板中心位置的像素。 由以上步骤可以看出，中值滤波器的主要功能是让与周围像素灰度值的差比 较大的像素改取与周围像素接近的值，是一个非线性的平滑滤波器。由于它不是 简单的取均值，所以产生的模糊比较少。并且中值滤波器对脉冲噪声的去除非常 有效。以下为中值滤波器对加脉冲噪声图像的滤波结果： 图2 1 加2 0 椒盐噪声的l e n a 滤波图，和其丢失的细节 第二章非线性滤波的相关理论 图2 2 加z o * d 毅盐噪声的b a r b a r a 滤波图，和其丢失的细节 可见，中值滤波对脉冲噪声的去除是较好的，且产生的模糊较少。 但中值滤波仍存在着一定的缺陷，它的缺点在于它相当于一个平滑滤波器， 所以它也会丢失有用的图像细节，因为细节和纹理像脉冲噪声一样具有高频特性， 这些有用的细节和纹理也像噪声一样被破坏掉了。 以上是中值滤波器运用于二维图像的一些情况，最基本的中值滤波器的定义 为： y ( 月) = m e d x ( n k ) ，x ( 聆) ，r ( 厅+ 0 ( 2 1 0 ) 滤波器的长度为n = 2 k + l ，其中j ( 仃) 和】，( 叻是输入和输出序列的第”个采 样值。在两端的值会出现滤波器的窗口落在输入信号外面的情况，为了能对所有 值进行滤波，我们可以对输入信号进行延拓。 很显然我们可以得到下面的扩展，中值滤波器是顺序统计滤波器的一种，他 们的操作过程和中值滤波器很像，只是它们的输出是窗口中第f 大的值，可以用下 面的式子表示： y ( 力= i t h l a r g e s t v a l u e o f t h es e t x ( n - k ) ，x ( 功，+ 置) 】 ( 2 - 1 1 ) 两个特殊的滤波器是最大滤波器和最小滤波器，它们输出的值分别是 【x ( n k ) ，x ( ，) ，x ( 挖+ x ) 】中的最大值和最小值， 另一种很简单的扩展是递归中值滤波器，它是用一些先前取得的输出序列值 来代替一部分输入采样的值，可以用下面的式子表示： 1 2 图像随机值脉冲噪声去除 y ( 挖) = m e d y ( n - k ) ，y ( n - k + 1 ) ，r ( n - 1 ) ，z ( ”) ，x ( n + k ) 】 ( 2 - 1 2 ) 递归中值滤波器是在下一次滤波之前，在已处理的位置用输出值取代旧的输 入采样值，所以递归中值滤波器比非递归的中值滤波器有更好的平滑性能。 由于中值滤波器的冲激响应为0 ，所以对中值滤波器和顺序统计滤波器进行频 域和冲激响应分析是没有意义的，因此必须发展新的工具来分析非线性滤波器的 确定性能和统计特性。对中值滤波器的确定性能最基本的描述是规定它们的根信 号根信号就是再对其进行滤波，不会发生变化的信号。对中值滤波器统计性能 最基本的描述是输出信号的分布，它用来研究中值滤波器去除噪声的性能。 ( 1 ) e 0 值滤波器的确定性能：根信号( r o o ts i g n a l ) 由于中值滤波器的输出值总是输入采样的一种，所以可能存在通过中值滤波 器而不改变的信号，这种信号在中值滤波器和许多基于中值滤波的滤波器中都被 提及，它们被归类到根信号中。 对一个长度为n = 2 k + l 的中值滤波器，这意味着： 工( 玎) = m e d x ( n - k ) ，x ( n ) ，x 0 + 足) 】 ( 2 - 1 3 ) 如果对于所有的x ( 玎) ，式( 2 1 3 ) 都成立，x ( ”) 就被称为这个特殊中值滤波器 的根信号。 一些信号对中值滤波是不变的，这一事实是很有趣的。在去除噪声的滤波时， 一个很重要的问题是怎样在去除噪声的同时有效地保护所需要的细节部分。一种 最理想的情况就是所设计的滤波器可以让所需的细节不变的通过，只对噪声部分 起作用。由于中值滤波器是非线性的滤波器，而这种双重的性能又是不存在的， 当然不能设计出完全满足的滤波器，然而，如果一个信号由不变的区域组成，并 且在这个区域内是成阶梯状变化的，一种类似的效果能被获得，噪声能够被滤除， 而阶梯状的变化将被保留下来，在图像滤波的过程中，一种共同的方法是设计一 个中值滤波器，使一些作为根信号的图像能不变的通过滤波操作。 根信号的描述是基于局部信号结构的，对于一个长度为n = 2 k + l 的中值滤波 器它的根信号可以描述如下： 固定的邻域：至少有一个长度为k + l 的连续区域与采样值相同的区域。 边缘：与包围采样值的固定领域两侧值不同，单调增或单调减的部分。 脉冲：与足个不同值的采样点的值均不同，且与包围它的固定区域值的值不 同的采样点。 振动：即不是固定的邻域，也不是边缘和脉冲的信号结构。 这种定义和这些概念是和滤波器的长度紧密相关的，一个长度为的固定区 域当然也是所有长度小于的滤波器的固定区域。 第二章非线性滤波的相关理论 1 3 如果一个有限长的信号只有固定区域和边缘构成，那么它就是一个中值滤波 器的根信号。对任意一个有限长的信号进行重复的中值滤波，经过有限次的滤波 以后都能得到一个根信号。中值滤波器的这种特性被称做”收敛性能”，对一个信号 进行中值滤波，要得到根信号，一个严格的条件是： 如果窗的长度是2 k + l ，信号的长度是工，那么需要进行 rr ，- i 3 i = 二r - l ( 2 1 4 ) 2 ( k + 2 ) j 次滤波得到根信号。实际中这个条件是很保守的，一般经过5 1 0 次滤波以后，再 进行滤波，信号的变化就已经很小了。 所有的顺序统计滤波器都拥有中值滤波器这样的收敛性能。递归的中值滤波 器也拥有收敛性能，另外它们是幂等的，只需一次滤波就可得到根信号。递归的 中值滤波器与窗口长度相等的非递归中值滤波器具有相同的根信号，但对于同一 个信号来说经过两个滤波器的滤波可能得到不同的根信号。 ( 2 ) d p 值滤波器的统计性能 中值滤波器被用做具有鲁棒性的平滑器，它的滤波性能总是被定性地评估。 7 ：这个滤波器的性能依赖于它能抑制多少信号中不需要的部分和保护多少人们所需 要的信号部分。而没有普通的定量衡量这两个性能。在线性滤波器的情况下，只 有当信号和噪声在频域占用不同的频率时才有可能同时获得这两个性能。 新发展的一些工具使分析中值滤波器的统计特性成为了可能，假定输入的采 样信号是一个受到一些白噪声干扰的不变信号，我们可以像分析线性滤波器常做 的那样，来评估滤波器输出信号的分布，估计输出的变化。滤波器的优化设计可 以基于这种方法，当受到其它一些条件约束的时候可能得到更好的结果。中值滤 波器的统计特性如下： 当一个中值滤波器的输入信号是均值为，方差为1 7 2 独立同分布的白噪声时， 相应的分布和密度函数分别用西( f ) 和妒( f ) 表示。中值滤波器输出信号的分布和密度 函数分别用q 0 。( f ) 和吵r n e a ( 1 ) 表示，有下面的式子： 厂 ，、 甲。( f ) = rp 1 一m ( 嘞“ ( 2 - 1 5 ) t = k + l ( f ) 2 嵩必净( f ) 。0 一m ( f ) ) 。( 2 - 1 6 ) 这两个表达式提供了定量分析中值滤波器去噪性能的基础。 当输入信号是白噪声的时候，输出信号近似的满足均值为“。，方差为以。的 分布。( 是大数) ，其中： 以耐= t os ( 2 - 1 7 ) 图像随机值脉冲噪声去除 2 = 面瓦1 丽 ( 2 1 8 ) 在上式中f 0 ；定义为满足中( 乇；) = 0 5 的t 。这样一来就很容易理解中值滤波器 平滑噪声时的鲁棒性，无论输入信号是什么分布，中值滤波器都是分布中值点t o 。的 无偏估计，而且，这个估计值往往是固定的。也可以看出当趋于g o 时方差z 。趋 于0 。即l i m ，。= 0 ，输出信号的方差不直接依赖于输入信号的方差，而是与 矿( f 0 ，) 直接相关。对于长拖尾的噪声和脉冲噪声，它们分布的方差会随着噪声的增 加而变大，然而( “，) 却不一定改变。均值滤波器则没有这种性能。 下表列出了一些普通分布近似的输出方差：输入信号是均值为a ，方差为仃2 的 白噪声 表2 1 不同噪声模型均值滤波和中值滤波输出特性 n o i s ep r o b a b i l i t yd e n s i t y a v e r a g e m e d i a n 船，= 悻一絮岁 盯2 3 0 - 2 j v + 2 g a u s s i 锄 _ x 1 0 2 万盯 鼬) 2 丽i e 亨2 l a p l a c i a n ：寿乎 盯盯 2 从表中可以看出当输入信号是l a p l a c i a n 分布时，中值滤波器的输出信号方差 仅仅是均值滤波器的一半，对高斯噪声，中值滤波器的结果要比均值滤波器差一 些。 中值滤波器对l a p l a c i a n 分布噪声很好的性能，等同于一种获得中值的优化操 作。在去除双指数分布噪声时，中值是满足均值绝对值误差最小的最优解。我们 可以用下面的式子进行理解： ， 上) = 阿一矧 ( 2 1 9 ) i = l 我们可以这样重新定义中值，x l ，x 。的中值就是使够) 的值最小时的声 值，其中y ；l ，这种定义总是以采样值其中的一个做为输出。而均值则是当y = 2 时，侵工) 值最小时的卢值。 第二章非线性滤波的相关理论 1 5 中值滤波的主要特性有： ( 1 ) 滤除噪声的性能：中值滤波是非线性运算，因此对随机的噪声输入，数 学分析是相当复杂的。由大量实验可得，对零均值正态分布的噪声输入，中值滤 波输出与输入噪声的分布密度有关，输出噪声方差与输入噪声密度函数的平方成 反比。对随机噪声的抑制能力，中值滤波比均值滤波要差些。但对于脉冲干扰来 讲，特别是脉冲宽度小于滤波窗口长度一半，相距较远的窄脉冲，中值滤波是很 有效的。 ( 2 ) 对某些信号的不变性：对于某些特定的输入信号，中值滤波输出信号保 持与输入信号相同，所以相对于一般的线性滤波器( 比如均值滤波) ，中值滤波能 更好的保护图像细节。 ( 3 ) 中值滤波的频谱特性：由于中值滤波是非线性运算，在输入频率与输出 频率之间不存在一一对应的关系，故不能用一般线性滤波器频率特性分析方法。 2 2 4 加权中值滤波器 加权中值滤波器的结构如下图： x n w n s i 卸盘l 图2 3 加权中值滤波器的结构图 对于实信号，加权中值滤波器可以这样定义：对时间离散取值连续的输入向 量墨= x i ，x 2 ，x 。】，当正实权向量是芝= 【彤，】时，输出值y 为： l ，= m e d w j o x i ，o x 2 , - - , 嘶】 ( 2 2 0 ) 其中 扭d 【】表示中值操作，o 表示复制 r - l 略 k o x ：砌 ( 2 2 1 ) 这个滤波过程可以这样描述：复制每一个采样值x ，到数量和它的权彬的值相 等，然后把所有的值排序，最后取出中值作为输出。 中值滤波器可以扩展到顺序统计滤波器，类似的，加权中值滤波器可以扩展 到加权顺序统计滤波器( w o s ) 。 图像随机值脉冲噪声去除 对于输入的信号向量为x = 置，五，】，信号向量所对应的权值为 丝= 【暇，阡，】的w o s 滤波器，其输出可以用下式表示： y = 瓦t h l a r g e s te l e m e n t o f t h es e t 嵋o x , ，w 2 0 x 2 ，吼o x 】 ( 2 - 2 2 ) 可见加权中值滤波器是一个瓦= i 1 己n 形的w o s 滤波器。w o s 滤波器具有一些 加权中值滤波器所不具有的性质，例如：一些非对称的w o s 滤波器可以去除负脉 冲( 正脉冲) ，但是保留正脉冲( 负脉冲) 。 加权中值滤波器也可以是递归的，一个递归的加权中值滤波器可以用下式来表 示： y ( n ) = m e d w _ j o r ( n k + 1 ) ，矿l o y ( n - 1 ) ，g o x ( n ) ，陟名o x ( n + k ) 】( 2 - 2 3 ) 和中值滤波器和均值滤波器存在一定的类似一样，w m 滤波器与f i r 滤波器 之间也存在着有趣的类似。 我们用e ，i = 1 , 2 ，n 来表示一个一维长度为的f i r 滤波器冲击响应的系 数，如果对任意的f 存在q - 0 ，并且有：。日j = l ，那么f i r 滤波器的输出可 以用下式表示： y = 只z = a v e r a g e 0 3 ( i ，w 2 0 x 2 ，w o x 】 ( 2 2 4 ) 其中彬，i f 茎是乖整数， 只= w , x 。彬。如果把上式中的a v e r a g e 用m e d 取代就得到了定义的w m 滤波器。 类似中值滤波器的定义， 工护) = i x , 一矧 ( 2 2 5 ) 我们可以引入形，可有下式： ) = w , l x , 一纠 ( 2 2 6 ) 所以当，= 2 ，使上) 最小的p 值就是均值，可以表示为： ：羔置形：。彬( 2 - 2 7 )= 置形：。彬 这就是一个普通的f i r 滤波器。 类似的，当y = l ，使) 最小的声值就是中值可以表示为： 第二章非线性滤波的相关理论 1 7 = 删彬o 墨，w 2 0 x 2 ，阡，o 】 ( 2 - 2 8 ) 是一个加权中值滤波器。 和中值滤波器一样，我们也常用它的确定性能和统计性能来分析刻画w m 滤 波器。 ( 1 ) w m 滤波器的根信号特性 根信号是经过一个滤波器滤波，不产生改变的信号。一个不具有收敛特性的 滤波器它的滤波特性是很混乱的，所以w m 滤波器是否对一个有限长信号，经过 有限次滤波会收敛得到一个根信号是很重要的一个问题。 虽然我们对中值滤波器的根信号特性已经了解的很多，但是w m 滤波器的收 敛特性却比中值滤波器复杂的多。w m 滤波器的收敛性能只有在一些特殊情况下 才知道。 在实际中由于对称w m 滤波器具有无偏性，所以被广泛的运用。因此我们来 讨论对称w m 滤波器的根信号特性。 一个权值为【wx , - - , 矿，w o ，彬，阡名】的w m 滤波器，如果满足： 矿= 彬江1 , 2 ，k ( 2 - 2 9 ) 则称其为对称w m 滤波器。 ， 。 我们知道递归的中值滤波器只需要一次滤波就能收敛到根信号。所以我们也 希望递归的w m 滤波器具有较好的性能。 所以对w m 滤波器的收敛性我们有下面的法则。 任意的对称w m 滤波器对输入的信号经过有限次滤波，都能收敛到根信号， 或满足一个循环。这一法则仍不能充分保证对称w m 滤波器具有收敛性能，我们 需要找出更好的法则。 对称的w m 滤波器可以使输入的信号经过有限次滤波收敛到根信号，如果它 满足下式： r 彬 ( 2 3 0 ) i - i 或满足： w o 2 m i n 慨，睨 ( 2 3 1 ) 这个法则说明如果一个对称的w m 滤波器不具有收敛性能，那么它必须满足 下式： 厝 2 r a i n 慨，既) 彬 ( 2 3 2 ) 1 8 图像随机值脉冲噪声去除 对称的w m 滤波器如果满足下式，将会收敛： r 2 - 2 彬 ( 2 3 3 ) l = p + 2 其中：只1 尸k ，是对称w m 滤波器的特征值。 中心加权的w m 滤波器被证明是具有收敛特性的。 中，t o j n 权滤波器，对任意输入的有限长信号，经过有限次滤波，都可以收敛 到根信号。 下面浼一下幂等的w m 滤波器：( i d e m p o t e n tw mf i l t e r s ) ，它是仅仅需要一次滤 波就收敛到根信号的w m 滤波器。 下面的法则给出了幂等w m 滤波器的判断方法。假设滤波器的所有权值用下 式表示： # 形= 彬 ( 2 3 4 ) ，l k 任意的递归w m 滤波器，如果其满足： 巩= 2 + l ( 2 - 3 5 ) 其中有： 2 l ( 2 3 6 ) 那么它是幂等的。 例如： ! ! 二= 【l ，l ，3 , 1 ，1 】是一个幂等的w m 滤波器。 幂等的w m 滤波器具有良好的性能，它们能够在滤除脉冲噪声的时候很小的 影响原信号。它们能够较好的保护图像的细节部分。除去孤立点噪声。 ( 2 ) w m 滤波器的统计特性 做为一类平滑滤波器，我们常用它的去嗓性能来分祈w m 滤波器的特性，这 一性能需要用输出信号的分布函数所表示。 对一个长度为n = 2 k + l 的w m 滤波器，输入信号满足独立同分布，分布函 数为c o ( t ) ，那么w m 滤波器输出的信号分布函数i ，。( f ) 满足下式： r 甲。( f ) = 。( r ) + m ，和( r ) 1 ( 1 一中( f ) ) “一m ( r ) “( 1 一m ( ，) ) ( 2 3 7 ) t = l 其中、壬0 。( f ) 为信号通过与w m 滤波器长度相同的中值滤波器，所得到的输出 信号分布函数。 所以如果输入信号的分布( ，) 是独立同分布的对称函数，均值为聊，那么 甲。( ，) 也是独立同分布均值为m 的对称函数。输出的均值加。= m 。也就是说w m 第二章非线性滤波的相关理论 1 9 滤波是均值的无偏估计。 下面我们引入一个新的参数 t 来分析w m 的统计特性。 t 表示个权值 中的i ，i = 1 ，2 ，k 个权值相加，结果大于阈值瓦的组合的个数。 例如： 对于一个w m 滤波器，权向量为丝= 【1 ，3 ，8 ，2 捌，阈值瓦= 9 。我们可 以得到： m = 0 m 2 = 4 ：珏8 ，3 1 ； s ，3 m 8 ，2 1 ； 8 ，1 1 m 3 = 6 ：征8 ，3 ，3 】； 8 ，3 ，2 】；【8 ，3 ，1 1 ； 8 , 3 ，2 1 ； s ，3 ，1 】； 8 ，2 ，l 】 m 4 = 5 ：征8 ，3 ，3 ，2 1 ； 8 , 3 ，3 ，1 1 ； 8 ，3 ，2 ，1 】；【8 32l 】；【3 32l 】 以= 1 ：缸8 ，3 ，3 ，2 ，l 】) 对一个长度为n = 2 k + l 的w m 滤波器，输入独立同分布的信号，输入信号 的分布函数和密度函数分别是m ( f ) 和妒( f ) ，输出函数的y 次中心矩可以表示为下 式： r d 磊= d + m ( ，中，y ) ( 2 3 8 ) j 1 1 其中。是输入信号经过与w m 滤波器长度相同的中值滤波器滤波输出信号 的y 次中心矩。 可以看出w m 滤波器的中心矩有两部分构成，一部分与标准的中值滤波有关， 一部分与权值有关。如果所有的权值均相等，那么他就是一个中值滤波器，第二 项就会消失。由于m 和厶是非负的，很显然： 吒叱 ( 2 3 9 ) 这一事实说明对于独立同分布的输入信号，中值滤波器具有最好的去噪效果。 ，很容易评价w m 滤波器的去噪性能，当，= 2 时，有： r 盯。2 = 2 “+ 厶( ，m ，2 ) m ， ( 2 4 0 ) i l l 用向量形式可以表示为： 2 = 2 + 一m l r ( 2 4 1 ) 其中 土= 【厶，岛，l x 】 ( 2 4 2 ) 图像随机值脉冲噪声去除 丛= 【 毛，m ，m k 】 ( 2 4 3 ) 分别表示上向量和肘向量。 对于输入信号具有相同的噪声分布函数，我们能够很容易的计算它们的e 向量和m 向量，来比较不同滤波器的方差。由于工向量和权值是不相关的，我们 可以把不同信号分布和不同长度的滤波器的三向量制成表格“。下面几个表格分别 绘出了从n = 3 到n = 1 5 的均匀分布，高斯分布和l a p l a c i a n 分布的上向量。 表2 2 = 3 到n = 1 5 是均匀分布的上向量表 n 厶厶三， 厶 厶 上6上7 340 1 4 一e l 534 3 3 e l57 1 4 - e 2 72 ，3 9 5 - e l4 7 6 2 - e 29 5 2 4 - e 3 91 7 1 1 e 13 ，0 3 0 - e 27 7 9 2 e 31 7 3 2 e 3 i l1 2 7 3 - e ll9 5 8 一e 24 6 6 2 - e 31 3 9 9 _ e 33 3 3 0 - e 4 1 39 8 1 2 e 21 3 1 9 - b 22 7 9 7 - e 37 9 9 2 i e 42 6 6 4 e 466 6 0 - e 5 l57 7 8 9 - e 29 2 4 3 - e 3 l7 4 5 e 3 4 5 2 5 e 41 4 6 9 - e 452 8 9 e 51 3 7 l - e 5 表2 3n = 3 到n = 1 5 是高斯分布的三向壤表 n 厶厶厶厶厶厶 厶 354 4 9 _ e l 5 49 0 9 e l 5 3 9 5 一e 2 739 0 7 e l4 6 3 l - e 27 6 3 9 e 3 93 1 9 7 e l3 2 3 0 e 26 3 7 2 - e 3i 2 6 7 - e 3 l l 2 6 9 4 一e l2 3 1 2 - e 24 0 6 7 - e 3i 0 3 7 椰2 2 9 7 - e 4 1 3 23 2 3 e li7 2 3 e 2 2 6 3 8 一e 36 2 2 1 e 41 8 5 6 - e 44 4 0 8 e 5 1 520 3 9 - e l1 3 2 9 - e 21 7 8 3 - e 33 7 4 3 e 4i 0 6 2 e 43 5 2 8 e 588 0 3 - e 6 第二章非线性滤波的相关理论2 l 表2 4n = 3 到n = 1 5 是l a p l a c i a n 分布的工向量表 n 厶上2 厶厶上，厶厶 3 4 7 4 6 e l 54 4 0 7 - e 1 3 3 9 1 e 2 7 3 7 7 0 - e l2 9 8 2 e 24 0 8 5 e 3 932 9 0 - e i2 。2 2 6 - e 23 4 7 3 e 36 1 1 9 - e 4 l l2 9 2 5 - e il7 0 5 - e 22 3 5 2 - e 35 0 8 7 埘1 0 3 2 副 1 32 ，6 3 9 - e l1 3 4 8 e 21 6 2 6 i e 33 2 l o e 48 4 4 7 - e 51 8 7 6 - e 5 1 52 4 0 9 一e l1 0 9 4 - e 21 1 6 6 - e 32 0 4 8 埘5 0 5 3 - e 51 5 1 7 - e 53 5 8 8 e 6 运用上面的表格，我们可以很容易的比较不同w m 滤波器的滤波性能。 例如：比较下面两个w m 滤波器对均匀分布噪声的滤波性能。 芝i = 【2 , 2 271 2 ，1 3 ，1 2 722 ，2 】 匝2 = 【4 , 4 ，4 , 9 , 1 4 ，2 5 ，1 4 , 9 ，4 ，4 ，4 】 我们很容易算出它们的吖向量，如下： 丝( 必) = 【0 , 0 ，5 ，4 7 ，1 3 6 】 m ( w 2 ) = 【0 , 0 ，5 ，3 4 ，1 6 1 】 查表我们可以得到它们的上向量。 然后我们运用公式( 2 4 1 ) 可以算出对于均匀分布的噪声丝：的性能优于丝， 这是和实际相符的。 我们可以看出，如果丛( 丝) 丝( 丝：) ，那么不用查工向量，丝定优于墅：。 对二维的图像信号进行加权中值滤波( 权值为正) 可以这样定义：对于一个 ( 2 m + 1 ) ( 2 n + 1 ) 的窗口，对应该窗口加权中值滤波的权值为 m m ，一) ，w ( 0 ，o ) ，w ( m ，) ( 2 4 4 ) 对应该窗的输入信号表示为 扛( 一肘，一) ，x ( o ，o ) ，x ( m ，) ) ( 2 4 5 ) 那么加权中值滤波器的输出为 量。= m e d w ( - m ，一 ，) 缸( 一m ，- n ) ，w ( o ，o ) o x ( o ，o ) ，w ( m ，n ) o x ( m ，) ( 2 - 4 6 ) 而我们在二维图像处理实际应用中常使用的是中心加权的中值滤波器，即除 图像随机值脉冲噪声去除 了w ( o ，0 ) 以外，其它的w 值全部为1 。 分析表明，加权中值滤波给不同位置的像素施加不同的权系数，从而将部分 空| 日j 位置信息考虑进去，因此它不仅利用像素的灰度信息，而且还利用了空间位 胃信息，所以其结构保护能力略优于中值滤波，但对独立同分布输入数据，只有 当各权系数均为1 ( r o 标准中值) 时才拥有最佳的噪声抑制能力。所以，具有较大中 心权重的中心加权中值滤波器有更好的保留细节性能，而具有较小中心权重的中 心加权中值滤波器有更好的噪