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第七章 线性差分方程模型的辨识根据对过程的初步分析，可以是先提出一个结构已定的参数模型来描述过程的动态特性，而模型中有一些参数需要通过辨识来加以确定，像这样的辨识问题称为参数估计问题，最小二乘法是很常用的估计方法。线性差分方程模型的最小二乘估计首先讨论一种较简单的情况，即无噪声或噪声较小的情况，这样可以应用一般最小二乘估计模型参数，但是对于噪声较大的情况，采用一般最小二乘法估计通常是有偏差的，需要应用更加复杂的算法，如广义最小二乘法。辨识问题的提法设被辨识的动态系统，可用如下n阶常系数线性差分方程描述：yk+a1yk-1+anyk-n=b1uk+b2uk-1+bnuk-n系统方程也写成如下算子形式：Aq-1yk=Bq-1uk,其中，Aq-1=1+a1q-1+a2q-2+anq-n,Bq-1=1+bq-1+b2q-2+bq-n,辨识问题的提法，已知：（1） 由方程描述的系统都是稳定的。（2） 系统的阶是n阶。（3） 输入输出观测数据u（k）,y(k)(k=1,2,N+n),要求根据上述已知条件来估计差分方程的参数：a1，b1i=1,2,N+n,参数最小二乘估计的基本思想是，选择a1，b1i=1,2,N+n,使得系统方程尽可能好的与观测数据拟合，考虑到模型误差测量误差，模型方程改为：Aq-1yk=Bq-1uk+e(k),其中，e(k)称为模型残差，又称方程误差。现在的问题就是决定Aq-1，Bq-1的系数，是k=1n+Ne2最小最小二乘估计将下式Aq-1yk=Bq-1uk+e(k),改成以下形式广义最小二乘估计一般最小二乘法简称LS法，广义最下二乘法简称GLSGLS的基本思想是，将相关残差e(k)用白噪声(k)，经过传递函数1e(q-1)的滤波器的滤波输出来表示，即ek=1e(q-1)(k)其中，C(q-1)= 1+c1q-1+c2q-2+cpq-pci(i=1,p)为常数，p表示残差模型的阶，ci和p事先是未知的；(k)为白噪声序列根据方程的误差定义Aq-1yk=Bq-1uk+e(k),可得：Aq-1yk-Bq-1uk=(k)C(q-1)进而，Aq-1C(q-1)yk-Bq-1C(q-1)uk=(k)由于(k)为白噪声，所以系统参数和噪声参数可以通过以上方程而得到无偏估计，为此定义误差函数：J=2k=Aq-1C(q-1)yk-Bq-1C(q-1)uk2现在的问题是，选择参数使得误差函数J的值为最小，由于参数a,b,c在上述方程中的关系不是线性的，所以不能用一般的LS法求解。要采用GLS法求解。GLS法的算法流程图如下图：对GLS法，当误差函数存在多个局部最小值时，可能收敛到J的局部最小值而不是全局最小值，另外由于GLS法是一种迭代算法，一般都需要反复计算几次才能获得结果，因此计算时间较长，所以有必要开发计算时间较短的新算法来解决这一问题。多级最小二乘估计多级最小二乘估计简称MSLS法，他是解决具有相关残差系统辨识的另一种有效方法，MSLS的主要特点是通过三级简单
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