毕业论文-概率论中有关独立性的研究.doc

摘 要概率论是研究随机性或不确定性等现象的学科，而独立性的研究是其中重要内容之一，由于实际需要，对概率论中独立性的研究也较为重要，并且独立性对解决一些实际问题具有理论意义。论文关于独立性的研究做了如下分析：首先，本文研究了随机事件独立性的概念、两个和多个事件的独立性、事件独立性与互不相容，互斥的关系以及在生活中的应用，并通过实例进行了分析。另外，研究了随机变量独立性的概念，性质以及判定方法，也都给出了实例加以论证。关键词: 随机事件；随机变量；独立性 Abstract Probability theory is the subject of studying randomness or uncertainty phenomenon such as discipline, and the study of independence is one of its important contents. Due to the actual need, it is very important to study the theory of probability, besides, the study of independence has theoretical significance to solve some practical problems. This thesis has done the following analysis on the research of independence: First of all, this paper has studies the concept of the independence of random event, the independence of two or more events , the independence of event , the relationship of incompatibility and the mutual exclusion as well as the application in the life, and these are analyzed through examples. Besides, this paper has studied the concept, the properties and methods of independent random variabilities, and also demonstrating them by examples. Key words: Random events; A random variability; Independence 目 录 引 言21 随机事件的独立性31.1事件独立性的概念31.1.1 两个随机事件的独立性31.1.2 多个事件的独立性41.1.3 事件独立与互不相容的区别与联系61.2 随机事件的独立性的应用81.2.1 用于判别两个事件是否独立81.2.2 用于分析系统的可靠性82 随机变量的独立性102.1 随机变量独立性的概念102.2 随机变量独立性的性质112.2.1 随机变量独立性没有传递性112.2.2 与独立而与不独立122.3 随机变量相互独立的判定13总 结19参考文献20致 谢21 引 言概率论的研究对生产生活都有着密不可分的联系，在概率论的研究中，研究随机现象的独立性，尤其显得重要。对于现有的知识水平，掌握好这个问题，对于培养抽象概括能力、逻辑推广能力、空间想象能力和自学能力，以及研究这个课题在实际中的应用价值的体现，都有很大的帮助。对于独立性的理解和判定正确与否直接关系到建模解题全过程。事件的独立性和随机变量的独立性在概率计算的简化和证明中有广泛的应用。有不少学者对概率论中的独立性进行了研究。在文献1中胡乔林研究了概率论中有关独立性的问题。在文献2中吴俊给出了关于随机事件独立性的若干性质。在文献3中尹传存，吕玉华，李福山分析了随机变量独立性的一些结果。在文献5-6中尤芳等人引入了随机变量独立性的若干判定方法及运用。 基于对独立性的研究，本文综合了概率论问题中的随机事件和随机变量的独立性的概念，判定以及应用对独立性问题做出了更加深入的讨论，能够让读者更准确的理解独立性的相关问题。1 随机事件的独立性1.1 事件独立性的概念1.1.1 两个随机事件的独立性 定义1 对于事件和，若就称事件和是相互独立的，简称和独立。 注意: 与是互不相容事件是指与不可能同时发生； 与相互独立指发生与发生互不相关； 由上述定义可知必然事件及不可能事件与任何事件都相互独立，定义中允许或； 若与相互独立，那么容易推出。 证：由条件概率的定义及公式知: 我们知道，若与相互独立，由关于的条件概率等于无条件概率，即两事件与独立的实际意义应是事件发生对事件发生的概率没有影响，更准确地讲，两事件与独立的实际意义为：其中任一事件发生与否对另一事件的概率没有任何影响，这就是下述所谓的独立扩张定理： 定理1 若事件与相互独立，则三对事件，分别也是相互独立的。证：由于，且包含于，故，因与相互独立，有 从而 与相互独立，由与的对称性可得与也相互独立，把证得结果应用于，可见也相互独立。1.1.2 多个事件的独立性前面我们学习了两个事件的独立性的概念、定理，由此我们可以给出三个事件的独立性的概念。三个事件的独立性的定义：若是随机事件中的三个事件，满足下列条件： ； ； ； 。则称为相互独立的事件。若只满足上述，则称它们为两两相互独立的事件。例1 袋中装有四个大小相同的球，其中红球蓝球黄球各一个，另一个是涂有红蓝、黄三种颜色的球。 解：设“任取一球其上涂有红色”； “任取一球其上涂有蓝色”； “任取一球其上涂有黄色”。 则 ， ，显然 ，但是 由此说明：事件是两两相互独立的，但三个事件不是相互独立的。即定义中的个条件缺一不可，由满足不能推出。利用两个事件的独立性中的结论，可以推广得到：设是随机试验的三个相互独立的事件，把其中任一个事件换为其对立事件，亦相互独立。他们的关系如图所示 图例2 一个人看管三台机床，设在任一时刻这三台机床正常工作(即不需人照看)的概率分别为，求在任一时刻三台机床都正常工作的概率；三台机床中至少有一台正常工作的概率。 解：显然，三台机床工作正常与否是相互独立的。 设表示“第台机床工作正常”,则，。三台机床都正常工作即同时发生的概率而是三个相互独立的事件。 三台机床中至少有一台正常工作即至少有一个发生的概率为：，利用对立事件的概率及摩根律可知 用数学归纳法可以定义：对于个事件，如果其任意个事件都是相互独立的，且满足 则称这个事件是相互独立的。 正确理解事件独立性这概念还必须明了对下述概念的区别：事件独立与互不相容的区别与联系。1.1.3 事件独立与互不相容的区别与联系 两个事件相互独立与互不相容的区别与联系：相互独立与互不相容是两个不同的概念。两事件互不相容是指两事件不能同时发生，即，分析：互不相容描述的是两事件之间的关系，由可得 如，则。 反之，如，且，则，在古典概型(即样本点有限) 下有，即与互不相容。 如，且，则与两事件必能同时发生，因而与必然不会互不相容，相互独立与互不相容是两个不同的概念，但它们之间有关系。 例3 证明若，则有当与两事件独立时，即与相容；当，即与互不相容时，与不独立。 证：因与两事件相互独立，且，。可得 故，即与相容。 因，故，而，均为正数，故也为正数，于是，即与不相互独立。 由上例得到“互不相容”与“独立”之间的关系。结论：当与发生的概率都非零(大于)时，如果与相互独立，则与必不互不相容(即相容)；若与互不相容，则与必不相互独立； 两个事件互不相容只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生一个， 但可以都不发生，两两事件对立则表示它们有且仅有一个发生；值得说明的是，在实际问题中，判断两事件与的独立性通常是根据它们的实际意义看彼此是否有影响来进行判断的。 注意以上结论是在，且的条件下得到的，如果这些条件不满足，所得的结论就不同了。 如果与互不相容，且时，可知与任何事件都独立，当然与也相互独立，这时两事件与相互独立，且互不相容。 例4 在一正方形平板上均匀地投掷豆子，记事件豆子落在左半边区域，豆子落在上半边区域，则豆子落在左上平板上，显然有，所以有，即两事件独立，但是，也就是两事件并不互斥。如果定义=豆子落在左半边区域，则 仍然有的两事件独立的关系。这说明两事件其中一个事件的概率发生改变时，两事件仍有可能是独立的。 定理1 若与相互独立，则与,与，与也相互独立。 例5 有两道单选题，记=第道题答对，=第道题答对，两事件是独立事件，在两道题都不会的情况下乱猜答案，问只答对道题的概率。 解：第道题选对第道题选错的概率 同样，第道题选错第道题选对的概率 所以最终只答对道题的概率是。 例6 已知一批种子的出苗率为，现每穴种甲，乙两粒。问一粒出苗一粒不出苗的概率是多少？ 解：设=“甲种子出苗”，=“乙种子出苗”，=“一粒出苗另一粒不出苗”，则且与互不相容。由题意知与是相互独立的。所以与，与也是独立的，因此所求概率为： 1.2 随机事件的独立性的应用 在实际生产和生活的各领域，人们在应用概率论的过程中，通常约定俗成地假定独立性条件满足，即使系统中的各个环节看上去有明显的相依性，也近似地假定它们是独立运行的，这样做的根本原因是由于独立性的假设可以大大简化有关概率的计算。1.2.1 用于判别两个事件是否独立 在实际应用过程中，我们通常不能用定义来判断两事件是否独立，而是用试验的方式来判断的，或者用直观上的性质来看一个事件的发生是否会影响另一事件发生的概率来判断。 例7 在袋中有白球和黑球各个，在又放回的摸球的试验中，设第一次摸到白球为事件，第二次摸到黑球为事件，显然只与第一次试验相关，只与第二次试验相关。是否发生不影响事件发生的概率，即，从而事件与事件相互独立。1.2.2 用于分析系统的可靠性 多个独立事件并和交的运算法则，在实际生活中可以将该性质用于生产中的系统可靠性分析，从而可以大大简化运算。 例8 系统正常工作的概率称作该系统的可靠性，假定系统的各部件是否正常工作相互独立，第个部件正常工作的概率为，由事件独立性可得，将个部件串联组成的系统的可靠性可表示为，而这个部件并联的系统可靠性为，下面介绍几个比较复杂的系统：如图所示 图以上四个图中，已标号的部件正常工作的概率均为，且各个部件是否正常工作相互独立，分别计算上述四个系统正常工作的概率。解：在图中串联部件至正常工作的概率为，同理串联部件至正常工作的概率为，从而系统正常工作的概率为： = 在图中并联部件与*正常工作的概率为： =将这个并联电路再串联得系统正常工作的概率为： 在图中由部件，组成的串联电路正常工作的概率为，与组成的并联电路正常工作的概率为： 将该子并联电路与部件串联后正常工作的概率为： 而部件与串联电路正常工作的概率为，从而系统正常工作的概率为： 在图中所示的电路图中，系统正常工作的概率可分两种情况进行讨论，即部件正常工作与部件不能正常工作。 部件正常工作为事件，系统正常工作为事件，则由Bayes公式，系统正常工作的概率 当部件正常工作时，相当于图中的情形，易得，系统正常工作的概率 当部件不能正常工作时，相当于图中的情形，易得，系统正常工作的概率 。综上，系统正常工作的概率由此可见，随机事件的独立在实际概率计算中的广泛用途。2 随机变量的独立性2.1 随机变量独立性的概念 随机变量的独立性概念是概率论中的重要概念之一。 设及为离散随机变量，如果对于他们任意一对可能值及，事件=与=是独立的，则称随机变量与是独立的。按独立事件的概率乘法定理，对于独立离散随机变量及，我们有 其中这就是说，独立离散随机变量的联合概率函数等于他们的边缘概率函数的乘积。 设及为连续随机变量，如果对于任意一对数值及，事件与是独立的，则称随机变量与是独立的。于是，由分布函数的定义，对于独立连续随机变量及就有 这就是说，独立连续随机变量的联合分布函数等于它们的边缘分布的乘积。 在式的两边分别对及各微分一次，即得 这个结果表明，独立连续随机变量的联合概率密度等于它们的边缘概率密度的乘积。 显然，由式也不难推出式。 例9 已知二维随机变量的联合概率密度为： 随机变量与是否独立？ 解：为了判定随机变量与的独立性，应当先求出它们的边缘概率密度。当时，显然有；当时，有 由此得的边缘概率密度为： 同理可以求得的边缘密度为： 由上面得到的结果易知 所以随机变量与是独立的。最后，我们指出，在实际问题中，判断随机变量的独立性很少借助于式或来验证，通常是根据经验的直观想法进行判断。2.2 随机变量独立性的性质2.2.1 随机变量独立性没有传递性 命题1 是三个随机变量，由与独立和与独立不能推出与独立，即随机变量的独立性没有传递性。 例10 设的联合密度函数为： 则的联合密度函数为： 由此可知，与相互独立，并且都服从标准正态分布。同样可证与相互独立，并且都服从标准正态分布，但是与不相互独立。事实上 与均为标准正态分布，他们的密度函数分别为： 所以对一切 故与不互相独立。2.2.2 与独立而与不独立命题2 设与是两个随机变量，和为一元函数。 若与相互独立，则与不一定相互独立。 例11 设的联合密度函数为： 其中为常数，都是上的连续奇函数，且。因为均为奇函数，所以 由于均不等于零，所以当时，。故与不相互独立。但是，不难证明与是相互独立的。下面就来证明这一结论： 容易求出的联合分布函数为： 而与的联合分布函数分别为： 所以 故与是相互独立的。2.3 随机变量相互独立的判定 判别法之一：定义法 用随机变量独立性的定义判别，是对一系列随机事件的独立性做出判定，进而断定随机变量的独立性。 判别法之二：分布函数法 由于与的独立条件 是随机变量的概率关系，而随机变量的分布函数完整地刻画了的全部概率特性，因此分布函数可以用来刻画随机变量的独立性。定理2 设随机变量的联合分布函数为，其边缘分布函数分别为，则与相互独立的充要条件是对任意实数都有 该定理把随机变量的概率关系转化为函数关系，而函数关系的判别一般来说会容易些。 判别法之三：密度函数法 对于连续型随机变量与的独立性，一些概率教科书给出了如下结果：设是二维连续型随机量则与独立的充分必要条件是联合概率密度函数等于两个边缘概率密度函数的乘积，即 定理3 设二维连续型随机变量有联合密度，其边缘密度分别为，则与独立的充要条件是： 几乎处处成立。该定理给出了判别独立性的一个方法：若 处处成立，则与相互独立；若存在非零测度集，使当时恒有，则与不独立。上述判别法对数学要求较高，而且边缘密度函数的计算有时也会很繁琐，故其判例兹不赘述。值得推介的是定理的推论：推论1 设二维随机变量的联合密度函数为连续函数，则随机变量与相互独立的充要条件为：存在连续函数与使=；分别是与无关的常数或。推论使随机变量独立性的判别变为考察联合密度函数是否可分离变量，以及定域的边界是否为常数的简单工作。 例12 设 问与是否独立？ 解：二元密度函数值大于的定义域为图所示的阴影部分，固定，于是 同理求得 可知不是几乎处处成立，所以与不独立。 图3 判别法之四：用相关性推断独立性我们知道，随机变量的相关系数刻画了随机变量与之间线性相性的程度，那么是否也可以用来描述随机变量与的独立性呢？我们有： 定理4 与独立的必要条件是与不相关，即：与的相关系数，或者与的协方差；换言之，若或，则与不独立。 故定理可以用于判定随机变量不独立。需要指出，定理的逆命题并不成立，即：“与不相关”推不出“与独立”。 判别法之五：严格单调连续函数的性质我们知道，严格单调的连续函数有很好的分析性质，关于随机变量的独立性有：定理5 设与是两个随机变量，与分别是关于与严格单调的连续函数，则与相互独立的的充要条件是随机变量与相互独立。判别法之六：利用联合分布概率判断定理6 设为二维离散型随机变量，且具有如表l的联合分布概率，若与相互独立，则与的联合分布概率矩阵秩必为。 例13 设二维随机变量的联合分布列为 问其中取什么值时独立？ 解：若与独立，则 又或。例14 设二维随机变量的联合分布列为： 问其中取什么值时，独立？解：的分布列： 的分布列： 2 由于边缘分布律必满足及。又与相互独立的等价条件为，可知 且即。 结果分析：以上两个例子中所对应的联合分布概率矩阵的秩均为。定理7 设是连续型随机变量，其联合密度函数为： 则随机变量相互独立的充分必要条件为:存在连续函数使得： 是与无关的常数。 该定理避开求边缘密度函数和的联合密度函数的繁琐过程，使判断随机变量独立性的