（控制理论与控制工程专业论文）基于控制lyapunov函数的非线性系统设计.pdf

摘要 非线性控制理论在很长的一段时间以来一直处于系统分析阶段，即“描述性” ( d e s c r i p t i v e ) 阶段。直至上世纪七、八十年代，原先仅仅应用于对非线性系统进行 分析的概念逐渐被应用到系统的设计中去，使得非线性理论实现了由“描述性”向 “构造性”( c o n s t r u c t i v e ) 的转化。其中一个重要的概念便是控制l y a p u n o v 函数 ( c o n t r o ll y a p u n o vf u n c t i o n 简称为c l f ) 。 l y a p u n o v 方法在非线性系统稳定性理论的建立和发展过程中起到了决定性的作 用。作为该方法的直接推广，c l f 的概念自1 9 8 3 年由a r s t e i n 与s o ：l ；| i t a g 提出后。受到 了一批世界著名的控制论学者的关注。他们对此问题进行了深入广泛的研究，取得了 大量的研究成果。这些成果表明，c l f 为许多复杂菲线性系统的设计提供了一种新的 思路。 本文研究了几种基于c l f 的非线性系统的设计问题。全文共分为六部分，各章的 研窄。q 容叙述如下： 第一章对c l f 的概念、性质及其近二十年来应用研究的进展予以综述。首先介绍 2 l f 的概念和相关的主要结论；然后分几个方面着重地介绍了c l f 在非线性控制 殳计中的应用，充分揭示出这一工具所蕴含的研究价值；最后总结了目前已有的 c l f 的构造的一些结果。 第二章利用系统的鲁棒c l f ，研究了类含有未知参数及扰动的不确定系统的自 苞稳定与自适应跟踪问题。文中首先对形如t = 厂( x ) + f ( x ) 矢十g ( x ) 彘u + c o ( x ，) 的 确定系统定义了i 型r a c l f 与i i 型r a c l f 的概念，利用鲁棒c l f 设计方法及参数 映射技术，针对这两种情况，分别建立了使系统自适应稳定的充分条件，并设计出使 系统自适应稳定的反馈控制律。迸一步。研究了该类系统的跟踪问题，建立了使系统 的输出y ( r ) 自适应跟踪给定目标y a t ) 的充分条件，并且进行控制器的设计。该设计方 法保证了闭环系统的所有信号全局有界，且成立l i m y ( t ) = y ，( f ) 。 第三章在现有的逆最优理论的基础上，提出一些新的逆最优设计方案。首先对于 上海交通大学博士学位论文 第二章所设计的几种基于鲁棒c l f 的自适应控制器，证明了它们同时也是满足某种性 能指标的最优控制；利用h a m z i 等提出的关于c l f 的新的特性，设计出一种新的控制 器，该控制器可使闭环系统实现全局渐近稳定，并且同时具有最优性，此外，在控制 律的作用下，该系统对某种输入状态不确定性具有鲁棒性。 第四章研究了两种特殊类型系统的控制问题。首先，针对常规积分f o r , y a r d i n g 设 计中的某些局限性，提出了一种新的设计方案。该方案增加了积分运算的自由度，因 而有效地拓展了f o r w a r d i n g 设计的使用范围；另一方面，对可化为严格反馈形式的系 统，利用b a c k s t e p p i n g 方法以及l e g e n d r e f e n c h e l 变换技术，构造了该类系统的全局 光滑的输入状态稳定0 s s l 的最优控制律以及输入状态稳定c l f ，并且证明当扰动不 存在时，系统为全局渐近稳定( g a s ) 的。 第五章探讨了非线性系统存在c l f 与最小相位系统之间的关系，提出了对于非线 性仿射系统，当进一步放宽c l f 的正则条件后，系统全局镇定的充分条件，并且讨论 了在什么条件下可以借助c l f 的通用公式构造控制律的问题。 第六章总结了本文研究的主要内容并给出了作者进一步需要研究的问题。 本文主要有以下创新： 1 利用系统的鲁棒c l f ，研究了一类含有未知参数及扰动的不确定系统的自 适应稳定与自适应跟踪问题。通过将系统的自适应控制问题转化为扩展系 统的非自适应问题，建立了使系统自适应稳定的充分条件，并设计出使系 统自适应稳定的反馈控制律。进一步设计了自适应跟踪器，使系统的输出 自适应跟踪给定目标。同时，证明了这些基于c l f 的控制器也是满足某种 性能指标的最优控制。 2 利用h a m z i 等提出的关于c l f 的新的特性，对一般的非线性仿射系统设计 出一种全局渐近稳定的逆最优控制器。此外，在该控制器的作用下，保证 了系统对某种输入状态不确定性具有鲁棒性。 3 对于具有严格前馈形式的系统，针对常规积分f o r w a r d i n g 设计的局限性， 提出了一种改进的f o r w a r d i n g 设计方案。通过增加积分运算的自由度，有 效地拓展了f o r , y a r d i n g 设计的使用范围。 摘要 4 研究了一类具有外部扰动的可化为严格反馈形式的非线性系统的输入状态 稳定问题，利用b a c k s t e p p i n g 递推、逆最优方法、l e g e n d r e f e n c h e l 变换等 工具设计了使系统全局输入状态稳定的最优控制器。 5 对于一般的仿射非线性系统，研究了当存在c l f v ( x ) 的条件放宽后，系统 的状态反馈全局镇定闽题，在矿0 ) 负半定的情况下，给出了若于全局可镇 定的充分条件，大大地拓展了c l f 的应用范围。 关键词：控制l y a p u n o v 函数；非线性控制；仿射系统；稳定性；自适应控制； 逆最优： a b s t r a c t n o n l i n e a rc o n t r o lt h e o r yh a sr e m a i n e dd e s c r i p t i v ef o ral o n gt i m e s i n c e19 7 0 s ，s o m e o ft h ee a r l i e rs y s t e ma n a l y t i c a lc o n c e p t sh a v eb e e na p p l i e dt ot h es y s t e md e s i g n ，a n dt h e c o n t r o lt h e o r yh a sr e a l i z e dt h et r a n s i t i o nf o r m “d e s c r i p t i v e t o “c o n s t r u c t i v e ”ap r o m i n e n t e x a m p l ei st h ec o n c e p to fc o n t r o ll y a p u n o vf u n c t i o n ( c l f ) l y a p u n o vm e t h o dp l a y e dad e c i s i v er o l ei nt h ec o u r s eo fs e t t i n g u pa n dd e v e l o p m e n t o ft h en o n l i n e a rs t a b i l i t yt h e o r y a st h ed i r e c te x t e n s i o no ft h i sl y a p u n o vf u n c t i o nt h a ti s t h ec r i t i c a lc o n c e p ti nl y a p u n o vm e t h o d ，c l fh a sa t t r a c t e dl o t so fi n t e r e s tb ym a n yc o n t r o l t h e o r ys c h o l a r sa f t e ri tw a si n t r o d u c e db ya r s t e i na n ds o f i t a gi n1 9 8 3 t h e yh a v ec a r r i e do n e x t e n s i v er e s e a r c ho ft h i sp r o b l e ma n dh a v em a d eab a t c ho fa c h i e v e m e n t s t h e s e a c h i e v e m e n t si n d i c a t et h a tc l fh a so f f e r e dak i n do fn e wt h o u g h tf o rt h ed e s i g no fm a n y c o m p l e xn o n l i n e a rs y s t e m s t h i st h e s i sm a i n l ys t u d i e st h ed e s i g no fn o n l i n e a rs y s t e m sb a s e do nc l f ，a n di s d i v i d e di n t os i xc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w er e v i e wt h ec o n c e p to fc l fa n dt h er e c e n td e v e l o p m e n to ft h i s m e t h o d f i r s t l y ，t h ec o n c e p to fc l fa n dm a i nr e s u l t so fc l f a r ei n t r o d u c e d t h e nt h e a p p l i c a t i o n si nt h en o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e md e s i g no fc l fa r ep r e s e n t e de m p h a t i c a l l y ，a n d t h er e s e a r c hi m p o r t a n c eo ft h i st o o li sf u l l yr e v e a l e d f i n a l l y ，s o m er e s u l t sf o rt h es t r u c t u r e o fc l fa r es u m m a r i z e d i nc h a p t e rt w o ，t h ep r o b l e m so fa d a p t i v es t a b i l i z a t i o na n da d a p t i v et r a c k i n go fac l a s s o fn o n l i n e a rs y s t e m sw i t ht h ef o r mo ft 一， ) + f 岛+ g ( x k 2 u + c o ( x ，t ) a r ec o n s i d e r e d b ya p p l y i n go ft h er o b u s tc l fo ft h es y s t e m a tf i r s t ，t h ec o n c e p t so fai - t y p ea n di i t y p e a d a p t i v er o b u s tc o n t r o ll y a p u n o vf u n c t i o n ( r a c l 量) a r ei n t r o d u c e d ，a n dt h eg l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l ys t a b l ec o n t r o l l e r sa l ed e s i g n e db a s e do nt h er o b u s tc l fm e t h o da n dp a r a m e t e r p r o j e c t i o nt e c h n i q u e s m o r e o v e r ，t h ep r o b l e mo fa d a p t i v e l yt r a c k i n go ft h i ss y s t e m i s r e s e a r c h e d as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ea d a p t i v e l yt r a c k i n gi sp r e s e n t e d ，a n dau a c k e ri s i 上海交通大学博士学位论文 d e s i g n e d t h et r a c k e rc a ng u a r a n t e et h eo u t p u to ft h es y s t e my ( r ) a d a p t i v e l yt r a c k sag i v e n t r a j e c t o r y ) ，( f ) ，i e 1 i m y ( t ) ；y r ( f ) i nc h a p t e rt h r e e ，s o m ei n v e r s eo p t i m a ld e s i g nm e t h o d sa r ep r e s e n t e d i ti si l l u s t r a t e d t h a tt h ec o n t r o l l e r sd e s i g n e di nc h a p t e rt w oa r ea l s oo p t i m a lc o n t r o l l e r sa c c o r d i n gt os o m e m e a n i n g f u l c o s t f u n c t i o n s b ye m p l o y i n gn e wc h a r a c t e r i z a t i o no fc o n t r o ll y a p u n o v f u n c t i o np r e s e n t e db yh a m z i ，as t a b l ea n do p t i m a lc o n t r o l l e ri sd e s i g n e d ，a n dt h ec o n t r o l l e r i ss h o w nt op o s s e s sr o b u s t n e s st os o m ei n p u tu n c e r t a i n t i e s i nc h a p t e rf o u r , t h ec o n t r o lp r o b l e m so ft w ok i n d so fs p e c i a lt y p es y s t e m sa r es t u d i e d i n t e g r a t o rf o r w a r d i n gi sar e c o r s i v en o n l i n e a rd e s i g nt e c h n i q u ef o rf e e d f o r w a r ds y s t e m s ， a n da l s o ，b y 。t h em e t h o d ，t h es t a b l ec o n t r o ll a wa n dt h ec o n t r o ll y a p u n o vf u n c t i o no ft h e o r i g i n a ls y s t e mc a nb eo b t a i n e d a ni m p r o v e dd e s i g nm e t h o di sp r o p o s e da c c o r d i n gt ot h e l i m i t a t i o no ft h ec l a s s i c a li n t e g r a t o rf o r w a r d i n gd e s i g n t h i sm e t h o di n c r e a s e st h ed e g r e eo f t h ef r e e d o mo ft h ei n t e g r a l ，h e n c ee f f e c t i v e l ye x t e n d st h ef i e l d so ft h ef o r w a r d i n gc o n t r 0 1 a l s oi nt h i sc h a p t e r ，t h ep r o b l e mo fi n p u t t o - s t a t es t a b i l i t y ( i s s ) o fac l a s so fn o n l i n e a r s y s t e m ，w h i c hc a nb et r a n s f o r m e di n t ot h es t r i c tf e e d b a c kf o r mi sc o n s i d e r e d ，t h es t a b l e c o n t r o l l e ri sd e s i g n e db ye m p l o y i n gab a c k s t e p p i n gp r o c e d u r ea n di n v e r s eo p t i m a la p p r o a c h t h em a i nt o o l si nt h ea n a l y s i sa r el e g e n d r e f e n c h e lt r a n s f o r m a t i o n s ，t h et h e o r yo fc o n v e x f u n c t i o na n dy o u n g si n e q u a l i t y i nc h a p t e rf i v e ，t h er e l a t i o n s h i po ft h ee x i s t e n c eo fac l fo ft h es y s t e ma n dt h e m i n i m u mp h a s es y s t e ma r ed i s c u s s e d t h ep r o b l e mo fg l o b a ls t a b i l i z a t i o nw i t ht h e d e v e l o p e dc l f vh a sb e e nc o n s i d e r e d s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fg l o b a ls t a b i l i z a t i o n a r ep r e s e n t e dw h e npi sn e g a t i v es e m i d e f i n i t e i nc h a p t e rs i xt h et o p i c si nt h i st h e s i sa n dt h ep r o b l e m st ob es t u d i e da r es u m m a r i z e d t h em a i nc o n t r i b u t i o n so ft h i st h e s i sa r ea sf o l l o w s ： 1 t h ep r o b l e m so fa d a p t i v es t a b i l i z a t i o na n da d a p t i v et r a c k i n go fac l a s so fn o n l i n e a r s y s t e m sw i t hu n k n o w np a r a m e t e r sa n dd i s t u r b a n c ea r ec o n s i d e r e db ya p p l y i n go f t h er o b u s tc l fo ft h es y s t e m i nt h i sf r a m e w o r kt h ep r o b l e mo f a d a p t i v e “ a b s t r a c t s t a b i l i z a t i o no fan o n l i n e a rs y s t e mi sr e d u c e dt ot h ep r o b l e mo fn o n a d a p t i v e s t a b i l i z a t i o no fa ne x t e n d e d s y s t e m s u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h ea d a p t i v e s t a b i l i z a t i o na r ep r e s e n t e d ，a n da s y m p t o t i c a l l ys t a b l ec o n t r o l l e r sa r ed e s i g n e db a s e do n t h er o b u s tc l fm e t h o da n dp a r a m e t e rp r o j e c t i o nt e c h n i q u e s m o r e o v e r ，t h et r a c k e r s ， w h i c hg u a r a n t e et h eo u t p u to ft h es y s t e m _ ) ，o ) ，a d a p t i v e l yt r a c kag i v e nt r a j e c t o r y y r ( t ) a r ed e s i g n e d i ti si l l u s t r a t e dt h a t t h ec o n t r o l l e r sp r e s e n t e da r ea l s oo p t i m a l c o n t r o l l e r sa c c o r d i n gt os o m em e a n i n g f u lc o s tf u n c t i o n s 2 ，b ye m p l o y i n gt h en e wc h a r a c t e r i z a t i o no fc o n t r o ll y a p u n o vf u n c t i o n sp r e s e n t e db y h a m z i ，ag l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n di n v e r s eo p t i m a lc o n t r o l l e ri sd e s i g n e d a t t h es a m et i m e ，t h ec o n t r o l l e ri ss h o w nt op o s s e s sr o b u s t n e s st os o m ei n p u t u n c e r t a i n t i e s 3 ，a c c o r d i n gt ot h ec l a s s i c a li n t e g r a t o rf o r w a r d i n gd e s i g n ，am o d i f i e df o r w a r d i n g m e t h o di sp r o p o s e d t h i sm e t h o dp r o v i d e sa l la d d i t i o n a ld e g r e eo ff r e e d o mf o rt h e s o l u t i o no ft h ei n t e g r a l ，h e n c ee f f e c t i v e l ye x t e n d st h ef i e l d so ft h ec l a s s i c a l f o r w a r d i n gc o n t r 0 1 4 。a c c o r d i n gt oac l a s so fn o n l i n e a rs y s t e mt h a tc a nb et r a n s f o r m e di n t ot h es t r i c t f e e d b a c kf o r m ，ai n p u t s t a t es t a b l ec o n t r o l l e ri sd e s i g n e db ye m p l o y i n ga b a c k s t e p p i n g p r o c e d u r e ， i n v e r s e o p t i m a la p p r o a c h ，l e g e n d r e f e n c h e l t r a n s f o r m a t i o n s ，e t c 5 。t h ep r o b l e mo fg l o b a ls t a b i l i z a t i o nw i t ht h ed e v e l o p e dc o n t r o ll y a p u n o vf u n c t i o n vi sc o n s i d e r e d s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fg l o b a ls t a b i l i z a t i o na r ep r e s e n t e d w h e n 矿i sn e g a t i v es e m i d e f i n i t e ，i te f f e c t i v e l ye x t e n d st h er e a l mo fa p p l i c a t i o no f c o n t r o ll y a p u n o vf u n c t i o n k e yw o r d s ：c o n t r o ll y a p u n o vf u n c t i o n s ，n o n l i n e a rc o n t r o l ，a f f i n es y s t e m s ，s t a b i l i t y ， a d a p t i v ec o n t r o l ，i n v e r s eo p t i m a z a t i o n 上海交通大学学位论文答辩决议书 申请者陈奕梅 l 所在学科( 专业) l 控制理论与控制工程 论文题目l 基于控制l y a p u n o v 函数的非线性系统设计 答辩日期l2 0 0 5 0 5 2 1 _ | 答辩地点 。f 新上院2 0 8 室 1 答辩委员会成员 担任职务姓名职称所在工作单位备注 签名 主席 顾幸生 教授 华东理工大学校外 燃努 委员寇春海教授，东华大学校夕 ，二i k 强t 锄。 委员 陈树中教授华东师范大学校外 徉删 委员唐厚军 熬授扯：海交通大学 。校内 隗 馋 委员 施颂椒教授i 上海交通大学校内 一，才龟般舨 ， 评语和决议： ， 陈奕梅同学的博士学位论文“基于控制l y a p u n o v 函数的非线性系统设计”研究了利用系统的 控制l y a p u n o v 函数，对几类非线性系统进行控制器的设计，为非线性系统的设计提供了新的思路， 其工作具有重要的理论意义和潜在的应用价值。论文的主要工作及创新点在于： 1 利用系统的鲁棒c l f ，设计出不确定系统的自适应控制器及跟踪器。2 利用c l f 的新特性， 设计出一种全局渐近稳定的逆最优鲁棒控制器。3 堤出一种改进的f o r w a r d i n g 设计方案，有效拓展 了该设计的使用范围。4 对一类具有外部扰动的非线性系统设计了使系统全局输入状态稳定的最优 控制器。5 给出了当存在c l f 的条件放宽后非线性仿射系统的若千全局可镇定的充分条件。 论文叙述清楚，论点明确，论证严密，表明该同学在自动控制领域具有坚实宽广的理论基础和 系统深入的专业知识，独立科研能力强。 答辩过程中讲述清楚，回答问题正确。经答辩委员会无记名投票，致通过其博士学位论文答 辩，并建议授予工学博士学位。 牧也 一一席椭呈雠， 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： f j l 龚哟 日期：- h r d - 年j _ 月眵日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密西。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名： 隋、囊彳西指导教师签名：量车矽。 日期：”j - 年f 月垆e t日期：a r 年，月工仁日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 非线性控制理论具有十分重要的理论研究意义，更具有极为广泛的实际应用价 值。非线性控制理论在很长的一段时间以来一直处于系统分析阶段，即“描述性” ( d e s c r i p t i v e ) 阶段。直至上世纪七、八十年代，原先仅仅应用于对非线性系统进行分 析的概念逐渐被应用到系统的设计中去，使得非线性理论实现了由“描述性”向“构 造性”( c o n s t r u c t i v e ) 的转化。这种现象被称为“活化过程”( a c t i v a t i o np r o c e s s ) 【。 c l f ( c o n t r o ll y a p u n o vf u n c t i o n ) 的概念便是一个突出的范例。众所周知， l y a p u n o v 方法在非线性系统稳定性理论的建立和发展过程中起到了决定性的作用。作 为该方法的直接推广和应用，c l f 方法基于传统的l y a p n n o v 函数方法，将控制量引 入l y a p u n o v 函数的正则性，使该函数不再局限于对非线性系统稳定性的分析，而在 非线性控制系统的设计方面显示出巨大的应用价值。这样，传统的l y a p u n o v 函数实现 了从“描述性”向“构造性”的转变，为许多复杂非线性系统的设计问题提供了一种 新的思路。 c l f 的概念在上世纪8 0 年代分别出a r t s t e i n 2 】和s o n t a g 3 1 引入，随后，s o n t a g ， i s i d o r i ，t e e l 和k o k o t o v i c 等一批世界著名的控制论学者，都对c l f 及其应用进行了广 泛的研究；近年来，他们的学生以及众多的控制理论工作者又对此倾注了大量的心 血。目前主要有以下几方面的成果：1 在稳定性理论的研究方面，c l f 涉及到渐近稳 定、输入状态稳定、积分输入状态稳定、输出反馈稳定等方面；2 在不同类型非线性 系统的研究方面，对时滞系统、随机系统、时变系统、离散系统的稳定性分析、控制 律设计等方面已有大量的研究成果：3 与其它控制方法相结合，c l f 与神经网络控 制、开关控制、预测控制、饱和控制等相结合，取得了较好的控制效果；4 在对非线 性系统的性能分析方面，如鲁棒性、干扰抑制、暂态性、最优化等方面，显示出较强 的能力。 本章旨在对c l f 的概念、性质及其近二十年来应用研究的进展予以综述。全文内 容的安排如下：第2 节简要介绍c l f 的概念及其性质，同时给出了著名的a r t s t e i n s o n t a g 定理；第3 节阐述了c l f 在非线性系统设计的不同方面以及不同类型非线性系 上海交通大学博士学位论文 统控制设计中的应用研究情况；第4 节简述目前关于c l f 的构造方法。最后，在第5 节，给出了本文的主要研究内容和意义。 1 2c l f 的定义及其主要结论 i 相关概念 首先我们给出以后定理介绍中所需的相关概念的定义l 钔。 定义i i给定连续函数v ：工一曰称v 是 ( i ) 正定的( p o s i t i v e d e f i n i t e ) ，如果y ( 0 ) - 0 ，且当x t0 时，矿o ) 0 ； ( i i ) 真的( p r o p e 0 ，如果当临8 一。时，y o ) 一* 。 定义1 2 称函数r ：曰+ 一只+ 为k 类函数，若y ( 0 ) 一0 ，且连续、单调递增。进 而，若满, 足_ l i m x ( s ) 一。，则称之为k 。类函数。 定义1 3称函数p ：r r r 称为k l 类函数，若对每个固定的f ，函数卢( ，f ) 是芷类的；而对每个固定的s ，函数声( 5 ，- ) 是严格递减的，并i j t l i r a f l ( s ，t ) t 0 。 2 c l f 的定义 考虑如下非线性系统 圣一，o ，m ) 一 ( 1 1 ) 的全局渐近稳定问题，其中状态变量x e x c r “，输入变量u e u c r “ 定义1 4 1 2 i称函数矿扛) 为系统( 1 1 ) 的控制l y a p u n o v 函数( c l f ) ，如果满足如 下条件 1 ) v ( x ) 为i e 定的、真的、光滑的。 2 ) 在每个非零x 处，都存在 警倦胞“) ) t 。 ( 1 2 ) 2 第一章绪论 特别地，对于仿射系统 戈= ，( i ) + g ( x ) m ( 1 1 3 ) 其中x zc r “，h e u c r “，“) ，g ( x ) 为光滑向量，且，( z ) = 0 。如果系统( 1 3 ) 存在 c l f ，则下式成立1 4 1 ： l g v ( x ) = 0 l ，v ( x ) 0 ，存在6 o 若x 0 满足 i m c 6 ，则必有某个h ，其范数删t8 ，使缛，矿( 力+ t 矿 ) hc o 成立。 c l f 的重要性在于：v ( x ) 的存在性同时也是使( 1 3 ) 渐近稳定的控制律“。k ( x ) 存在的充分条件。从这一点我们也可以看出c l f 与传统的l y a p u n o v 函数的不同之 处：对于一个系统，如果存在一个l y a p u n o v 函数，则系统是稳定的，如果存在一个 c l f ，则系统是可以通过反馈实现稳定的。 进一步，我们将在下面看到，对于仿射系统( 1 3 ) ，只要给定系统的c l f v ( x ) ，就 一定能够通过系统本身的f ( x ) ，g ( x ) 及y o ) 构造出除原点外处处光滑的控制律。 3 基于c l f 的控制律 c l f 的理论最早起源于1 9 8 3 年a r t s t e i n t 2 的文章，提出了全局稳定反馈的存在与 3 h 海交通大学博士学位论文 系统存在c l f 的充要条件，其证明是基于单位的分划，是非构造性的。s o n t a g 5 1 于 1 9 8 9 年针对此问题给出了一个通用公式，并根据l y a p u n o v 的l i e 导数做出了构造性的 证明。 定理1 2 ( s o n t a g 公式) 1 5 1 如果对于系统( 1 3 ) ， ev ( x )c l f ，则可以得到在 r ”1 0 ) 上光滑的反馈律： u 一七o ) 一 卫：囔擎幽，。m 5 ， 6 0 ) 一 、。 使系统全局渐近稳定。其中，口 ) i = 0 矿0 ) ，6 ) ：一t 矿o ) 。如果y 0 ) 进一步满足小 另外个基于c l f 的控制律的构造是由f r e e m a n 【6 】等提出的逐点最小范数控制 ( p o i n t w i s em i n i m u m n o r mc o n t r 0 1 ) 方、法。 定理1 3 ( f r e e m a n 公式) ：如果系统( 1 3 ) 存在y 0 ) 是c l f ，以及存在光滑正定 的函数a ( x ) ，满足如下条件： l ；矿( x ) = 0 ：争工0 ) t m g ) 戡0 则可以得到在科 o ) 上光滑的反馈律： f 0口0 ) + d o ) s 0 舾堆卜 - 掣6 州+ 喇，o ( 1 石) i6 0 ) 7 6 ) 1 ”“ 可以看到，当选取8 ( x ) 一乒o ) 2 + ( 6 0 ，6 0 ) ) 时，f r e e m a n 公式便成为s 。n t a g 公 对于控制律具有约束的控制问题，类似的公式也已纷纷建立。文【7 】给出了有界控 制( c o n t r o lb o u n d e di nm a g n i t u d e ) t 抟控制律的构造。【8 】分别对正控制( p o s i t i v e 4 第一章绪论 c o n t r 0 1 ) 、( o ，1 ) 区间的控制进行了研究。f 9 】讨论了限于m i n k o w s k i i 球的控制( c o n t r o l s r e s t r i c t e dt om i n k o w s k i ib a l l s ) i n 题a 【1 0 】针对一类普遍存在的输入限制构造出了含有 一个待定参数的控制律的通用公式。【1 1 】更进一步研究了多输入系统范数有界的控制 律的设计。 1 3c l f 在非线性系统设计中的应用 从上世纪9 0 年代起，以s o n t a g ，i s i d o r i ，t e e l 和k o k o t o v i c 等一批世界著名的控 制论学者为代表的众多学者围绕非线性系统的设计，进行了深入而广泛的研究，取得了 大量有意义的研究成果，充分揭示出这一工具所蕴含的巨大的研究价值。下面分别从 几个方面介绍c l f 在非线性系统设计中的应用。 1 3 1c l f 在系统镇定领域的扩展 对控制系统而言，稳定性无疑是最重要的性质。常用的稳定性有系统的输入输出 的稳定性和l y a p u n o v 稳定性。对于线性系统来说，这两种稳定性没有多大的区别，所 以人们常常主要研究系统的l y a p u n o v 稳定性。但是对于非线性控制系统，它们之间的 差别就变得很大，尤其是考虑系统的全局性质的时候。在8 0 年代末，s o n t a g 1 2 】提出了 非线性控制系统的输入状态稳定性( i n p u t - t o s t a t es t a b i l i t y ，简记为i s s ) 概念，受到 了同行的关注，从而成为非线性控制系统稳定性研究的一项重要内容。随后，作为 i s s 的推广，引入了多种相关的概念。主要有：积分输入状态稳定性( i n t e g r a l - i n p u t t o s t a t es t a b i l i t y ，简记为i i s s ) l ”】，输入输出状态稳定性( i p u t t o o u t p u ts t a b i l i t y ，简记为 l o s ) t 1 4 1 ，输出状态稳定( o u t p u t s t a t es t a b i l i t y ，简记为o s s ) 1 1 5 】等。基于上述稳定性概 念的扩展，c l f 的概念也进行了相应的扩展。 1 输入状态稳定 简单地说，输入状态稳定是指当输入有界的时候，系统的状态也是有界的。这个 要求与系统的有界输入有界输出稳定性十分相像，因而这个概念的重要性与应用性也 是显然的【1 6 1 。关于i s s 控制律的设计，很多都是围绕i s s 控制l y a p u n o v 函数( i s s - c l f l 进行的【1 7 - 1 9 。 考虑带有扰动的非线性仿射系统 5 上海交通大学博士学位论文 量一f ( x ) + g 1 ( z m +