（光学工程专业论文）数字全息技术在微结构形貌测试中的应用研究.pdf

中文摘要 随着微加工技术的快速发展，微结构表面形貌的获取越来越受到人们的关 注。数字全息技术将光学全息与数字技术结合起来，利用c c d 器件直接记录数字 全息图，通过在计算机中的数字再现可以同时获得物体再现的振幅像和相位像。 高分辨率的、快速的、非接触的、无损的、测量便捷的数字全息技术已发展为一 种新的微观领域的测试工具，为诸多领域广泛关注。 本文主要围绕数字全息技术在物体表面形貌测量方面的应用展开研究，系统 的分析了离轴菲涅尔数字全息系统和基于4 f 系统的离轴菲涅尔数字全息系统用 于形貌测量的基本理论，并进行了实验研究，主要内容如下： 1 系统的分析了数字全息用于表面形貌测试的基本理论； 2 针对数字全息再现中的再现光的载频系数和再现距离的调整方法进行了 理论分析。提出用寻找物体空间频谱中心韵方法确定再现光的载频系数， 保证数字全息的准确再现，对该方法进行了模拟分析及实验验证。并提 出利用“g r a y ”( 灰度值) 算法、“e n t r o p y ”( 熵) 的算法和“t e n e n g r a d , ( 梯度) 的算法确定再现距离，对三种算法进行了理论模拟。 3 。提出应用4 f 系统的成像特性消除二次相位因子对物体相位信息的干扰， 并设计了基于4 f 系统的离轴菲涅尔数字全息系统。 4 在理论分析的基础上，分别对离轴菲涅尔数字全息和基于4 f 系统的离轴 菲涅尔数字全息进行了实验研究。 关键词：数字全息形貌测试4 f 系统离轴菲涅尔全息 a b s t r a c t w i t ht h ef a s t d e v e l o p m e n to ft h em i c r o m a c h i n i n g ，t h et e c h n o l o g y o f m i c r o s t r u c t u r et o p o g r a p h yi n f o r m a t i o no b t a i n e db e c o m e sa ni n c r e a s i n gc o n c e r n e d s u b j e c t d i g i t a lh o l o g r a p h yi sat e c h n o l o g yt h a tc o m b i n e st h ed i g i t a lt e c h n o l o g ya n d t r a d i t i o n a lo p t i c a lh o l o g r a p h y , t h eh o l o g r a mg e n e r a t e db yo b j e c ti sr e c o r d e dd i r e c t l y b yc c da n ds t o r e dd i 百t a l l yb yc o m p u t e r , a n dt h e nr e c o n s t r u c t e dn u m e r i c a l l y a n d i n t e n s i t ya sw e l la sp h a s ei n f o r m a t i o no fah o l o g r a p h i c a l l ys t o r e dw a v e f r o n tc a l lb e a c h i e v e dd i r e c t l yi nt h en u m e r i c a lr e c o n s t r u c t i o np r o c e s s d i g i t a lh o l o g r a p h yi sa h i g h - r e s o l u t i o n ，q u i c k ，n o n - c o n t a c t a n d n o n i n v a s i v e ，a n de a s ym e a s u r e m e n t t e c h n i q u ea n dn o wh a sb e e nd e v e l o p e di n t ot h ep r o s p e c to fap o w e r f u ln e wt o o lf o r m i c r o d o m a i nm e a s u r e m e n ta n db e c o m e sa ni n c r e a s i n ga n dw i d ea t t e n t i o ni nv a r i o u s f i e l d s t h i sp a p e r c e n t e r i n g a b o u tt h e a p p l i c a t i o no fo b j e c t s u r f e c tt o p o g r a p h y m e a s u r e m e n tw i t hd i g i t a lh o l o g r a p h yi ss t u d i e d , a n dt h eb a s i ct h e o r yo fo f f - a x i s f r e s n e ld i g i t a lh o l o g r a p h i cs y s t e ma n dt h eo f f - a x i sf r e s n e ld i g i t a lh o l o g r a p h i cs y s t e m b a s e do n4 ff o rt o p o g r a p h ym e a s u r e m e n th a v eb e e na n a l y s i z e da n de x p e r i m e n t a l r e s e a r c hh a v eb e e na l s od o n e t h em a i nc o n t e n t so f t h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： 1 t h eb a s i ct h e o r yo fd i g i t a lh o l o g r a p h yf o rs u r f a c et o p o g r a p h ym e a s u r e m e n t h a sb e e na n a l y s i z e d 2 t h em e t h o da d j u s t i n gt h er e c o n s t r u c t i n gl i g h tc a r r i e r 仔e q u e n c yc o e 伍c i e n t a n dt h er e c o n s t r u c t e dd i s t a n c ei nd i g i t a lh o l o g r a p h yi sa n a l y z e dt h e o r e t i c a l l y t h em e t h o dd e t e r m i n e dt h er e c o n s t r u c t i n g1 i g h tc a r r i e r 疗e q u e n c yc o e f f i c i e n t b yl o o k i n gf o rt h es p a c e f r e q u e n c yc e n t e ro fo b j e c ti sp r e s e n t e d ，a n dt h e g o o dr e c o n s t r u c t e di m a g e so fd i g i t a lh o l o g r a p h ya r eb e e no b t a i n e d t h e s i m u l a t i o na n a l y s i sa n dt h ee x p e r i m e n t a lv a l i d a t i o nh a v eb e e nc o m p l e t e d t h e m e t h o dm a td e c i d e st h er e c o n s t r u c t e dd i s t a n c ei nn u l n e r i c a l r e c o n s t r u c t i o nw i t ht h ea l g o r i t h m so f “g r e yl e v e ll o c a lv a r i a n c e ”，“e n t r o p y a n d t e n e n g r a d ”h a sb e e na l s op r o p o s e d ，a n dt h e o r e t i c a ls i m u l a t i o nh a s b e e nd o n e 3 t h em e t h o dt h a te l i m i n a t e st h ed i s t u r bf r o map a r a b o l i cp h a s ef a c t o rt o o b j e c t sp h a s ei n f o r m a t i o nb yu s i n gt h ei m a g ec h a r a c t e ro f4 fs y s t e mh a s b e e np r e s e n t e da n dao p t i c ss y s t e mo fo f f - a x i sf r e s n e ld i g i t a lh o l o g r a p h y b a s e do i l4 f s y s t e mh a sb e e nd e s i g n e d 4 t h ee x p e r i m e n t a lr e s e a r c ho fo f f - a x i sf f e s n e ld i g i t a lh o l o g r a p h ya n do f f - a x i s f r e s n e ld i g i t a lh o l o g r a p h yb a s e do n4 fs y s t e mh a sb e e nd o n eb a s e do nt h e t h e o r i e s k e y w o r d s ：d i g i t a lh o l o g r a p h y , s u r f a c et o p o g r a p h ym e a s u r e m e n t ，4 fs y s t e m ， o f f - a x i sf r e s n e ld i 百t a lh o l o g r a p h y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，沦文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘盗盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名孙裎签字日期：2 蛐岁年，月吾日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权丞壅盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：留毋 签字日期：z 册5 年1 月3 同 导师繇葛宝餐 签字日期：戚旷年，月r 日 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 数字全息技术及其发展现状 1 1 1 数字全息的概念及基本特点 数字全息术是g o o d m a n 等人在1 9 6 7 年提出的 。数字全息术同样以光的干 涉和衍射为理论基础，其波前记录光路的基本结构也与光学全息术的光路相同， 通过波前再现获取被测物体的振幅信息和相位信息。数字全息与光学全息的最大 差别在于采用光敏电子成像器件代替传统的全息干板拍摄全息图，再现过程则在 计算机中通过数字模拟来实现。 与传统的光学全息技术相比，数字全息技术具有以下主要特点：( 1 ) 采用 c c d 直接记录全息图，并将数字化的全息图传入计算机内存储。避免了一系列 复杂的物理、化学处理过程。( 2 ) 与全息干板相比，c c d 记录的曝光时间很短， 一方面降低了对系统稳定性的要求，另一方面可以实时记录运动物体的瞬间状 态。( 3 ) 通过数字再现可以同时获取物体的强度分布和相位分布，便于多种测量， 特别是物体三维形貌的定量测量。此外，数字再现及数字分析过程中还可以通过 软件消除像差、噪声等负面因素，并实现自动化的测量和分析。 全息再现像的分辨率及再现像质与记录材料有很密切的关系。数字全息技术 相比传统的光学全息最大的缺憾是分辨率低。目前c c d 的分辨率相对全息干板 的分辨率低一个数量级。c c d 像素尺寸大、光敏接收面小，致使数字再现像的 分辨率低，像质较差。c c d 器件固有性能限制可记录的物光和参考光的夹角较 小，仅适应于小物体、远距离记录，从而使再现像面上的散斑尺寸增大，横向分 辨率低。因此，如何提高分辨率和再现像质是数字全息技术发展和应用中需要解 决的关键问题。 1 1 2 数字全息技术的国内外发展现状 随着计算机和c c d 器件性能的不断提高，数字全息术迅速发展起来。国内 外对于数字全息技术的理论研究及应用研究都做了大量的工作。 理论研究主要针对如何改善再现像质量，提高再现分辨率展开。通过数字再 现获取的再现信息都处于一个二维平面内，无法像光学全息那样通过空间将原始 天津大学硕士学位论文第一章绪论 像、零级像和共轭像相互分离。为了获取清晰的再现像，最直接的方法是采用离 轴全息光路，将数字全息图进行傅立叶变换后通过频谱滤波去除零级像和共轭像 的频谱 2 】【3 ，这样获得的再现像中只有原始像信息。这种方法只需记录一张全息 图，实验装置简单。但是频谱滤波容易造成高频信息的丢失，影响再现像质，离 轴角度也限制数字再现像的分辨率。同轴全息光路虽然无法避免原始像、零级像 和共轭像的相互叠加，但却可以获得较高的横向分辨率及较低的散斑噪声，目前 已提出了一些消除零级像和共轭像的数字再现方法n l 5 1 。相移技术引入同轴全息 光路是一种行之有效的方法【6 】【”，将多幅全息图按照一定方式进行数字叠加后再 现，从理论上完全消除零级像和共轭像，不会造成有用频谱信息的缺失，同时可 以获得高于离轴光路的再现分辨率。但是实验装置复杂，无法实时记录动态物体 信息，同时对环境稳定性的要求提高，相移过程中引入新的误差源。典型的相移 技术多采用四步相移，y i n g z o n g w a n g 等人对于相移误差进行详细的理论分析， 证明单步相移技术更便于对相移引起的误差进行软件修正及补偿【8 1 。上述诸方法 对于提高分辨率及改善像质的作用是有限的。c c d 的光敏接收面小，限制了对 于物体波前信息量的记录；像素尺寸大，限制了对于高频信息的记录；动态范围 相对较小，也制约了对物体强度分布信息的记录。在现有c c d 器件性能条件下， 提高再现像的质量和分辨率的最有效方法是增大全息图的记录面积。合成孔径技 术是在雷达、遥感等领域解决类似问题的比较成熟的方法，目前已有报道对合成 孔径技术在数字全息中的应用进行研究【9 【1 0 】。这一方法可以明显的改善再现像 质、提高再现像分辨率，但是要记录大量的全息图，实验系统的复杂度高，还需 要复杂的成像算法。此外，还有一些关于消除散斑噪声、获取高分辨率、改善像 质方面研究的报道【1 l 】f 1 2 】。 数字全息技术在全息图的记录及再现方面的便捷性和高效性，以及获取定量 信息方面的优势，为全息技术的应用提供了发展平台。数字全息技术在应用方面 的研究已经涉及形变测量、形貌测量、振动分析、粒子场测量、三维物体识别、 生物医学诊断、以及与空间结构有关的各种物理特性参量的测定等诸多领域。周 灿林等人将数字全息技术应用于力学测试中，分别记录物体变形前后的两幅全息 图，通过数字再现提取相位信息，分析形变情况，文中针对激光散斑噪声的负面 影响，提出小波去噪的处理方法 1 ”。数字全息技术应用在喷雾、雾滴、聚合物粒 子生长、微小粒子跟踪、微生物测量及分析等粒子场测量领域。吕且妮等人对标 准粒子场及低速粒子场的数字全息测量方法进行了理论研究及实验分析 1 “。 x u w 等人利用数字全息技术研究微米尺寸的粒子在水中的运动轨迹，并记录分 析了5 - 1 0 # r n 大小的海藻的运动状态【1 ”。d e p e u r s i n g e 等人将数字全息技术应用于 细胞和生物组织的监测上，可以在亚微米范围内精确测定细胞和组织形态，并可 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 以观察微小的运动及形交，他们认定对于组织结构的直接成像可以为生物、医药 及诊断提供独一无二的研究方式1 6 1 。s s e e b a c h e r 等人利用光纤传光的无透镜傅 立叶全息实验系统对漫反射物体表面的形状和变形进行测定，进而分析与这些测 量相关的物理参量如泊松率、杨式模量及热膨胀系数等【1 7 】。 1 2 数字全息技术用于三维形貌测量的意义及发展现状 1 2 1 微表面三维形貌测量的意义及各种检测方法 随着微细加工技术的不断发展以及对于微机械、微电路、微光学元件等微结 构的日益需求，微结构表面形貌测量越来越受到人们的关注。微表面形貌主要是 通过机械加工、化学加工以及其他特殊加工工艺形成的。在直观的表面形貌之下， 还与物质的内在特性如硬度、残余应力、化学成分、材料特性等物理化学性质密 切相关。而这些特性都会对微结构的使用性能产生直接或间接的影响。如在光纤 通讯中，光纤连接器端面的球面半径、光纤芯的位置以及光纤端面相对于连接器 端面的突出或凹陷都会直接影响到光纤链路的连接效果。又如m e m s 系统的制 作需要在硅片上进行微型化的机械结构加工，由残余应力引起芯片引脚的形变也 会影响芯片的使用性能。通过对微表面三维形貌的测量，我们可以检测微器件是 否达到设计要求，并可以通过分析改进调整加工工艺。微表面结构通常在测量时 要求较高的横向分辨率和轴向分辨率。同时由于测量的需要，微结构表面的测量 不同于平滑表面的测量，而是要给出测量表面的轮廓、形状偏差等信息。因此微 表面形貌测量对于检测的手段和方法提出较高的要求。 目前应用于微表面三维形貌测量的方法很多，根据原理可以将测量方法大致 分为五类，如表1 - 1 所示 1 引。通过比较我们可以发现，机械探针式测量方法采用 机械接触式测量，其测量过程会对被测表面造成损伤，不适用于微表面的测量。 扫描探针显微镜和扫描电子显微镜虽然具有极高的分辨率，但是系统结构复杂、 技术难度大，对测试环境的要求苛刻，不适于实时、快速的测量，成本也较高。 利用光学干涉原理的方法是保证一定测量精度条件下，实验系统结构及数据处理 最简单的方法。全息技术最吸引人的特性就是可以简便、直接的获取一定范围内 的物体表面三维形貌信息。数字全息技术在形貌测量方面的研究已经成为近年来 越来越为人们所关注的热点。 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 表1 - 1 微表面三维形貌的测量方法 横向纵向 测量方法主要测量原理主要优缺点 分辨率分辨率 机械探针与被测表面接 触并沿表面移动，表面接触式测量，易 机械探针式 o 2 # m 0 1 n m 凹凸转化为探针的垂直损伤被测面 位移量 类似机械探针式，但探 非接触测量，需 光学探针式针是聚集光束( 物镜焦 l “ml n m要高精度调焦 ( 离焦误差检测)点的偏移量反应表面形 系统 貌) 通过被测面和探针问各精度高，但技术 扫描探针显微镜种相互作用表现的不同 l n m0 0 0 1 n m难度大，操作复 ( 扫描隧道显微镜)特性进行测量( 基于量杂，操作环境要 子隧道效应)求高 适合定性测量， 利用聚焦微细电子束作 真空环境操作， 扫描电子显微镜 2 r i m 1 0 n m 为电子探针进行测量操作复杂，测量 费时 适合测量横向 尺寸z m 级、纵 干涉显微镜光波干涉原理 1 z m 0 1 r i m 向尺寸n r f l 级的 微表面 1 2 2 数字全息技术在微表面三维形貌测量方面的研究发展现状 近些年，国外对于利用数字全息技术进行微表面形貌测量的理论及应用展开 了大量的研究工作。数字全息术中用以表征微表面形貌的重要参量是利用干涉获 得的相位信息。因此如何获取相位信息以及如何度量相位与形貌信息的关系是数 字全息用于形貌测量的关键问题。 g p e d r i n i 等人利用数字全息干涉仪测量微观物体的形状。在改变照明角度前 后记录两幅全息图，利用两幅全息图数字再现获得的相位分布的差值重构三维物 体形状，设计中利用光纤传光，使系统结构紧凑，测量方便 1 ”。 y a m a g u c h i 等人同样通过改变物体照明光的入射角度来获取不同的相位分 天津大学硕士学位论文第一章绪论 布，根据它们之间的差值获取物体的形貌信息，在其中将相移技术与同轴全息术 相结合获取高分辨掣” 。 d e p e u r s i n g ec h r i s t i a nd 等人提出了数字全息显微的概念，其实验装置基于 迈克尔逊或马赫泽得干涉仪，只需记录一幅全息图可以同时获得物体的振幅反差 像和定量相位反差像，可以确定轴向纳米范围内的物体折射率或物体形貌。系统 的轴向分辨率在3 0 r i m 左右，横向分辨率大约为0 5 m a 2 ”。 p e d r i n i g 等人提出适合于三维微结构探测的短相干数字全息系统，采用相干 长度为5 0 # m 的短相干激光器，只有当测量臂与参考臂的光程差在激光器的相干 长度内时能够记录干涉场信息。移动参考光反射镜的位置记录一系列全息图，再 将它们按波衍射传播关系再现，再现像包含了物体的三维信息【2 “。 s c h u l z e 等人应用数字全息技术进行半导体晶片的缺陷检测。利用深紫外线 激光器照明，该数字全息术能够分析出相对高度差在几个纳米的相位差值，同时 根据全息图再现提供的相位信息可以给出被测部分的三维图像【2 3 1 。 k e b b e l 等人应用数字全息显微术检测微光学器件，对于探测的微透镜阵列 可以获取很高的横向分辨率，同时运用一幅数字全息图再现的物体不同深度的聚 焦像。 c o p p o l a 等人采用数字全息技术进行m e m s 结构的检测与构建。通过数字全 息技术可以有效的评估微结构的加工过程以及测试它们在一定操作条件下的特 性。其探测微结构尺寸在1 - 5 0 9 i n ，光学系统中引入相移技术消除零级像和共轭 像，同时给出了对于显微物镜成像引起的波前弯曲的补偿方法 2 ”。 sd en i c o l a 等人应用数字全息显微术检测铌酸锂材料微结构的表面形貌。 对于那些如光学屋脊波导、阵列结构、v 型槽、微悬臂梁等结构进行检测【2 “。 m a r i a n 等人通过一个简单模型来评价数字全息显微术中显微物镜的复振幅 点扩散函数。该模型基于菲涅尔衍射理论，同时考虑了可能的光学误差。他们还 以一个6 0 n m 的小金球作为严格点物通过全息光路对这个振幅点扩散函数进行了 实验评估睇7 1 。 数字全息测量是以波长为度量单位的，j g a s s 等人提出一种运用多波长的数 字全息技术，该方法在理论上可以获得相对单一波长任意大的合成波长，从而延 展了周期相位的测量范围，在一定程度上消除了相位包裹 2 引。 在国内，数字全息用于物体形貌测量的应用研究上少有报道。上海光机所的 刘诚等人对数字全息形貌测量的基本性质进行了理论分析研究1 2 9 1 。 天津大学硕士学位论文第一章绪论 1 3 本论文的意义及主要工作 数字全息技术将光学全息技术与数字技术结合起来，因其系统简单，测量快 速，非接触性，高精度，全场测量等优点受到人们的广泛关注。其应用已经涉及 了形貌测量、振动测量、变形测量、生物粒子检测及分析等诸多领域。特别是在 m e m s 系统及各种微光学器件的检测上受到普遍的重视。 本文主要针对数字全息技术在微结构形貌分析方面的应用展开研究。 完成的主要工作有： 根据微结构形貌测量的具体特点，在全面分析数字全息技术的前提下，提出 与之相适应的测量技术，并对这些技术的理论及其优缺点进行分析，并尝试找到 改进方案。 以离轴菲涅尔数字全息系统为例，系统的分析了数字全息技术用于微结构形 貌分析的基本理论。为接下来选取三维形貌分析方法奠定了一个扎实理论基础。 对于离轴再现参量再现光，通过对全息图频谱的分析，寻找物光频谱的中心 来确定参考光的载频系数，设定再现光载频系数使再现光和参考光相吻合，从而 实现对全息图的准确再现。 对于再现距离，根据再现像的灰度特性，利用v a r i a n c e 法、e n t r o p y 法和 t e n e n g r a d 法确定不同成像距离的锐度函数值，从而确定物体的再现聚焦位置。 文中对上述方法将做迸一步的模拟实验。 针对一般放大成像过程由于透镜引入附加二次相位因子而对物体再现像的 相位信息造成干扰的现象，提出4 f 系统作为成像系统，利用4 f 系统的特性获得 不含相位因子的放大实像，从而消除相位信息误差源。 在理论分析的基础上，分别对离轴菲涅尔数字全息和基于4 f 系统的离轴菲 涅尔数字全息进行了实验研究。 天津大学硕士学位论文 第二章离轴菲涅尔数字全息用于微形貌分析的研究 第二章离轴菲涅尔数字全息用于微形貌分析的研究 数字全息术将光学全息和数字技术有机结合起来，通过c c d 数字记录全息 图并数字再现，为物体表面形貌特征的定量测量提供了手段。根据全息的记录特 性，采用数字方法再现时会同时获得零级像、原始像和共轭像。利用数字全息技 术对物体表面形貌进行分析，首先必须提取出物体原始像的振幅分布。消除零级 像和共轭像的主要方法有两种，一种是在数字全息记录中引入相移技术，这种方 法的去除效果很好，但需要控制物光或参考光来记录多幅全息图，增加了系统装 置的复杂性，同时对环境的稳定性要求提高。另一种方法是利用离轴全息光路， 再现过程中通过频域滤波消除零级像和共轭像的频谱，再现像中只保留原始像。 这种方法只需记录一幅全息图，实验装置简单、适用性强。因此，本章采用离轴 菲涅尔数字全息方法进行物体表面三维形貌分析研究。 2 1 离轴菲涅尔数字全息用于形貌测量的基本理论 2 1 1 物体表面坐标与相位分布的对应关系 卜 ( a ) 图2 1 q 卒间两点的光稗著示意图 如图2 - 1 ( a ) 所示为三维物体平行于z 轴的一个层面被沿，方向传播的平面波 照射，观察点沿方向。设物体所在空间坐标系为x 寸- z ，垂直于：轴的平面d ) 天津大学硕士学位论文第二章离轴菲涅尔数字全息用于微形貌分析的研究 为相位零平面。物体表面p 点的坐标为p ( x p , y p , z _ 力，印为p 点相对于相位零平面 的垂直距离，a 的坐标为q ( x q , y q , z q ) ，z o 为o 点相对于相位零平面的垂直距离。 则由图2 - 1 ( b ) 所示，p 、q 两点的光程差为： a = q p 一p q = ( q c + c p ) 一( 尸叠一q ) = o c + q 口- i - ( c p ，- p a ) = 二：! ；堡 1 + c o s o + f ) 】+ ( 工p 一工曾) 2 + ( y p y 口) 2 一z p z q ) t a n i ( s i n i s i n i ) c o s z 一一 = ( z p z 口) ( c o s i + c o s i ) + ( z p x 口) 2 + ( y p y q ) 2 ( s i n i s i n i ) ( 2 一1 ) 当规定q 点为零相位点时，则有： a p = z p ( c o s i + c o s i ) + ( x p x q ) 2 + ( y p y q ) 2 ( s i n i s i n i 7 ) ( 2 2 ) 已知照明方向、观察方向及零相位点q ，则物体表面任意一点p 的光程差可 由式( 2 2 ) 计算得出。 则物体表面任意点p 的相位： 弗= 等，= 了2 7 9z p ( c o s i + c o s ) + 厄i 再而( s i l l f - s i n f ，) ( 2 - 3 ) 设照射光经物体表面衍射后的光场复振幅分布可表示为： o ( x o ，y 。) = a ( x 。，y 。) e x p jo ( x 。，y 。) ( 2 - 4 ) 式中a ( x 。，y 。) 表示物体的实振幅分布，庐。( k ，y 。) 表示物体的相位分布。根据上 面的推导可知，物体表面任意一点的相位值与其高度值满足式f 2 3 ) 中的关系。对 于确定的f ，i 及相位零点，通过测量相位丸，即可获得物体表面任意点的空间坐 标，从而获知物体表面的三维形貌。 当照明方向和观察方向均垂直于相位零平面时i = 一i = 0 ，则有： 办= 邵 ( 2 5 ) 此时相位分布只与物体表面各点到相位零平面的距离有关，通过测量相位分 布丸，即可确定物体的高度信息。 2 1 2 离轴菲涅尔数字全息的记录和再现 根据数字全息相对于光学全息的不同特点，我们在菲涅尔衍射区记录数字全 息图。数字全息的记录及再现模型如图2 - 3 所示。首先做如下规定：坐标面x o - y o - z o 天津大学硕士学位论文 第二章离轴菲涅尔数字全息用于微形貌分析的研究 为物体所在基准平面( 物体表面各点的高度为到基准平面的垂直距离) ，坐标面 一o 为全息图面，坐标面x g y i z r 为再现像面。利用单色平行光照明物体。物光、 参考光和再现光的波长均为k 物 物体基准平面 全息图面再现像面 参考光 ji r ji 戈 茗 端 童箩 ， l 翠 物光 i z o z f ll 图2 - 2 离轴菲涅尔全息的记录及再现坐标系 z 由于物体表面的高度值( 通常在微米量级) 远远小于物体至h 全息图面的距离， 在菲涅尔近似条件下，到达全息图面的物光波可表示为： 吣棚：掣f f d ( 如e x p ( j k 壁型善型丛胁。d y 。( 2 - 6 ) 7 oz o 式中七= 2 ，z 口表示物体基准平面到全息图面的距离。 2 1 2 1 全息记录的物理过程描述 全息记录过程的数学描述如下： 设 o ( x ，y ) = a ( x ，y ) e x p j 丸0 ，y ) ( 2 - 7 ) 是到达全息图面的物光的复振幅分布。其中，a ( x ，y ) 表示实振幅分布，q 6 0 ( x ，y ) 表 示相位分布。 r ( x , y ) = r ( x ，y ) te x p j 办( x ，y ) ( 2 - 8 ) 是到达全息图面的参考光的复振幅分布。其中，r ( x ，y ) 表示实振幅分布，六( 工，j ，) 表示相位分布。 两个光波在全息图面发生叠加干涉，达到c c d 靶面的光强信息为： ( z ，y ) = j o ( x ，y ) + r ( 工，y ) f = i o ( x ，y ) 1 2 + i r ( 工，y ) 1 2 + o ( x ，y ) r + ( 工，y ) + d + ( x ，y ) r ( x ，y ) ( 2 9 ) = i o ( x ，y ) + o ( x ，y ) r + ( z ，y ) + 0 + ( x ，y ) r ( x ，y ) 天津大学硕士学位论文第二章离轴菲涅尔数字全息用于微形貌分析的研究 式中+ 表示复共轭，i o ( x ，y ) = i o ( x ，y ) 1 2 + l r ( 五y ) 1 2 为物光的相关和参考光的自相关 项之和。 在线性记录条件下，全息图的复振幅透射系数为 ( x ，y ) 。c ( 墨y )( 2 10 ) 2 1 2 2 数字全息的再现 在数字全息术中，利用c c d 数字记录全息图，并在计算机中对全息图以数 字形式存储并再现。数字记录是对全息图进行离散化抽样的过程，c c d 光敏面 上的每个像素对应一个抽样点。设像素尺寸为a x a y ，对于占空比为i 的c c d ， 血和y 分别表示石和y 方向的抽样间隔。像素数为m x n ，则三。= m a x 和 l y = n - 缈分别表示光敏面在x 和y 方向的有效长度。经抽样后的离散数字全息 图可以表示为： i ( m ，n ) = m ，y ) r e c f 亭，j ( x - - m a x ，y n a y ) ( 2 1 1 ) 山zl v m = ln = l 式中矩形函数r e c t ( x l ，y l 。) 表示c c d 靶面的有效感光面积，5 函数表示二维 抽样点，m = 1 , 2 ，3 ，a ，m ，n = 1 , 2 ，3 ，a ，。 数字再现是在计算机中模拟照明光波c ( x ，y ) 照射全息图，通过计算菲涅尔衍 射传播，即可确定在再现像面上的波前复振幅分布。 通常采用原参考光或原参考光的共轭来照射全息图，这里用原参考光照明全 息图。则透过全息图的光波复振幅可简写成： c i = r ( x ，y ) i 。( z ，y ) + o ( x ，y ) l r ( x ，y ) l + d + ( x ，y ) r 2 ( z ，y ) ( 2 - 1 2 ) 等式右侧的第一项为通过全息图而没有被衍射的光波；第二项为再现物光波，形 成个虚像( 原始像) ，i r ( x ，y ) 1 2 只影响像的亮度；第三项为扭曲的物体实像( 共 轭像) 。对于一个离轴全息光路，上述三项在空间彼此分离。 通过频域滤波，保留第二项原始像的复振幅分布d ( x ，y ) l r ( x ，y ) 1 2 ，忽略常数 项i ，( x ，y ) 卜则再现像面上的光场复振幅分布为： 。x i , y i ) ：e x p ( 。j k z , ) i i o ( x , y ) e x p j k 盟型冬必蚴( 2 - 1 3 ) m z z i 式中z ，表示再现像面到全息图面的距离。 对于数字全息的再现，目前多采用的两种方法是菲涅尔再现法 3 0 1 和卷积再现 法。菲涅尔再现法的再现像素尺寸为： 天津大学硕士学位论文第二章离轴菲涅尔数字全息用于微形貌分析的研究 她2 患，蚣篙 ( 2 - 1 4 ) 卷积再现法的再现像素尺寸为： 缸，= 缸，a y ，= 劬 ( 2 1 5 ) 从式( 2 一1 4 ) 和式( 2 1 5 ) 的比较可以看出，菲涅尔再现法中再现像素尺寸与再现距 离、c c d 有效感光面积都有关。而卷积再现法中再现像素尺寸与c c d 像素尺寸 相同。因此，在系统研究中采用卷积再现算法，可以用来保证一个恒定的再现比 例因子。 对于一个线性空间不变系统，忽略常数因子8 x p ，娩多缸；，式( 2 1 3 ) 可以表 示为再现物光波的复振幅与系统的点扩散函数的卷积 。( t ，y ，) = d y ) * e x p ( j k 三； ) ( 2 1 6 ) 。( m ) ：。( 。，。) * e x p 弦鱼燮坠芝 ：f 一， f p c m ，。，f e x p c 二尘型! ! 毛i ：j 堕丛】) ) g 。1 7 式中p = 1 , 2 ，3 ，a ，m ，q = 1 ，2 ，3 ，a ，n ；f 表示傅立叶变换，f 。 ) 表示逆傅立 叶变换。 再现像面上的强度分布i ( p ，g ) 和相位分布o ( p ，q ) 分别为： s ( p ，g ) = o ( p ，g ) 0 + ( p ，g )( 2 - 1 8 ) 脚) 一a n 器篇 ( 2 1 9 ) 根据2 1 1 中的分析，由( p ，q ) 可以计算出物体表面的高度信息( 相对于相 位零平面) ，从而可以获得物体表面的形貌信息。 2 1 3 相位去包裹算法的原理及数学模型 由于三角函数的周期性，对于任意= n 2 石+ 丸，n = 0 , + - 1 ，2 ，+ - 3 ，a ，其三 角函数值满足p ( 庐) = 尸( 九) ，p 表示三角函数运算。进行反三角函数计算时，对 于任意庐值，我们只能获得九。当n 0 时，庐被截断在反三角函数的主值范围 天津大学硕士学位论文第二章离轴菲涅尔数字全息用于微形貌分析的研究 内。 通过式( 2 1 9 ) ，加以r e o ( p ，g ) 和u n o ( p ，g ) 的辅助判断，我们可以获得 ( p ，q ) ( 一万，玎) ，当真实相位值o ，y 。) 超出( - r e ，石) 范围时，相位值受三角函 数周期调制而形成截断在( 一万，r e ) 的相位分布，称之为包裹相位f 3 1 】( p h a s e w r a p p e d ) 。在测量中，耍获得物体表面的真实信息，就必须获得真实的相位分布。 因此需要对这些包裹相位做进一步的处理，这个过程就称之为“相位解缠”或“相 位去包裹( p h a s eu n w r a p p i n g ) ”。 相位包裹和相位去包裹可以由下面描述表示。设研】表示包裹函数，。1 订表 示去包裹函数。用庐o 。，y q ) 表示某点的真实相位值，庐( n q ) 表示经过包裹之后 的相位值，则相位包裹可以表示为： 矿【妒( x 。，y q ) 】= 驴( p ，g ) ，一7 ( p ，g ) 石( 2 2 0 ) 相位去包裹可以表示为： ( z ，y 。) = w _ 1 庐( p ，g ) = 妒( p ，g ) + c o e f f ( p ，g ) 2 石 ( 2 - 2 1 ) 因此，进行相位去包裹的目的就是要通过一定的计算来恢复由于相位截断而 丢失的c o e f f ( p ，g ) 2 z 的相位值。 以最简单的一维相位分布图来描述相位包裹和相位去包裹的过程3 2 1 。如图 2 3 所示，图2 - 3 ( a ) 给出一个理想的相位真值，图2 - 3 ( b ) 为对应的相位包裹。从 中我们不难看出从图2 - 3 ( a ) 至l j 图2 - 3 ( b ) 是一个缠绕过程，它由相位主值解算中的 值域决定，可以看做是一个映射过程。而从图2 - 3 ( b ) 到图2 - 3 ( a ) 贝l j 是一个逆映射 过程。将图2 3 c o ) 逆映射到图2 - 3 ( a ) 可以视为是一个逐段平移拼接的过程，具体 过程如图2 - 3 ( c ) - - ( e ) 所示。 由前面的分析可知，相位去包裹的过程就是，确定c o e f f ( p ，q ) - 2 z r ，并让它 与包裹相位值相加，得出真实相位。这里我们把c o e f f ( p ，q ) 2 z c 称为累加值。则， 通过图解的过程，可以对相位去包裹的过程做如下描述： 1 当按某一方向进行去包裹时，设起始点的包裹相位值等于该点的相位展开 值，累加值为零。沿该方向前进，在出现周期突变之前( 由一丌到丌，或由丌 到一7 r ) ，各点的相位展开值等于对应的包裹相位值。 2 当包裹相位值出现由百到百的跳变时，该点和以后各点依次在累加值上加2 丌， 将各点包裹相位值与对应累加值求和，获得相位展开值，直到出现下一次跳 变。 3 当包裹相位值出现由丌到丌的跳变时，该点和以后各点依次在累加值上减2 丌， 天津大学硕士学位论文第二章离轴菲涅尔数字全息用于微形貌分析的研究 将各点包裹相位值与对应累加值求和，获得相位展开值，直到出现下一次跳 变。 按照上述过程可以将一个一维相位包裹展开。如果起始点的真实相位和包裹 相位有一个差值d ，那么在进行完上述过程后，所有的相位展开值都加上差值d ， 得到相位真值。一般情况下，当我们分析一个表面形貌的相对关系时，则差值d 为0 。 广、 、 一、一 ( a ) i f，、k j ，一u 厂；、l 图2 4 相位包裹及去包裹示意图 ( a ) 相位真值( b ) 相位包裹( c ) - ( c ) 去包裹过程 由前面的分析，假设起始点的相位包裹值( o ) 为该点的真实相位值妒( x 。) ， 即庐( 工。) = ( o ) ，同时定义c o e f f ( o ) = 0 。可以得到如下一维相位去包裹数学模型： 。) = q b ( p ) + c o e f f ( p ) 2 z ，p = 1 , 2 ，3 ，a ，m ( 2 - 2 2 ) 式中c o e f f ( k ) 为包裹系数，它满足如下关系： f c o e f f ( p 一1 )b ( p ) l 2 z c o e f f ( p ) = c o e f f ( p 一1 ) + 1( p ) = 一2 r e ( 2 2 3 ) i c o e f f ( p 一1 ) 一1( p ) = 2 z 其中，q j ( p ) = ( p ) 一庐( p - 1 ) ，是相邻相位的差值。 根据相位分布的连续性，对于二维数字离散相位包裹( p ，q ) 的去包裹运算 可以分解成多次的一维去包裹运算。其具体过程如下： 设( ，y 。) = 庐( o ，0 ) 、c o e f f ( o ，0 ) = 0 。 口0 t 0 t 0 w 天津大学硕士学位论文第二章离轴菲涅尔数字全息用于微形貌分析的研究 定义 a ，( p ，g ) = 庐( p ，g ) 一q k ( p l ，g ) a 。( p ，q ) = ( p ，g ) 一庐( p ，q 一1 ) 式中，。表示x 方向