（固体力学专业论文）三维双相材料裂纹问题的超奇异积分方程方法.pdf

盅雪盔些盔兰鎏圭主警连銮 蛰茎 摘要 复合材料的断裂通常是从界面或界面附近开始的，因此，研究复合材料裂纹在界面及界面附 近产生的应力场有着重要的理论和实际意义。与均质材料相比，复合材料裂纹具有材料力学特性 不同、接触点附近应力场奇异性指数复杂及所应用线弹性断裂理论不同等特点，因而研究较为困 难。目前，复合材料裂纹的研究对象大多为二维裂纹，在三维裂纹方面报导较少。本文使用超奇 异积分方程法，对三维双相材料裂纹问题进行了比较系统的研究，给出了问题的超奇异积分方程 及其高精度数值求解方法，并给出了典型问题的数值结果。主要研究内容包括： 1 利用已有的三维双相材料位移基本解，给出了在与界面斜交坐标系下位移基本解的一般表 达式。在此基础上，使用s o m i g l i a n a 位移公式给出了三维双相材料中含有与界面斜交裂纹问题 的位移和面力一般解，进而利用超奇异积分及边界积分方程法，将此类裂纹问题归结为求解一组 以裂纹面位移间断为未知函数的超奇异积分方程，并对未知解在裂纹前沿的性态进行了分析。其 中，三维双相材料斜裂纹问题的超奇异积分方程组属于首次报道。 2 利用超奇异积分方程未知解在裂纹前沿的解析分析结果，以及因子法和有限部积分法，为 三维双相材料中与界面垂直的剪切型裂纹问题建立了数值求解方法，给出了超奇异积分的具体计 算公式，并给出了裂纹前沿应力强度因子的计算表达式。 3 利用上述数值计算方法，具体计算了一些典型裂纹问题，获得了裂纹前沿应力强度因子的 数值结果，并研究了应力强度因子随各参数的变化规律。结果表明本文建立的数值方法具有良好 的精度和收敛性。 关键词：复合材料，三维裂纹，超奇异积分方程，应力强度因子 a b s t r a c t c r a c k so fc o m p o s i t em a t e r i a lu s u a l l yb e g i nf r o mo rn e a ri n t e r f a c e ，a n dt h e r e f o r ei ti so ft h e o r e t i c a l a n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c et os t u d yt h es t r e s sf i e l dc a u s e db yt h ef l a w so fc o m p o s i t em a t e r i a lo nt h e i n t e r f a c e c o m p a r e dw i t hh o m o g e n o u sm a t e r i a l s ，h o w e v e r , c o m p o s i t em a t e r i a l sh a v et h ec h a r a c t e r i s t i c s s u c ha sd i f f e r e n tm e c h a n i c a lf e a t u r e s ，c o m p l e xs i n g u l a r i t yi n d e xo ft h es t r e s sf i e l dn e a ri n t e r f a c ep o i n t ， a n dd i f f e r e n tl i n e a re l a s t i cf r a c t u r et h e o r i e s t h u s ，t h es t u d yi sm o r ed i f f i c u l t a tp r e s e n lt h er e s e a r c h m a i n l yf o c u s e so f ft w o d i m e n s i o n a lc r a c k ，a n daf e ww e r er e p o r t e do f ft h et h r e e d i m e n s i o n a lc o m p o s i t e m a t e r i a lc r a c k s t h ed i s s e r t a t i o ns y s t e m a t i c a l l ys t u d i e st h ep r o b l e mo ft h r e e - d i m e n s i o n a lb i m a t e r i a l c r a c k sw i t ht h em e t h o do fh y p e r - s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n s ，p r e s e n t st h eh y p e r - s i n g u l a ri n t e g r a l e q u a t i o n sf o r t h ep r o b l e ma n dh j g h a c c u r a c yn u m e r i c a ls o l u t i o n ，a n do b t a i n sn u m e r i c a lr e s u l t so fs o m e t y p i c a le x a m p l e st h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s 1 r e l i e do l lp r e v i o u sd a t a , t h eg e n e r a le x p r e s s i o no fd i s p l a c e m e n tf u n d a m e n t a ls o l u t i o nf o f t h r e e d i m e n s i o nb i m a t e r i a l su n d e rc o o r d i n a t es y s t e mo b l i q u et oi n t e r f a c ei s g i v e n b a s e do nt h e e x p r e s s i o n ，t h eg e n e r a l s o l u t i o n s f o rd i s p l a c e m e n ta n ds u r f a c et r a c t i o na r e p r o v i d e db yu s i n g s o m i g l i a n ad i s p l a c e m e n tf o r m u l a t h i st y p eo fc r a c kp r o b l e mi sf u r t h e rr e d u c e dt os o l v i n gas e to f h y p e r - s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n sw i t hc r a c ki n t e r f a c ed i s p l a c e m e n td i s c o n t i n u i t i e s a sa nu n k n o w n f u n c t i o n ，a n dt h eb e h a v i o ro fu n k n o w ns o l u t i o n so nc r a c kt i p si sa n a l y z e d a m o n gt h e m ，a p p l y i n gt h e h y p e r - s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n st ot h r e e - d i m e n s i o n a lb i - m a t e r i a l si n c l i n e dc r a c k si sr e p o r t e df o rt h e f i r s tt i m e 2 b a s e do na n a l y t i cr e s u l t so fu n k n o w ns o l u t i o n so fh y p e r - s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n so nc r a c kt i p s ， t h en u m e r i c a lm e t h o do fs h e a rc r a c kp e r p e n d i c u l a rt oi n t e r f a c ei nt h r e e d i m e n s i o n a lb i - m a t e r i a l si s c o n s t r u c t e db yf a c t o rm e t h o da n df i n i t e p a r ti n t e g r a l s ，a n dt h ee x a c th y p e r - s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n s a n dc o m p u t a t i o ne x p r e s s i o no f s t r e s si n t e n s i t yf a c t o ro nc r a c kt i p sa r ep r o v i d e d 3 a c c o r d i n gt ot h en u m e r i c a lm e t h o d sa b o v e , s o m ee x a m p l e so f t y p i c a lc r a c k sa r ec o m p u t e d a n dt h e n u m e r i c a lr e s u l t so fs t r e s si n t e n s i t yf a c t o r so nc r a c kt i p sa r eo b t a i n e d t h ec h a n g er u l e so fs f f e s s i n t e n s i t yf a c t o r sw i t hv a r i a b l e sa r ea l s oi n v e s t i g a t e d t h er e s u l t ss h o wt h a tt h en u m e r i c a lm e t h o di nt h i s p a p e rh a sh i g h - a c c u r a c ya n dn i c ec o n v e r g e n tp e r f o r m a n c e k e yw o r d s ：c o m p o s i t em a t e r i a l s ，t h r e e - d i m e n s i o n a lc r a c k s ，h y p e r - s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n s ，b o u n d a r y e l e m e n tm e t h o d ，s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r 【i 昼叠鲨_ 犬誊譬土兰售鲨苫 主蓦芷：蚕 主要符号表 仍= m 7 + 2 m a c ；+ 州c ；+ 珊 仍= c 4 墨口一a s , 口一a x , s o 识= 刖一c 2 。一6 霹+ 3 q c ) 识= 3 0 a c ：( 岛一2 留g 口+ g ) 仍= m s 2 口+ m s 2 f + m s 口 纯= m 骂d + 0 5 m s 2 目+ 嗡 仍；1 5 硝2 目岬嘞2 + 崛口) 纯= 3 爿( c 乙一2 c ；) c ；一3 鸽a 纬= 3 0 a s j ( m g c 2 口一2 m s 口$ 2 口) 仍o = 3 a c 日( 一c 2 目+ r i c j 一2 s o = ) 仍1 = 3 a & 目( 是目+ q 品+ 岛p ) 吼2 = 一卅c 2 目+ m 茸一m + m c ； 仍3 = m c ”一m l c t + m c o m c ； 仍4 = 3 州c 再口一2 x l c o s 一2 t q s e ) 吼5 = 3 0 a q c 2 口c o + m s 2 日s o ) 仍。= 6 4 c ；( ( k + 1 ) 逆f + q 一是f ) 妒【7 = 3 a ( x 1 c 2 日+ t q c 一2 s 2 日s o ) 够8 = 1 5 a ( s = p s o 一0 2 5 9 g 目一尚c o ) 吼。= 3 a ( ( c 2 p 一2 c ；2 j l 日2 一( + 1 ) l ( 0 2 0 = 一3 a ( 0 5 k 是口+ 墨最c 2 自+ 2 岛) 仍l = 一1 5 a s 2 日 s o g 目+ r a c e s 2 日+ m s ) 妒2 2 = 2 c ；s e + 2 c j s e c 2 日+ 是p ( 1 + c ) 仍，= 1 5 a ( 2 q ( 州岛d 品+ m c 2 ，g ) 一与，足口) 仍4 = 一3 a ( x l s 2 p + 盯1 c o 最口+ 2 c ；s o + 2 q ) 仍，= 一3 爿( 一c 2 。+ k g c 2 目一是口品一) 妒：。= 3 0 a s o ( 2 q ( c ”+ g ) 墨目昂) 仍7 = 3 a t q s z 一4 q c 4 c 2 日+ 2 4 q 仍e = 3 0 a c o ( q 2 c 2 8 + q 墨日一0 5 s 2 口一0 2 5 s 4 口) 仍9 = 一3 a s e ( k c 2 目+ 鼍c o 一2 s a ) 一k 是目 仍。= 3 0 a q ( 昂( g f + q ) + 2 q 一马口品) 仍【= 1 5 a ( $ 2 目( 2 c 3 日q + 品邑口) + 2 c ：马目) 妈2 = 1 5 趔墨目口+ o s c o s ；口+ o 5 岛) 仍3 = 3 a m ( q ( k c 口+ 2 ) + 最口( 是。+ 品) ) 9 h = - 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1 9 7 0 ) 等学者进行了流体 力学和般势问题中“源”方法的研究，这是一种间接边界元法；其中j a s w o n ( 1 9 6 3 ) “、s y m m “9 6 3 尸l 应用间接边界元法计算了位势问题。恐妒，砒g p 鲻习建立了边界元积分方程的直接方法； r i z z o ( 1 9 6 7 ) 8 l 应用直接边界元法计算了二维线弹性问题；c r u s e ( 1 9 6 9 ) 【9 】在边界元法应用到三维弹 性问题中：c r u s e 、b u r e t i 9 7 0 6 7 1 最早将边界积分方程法应用于断裂力学，采用分割区域法将裂 纹问题化为般的边值问题进行处理，从而避免了边界元法解决断裂问题时遇到的不确定性： b a n e r f p p 、a u t t e r f i e t d 、b r e b b i a 、d o m i n g u e z ( 1 9 7 7 ) 提出了边界元法离散化理论：b r e b b i a 口9 7 8 ) 首 次正式用边界元提法；g h o s he l a l ( 1 9 8 6 ) t ”1 把二维弹性问题基本解超奇异积分转化为弱奇异积分； l e i ( 1 9 9 4 ) 1 l - 1 2 】对二维弹性r e i s s e m 扳建立新类型边界积分方程。在我国，在提高边界元法计算精 度的研究中，也涌现出许多新方法：带权g a u s s 积分公式、刚体位移间接法、g r e e n 函数法、位 错法、对偶边界积分法、位错密度法、位移二次插值法等。 1 2 2 超奇异积分方法 在超奇异积分方面，在国外，h a d a m a r d ( 1 9 i o - 1 9 2 3 ) 队5 把比主值型奇异积分方程奇异性还 要多的积分方程称h a d a m a r d 奇异积分方程( 即超奇异积分方程) ；i o a k i m i d i s ( 1 9 8 2 ) t 1 6 , 1 7 首次把 h a d a m a r d 的超奇异积分应用到线弹性断裂力学中，推导出受法向载荷作用的任意形状平片裂纹 问题的超奇异积分方程，并使用k u t t 有限部分积分法进行数值化；s o h n 与h o n g ( 1 9 8 5 ) 【1 8 j 利用位 移间断分片线性表示为无限体，型裂纹的超奇异积分方程，并建立了数值法。在我国，t a n g 与 2 土量奎、业盔兰翟圭主垡鲨銮 釜= 耋堑鲨 q i n8 9 9 0 ) 0 9 , 2 0 , 6 5 等系统的分析和研究了超奇异积分在三维均质材料断裂问题中的应用，并提出 一套完整的求解理论；q i n ( 2 “2 2 6 1 。4 】把这一理论不断完善；q i n ( 2 0 0 2 ) 4 3 1 把这一理应用到三维双相 材料断裂问题中。其它学者也有不同程度的突破1 1 2 , 2 3 - 2 5 】。 超奇异积分方程与边界元方法结合是研究断裂力学问题的一种非常有效的方法，结合因子法 可以得到精度较高的数值结果。因此将裂纹问题归结为求解一超奇异积分方程组，进行奇异性处 理，转化为线性方程组，利用因子法数值求解已成为解决线弹性断裂力学问题一种重要途径。 1 2 3 复合材料裂纹 复台材料界面裂纹方面：w i l l i a m s ( 1 9 5 9 ) “”最早用级数展开法研究了复合材料界面裂纹问题， 得到了各向同性线弹性材料界面裂纹尖端应力场的奇异性结果： 与r i c e ( 1 9 6 4 ) 2 7 1 采用 w h l i a m s 特征展开法研究了复合材料界面裂纹的板弯曲问题，也得到了界面裂纹尖端应力具有震 荡奇异性的结论； e n g l a n d ( 1 9 6 5 ) 2 s 1 应用复变函数法研究了复合材料界面裂纹问题，得到裂纹尖 端应力场及位移场具有振荡奇异性：r i c e 与s i h ( 1 9 6 5 ) “w 采用复变函数与特征展开结合的方法， 研究了半无限长界面裂纹及有限长界面裂纹表面应力问题，提出了复应力强度因子的断裂准则： e r d o g a n ( 1 9 7 2 ) ”l 采用f o u r i e r 变换法研究了界面裂纹问题，得到了一组第二类c a u c h y 型奇异积 分方程； e r d o g a n 与g u p t a ( 1 9 7 2 ) 3 1 1 应用f o u r i e r 积分变换研究了双相复合材料界面刚性夹杂及 弹性夹杂问题，同样归结为求解奇异积分方程组问题；a t k i n s o n ( 1 9 7 7 ) 1 3 2 提出两种界面模型，模 型一认为界面具有一定厚度并异于双相复合材料的界面层，模型二认为界面具有连续变化弹性模 量的界面层，消除了裂纹尖端应力指数振荡性： r i c e ( 1 9 8 8 ) 9 ”研究了界面裂纹尖端应力场，应 力强度因子：w a n g ( 1 9 9 1 ) 1 3 4 1 对界面断裂力学发展背景、进展及未来研究重点做了总结。 复合材料与界面垂直裂纹方面：z a k ( 1 9 6 3 ) ”与阡q l l i a m s 采用特征函数展开法，研究复合材 料中半无限长垂直裂纹问题，得到裂纹与界面接触点附近性态指数的特征方程：b o g y ( 1 9 2 1 ) 1 采用m e l l i n 变换法研究垂直裂纹问题，得出裂纹接触界_ 面后，应力的性态指数与材料常数及裂纹 几何形状有关； c o o k 与e r d o g a n ( 1 9 7 2 ”j 利用m e l l i n 变换方法，将垂直裂纹问题归结为求解 c a u c h y 型奇异积分方程组，得到半无限长裂纹受集中力作用时，接触点奇性应力场，并对其分布 函数进行了数值求解：e r d o g a n 和c o 如( 1 9 7 4 ) ”利用m e l l i n 变换方法研究复合材料中垂直裂纹 的反平面剪切问题，做了详细的数值分析工作；a t k i n s o n h 9 7 7 ) 3 2 1 应用他所提出的界面模型中的第 二中模型，研究了垂直裂纹接触界面时应力性态指数，采用m e l l i n 变换法得到了裂纹尖端应力平 方根奇异性结论；v u a y a k u m a re t a l ( 1 9 8 3 ) ”根据e r d o g a n 复合材料中垂直裂纹的积分方程，引入 一围线积分，研究裂纹接触材料界面时，裂纹尖端的奇性应力场：t i n ge la l ( 1 9 8 4 ) ”对双相复合 材料中垂直裂纹的性态指数进行了分析；e r d o g a n ( 1 9 9 1 ) ”研究了双相复合材料垂直裂纹问题， 设其中一相材料剪切模量为定值，而另一相材料的剪切模量为与距离界面直线距离相关的函数。 得出垂直裂纹接触界面后，裂纹接触点附近应力的性态指数为平方根奇性与材料常数无关； w e n ( 1 9 9 4 2 1 应用位移间断方法研究了双相复合材料垂直裂纹问题；g u p t a ( 1 9 9 2 ) 1 4 3 1 研究了双相复 合材料中垂直裂纹的扩展问题； c h e n ( 1 9 9 4 ) “1 采用i 辨l l i a m s 特征展开法研究垂直裂纹，给出了 裂纹尖端位移场及奇性应力场表达式，反对称及对称的奇性应力场，数值求解了裂纹尖端的应力 强度因子；q i n ( 2 0 0 2 ) t 4 l 对三维双相材料垂直于界面i 型裂纹问题进行了系统全面研究，并给出计 中国农业大学硕士学位论文 第一章绪论 算出应力强度因子【，1 的数值方法。 复台材料斜裂纹方面：复合材料斜裂纹由于裂纹本身无几何对称性