（应用数学专业论文）平稳遍历介质中非自治hamiltonjacobi方程的均匀化.pdf

平稳遍历介质中非自；台h a m i l t o n j a c o b i 方程的均匀化 摘要 本研究采用淡化时间变量与空间变量之间的区别的技巧将文献【3 7 】中 的相应结果推广至非自治系统。我们研究大时间尺度h a m i l t o m j a c o b i 方程 的c a u c h y 问题 j + h ( d u 。，詈，t ，u ) = 0 ( z ，t ) r ( 0 ，。c )，1 、 i 矿= 咖( z ，亡) r 0 】 卜7 的粘性解在_ o 时的渐近性态，给出了有效h a m i l t o n 函数的变分构造以及一 阶修正子存在的条件。将有效h a m i l t o n 函数归结为一类渐进方程u + 6 ( u t ) 2 + h ( d u ，z ，t ) = o 的解的某种渐近性态( 1 i m 。一o - - e u 一( 毗) 2 = 日) 在修正子的存 在性问题的研究中应用了在原有时间t 的基础上再引进一个“虚拟”时间s 的技 巧将修正子归结为发展型方程让。( z ，t ，s ) + h ( d u ，z ，t ，u ) = 0 解的长时间渐近性 态：口( z ，t ) = l i m 。u ( z ，t ，s ，u ) 。此外本文还证明了上述方程的解矿在_ o 时 会趋于确定性方程 僻? 幻= o ( z ，t ) r ( 0 ，o o ) ( z ，t ) r x o ) 的粘性解。这种应用修正子方法证明解的收敛性的方法的优越性体现在只要存 在有界修正子，就可以应用该方法非常容易地证明收敛性。 在第2 章我们回顾了h a m i l t o n j a c o b i 方程的粘性解以及平稳遍历介质中均 匀化的基础知识，在第3 章给出了方程( 1 ) 均匀化主要结果及其证明，在第4 章 给出了一些应用。 关键词：均匀化；修正子；平稳遍历：粘性解；h a m i l t o n j a c o b i 方程 h o m o g e n i z a t i o no fn o n a u t o n o m o u sh a m i l t o n j a c o b i e q u a t i o n si ns t a t i o n a r ye r g o d i cs e t t i n g a b s t r a c t i nt h i sr e s e a r c hw ev a g u et h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h et i m ea n ds p a t i a lv a r i - a b l et og e n e r a t et h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so fl i o n sa n ds o u g a n i d i s j a r 】t ot h e n o n a u t o n o m o u sc & s e w ei n v e s t i g a t et h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h ev i s c o s i t y s o l u t i o n so ft h ec a u c h yp r o b l e mo fh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s 1 和c 0 使得对任意0 ，z ，t ，u ) r r r q 有 c _ 1 ( 驯a 一1 ) h 0 ，z ，t ，u ) c ( i p l n + 1 ) 成立； ( h 4 ) 存在有限常数c 0 ) ，使得 i g ( p ：z ，t ：) 一日，y ：8 ，u ) i c ( u ) ( 1 + 眵i ) ( f z 一可i + i t s 1 ) 对任意z ，可，p ，t ，s r r r r + r + u q 几乎必然成立； ( h 5 ) h ( 0 ，z ，t ，u ) 0 对任意的( z ，t ) j 酗心成立且对u q 几乎必然成 立。 平稳遍历介质中非自治h a m t o n j a c o b i 方程的均匀化 注1 假设1 中所提到的遍历性的定义实际上是测度的不可分性的定义，但是 在b i r k h o 卧体遍历定理成立的前提下可以证明遍历性等价于测度的不可分性， 因此有些文献直接将测度的不可分性的定义作为遍历性的定义【s 3 1 。 注2 ：假设( h 3 ) 表明日关于变量p 是强制的，即l i m i p i _ + h ( p ，z ，t ，u ) _ + 。o ， 对x ，t ) r xr + 一致成立且对u q 几乎必然成立。 3 1几个引理 一般来说有以下几种表示有效h a m i l t o n 函数的方法： 小6 渐近 4 8 】； 大t 渐近( 遍历性质) ； 极小一极大方法【3 7 i ； 通过平均l a g r a n g e 函数来表达有效h a m i l t o n 函数。可以说明有效h a m i l t o n 函 数就是平均l a g r a n g e 数的l e g e n d r e 变换【1 8 ，1 9 】； m a t h e rq 函数法 2 5 】。 在本文中我们主要采用前两种方法，在定理3 1 0 中给出有效h a m i l t o n 函数 的m i n m 痢乏示公式，这一点在修正子的存在性问题上十分重要。 考虑方程 e u 5 ( z ，t ，u ) + ( u ；) 。( z ，t ，u ) + h ( d u ( x ，亡) ，z ，t ，u ) = 0 ， ( 3 2 ) 这个方程是方程( 3 1 ) 的均匀化问题的惩罚方程，可以看出选择此种形式的惩罚 方程是最优的。由于我们令 h + p n + 1 ，p ，z ，t ，) = e p ；v + l + ( p ，z ，t ，u ) ，可以十分容易地验证日+ 满足( h 1 ) 、( h 2 ) 并且关于变量 + 1 ，p ) 满足强制性和( h 4 ) 。因此，可以自由的适用以日+ 为h a m i l t o n 函 数的h a m i l t o n j a z o b i 方程。 首先叙述一个关于方程( 3 2 ) 的存在性定理。 引理3 1 方程p 2 ) 存在唯一的平稳解u 5 证明由( h 1 ) 、( h 2 ) 、日关于变量p + 1 ，p ) 的强制性，以及粘性解的存在唯一 性定理方程( 3 2 ) 存在唯一的粘性解矿，此外，此粘性解具有如下的显式表达： 矿( z ，亡，u ) = i n f e 叫。三+ ( 一( s ) ，7 ( s ) ，u ) d s ：，y ( 。) = ( z ，7 w l t ( 。，o o ) ( 3 3 ) 1 2 平稳遍历介质中非自治h a m i l t o n - j a c o b i 方程的均匀化 其中l + 是日的凸对偶( l e g e n d r e ：变换) 。实际上只需取t 为空间变量而非时间变 量，因此( 。，镑是一“初始点( 在虚拟时间5 的意义下) t 以下在绍+ 1 一维空闻中 来考虑此问题。 由假设( h 1 ) 知关于变化群亿，。是平稳的，因此矿( z ，亡，叫) 是平稳的。事实 上，对任意的( z ，亡) r r 有： = i n f z e e 。l ( 一( s ) ，7 ( s ) ，勺，知) 幽：7 ( 。) = ( z ，t ) ，1 1 。( 。，。c ) ) = i i l f z e 一甜l ( 一( s ) ，7 ( 5 ) + ( 可，。) ，) 如：7 ( 。) = ( z ，y l t 。( 。，o o ) = i n f = 矿( z + y ，t ，u ) 这就说明了是平稳的。 综e 所述方程f 3 2 1 存在唯一的平稳解让s 口 关于自治h 砌1 七o n j a c o b i 方程下的面引理出自文献i s h i i 【3 2 】，下面叙述非 自治情形的相关结果。 引理3 2 存在仅依赖于e ( 0 ，1 ) 的正常数g 0 ，使得方程7 2 的粘性解满足 m a x i i 让。i i ，o ( d u ，g ( u ；) 2 ) l l 。) c ( 3 4 ) 证明 厶( g ，口+ 1 ，z ，t ，u ) = s u p - g + p n + l g + l 一日0 ，尹十1 ，t ，谢) ( p p + 1 ) r + 1 = s u p切q + p n + l g + 1 一印知+ 1 一日0 ，z ，t ，u ) ) ( p 护+ 1 ) r + 1 1 3 平稳遍历介质中非自治h a m i l t o n j a c o b i 方程的均匀化 由假设( h 3 ) 知存在常数g 0 ，q 1 ( 不依赖于( 0 ，1 ) ) 使得对u q 几乎必 然有下面的不等式成立 町1 ( i p l a 1 ) h ( p ，z ，t ，u ) c 1 ( j pj q + 1 ) 于是由l e g e n c l r e 变换的定义有： 并且 工( g ，q n + 1 ，z ，u ) s u p妇q + p n + i g + 1 一哦+ l 一岛j p j a 一岛) 0 ，p n + 1 ) r + 1 s u p 0 + t ) 6 r n + i ， ，p n + 1 ，q ，q n + 1 ) ) ， f ( 垡，q + l ，z ，t ，u ) s u pd q + p n “口+ l 一印；，+ 1 一筇1 l p l a 一町1 ) ( ，p + 1 ) r 十1 s u p d ，p + i ) e r n + 1 夕( p ，p n + l ，q ，g + 1 ) ) ， 对，关于变i ( p ，p n + 1 ) 求导并令其为o ，得： 善 + 0 。 + 一2 二h + q 2 p = 。型2 = 。 因此由( 3 5 ) 得： ( 口，q + l ，z ，t ，u ) q 岛l p l 口+ 警一誓一岛圳a g = q c ( q 岛) 南南一岛( q 岛) 击+ = ( a 一1 ) 岛( 口岛) 击l q i 击+ 所以由( 3 3 ) 知 亟一岛 4 e 。 血一g一岛4e 。 t ，u ) o e - , j l * ( 一们n ( s ) j d s ：们) = ( z ，7 舭邓，。o ) ) 0 - - c e - z s - c ed s ：7 ( 。j = ( z ，t ) ，1 w l , a o ( 。，0 0 ) ) = 一譬 ：，y ( o ) = ( z ，t ) ，y ( o ，) = 一半 j 1 4 rjl_，rj、 ，l f f 矿 口 目 = 类似地由( 3 5 ) 可得： 工+ ( g ，q v + l ，z ，t ，u ) q 町1 ( 口簖1 ) , - - e - al q j 击一 c 9 1 ( 口町1 击川击+ 誓+ c g = ( q - - 1 ) c 9 1 ( 口钌1 ) 击吲忐+ 警+ 何， 再由( 3 3 ) 得： 矿( 。，亡，u ) =mf i n f z e 一3 l + ( 一( s ) ，7 ( s ) ，u ) 如：7 ( 。) = ( 。，亡) ，7 1 ，( 。，。o ) 。假设极限为宣，为方便起见仍 记l i m 。一+ o g 旷= 疗 证明应用a s c o h - a r z e l a 定理来证明此引理，为此将证明序列 e ) o 是等度 连续且一致有界的。 事实上由引理3 2 知 m a x i i - f u ；l l 。，f i d u 8 l l ) o 是一致有界的。由a 5 c 0 1 i 心z e l a 定理知本定理得证。 口 引理3 4 在局部一致收敛且关于u q 几乎必然成立的意义下序列 瓢( 。) 2 ) 钆 。存在收敛子列其中仳。是方程p 纠的粘性解，为方便起见仍记此 收敛子列为t ( ) 2 ) 。 。 证明由引理3 2 ，及假设( h 4 ) 知函数日0 ，z ，t ，u ) 关于变量( z ，亡) r 酞+ 是 l i p s c h i t z 连续的。，由方程、( 3 6 ) ，知z u ( z ，亡，u ) 是等度连续的。由在粘性意义下仳5 满足方程( 3 2 ) 知 ( ) 。 是等度连续的。 ，芒 u 由引理3 2 知， e ( ) 2 ) f 。是一致有界的，故由a s c 。n - 心z e l a 定理知本引 推论3 5 在局部一致收敛且关于ueq 几乎必然成立的意义下序列存在收敛子 列 。记其极限为豆，为方便起见仍记 嬲 o 使得 何1 日( o ，z ，亡，u ) c 1 若初始值圣( z ，t ) s t ，则存在常数c 2 0 ，使得m a x l 圣t 2 1 ，i d 西i 】g 因此， 圣；( z ，t ) + h ( d ( b ( x ，亡) ，z ，u ) 谚+ c , ( i c = l a + 1 ) 谚+ q 四+ c 1 ：= g 取e = m a x ( c i - 1 ，岛) ( 不依赖于g ( 0 ，】| ) ) 容易验证c s + 西( z ，) ，- c s + 西( z ，t ) 分别是方程3 7 带有初始条件圣( z ，t ) 9 的上解与下解，则由比较原理方程 ( 3 7 ) 的粘性解矿在r r + x ( 0 ，。o ) 的任意紧子集上具有一致界。 口 1 7 平稳遍历介质中非自治h a m i l t o n j a c o b i 方程的均匀化 引理3 8 方程似矽的粘性解是三咖s c 耽切连续的并且三印s c 胁拓常数不依赖 于e ( 0 ，1 ) 证明第一步在r ( 0 ，+ d o ) ( 0 ，+ 。o ) 的任意紧子集上矿( 茁，t ，s ，u ) 关于变 量t r + 是等度连续的，目l i p s c h i t z 常数不依赖于e ( 0 ，1 ) 事实上取 矽( z ，t ，8 ，u ) = 矿( z ，t ，s ，u ) 一c 1 i t 一l l ， 其中c 1 0 是一待定常数。由矿( z ，t ，s ，u ) 的一致有界性得( z ，t ，s ，u ) 在t = t l 达 到局部最大值。事实上若不然对固定的x ，t ，s ) r ( 0 ，+ 。c ) ( 0 ，+ o o ) ，假 设矿( z ，t ，s ，u ) 在t = 云t l 处取得局部最大值。则函数妒= g i t t l i 在( z ，t ，s ) 的 某邻域内是c 1 的，由粘性下解的定义得 e 四+ 即 = 耐( 晶) 2 + 即忍“ 但是由( 0 ，1 ) ，c 2 0 ( 不依赖于( 0 ，1 ) ) 和假设( h 5 ) 知弓四+ 日( o ，z ，云u ) 0 ，矛盾。因此 即 ( z ，t ，s ，。) 一q i t t l l ( z ，t l ，s ，。) 一g l 舌l t l l = 锰( z ，t l ，s ，) 交换t 与t l 类似可得 矿( z ，t ，s ，u ) 一矿( z ，t l ，s ，u ) c 1 i t t l l u 5 ( z ，t l ，s ，u ) 一矿( z ，亡，s ，u ) g l t 一亡1 i 第二步对任意的5 ( 0 ，1 ) ，在r ( o ，+ o o ) ( o ，+ o o ) 的任意紧子集上矿( z ，亡，s ，u ) 关于变量o r 是等度连续的。( 0 ，1 ) 事实上取 矽1 ( z ，t ，8 ，u ) = 矿( z ，t ，s ，u ) 一c f 2 l o 一掣l ， 其中岛 0 是一待定常数。由矿( z ，t ，s ，u ) 的一致有界性，我们断言( z ，t ，s ，u ) 在z = y 处达到局部最大值。实际上若不然对固定的( z ，t ，s ) r ( 0 ，+ o 。) x 1 8 h tq 、l ， us “ z ， u 一 、， s t z ，l u 立成此因 平稳遍历介质中非自治姒m t o n j a c o b i 方程的均匀化 ( 0 ，+ o o ) ，可假设矿( 。，t ，s ，u ) 在z = 孟可处达到局部最大值。则函数矽l = c = l x 一可i 在( z ，t ，5 ) 的某邻域内是c 1 的。由粘性下解的定义知 日 罱忍云u ) 0 当q 充分大( 与e ( 0 ，1 ) ) 时上述不等式与假设( h 3 ) 矛盾，因此 乱s ( y ，t ，s ，u ) 一q l y z i 矿( z ，t ，s ，u ) 一岛i z 一。i = 仳5 ( z ，t ，s ，) 乏 以下采用与步骤l 相同的方法可以证明断言成立。 第三步第一步和第二步的结果表明在粘性意义下在r ( o ，+ ) ( 0 ，+ o 。) 的任意紧子集上饥与d u 是有界的，不妨假设他们有共同的界c 7 ，则c 7 依赖于紧 子集的选取但是不依赖于弓( 0 ，1 ) ， 因此由方程( 3 7 ) ，在粘性意义下对u q 几乎必然成立 i 让；( z ，t ，s ，u ) i i ( z ，亡，s ，u ) 1 2 + l h ( d u 。，z ，亡，u ) i i c 7 1 2 + c ( i c 7 i 口+ 1 ) 最后一不等式是由假设( h 3 ) 得到的。 综上所述方程( 3 7 ) 的粘性解矿是l i p s c h i t z 连续的_ 且l i p s c h i t z 常数不依赖 于g ( 0 ，1 ) 口 引理3 9 在局部一致且关于“，q 几乎必然成立的意义下，当e 趋于0 时，方 程p 砂的粘性解趋于方程 t i 。+ h ( d u ，z ，t ，u ) = 0( 3 8 ) 的粘性解。 证明证明此引理所用的方法与粘性消失法相类似。假设方程( 3 7 ) 的解序列 是 矿k 0 ，由引理3 7 和引理3 8 失1 1 存在一致收敛的子序列 u 5 k e k o ，为方便起 见记此子序列为( 矿) o 假设当e _ o 时旷_ 札接下来我们证明t 是方程( 3 8 ) 的 粘性解。 事实上令( z ，t ，s ，u ) c 1 ( 酞( o ，+ 。o ) ( 0 ，o o ) ) ，假设u - 多在点( 蜘，t o ，8 0 ) 酞x ( 0 ，+ 。ox ( 0 ，+ o o ) 达到局部最大值。令( c ( r ( 0 ，+ o o ) x ( 0 ，+ o o ) 满足0 e 0 ， d 矿( 挑，t 。，s 。) = d ( 咖一( ) ( 魄，t 。，& ) ， ( 让；) 2 ( 魄，t 。，s 。) = ( 咖一( ) 。2 ( 魄，如，s 。) ， ( 骆：t 。，s 摹) = ( 砂一 o 充分大时c i x l 是下面方程的粘性 解 + h ( d u ，z ，t ，u ) = h( 3 1 4 ) 由于西( z ，) 9 ，存在常数q o 使得| i 西( z ，t ) l l c 1 所d a c i z i s y t + c 1 是 方程( 3 1 2 ) 的粘性上解。由比较原理得舻( z ，t ，s ，u ) c i x l s 曰+ g 在上式两 端同时除以s 并令s _ 。c 得 一詹l i m 竺堕：! ：哇 8 - * 0 0 s 另一方面由3 1 1 方程3 1 4 存在粘性下解圣伊由比较原理得圣( z ，t ) 一 l l 妒( z ，t ) l l 一s 豆妒( z ，亡，s ，u ) 所以有 一曰1 i m 塑型 o s 故 一曰：1 h n ! ( 坐兰! 唑 8 - s 口 注6 定理3 1 0 证明的大部分思想来源= j ：s o u g a n i d i s 3 t ，主要的不同之处在于 这里我们淡化时空观念将原有的时间。看成空间变量，在此基础上引入另一虚拟 时间变量s 另一不同之处在于我们所采用的惩罚方程与文献【3 7 】中得惩罚方程 的形式不同，并且可以证明疗= l i m o 一e 旷( z ，t ，u ) 一g ( ) 2 ( 。，t ，u ) ) 注7 t 的遍历性表明曰与u 无关，h 的平稳性表明豆与z 无关。因此曰只依赖 于时间变量t 平稳遍历介质中非自治h a m i 工j t o n - j a c o b i 方程的均匀化 3 3 修正子的存在性 以下给出一阶修正子存在的存在条件。 定理3 1 1 如果存在方程停砂的下解西9 ，使得对任意的( z ，t ) r xr + 有 不等式 s u p s ( s ) ( 圣) ( z ，) + s 曰( 芒) + o o ( 3 1 5 ) 8 u 、 成立，则方程阻! j 均匀化问题的一阶修正子存在。 证明由定理3 1 0 的证明知方程( 2 1 7 ) 存在粘性下解西伊考虑方程 我们有 ju s + h ( d u ，z u ) = 日( 。 s ) 酞r + ( o ，蚓，( 3 1 6 ) i u = 圣 ( z ，t ，s ) 酞$ 十 o 】i 7 0 ，当( z ，t ，8 ) r x r + ( 0 ，o o ) 时 由假设( h 3 ) 知 s u p f i “。i i + i i m u l l 】 0 由( 2 1 3 ) 知该定理得证。 口 3 5 前景与展望 h a m i l t o n - j a c o b i 方程的均匀化问题是一个前景十分广阔的研究领域，本人 认为以下课题值得研究： 本文中所研究的收敛性是局部一致收敛，这是一种十分强的收敛性，因此 所需的条件比较苛刻，因此可以研究弱收敛( 比如r 收敛) 意义下的h a m i l t o n - j a c o b i 方程的均匀化问题； 本文研究的是单个h a m i l t o n j a c o b i 方程的均匀化问题，还可以继续研 究h a m i l t o n - j a c o b i 方程组在平稳遍历情形下的均匀化问题； 口 uzu_usu 虽l 平稳遍历介质中非自治h a m t o n j a c o b i 方程的均匀化 可以研究更为一般的h a m i l t o n - j a c o b i 方程的均匀化问题，比如研究形 如m + h ( d u ，牡，。，w ) = o 的方程的均匀化问题。 第4 章应用举例 下面的例子给出了一维空间中有效h a m i l t o n 函数的构造以及一阶修正子的 存在性 例4 1 ( 一维情形) 考虑h a m i l t o n j a c o b i 方程 一 + i d u 5 i 2 + ，( 岂，t ，u ) = 0 ( 4 1 ) 的粘性解当g _ 0 时的渐近行为，其中，满足以下条件 ( i ) 对任意的t 珏旷，：r r + q r 关于变换群亿，t 是平稳的且关于变 量( z ，亡) r r + 是连续的： ( i i ) ，关于变量z r 是有界的，m i n z rf ( x ，t ，u ) = 0 且o a r g m i n f ( x ，t ，u ) ， 另外对任意的t 酞+ 上界m ( t ) 0 可在某点x ( t ) 酞处达到其d o m ( t ) b c ( r + ) ( i i i ) ( x ，t ，u ) 0 ( i v ) f ( x ，亡，u ) 关于变量( z ，t ) r r + 是l i p s c h i t z 连续的； 值得注意的是满足上述条件的函数，是存在的。事实上例如我们可以 取，= ic a s t l ls i a z l 容易验证函数，满足条件( i ) 一( i v ) 且满足假设( h 1 ) 一( h 5 ) 因 此由定理3 1 0 并且0 伊故一方面， 曰( t ) 2 撼n fe s s s u p 础( i d o l 2 + m ，t ，u ) ) e s s s u p z r id 0 1 2 + f ( x ，亡，u ) 】 = m ( t ) 另一方面对x o ( t ) a r g m a x f ( x ，t ，u ) ，有 豆( 亡) 蚶i a n f _ 。 i d 圣( x o ( t ) ，t ) 1 2 + m ( t ) 】i = m ( t ) - 所以存在西三0 b u c ( ( r ) r + ) 使得对任意的( z ，t ) r r + s 有- s u p 。o s ( s ) ( 西) ( z ，t ) + s 曰) = s u p 。o s ( s ) ( o ) ( z ，t ) + s m ( t ) ) e c h o 显 然是方程( 2 1 7 ) 的粘性下解。由于 因此方程 u 。+ h ( d u ，。，亡，u ) 一曰( 亡) + 日( d 乱，z ，亡，u ) 一翼n 伊fe 8 8 8 r h ( d d b ，z ，t ，0 2 ) + 日( d 乱，。，t ，u ) 一冀n 伊f e s s 8 u p 士r 日( o ，z ，t ，0 2 ) + 日( d 让，z ，t ，u ) 一塞n s t fe 跚r m ，t ，0 2 ) = 乱。+ h ( d u ，。，t ，) 一m ( t ) 缸。+ h ( d u ，z ，t ，) 一m ( t ) = 0 的粘性上解也一定是方程( 3 1 4 ) 的粘性上解。由比较原理知u ( z ，t ，s ，0 2 ) 0 + m ( ) g g u ( x ，t ，s ，u ) m 。所以定理3 。l l 的条件满足。，由定理3 1 1 知存 在修正子口，且u 在r r + 的任意紧子集上是有界的。事实上可以给出口的显式 表达。由于曰= m ( t ) ，只需在铲中解下面的方程( 4 2 ) 即 h ( d v ，z ，亡，u ) = m ( t ) ， d v l 2 = - ( x ，t ，u ) + m ( t ) ( 4 2 ) 假设z o a r g m i n f ( x ，t ，0 2 ) ( 即如是使得，( z ，t ，u ) 取得最小值的点) ，令u ( z ，t ，0 2 ) = 丘v f ( z , t , w ) + m ( 一t ) d z 显然有 ( o ，t ，0 2 ) = 0v t r + 接下来我们证明对 任意的( z ，y ，t ，0 2 ) r r 酞+ q 有t ，( z + 挈，t ，0 2 ) = ( z ，t ，0 2 ) + v ( y ，t ，。t ) 事 实上， ( y ，t ，t o ) ) x - y ( z , t , w ) + m ( t ) d z + 厂咖v - f ( z , t , 0 2 ) + m ( t ) d z ，0 一v ( x ，t ，u ) + v ( x + 秒，u ) 平稳遍历介质中非自治h a m i 工t o n - j a c o b i 方程的均匀化 因此口9 是方程4 1 均匀化问题的一阶修正子。 例4 2 考虑h a m i l t o n 函数 日 ，叫，u ) = 扣2 ， 容易验证日满足假设( h 1 ) 一( h 5 ) 下面给出有效h a 刀m t o n 函数的显式表达。由定 理3 1 0 知 曰( t ) = 惑e s s s 吼r 日( d 西，z ，t ，u ) = 圣i n 9 fe s s s 印霉奠 丢l d 圣1 2 ) 显然上面的下确界在m 兰0 伊处达到。因此疗兰0 所以存在圣三0 使得 对任意的( z ，亡) 酞x r + 有 s u p s ( s ) ( 西) ( 。，t ) + s 曰) = s u p s ( s ) ( o ) ( z ，t ) ) ( 3 0 o 0o o 成立且显然。是方程( 3 7 ) 的粘性下解。由定理3 1 1 矢l j h a m i l t o n - j a c o b i 方程 u t + h ( d u ，z ，t ，u ) = 0 均匀化问题的一阶修正子是存在的，实际上容易验证 兰0 即满足要求。 参考文献 a l v a r e z ，0 ，b a r t o n ，e n h o m o g e n i z a t i o ni nl j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 1 8 3 ，1 3 2 1 6 4 ( 2 0 0 2 ) 2 】b a r d i ，m ，c a p u z z o - d o l c e t t a ，i o p t i m a lc o n t r la n dv i s c o s i t ys o l u t i o n so f h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a ne q u a t i o n s s y s t e m sa n dc o n t r o l ：f o u n d a t i o n sa n d a p p l i c a t i o n s b i r h 五u s e r ，b o s t o n ，t 9 9 7 3 1b a r l e s ：g ，s o u g a n i d i s ，p e o nt h el a r g et i m eb e h a v i o ro fs o l u t i o n so f h a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s s i a m ，m a t h a n a l 3 1 ( 2 0 0 0 ) n o 4 9 2 5 9 3 9 【4 】b a r l e s ，g s o u g a n i d i s ，p e s o m ec o u n t e r e x a m p l e so nt h ea s y m p t o t i cb e - h a v i o ro ft h es o l u t i o n so fh a m i l t o n j a c o b ie q u a t i o n s c r a c a d s c i p 叫乜 s 盯i m a t h 3 3 0 ，2 0 0 0 ；n o 1 1 。9 6 3 - 9 6 8 b a r l e s g s o m eh o m o g e n i z a t i o nr e s u l t sf o rn o n - c o e r c i v eh a m i l t o n - j a c o b i e q u a t i o n sb a r l e sg c a l c u l u so fv a r i a t i o n sa n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s3 0 ，( 2 0 0 7 ) ，n o 4 4 4 9 4 6 6 6 】b e n s o u s s a n ，a ，l i o n s ，j l ，p a p a n i c o l a o u ，g a s y m p t o t i cm e t h o d s ，d 7 p e r i o d i cs t r u c t u r e s n o r t h h o l l a n d ，a m s t e r d a m ，1 9 7 8 7 】b r a i d e s ，a i n t r o d u c t i o nt oh o m o g e n i z a t i o na n dg a m m a - c o n v e r g e n c e p r e p r i n t 8 】c a f f a r e l l i ，l a ，s o u g a n i d i s ，p e ，w a n g ，l h o m o g e n i z a t i o no ff u l l y n o n l i n e a r ，u n i f o r m l ye l l i p t i ca n dp a r a b o f i ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n s t a t i o n a r ye r g o d i cm e d i a c 6 m m 凡他a p p tm a t h5 s ( 2 0 0 5 ) ，n o 3 ，3 1 9 3 6 1 【9 】c a ：f f a r e l l i ，l a an o t eo nn o n l i n e a rh o m o g e n i z a t i o n c o m m p t 他a p p l m a t h5 2 ( 1 9 9 9 ) ，n o 7 ，8 2 9 8 3 8 平稳遍历介质中非自治h a m t o n j a c o b i 方程的均匀化 f 1 0 】c a p u z z o - d o l c e t t a ，i ，i s h i i ，h o nt h er a t e o fc o n v e r g e n c ei nh o m o g e n i z a t i o n o fh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s i n d i a n au n i v m a t h ，5 0 ( 2 0 0 1 ) ，1 3 0 3 ，1 1 1 3 - 1 1 2 9 【11 】c o n c o r d e l ，m p e r i o d i ch o m o g e n i z a t i o no fh a m i l t o n j a c o b ie q u a t i o n si s d - d i t i v ee i g e n v a l u e sa n dv a r i a t i o n a lf o r m u l a ，i n d i a n au n i v m a t h z4 5 ( 1 9 9 6 ) ， 1 0 9 5 1 1 1 7 【1 2 】c o n c o r d e l ；m p e r i o d i ch o m o g e n i z a t i o no fh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n si i e i k o n a le q u a t i o n s p r o c r o y s o c e d i n b u r g hs e c t a1 2 7 ( 1 9 9 2 ) ，2 4 5 2 6 5 f 1 3 】c r a n d a l l ，m g ，e v a n s ，l c ，l i o n s ，p l s o m ep r o p e r t i e so fv i s c o s i t y s o l u t i o n so fh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s t r a n s a m e r m a t h s o c 2 8 2 ( 1 9 8 4 ) ， 4 8 7 5 0 2 【1 4 】c r a n d a l l ，m g ，l i o n s ，p l v i s c o s i t ys o l u t i o n so fh a m i l t o n - j a c o b ie q u a - t i o n s ，t r a n s a m e r m a t h s o c 2 7 7 ( 1 9 8 3 ) ，1 4 2 【1 5 c r a n d a l l ，m g ，i s h i i ，h ，l i o n s ，p 一l u s e r sg u i d et ov i s c o s i t ys o l u t i o n s o fs e c o n do r d e rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b u l l a m e r m a t h s o c 2 7 ( 1 9 9 2 ) ，n o 1 ，l - 6 7 【1 6 】d a lm a s o ，g ，m o d i c a ，l n o n l i n e a rs t o c h a s t i ch o m o g e n i z a t i o na n de r g o d i c t h e o r y 3 r e i n ea n g e w m a t h 3 6 8 ( 1 9 s s ) ，2 8 - 4 2 【1 7 d e m b o ，a ，z e i t o u n i ，o l a r g ed e v i a t i o n st e c h n i q u e sa n da p p l i c a t i o n s 2 n d v e r s i o n s p r i n g e r 世界图书出版公司北京2 0 0 7 【1 8 e v a n s ，l c ，g o m e s ，d e f f e c t i v eh a m i l t o n i a n sa n da v e r a g i n gf o rh a m i l - t o n i a nd y n a m i c s i a r c h r a t i o n m e c h a n a l 1 5 7 ( 2 0 0 1 ) ，n o 1 ，1 3 3 【1 9 】e v a n s ，l c ，g o m e s ，d e f f e c t i v eh a m i l t o n i a n sa n da v e r a g i n gf o rh a m i l t o - n i a nd y n a m i c s i i a r c h r a t i o n m e c h a n a l 1 6 1 ( 2 0 0 2 ) ，n o 4 ，2 7 1 3 0 5 【2 0 】e v a n s ，l c p e r i o d i ch o m o g e n i z a t i o no ff u l l yn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s p r o c r o y s o c e d i n b u r g hs e c t a1 2 0 ( 1 9 9 2 ) ，n o 3 - 4 ，3 5 9 - 3 7 5 平稳遍历介质中非自治h a m r o n j a c o b i 方程的均匀化 f 2 1 】e v a n s ，l c l e c t u r e so ns e m i c l a s s i c a la n a l y s i s p r e p r i n t