（控制理论与控制工程专业论文）基于有限频段的h∞控制问题研究.pdf

摘要 摘要 h 。范数常作为控制系统设计中的性能指标，传统的h 。范数是一个全频段的 指标，然而，工程中往往又只需针对有限频段进行设计( 例如伺服系统设计时主 要考虑中低频段的跟踪性能和稳态精度) ，或者对不同的频段使用不同的设计指 标进行设计( 例如在闭环回路成形设计中，要求低频段具有较小的灵敏度，高频 段具有较小的补灵敏度) ，因此传统的h 。范数就有些不合适了，因为这样设计出 来的控制器可能含有较大的保守性。所以，有必要使用新的设计思想，即只在所 关心的某些频段上进行控制器的设计。本文主要研究了基于有限频段的h 。控制 问题，具体研究内容如下： 首先，研究了基于窗口h 。范数的离散系统p i d 控制器设计问题。将窗口h 范数的思想从连续域推广到离散域，并应用于离散系统p i d 控制器的设计问题， 即：针对一个只需要考虑有限频段的离散系统，通过双线性反变换转换到连续域 里来考虑，使用连续域窗口h 。范数方法，设计出p i d 控制器，然后通过双线性 变换，得出数字p i d 控制器。通过仿真验证了这一思路的可行性。 其次，研究了稳定化的有限频段h 。控制及有限频段跟踪问题。对现有的有 限频段动态输出反馈设计方法进行改进，并应用于有限频段h 。跟踪问题的研究。 对于以小增益作为指标的有限频段动态输出反馈问题，在不增加新变量的前提 下，增加稳定性约束，使得设计后的闭环系统渐近稳定且满足有限频段性能指标。 同时，针对增加约束后难以找到可行解的情况，基于零空间条件的不唯一性，补 充了另一种零空间条件，从而扩大了问题的可行域。最后，将改进后的方法应用 于有限频段跟踪问题的研究，通过仿真例子验证，有限频段动态输出反馈虽然存 在保守性，但在合理选择基矩阵r 的情况下，仍然可以使得其保守性小于传统的 全频段最优如控制的保守性。 最后，探讨了基于频段切换的切换系统。基于系统工作频段可检测的假设， 使用上述有限频段方法，在若干频段内分别设计控制器，通过基于频段的切换策 略，使得系统在若干组控制器中切换，构成一个满足特定控制要求的切换系统， 以代替传统的依赖于加权函数的混合灵敏度设计方法，同时也是对现有切换混 杂系统研究的一种发展和丰富。 基于有限频段的也控制问题研究 关键词：有限频段；g k y p 引理；窗口h 。范数；p i e ) 控制；稳定性；零空 间；跟踪问题；混合灵敏度问题；切换系统 n a b s t r a c t a b s t r a c t h 。n o r mi so f t e nu s e d 鹊t h ep e r f o r m a n c ei n d e xi nt h ed e s i g no fc o n t r o ls y s t e m s t h ec o n v e n t i o n a lh 。n o r mi sap e r f o r m a n c ei n d e xi ne n t i r ef r e q u e n c yr a n g e ，h o w e v e r , i n p r a c t i c a le n g i n e e r i n gd e s i g ns p e c i f i c a t i o n s a r eu s u a l l yn o tg i v e ni ne n t i r e f i e q u e n c yr a n g eb u tr a t h e ri nf i n i t ef r e q u e n c yr a n g e s ( e g ，i nt h ed e s i g no fs e i v o s y s t e m s ，o n l yt h et r a c k i n gp e r f o r m a n c e a n dt h es t e a d y - s t a t e a c c u r a c yi n l o w f r e q u e n c yr a n g ea n dm i d d l ef r e q u e n c yr a n g ea r et a k e ni n t oc o n s i d e r a t i o n ) ，o rd i f f e r e n t s p e c i f i c a t i o n sa r er e q u i r e di nd i f f e r e n tf r e q u e n c yr a n g e s ( e g ，ac l o s e d - l o o ps h a p i n g c o n t r o ld e s i g nt y p i c a l l yr e q u i r e ss m a l ls e n s i t i v i t yi nal o wf r e q u e n c yr a n g ea n ds m a l l c o m p l e m e n t a r ys e n s i t i v i t yi nah i 曲f r e q u e n c yr a n g e ) t h u st h ec o n v e n t i o n a l n o r m i sn o tc o m p l e t e l yc o m p a t i b l ew i t hp r a c t i c a lr e q u i r e m e n t s ( i e ，i tm a yb r i n gs t r o n g c o n s e r v a t i s m ) a n dn e wd e s i g ni d e a sa r er e q u i r e dt oc o p ew i t ht h i ss i t u a t i o n i nt h i s d i s s e r t a t i o n ，h c o n t r o lp r o b l e m sb a s e do nf i n i t ef r e q u e n c yr a n g e sa r ec o n s i d e r e d t h e m a i nr e s u l t sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w s f i r s t l y , t h ep r o b l e m t o d e s i g nd i g i t a lp i dc o n t r o l l e r i sc o n s i d e r e df o r d i s c r e t e t i m el i n e a rt i m e - - i n v a r i a n t ( l t i ) s y s t e m sb a s e do nt h ew i n d o wi - l on o r m c o n c e p t i o n f o rac o n c e r n e df i n i t ef r e q u e n c yb a n d ，t h ed i s c r e t e t i m el t is y s t e mc a n b et r a n s f o r m e di n t oa ne q u i v a l e n tc o n t i n u o u s t i m es y s t e mb yi n v e r s eb i l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n t h e r e f o r e ，t h ee x i s t i n gw i n d o wh 。n o m lm e t h o di nf i n i t ef r e q u e n c y b a n dc a nb ea p p l i e dt od e s i g nac o n t i n u o u s - t i m ep i dc o n t r o l l e r t h e nt h ed i g i t a lp i d c o n t r o l l e ri so b t a i n e db yb i l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n as i m u l a t i o ne x a m p l ei sg i v e nt o s h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h i sa p p r o a c h s e c o n d l y , s t a b i l i z i n gh 。c o n t r o li nf i n i t ef i e q u e n e yr a n g e sa n df i n i t ef r e q u e n c y t r a c k i n gp r o b l e ma l ei n v e s t i g a t e d a sw ek n o w , g k y pl e m m ah a sb r o u g h tab r a n d n e wi d e at os y n t h e s i sp r o b l e m si nf i n i t ef r e q u e n c yr a n g e s h o w e v e r , d y n a m i co u t p u t f e e d b a c kc o n t r o lv i ag k y pl e m m aw i t hs m a l l g a i ns p e c i f i c a t i o n d o e sn o t a u t o m a t i c a l l yg u a r a n t e et h es t a b i l i t yo ft h er e s u l t i n gc l o s e d l o o ps y s t e m s i nt h i s d i s s e r t a t i o n , i m p r o v e m e n t sa r em a d et o t h ee x i s t i n g a p p r o a c h t or e n d e rt h e m 基于有限频段的比控制问题研究 a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y , a n dt h en e wa p p r o a c hi sa p p l i e dt or e s e a r c ht h et r a c k i n g p r o b l e m f o rt h es y n t h e s i sp r o b l e m 谢n 1f i n i t ef r e q u e n c ys m a l lg a i ns p e c i f i c a t i o nv i a d y n a m i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l ，w ea d das t a b i l i t yc o n s t r a i n tt ot h ed e s i g ni nt e r m s o fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ，w i t h o u ta d d i n ga n yn e w v a r i a b l e s f u r t h e r m o r e ，f o r t h es i t u a t i o nt h a tf e a s i b l es o l u t i o nc a l ln o tb ef o u n da f t e ra d d i n gt h es t a b i l i t yc o n s t r a i n t ， b a s e do nt h en o n u n i q u e n e s so ft h en u l ls p a c ec o n d i t i o n ，w e p r o v i d ea na l t e r n a t i v e n u l ls p a c ec o n d i t i o nt o e n l a r g et h ef e a s i b i l i t yr e g i o no ft h i sd e s i g n s i m u l a t i o n e x a m p l ei nt r a c k i n gp r o b l e ms h o w st h a t ，a l t h o u g hd y n a m i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o li n f i n i t ef r e q u e n c yr a n g ei s c o n s e r v a t i v e ，b yc h o o s i n gb a s i sm a t r i xr e a s o n a b l y , t h e d e g r e eo fc o n s e r v a t i s mc o u l db es m a l l e rt h a nt h a to fo p t i m a lh 。c o n t r o li ne n t i r e f r e q u e n c yr a n g e f i n a l l y , s w i t c h e ds y s t e mw i t hs w i t c h i n gs t r a t e g yb a s e do nf r e q u e n c yr a n g e si s d i s c u s s e d f i r s t ，b a s e do nt h ea s s u m p t i o nt h a tt h eo p e r a t i n gf r e q u e n c yb a n do fs y s t e m c a r lb ed e t e c t e d ，u s i n gt h ea b o v e m e t h o d s ，s e v e r a lc o n t r o l l e r sa r ed e s i g n e di nd i f f e r e n t f r e q u e n c yr a n g e sr e s p e c t i v e l y t h e n ，w i t has w i t c h i n gs t r a t e g yb a s e do nf r e q u e n c y r a n g e s ，as w i t c h e ds y s t e ms a t i s f y i n gs p e c i f i e dc o n t r o ls p e c i f i c a t i o n si sc o n s t r u c t e d t h i sd e s i g ni sn o to n l yas u b s t i t u t et ot h ec o n v e n t i o n a lm i x e ds e n s i t i v i t yd e s i g n a p p r o a c h ( w h i c hr e l i e so nt h ea p p l i c a t i o no fw e i g h t i n gf u n c t i o n s ) b u ta l s oa l l e n r i c h m e n ta n dd e v e l o p m e n tt ot h ee x i s t i n gr e s e a r c ho ns w i t c h e d l a y b r i ds y s t e m s k e y w o r d s ：f i n i t ef r e q u e n c yr a n g e ；g k y pl e m m a ；w i n d o wi - ln o r m ；p i d c o n t r o l ；s t a b i l i t y ；n u l ls p a c e ；t r a c k i n gp r o b l e m ；m i x e ds e n s i t i v i t yp r o b l e m ； s w i t c h e ds y s t e m s i v 代数r i c c a t i 方程 代数r i c c a t i 不等式 对角矩阵 线性矩阵不等式 线性二次高斯 靠x 的单位矩阵 合适维数的单位矩阵 彳的转置 彳的复共轭转置 么的逆 符号与缩写 彳的秩 彳的范数 么的核空间 i m a a 的值域空间 a b a b 为正定矩阵 a 0 0 g o ) 忆g 的风范数，即 m 。a xc r ( g ( j w ) ) 眶兄+ u f o m i n ( a ，6 )a ，b 的最小值 m a x ( a ，6 )a ，b 的最大值 r 实数域 r +正实数域 c复数域 c 一 实部小于0 的复数域 r “所 r e o r 实元素刀m 线性空间 口c 的实部 h 。 f x n 的h e n n i t i 髓矩阵的集合 h e ( a ) a + 彳。，其中a 是方阵 盯( 彳)矩阵彳的最大奇异值 o p 矩阵和p 的k r o n o c k c r 积 |蓍埘崦咖螂l， 触 胁 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均 在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学 术活动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的 资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写 课题或课题组负责入或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作 特别声明。) ：又 h 筇 名 九， 獬夕 人明 淹 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办 法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交 学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书 馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国 博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和 摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“ 或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权。) 。：沪站 夕夕0 年f ) 月2 日 第一章绪论 1 1h 。控制理论发展概述 第一章绪论 经典线性系统理论在二十世纪五十年代中期就已经发展成熟了，主要的分析 和综合方法是频率响应法。经典频率法对单输入单输出( s i s o ) 线性定常系统颇有 成效，局限性是难于有效地处理多输入多输出( m i m o ) 系统和深刻地揭示系统的 内部特征。在五十年代兴起的航空航天技术的推动下，控制理论开始了从经典阶 段向现代阶段的过渡。其重要的标志是k a l m a n 系统地把状态空间法引入到系统 与控制理论中，逐步发展了以l q g 最优控制理论为代表的近代线性系统理论， 极大地推动了控制理论的发展和应用。然而，这种反馈设计方法过于依赖数学模 型，设计的系统只对数学模型保证预期的性能指标，对实际系统的控制效果则完 全取决于建立的数学模型的精确程度。由于实际系统中存在着不可忽视的时变、 非线性和不确定因素，而这些因素很难被精确描述，故系统的数学模型不可避免 地存在各种形式的不确定性，这就使得依据精确数学模型的现代控制理论对于处 理不确定性系统或带扰动的系统十分困难。为了解决这个问题，一些诸如摄动分 析、灵敏度分析等方法被陆续提了出来，这就开始了鲁棒控制广泛和深入的研究。 研究鲁棒控制的方法有很多，例如由k h a r i t o n o v 定理发展起来区间系统理 论，jc d o y l e 提出的结构奇异值( ) 理论，vmp o p o v 提出的超稳定理论等等， 这些方法各有特色，其中z a m e s 在1 9 8 1 年开创的h 。控制理论是其中的一个重要 分支【l 】。z a m e s 考虑了一个s i s o 系统的设计问题：对于属于一个有限能量信号 集合的干扰信号，设计一个控制器，使得闭环系统稳定，且干扰对系统期望输出 的影响最小。由于传递函数的h 。范数可描述有限输入能量到输出能量的最大增 益，所以用从干扰信号到期望输出的传递函数的h 。范数作为目标函数，对系统 进行优化设计，就可使具有有限功率谱的干扰对系统期望输出影响最小。z a m e s 的h 。控制思想一经提出，立即成为控制理论研究的一个热点问题。经过2 0 多年 来长足的进步和发展，h 。控制理论目前是解决鲁棒控制问题比较成功且比较完 善的理论体系，而且一直是这些年来自动控制理论及工程应用研究的热门课题之 一【2 ，3 1 。 基于有限频段的也控制问题研究 在过去的二十多年里，h 。控制理论及其应用问题得到广泛和深入地研究， 各种期刊、专业杂志和会议报道了大量的研究文献。全面概述这些h 。控制理论 研究成果是困难的，本文拟以解决h 。控制问题的主要方法的进展，将h 。控制理 论分为三个阶段进行综述【4 一。 1 1 1 初期( 1 9 8 1 1 9 8 4 ) 1 9 8 1 年，z a m e s 在其论文中引入h 。范数作为目标函数对系统进行优化设计， 标志着凰控制理论的诞生【1 1 。解决h 。控制问题的早期方法主要有逼近方法和插 值方法，两种方法在数学上是等价的和完美的，各有特点。插值方法使用 n e v a n l i n n a - p i c k 插值理论以及矩阵形式的s a r a s o n 理论，具有概念直观和清晰等 优点，但没有给出好的算法；逼近方法在计算上取得了一定的进展，不足之处是 所用理论比较深奥难懂【6 】。在此时期的代表方法首推1 9 8 4 年在h o n e y w e l l 公司 举办的h 。控制研究会上，d o y l e 和g l o v e r 等人对当时的h 。控制进行总结所形成 的所谓“1 9 8 4 年方法”【4 】。“1 9 8 4 年方法 在状态空间中求解m i m o 系统的h 最优控制问题，过程包括传递函数矩阵的状态空间内夕b ( i n n e r - o u t e r ) 分解和互质 分解，然后降低成一个用状态空间方法可解的n e h a r i h a n k e l 范数问题。“1 9 8 4 年方法 的一个不足之处是每个步骤都要增加状态，最后得到的控制器状态数是 对象状态数的1 0 3 0 倍，即使使用控制器降阶方法，所得到的控制器阶数也是对 象状态数的2 3 倍。这一时期得到的h 。控制问题解法所用数学工具非常繁琐， 计算量大，并不象控制问题本身那样具有明确的工程意义。 1 1 2 成熟期( 1 9 8 5 1 9 8 9 ) 在这一阶段，人们发现可以将鲁棒控制中的灵敏度极小化问题、鲁棒镇定问 题、跟踪问题、两自由度问题、滤波问题和模型匹配问题等许多控制问题，统一 于标准的h 。控制问题【5 】，这就使得对h 。控制理论的研究更加条理化，对h 。控制 理论体系的深入发展产生了重要的影响。 这一时期出现了许多对如控制理论发展具有重要意义的概念和方法，大量 的科研成果使得h 控制问题的研究取得了重大进展。1 9 8 8 年g l o v e r 和d o y l e 提 出了著名的标准h 。控制问题“2 - a r e 解法【7 】o “2 - a r e 方法通过求解两个非 2 第一章绪论 耦合的a r e 的一对稳定解( 唯一) ，并验证其稳定解是否满足一个谱条件，可判 定h 。控制问题的可解性。当h 。控制问题可解时，基于2 - a r e 的稳定解，可以 构造出阶数为广义对象m c m i l l a n 阶的所谓中心控制器。通过引入一个稳定且满 足给定h 。范数界的传递函数矩阵，可构造出所有可允控制器的参数化表示，即 q 一参数化( 无限维) 。1 9 8 9 年，d o y l e 等人对h 控制问题的状态空间分析方法 进行了总结，并强调了h 。控制问题和l q g 控制问题的联系【8 】。该文在h 。控制 研究领域广为引用，其中的2 - a r e 方法以其四位作者的名字代称2 - a r e 方法， 即d g k f 方法。2 - a r e 方法的出现，使得h 。控制问题在概念和算法两方面均被 极大地简化了，加上含有上述解法的软件包的推出，如m a t h w o r k s 公司的r o b u s t c o n t r o lb o x 引，m u s y n 公司的t o o l s ，i n t e g r a t e ds y s t e m s 公司开发的m a t r i x 和 x m a t h 等，使得h 。控制开始成为一些实际系统设计的有效工具。 1 1 3 继续发展期0 9 9 0 至今) 在这一阶段，陆续涌现了诸如微分对策方法和极大值原理方法和基于 ( ，) 一无损分解理论的h 。控制问题解法等方法【1 0 1 ，然而这一时期最突出的成 果是基于线性矩阵不等式( l m i ) 解法的提出和完善。 在2 - a r e 方法和其它一些方法中，均假定传递函数暑：( s ) 和昱。( j ) 在包含无 穷远点在内的虚轴上不含零点。通常称在上述提及的两个传递函数之一含有虚轴 零点的h 。控制问题为奇异或非标准h 。控制问题。对奇异控制问题，包括2 - a r e 方法在内的许多结果不再成立，而基于有界实引理的l m i 方法是有效的解决奇 异h 。控制问题的方法。 使用l m i 对控制系统进行分析和综合起源于18 9 0 年l y a p u n o v 关于运动稳 定性的工作。但是由于通常的l m i 并不能得到解析解，加之一段时间内缺乏有 效的求解l m i 数值解的工具，使得l m i 在初期没有得到重视。随着凸优化算法 的发展，特别是二十世纪九十年代初发展起来的内点算法，能够有效的求解一般 l m i 1 1 】，使得应用l m i 方法解决实际的控制问题成为可能。之后求解l m i 的标 准程序的开发和完掣1 2 1 ，更是方便了l m i 在控制系统中的应用。 基于有界实引理，1 w a s a k i 和s k e l t o n 直接从时域上用代数方法获得了3 l m i s 的h 。控制问题可解条件【1 3 】。基于3 l m i s 的可行解集，还可以给出所有可允的h 3 基于有限频段的也控制问题研究 控制器的参数化表示( 有限维) 。g a h i n e t 和a p k a r i a n 也考虑了离散对象的h 。控制 问题，得到了与连续情形对应的结果【1 4 1 。基于l m i 的比控制方法的一个优点是 对广义对象限制少，可以统一处理标准和奇异的比控制问题。事实上，基于l m i 的h 。控制方法的意义已远超出求解奇异问题一则，成为继续2 - a r e 方法之后又 一基本的如控制解法。不仅如此，越来越多的控制问题可以转化为l m i 1 5 1 7 1 ， 而且一些控制问题的l m i 可解条件与h 。控制问题3 l m i s 可解条件具有相同的结 构，使得这些控制问题可以在同一框架内加以解决。目前l m i 方法受到广泛的 重视，成为众多控制问题分析与综合的有力工具之一。 由于h 。控制器的不唯一性，多出的自由度可用于满足其它的设计目标。多 目标h 。优化问题受到人们关注 1 8 。2 2 】。现在，如控制理论的研究已拓展到时变系 统、非线性系统、分布参数系统( 无限维) 、广义系统和大系统，并取得了不少有 意义的结果。 h 。控制理论的应用目前已有不少报道，如d o y l e 等对航天飞机重返大气层 的侧轴飞行控制系统设计，s a f o n o v 对飞机俯仰轴控制系统和对大型空间结构的 控制系统设计，l i m e b e e r 同步涡轮发电机的控制，d a l e 对火箭穿越大气层时的 镇定控制设计，g u e s a l a g a 对环境试验箱温湿度的控制等。 1 2 有限频段控制理论发展概述 在介绍有限频段控制理论之前，有必要回顾一下对系统和控制理论产生重要 影响的频率域不等式( f d i s ) 【2 3 】和k a l m a n y a k u b o c h p 叩o v ( k y p ) 引理【2 4 】。 频率域不等式( f d i s ) 在反馈控制系统综合问题中起着至关重要的作用，它常 被用于设计指标的描述，动态系统中各种不同的特性都可以通过一组频率域不等 式来描述。例如，小增益性能忪( 缈) | f 7 可以用f d i 描述为 p 化：三。t 2 0 倒夕曰 o 可以被描述为 p b 肥一品p 卜 4 第一章绪论 k y p 引理则被认为是沟通频率域和状态空间的一座桥梁，引理描述如下： 引理1 1 ( k y p 引理) 【矧给定a 孵，b 吼，m = m t 吼肘”) 。( 刀+ ，如 果d e t ( j a t i 一么) o ( v a ) 吼) 并且( a ，b ) 可控，则以下陈述等价： 1 ) v 国孵u p ， 硝二彳) - 1 曰 m 歹硝：彳) _ 1 曰 。； 2 ) 存在实对称矩阵p 孵删”，使得下式成立： lp a + ，a t p 咫i + m 妣 i b t p0i 9 对于严格不等式的情形，则即使口，b ) 不可控，上述等价关系亦成立。 k y p 引理可以将以f d i s 形式描述的设计指标转换成l m i s 形式进行求解， 从而为我们的设计带来极大的便利。 例如，i - - _ i 面的4 、增益性能可以转化为l m i 形式：i 以二么1 p 船l + 肘 o ， i曰1 p 0i 其鬣。t 2 ：小 基于以上特点，k y p 引理在控制系统综合问题中被广泛采用。同时，标准 k y p 引理的缺陷也暴露出来，它不太适合用来解决许多实际的工程问题。标准 k y p 引理针对的是全频段( v 彩孵) ，因而由f d i s 体现出来的设计指标也只能是 全频段的，然而工程实际中往往仅需要针对有限频段进行设计( 例如伺服系统设 计时主要考虑中低频段的跟踪性能和稳态精度1 ) ，或者对不同的频段使用不同的 设计指标进行设计( 例如在混合灵敏度问题【2 】中，要求低频段具有较小的灵敏度， 高频段具有较小的补灵敏度) ，因此标准的k y p 引理就有些不合适了，因为这样 设计出来的系统并不能凸显有限频率范围的特性，可能含有较大的保守性。 频率加权函数作为解决上述问题的一种主流方法被提了出来。它基本的设计 思想是：设计一个加权函数矽( j ) ，使用基于全频段的加权传递函数形( j ) 日( s ) 的 f d i 去逼近基于有限频段的原系统传递函数日( j ) 的f d i 。这里加权函数形o ) 其 5 基于有限频段的也控制问题研究 实就相当于一个低通、带通或高通的滤波器。加权函数方法被证明是有效的，在 实际设计中也得到了广泛的应用，如混合灵敏度问题，频率分离控制【2 1 ，平衡模 型降阶中的频率加权方法【2 5 】等，然而它也有着许多的弊端。首先，频率加权不具 有类似数学意义上的紧支撑性质，并不是严格意义上考虑有限频段。其次，由于 大部分状态空间理论中，产生的控制器和控制对象是同维的，而随着加权函数复 杂程度的提高，控制器的维数也将急剧上升，这为设计的应用带来极大困难。另 外，寻求合适的加权函数本身是一个耗时且复杂的过程，尤其是需要在加权函数 本身的复杂度和对系统设计指标描述的精确性之间平衡时。 1 w a s a k i 等人在2 0 0 0 年发表的一篇论文【2 6 】中，对s p r o c e d u r e 进行了推广， 并利用广义的s p r o c e d u r e 最终把k y p 引理推广到了有限频段，提出了广义的 k y p 引理( g k y f 引理1 【2 3 】，从而为解决有限频段混合频段问题带来了全新的思 路。本文将在第二章对g k y p 引理进行详细的介绍。 近年来，g k y p 引理在许多工程设计问题中得到了很好的应用，包括两类问 题结果非保守的和结果保守的。结果非保守的问题包括反馈系统的开环回路 成形【2 7 】、数字滤波器设计【2 引、结构控制设计整合【2 9 】等，这类问题的共同特点是： 设计指标体现在待设计参数上的约束本质上是凸的，因而最终都可以精确地( 或 非保守地) 转化为一组l m i 的半定规划( s e m i d e f i n i t ep r o g r a m m i n g ) 或凸最优规划 问题( 例如在开环回路成形设计问题中，控制器的极点是预先固定的，设计的是 它们的零点，从而避免了控制器参数和矩阵变量的耦合) 。很可惜，控制中另一 类基本问题用闭环传递函数f d i 指标刻画的反馈控制问题【3 0 ，3 1 1 ，恰恰属于 后者。闭环传函f d i 指标添加在待设计参数上的约束是非凸的，因而问题本质上 是非凸的，求解变得困难。 1 w a s a k i 等人在文【3 1 】中通过增加额外条件和使用投影定理【1 3 】，并通过变量 替换【3 2 1 ，得到了满足闭环传函小增益指标的动态输出反馈控制器存在的充分条 件。但不同于全频段( 全频段使用k y p 引理解决小增益问题，l m i s 本身已确保 了设计后闭环系统的渐近稳定性) ，有限频段小增益指标问题，并未保证设计后 闭环系统的稳定性。文 3 3 】从区域极点配置的角度，增加新的变量和附加条件， 通过投影定理，得出了设计后闭环系统稳定的一个充分条件。z h a n gx i a o n i t 3 4 1 等则通过构造两个不同的扰动输入和相应的被调输出，形成两个不同通道，使得 6 第一章绪论 其中一个通道满足全频段小增益指标和闭环系统渐近稳定性，另一个通道则满足 有限频段小增益指标。 另外，马国梁【3 5 】等在连续域内针对有限频段提出了窗口h 。范数的新概念， 然后给出了有限频段的界实定理及其对偶形式，按照模型匹配原则，将p i d 控制 器的设计问题转化为窗口h 。范数优化问题，最后通过求解l m i 得到p i d 控制器 参数。 此外，国内学者对g k y p 引理在非线性系纠3 6 】和滤波器设计【3 7 】方面的应用 也进行了一些尝试。 总的来说，有限频段控制理论发展的历史并不算久，但相对于全频段控制理 论，已经日益体现出其所具有的的巨大优越性( 尤其是在多频段多指标问题中) 和 应用潜力。可以预见，以g k y p 引理为核心的有限频段控制思想，必将逐步改 写目前的全频段控制理论和方法。 1 3 本文的主要工作 本文主要研究了基于有限频段的h 控制问题。具体研究内容如下： 一、基于窗口h 。范数的离散系统p i d 控制器设计 将窗口h 范数的思想从连续域推广到离散域，并应用于离散系统p i d 控制 器的设计问题。首先基于双线性变换提出了离散窗口h 范数的概念，并证明了 双线性变换不改变窗口h 范数的值，然后针对一个只需要考虑有限频段的离散 系统，通过双线性反变换转换到连续域里来考虑，使用已知的连续系统有限频段 设计方法，设计出p i d 控制器，再通过双线性变换，得出数字p i d 控制器。通 过仿真验证了这一思路的可行性。 二、稳定化的有限频段h 。控制及有限频段跟踪问题研究 对现有的有限频段动态输出反馈设计方法进行改进，并将改进后的方法应用 于有限频段h 。跟踪问题的研究。对于以小增益作为指标的有限频段动态输出反 馈问题，在不增加新变量的前提下，增加稳定性约束，使得设计后的闭环系统渐 近稳定且满足有限频段性能指标。同时，针对增加约束后难以找到可行解的情况， 基于零空间条件的不唯一性，补充了另一种零空间条件，从而扩大了问题的可行 域。最后，将改进后的方法应用于有限频段跟踪问题的研究，通过仿真例子验证， 7 基于有限频段的比控制问题研究 有限频段动态输出反馈虽然存在保守性，但在合理选择基矩阵r 的情况下，仍然 可以使得其保守性小于传统的全频段最优h 。控制的保守性。 三、基于频段切换策略的切换系统探讨 基于系统工作频段可检测的假设，使用上述有限频段方法，在若干频段内分 别设计控制器，通过基于频段的切换策略，使得系统在若干组控制器中切换，构 成一个满足特定控制要求的切换系统，以代替传统的依赖于加权函数的混合灵敏 度设计方法，同时也是对现有切换混杂系统研究的一种发展和丰富。 8 第二章有限频段比控制理论基础 第二章有限频段h 。控制理论基础 为了方便本文后续章节的阐述，本章先介绍基于l m i 的h 。控制理论，然后 重点介绍有限频段控制中起核心作用的g k y p 引理。 2 1 基于l m i 的h 控制理论 通常h 。控制问题的求解，主要有基于代数r i c e a t i 方程和线性矩阵不等式这 两种方法。基于a r e ，战控制问题被转化为2 个a r e 的求解问题，通过这两个 a r e 求出的镇定解在满足一个谱约束的条件下，可以得到参数化表示的所有h 。 控制器，即q 一参数化。基于l m i ，h 问题被转化为3 个l m i 表示的可解性条 件，形成一个凸优化问题，可以用二十世纪九十年代初发展起来的内点算法等凸 优化算法方便的求解【1 4 】。基于3 l m i s 的一对可行解可以构造得到一簇h 。控制器。 本节将主要介绍基于l m i 的h 。控制理论，给出了其解法和控制器的构造方式。 2 1 1h 。控制问题 2 5 , 3 8 】 图2 1 是h 。控制问题的最一般的结构框图，其中，尸是包括对象与加权函 数的，l ，阶广义对象，该广义对象描述为 ； = 尸c 万， 习= 主：菩；乏善； ：， = ( 2 - d 艿在连续情形代表算孔在离散情形代表算“k = 推卜删器， w r 为外部输入，“r n , 为控制输入，z r 为外部输出，y r 为控制输 出。 9 基于有限频段的比控制问题研究 图2 - 1h 。控制框图 定义2 1h o o 控制问题( 最优问题) 对于广义对象p ，设计合适的控制器k ，使 得闭环系统内稳定，且从w 到z 的闭环传函l ( 6 ) 范数最小，即 m i n l t ，( 6 ) 。= 7 0 ( 2 2 ) 与此对应的次优问题定义为： 定义2 2h 。控制问题( 次优问题) 对于广义对象p ，设计合适的控制器k ，使 得闭环系统内稳定，且从w 到z 的闭环传函l ( 6 ) 满足 0 乙忆 丫 ( 2 3 ) 在实际控制中通常都考虑次优控制问题。另外，由于l 忆 o r s r q 一1 s 0 ； ( i i i ) r 0 ，q s r 一1 s r 0 。 s c h u r 补引理可以推广到非严格矩阵不等式的情形： 推论2 1 【u 1 如下陈述等价： 降耻 ( i i ) r 0 ，q 一s 兄+ s r 0 js ( ，一r 尺+ ) = 0 。 利用s c h u r 补引理，可以将许多控制问题转化成l m i 的形式，例如，对控 基于有限频段的比控制问题研究 制问题常见的a r i - a r p + p a + p b r 叫b r p + q 0 ，其中a 、b 、q = q r 和 r = 太， o 是给定的矩阵，尸= p ， 0 为矩阵变量。可将其转化为如下的l m i ： l 卅印：刚一q 船l o l b r pri 通常的l m i 不能得到解析解，而对于如下一类特殊的l m i ，可以得到解析 解：