（应用数学专业论文）关于概率度量空间中非线性算子不动点问题的研究.pdf

摘要 摘要 非线性算子不动点问题的研究能解决工程，物理、生物、医学等学科许多 问题概率度量空间中是用一个分布函数表示空间中两点间的距离，通常的度 量空i 瑚都是概率度量空间的特殊情况因此，在概率度量空l 、日j 中研究非线性算 子不动点问题意义重大本文主要研究概率度量空间中非线性算子的不动点及 相关空间中非线性算子不动点的问题全文分为四章 第1 章，介绍了概率度量空间中各种理论与应用的历史背景、现状以及概率 度量空间中的预备知识 第2 章，讨论了概率度量空间中非线性算子公共不动点问题，获得了非线性 集值算子与非线性单值复合算子的公共不动点存在性及唯一性的几个定理，并 得到一些新的推论 第3 章，在p m 空间中利用了半序，讨论了算子不动点存在性问题，获得了 概率度量空间中单调算子不动点及公共不动点定理，同时利用序方法也得到了 几个集值算子列公共不动点定理 第4 章，研究与概率度量空间有很大相似的空间直觉m e n g e r 空间中的 压缩算子类型，并讨论各压缩算子的不动点定理 关键词：不动点；集值算子；半序；序单调；序连续；直觉m e n g e r 空问 a b s t r a c t t h es t u d vo fn o n l i n e a ro p e r a t o r sc a ns o l v em a n yp r o b l e m s i ns o m es u b j e c t s ， s u c ha se n g i n e e n n g ，p h y s i c s ，b i o l o g y , m e d i c i n e 孤d s 0o n i np r o b a b i n 皲记m e m i s p a c e ，t h ed i s t a n c eb e 俩e e n 铆0e l e m e n t s i sm e a s u r e db yad i s t r i b u t i o nf u n c t i o n , a n d 二o r d i n a r ym e t r i cs p a c ec a nb ev i e w e da sas p e c i a l c a s eo fa p 曲撷1 i 吼论眦眦 s p a c e s o ，t h es t u d yo fn o n l i n e a ro p e r a t o r si np r o b a b l i s t i c m e t r i cs p a c e1 ss l g i l l 胁n t h lt h i sp a p e r ，t h ep r o b l e m so ff i x e dp o i n to fn o n l i n e a r o p e r a t o r sa r es t u d i e d l t 1 s d i v i d e di n t ot h ef o l l o w i n gf o u rs e c t i o n s ， l nc h a p t e ro n e ，t h eb a c l 【铲o u n d sa n dc u r r e n ts i t u a t i o n o fo p e r a t o rt h e o r ym pm 。 s p a c e sa r ei n t r o d u c e da n d t h ep r e l i m i n a r i e so fp m 。s p a c e sa r e 咖e n hc h a p t e rt w o ，t h ep r o b l e m so f f i x e dp o i n to fn o n l i n e a ro p e r a t o r s i np r o b a b i i s t l c m e t r i cs p a c ew a sd i s c u s s e d ，a n dt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e m so ff i x e dp o i n t f o ri l o n l i n e a rm u l t i p l e v a l u e do p e r a t o r sa n dc o m p o u n dn o n l i n e a rs i n 酉e v a l u e d o p e r a t o r sa r ep r o v e d ，a n ds o m e c o r o l l a r i e sa r eo b t a i n e d 一 h lc h a p t e rt h r e e ，u t i l i z i n gt h ec o n c e p to fp a r t i a lo r d e r i np r o b a b i l i s t i cm e t r l c s p a c et 0d i s c l l s st h ee x i t e n c e sp r o b l e m so ff i x e dp o i n t ，t h e o r e m s f o rf i x e dp o i i l ta l l d c o n u n o nf i x e dp o i n to fm o n o t o n yi n c r e a s i n ga n dm o n o t o n y d e c r e a s i n go p e r a t o r s a r e 0 b t a i n e d a tt h es 锄et i m e ，b yt h em e t h o d so fp a t t i a l o r d e r , s o m et h e o r e m st o r c o m m o nf i x e dp o i n to ft h es q u e n c e o fm u l t i p l ev a l u e do p e r a t o r s a r eg o t i i lc h a p t e rf o u r t h et y p c so fc o n t r a c t i v em a p p i n g s i ni n t u i t i o n i s t i cm e n g c fp m 。s p a c e a n dc o n em e t f i cs p a c ea r ed i s c u s s e d ，a n ds o m et h e o r e m s o ff i x e dp o i n t 狮o b t a l n e d k e yw o r d s ：f i x e d p o i n t ；m u l t i p l ev a l u e d 。p e r a t 。r ；p a r t i a l 0 r d e r ；o r d e r e d m o n o t o n y ；o r d e r e dc o n t i n u i t y ；i n t u i t i o n i s t i cm e n g e r p m s p a c e l i 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得瘟昌态堂或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论享作者签名( 手写) ：a 良连一签字日期： 伽吕年j 月7 厂日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名( 手写) ：石弋正 导师签名( 手写) ： 签字日期：w 嵋年1 2 月呵日 签字日期：砩年i 月、日 第1 章引论 第1 章引论 工程力学以及量子力学等领域中许多问题的研究都可以转化为某些非线性 算子方程加以讨论，因此非线性算子的研究已成为现代数学研究的一个重要方 向之一而非线性算子不动点的研究是非线性算子方程问题研究的重点，现在国 内外有人，瞳的学者从事各种非线性算子不动点存在条件的研究，得到了许多好 的结果本章主要从概率度量空间中介绍非线性算子理论的历史背景、发展现状， 叙述概二铬j 霆量空间中的预备知识 1 1 概率度量空间的理论与应用产生和发展的历史背景与现状 通常的度量空间中两点间的趴离是与一个非负实数对应的，而空间中元素 之m 的距离具有随机性，用非负实数表示两点间的距离显然是不完善的为了解 决这个问题，著名的几何与拓扑学家k m e n g e r 在1 9 4 2 年i ”首次提出统计度量的概 念，将两_ 、i 之间的距离定义为一个分布函数( 即一个非负随机度量的分布函数) 1 9 5 6 年，b s c h w e i z e r 和a s k l a r 开始了在概率度量空间理论方面的合作研究，正 式提出了p m 一空间的概念并利用t 一范数( t r i a n g u l a rn o r m ) 定义了m e n g e rp m 空 削2 引类似的思想应用到赋范空间的概率推广上，a n s e r s t n e v 在1 9 6 2 年提出了 概率赋范空间，为概率度量空间的研究进一步开辟了广阔的天地在这方面做了 奠基性： 作的还有以首创序贯分析闻名于世的a wa l d i 引，布拉格学派的重要 人物s p a c e k l 5 6 l 和前苏联数学家a n s e r s t n o v l 7 1 概率度量空间引入后，成为国内外数学家研究的重要对象继m e n g e r 的工作 之后，a w a l d 对概率度量空间提出了另一种三角不等式，从而导出所谓的w a l d 概率度量窄间的研究二十世纪六、七十年代，美国学者b s c h w e i z e r ，a s k l a r 和h s h e r w o o d 8 ，9 ，1 0 】等人对概率度量空间的基本理论及其拓扑结构作了许多深 入的研究，并将概率度量空间的思想与信息论、聚点分析、统计力学、数理统计 及混沌动力系统相结合，对概率度鼍窄间理论的深入发展做出了突出的贡献 在我国，概率度量空问的研究最先引起了西安交通大学游兆永教授的注 意1 9 7 9 年，游先生发表了国内第一篇关于概率度量空间的论文【1 1 】他与朱林户 第1 章引论 关于p m 空间等距度量化的工作i s , 1 2 1 5 三今仍是我国关于p m 空间理论最有代表性 的工作之随后，西安交通大学的龚怀云教授、四川大学的张石生教授，还 有四川师范大学的丁协平教授等一批学者介入该领域，取得了不少深刻而独具 特色的成果此外，林熙、朱林户、郭铁信、朱传喜等对概率度量空间中的各种 问题也作了深入的研究 经过二三十年的努力，我国学者在该领域取得了不少深刻而独具特色的成 果同时随着随机分析理论的进一步发展，概率度量空间c ，的理论和应用也有很 大的发展，国际上s e h g a l 平t l b h a m c h a r e i d l l 3 1 ，b o c s a n l l 4 1 ，i s t r a t e s c u 1 5 - 1 6 1 ，h a di c 和p a p l l 7 - 2 0 1 及国内的林熙f 2 1 l 、张石生【2 2 - 2 酗、方锦暄【2 7 , 2 8 】、朱传喜【2 9 。6 l 等对概率度 量空间中算子方程和微分方程的解、算子的不动点及其迭代逼近等问题均作过 较为深入的研究，其中我国的这些教授还陆续指导了一大批研究生从事这方面 的研究工作 朱林户，任谨慎，杨亚莉在阳中总结概率度量空间上世纪在中国的发展情况 回顾概率度量空间在中国发展的三十年，主要有如下方面的研究和成果：1 ) 研究 了p m 空间和p n 空间的基本性质，诸如拓扑性质【3 8 枷l ，有界性f 4 1 舢】，p n 空间上的 线性算子1 4 5 , 4 6 l ，特殊类型的p m 空间【4 7 1 ，概率内积空问的定义i 铝，删，等等：2 ) 得到 了p m 空间上依概率度量压缩的压缩映象的各种不动点定理i m 5 6 j ，它们都是度 量空间中相应结论的推广：3 ) 应用p m 空间框架研究随机不动点问题：4 ) 研究p m 空间的度量性质i 龋7 1 概率度量空间中算子的不动点研究是概率度量空间理论研究的一个重要部 分，开始于s e h g a l ，b h a r u c h a r e i d 的工作中，他们第一次引入了概率度量空间中 压缩算子的概念，并讨论了此类算子不动点存在的条件在他的思想启发下，近年 来b o c s a n ，i s t r a t e s c u ，d o ，h o n gt a n 以及张石生的许多工作，进一步讨论了p m 空间中压缩映象和其他类型映象不动点的存在性和唯一性，并证明了一些有趣 的定理，可参见1 2 5 2 6 j 研究算子方程的解是应用数学的非常重要的组成部分，分析解的存在性唯 一性的方法也有很多，其中赋范空间中的拓扑度理论在研究算子理论中起着重 要作用，因此，为研究p n - 空间中的算子方程和不动点问题，我们自然希望建立 p n 一空i h 中的拓扑度理论1 9 8 9 年，张石生【5 8 l 中建立了l e r a y s c h a u d e r 度理论， 并把b a n a c h 空间中成立的一些重要定理推广至l j m e n g e r p n 空间中，其中推广了 b a n a c h 空问中的r o t h e 定理而拓扑度理论是研究非线性算子方程的有力工具，这 2 第1 章引论 些结果就大大推进 m e n g e r - p n 空间中的非线性算子方程的发展1 9 9 4 年，张石 生教授在1 2 5 j 中系统总结了概率度量空间的基本理论及概率度量空间中非线性算 子的t 匿要研究成果 本文在前人研究的基础上，继续讨论概率度量空间中非线性算子不动点相 关的问题主要利用迭代法和序方法研究了概率度量空间中非线性单值算子及 集值算了的不动点问题 1 2 预备知识 吞：本文中我们处处用尺表不一切实数之集合，尺+ 为一切非负实数之集合 定义1 2 1 伫5 1 映射厂：r r + 称为分布函数，如果它是非减的，左连续的， 又满足一卜而条件：迎f 厂1 3 f ) = o ，s u p 厂p ) = 1 1 c n ，；口 用c d 表示一切分布函数的集合，并且用h ( t ) 表示一特殊的分布函数，其定 义如下： = 髋 定义1 2 2 口习概率度量空间( 简称为p m 空间) 是一有序对( e ，f ) ，其中e 是 一抽象集，f 是exe 到的映象( 记分布函数f o ，y ) 为c ，y ，又t ，y ( f ) 表示只，y 在f r 的值) ，并且假定t 。，工，y e e 满足下面的条件： ( p m - 1 ) c ，( 0 ) = 0 ； ( p m - 2 ) t ，y ( f ) 一h ( t ) ，v t r ，当且仅当x = y ； ( p m 3 ) c ，y = 一； ( p m 一4 ) 对任意的z ，y ，z e e ，t it ：e r ，若t ，y o 。) = 1 ，：( f 2 ) 一1 ，则有： c ：( t l + t 2 ) = 1 定义1 2 3 口5 1 设彳是( x ，回的非空子集，则 d p ) 2 粤i ，n 酬ff , , 一yo ) ，尺 称为月酐i 概率盲径 3 第1 章引论 ( i )当s u p 见o ) = 1 时，称a 为概率有界集； f o ( i i )当0 o ，a 0 ， ( 1 2 1 ) 所导出的h a u s d o r f f 空间，其中u ，( ，a ) = i x e e ：e 。，( ) 1 一a 按照这一拓扑可以在( x ，c ) 中引入以下概念： 定义1 2 6 1 2 日设( x ，正) 是具有连续t 一范数的m e n g e rp m 空间，缸。 是 x 中的任意一点列 ( i ) 称仁。 t - 收敛于t x ，如果对v o ，亢 o 存在正整数n = ( ，a ) ， 当，z n 时，都有c ( ) 1 一a ( ii ) 称缸。) 为x 中的c a u c h y 列，如果对v 0 ，a o 存在j 下整数 n = n ( e ，a ) ，当m ，以苫n 时，都有只。，hp ) 1 一a ( iii ) m e n g e rp m 空间( x ，霉) 称为是完备的，如果对x 中的每一c a u c h y 列 都收敛于x 中的某一点 4 第1 。嚣i j i 论 定义1 2 7 圆m e n g e r 概率线性赋范空间( 简称为m p 空间) 是一三元组 陋，f ，) ，其中e 是一实线性空间，f 是e 到。的算子( 记分布函数f o ) 为丘， 又九o ) 表示在t e r 的值) ，并且假定丘，z e e 满足下面的条件： ( p n 1 ) 氕( o ) = 0 ； ( p n 一2 ) 只( f ) = h ( t ) ，v te r ，当且仅当x ；0 ； ( p n - 3 ) 对任一实数口0 ，厶o ) = f ( f l a l ) ； ( p n - 4 ) 对任意的x ，y e ，t it 2 尺，若六0 1 ) = 1 ，厂，0 2 ) = 1 ，则有： 六+ ，“+ f 2 ) = 1 ； ( p n 5 ) 对任意的工，y e e ，及一切的，t 2e r + ，则有： 九+ ，( f 。+ f ：) ( 六o 。) ，( f ：) ) 定义1 2 9 龉9 1 ( i ) 称函数：r + _ r + 满足条件p ) ，如果( f ) 是严格增的，且 v t 0 ，罗”o ) 0 ，l i m 驴”( f ) = 0 ，驴( o ) = 0 ，且声”o ) ”。1 0 ) 0 ，矿( f ) 矿- 1 0 ) 嘶) t ，n z + 定义1 2 1 0 瞄9 1 t 范数称为是h 一型的，如果函数族 ( f ) ) ：。在t = 1 处等度 连续，其中2 ( f ) = a ( t ，f ) ，a m ( t ) = a ( t ，m 。1 ( f ) ) ，t 【0 ，1 】，m ；3 , 4 ， 引理1 2 1 瞎q 具有连续t 范数的每一个m e n g e r 空间都可认为是完备的( 具有 连续t 一范数的每一m e n g e r 空间都有一完备化空问，且在等距意义下都是唯一的) 5 第2 章p m 宅问上算子公共不动点问题 第2 章p m 一空间上算子公共不动点问题 压缩迭代法是研究概率度量空间中算子不动点存在及唯一性问题的一个传 统而有效的方法国内外许多学者通过探讨算子不同的压缩方式得到了很多重 要定理1 2 5 , 2 6 , 6 0 - 6 2 】 本章在2 1 节讨论了集值算子不动点定理，在2 2 节通过改变概率度量空间 中算子压缩方式的方法得到了几个新的复合算子公共不动点定理，同时推广了 一些重要结论 2 1p m 一空间中集值算子列的公共不动点定理 首先介绍本节基础概念 1 9 7 2 年，y m s e h g a l 和彳t b h a r u c h a r e i d 首先引入了删一空间中的 压缩算子概念( 称之为b 一压缩) ： 定义2 1 1 1 6 3 1 设但，f ) 是一p m 一空间，算子t ：e e 称为e 上的b 一压缩， 如果存在k e ( 0 ，1 ) ，使得对一切x ，y 及t o 都有： 民，乃( 幻) 之e ，( t ) 1 9 8 3 年，z l h i c k s 引入了一类新的压缩算子，称为c 一压缩： 定义2 1 2 嘲设饵，f ) 是一肌一空间，且r ：e 呻e 算子r 是c 一压缩， 如果存在k ( 0 ，1 ) ，使得对任意x ，y e 及t 0 ，下列蕴含关系成立： c ，o ) 1 - t 净f t ，印( k t ) 1 一缸 1 9 9 6 年，o h a di c 将c 一压缩进行了推广，提出了 ，c ) 一压缩概念： 定义2 1 3 阚设但，f ) 是一p m 一空间，且z ：e 一2 为一集值算子，则算 子丁称为是一( 1 l ，c ) 一压缩，其中缈：r + 一尺+ ，如果对任意x ，ye e 及t 0 ，下 列蕴含关系成立： c ，o ) 1 - t 垮v ue t x ，3 ve 砂，使得e ，( 1 王，o ) ) 1 - w ( t ) 定义2 1 4 1 2 s 7 设( e ，f ，) 是一个m e n g e rp m 一空间拓扑向量空间，ac e ， t ：a _ 2 一是一集值算子若满足对任意得 矗) ca ，d 。) c 彳，以呻y o ，x n j c 0 0 呻) 净y oe r x o ， 6 第2 章p m 空间卜算子公共不动点问题 其中y 。t x ，则称r 是在点闭若丁在a 中任意一点闭，则称丁在彳j ：闭 设( e ，f ，a ) 是一个m e n g e rp m 令问，t - 2 是x 的非空f 一闭概率有界子集族， 对任意给定的彳，b q ，定义分布函数如下： f a 。b l t ) ；s u p a ( i n f s u p f x 一，is ) ，i n f s u p f x ? v is ) ) ， f x i t ) ；s u p s u p l v ( s ) ， s ，f r 其中声称为由f 导出的m e n g e r - h a u s d o r f f 度量 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 注2 1 1 圆( 1 ) 设( x ，d ) 是一完备j 适量空间若定义f ：xx x c d 如下： e ，f ，f ) = h ( t - d ( x ，y 肚 ( 2 1 3 ) v x ，ye x ，te r 则( x ，z ，m i n ) 是一f 一完备的m e n g e rp m 一空间 ( 2 ) 若定义f ：c b ( x ) c b ( x ) _ 如下： f a ，m t ) = h ( t 一6 ( a ，b ，( 2 1 4 ) v a ，be q ，te r 则f 是由f 导出的m e n g e r - h a u s d o r f f 度量且当a24 ，| ，其中 4 ，i ( 口，b ) = m a x a + 6 一l 吣，v a ，b e o ，1 ”寸，若( e ，f ，) 是z 一完备的m e n g e rp m 空 间，则( q ，f ，a ) 也是z 一完备的m e n g e rp m 空间 引理2 1 1 伫5 1 设陋，f ，) 是一个m e n g e rp m 空间，则对任意么，b q 及任意 x ，y e e ，有 ( i ) f 郇( f ) = l v t o 当且仅当a = b ； ( i i ) e o ) = 1 , v t o 当且仅当x e a ； ( i i i ) v x e a ，只口( f ) 乏f a ，口( f ) ，v t o ； ( i v ) e 一( + f 2 ) ( e 。，( ) ，一0 2 ) ) ，v t 。，t 2 o ； ( v ) 只，彳( + f 2 ) ( e b 瓴) ，f a a ( t 2 ) ) ，v f 。，t ：20 定义2 1 2 哂q m e n g e r - 牢1 s j 陋，f ，) 上的自映射算子a ，s 称为是弱相容的 ( 或偶然可交换的) ，如果a ，s 在重合点处可交换，即若和= s p ，对某p e e ，则 有a s p = s a p 定义2 1 6 6 7 1 设陋，f ，) 是m e n g e rp m 空间，s 和z 是e 上的两个白映射 算子称s 和丁具有性质( e a ) ，如果存在序列 吒】c e 及某个a e e ，使得 l i m s x = l i m r x = a n - 0 0月0 0 由上面的定义，我们建立下面的定义： 定义2 1 7 但，f ，) 是一m e n g e r 空间，a 是e 上的自映射算子，s 是e 到 q 的多值算子称a ，s 具有性质( e a ) ，如果裂_ ) ce ，使得l i mb x = m q ， 7 第2 章p m 一空间上算子公共不动点问题 l i m a x 一z m 下面建立本节的主要结论 定理2 1 1 设( e ，f ，a ) 为完备的m e n g e rp m - 空间，f - 范数满足：s u p a ( t ，t ) = 1 算子l ：m 一2 等，f = 1 ，2 ，是一列一，c ) 一压缩集值算子，其中m 2 三，且满足 下列条件： ( 风) 对任意的f ，j z + ，f j , x ，y m 及f o ，若只，yp ) l - t ，则对任意的 p e t f x 及g i y 满足，目( 掣( f ) ) 1 一v ( f ) ，v t 0 则至少存在一个z 水e m 使得x 木e n t 。r , x 宰 证明任取“m 对任意的x 0 ，显然有e ，0 ) 0 故对s 1 有 e 。o ) 1 一s 从而对任意的f ，je z + ，f ，取l m ，7 乙y ，则t _ ，( s ) 1 一s 且 f ，_ ，( s ) 1 一s 由于 互) ：，是( 1 王，c ) 一压缩集值算子列，故分别存在x 互墨n ，乏乃 使得n ，p ，( 掣 ) ) 1 一平g ) ，t f ，一；n ( 掣( s ) ) 1 一v o ) 又由于巧，乃满足条件( h 。) ，故由e ，( s ) 1 一s 得& 一，硝 胖( s ) ) 1 1 王，( s ) ，进 而有c g ，一：，( 1 l ，2 0 ) ) 1 一v 2 0 ) 重复以上过程，可得到两个序列 c m ， 1 一w “( s ) ， ( 2 1 5 ) “6 n l t 。m ( 、i ，”( s ) ) 1 一掣“( s ) ， ( 2 1 6 ) “h + l 以f ) r ( w ”( s ) ) l l l ”( s ) ( 2 1 7 ) 。1p 由l i ml 王，“o ) 一0 ，及( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 知对任意得 0 ， ! 鳃0 ，z ，( ) = 1 ，! a m 。气2 ，( ) = 1 ，! i m 0 ：i z ，( ) = 1 _ 一月h + l “ n 一+ l p h 又由于f 范数a 满足s u p o ，f ) = 1 ，故【) ， 为c a u c h y 列( 证明参见【6 5 】) 8 第2 章p m 一空问上算子公共不动点问题 进而由x 的完备性知，存在x ”工! x ，使得舰；笠i ) , 。l i m 。x ：7 = 0 d 且 x ：是i 1 = x 。 同时如【6 5 】中证明过程，可证得x ! z n ，x ! l z ! d ，即对任意的i ，j e z + ， 存在矗x 使得l l 五n 互量，从而可得存在量x 使得溉e n t ，互置定理得 证 注2 1 2 定理2 1 1 中令l = t ，v i e z + ，则可得 6 8 1 q b 定理4 定理2 1 2 设( e ，f ，a ) 为完备的m e n g e rp m 空间，mc e 闭t 一范数满足 s u p a ( t ，t ) = 1 集值算子t ：m _ 2 吖在膨上闭，且满足下列条件： ( h ：) x 寸v x e e ， c ac m ，若x 萑彳，则对坳彳有e 乃( f ) 之只一( 驴o ”，v t 0 则丁在m 中有不动点 证明任取一点x o e m ，且x o 硭t x o ( 这样的点肯定存在，否则定理得证) 由于，( f ) 2 凹黑民，y ( 5 ) 2 风s u p f 却，( f ) ，故对协 o ，墨t x o 使得 南( 驴o ) ) = t 。，n 。( 妒( f ) ) 2 坠? e 。，( 妒( f ) ) ， 则由条件( h ：) 有 气，瑰o ) 氏，a o ( 驴o ”= e 。 ( 驴( f ”，v t 0 若，n l ( f ) = 1 ，v t 0 ，则由引理2 1 1 ( i i ) 失h 墨t x l ，定理证毕，否则又可取 屯巩，使得，巩( 驴( f ”= 施 o ) ) ，v t 0 再由条件( h ：) 有 & ，o ) ，致。( 驴o ) ) = 尥( 驴o ) ) 同样，若e ，如( f ) = l v t 0 ，则由引理2 2 2 ( i i ) 9 i ix 2 巩，定理证毕，否则 又可取屯戥：，使得t 如 ( f ) ) = & 以( 驴( f ) ) ，v t 0 ，再由条件( h ：) 有 乞，o ) 苫只：，b ( 妒1 9 f ) ) = 内( 驴o ) ) 重复上面的过程可得一序列饥) cm ，其中+ 。巩，v n z + ，满足 f x 。 o ) = & ，o ) 一。，巩一。( 伊o ) ) = ( 驴o ) ) ，v t 0 ( 2 1 8 ) 9 第三童! 坚：至塑圭篁王坌基至垫盛塑嬖一 - _ - 一一一 则对v n z + ，由( 2 1 8 ) 有 以( f ) 一取o ) 2 一。氏一。( 妒0 ”一 ( f ”氏一。( 妒“( ) ) ，v o 从而埘讹，p z + ， 一。( f ) 2 ( 气。一( ) ，( 中m ，：( ) ，( 。 ( 乃) ) ) ) 芝( k ，怖：( 妒( 么) ) ，( ，：m ( 妒( 乃) ) ，。( _ m ( 乃) ) ” 2 2 ( “而( 驴p 。1 ( ) ) ，( 椭( 妒p 2 ( 形) ) , - - a g 淌( ) ”) 2 ( ，峋( 矿州( 乃”，( ( 驴岬。2 ( 么) ) ，( e 。而( 驴“( 形) ) ) ) ) _ 1o 一) 即 _ 为x 中得c a u c h y 列，故存在x 术e m ( m 闭) 使得矗一x 车o 一) 由于x n + le t x ，v ne z + 及吒 - - ，x 宰( 行一) ，则由t 在m 上闭可知x 宰t x 术， 定理得证 定理2 1 3 设( e ，f ，) 为完备的m e n g e rp m 空间a , b 是上的自映射算子， s 丁是e 到q 的多值算子，且满足下列的条件： ( 1 ) b ( e ) c 彳( e ) ，且口但) 或4 ( e ) 完备； ( 2 ) b ，t 具有性质( e a ) ； ( 3 ) 瓦- r y o ) 乏l 试n 匕西( 垆o ) ) ，印( 驴o ) ) ，乃( 妒o ) ) ) ，v x ，y e ，v t 0 ，其中 驴( f ) 满足定义1 2 1 ( i i ) 务r 件； ( 4 ) 匕西o ) 乏兄砷 o ”，觇，) ，e ，v t 0 ，且彳，b 是弱相容的，其中驴o ) 满 足条件同上 则a ，b ，s ，t 在e 上有唯一的公共不动点 证明由于b ，t 具有性质( e a ) ，故z 。 c e ，使得 l i m t x = m q ，l i m 眠一z m n n 一一 由b ( ) c 彳陋) 知珥只) c e ，使得匆。；b x n ，n l 2 ， i 故l i m a y 。删l i m b x = z m 1 0 第2 章p m 一空间上算子公共不动点问题 下i 瓦证明l i m s y 。= m 由条件( 2 ) 有 只h ，t x 0 ) m i n f 饥，( 伊o ) ) ，只v , , , t x n ( 够 ) ) ，蠢，巩( 妒o ) ) = m i n f s ，玩( 驴o ”，k ，巩( 驴p ) ) 乏k 以( 驴( f ) ) _ 1 0 呻) ， 从而最。o ) 2 ( 最以( ) ，t 朋( 么) ) 一1 ( ，z - - o o ) ，即l i ms y 。= m 设彳陋) 是e 的完备子集，则由l i ma y 。= z 知z 彳仁) ，故3 u e 使得 a u ；z 假若b ( ) 是e 的完备子集，同样由l i m 眠= z 知z 口但) ca ( e ) ，从而也 = l ue e 使得a u = z 下面证明a u 是a ，b 的公共不动点 由条件( 4 ) 知 f 饥皿o ) 苫f k 一。( 驴o ”，v t 0 令- 呻o o ，有只。血p ) - - 1 ，v t 0 ，即 a u = b u 因为a ，b 是弱相容的，故a a u = a b u ：b a u ， 从而 l u , s h uo ) 乏只。州。 ( f ) ) = 只u , b a u ( f ) ) 苫巴。剧。( 伊2 0 ) ) 芑芝只u , b a u ( 妒”o ) ) ，v t 0 显然有艺u , b a u o ) 一1 ，v f 0 ，即a u = b a u - - - a a u ( 2 1 9 ) 下面证明a u 是t ，s 的公共不动点 由于z = a u e m ，由引理2 1 1 ( i i i ) 和条件( 3 ) 有 只删。( f ) 之r 舯( f ) 芑( r ，砜( ) ，& 汹( 么) ) 苫( 元，砜( 么) ，m i n 舢( 妒( ) ) ，f l 肌( 妒( ) ) ，u , t a u ( 伊( 么) ) ) 令，l 呻有 第2 章p m 空间上算子公共不动点问题 只删。( f ) 乏m i n 只洲。( 妒( ) ) ，l u , l a u ( 驴( ) ) ，删。( 够( ) ) ) = e 。肋 ( ) ) ，v t 0 因此 只u , t a u o ) 只。肌( 驴( ) ) 苫芝e u , t a u ( 驴4 ( ) ) _ l ( m 呻0 0 ) ， 即 a u e t a u ( 2 1 1 0 ) r 日理可证a ue s a u ( 2 1 1 1 ) 由( 2 1 9 ) ，( 2 1 1 0 ) 及( 2 1 1 1 ) 可知, 4 u 是彳，b ，s ，t 在e 上的公共不动点 设3 a e x 也是a ，b ，s ，t 在x 上的公共不动点，则 只。o ) = f k 州。( f ) 2f “。一。( 驴( f ” = 只4 。( 伊o ) ) c _ 。( 驴”o ) ) 一l ( m 一) ， 即口= a u ，从而证得4 “是彳，b ，s ，t 在e 上唯一的公共不动点 定理2 1 4 设( x ，于，m i n ) 为完备的m e n g e rp m 一空间a ，b 是x 上的连续自 映射算子， 互) ：，是x 到q 的连续多值算子，且满足下列的条件： ( 1 ) l ( x ) cb ( x ) n a ( x ) ，n = 1 , 2 ，； ( 2 ) v f ，j e z + ，i j ，v x ，y x ，v t 0 ， 毫哪o ) 之m i n , b y ( ) ，舡( ) ，乃，( 么) ，乃，( 么) ，正，( 么) ) ， 其中k ( 0 ，1 ) ； ( 3 ) n v x x ，a a x 驰工，l = 1 2 ，| 6 + 1 a 使得 只。 6 0 ) 芝e 。工o ) 帆6 0 ) 苫t ，写+ 1 口o ) ，v t 0 ； ( 4 ) a ，b 是压缩算子对 则b z e x 是彳，b ， l 臻，的重合点 证明 由l ( x ) c b ( x ) n 彳( 石) ，咒= 1 ，2 可得，对v x o e x ，玉，e x 使得 a x ，e t x o 又由条件( 3 ) 知甄互五，进而玉：e x 使得b x 2 = 6 疋且满足 ，b x 2 0 ) 苫籼( f ) ，v t o 同理对觑：瓢，丑地五x ：满足觑( f ) 苫酗o ) ，v t o 利用条件( 1 ) 及( 3 ) 重复上面的构造过程可得到一序列 吒) cx 满足： , 4 x 2 。一】互。一1 。一2 ，b x 2 。瓦。戈2 。一1 ， 一1 , 2 ， 1 2 第2 章p m 空间上算f 公共不动点问题 一一 二二二一 记y 2 。一1 = b 吃。一1 ，y 2 。= b x 知，贝4y 。l x 。一1 ，n = l 2 ，且 ，( f ) k 嘏 ( f ) ( 2 1 1 2 ) 下面证明 y 。 是x 中的c a u c h y 序列 由条件( 2 ) 及式( 2 1 1 2 ) 有 c 2 s , y 2 n + l ( f ) 最心。五+ p ) m i n ( 兄：。既( ) ，心：。正 。( ) ， 幽( ) ，f 锄冲m ( 么) ，如： 胁。( 么” 之m i n ( f k 。阮( ) ，凡：如。( ) ，：如+ 。( 么) ，兄：。如。n ( 么) ，：。皿：。( 么) ) 又由条件( 4 ) 知一如。( ) 乏m i n (