（固体力学专业论文）功能梯度材料中裂纹的动态反平面断裂问题.pdf

摘要 功能梯度材料是一种新型的复合材料，在许多工业领域中起到越来越重 要的作用。其断裂力学分析，由于对材料的优化设计至关重要，受到众多材 料学家和力学家们的重视。然而功能梯度材料参数可以在空间的某个方向上 按任意连续函数变化，这给断裂力学分析带来很大的数学困难。针对这一点， 本文根据任意连续曲线总可用一系列连续的直线段来逼近的事实，建立了一 个新的分层模型，即将功能梯度材料分成若干个子层，在每个子层中，假设 材料参数沿厚度方向按线性函数变化，在各子层界面上材料参数连续并且等 于它们在该处的实际取值。 利用这种新分层模型分别研究了含g r i f f t h 裂纹( 或者圆币形裂纹) 的 功能梯度涂层和界面层在受到反平面动态冲击载荷作用下的断裂问题。其中 材料剪切模量和质量密度沿厚度方向可按相同或不同的任意连续函数变化。 利用l a p l a c e 积分变换、f o u r i e r 积分变换( 或者h a n k e l 积分变换) 以及传递 矩阵法将混合边值问题导向奇异积分方程。并进行数值求解，通过l a p l a c e 数 值反演，获得动应力强度因子。文中应用提出的新模型重新计算了已有文献 中相同情况下的算例，验证了本文模型的有效性。另外还计算和讨论了剪切 模量和质量密度按幂指数函数变化时，裂纹动应力强度因子的特性，得到如 下结论： 1 ) 上半平面和下半平面( 或涂层表面) 的材料参数对动应力强度因子峰值 出现的时刻有明显影响； 2 ) 剪切模量和密度函数中的指数对动应力强度因子也有显著的影响。 3 ) 剪切模量和密度函数中的指数的变化对出现峰值的时刻影响很小； 4 ) 裂纹在梯度材料中的位置对裂纹应力强度因子也有一定的影响。 5 ) 材料参数所选的函数形式对裂纹应力强度因子很大影响。 6 ) 上半平面( 或涂层表面) 与下半平面材料参数的比值对裂纹应力强度因 子很大影响。 【关键词】功能梯度材料裂纹涂层界面层冲击载荷动应力强度因子反 平面变形 a b s t r a c t f u n c t i o n a l l yg m d e dm a t e r i a l ( f g m ) an e wt y p eo fc o m p o s i t e sh a sb e e n p l a y i n gam o r ea n dm o r ei m p o r t a mr o l ei nm a l l yb r a n c h e so fi n d u s 订i a ln e l d s f r a c t u r ea n a l y s i so fs u c hm a t e r i a l s ，e s s e n t i a l t ot h e i ro p t i m nd e s i g n ，t h e r e f o r e h a sb e e nm ei n t e r e s to fs c j e n t i s t sw o r k i l l gi nt h ef i e l d so fm a t e r i a ls c i e n c ea 1 1 d m e c h a j l i c s h o w e v e r ，t h ep m p e n i e so ff g m sm a yv a r ya r b i t r 撕1 ya l o n ga c e n a i ns p a t i a ld i r e c t i o n ，h i c hm a k e st h ed i r e c ta n a l y s i sv e r yd i 衄c u l ti n m a t h e m a t i c sb a s e do nm ef a c tt h a tac o n t i n u o u sc u r v ec a nb ea p p r o x i m a t e db y ac o n t i n u o u sb u tp i e c e w i s el i n e a rc u r v e ，an e wm u l t i l a y e r c dm o d e lh a sb e e n d e v e l o p e d i nt h i sn e wm o d e l ，1 ef h n c t i o n a i l yg r a d e dn l a t e r i a ll a y e ri sd i v i d e d i n t os e v e r a ls u b l a y e r s ，a n dl i n e a rv a f i a t i o n so ft 王l ep m p e n i e sa r ea s s m e di n e a c h s u b i a y e r m a t e r i a l p r o p e r t i e s a r et a 【l ( e nt ob ec o n t i n u o u so nt h e s u b - i n t e r f 砬e sa 1 1 de q u a lt ot 1 1 e i rr e a lv a l u e s b a s e do nm en e wm u l t i l a y e r e dm o d e i ，t h i st l e s i si n v e s t 培a t e st h ei m p a c t r e s p o n s eo f ac r a c ki nag r a d e di n t e r f k i a lz o n eo ri na 留a d e dc o a t i n gs u b j e c t e d t ot h e a n t i - p l a t l es h e a r1 0 a d b yu d l i z i n gt h el 印l a c ea n df o u r i e r h a l l k e li n t e 掣a l 廿a n s f o r n l s ，t h e a s s o c i a t e db o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sc a s ci m oas i n g u l a r i n t e g r a le q u a t i o nw i m ag e n e r a l i z e dc a u c h yk e m e l i nt h el 印l a c et r a n s f 0 姗e d d o m a i n t h eh i s t o r vo ft h ed v n a l l l i cs 廿e s si n t e n s i t vf h c t o r sf o rv 撕o u sm a t e r ia l c o m b i n a t i o n sa 1 1 dg e o m e 埘e sa r eo b t a i n e db ym en u m e r i c a lt e c l l n i q u eo f l a p l a c ei n v e r s i o n c o m p a r i s o no f 也ep r e s e mr e s u l t sw i t hp r e v i o u sp u b l i s h e d o n e sf o rs o m es p e c i a le x 锄p l e ss h o w st h a tt h ep r e s e n tm o d e li sv e r ye 蚯c i e m g e n e r a l l ys p e a k i n g ，、v ec o u l dh a v ef b l i o w i n gc o n c l u s i o n s ： 1 ) t h ed i f f e r e n c eo ft h em a t e r i a lp r o p e r t i e sb e t w e e nt h el o w e rh a i f 二s p a c ea n d t h eu p p e ro n e ( o rt h es u r f a c eo ft h ec o a 廿n g ) i n n u e n c e sm ep e a kp o s i t i o n o b v i o u s l v 。 _ 2 ) t h ed i 行e r e n c eb e t w e e nm eg m d i e n ti n d e xo ft h es h e a rm o d u i u sa 1 1 dt h a to f t h ed e n s i 钾i n n u e n c e st 1 1 ed s i f ss i g n i f i c a n t l y 3 ) t h ev a r i a t i o no ft h eg r a d i e n ti n d e xh a sl m l ei n n u e n c eo nm em o m e n to f 廿l e p e a ki nt h ed s i fh i s t o r y ， 4 ) t h ep o s i t i o n o ft h ec r a c ki nm eg r a d e dm a t e “a l si n n u e n c e sd s i f s s i g l l i 丘c a n t l y 5 ) t h ed i f f e r e n t 矗m c t i o nm a n n e ro ft 1 1 em a t e r i a lp m p e n j e si n n u e n c e st l l ed s i f s i i a b 虬r a c t s 追n i f i c a m l y 6 ) t h er a t i oo ft h em a t e r i a lp r o p e r t i e sb e t w e e nm ei o w e r h a l f _ s p a c ea n dt h e u p p e ro n e ( o rt h es u i f a c eo f t h ec o a t i n g ) i n n u e n c e sd s i f ss i g n i f i c 甜1 t l y 【k e y w o r d s 】f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l ( f g m ) ，c r a c k ，c o a t i n g ，i n t e r f a c e l a y e li m p a c tl o a d ，d y n 锄i cs 廿e s si n t e n s i t yf a c t o r ( d s i f ) ， a n t i p l a n ed e f b n n a t i o n i i i 第一章绪论 1 1 课题的背景及意义 复合材料已在工程中得到广泛应用，然而传统的复合材料，由于由两 种或以上的不同均匀材料结合在一起而存在明显的界面，因此材料的物性 参数如弹性模量、热膨胀系数在该处不匹配，从而使得界面容易成为失效 的源泉，界面设计也就成为复合材料设计的重要课题。另方面，随着现 代科学技术的进步，超音速航天飞机、超音速民用交通、现代航天飞行器 以及下一代电力系统装置都对材料的设计与应用提出了新的要求。例如航 天飞机的发展即面临许多技术问题，特别在先进隔热材料方面，通常使用 的陶瓷复合材料( 弥散强化陶瓷) 已经无法承受由于航天飞行环境中极端 的温度梯度引起的高热应力。为了解决这类问题日本材料学家在8 0 年代中 后期提出了功能梯度材料( n m c t i o n a l l y 擎a d e dm a t e r i a i s ，f g m s ) 的概念。 所谓功能梯度材料就是材料组分在一定的空间方向上连续变化的一种复合 材料。图1 1 给出了功能梯度材料的示意图( 其中黑方框表示一种组分材料， 空心方框表示另一种组分材料) 。由于功能梯度材料的这种特点，因此它能 有效地克服传统复合材料的不足即】。正如e r d o g a l l 在其论文【4 】中指出的与 传统复合材料相比，功能梯度材料有如下优势： 1 ) 将功能梯度材料用作界面层来连接不相容的两种材料可以大大地提高 粘结强度； 2 ) 将功能梯度材料用作涂层和界面层可以减小残余应力和热应力； 3 ) 将功能梯度材料用作涂层和界面层可以消除连接材料中界面交叉点以 及应力自由端点的应力奇异性： 4 ) 用功能梯度材料代替传统的均匀材料涂层既可以增强连接强度也可以 减小裂纹驱动力。 北京交通大学工学碗士学位论文 口口口口 口口口口口一 口口一一口 口口口口 口口一口 口口口口口一一 口口口口一一 ；一 厚度方向 图1 - 1 功能梯度材料示意图 因此，功能梯度材料的研究引起了众多学者的极大兴趣，然而由于其 组分在空间的连续变化，使得其材料参数如热膨胀系数弹性模量等在空间 上也按一定规律连续变化，所以需要根据功能梯度材料自身的特点进行断 裂分析，以便为功能梯度材料的优化设计打下基础。 综上所述，本文提出了一个新的分层模型用来模拟材料参数按任意连 续函数变化的功能梯度材料，在该模型中，功能梯度材料层分成若干子层， 在每个子层中材料参数沿厚度方向按线性函数变化，并在各子层界面连续。 利用该模型分析了功能梯度材料涂层和界面层中的若干裂纹动力学问题。 由于该课题有很高的理论价值和广阔的应用前景因而得到了国家杰出青年 科学基会( 1 0 0 2 5 2 l1 ) 和教育部高校博士点基金( 2 0 0 2 0 0 0 4 0 0 5 ) 的资助。 1 2 功能梯度材料中裂纹尖端奇异场的研究 功能梯度材料由于其材料参数在空间连续变化而显然具有非均匀性， 因此其中裂纹尖端应力场的奇异性研究就是功能梯度材料断裂分析首先要 解决的问题。d e l a l e 和e r d o g a n 川假设材料弹性模量函数为 e ( y ) = e 0e x p ( 卢y ) ( 1 1 ) 其中昂为裂纹处的弹性模量，卢为描述材料参数梯度的常数。利用上式获 得裂纹尖端应力场和均匀材料的裂纹尖端应力场一样，也具有负平方根的 奇异性。并进一步推断，只要在裂纹面处材料参数连续可微，裂纹尖端应 第一章绪论 力场就应具有通常的负平方根奇异性。此外，e r d o g a n 及其合作者m j 还假设 材料剪切模量为 ( x ，y ) = ，如e x p ( 卢x + ，一) ( 1 - 2 ) 其中胁为裂纹处的剪切模量，卢和a 为材料参数，依然得到上述结论。 e i s c h e n 【7 】用特征函数展开法，针对具有任意连续可微材料参数的非均匀 材料，求解了裂纹尖端场。结果显示，裂纹尖端渐近应力场的主项和均匀 材料中一样，也具有负平方根奇异性。e i s c h e n 的结果实际上证实了e r d o g a n 等的推断。最近，j i n 和n o d a 【8 l 更进一步指出，只要材料参数在裂纹尖端处 连续、分段可微，裂纹尖端应力场就具有负平方根奇异性。b e c k e r 等【9 j 也 得到相同的结论。此外，p a r a m e s w a r a l l 和s h u k l a m “j 还对材料剪切模量和质 量密度按相同指数函数变化、剪切模量按指数函数变化而质量密度为常数 以及剪切模量按线性函数变化而质量密度为常数等几种情况，用特征函数 展开法研究了常速扩展裂纹的尖端场，结果表明其应力场仍为负平方根奇 异性。 众所周知，传统的双相复合材料中界面裂纹尖端应力场的奇异性指数 是复数而不是实数【1 2 - h i ，这会引起裂纹面相互穿透的不合理现象。但对于 功能梯度材料，由于材料参数连续，不存在明显的界面，因此其中的裂纹 尖端应力场不会象传统的界面裂纹尖端应力场那样存在振荡性，因而可以 方便地使用常规的断裂力学方法来研究功能梯度材料中的断裂问题。 1 3 功能梯度材料中裂纹应力强度因子及其他断裂参数的求 解 功能梯度材料中的裂尖应力场由于和均匀材料一样具有负平方根奇异 性，并能够用应力强度因子或其他断裂参数来分析功能梯度材料的断裂现 象，因此很多学者提出了不同的解析模型用以研究梯度材料的裂纹问题， 并求解了应力强度因子或其他断裂参数。 1 3 1 基于e r d o g a n 模型的裂纹问题求解 早在1 9 8 3 年，d e l a l e 和e r d o g a l l f 5 1 就假设材料的弹性模量具有( 1 1 ) 的 北京交通大学t 学硕士学位论文 形式，而材料泊松比为常数，求解了非均匀材料中的裂纹问题，其中裂纹 面与梯度方向垂直，并求得了裂纹应力强度因子，通过变化泊松比发现泊 松比的变化对应力强度因子影响不大。e r d o g a n i l5 j 将( 1 1 ) 中的弹性模量用 剪切模量代替，求解了反平面裂纹问题。o z t u r k 和e r d o g a l l i 】6 】则用同样的材 料参数形式求解了梯度界面层中的反平面裂纹问题。j i n 和b a t r a 7 】用该模型 求解了梯度涂层中的反平面裂纹问题。e r d o g 龇1 等【1 8 j 还计算了梯度界面层中 裂纹与材料梯度方向平行时的i i i 型应力强度因子。 d e l a l e 和e r d o g a n 在利用( 1 1 ) 形式弹性模量的同时，进一步假设泊 松比为： v ( ，) = ( 山+ b o y ) e x p ( 卢y ) ( 1 - 3 ) 式中a 和岛都是常数，另外v ( y ) 应满足o c v co 5 。他们分别求解了非均匀 界面层中的裂纹应力强度因子以及含有非均匀材料层的结构中界面裂纹的 应力强度因子。c h e n l 20 j 利用上述模型研究了夹层板的界面裂纹问题，其中 夹层板由两块有限厚度的均匀无限大板和功能梯度材料板组成。另外， c h e n 以及e r d o g a j l 和w u 还指出泊松比的变化对裂纹应力强度因子的影 响不大，因此在很多功能梯度材料或含梯度界面层或涂层的断裂分析工作 中，均把功能梯度材料的泊松比看作常数。c h o i 用这种模型分别研究了梯 度层合板中裂纹垂直于界面的情况【2 2 】、功能梯度材料中的周期裂纹问题 【2 3 1 、梯度界面层中的共线多裂纹问题2 4 1 以及界面层中裂纹与界面成任意角 度时的裂纹应力强度因子。0 z t u r k 和e r d o g a n 【2 6 _ 2 剐用该模型分别求解了非 均匀材料和梯度界面层中的轴对称裂纹问题。c h e n 和e r d o g a i l 2 9 】用该模型求 解了梯度涂层中的界面裂纹问题。而s h b e e b 和b i n i e n d a | ju j 则采用该模型计算 了有限厚度的梯度央层板中界面裂纹的应力强度因子。o z t u r k 和 e r d o g a i i 3 2 还进一步假设局i 、e ：，以及g l2 按指数函数变化，而泊松比为 常数，求解了非均匀正交各向异性材料中的平面裂纹问题。 在动态载荷作用方面，b a b a e i 和l u k a s i e 谢c z 【3 3 3 4 】f 段设剪切模量具有上述 的指数函数的同时还假设质量密度具有如下形式： p ( y ) = 砌e x p ( y ) 其中风为常数，这样功能梯度材料中的剪切波速就为常数。他们求解了梯 4 第一章绪论 度界面层中裂纹在反平面冲击载荷作用下的应力强度因子，得到应力强度 因子随裂纹长度与界面层厚度比值的变化特性。s h u l 和l e e 3 5 1 利用类似的模 型求解了梯度涂层中的动态反平面裂纹问题。 在以上裂纹问题的分析研究工作中，由于在各自的假设下问题的控制 方程是常系数的，因此可以方便地运用f o m i e r 积分变换和l a p l a c e 积分变换 进行求解，而且e r d o g a n 模型也确实能描述某些功能梯度材料的参数，因而 这是十分有意义的。 l ，3 2 基于层合板模型的裂纹问题求解 实际的功能梯度材料或结构可能会因为特定的需要而设计成材料参数 按其他函数形式变化。因此在对功能梯度材料或结构进行断裂分析时，仅 假设材料参数按指数函数变化是不够的。为此，部分学者用层合板模型来 模拟功能梯度材料的参数。其具体做法是将功能梯度材料分成若干层( 等 厚或不等厚分层) ，在每层中材料参数为常数，大小可以选用如先验函数 或者细观力学方法所给出的函数在每层中点的值，也可以用参数在每层中 的平均值作为层合板模型中的材料参数。利用这个模型，w a n g 等【3 6 _ 39 】求 解了非均匀材料或功能梯度材料中动态载荷作用下的平面裂纹问题以及圆 币型裂纹问题。i t o u 【4 0 】贝0 用该模型求得了界面层中冲击作用下平面裂纹的瞬 态应力强度因子。值得注意的是，为了避免复合材料中经典界面裂纹应力 强度因子的振荡性，他们都假设裂纹位于层合板的某一层中，或者换句话 说，在与裂纹相邻的两层中，材料参数假设为具有相同的取值。尽管采用 该模型，利用积分变换技术和传递矩阵法可以很方便地分析功能梯度材料 中的动静态裂纹问题。然而由于材料参数在裂纹所在层中为常数，因此可 能在某些情况下难以较精确地考虑材料梯度的影响。 文献1 5 4 】研究了垂直于梯度涂层的裂纹受到静态载荷和反平面动态冲 击载荷作用的断裂问题，而文献1 55 j 中研究了平行于梯度界面层和涂层的裂 纹受到静态载荷和简谐动态载荷作用下的断裂问题。本文将在文献1 55 j 的基 础上，研究梯度材料受到反平面动态冲击载荷作用时g r i m h 裂纹和圆币型裂 纹的断裂问题。 北京交通大学工学硕土学位论文 1 3 3 基于其他模型的裂纹问题求解 除了采用以上e r d o g a n 模型和层合板模型研究功能梯度材料或结构的 断裂问题外，韩学礼4 ”、h a n 和w a j l g 【4 2 ，4 3 1 、w a i l g 等4 5 ，4 6 1 以及h a s s a l l 4 7 】 假设材料的弹性模量在厚度方向按幂函数形式变化，求解了一些典型裂纹 问题的应力强度因子。l i 及其合作者【4 舢”】还假设弹性模量和质量密度按相 同的幂函数变化或质量密度为常数求解动态载荷下的裂纹问题。然而该模 型的局限性和e r d o g a n 模型是一样，都没法研究功能梯度材料参数按其他形 式变化的情况。另外g a o f5 2 】以及e r g n v e n 和g r o s s f 5 3 考虑了材料参数变化不大 的情况，用摄动法求解了非均匀材料中的裂纹问题。 文献口5 j 研究了功能梯度材料受到静载荷作用以及简谐动载荷作用时的 反平面断裂问题，本文将在此基础上研究功能梯度材料受到冲击载荷作用 时的动态反平面断裂问题。 除了上述利用解析的方法求解应力强度因子外，有限元方法也是研究功 能梯度材料断裂问题的强有力工具，在此不再详细论述。 1 4 本文的研究目的和内容 由于功能梯度材料中裂纹的应力场仍具有一1 2 奇异性，因此仍可用应力 强度因子的概念来描述这类材料的断裂特性，因而求解应力强度因子也就 成为功能梯度材料断裂分析中的重要任务之一。 本文的研究目的是将新分层模型推广到冲击载荷作用下的裂纹问题。 1 4 2 本文研究的主要内容 考虑到功能梯度材料在复合材料的界面设计与涂层材料中具有重要 的应用价值，本文将研究梯度界面层和梯度涂层中的裂纹在动态冲击在载 荷作用下的断裂问题，并假设梯度界面层和涂层的材料参数可用任意个 已知的连续函数描述，而且这些参数只在厚度方向上变化，裂纹则假设与 界面平行，论文主要对动态应力强度因子进行求解。具体由以下几部分组 成： 第二章研究了梯度界面层和涂层中的g r i 跚l 裂纹在受到反平面剪切动 态冲击载荷作用下的断裂问题。针对若干情况进行了详细的计算和讨论， 第一章绪论 并与b a b a e i 和l u k a s i e w i c z 【3 4 j 的工作比较验证了本文采用模型的有效性。 第三章研究了梯度界面层和涂层中的圆币型裂纹在受到动态冲击载荷 作用下的断裂问题。与l i f 4 9 等工作的比较，验证了本文采用模型的有效性。 1 4 3 本文研究的主要思路 本文主要将新分层模型推广应用于求解剪切冲击载荷作用下的动态断 裂问题。利用l a p l a c e 积分变换和f o 谢e r 积分变换( 或者h a n k e l 积分变换) 以及传递矩阵法将混合边值问题导向奇异积分方程。并进行数值求解，通过 l a p l a c e 数值反演，得出动应力强度因子。具体求解思路如下： 1 ) 考虑反平面问题，以位移表示平衡方程；然后对这些控制方程进行 l a d i a c e 积分变换和f o 埘e r 积分变换( 或者h a n k e l 积分变换) ，得到变 换域内的常微分方程，借助特殊函数理论，得到各层中位移和应力在 变换域内的通解。再利用边界条件，获得各层中位移和应力与裂纹面 上位移间断之间的关系，而它们之间联系的桥梁即为传递矩阵。 2 ) 引八裂纹面的位错密度函数( 或其他类似的辅助函数) ，利用第1 步 的结果，将各层中位移和应力用位错密度函数或其他辅助函数表示。 3 ) 利用裂纹面的边界条件，建立以位错密度函数( 或其他辅助函数) 为 未知量的积分方程。 4 ) 根据积分核中特殊函数的渐近性质，对积分核进行极限分析，分离出 其中的奇异部分，得到c a u c h y 奇异积分方程。 5 ) 用高斯一切比雪夫积分公式对c a u c h y 奇异积分方程进行数值求解。 6 ) 根据导出的有关应力强度因子的计算公式，再利用l a p l a c e 数值反演进 行计算，得出动态应力强度因子。 第二章功能梯度材料中g r i m h 裂纹的动态反平面断裂 问题 2 1 引言 本章研究了含g r i m h 裂纹的功能梯度材料涂层和界面层在动态反平面载 荷作用下的断裂问题。尽管目前有关功能梯度材料在静态载荷作用下的断裂 分析已有不少，但在工程实际中，很多情况都是动态过程，因此分析梯度材 料在动态载荷作用下的行为具有重要的意义。然而这方面的研究目前还比较 少，b a b a e i 和l u k a s i e w i c z 【3 3 ，3 4 】假设材料剪切模量和质量密度按相同的指数函 数形式变化，求解了功能梯度材料在冲击下的反平面裂纹问题。w a i l g 等【3 ”卅 用层合板模型分析了非均匀材料的动态断裂行为。w a i l g 和g r o s s 56 提出一个 新的分层模型，即将材料分成若干层，在每层中假设剪切模量和质量密度按 线性函数变化。然而为了保证每层中的剪切波速为常数以便于数学处理，必 须假设它们的变化形式相同，从而使得剪切模量在界面连续而质量密度不连 续，这具有一定的局限性。本章将在此基础上将该模型进一步完善，并用来 研究梯度材料中的g r i 删1 裂纹受到反平面动态冲击载荷时的裂纹问题。利用 l a d l a c e 积分变换、f o 戚e r 积分变换以及传递矩阵法将混合边值问题导向奇异 积分方程。并进行数值求解，通过l a p l a c e 数值反演，获得动应力强度因子随 时间的变化曲线。 2 2 线性分层模型及控制方程的通解 女图2 1 所示，考虑功能梯度材料界面层中的g r i f 弛裂纹受到动态冲击 载荷作用，梯度材料厚度为，其剪切模量沿厚度方向从上表面处的按任 意连续函数形式变化到材料下表面的+ ，而质量密度则按不同的任意连续函 数形式从上表面的岛变化到下表面的p + 。由于任意一条连续曲线总可用一 系列连续的直线段来逼近，因而可对功能梯度材料按如下方式进行模拟：将 功能梯度材料分成若干子层( 设为层) ，在每层中材料的剪切模量和质 量密度在厚度方向上均按线性函数变化，且在界面上连续。于是每层中材料 第二章功能梯度材料中g m 虬裂纹的动态反平面断裂问题 参数可写为 ( 2 1 ) 其中乃和乃分别为材料剪切模量和质量密度在界面y = 吩处的实际值， 即巧= 一( 1 ) = ( 吩) 和历= 一( 吩) = p ( 1 ) 。此外，假设裂纹面与材料表面平 行，并且裂纹在第詹个子界面上【5 5 】。 u p p e r li a i f s p a c e 、 f g m i (二) ，和 。( 蝴d ) ；) l o w e r1 a l f s p a c e 图2 1 含裂纹的功能梯度界面层 承詹 对于反平面剪切问题，位移分量有如下特征： = “”= o ，h 目= ( 石，弘f ) ，= l ，2 ， 其中，r 指时间。在本文新模型下每层中的控制方程为： 鲁+ 鲁= 毋等小搬僦珊。研一 其中和是剪应力中的非零分量： ( 2 3 ) ( 2 4 ) 2 = 一 l y l 力d 0 t + 十 巳巳 (，l 一一一d = 1 1 )、j y y(，l 竹d 力力(，l “ d ，j、l 一一 妒 妒 一一一 圹 旷 北京交通大学工学硕士学位论文 = 一警，铲一警 ( 2 _ 5 ) 1 2p i 否；，1 日2 弘i 吾； 、。3 。 于是，功能梯度材料在每一层中的控制方程可写为： 肋) v 2 一+ 掣警吲力等，川，2 ，( 2 - 6 ) 式中v 2 = a 2 缸2 + a 2 砂2 为l a p l a c e 算子。将公式( 2 1 ) 和( 2 - 2 ) 中的竹和乃代 入公式( 2 - 6 ) 中，得 + 等+ 南等一繁端等一o ，川二，沼， a x 2 砂2 口，+ 6 ，y 砂芦，( d + 6 ，y ) 甜2 。 在上、下半无限均匀体中，平衡方程分别为： 俨w o = 专争c ：讲。 咖。：去争 培 其中c 0 ：0 i 石和+ ，= 折石丽= 而为波速。假设在，= o 时刻一 反平面冲击载荷p ( x ，) 作用在裂纹面上，即 r 衅= p ( x ，f ) ， 一d x d ( 2 2 5 ) 公式( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 即为本节所要推导的对偶积分方程组。 值得指出的是，如果上面所有公式中的 乃( y ) 】( _ ，= 1 ，2 ，) 用下面表达 式代替 i e x p ( 一) e x p ( ) | | _ 一e x p ( 一h y ) h e x p ( h y ) i 则所得到的 靠 = 巧( y ) ( 瓦 + 或 日( ，一七一1 ) ) 正是层合板模型中的传 递矩阵。这里一为第，个子层中的剪切模量，且为常数。 以上分析是针对含g r i m t h 裂纹的功能梯度材料界面层进行的。但是，这 些推导公式也可以用来分析包含g d 伍t 1 1 裂纹的功能梯度材料涂层的断裂问 题，为此，只需将公式( 2 2 1 ) 替换为： k 】= 】； _ = 乃( _ ) 。 巧。( 哆) ； 矿 = x 1 ，o 卜 露 见 o ，l 】； 【厶】= 或一1 正( 嚏) 】； 巧 = k 】 k 一 ，1 ； 瓦 = 】； ( 2 2 6 ) = 巧，1 。 巨 ； 毛 = 一 巧一。 “【厶】； 豆 = 丑 1 ，o 】 旷 。1 厶 再考虑涂层表面的自由边值条件： 盯惯1 = o ，y = ( 2 2 7 ) 2 4 奇异积分方程的推导及其求解 引入裂纹位错密度函数： 船) = 去【( 瑚，怵a 对上式作l 印l a c e 积分变换，得： ( 功= 导碱( 吼小口 ( 2 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) 北京交通大学工学硕士学位论文 其中 城= 再1 露( “) “p ( 捃州“ 将公式( 2 2 9 ) 代入方程( 2 2 4 ) 和( 2 - 2 5 ) 中，可得： 一去e s 矾船) e x p b ( ) m 出叫蚺小日 广矿( “) 幽= o 卜d 根据w h m a k c r 函数的渐近性质【5 7 ，5 引，可以证明式( 2 3 0 ) 中的s 下列性质： l i ms 一1 m ( s ) = 干忍，2 j 士 进步利用 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 州( s ) 具有 ( 2 3 2 ) r s 印( s ) e x p 缸q x ) 丞= _ 兰l ( 2 3 3 ) l 8 印( 5 ) 。x p 缸q 一。) 丞2 意 2 3 3 可将方程( 2 3 0 ) 化为如下c a u c h y 型的奇异积分方程： 冬l 譬生竺d “+ 譬矽 ) g ，x ) d “= p + o ，p ) ，i z f a ( 2 3 4 ) 2 7 rj _ 4 “一z丌上d 1 、+ 。 其中 洲一r l 挚+ 舭舡叫 如 方程( 2 3 1 ) 和( 2 3 4 ) 可用e r d o g a l l 和g u p t a 【5 卵的数值方法求解。为求解 方便，令 “= ，z = 西 ( 2 - 3 5 ) 方程( 2 3 4 ) 可化为： 嘉，罄蟛+ 等，伊( f ) 烈，) 彤= 1 切 纠 1 ( 2 - 3 6 ) 其中伊+ ( f ) = ( d f ) 。根据m u s i d l e l i s l l i l i 6 0 】的奇异积分方程理论，位错密度函 数伊g ) 在f = l 处具有平方根奇异性，于是引入 p + ( 伊年粤 ( 2 - 3 7 ) 、，l f 将广( o 用c h e b y s h e v 多项式展开得： 1 4 第二章功能梯度材料中g n 臆h 裂纹的动态反平面断裂问题 ，+ ( f ) = c j 弓( f ) ( 2 3 8 ) = 0 这里巧( f ) 为第一类c h e b y s h e v 多项式，c j 为待定系数。利用c h e b y s h e v 多 项式的性质： 托老器 - 0 ，一1 f 1 u j l ( f ) ，= l ，2 ，一，一l 掌 1 ( 2 _ 3 9 ) 塑雩警尝型乒0 3 1 ，胁， f 善2 1 。 其中u 一，( f ) 为第二类c h e b y s h e v 多项式，可以得到 ! f _ 一肇丝一。上等盟 ( 2 4 0 ) 吒一 r 讣一2 m 售l 一 r 这里 缶：c o s 祟万，( ，2 ，m ) ， 1 ) 和图2 。5 ( 胁= p + 助= i 2 2 1 ) 和图2 - 7 ( + 肋= p + 肋= 1 ，2 2 1 o ，研究k 3 ( r ) 岛随着口的变化情况，见图2 1 l ，图 中足3 ( f ) 硒的峰值随口的增大而减小，也可看出不同的口( 或) 的值对 足3 ( f ) 岛的值有很大的影响。 2 6 2功能梯度材料界面层中的中线裂纹 上面计算了功能梯度材料界面层中界面裂纹的情况，接下来的算例计算 中线裂纹的情况。 图2 - 1 2 给出了p 风= l 2 2 l ，口= = o 6 时，功能梯度界面层中线裂纹 在反平面冲击载荷作用下的厂( 1 ，p ) ，其值随胁的增大而减小。图2 1 3 第二章功能梯度材料中g r i 肺l 裂纹的动态反平面断裂问题 给出了“o = p + 缅= l 2 2 1 ，= o 6 时的，( 1 ，p ) ，其值随口的增大而减 小。 梯度材料界面层中线裂纹在受到反平面冲击载荷作用时动应力强度因 子k 3 ( f ) 岛随梯度指数口( 或) 的变化见图2 1 4 ( 肋= p + 凤= 1 2 2 1 ， 甜= ) 。图中显示当口= 1 o ( 或= 1 0 ) 时，k3 ( f ) 岛的稳态值达到最大。 同样，当口时，世3 ( f ) 岛的稳态值也是当口= 1 o 时达到最大( 见图2 1 5 ) 。 当肋= p + 肋= l 2 2 1 ) 和图2 1 9 ( 肺= p + ，砌= 1 2 2 1 ) 和图2 2 1 ( + 肺= p + 风= 1 2 2 1 ，口= = 0 6 ) 和图2 2 3 ( p + 风= l ，2 2 1 ，= o 6 时， 北京交通大学工学硕士学位论文 a 对k3 ( 0 ，有很大的影响，且随着指数口的增大k3 ( f ) 逐渐减小。 2 6 4 功能梯度材料涂层中的中线裂纹 上面计算了功能梯度材料涂层中界面裂纹的情况，以下计算中线裂纹的 情况。 图2 2 5 给出了功能梯度涂层中线裂纹在反平面冲击载荷作用下厂+ ( 1 ，p ) 随指数口的变化，可以发现当+ 肺= p + 胁= 2 2 】，口= 时厂( 1 ，p ) 随口的 增大而减小。而当+ 舶 1 o ，p 砌 1 o ，口= 卢时，出现了相反的结果， 如图2 2 6 所示。以上表明+ 胁和p + p b 的值对结果有很大的影响。图2 2 7 ( p 助= 1 o 2 2 o 1 o ，d = 卢1 o 时，置3 ( f ) 随指数 口的增大而减小。而图2 2 9 则表明+ 肺= 尸4 砌= 1 o 2 2 o 1 o ，口= 卢= o 6 )和图2 3 1 ( p 凤= 1 o 2 2 o l ，o ，口= 卢= 1 8 ) 所示，可以看到，图2 3 0 中臣3 ( r ) ，的 稳态值随胁的增大而增大。而图2 3 坝0 相反。 以上讨论的均为口；卢时的情况，图2 3 2 给出了a 卢 ( 肺= p ，砌= 1 o 2 2 o l ，( 1 一c ) i 第二章功能梯度材料中g r j m b 裂纹的动态反平面断裂问题 b8 c 0 a 图2 1 0 肋= i 0 1 0 o ，p + 风= 1 ，o 2 2 o ，口= 卢时，不同 的a 值下梯度界面层界面裂纹中丘( ，) ，。随。o r ，a 的变化 o24 68 c 0 怕 图2 1 1盹= 卢+ 肋= 2 2 o