（固体力学专业论文）功能梯度复合材料板结构的非线性力学行为与动力特性.pdf

功能梯度复合材料板结构的非线性力学行为与动力特性 2 1 1 = = = = ! = ! = 2 = 2 = ! = = = ! ! ! 1 2 功能梯度复合材料板结构的非线性力学行为与动力特性 摘要 i 功能梯度材料通常是由陶瓷和金属复合而成的一种新型先进非均匀复合材料，在航空航 天、核工业、动力机械、汽车工程等领域内有着极为广阔的应用前景。关于该类材料结构在 复杂的机械载荷和热载荷作用下的宏观力学响应分析具有重要的理论与应用价值。i 本文研究工作包括三部分的内容：( i ) 提出了基于一维d q 近似原理的半解析数值方法： ( 2 ) 从理论和数值分析两方面对功能梯度复合材料板结构的几何非线性问题及其动力特性 进行了全面系统的研究；( 3 ) 分析讨论了层台软夹芯板在局部载荷作用下的线性与非线性局 部变形问题，得到了新的有益的结果。 首先基于一维d q 逼近原理，提出了在多维域问题求解中利用解析解和g a | e r k i n 技术使 原问题降维的半解析d q 法。在此基础上，进一步提出了结合运用摄动技术和半解析d q 法 求解非线性问题的半解析摄动d q 法，为本文研究工作提供了高效可靠的数值分析手段。 本文重点对功能梯度复合材料矩形薄板、剪切板和圆柱曲板在不同边界约束条件与复杂 热机械载荷作用下的非线性力学行为和动力特性问题进行了全面系统的研究，分析中考虑 了材料组分沿厚度方向依幂律变化及材料物性参数随环境温度改变的特性，同时为便于处理 面内载荷和边界约束条件，采用了以位移分量和应力函数表示的基本控制方程。 l 对于功能梯度复合材料薄板结构，推导出基于经典板理论的无量纲几何非线性动力方 程，运用半解析数值方法对不同边界约束条件的功能梯度复合材料矩形薄板在面内与横向载 荷共同作用下的线性弯曲、自由振动、瞬态动力响应、大挠度弯曲以及后屈曲问题进行了详 尽的研究，并通过大量的参数分析讨论了功能梯度复合材料薄板宏观力学响应的特点。 对于功能梯度复合材料中厚板，采用r e d d y 高阶剪切板理论计入横向剪切应变和面内 与转动惯性项的影响，建立了定常温度场中功能梯度复合材料剪切板在各种不同的热机械 载荷条件下几何非线性问题的无量纲动力方程。对于具有不同边界条件和中面位移约束的矩 形板，运用半解析数值方法相继研究了温度均匀变化时矩形剪切板的热机静力弯曲问题和 考虑热机预应力时的横向自由振动问题、并结合运用模态叠加法给出了其瞬态动力响应解： 对于热机非线性弯曲问题则联合运用多参数摄动技术与半解析d q 法进行了研究。最后， 对一般功能梯度复合材料矩形板的屈曲问题进行了探讨，分析了f e l d m a n 与a b o u d i 结果错 误的原因，指出仅周边固支f g m 板存在分支点屈曲并给出了相应的临界屈曲载荷和临界温 度。 上海交通大学博士学位论文 ! 暑暑詈= 喜暑詈曼! = = = = = = = = = = = 暑= = 置皇巴竺兰! = = 竺! ! = = ! ! ： ： 对丁i 功能梯度复合材料剪切圆柱曲袄采用d o n n e l l 壳佑理论和r e d d y 高阶剪切理论， 建立了热机械载荷条件下剪切圆柱曲板的线性动力方程。在此基础上，讨论了温度均匀变 化时热，机预应力剪切圆柱曲板的横向振动特性，同时对周期性轴向激振力作用下功能梯度 复合材料剪切圆柱曲板的参数激振问题进行了研究，运用b o l o t i n 法确定出了结构的主共振 失稳区。 _ 在纤维增强复合材料层合板结构的非线性分析方面，运用半解析摄动d q 法给出了双参 数弹性基础上不问边界约束条件的反对称角铺设或对称正交铺设层舍板在面内与横向载荷 联合作用下的大挠度弯曲与后屈曲行为分析：对带软夹芯层的夹层板在局部载荷作用下的局 部变形问题进行了深入的研究，采用修正v l a s o v 双参数基础模型模拟软芯层与受载面板间 的相互作用。运用子域技术和半解析摄动d q 法给出了软夹芯板大挠度局部弯曲和非线性局 部屈曲问题的分析结果。同时重点讨论了边界约束条件、软芯层厚度、弹性模量、面板纤维 铺设方式等因素对夹芯板局部变形的影响，分析了t h o m s c n 研究结果的局限性，指出边界 约束条件对局部变形确有一定影响，且对芯层与受载面板界面处的接触应力和横向剪应力的 影响尤为显著，因此在夹层板局部变形效应的分析中充分考虑边界约束的影响。 基于本文理论分析结果和所提出的半解析数值方法，开发编制了基于m a t l a b 平台的 数值分析程序包，在上述研究领域内给出了大量首次发表的计算分析结果。) ，。 本文研究成果有助于推动功能梯度复合材料结构的宏观力学特性和复合材料夹芯板结 构的局部变形行为的研究，对于此类新型复合材料结构的工程实际应用具有积极意义。 关键词：功能梯度复合材料，半解析数值方法，动力响应，非线性弯曲，后屈曲，参数激振 层合软夹芯板，局部变形 n 功能梯度复合材料板结构的非线性力学行为与动力特性 = = ! = = = = = ! = = = = ! = = = = = ! = = = = = = = = ! = = ! = ：! ： n o n l i n e a rb e h a v i o ra n d d y n a m i c so f f u n c t i o n a l i yg r a d e dc o m p o s i t e p l a t es t r u c t u r e s a b s t r a c t f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ( f g m s ) ，u s u a l l ym a d ef r o mam i x t u r eo f m e t a l sa n dc e r a m i c s ， h a v e b e e nr e g a r d e da so n eo ft h ea d v a n c e d i n h o m o g e n e o u sc o m p o s i t em a t e r i a l sw i t hg r e a t a p p l i c a t i o np o t e n t i a li nm a n ye n g i n e e r i n gs e c t o r ss u c ha sa e r o s p a c ev e h i c l e s , n u c l e a rr e a c t o r s p o w e rg e n e r a t o r s ，a u t o m o b i l ei n d u s t r i e sa n ds oo n i n v e s t i g a t i o n so nt h em e c h a n i c a lr e s p o n s eo f f g ms t r u c t u r e su n d e rv a r i o u sc o m b i n a t i o n so fm e c h a n i c a la n dt h e r m a ll o a d i n gc o n d i t i o n sh a v e b e e n ，t h e r e f o r e ，r e c e i v i n gc o n s i d e r a b l y m o r ea t t e n t i o ni nr e c e n t y e a r s d u et ot h e i r p r i m e i m p o r t a n c ei ub o t ht h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a la s p e c t s t h i sp a p e rc o n s i s t so f t h r e ep a r t s ：( 1 ) d e v e l o p m e n t o f s e m i - a n a l y t i c a la p p r o a c h e so nt h eb a s i s o fo n e d i m e n s i o n a ld q a p p r o x i m a t i o n ；( 2 ) c o m p r e h e n s i v et h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a ls t u d i e so 1 t h eg e o m e t r i c a l l yn o n l i n e a rb e h a v i o ra n dd y n a m i c so ff u n c t i o n a l l yg r a d e dp l a t es t r u c t u r e s ；( 3 ) i n v e s t i g a t i o n s o ft h el o c a ld e f o r m a t i o no ff o a m - f i l l e ds a n d w i c hp l a t e si n d u c e db yl o c a l i z e d t r a n s v e r s ep a t c hl o a d s b a s e do nt h eo n e d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r ea p p r o x i m a t i o nr u l e ；as e m i - a n a l y t i c a l d q m e t h o di sp r o p o s e di nt h ef i r s tp l a c et or e d u c et h eo r d e ro f t h eo r i g i n a ls y s t e mb yt a k i n gt h e a d v a n t a g e so f e x i s t i n ga n a l y t i c a ls o l u t i o n sa n d g a l e r k i np r o c e d u r e as e m i a n a l y t i c a lp e r t u r b a t i o n d qa p p r o a c h ，w h i c hm a k e s u s eo f t h ep e r t u r b a t i o nt e c h n i q u ec o m b i n e dw i t ht h en e w l yd e v e l o p e d s e m i a n a l y t i c a ld qm e t h o d ，i st h e nd e s i g n e da sa ne f f i c i e n ta n dr e l i a b l ew a yi nt h en o n l i n e a r a n a l y s i so f f g m s t r u c t u r e s p r e s e n tr e s e a r c hi s m a i n l yf o c u s e do nt h e n o n l i n e a rm e c h a n i c a lr e s p o n s ea n ds h u c r a r a l d y n a m i c so ff u n c t i o n a l l yg r a d e dr e c t a n g u l a r t h i np l a t e s ，s h e a r - d e f u r m a b l ep l a t e sa n dc y l i n d r i c a l p a n e l su n d e r d i f f e r e n tb o u n d a r yc o n s t r a i n t sa n ds u b j e c t e dt oc o m b i n e dt h e r m o m e c h a n i c a ll o a d i n g m a t e r i a lp r o p e r t i e sa r ea s s u m e dt ob eb o t hp o s i t i o na n dt e m p e r a t u r ed e p e n d e n tw i t hm a t e r i a l i i i 上海交通大学博士学住论文 ! = = = = = 2 = = = = = = = = = ! = 2 1 = 2 自= ! = = 2 2 = - = ：= ! = = ： ： c o m p o s i t i o nv a r y i n ga l o n gt h i c k n e s sd i r e c t i o na c c o r d i n gt oap o w e rl a w d i s t r i b u t i o n ，t h e o r e t i c a 】 f o r m u l a t i o n sa r ep r e s e n t e di nt e r m so f d i s p l a c e m e n tc o m p o n e n t sa n ds t r e s sf u n c t i o ns ot h a te 艉c t s o f i n 。p l a n el o a d sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n sc a nb eh a n d l e de a s i l y t h e g e o m e t r i c a l l yn o n l i n e a rd y n a m i cg o v e r n i n ge q u a t i o n so ff u n c t i o n a l l yg r a d e dt h i nd l a t e s a r ed e r i v e di nt h ef r a m e w o r ko fc l a s s i c a l p l a t et h e o r y b yu s i n gt h ep r o p o s e ds e m i a n a l y t i c a l a p p r o a c h e s ，l i n e a rb e n d i n g ，f r e ev i b r a t i o n ，t r a n s i e n tr e s p o n s e ，l a r g ed e f l e c t i o na n dp o s t b u c k l i n 2 b e h a v i o ro fr e c t a n g u l a rf g mt h i n p l a t e su n d e rg e n e r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dc o m b i n e d t r a n s v e r s ea n d i n p l a n el o a d sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e de x t e n s i v e l y e x t e n s i v ep a r a m e t r i cs t u d i e sh a v e a l s ob e e nc a r r i e do u tt or e v e a lt h ee f f e c t so fv a r i o u sf a c t o r so nt h em e c h a n i c a lr e s p o n s eo f t h e f g mt h i np l a t e s f o r f u n c t i o n a l l yg r a d e dp l a t e s w i t hm o d e r a t et h i c k n e s s ，n o n l i n e a r d y n a m i cg o v e r n i n g e q u a t i o n sa n dt h e i rd i m e n s i o n l e s sf o r m sa r ed e r i v e db yu s i n gt h er e d d y sh i g h e ro r d e rs h e a r d e f o r m a b l ep l a t et h e o r yt oa c c o u n tf o rt h ep a r a b o l i cd i s t r i b u t i o no f t h e 仃a n s v e r s es h e a rs 订m n sa n d t h e r o t a r y i n e r t i a t h e r m a le f f e c t sd u et oa s t e a d yt e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n a r et a k e ni n t o c o n s i d e r a t i o ni nt h e o r e t i c a lf o r m u l a t i o n s t h ep r e s e n tw o r kc o v e r saw i d er a n g eo f s u b j e c t sf o rt h e f g ms h e a rd e f o r m a b l e r e c t a n g u l a rp l a t e s w i t hd i f f e r e n t b o u n d a r yc o n d i t i o n sa n di n p l a n e c o n s t r a i n t s ，a n d u n d e ru n i f o r m t e m p e r a t u r ec h a n g ea m o n gt h o s e ，s t a t i cb e n d i n gd u et o t h e r m o - m e c h a n i c a ll o a d sa n df r e ev i b r m i o no f i n i t i a l l ys t r e s s e df g mp l a t e sa r ea n a l y z e db yu s i n g t h es e m i - a n a l y t i c a ld q m e t h o d ，t h et r a n s i e n tr e s p o n s ed u et oi m p u l s i v el o a d i n gi sd e t e r m i n e db y t h em o d es u p e r p o s i t i o nm e t h o d ，a n dt h et h e r m o - m e c h a n i c a ln o n l i n e a rb e n d i n gs o l u t i o n sa r e o b t a i n e db ym e a n so fm u l t i p a r a m e t e rp e r t u r b a t i o nt e c h n i q u et o g e t h e r m t ht h es e m i - a n a l y t i c a l d q m e t h o d t h ec o n d i t i o n sf o rt h ec r i t i c a l b u c k l i n gt oo c c u rf o rag e n e r a lf u n c t i o n a l l yg r a d e d p l a t e a r ea l s od i s c u s s e d , a n dt h eb u c k l i n gl o a d sa n dc r i t i c a l t e m p e r a t u r e sa l ed e t e r m i n e df o r c l a m p e dr e c t a n g u l a rp l a t e s u s i n gt h ed o n n a l l ss h e l lt h e o r ya n dr e d d y sh i 曲e ro r d e rs h e a rd e f o r m a t i o nt h e o r y , l i n e a r d y n a m i cg o v e r n i n ge q u a t i o n s a r ee s t a b l i s h e df o rt h es h e a rd e f o r m a b l e f u n c t i o n a l l yg r a d e d c y l i n d r i c a ls h e l lp a n e l sw i t hm o d e r a t et h i c k n e s sa n ds u b j e c t e dt ot h e r m c - m e c h a n i c a ll o a d i n g a f t e rt h ev i b r a t i o n a lc h a r a c t e r i s t i c so fi n i t i a l l ys t r e s s e df g mc y l i n d r i c a lp a n e l sb e i n gf u l l y i n v e s t i g a t e d ，a t t e n t i o ni sg i v e n t ot h ep a r a m e t r i ci s o n 1 5 时c 无解，后者则要求结点必须为n 阶l e g e n d r e 多项式的零点，不 便于处理同一边界处存在多个边界条件的情形。为此，q u a n 和c h a n g 2 1 提出采用l a g r a n g e 插 值多项式，即 “加高 ( x ) = 兀。一z ，) f 2 5 a ) f 2 - s b ) r 2 - 5 c ) 显然该多项式满足 “咆= 托暑 c ：甸 民为k m n e c k e r 符号。大量计算实践证明p 。5 】：采用l a g r a n g e 插值多项式不仅便于确定权 系数c ：“，结点布置较为灵活，且通常具有更快的收敛速度。此时，c 5 7 可依下列递推格式 确定 c 黔_ 尘0 ( f ，川，2 ，州) 。”( z 。一j ) 1 ( z ，) ”。 ( 2 - 7 a ) 凹- p 叼一害与 织川，z ，批州：， 陷e ， 1 7 。球岍 ” 上海交通大学博士学位论文 由式( 2 。7 ) 小难看出，权糸散的确定仅与结点位置坐标有关。若i e 月, u 化区间为z 一1 ，1 的结点设置方案为 均匀分布： 铲等竿c ，z ，川 非均匀分布： 。】：一l ；x ，：c 。s ( 2 n + i 1 爵- 2 一i ) x ( f ；2 ，3 ，n 一1 ) ；。：1 1 2 、 。” “ x = - 1x ：c o s ( 2 n - 2 i - 1 ) * r 。 2 ( n 一2 、 ( i = 2 ，3 ，n 一1 ) ；x = 1 ，常用 ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 1o ) = 一1 ；j = c 。5 百( n - i ) x ( f = 2 ，3 ，一1 ) ；h = 1 ( 2 - 1 1 ) = - 1 ；x ，= ( n 一2 ) 个g a u s s l e g e n d r e 积分点；h = 1( 2 - 1 2 ) 正则化区间为x 0 、1 1 时常用的结点设置方案为 均匀分布： 铲嵩( f - l ，2 一) ( 2 - 1 3 ) 1 r 均匀分布： 矿i 2 l l l , - c o sz c ( i 了- 1 ) i ( f - 慵一) ( 2 - 1 4 ) 将式( 2 3 ) 、( 2 - 4 ) 代入控制微分方程( 2 - 1 ) 得到由个以纪= 妒( x ，) ( f = l ，2 ，) 为基本未知 量的线性代数方程 f ( 妒lp 2 妒) 一= 0 i = 1 ，2 ，( 2 - 1 5 ) 其中f ，分别为经d q 格式离散后在结点i 上的线性算子和已知函数值。 2 2 2 边界条件的引入 处理边界条件的方法有方程直接置换法【6 1 、| 9 间隔置换法”、权系数修正法【”0 1 等。 。 本文采用1 9 间隔置换法，设边界条件( 2 2 ) 具体形式为 g 女( 妒) 一g i l ，。o = o k = 1 ，2 g ( 妒) 一g 女l 。l = o k = 3 ，4 将式( 2 3 ) 、( 2 4 ) 代入，得到4 个线性方程 1 8 ( 2 - 1 6 ) c0 q 一 ，2 = c ，。蚺 一 = c 第二章基于d q 原理的半解析数值方法 = ! = = ! = = = ! = = ! = = = = = = ! = = ! = ! = = ! = ! ! = ! ! = ! g 女( p l ，妒2 ，妒) 一9 1 1 ，；o = o k = l ，2 g k ( 妒l ，妒2 ，妒) 一g p | ，：】= 0 女：3 ，4 ( 2 _ 1 7 ) 注意到在捌和f l 处分别有两个边界条件需要满足。为此首先用式( 2 1 7 ) 中扣1 ，4 的 两个线性方程取代方程组( 2 1 5 ) 中- - 1 ，n 的方程，然后取一小量1 9 ，令式( 2 1 7 ) 中k = - 2 ，3 的两 个线性方程分别在口和1 - t 9 处得到近似满足，即分别以这两个方程置换方程组( 2 1 5 ) 中= 2 ， n - 1 的两个方程。这样就得到引入边界条件后的线性代数方程组 g l ( p 1 ，妒2 ，妒) 一g 】= 0 g 2 ( 吼，妒2 ，妒n ) 一9 2 = 0 e ( p l ，妒2 ，p ) 一 = 0 f ( p 1 ，p 2 ，妒) 一：= 0 ，一2 ( 妒1 ，p 2 ，妒) 一，i 一2 = 0 g 3 ( 仍，妒2 ，妒) 一9 3 = 0 g 4 ( 妒i ，p 2 ，妒) 一9 4 = 0 ( 2 - 1 8 ) 求解该方程组即可得到方程( 2 - 1 ) 的近似解。 应注意的是：拶并非越小越好，1 9 过小时易引起方程病态，一般取1 9 ；1 0 _ 4 1 0 。 ，2 2 3 多维域问题中的d 0 法 基于上述基本原理，d q 法也可容易地推广至多维问题的分析中。以常见的矩形域内的 二维问题为例，在正则化区间v 0 z 1 ，0 y 1 内分别沿平行于x 、y 轴的方向设置1 、 2 条结线( 见图2 2 ) ，待求函数妒( x ，y ) 可插值逼近为 图2 2 矩形域内的d q 离散结点布置 f i g2 2d qs p a c i n gg r i ds y s t e mi nar e c t a n g u l a r d o m a i n 1 9 上海交通大学博士学位论文 = = = = = ! = = = ! = = = = ! = = 2 = = = = = = = = ! = = ! = = = ：= - = ：= = ：= = = = = ， 、 妒( x ，y ) = 芝，( x ) ，如) p ( b j ，)( 2 - 1 9 ) i = l j = i 其偏导数在结点( x ，y ，) 处的值则表示为 ，! ! ! ! ；i 笋1 。：。，；一= 善c 譬1 兰l = 1c 舅矿c z 。，y ， c z ：。， 经d o 离散格式( 2 1 9 ) 、( 2 2 0 ) 处理后，二维定解问题控制方程( 2 1 ) 转变为n i n 2 阶线性代 数方程组 ( f p l l ，妒p ，妒，：) 一兀= 0i = 1 ，2 ，1 ；j = 1 ，2 ，2( 2 2 1 ) 其中= 妒( z ，y ，) 。边界条件( 2 2 ) 先经d q 格式离散，然后运用前述的1 9 间隔置换法将其 引入代数方程组f 2 - 2 1 ) a | 可。 由上述基本原理不难看出，运用d q 法求解问题时无需预先假定待求函数的试解形式， 计算格式简单统且易于处理各种不同的边界条件。 2 3 半解析d q 法 显然，对于一维问题，完全d q 离散化后需求解n 1 n 2x 。阶的线性方程组。为 减少计算量，改善求解精度，提高计算效率，将解析解与d 0 法有效地结合起来是很有必要 的。其基本思路是在多维问题的求解过程中，在某些方向上采用已知的解析函数族，而在其 它方向上仍保留d q 插值离散格式，从而使原问题降维。 仍考虑定义在正则化矩形域内矿【0 x l ，0 y l 】的二维定解问题( 2 1 ) 、( 2 2 ) 。 首 先沿平行于y 轴的方向设置条结线( 如图2 3 ) ，简记妒l = 妒( x 。，y ) 。一维d q 插值逼近格 式( 2 3 ) 、( 2 4 ) 给出 图2 3 矩形域内离散结线布置 f i g 2 3n o d a l l i n es y s t e mi nar e c t a n g u l a rd o m a i n 第二章基于d q 原理的半解析数值方法 妒( x y ) = ，( x ) 妒( x ，y ) ( 2 - 2 2 ) f = 1 将式( 2 - 2 2 ) 、( 2 2 3 ) 代入控制微分方程( 2 1 ) 和边界条件( 2 2 ) 后，得到 f ( 妒l 妒2 妒) 一工= 0 i = 1 ，2 ，n ( 2 - 2 4 ) g t ( p i ，妒2 ，p ) 一g = 0k = l ，( 2 2 5 ) 其中，与分别为d q 离散后域内结线i 上的微分算子和已知函数：g k - - 与分别为第k 个 边界条件经d q 离散后的微分算子和已知函数。显然，式( 2 0 、( 2 2 5 ) 已转化为以一维未知 函数妒。，9 0 2 ，g o 为基本未知量的常微分方程组。设 吖 g o ，= 口。( y ) i = i 2 ， m ；l ( 2 - 2 6 ) 其中。( _ y ) 为结线i 上满足) 卸，1 处边界条件的已知解析函数，a 。为待定系数，m 为级数截 断项数。将式( 2 - 2 6 ) 代入上述常微分方程组，在各结线上得到域内残差r ，和边界残差如 r = f , ( 9 0 1 妒2 妒n ) 一工 i = 1 ，2 ，n ，m = 1 ，2 ，m( 2 * 2 7 ) r 龇= g 女( g o j ，妒2 ，妒) 一g t k = f 和七= n + 1 一f ，m = 1 ，j 订( f = 1 f )( 2 2 8 ) 为使上述残差极小化，以妒。( y ) 为权函数对式( 2 - 2 7 ) 、( 2 2 8 ) 进行g a l e r k i n 积分 弘，( ，) ( 吼住妒) 一： 痧= o j = 1 ，2 ，m = 1 ，2 ，m l b ( y ) g ( p 】，妒2 ，妒) 一g i c & = o t = 1 ，m = 1 ，m ( 2 - 2 9 ) ( 2 3 0 ) 运用方程置换的方法将式( 2 3 0 ) ；f a 式( 2 - 2 9 ) ，整理得到矩阵形式的线性代数方程组 【k 6 ) = f ) ( 2 - 3 1 ) 其中 k 】为( m ) ( m ) 阶系数矩阵， d 为( 7 m ) l 阶已知列阵， 6 ) 是由待定系数口。形 成的( n m ) l 阶未知系数列阵。 2 4 半解析摄动d q 法 摄动法( 或称小参数法) 是在固体力学非线性问题研究中常用的行之有效的近似方法。该 方法把边值或初值问题的解展为某一或某些小参数的幂级数，这个( 些) 参数可以明显存在于 原问题中，也可以通过人为引入。由于摄动是在线性化方程解的邻域内进行的，因此线性 系统的已知特性可以应用于摄动系统的求解过程之中。摄动法种类很多，本文仅讨论正则 摄动展开。 2 1 。州掣 上海交通大学博士学位论文 ! = ! = = = = = = = = = = ! = = = = = = = = ! = = = = ：= = = ：2 ：= = = ! = = ! ! ：= 设在定解问题( 2 】) 、( 2 - 2 ) g a ，与g 分别为域内y 及边界5 上的非绞性微分算子，选 取0 、参数，并作展开 p ( x ，s ) = ( s ) 妒( x ) ，( 郴) = ( ) f ( z ) 鲰( w ) = ( s ) 。g 趴功 ，1 1 将该级数代入原非线性微分方程( 2 1 ) 和边界条件( 2 2 ) ，令s 的同次幂相等 微分方程和相应的边界条件 if 1 ( ) 一f 1 l 0 g f l ) ( 妒1 ) 一g f = 0 ，( 妒”，妒孙，( p o - 1 , p ) 一，) = 0 g f ( 妒”，妒舢”，妒h ，妒) 一g l ) = 0 ( 2 - 3 2 ) 导出一系列线性 r 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 - 3 5 ) 式中f ，g 分别为第i 阶摄动时域内矿及边界s 上的线性化微分算子；，“，g ：分别为第 i 阶摄动时已知函数厂，g 女的表达式。显然，各阶摄动方程均为线性微分方程，且当第f 阶摄 动时，p ”妒“均为已知。 将2 3 所述半解析d q 法应用于各阶线性摄动方程的求解。有 f 螂抄) 巧。( 妒f “，硝“，砷妒) 一1 ) 咖= o = 1 ，m = 1 ，m ( 2 - 3 6 ) l 础( y ) g 趴妒f ”，妒印j ；) ) 一g 护 出= o 整理后得到 k 7 ( 6 5 ) = f ( ) k = 1 ，j ，= l ，m( 2 - 3 7 ) 其中 】， f 及 6 。 分别为第i 阶摄动时的系数矩阵，已知列阵和未知系数列阵。 ( 2 - 3 8 ) 2 5 半解析d q 法分析弹性基础上预应力中厚矩形板的振动特性 弹性基础上的中厚矩形板是土木及其它工程领域中十分常见的结构型式，其振动特性的 研究具有重要的理论与实际应用价值。x i a n g 等p 1 j 与m a t s l l l l a g a f 2 2 j 分另研究了p a s t e m a k 弹 0 0 i | = 砷 封 n 跳 一 一 ) ) ， 2 妒妒 妒妒 ( ( 2 2 f g 2 占 第二章基于d q 原理的半解析数值方法 性基础上四边简支对称层合板和各向同性中厚板的自由振动。对于预应力板的振动问题， r o u f a e i l 和d a w e l 2 ”、l i e w 等 2 4 1 采用r a y l e i g h r i t z 法给出了中厚板受面内预加拉力或压力 作用时的振动频率。x i a n g 等口”给出了p a s t e r n a k 弹性基础上四边简支中厚板在面内受载时 振动频率的n a v i e r 解。最近，s h e n 等1 2 6 ，2 7 1 进一步研究了在预加热机械载荷作用下双参数弹 性基础上四边简支【2 6 】或四边自由中厚板【2 7 | 的自由振动和动力响应。除文献【2 2 外，上述研究 工作均基于r e i s s n e r - m i n d l i n 一阶剪切板理论。 本节采用r e d d y 高阶剪切板理论计入横向剪切变形效应与转动惯性项的影响，运用半 解析d q 法研究双参数弹性基础上各种不同边界约束条件的中厚矩形板在均匀温度场和预 加面内机械载荷作用下的横向振动问题，通过算例对温度变化、面内载荷、弹性基础刚度参 数、横向剪切变形及边界约束条件等因素的影响进行了分析讨论。 本节主要给出较详细的求解步骤以说明半解析d q 法的具体实施过程，有关控制方程的 推导暂不详述。 2 5 1 控制方程 考虑长为。，宽为b ，厚度为h 的矩形板置于双参数弹性基础上。材料弹性模量为e 泊 松比为v ，质量密度为p ，热膨胀系数为口。设板在均匀温度变化r 、中面均布载荷芦x 和 瓦( 压力取正号) 作用下处于初始均匀膜力状态，并以频率q 作横向自由振动。以 厅_ 、孓。砜和f 一分别表示板的挠度、中面法线相对于y 轴和z 轴的转角和应力函数。设 变形过程中板与基础互不分离，板与基础间的相互作用力 p ( x ，y ) = k l w k 2 v 2 矿 ( 2 - 3 9 ) i 和豆，分别为w i n k l e r 和p a s t e m a k 弹性基础刚度参数。引入无量纲参数 f = x l a ，y = y b ，= a l b ，= ( d i d 是繇彳玉) “4 ，矽= 矿 f = ( d u d ；2 ) “2 ，( 甲，t f 。) = ( 畋，回) a a ，c o = d a 2 力，w ( a ，五。) = ( 哥b2 ，芦r 口2 ) ( d d ；2 ) ，( k 。，k 2 ) = 0 4 墨，口2 砭) d i l ( 曩瑶聊= ( 已矗s ；) a 2 ，( 抽，y ，：) = ( 一；，彳；) ( d i j p ) “2 ，扎= 一一是a ；2 ( m ，m ，m ；，m ；，只，0 ，巧，形) = ( 面。，面，露；，厨；，夏，耳，刀，可) a 2i d u a ( 2 - 4 0 ) 这里 ，；= ，3 2 c l ，5 + c ? ，；，；= c l ，5 一c 1 ，7 】；，= 一c ? ，7 ( 2 - 4 1 ) ( ，1 ，k ，5 ，= 2 2 p(1,z2,z4,z6)出(2-42) 上海交通大学博士学位论叉 基于r e d d y 高阶剪切板理论，可推导出各向同性预应力中厚板横向振动时应满足的无量 纲控制方程 “c ：c 删卜毗( 警等 c z 删 l 2 l ( f ) = 0 ( 2 - 4 4 ) b ( m k ( ”岛( 剐耐( 鹕叫詈 ( 2 _ 4 5 ) l 4 l ( 吟l 4 2 ( 屿，( 甲户小妒e 刳 ( 2 4 6 ) 式中c 。= 4 1 3 h 2 ；= e + e ，口= 耳一e 。微分算子定义如下 l i i ( ) = y 1 1 0 ( ) ，。榭+ 2 y 1 1 2 2 ( ) ，聊+ n 1 4 卢4 ( ) ，) ，w + k l 形一k 2 v 2 一声2 五，( ) 硝+ 乃( ) l 1 2 ( ) = y 1 2 0 ( ) 。+ y 1 2 2 2 ( ) ，w 1 - , 13 ( ) = y 13 1 ( ) 。+ y 。3 ( ) ，。 l it ( ) = 1 一只 ( ) 。+ 卢2 ( ) ，】 上：( ) = ( ) ，一+ y ：。：2 ( ) 。+ 4 ( ) ，。 l s l ( ) = y 3 1 ( ) ，+ y 3 1 0 ( ) ，。+ y 3 1 2 2 ( ) ，w l s ：( ) = y s l ( ) 一y 3 2 0 ( ) 。- y ，：2 2 ( ) ， l ，( ) = 7 3 3 1 卢( ) 。 l 。，( ) = ，。，( ) ，+ y 4 1 1 ( ) ，：，+ y 3 卢3 ( ) ， 上4 2 ( ) = l 3 3 ( ) l 4 3 ( ) ；7 4 1 ( ) 一y 。3 0 ( ) 。- y 。，2 2 ( ) 。， 审2()=()，。+2()，(2-47) 无量纲边界条件为 霎导+ 以：o ( 面内可移) 或以= o ( 面内不可移) ( 2 - 4 8 ) o 亩+ = 甲眦= m ，= 只：百0 忑2 f = o 简支( s ) ( 2 - 4 9 a ) 第二辛基于d q 原理的半解析数值方法 2 = 2 1 = = = = = 2 = ! = 2 = 2 = = = = = = = = ! 肚l = = 罢= 蕊0 2 f = o 周支( c ) ( 2 - 4 9 b ) 、。 m 一2 只= m 二2 蛾2 _ u = o 自由( f ) (249c)onos 、 、一， 下标n 、s 分别表示沿板边界的法线和切线方向。板的无量纲端部平均缩短为 j ，= 一( 口。+ 口：r ) 2 ，万y = 一( 6 y + 6 ；r ) 2 ( 2 5 0 ) 其中 r r ，一一 d a x2 jj 2 f y