（信号与信息处理专业论文）基于分数阶傅立叶变换的数字水印算法和容量分析.pdf

郑州大学硕士论文 摘要2 0 0 7 年5 月 摘要 近年来。随着多媒体技术和因特网技术的飞速发展，人们可以很方便的传播、 拷贝、存储和处理图像、音视频和文本等多媒体信息与此同时，数字媒体的信 息安全和知识产权保护等问题也变得日益突出，成为了数字领域一个重要的研究 内容。 数字水印的不可感知性、鲁棒性和安全性等特点，使其成为解决上述问题的 技术之一，本文在国家自然科学基金项目( 6 0 4 7 2 0 4 4 ) 的资助下，对基于分数 阶傅立叶变换的数字水印算法和容量进行了比较深入的研究。主要的工作如下： ( 1 ) 阅读了大量与数字水印相关的文献，系统地总结了数字水印技术的发 展，明确了研究的目标和方向，分析了分数阶傅立叶变换的有关性质，并简要讨 论了基于分数阶傅立叶变换的图像加密技术。 ( 2 ) 设计了一种基于分数阶傅立叶变换的数字水印算法为了研究的方便， 将服从高斯分布的伪随机序列作为水印信号，采用加性嵌入策略，把水印嵌入到 图像的分数阶傅立叶域。采用峰值信噪比( p s n r ) 作为图像质量的评价准则，从理 论上分析了水印的最大嵌入强度，水印检测采用相关检测方法，并进一步分析了 水印的嵌入量与鲁棒性之间的关系。仿真结果表明，本文提出的算法可以较好的 满足水印的不可见性、安全性以及鲁棒性。 ( 3 ) 讨论了一种空域和分数阶傅立叶域相结合的水印算法。将水印图像分 成两部分，分别嵌入到原始图像的空间域和分数阶傅立叶域。该算法增加了水印 的容量，也使水印具有更好的安全性，但是算法的鲁棒性不是太好，需要对算法 做进一步的改进。 ( 4 ) 分析了几种水印信道模型下的水印容量问题，利用噪声可见函数和信 息论知识，提出了一种计算分数阶傅立叶域水印容量的思路。 关键词；数字水印，分数阶傅立叶变换，鲁棒性，信道模型，水印容量 郑州大学硕士论文a b s t r a c t 2 0 0 7 年5 月 a b s t r a c t r e c e n t l y , w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to ft h em u l t i m e d i at e c h n o l o g ya n di n t e r a c t t e c h n i q u e i ti sv e r yc o n v e n i e n tf o ru st ot r a n s m i t , c o p y , s t o r ea n dp r o c e s sm u l t i m e d i a i n f o r m a t i o n , s u c ha si m a g e s ，a u d i ov i d e oa n dt e x t s a tt h es a m et i m e ，t h ep r o b l e mo f t h ed i g i t a lm e d i a si n f o r m a t i o ns e c u r i t ya n di n t e l l e c t u a l p r o p e r t yp r o t e c t i o ni s i n c r e a s i n g l yo u t s t a n d i n g , a n dt h ep r o b l e mh a sb e 锄ea ni m p o r t a n tr e s e a r c ht o p i ci n t h ed j i 舀t a ld o m a i n f o rt h es t r o n gp o i n t so fi n v i s i b i l i t ya n dr o b u s t n e s so fd i g i t a lw a t e r m a r k , i ti so n e o ft e c h n i q u e st os o l v et h ea b o v ei s s u e w i t ht h ea i do fn a t i o n a ln a t u r es c i e n c e f o u n d a t i o no fc h i n a ( n s f c ) ( n o 6 0 4 7 2 0 4 4 ) , t h i sd i s s e r t a t i o nf o c u s e so nr e s e a r c ho n d 硒t a lw a t e r m a r ka l g o r i t h ma n dc a p a c i t yb a s e do nf i a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m t h e m a i nw o r k si n c l u d e s ： ( 1 ) a f t e rm a n yd o c u m e n t a t i o nr e a l a t e dw i t hd i g i t a lw a t e r m a r ka r er e a dc a r e f u l l y , t h ed e v e l o p m e n to ft h ed i g i t a lw a t e r m a r ki sg e n e r a l i z e ds y s t e m a t i c a l l y t h e nt h et a r g e t a n dd i r e c t i o no ft h er e a e a r c ha r eg r a s p e d f i n a l l y , w ea n a l y s et h eg e n e r i cs y s t e m m o d e lo fd i g i t a lw a t e r m a r k ( 2 ) ad i 醇a lw a t e r a r ka l g o r i t h mb a s e do nf r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mi s d e s i g n e d i no r d e rt om a k et h er e s e a r c hc o n v e n i e n t , w eu s ep s c u d o 。r a n d o ms e q u e n c e w h i c hs u b m i t sg a u s sd i s t r i b u t i o na sw a t e r m a r ks i g i n a l ，t h ew a t e r m a r ki se m b e d e dt o t h ef r a c t i o n a lf o u r i e rd o m a i no ft h ed i g l t a li m a g e , a n dt h ee m b e d d i n gr o l ei s a d d i t i v e w ec o m p u t e st h ei n s e r t e dw a t e r m a r k sm a x i m u ms t r e n g t hc o e f f i c i e n tb y u s i n gt h ep e r ks i g n a i - t o - n o i s er a t i o ( p s h r ) w h i c h i sc o n s i d e r e da st h ei m a g eq u a l i t y e v a l u a t i o nc r i t e r i o n w eu s ec o r r e l a t i o nd e t e c t i o na st h ew a t e r m a r kd e t e c t i o nm e t h o d , a n df u r t h e ra n a l y s et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ee m b e d d i n gq u a n t i t ya n dr o b u s t n e s s t h er e s u l to ft h es i m u l a t i o ni n d i c a t e st h a tt h ea l g o r i t h mi n t r o d u c e di nt h i sp a p e rc a n s a t i s f yt h ei n v i s i b i l i t y , s e x u r i t ya n dr o b u s t n e s so ft h ew a t e r m a r kw e l l ( 3 ) ad i g i t a lw a t e r m a r ka l g o r i t h mu s i n gt h ec o m b i n a t i o n a ls p a t i a la n df r a c t i o n a l f o u r i e rd o m a i n si sp r e s e n t e di nt h i sp a p e r t h ew a t e r m a r ki m a g ei ss p l i t t e di n t ot w o n 郑州大学硕士论文2 0 0 7 年5 月 p a r t sw h i c ha r ef o rs p a t i a la n df r a c t d o n a lf o u r i e ri n s e r t i o nr e s p e c t i v e l y t h i sa l g o r i t h m i n c r e a s e st h ew a t e r m a r kc a p a c i t y ，a n dt h es e c u r i t yo ft h ew a t e r m a r ki sb e t t e r , b u tt h e r o b u s t n e s si sn o tv e r yg o o d , s os o m ei m p r o v e m e n t ss h o u l db em a d ei nt h ef u t u r e ( 4 ) t h ew a t e r m a r kc a p a c i t yu n d e rs o m ew a t e r m a r kc h a n n e lm o d e li sa n a l y s e d , a m e t h o dt 0c o m p u t et h ew a t e r m a r kc a p a c i t yi nt h ef r a c t i o n a lf o u r i e rd o m a i ni s p r e s e n t e db yu s i n gt h e n o i s ev i s i b i f i t yf u n c t i o na n dt h et h e o r yo fi n f o r m a t i o n k e y w o r d s ：d i g i t a lw a t e r m a r k ；f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m ；r o b u s t n e s s ；c h a n n e l m o d e l ；w a t e r m a r kc a p a c i t y m 郑州大学硕士论文 第一章绪论2 0 0 7 年5 月 1 1 选题的背景 第一章绪论 随着多媒体技术和因特网技术的飞速发展人们可以很方便的传播、拷贝、 存储和处理图象、音视频和文本等多媒体信息。与此同时，数字媒体的信息安全、 知识产权和保护等问题也变得日益突出，数字产品的版权所有者迫切需要解决版 权保护问剧1 1 2 1 1 3 l 。数字水印( d i g i t a lw a t e r m a r k i n g ) 技术作为信息安全和版权保护 的一种有效方法，引起了人们极大的研究兴趣。它通过在数字媒体中嵌入可感知 或不可感知的信息来确定产品的所有权或校验其内容的原始性。数字水印处理技 术弥补了加密解密技术不能对解密后的数据提供进一步保护的不足；弥补了数 字签名容易被修改和剔除的缺陷，可以在原始数据中一次性嵌入大量的秘密信 息；弥补了数字指纹仅能给出版权破坏信息的局限，可以有效跟踪多媒体产品的 非法传播和扩散，防止非法盗版。 数字水印技术的两大核心问题是水印的鲁棒性和水印容量。水印的类型和水 印的嵌入方案对水印的鲁棒性和透明性具有直接的影响。水印类型通常采用服从 高斯分布的随机序列、有意义的图像等。高斯分布的随机序列可以保证良好的检 测效果，并且具有较好的透明性而被广泛采用为了保证水印的鲁棒性，一般采 用变换域水印算法 4 s j s 1 分数阶傅立叶变换( f r f t ) 作为一种新的时频分析工具受到了越来越广泛 的关注，它是傅立叶变换的一种广义形式，等效于信号的旋转。信号的分数阶傅 立叶变换同时包含了信号在时域和频域的特征，在图像的分数阶傅立叶域嵌入数 字水印，具有更大的灵活性。由于图像的二维分数阶傅立叶交换有两个变换阶数 ( p l ，p ：) ，增强了水印的安全性。由于f r i 可可以借助f f t 实现，因此计算更为 简便。 本课题研究内容结合国家自然科学基金项目“基于分数阶傅立叶变换的图像 数字水印理论和应用研究”o 吣：6 0 4 7 2 0 4 4 ) ，主要研究基于分数阶傅立叶变换的 数字水印的算法和容量。 郑州大学硕士论文第一章绪论2 0 0 7 年5 月 1 2 数字水印的基本概念 1 2 1 数字水印基本原理 数字水印技术是信息隐藏技术的一种，其基本思想是在数字图像、音频和视 频等数字产品中嵌入秘密信息，以便证明产品的真实可靠性，跟踪盗版行为，保 护数字产品的版权。以图像数字水印为例，图像数字水印的基本原理框图如图 1 1 所示。 图1 1 图像数字水印的基本原理图 从图1 1 可以看出，数字水印技术的基本流程包括以下几个方面： ( 1 ) 数字水印嵌入阶段 ( 2 ) 图像发行阶段 ( 3 ) 数字水印提取阶段 ( 4 ) 版权决策阶段 一个典型的数字水印系统一般包括水印的嵌入过程和水印的提取、检测过程两部 分。 ( 1 ) 水印的嵌入过程 水印的嵌入过程就是把水印信号加入到原始图像中，最常用的嵌入公式有如 下两种： 2 郑州大学硕士论文 第一章绪论2 0 0 7 年5 月 z ( 七) i z ( 七) + 口彤( 七) ( 1 1 ) z 。( 七) - x ( k ) o + 口) 形( 七) ( 1 2 ) 其中，x ( k ) ，z 似) 分别表示载体图像和嵌入水印后的载体图像，形( 七) 为水印 信号，口为嵌入的强度因子水印的嵌入模型如图1 2 所示。 图1 2 水印的嵌入模型图 ( 2 ) 水印的提取和检测过程 水印的提取和检测过程是水印嵌入的逆过程，水印的提取模型如图1 3 所示 图1 , 3 水印的提取模型图 水印的检测模型如图1 4 所示。 郑州大学硕士论文 第一章绪论 2 0 0 7 年5 月 图1 4 水印的检测模型图 在水印的提取和检测过程中，原始载体图像不是必需的啊。 1 2 2 数字水印的特性 为了对版权进行保护，数字水印应该满足以下几个基本特性： ( 1 ) 不可感知性。不可感知性是指在视觉和听觉上的不可感知性，指因嵌入 水印后导致载体图像数据的变化对于观察者来讲是不可察觉的 ( 2 ) 鲁棒性鲁棒性是指嵌入水印后的载体图像数据经过一系列常规处理后 数字水印仍然可以保持完整性或者仍能被准确鉴别出来。对图像的常规处理包括 滤波、有损压缩编码、几何变形( 剪切、旋转、平移、缩放及其他) 等。 ( 3 ) 可证明性。可证明性指水印应能为受到版权保护的信息产品的归属提供 完全可靠的证据。水印算法能够将版权所有者的有关信息( 如注册的用户号码、 产品标志、有意义的文字等) 嵌入到被保护的对象中，并且在需要的时候把这些 信息提取出来。 ( 4 ) 安全性。数字水印系统使用一个或者多个密钥来确保安全，防止篡改和 去掉信息。水印信息不会因文件格式的转换而丢失，而且未经授权者不能检测出 水印。 4 郑州大学硕士论文第一章绪论 2 0 0 7 年5 月 1 2 - 3 数字水印的分类 随着数字水印技术的发展，出现了多种水印的分类方法，按照不同的分类标 准，常见的分类方法主要有以下几种： ( 1 ) 按照水印的嵌入位置划分，可分为空域时域水印和变换域水印。空域 时域水印处理方法是将水印信息直接叠加到载体的空域时域采样上，而变换域 水印处理方法是改变载体的变换域系数，从而嵌入水印信息，水印的安全性较高。 ( 2 ) 按照人的主观视觉来划分，可分为可见水印和不可见水印。可见水印 是指嵌入水印后人眼可以看到水印信息。不可见水印是一种表面上不可察觉的水 印。我们主要研究的是不可见水印。 ( 3 ) 按照水印信息的抗攻击能力来划分，可分为脆弱性水印和鲁棒性水印。 脆弱性水印会随着载体图像的被攻击而被破坏，鲁棒性水印则对常见的图像攻击 处理具有很好的鲁棒性。 ( 4 ) 按照在水印检测时是否需要原始载体图像和原始水印信息来划分，可 分为非盲水印、半盲水印和盲水印。非盲水印是指在检测过程中需要原始载体图 像和原始水印信息，半盲水印是指检测过程中不需要原始载体图像，但是需要原 始水印信息，盲水印是指在检测过程中既不需要原始图像，又不需要原始水印信 息，只需要密钥就行。 此外，水印还可以分为私有水印和公开水印以及对称水印和非对称水印。 1 2 4 数字水印的性能评价 数字水印算法性能评价的两个重要准则是透明性和鲁棒性。对水印透明性的 评估可以通过主观观察或者定量度量来实现，一般来说，仅凭主观观察是不够准 确的，需要进行定量的失真度检测。目前常用的失真度检测方法有以下几种。 ( 1 ) 信噪比( s n r ) 信噪比是信号强度与噪声强度的比值。单位为分贝( d b ) ， 它的计算公式如式( 1 3 ) 所示。 l ，2 1 0 1 0 8 萨可 n 。， 5 郑州大学硕士论文 第一章绪论 2 0 0 7 年5 月 ( 2 ) 峰值信噪比( p s n r ) 。峰值信噪比单位为分贝( d b ) ，它的计算公式如( 1 4 ) 所示。 删m 娃l 。2 一。1 0 1 昭商 “4 ( 1 4 ) p s n r 值越高，视觉质量越好，反之，越差。一般情况下，只要p s n r 不低于 3 0 d b 是可以接受的。 ( 3 ) 相关系数( n c ) 。以相关系数来表征水印嵌入前后图像的相似性，它的 计算公式如( 1 - 5 ) 所示 i 。，i _ ，j 。” 肌专f ”4 ( l 5 ) 其中，l ，和l ，分别表示原始图像和水印图像中坐标为( m ，n ) 的一个像素 点，m 和n 分别表示图像行和列的像素数目。 ( 4 ) 相似度( s i r e ) 。相似度用来评价初始水印和抽取水印的相似程度，它的 计算公式如式( 1 6 ) 所示。 h w ， $ m _ = = = = ；一 4 w x w ( 1 6 ) 其中，w 和w j 分别为初始的水印向量和抽取的水印向量1 8 9 1 1 1 0 1 。 1 3 数宇水印的研究现状 数字水印是数字信号处理、图像处理、密码学应用、通信理论、算法设计等 学科的交叉领域，自1 9 9 3 年被提出来之后，发展非常迅速，各国的科研机构、 大学等都积极的参与、投资这方面的研究，国际学术界陆续发表了许多关于数字 水印技术方面的文章。随着技术信息交流的加快和水印技术的迅猛发展，国内的 一些研究单位也纷纷投入数字水印的研究。到目前为止，数字水印的研究主要涉 及图像水印、音频水印、视频水印和文本水印等几个方面，其中大部分研究集中 在图像水印上面，i n t e r a c t 的发展也为图像水印的应用提供了大量直接的需求， 提高数字水印的鲁棒性和安全性成为数字水印研究的重点。 6 郑州大学硕士论文 第一章绪论2 0 0 7 年5 月 早期的数字水印算法研究主要集中在空域上，这种方法虽然隐藏的信息量 大，计算速度快，但是抵抗图像的几何变形、噪声和图像的压缩能力较差。近期 的研究主要集中在交换域中实现水印的嵌入，如离散傅立叶变换d f f 、离散余 弦变换d c t 、离散小波变换d w t 等。在交换域中嵌入水印，信号能量可以扩展 到空间域所有像素上，有利于保证水印的不可见性同时交换域的方法可以与现 有的数据压缩标准兼容，因此大多数的研究工作更关注变换域算法研究1 1 1 】1 1 2 1 。 1 4 基于分数阶傅立叶变换的数字水印算法的提出 近年来，一种新的时频分析工具一分数阶傅立叶变换( f r a c t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r m ，f r f f ) 引起了信号处理界越来越多的关注，是对经典傅立叶交换的推 广 分数阶傅立叶变换等效于信号的旋转，信号的分数阶傅立叶变换同时包含了 信号的时域和频域特征；当阶数口接近于石2 时，f r f f 将主要反映信号的频域 特征；当阶数口接近于0 时，则主要反映信号的时域特征。显然，在分数阶傅立 叶域嵌入数字水印，将比单纯的空域和频域算法具有更大的灵活性。分数阶傅立 叶变换可以借助f f t 实现，计算简便。因此，本文研究基于分数阶傅立叶变换 的数字水印技术，以及与之相关的水印鲁棒性和容量问题等，具有重要的理论意 义和现实意义。 1 5 本文的主要工作 本论文在国家自然科学基金项目“基于分数阶傅立叶交换的图像数字水印理 论和应用研究”的资助下，本文在国家自然科学基金项目( 6 0 4 7 2 0 4 4 ) 的资助下， 对基于分数阶傅立叶变换的数字水印算法和容量进行了比较深入的研究。主要的 工作如下： ( 1 ) 对数字水印一般模型进行了分析，并简要讨论了基于分数阶傅立叶变换 的图像加密技术。 ( 2 ) 设计并实现了一种基于分数阶傅立叶变换的数字水印算法。为了研究的 方便，将服从高斯分布的伪随机序列信号作为水印，利用加性嵌入方案，把水印 嵌入到图像的分数阶傅立叶域，水印检测采用相关检测方法。仿真结果表明，本 7 郑州大学硕士论文第一章绪论2 0 0 7 年5 月 文提出的算法可以较好的满足水印的不可见性、安全性以及鲁棒性。 ( 3 ) ) 讨论了一种空域和分数阶傅立叶域相结合的水印算法。将水印图像分 成两部分，分别嵌入到原始图像的空间域和分数阶傅立叶域。 ( 4 ) 分析了几种水印信道模型下的水印容量问题，利用噪声可见函数和信 息论知识，提出了一种计算分数阶傅立叶域水印容量的思路。 8 郑州大学硕士论文第二章分数阶傅立叶变换及图像加密技术2 0 0 年5 月 第二章分数阶傅立叶变换及图像加密技术 灰度图像的空域特征可通过像素值来描述，其频域特征可通过二维离散傅立 叶t l r i c r ) 变换或者二维离散余弦( d c d 变换来描述，本文主要研究基于分数阶 f o u r i e r 变换的图像数字水印系统，本章首先给出了分数阶f o u r i e r 变换的定义及 离散算法，然后讨论了基于分数阶傅立叶变换的图像加密技术，对本文的研究课 题具有重要的意义。 2 1 分数阶f o u r i e r 变换的定义及其离散算法 2 1 1 分数阶f o u r i e r 变换定义和性质 信号x ( f ) 的传统f 0 l l r i c r 变换对定义为： x ( ) 。j 二x ( f k m d t ( 2 1 ) z ( t ) - 云- j 二x ( 加d ( 2 2 ) 如果x ( f ) 为实函数，那么它的f 0 l l r i 盯变换必为复数形式，将z ( ) 表示为 z ( ) _ r ( 矗，) + 口( ) ( 2 3 ) 其中r ( ) 和，( n ，) 分别为z 【0 2 ) 的实部和虚部 将上述连续的f o u r i e r 变换推广到二维的情况下，可表示为 x ( q ，) 一j 二j 二z ( f 1 ，之。啪+ 。划d * l d z ( 2 x ( f l ) 。去正j 二x ( w 1 ，弘“啪+ 峭饥鹕 ( 2 5 ) 在图像处理中，主要用到的是离散傅立叶变换，一维的离散傅立叶变换可表示为 x 七】- 专薹x 【n 。脚( 2 _ ，) 七- o ，1 ，一- ( 2 6 ) x 蓍x 缈江川m ， 二维离昔t 傅立叶变换很容易由一维傅立叶变换推： 9 郑州大学硕士论文第二章分数阶傅立叶变换及图像加密技术2 0 0 7 年5 月 z - 齿荟m - 1 磊n - i z k ，吃 其中，毛- o ，1 ，m - 1 ；k 2 0 ，1 ，n - 1 。 z h a , n 2 - m 荟- 1 磊“- 1x m p 肌一 ( 2 9 ) 其中， 一o ，1 ，m 一1 ；n 2 - 0 ，1 ，n - 1 作为傅立叶变换的一种广义形式，分数阶傅立叶变换可以解释为信号在时 频平面内坐标轴绕原点逆时针旋转任意角度后的构成的分数阶傅立叶域上的表 示方法。对于一维傅立叶变换来说，z ( ) 可以看成将x ( f ) 旋转了万2 ，由时间 轴t 变到频率轴埘的表示形式，则分数阶傅立时变换可以看成将信号在时间轴上 逆时针旋转角度口到h 轴上的表示，如图2 1 所示。 ， - 扩 d 7 图2 1 ( f ，) 平面旋转口角到“，v ) 平面 令a p # 2 的的f r f t 的线性算子为f ，则x ( ) 是p - 1 时的分数阶傅立 叶变换，也就是将函数工( f ) 旋转石2 到轴的表示形式；f 2 相对于f 轴连续两次 逆时针旋转石，2 ，得到指向- t 的轴；f 3 相对于t 轴连续三次逆时针旋转石2 ， 得到指向一的轴；f 4 相对于f 轴连续四次逆时针旋转a 2 ，得到原函数。 由上述分析可知，信号x ( f ) 的角度口- p z f l 2 的分数阶傅立叶变换定义为： 以( ) - c 石( f ) 巧( 细沙 ( 2 1 0 ) 式中，f r f f 的变换核为巧( f ，“) 为： 郑州大学硕士论文第二章分数阶傅立叶变换及图像加密技术2 0 0 7 年5 月 嘭( f ，h ) - 乎唧( ，t t 24 - 2 口) 胛腼 6 0 - u ) ， 口一2 舸 ( 2 1 1 ) 6 0 + “) ，口- ( 2 玎土咖 式中，p 为f r f t 的阶数该变换核具有两个性质： 疋，( t ，“) 一巧( f ，“) ( 2 1 2 ) c 巧( 柚垮( 柚) 廊- 6 ( “一“) ( 2 1 3 ) 可以推出分数阶傅立叶变换的逆变换定义为： x ( 小- c 以( “) 疋，( 抽 ( 2 1 4 ) 即信号x ( f ) 被分解为在以逆变换核赶，( f ，“) 为基的函数空间上，而该核是域内 的一组正交的蛳信号，“域则称为分数阶傅立叶域a 由式( 2 1 0 ) n - - 7 知，x 1 ( u ) 是x ( f ) 的傅立叶变换，z 。“) 是x ( f ) 的傅立叶逆 变换。以p ( 或口) 为参数的定义是以4 ( 或2 石) 为周期的，因此分数阶傅立叶变换 的区间为p c ( 一2 2 】( 或a ( z ，一】) 。 分数阶傅立叶变换的基本性质如下： ( 1 ) 线性： f 【；q o j 。摹q 【，毛( t ) 】 ( 2 1 5 ) l “j 4 z 1 ) ， ( 2 ) 旋转相加性； f “， - f “+ ( 2 1 6 ) ( 3 ) 交换性： f “f f a f aq 1 7 ) ( 4 ) 结合性： ( ，“，“) ， 一f “( ， ，一) ( 2 1 8 ) ( 5 ) p a r s e v m 关系： c ) i 么- j 二ko ) 1 2 d u ( 2 1 9 ) 1 1 郑州大学硕士论文第二章分数阶傅立叶变换及图像加密技术2 0 0 7 年5 月 f p ( x ( - o ) - 4 ( 叫) ( 2 2 0 ) 对一维分数阶f o u r i e r 变换进行推广，可以得到二维的分数阶f o u r i e r 变换。 二维分数阶f o u r i e r 变换核的定义式如下l 刈蹦鸬小正霉乎 c x 肾j ( s i 2 + u z ) 一斟x p 【等一面j t v 】 其中，a p i n l 2 ，卢- p z 刀2 ，表示信号通过二维f o u r i e r 变换后的旋转角度 应用二维分数阶f o u r i e r 变换核足矗“，“，y ) ，在变换阶数a 和见给定的情况 下，信号，0 ，t ) 的二维分数阶f o u r i e r 变换定义为： ，”( ) - c 正，q ，f ) ( 跗，叩) 矗础 ( 2 2 2 ) 与一维情况类似，信号的f ( s ，t ) 的二维分数阶f o u r i e r 逆变换为： f ( s ，r ) - c c f ”( 州) 疋 ( 即，州弦讪 ( 2 2 3 ) 从二维分数阶f o u r i e r 变换的变换核可以看出，该变换核是可分离的，即： k 厶( s ，t ，v ) - k ( s ，u ) x 巧：( 印) ( 2 2 4 ) 根据一维情况得出如下结论： ( 1 ) 当口- 芦一z 2 时，二维分数阶f o u r i e r 变换退化为传统的二维f o u r i e r 变 换。 ( 2 ) 当口- z 1 2 , p - 0 时，二维分数阶f o u r i e r 变换仅对s 做传统f o u r i e r 变换 ( 3 ) 当口- z 1 2 , a - 0 时，二维分数阶f o u r i e r 变换仅对t 做传统f o u r i e r 变换 ( 4 ) 当口芦0 时，二维分数阶f o u r i e r 变换是恒等变换 2 1 2 离散分数阶傅立叶变换及其计算 分数阶f o u i i e r 变换的出现引起了各个领域研究人员的重视，在工程上也有 郑州大学硕士论文 第= 章分数阶傅立叶变换及图像加密技术2 0 0 7 年5 月 十分广阔的应用前景在数字信号处理的应用中，须采用离散形式的分数阶 f o u r i e r 变换( d f r f r ) ，那么离散分数阶f o u r i e r 变换及其快速算法的研究就显 得很重要。 由分数阶f o y e r 变换的定义可以看出，d f r f t 计算将比d f t 的计算复杂 的多。为保证d f r f t 定义的严密性，任何一种形式d f r f t 均应具有以下特性： ( 1 ) 酉性，即( f p r f 一 ( 2 ) 旋转相加性，即f ，9 - ，+ 孽 ( 3 ) 1 阶运算退化为d f t ，即，1 一，f 为d f t 算子。 ( 4 ) 与连续f r f t 的近似性。 ( 5 ) 阶数取值的连续性 从工程应用的要求来看，d f r f r 在计算上的有效性也是要考虑的重要因素。一 般希望d f r f r 的计算复杂度应与f f r 具有可比性，若序列长度为n ，则其计算 量应为o ( n l 0 9 2 ) 目前研究d f r f t 豹离散化算法主要有以下四种途径； 3 ( 1 ) 利用，撕善q ( 口矽f r f i 的核矩阵，从而利用f i 叩来计 算d f r f i 。其中形是离散f o u r i e r 变换核矩阵。 ( 2 ) 采用分解方法。根据f r f t 的表达式，将f r f r 分解为信号的卷积形式， 从而用f f t 来计算f r f t 。 ( 3 ) 利用矩阵的特征值和特征向量来计算d f r f r 。 ( 4 ) 直接对f r f t 进行离散化来计算d f r f f 。 其中，第二种算法被公认为是目前计算速度最快的一种f r 】盯数值计算方 法，非常适合于对信号进行实时的f r f t 数值计算但是这种快速算法的运算机 理决定了在进行f r f t 数值计算之前必须先对原始信号进行量纲归一化处理。因 此，我们必须先对量纲归一化的基本原理和工程实现方法作一介绍i 廿1 。 假定原始连续信号在时间轴和频率轴上都是紧凑( 紧支撑) 的，其时域表示限 定在区间【一卅2 ，a t 2 ，而其频域表示限定在区间 一2 ，2 ，血和分别表示 信号的时宽和带宽信号的时宽带宽积为- 血，根据不确定原理，的值应 郑州大学硕士论文 第二章分数阶傅立叶变换及图像加密技术2 0 0 7 年5 月 当大于1 。 由于时域和频域具有不同的量纲，为了f r f t 计算处理方便，需要将时域和 频域分别转换成无量纲的域。 具体方法是引入一个具有时间量纲的尺度因子s ，并定义新的尺度化坐标 z - t l s ，- ，x s ( 2 2 5 ) 新的坐标系( x ，y ) 实现了无量纲化。信号在新坐标系中被限定在区间 【一a 以篮) ，f ( 嚣) 】和 - a x s 2 ，m x s 2 内为使两个区闯的长度相等，选择 s - 斫歹，则两个区间长度都等于无量纲量缸- 面，即两个区间归一化为 f a 2 ，a 2 】。归一化以后信号的w i g n c r - v i l l e 分布限定在以原点为中心直径缸的 圆内，最后，根据采样定理对归一化后的信号进行采样，采样间隔为1 缸，采样 点数为n 缸2 在实际应用中，所能得到的是一组原始连续信号经采样后得到的离散观测数 据，其中观测时间r 和采样率无为已知。如何对这样的离散数据作量纲归一化， 是将f r f t 快速算法应用于实际的一个重要环节。 采用量纲归一化的离散分数阶f o u r i e r 变换定义为# 耳( 小声笋唧p 嘶2 】 ( 2 2 6 ) 砸) 唧【肛c o l q y 2 】e x p 【o 知粼 灿k 假定x ( f ) 的w i g n e r - v f l l e 分布限定在以原点为中心直径为血的圆内。若令分数阶 次_ 0 5 p 1 - 5 ，则与c h i r p 信号乘积后的信号z ( t ) e x p 1 一t 。c o t ( a ) 】在频域具有带宽 缸。函数x ( 0 e x p j = t 2 m t ( a ) 】可以用s h a 衄o n 插值公式表示为： 砸，唧【础( 叫- 耋x ( _ “p 【气丢笋】。洫c 【：缸( 卜去) 】( 2 - 功 其中n - ( 衄) 2 求和从一n 到是因为x ( f ) 假定在【一a 2 ，可2 以外为零。将式( 2 2 6 ) 代入式( 2 2 7 ) 并交换积分与求和的顺序得到： 1 4 郑州大学硕士论文第二章分数阶傅立叶变换及图像加密技术 2 0 0 7 年5 月 孙m 唧( 加嘶妒) 喜嘧唧 笮铲】) 啦唧 一，新一( a 如】s 组c ：缸( r 一去) p 上式中的积分孵于唧臀】去叫警卜恤叫啪范肌 矩形函数叫警】在变换函数的支撑区h s 等将总是等于1 0 因此可以瓢 引；霉i ；鲁】嘧叫鼍磐】c x p 【鼍矧嘧 一 这样，令“一m 2 缸，则离散化后的样本值为。 一毪耋唧【罨铲一焉浮+ 笮笋卜由 这是一有限求和，使得可以利用原函数的离散样本值求出分数阶f o u r i e r 变 换的离散样本值。按上式直接计算的计算量为d ( 2 ) 上式可以写作： 。( 去) - 知 坐篙业l 喜唧鬻卜严篙掣 嘧 可以看出式( 2 3 1 ) 的求和实际上是两个信号的卷积运算该卷积可以用f f f 计算， 计算量为d ( 蚍1 1 4 i l l , i l l , | 切。 2 2 基于分数阶f o u r i e r 变换的图像加密技术 当二维分数阶f o u r ：c e 变换的两个变换阶数p l 和儿不相等时，我们称此时的 = 维分数阶傅立叶变换为二维不对称分数阶傅立叶变换。本文所介绍的图像加密 技术就是利用不对称分数阶傅立叶变换来实现的，基本思想如下：对大小为 n x n 的图像，( x ，_ ) ，) 进行二维分数阶傅立叶变换，变换阶数为( p l ，p ：) ；得到变 郑州大学硕士论文 第= 章分数阶博立叶变换及图像加密技术2 0 0 7 年5 月 换后的图像，) ，) ，然后对，( x ，) i ) 进行变换阶数为( 西。p ) 的分数阶傅立叶变换 来恢复原始图像。只有当p l - 一p 3 且p 2 t v a - p 4 时才能正确恢复出原始图像【1 8 】【1 9 1 。 算法仿真分析： 原始图像采用2 5 6 x 2 5 6 的l e n a 图像，如图2 2 所示，对其采用变换阶数 p 1 - o 3 ，p 2 - 0 5 的不对称分数阶傅立叶变换。然后再进行变换阶数为( p 3 ，p ) 的 分数阶傅立叶变换，得到原始图像的解码图像。见一- 0 5 ，p 4 - o 3 时的解码图 像如图2 3 所示p 3 - - 0 5 , p 4i - 0 5 时的解码图像如图2 , 4 所示。 p 3 - - 0 7 ，p 一- 0 7 时的解码图像如图2 5 所示。p 3 一- 0 3 , p 4 - - 0 7 时的解码图 像如图2 6 所示。p 3 - - - 0 3 , p 4 - - - 0 5 时的解码图像如图2 7 所示 图2 2 原始l e n a 图像 图2 3 p s - - - 0 5 , p 4 - 0 3 的解码图像 图2 , 4 岛一- - 0 5 ，风- - 0 5 的解码图像 田2 5p ，m - 0 7 ，p - - - 0 7 的解码图像 郑州大学硕士论文第二章分数阶傅立叶变换及图像加密技术2 0 0 7 年5 月 图2 , 6p 3i - 0 7 ，p 4 一- 0 7 的解码图像 图2 7j ，一- 0 3 ，p 4 一- 0 5 的解码图像 从上面的实验结果可以知道，二维分数阶傅立叶变换的两个变换阶数p l 和 p 2 可以作为一对加密密钥，对图像进行加密处理，有着极为广泛的应用前景。 此外，在数字水印算法中，这种方法也可以和其他加密算法相结合，从而具有更 高的保密性能【冽【2 ”。 1 7 郑州大学硕士论文 第三章基于分数阶傅立叶变换的数字水印算法2 0 0 7 年5 月 第三章基于分数阶傅立叶变换的数字水印 算法 3 1 引言 变换域算法有利于保证水印的不可见性和鲁棒性 2 2 1 1 2 3 1 1 2 4 1 。本文采用基于分 数阶傅立叶变换的数字水印算法。信号的分数阶傅立叶变换同时包含了信号在时 域和频域的特征，在分数阶傅立叶变换嵌入数字水印，具有更大的灵活性。由于 图像的分数阶傅立叶变换有两个变换阶数( a ，p 2 ) ，增强了水印的安全性所以 本文所采用的算法可以较好的满足水印的安全性，不可见性和鲁捧性嗍。 3 2 分数阶傅立叶域水印算法描述 3 2 1 分数阶傅立叶域水印的嵌入算法 为了保证水印算法的鲁棒性，水印应该嵌入到图像的重要分量上，通常重要 分量为变换域系数集中幅值较大的系数。信号的分数阶f o u r i e r 交换系数为一复 数，与变换域水印算法的基本原理相同，分数阶傅立叶变换域水印的嵌入也是通 过对信号的分数阶傅立叶变换系数的修改来实现的，在这里我们采用加性嵌入规 则嗍。 ( 1 ) 对大小为n x n 的图像，进行二维分数阶傅立叶变换，变换阶数为 ( o 3 0 3 ) ，得到，的分数阶傅立叶变换矩阵，确定，的显著分i s ，我们选择， 的中间部分的l 个系数为，的显著分量。 ( 2 ) 用随机序列发生器产生一个长度为l ，服从均值为0 ，方差为口2 的高 斯随机序列r ，令所要嵌入的水印为w r ( 3 ) 使用水印修改显著分量，采用加性规则表示分数阶傅立叶变换域水印嵌 入的过程，如下式所示： 筇- 墨+ 口r f - 1 , 2 ，工 ( 3 1 ) 其中，口为水印的嵌入强度。a 的具体计算方法在下一节中给出。 郑州大学硕士论文第三章基于分数阶傅立叶变换的数字水印算法2 0 0 7 年5 月 ( 4 ) 将嵌入水印之后的序列吖重新排列为n x n 的矩阵，对其进行变换阶数 为( - 0 3 ，_ 0 3 ) 的二维分数阶傅立叶变换，得到含有水印的图像【2 7 1 3 2 2 水印的嵌入强度口的计算 水印的不可见性和鲁棒性与水印的嵌入强度口有关，在图像处理中，差别失 真评测准则是从原始图像与退化图像的差图像得到的，主要有两个评价指标，信 噪比( s i g n a l t o n o i s e r a t i o ) 和峰值信噪比( p e a k s i g n a l t o n o i s e r a t i o ) ，单位为 分贝，我们使用峰值信噪比：p s n r 勰 冽。对于两副灰度图像爿- ) ，x e v ”“ 和。- ) 。y ”“，p s n r 定义为： 在本文提出的算法中， p s n r l 2 0 l g p s n r 一2 0 培 枷k 崭 ( 3 2 ) ( 3 - 动 其中，a i 咿i i ，- 层( m 矿)