2013年第三届全国学而思综合能力测评.doc

2013年第三届全国学而思综合能力测评（学而思杯）数学试卷（四年级）详解一1.填空题（每题5分，共20分）请计算：3、5、7、9、11、13这6个数的平均数是_【考点】计算，平均数【难度】【答案】8【分析】公式法：(3?5?7?9?11?13)?6?8；或移多补少找到平均值8.2.在一个神奇的地方，有一排奇怪的雕塑，这些雕塑都是由巧克力构成的，第一个雕塑由3块巧克力组成，第二个雕塑由6块巧克力组成，第三个雕塑由9块巧克力组成，以此类推，每个雕塑都比前一个多3块巧克力那么，第_个雕塑恰好由2013个巧克力组成【考点】计算，数列【难度】【答案】671【分析】第n个雕塑由3n块巧克力构成，故由2013块巧克力构成的是第2013?3?671个雕塑.3.右图中，相邻两个格点的距离为1，那么阴影部分的面积是_【考点】几何，格点与割补【难度】【答案】12【分析】可使用毕克公式直接求出：9?8?2?1?12；或使用分割的方法，阴影部分面积为：(2?2?2)?4?2?2?12.4.右图中，共有_个三角形【考点】组合，几何计数【难度】【答案】8【分析】单个三角形有4个，由2个三角形组成的三角形有3个，由4个三角形组成的三角形有1个.1二5.填空题（每题6分，共24分）如右图，算式中不同的汉字代表不同的数字，已知：“级=5”，那么“学而思”代表的三位数是_【考点】数字谜【难度】【答案】892【分析】“更”=1，故“进”=0；十位必然向百位进位了，故“学”=8，进而“而”=9；此时可知个位没有向十位进位，思?5?步”只能为“2?5?7”“；综上，答案为892.6.4月有30天某年4月有5个星期一，5个星期日，如图，在该月日历表上用“_”圈出5个数，并计算出它们的和，和最大是【考点】计算，数表，日历问题【难度】【答案】115【分析】十字形越靠下，圈住的数之和越大；由已知条件易得这个月的30日是周一，故当十字圈住30、24、23、22、16日时，可得到最大和，为30?24?23?22?16?23?5?115.7.如果3m?31?33?35?37?39，那么m=_【考点】计算，乘方运算【难度】【答案】25【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；31?33?35?37?39?31?3?5?7?9?325，故m?25.8.甲、乙、丙三人读同一本故事书，这本故事书里一共有100个故事，甲已经读了70个故事，乙已经读了60个故事，丙已经读了50个故事，则恰好被甲乙丙3人中两人读过的故事最多有_个【考点】组合，构造与论证【难度】【答案】90【分析】三人共读了50?60?70?180个故事（有重复）；故被读了2遍的故事理论上的最大值为180?2?90；下面构造一种看书方法，来证明90可以达到：把故事编为1100号，甲读170号，乙读7190号以及140号，丙读4190号；这样190号故事都是恰被两人读过；综上，答案为90.2三9.填空题（每题7分，共28分）如右图，正方形ABCD的边长为12厘米，正方形DEFG的边长为8厘米，H是正方形DEFG的中心（对角线的交点），那么，阴影部分的面积是_平方厘米AEHD【考点】几何，面积【难度】【答案】24【分析】把图形分为方格阵，每个小方格边长4厘米，并设FG与AC的交点为M点，如右图；现在已可用毕克公式或割补的方法来求阴影面积了；毕克公式：(4?4)?(0?5?2?1)?24平方厘米；分割：S阴影?SHMA?SHMC?4?8?2?4?4?2?24平方厘米；整体减空白：12?12?2?4?4?4?8?2?2?24平方厘米.BABFGCEHGCDFM10.定义：a?ba?ba?bb2，那么下面算式的计算结果为_10?1?10?2?10?3?10?4?10?5?10?6?10?7?10?8?10?9?10?10【考点】计算，定义新运算，平方差公式【难度】【答案】1000【分析】由平方差公式：a?ba?ba?bb2?a2?b2?b2?a2，2故原式?102?102?1022?100?10?1000.?10?10?10个10211.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行如果乙每分钟行20米，甲、乙两人5分钟后相遇；如果乙每分钟比原来快4米，甲、乙两人在A、B两地中点相遇那么，A、B两地相距_米【考点】行程问题，相遇问题【难度】【答案】220【分析】第二次走路，两人相遇在中点，说明两人速度相同，为20?4?24米每分；故在第一次走路时，甲速为24米每分，乙速为20米每分，两人5分钟后相遇，故全长为(20?24)?5?220米.312.有形状、长短都完全一样的红筷子、黑筷子、白筷子各25根在黑暗中，至少应摸出_根筷子，才能保证摸出的筷子至少有8双（每两根同色的筷子视为1双）【考点】组合，抽屉原理和最不利原则【难度】【答案】18【分析】摸出7双筷子之后，又把三种颜色的筷子各摸出1根，此时已摸出2?7?3?17根筷子，但没有摸出8双，这是最不利情况；之后无论摸出哪根筷子，都将摸出8双筷子，故答案为17?1?18.四填空题（每题8分，共32分）13.将1至5分别填入图中的圆圈内，使得两条线段上3个数的和相等那么，共有_种不同的填法【考点】组合，数阵图【难度】【答案】24【分析】数和为15，故15加中心数等于线和的2倍，可知中心数只能为奇数，有3种选择；中心数222填好后，两组数可互换左右，各组内也可互换位置；故答案为3?A2?A2?A2?24种.14.阿凡提在地主家做长工地主家有一根长为20尺的木头，阿凡提每次将木头锯成长度是整数尺的两段，并计算这两段长度的乘积最后，阿凡提将木头锯成20段长度是1尺的小段，并得到了19个乘积，他将这些乘积相加得到1个数A，地主会给他A个金币做为工资那么，A等于_【考点】操作类问题【难度】【答案】190【分析】可先使用一种特殊方法算出A的值，比如每次切下1尺，那么19个乘积之和为1?19?1?18?1?2?1?1?190；下证无论如何分割，A值为190不变：方法一：找规律：2尺的木头A?1不变，3尺的木头A?3不变，4尺的木头A?6不变，5尺的木头A?10不变，20尺的木头A?190不变（可用第二数学归纳法严谨证明通项公式为；n(n?1)?2，但小学阶段只要找到规律即可）方法二：转化问题：20个人每轮分两组握手，每一轮握手之后，组内再分成两组，互相握手，直至每组最后一轮握手时组内都只有1个人，求总握手次数；组与组之间的握手次数正是两组人数相乘，故这个问题的结果与题目的结果相同，但这个握手问题其实就是每两人都握了一次手，2故结果是C20?190，故A?190；4方法三：数形结合：如下图，分割木头方法对应分割图形面积的方法，乘积对应矩形面积，可见无论如何分割，结果都是1?2?3?19?190.15.甲、乙、丙3人在周长是300米的环形跑道上同时同地同向出发甲第一次追上乙时，甲、乙恰好都回到出发点，此时丙距离出发点100米；过了一会，甲第一次追上丙时，乙跑了7圈多一些那么，丙第一次追上乙时，甲总共跑了_米【考点】行程问题，环形跑道问题【难度】【答案】5400【分析】“丙距离出发点100米”和“乙跑了7圈多一点”是本题的关键突破口；甲要追丙1圈300米，才能第一次追上丙，“丙距离出发点100米”说明甲追了丙100米或200米（分别对应丙在出发点之后100米和丙在出发点之前100米），但若只追了100米，则甲还要跑目前圈数的2倍才能追上丙，同时乙也将跑2倍圈数，即乙将跑整数圈，就不会出现“乙跑了7圈多一点”了；这说明甲乙碰面时，甲已经领先丙200米；这说明乙又跑了（甲已碰面时）已跑的圈数的一半后，出现“乙跑了7圈多一点”，故“7圈多一点”为7.5圈；故甲追上乙时，乙跑了5圈1500米，甲跑了6圈1800米，丙跑了1800?200?1600米，故甲、乙、丙的速度比为1800:1500:1600?18:15:16；故丙追上乙时，丙跑了16圈，乙跑了15圈，甲跑了18圈5400米.516.A、B、C、D四个队进行循环赛，即每两个队都比赛一场，每场比赛中，胜队得3分，负队得0分，平局则各得1分，每个队只知道自己3场比赛的情况裁判说：你们的得分互不相同；A说：虽然我不知道你们的得分，但我肯定是第一；B说：那我一定是第二，而且我知道A得了多少分；C说：A说话之前我就知道我是第三根据以上信息，这四个队的得分从高到低组成的四位数是_【考点】组合，体育比赛中的数学问题【难度】【答案】7531【分析】先考虑C：可构造出7431，及5432，故知4分（1胜1平1负）可能得第二，2分（2平1负）可能得第四，所以C必为3分；再考虑A：若ABCD的得分为5432，则A1胜2平不可能断定自己是第一，故不是5432，A要得到7分或9分才可断定自己是第一；再考虑B：若B为6分（2胜1负），则B一定输给A，但无法断定ABCD是9630还是7631（即B不能知道A的分数），故B不是6分，B是5分或4分；下证B不可能是4分：若B得4分（1胜1平1负），其中若B与A平，则B可由A的话推知A胜了C、D，此时B会考虑ABCD有可能是7460或7406，故B无法断定自己是第二；若B输给A，则B会考虑ABCD有可能是7450或7405，故B无法断定自己是第二；综上，若B是4分，则无法断定自己是第二；故B得5分（1胜2平），听到A的话后能断定自己第二；再重新考虑A：A已经不可能是全胜战绩了，故A得7分（2胜1平）；综上，答案为7531.6五解答题（每题8分，共16分17.计算：（1）1.1?9.1?0.8?12.5?0.3?0.4（4分）（2）333333333?6?999999999（4分）【考点】计算，巧算【难度】【答案】20.13；2【分析】（1）原式?10.01?10?0.12?20.13；（2）原式?333333333?6?333333333?3?6?3?2.18.解方程：（1）3(2x?1)?4?7（4分）（2）5(x?3)?2(x?2)?4（4分）【考点】计算，解整系数方程【难度】【答案】x?1；x?5【分析】（1）原方程化为6x?3?4?7，即6x?6，解得x?1；（2）原方程化为5x?15?2x?4?4，即3x?15，解得x?5；要注意去第二个括号时要变号.六解答题（每题15分，共30分）19.今年是公元2013年观察2013这个数，它是由四个连续的自然数组成的四位数我们将满足这样条件的年份称为“如意年”（1）下一个“如意年”，是公元哪一年？（5分）（2）从公元1000年到公元2012年，共经历了多少个“如意年”？（10分）【考点】组合，加乘原理，枚举法【难度】【答案】2031年；12个【分析】（1）若要保持“20”打头，则年份必由0、1、2、3组成，2013之后，下一个是2031最近；（2）“1”打头的“如意年”，后三位数字可能是0、2、3，也可能是2、3、4；两种情况分别3有A3?6种，故共有6?6?12种，枚举如下：1023、1032、1203、1230、1302、1320、1234、1243、1324、1342、1423、1432；“2”打头的如意年最小就是2013年，但题目要求到2012年，故知“2”打头的没有；综上，答案为12种720.如图，除仓库外每个点均表示一家客户学学从仓库出门送鱼他从仓库的保鲜柜中每取出一家的鱼后（取鱼时间忽略不计），装车时间是5分钟，相邻两家客户间的驾车时间是5分钟，从学学将鱼送到客户家到将鱼装进客户家保鲜柜中的时间也是5分钟另外，如果鱼在保鲜柜外的时间超过60分钟，就会不新鲜（1）学学从取鱼开始，到将鱼送到A家的保鲜柜中，需要多少分钟？（2分）（2）如果保证客户能吃上新鲜的鱼，学学每次最多送几家？（5分）（3）如果保证图中所有客户都能吃上新鲜的鱼，那么学学送完所有的鱼并回到仓库最少需要多少分钟？（8分）【考点】操作类问题【难度】【答案】15分钟；5家；260分钟【分析】（1）装车、走路、装保鲜柜共用5?5?5?15分钟；（2）每一家走路、装保鲜柜都至少5?5?10分钟；且最远的那一家，在装车时即使最后装，5（分钟）还未出发时也以离开保鲜柜5分钟